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Agradecimentos
Antes de tudo, quero agradecer a Deus. Ele tem me abençoado todos os dias
da minha vida. ‘Pois dEle, por Ele e para Ele são todas as coisas. A Ele seja
a glória para sempre! Amém.’
Quero agradecer aos meus pais, Joaquim dos Reis e Maria Irene dos Reis.
Estudar fora é dif́ıcil, a saudade é grande mas o amor, o apoio e o carinho
superam distâncias e eu sempre tive a compreensão incondicional deles.
Aos colegas da pós-graduação que me fizeram sentir em casa, mesmo eu
sendo o único da turma que não era de Belo Horizonte. Valeu !
Aos amigos e amigas da Igreja Batista Getsêmani, minha famı́lia em Belo
Horizonte. À galera da célula A Tenda do Encontro, à Judy (minha primeira
amiga em BH), à Thátia (minha irmãzinha), à Débora (que eu conheci na
porta do cemitério e é para quem eu ligo quando estou doente), ao Lessander.
Obrigado também ao meu grande amigo Uilton Soares de Oliveira. Falar
que ele é o irmão que eu não tive é pouco. Ele é um ‘amigo mais apegado
que um irmão ’.
i
Sumário
1 Teoria Básica 2
1.1 Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Curvas Racionais Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Espaço Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Espaço Tangente Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Espaço Tangente Projetivo . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Explosão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Rolos Racionais Normais 18
2.1 Construção Sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Grau e dimensão do rolo racional normal . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Outras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Rolos Racionais Normais e Variedades Determinantais 30
4 Rolos Racionais Normais e Divisores 37
4.1 Divisores em Variedades Irredut́ıveis . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Divisores, Aplicações e Rolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 O rolo cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ii
5 Representação Plana do Rolo 53
5.1 Projeções e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iii
Introdução
O principal objetivo desta dissertação é fazer um estudo dos rolos racionais
normais de vários pontos de vista. Sejam k, l dois inteiros positivos com
k ≤ l e Λ, Λ′ subespaços lineares complementares de dimensões k e l respec-
tivamente em Pk+l+1 (isto é, Λ e Λ′ são disjuntos e geram Pk+l+1). Escolha
curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e um isomorfismo ϕ : C → C ′. O
rolo racional normal Sk,l é a união das retas p, ϕ(p) ligando pontos p de C
aos pontos correspondentes ϕ(p) de C ′. Este tipo de superf́ıcie foi estudada
por Corrado Segre (1863 - 1924), professor da Universidade de Turim, logo
após a defesa da sua tese de doutorado sobre quádricas.
No caṕıtulo 1, introduzimos a teoria básica necessária ao desenvolvimento
do assunto apresentando os conceitos de espaço projetivo, variedades, curvas
racionais normais e espaço tangente e listando também alguns resultados im-
portantes como, por exemplo, o teorema da dimensão das fibras.
No caṕıtulo 2, veremos os rolos racionais normais de maneira sintética como
na definição supracitada, com uma abordagem próxima de [2] e [4]. Também
estudaremos grau, dimensão e outras propriedades do rolo.
O caṕıtulo 3 é dedicado a maneira anaĺıtica de estudar o rolo. Veremos o
rolo racional normal como variedade determinantal.
No caṕıtulo 4, a abordagem é feita através de divisores, usando [3]. Veremos
a relação entre rolos racionais normais e aplicações definidas de P2 para o
Pk+l+1 associadas a subsistemas lineares de divisores no plano. Em particu-
lar, o S1,2 ⊂ P4 será estudado como a explosão de P2 em um ponto.
No caṕıtulo 5 faremos várias projeções do rolo para o plano, baseadas em
[4], e estabeleceremos a relação de uma projeção plana particular com as
aplicações do caṕıtulo 4.
Um enfoque especial é dado aos exemplos. Muitas das propriedades gerais
iv
dos rolos racionais normais antes de serem enunciadas na forma geral são
feitas para casos particulares.
1
Caṕıtulo 1
Teoria Básica
Este caṕıtulo introduz algumas das idéias básicas da dissertação, definindo os
elementos principais e listando propriedades e resultados que serão utilizados
no decorrer do texto.
