Upload
tamanna-darshan
View
33
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Agata Fronczak i Piotr Fronczak Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej. Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych. Seminarium DUZ ( 8 października 2007r ). 1 / 17. Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Agata Fronczak i Piotr Fronczak
Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej
Błądzenie przypadkowe i procesy transportu w sieciach złożonych
Seminarium DUZ(8 października 2007r)
Transport i wyszukiwanie w sieciach złożonych
1 / 17
Metody wyszukiwania w sieciStrategie efektywnego routingu
Sieci telekomunikacyjne, np. Internet Sieci transportowe, np. sieci połączeń lotniczychSieci społeczne
Autorzy, którzy zajmowali się tymi zagadnieniami:
Adamic & Humerman, Tadic & Rodgers & Thurner,Kim et al.Germano & Moura,Redner et al.,Havlin & Stanley et al.,Holme et al.,Rosvall & Sneppen,Motter et al.,Bianconi & Marsili,Goh et al., W.-X. Wang et al., Phys. Rev. E 73, 026111 (2006) (…)
W większości przypadków w podstaw tych zagadnień leży proces błądzenia przypadkowego.
Ruch pakietów w sieci złożonej
Model ruchu pakietów w sieci złożonej
1. W każdym kroku czasowym w sieci generowanych jest R pakietów. Każdemu pakietowi losowo przypisywany jest węzeł-nadawca oraz węzeł-odbiorca.
2. W kolejnych krokach czasowych pakiety poruszają się po sieci w poszukiwaniu swoich węzłów-odbiorców. Gdy pakiet dociera do miejsca swego przeznaczenia jest usuwany z sieci.
3. Ruch pakietów po sieci odpowiada preferencyjnemu błądzeniu przypadkowemu z cyklicznym przeszukiwaniem.
4. Wszystkie węzły w sieci mają ograniczoną szybkość pracy tj. w jednym kroku czasowym potrafią przesłać dalej co najwyżej C pakietów.
5. Na węzłach obowiązuje kolejka FIFO o nieograniczonej długości.
preferencyjne błądzenie przypadkowe: prawdopodobieństwo przejścia między węzłami i oraz j
przeszukiwanie cykliczne:każdy węzeł zna swoje najbliższe otoczenie do głębokości x.
Traffic dynamics based on local routing protocol on a scale-free network W.X. Wang et al.,, Phys. Rev. E 73, 026111 (2006)
2 / 17
Przejście fazowe ze stanu swobodnego przepływu do stanu przepełnienia
Podstawowa obserwacja
Dla pewnej wartości parametru RC(), w sieci obserwujemy ciągłe przejście fazowe ze stanu cechującego swobodny przepływ pakietów do stanu, w którym sieć jest przepełniona.
Free Flow Traffic Jam
Parametr porządku tego przejścia fazowego
Gdzie zmiana liczby pakietów w sieci, przy czym <…> oznacza uśrednienie po różnych oknach czasowych .
Phys. Rev. Lett. 86, 3196 (2001).
3 / 17
Faza przepełnienia Faza swobodnego przepływu
W stanie przepełnienia: liczba pakietów w sieci rośnie liniowo w czasie.
Stan swobodnego przepływu: średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k
4 / 17
Krytyczna wartość tempa generacji pakietów RC()
Strategia antypreferencyjna – najefektywniejsza !?
5 / 17
Zwykłe błądzenie przypadkowe – najefektywniejsze!?
Błądzenie przypadkowe z dryftem – Biased random walks
x x+1 x+2 x+4 x+5 x-4 x-3 x-2 x-1
p q=1-p
Równanie Master:
Rozwiązanie równania:
rozkład dwumianowy
w granicy długich czasów – rozkład normalny
prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w pozycji x po N krokach czasowych;
warunek początkowy;
6 / 17
Błądzenie przypadkowe w wielowymiarowych sieciach regularnych
Polya, 1921
Random walk in dimensions 1 and 2 is recurrent, while in dimension 3 and above it is transient.
Błądzenie przypadkowe na łańcuchu węzłów (d=1) i na sieci kwadratowej (d=2) ma charakter rekurencyjny. Prawdopodobieństwo, że cząstka kiedyś powróci do punktu z którego wyszła, jest równe 1. W przypadku sieci kwadratowej czas powrotu =. Proces stochastyczny ze stanami powtarzającymi się
Dla d3 błądzenie przypadkowe ma charakter przejściowy. Prawdopodobieństwo powrotu <1. Proces stochastyczny ze stanami chwilowymi.