Definição 1.1 Seja K um corpo algebricamente fechado. O espaço projetivo
de dimensão n sobre o corpo K é o conjunto de subespaços de dimensão 1 do
espaço vetorial Kn+1 que será denotado por Pn. Um elemento x ∈ Pn serádenotado por x = (x0, . . . , xn).
Sabemos que em Pn um polinômio F ∈ K[x0, . . . , xn] não define umafunção, mas se F é um polinômio homogêneo de grau d, isto é, todos os
monômios de F têm grau d, então faz sentido falar no conjunto dos zeros de
F .
Definição 1.2 Uma variedade projetiva X ⊂ Pn é o conjunto dos zeros deuma coleção de polinômios homogêneos Fα. Denotaremos uma variedade por
V (Fα).
2
Definição 1.3 Seja T : Kn+1 → Kn+1 uma transformação linear de coor-
denadas do espaço vetorial Kn+1. Então T leva subespaços de dimensão 1
(retas passando pela origem) em subespaços de dimensão 1. Logo T define
uma aplicação de Pn → Pn que será chamada de transformação projetiva .
Definição 1.4 Duas variedades V e V ′ são ditas projetivamente equivalentes
se existe uma transformação projetiva tal que T (V ) = V ′.
Definição 1.5 Um mapa regular de uma variedade arbitrária X para um
espaço afim An é um mapa dado por uma n-upla de funções regulares emX. Já um mapa ϕ : X → Pn é regular se é localmente regular, isto é, se é
cont́ınuo e para cada aberto afim Ui ∼= An ⊂ Pn a restrição de ϕ a ϕ−1(Ui) éregular.
Definição 1.6 Sejam X e Y variedades projetivas irredut́ıveis. Um mapa
racional ϕ : X → Y é definido como uma classe de equivalência de pares(U, γ) com U ⊂ X um subconjunto aberto denso de Zariski e γ : U → Y
um mapa regular, onde dois pares (U, γ) e (V, η) são ditos equivalentes se
γ |U∩V = η |U∩V .
Definição 1.7 Dizemos que um mapa racional ϕ : X → Y é birracional seexiste um mapa γ : Y → X tal que ϕ ◦ γ e γ ◦ϕ são ambas definidas e iguaisa identidade.
Definição 1.8 Dizemos que duas variedades irredut́ıveis X e Y são birra-
cionalmente equivalentes se existe um mapa birracional entre elas.
Definição 1.9 Dizemos que uma variedade irredut́ıvel X é racional se X é
birracionalmente equivalente a Pn para algum n.
3
1.1 Dimensão
Definição 1.10 A dimensão de uma variedade projetiva irredut́ıvel X ⊂Pn,denotada por dim(X), é o menor inteiro i tal que existe um subespaço de
Pn de dimensão n− i− 1 disjunto de X.
Observação 1.11 Se X, Y ⊂ Pn são variedades de dimensões i e j comi+ j ≥ n então X ∩ Y 6= ∅.
O próximo teorema é conhecido como teorema da dimensão das fibras e
será útil no cálculo da dimensão dos rolos.
Teorema 1.12 Sejam X uma variedade projetiva, π : X → Pn um mapa
regular e Y o fecho da imagem. Para cada p ∈ X, sejam Xp = π−1(π(p)) ⊂ X
a fibra de π que contém p e µ(p) = dimp(Xp) a dimensão local de Xp em
p. Então para cada m o lugar dos pontos p ∈ X tal que dimp(Xp) ≥ m é
um fechado em X. Mais ainda, se X0 ⊂ X é uma componente irredut́ıvel,Y0 ⊂ Y o fecho de sua imagem e µ o menor valor de µ(p) sobre X0 então
dim(X0) = dim(Y0) + µ.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], caṕıtulo
11.
Corolário 1.13 Seja π : X → Y um mapa regular de variedades projetivas
com Y irredut́ıvel. Suponha que todas as fibras π−1(q) de π são irredut́ıveis
de mesma dimensão. Então X é irredut́ıvel.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], caṕıtulo
11.
4
1.2 Grau
Definição 1.14 Sejam X ⊂ Pn uma variedade irredut́ıvel de dimensão k eΩ um (n−k)-plano genérico. Então o grau de X, denotado por grau(X), é onúmero de pontos da intersecção de Ω com X, contados com multiplicidade.
Equivalentemente, sejam X ⊂ Pn uma variedade irredut́ıvel de dimensão ke Λ um (n− k − 1)-plano genérico. Então grau(X) é o grau do mapa finito
sobrejetor πΛ : X → Pk, onde grau do mapa πΛ : X → Pk é o número depontos na imagem inversa de um ponto genérico de πΛ(X).
O próximo resultado, conhecido com Teorema de Bézout, relaciona o grau
da interseção de duas variedades com os graus das variedades.
Teorema 1.15 Sejam X, Y ⊂ Pn variedades irredut́ıveis de dimensões i ej, respectivamente com i + j ≥ n e suponha que X e Y têm interseçãogenericamente transversal. Então grau(X ∩ Y ) = grau(X) grau(Y ). Em
particular, se i + j = n temos que X ∩ Y consistirá de grau(X)grau(Y )pontos.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], Caṕıtulo 18,
página 227.
1.3 Curvas Racionais Normais
Exemplo 1.16 Considere a imagem C do mapa v : P1 → P3 dada por
v : (x0, x1) 7→ (x03, x02x1, x0x12, x13) = (z0, z1, z2, z3).
Observemos que C é o lugar dos zeros comuns dos polinômios
5
F0 = z0z2 − z12
F1 = z0z3 − z1z2F2 = z1z3 − z22
e é chamada cúbica reversa.
De fato, é fácil ver que se p ∈ v(P1) então p satisfaz F0, F1 e F2. Vejamos
que se p = (z0, z1, z2, z3) ∈ V (F0, F1, F2) então p ∈ v(P1). Suponha z0 = 1,
logo por F0 temos z2 = z12 e por F1 temos z3 = z1z2 = z1
3. Logo p =
(1, z1, z12, z1
3) = v(1, z1).
Podemos generalizar o exemplo anterior.
Definição 1.17 Seja h0, h1, . . . , hd uma base para o espaço dos polinômios
homogêneos de grau d nas variáveis x0, x1. Uma curva racional normal C ⊂
Pd de grau d é a imagem da aplicação vd : P1 → Pd dada por
vd : (x0, x1) = (h0, h1, . . . , hd)
Afirmação 1.18 Dadas duas curvas racionais normais C,C ′ ⊂ Pd de graud elas são projetivamente equivalentes, isto é, existe uma transformação pro-
jetiva T : Pd → Pd que leva C em C ′
Demonstração: Basta mostrar que uma curva racional normal é projeti-
vamente equivalente a uma forma padrão de curva racional normal. Seja
C ⊂ Pd uma curva racional normal dada por C = ud(P1) com ud : (x0, x1) =
(h0, h1, . . . , hd). Sabemos que x0d, x0
d−1x1, . . . , x1d também é uma base para
o espaço dos polinômios homogêneos de grau d nas variáveis x0, x1 assim
podemos escrever
h0 = a0,0x0d + a0,1x0
d−1x1 + · · ·+ a0,dx1d
6
h1 = a1,0x0d + a1,1x0
d−1x1 + · · ·+ a1,dx1d
...
hd = ad,0x0d + ad,1x0
d−1x1 + · · ·+ ad,dx1d
e definir uma transformação TC : Pd → Pd cuja matriz é dada por
a0,0 a0,1 · · · a0,da1,0 a1,1 · · · a1,d· · · · · · · · · · · ·ad,0 ad,1 · · · ad,d
tal que TC
−1 leva C na curva dada como a imagem da função
vd : P1 → Pd
dada por
vd : (x0, x1) 7→ (x0d, x0d−1x1, . . . , x1d).
Assim, em todo o texto, uma curva racional normal C de grau d será
vista como a imagem da aplicação vd : P1 → Pd definida por vd((x0, x1)) =
(x0d, x0
d−1x1, . . ., x1d) = (z0, z1, . . ., zd).
Afirmação 1.19 A curva C é o lugar dos zeros comuns dos polinômios
Fi,j(z) = zizj − zi−1zj+1 para 1 ≤ i ≤ j ≤ d− 1.