7 / 17
Błądzenie przypadkowe na sieciach złożonych
J.D. Noh, H. Reiger, Random walks on complex networks Phys. Rev. Lett. 92, 118701 (2004)
Prawdopodobieństwo przejścia cząstki z węzła i do węzła j (transition probability)
Prawdopodobieństwo, że w czasie t cząstka będzie się znajdowała w węźle i o stopniu ki (stationary occupation probability)
Idea centralności węzłów: różnica czasów przejścia miedzy węzłami i oraz j
gdzie Ci – tzw. random walk centrality
i
j
8 / 17
Błądzenie przypadkowe z dryftem na sieciach złożonychBiased random walks on complex networks
A.Fronczak, P. FronczakBiased random walks on complex networks: the role of local navigation rulesarxiv:0709.2231 (wrzesień 2007)
1. preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia z węzła i do węzła j
Lokalne reguły rozważane przy błądzeniu przypadkowym:
2. przeszukiwanie cykliczne (cyclic search): jeśli węzeł docelowy cząstki został znaleziony w odległości x=1,2,… od węzła, w którym cząstka aktualnie przebywa, wtedy w następnych krokach czasowych cząstka zmierza bezpośrednio do miejsca przeznaczenia.
9 / 17
węzeł docelowy
cząstka błądząca po sieci
węzeł j + jego najbliższe otoczenie
j
x=1
Stacjonarne prawdopodobieństwo obsadzenia węzłów
Równanie Master:
prawdopodobieństwo, że cząstka, która wyruszyła w czasie t=0 z węzła i, w czasie t będzie przebywała w węźle j
Stosując przybliżenie średniego pola do równania Master
oraz zakładając brak korelacji międzywęzłowych w sieciach
dostajemy
10 / 17
Zagadnienie pierwszego przejściaFirst-passage processes
Prawdopodobieństwo pierwszego-przejścia
tj. prawdopodobieństwo, że cząstka, która rozpoczyna błądzenie po sieci od węzła i po raz pierwszy trafi do węzła j w chwili t
Stosując transformatę Laplace’a do powyższego równania
dostajemy znaną zależność
Następnie podstawiając do zależności (♠) poniższe wyrażenie
gdzie
(♠) i rozwijając (♠) w szereg potęgowy otrzymujemy wzory opisujące średnie czasy pierwszego przejścia błądzącej cząstki z węzła i do węzła j
11 / 17
Średnie czasy pierwszego powrotu
Uśrednione po wszystkich węzłach czasy pierwszego powrotu są najkrótsze przy strategii =-1.
Oznacza to, że ta strategia skutkuje najwolniejszą eksploracją sieci!
12 / 17
Średnie czasy pierwszego przejścia między węzłami sieci
13 / 17
Przeszukiwanie cykliczne
znormalizowany węzeł J
j J gdzie reprezentuje średni stopień najbliższego sąsiada, natomiast x jest parametrem przeszukiwania cyklicznego
Stopień znormalizowanego węzła J
Średni czas pierwszego przejścia z węzła i do węzła j przy cyklicznym przeszukiwaniu, jest równy
gdzie odpowiednie parametry TiJ RiJ RJJ odnoszą się do sieci, w której węzeł j wraz z jego najbliższym x-otoczeniem zastąpiono znormalizowanym węzłem J o stopniu kJ
14 / 17
węzeł docelowy
cząstka błądząca po sieci
węzeł j + jego najbliższe otoczenie
x=1
Ruch pakietów w sieci złożonej – założenie o niezależności pakietów
Założenie: W stanie swobodnego przepływu pakiety w sieci można traktować jak niezależne cząstki.
Fig. Średnia liczba pakietów na węźle o stopniu k
Fig. Stacjonarny rozkład prawdopodobieństwa obsadzenia węzła przez cząstkę błądzącą przypadkowo wg strategii .
15 / 17
Oszacowanie krytycznej wartości tempa generacji pakietów RC()
Niech:
średni czas pierwszego przejścia z węzła i do j przy zadanej strategii.
Wtedy:
średnia liczba pakietów w sieci w każdym kroku czasowym przy założeniu, że pakiety są niezależne
Krytyczna wartość tempa generacji pakietów:
Sieć zaczyna się zapychać wtedy, gdy liczba pakietów na dowolnym węźle sieci przekracza jego zdolność przetwórczą C
dla >-1 zapychają się węzły dużedla <-1 zapychają się węzły małe dla =-1 wszystkie węzły mają jednakowe prawdopodobieństwo zapchania
16 / 17
To już koniec !
Podsumowanie
Wykonaliśly analizę błądzenia przypadkowego w sieciach złożonych; Rozważaliśmy następujące lokalne reguły nawigacji:
* preferencyjne prawdopodobieństwo przejścia * przeszukiwanie cykliczne;
Pokazaliśmy, że w stanie swobodnego przepływu pakietów w sieciach łożonych pakiety można traktować jak cząstki nie oddziałujące ze sobą;
Podejście niezależnych cząstek umożliwiło nam wyznaczenie krytycznej wartości tempa generacji pakietów;
Rozliczyliśmy grant MiNI !?
17 / 17