Demonstração: Já sabemos que vd(P1) ⊂ V (Fi,j). Vejamos que V (Fi,j) ⊂
vd(P1). Seja p = (z0, z1, . . . , zd). Sem perda de generalidade, suponha z0 = 1.
Por F1,1 temos z2 = z12, por F1,2 temos z3 = z1z2 = z1
3 e de maneira geral
por F1,j temos que zj+1 = z1j+1. Assim p = (1, z1, z1
2, . . . , z1d).
7
Exemplo 1.20 Para d = 4 temos a quártica racional normal dada por
v4 : (x0, x1) 7→ (x04, x03x1, x02x12, x0x13, x14) = (z0, z1, z2, z3, z4).
e que também pode ser vista como os zeros comuns de
F0 = z0z2 − z12
F1 = z0z3 − z1z2F2 = z0z4 − z1z3F3 = z1z3 − z22
F4 = z1z4 − z2z3F5 = z2z4 − z32
Observação 1.21 Notemos que d+1 pontos de uma curva racional normal
são linearmente independentes. De fato, supondo, por exemplo, x0 6= 0 amatriz M(d+1)×(d+1) formada pelas coordenadas de d + 1 pontos sobre C é
uma matriz de Van Der Monde e sabemos que o determinannte da matriz de
Van Der Monde só se anula se duas linhas coincidirem.
Para d = 4, supondo x0 6= 0 temos que a matriz onde cada linha é compostapelas coordenadas C é da forma
1 a1 a1
2 a13 a1
4
1 b1 b12 b1
3 b14
1 c1 c12 c1
3 c14
1 d1 d12 d1
3 d14
1 e1 e12 e1
3 e14
Assim d + 1 pontos numa curva racional normal de grau d determinam o
espaço Pd.
8
1.4 Variedades
Variedade de Veronese A construção da curva racional normal também
pode ser generalizada. Para cada n e d podemos definir a aplicação de
Veronese de grau d
vd : Pn → PN
dada por
vd(x0, x1, . . . , xn) = (. . . , xI , . . .)
onde xI percorre todos os monômios de grau d em x0, x1, . . . , xn. A imagem
da aplicação de Veronese é chamada Variedade de Veronese.
É fácil ver que N =
(n+ dd
)− 1
Exemplo 1.22 Considere d = n = 2, temos que
v2 : P2 → P5
é dada por
vd(x0, x1, x2) = (x02, x0x1, x0x2, x1
2, x1x2, x22)
A imagem desta aplicação é chamada de superf́ıcie de Veronese.
Exemplo 1.23 O P5 das cônicas Sabemos que uma cônica C em P2 é dadapela equação
a0x02 + a1x0x1 + a2x2
2 + a3x0x2 + a4x12 + a5x1x2 = 0.
9
Sabemos também que se bi é tal que bi = λai para i = 0, 1, . . . , 5 então a
cônica C ′ definida por b0x02 + b1x0x1 + b2x2
2 + b3x0x2 + b4x12 + b5x1x2 = 0
é a mesma cônica C (como conjunto de pontos de P2). Assim podemos con-
siderar o conjunto das cônicas de P2 constituindo um espaço projetivo de
dimensão 5, dado pelos pontos (a0, a1, a2, a3, a4, a5) o qual será chamado de
P5 das cônicas.
De maneira completamente análoga, considere uma cúbica C em P2 dadapela equação
a0x03 + a1x0
2x1 + a2x02x2 + a3x0x1
2 + a4x0x1x2 + a5x0x22 + a6x1
3 +
a7x12x2 + a8x1x2
2 + a9x23 = 0
Podemos considerar o conjunto da cúbicas planas formando um espaço pro-
jetivo de dimensão 9, dado pelos pontos (a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9) que
chamaremos de P9 das cúbicas.
De modo geral, o conjunto das curvas planas de grau n pode ser associado
a Pr, onde r = 12(n+ 1)(n+ 2)− 1.
Variedade de Segre Outra famı́lia muito importante de aplicações são
as chamadas aplicações de Segre
σ : Pn × Pm → P(n+1)(m+1)−1
definida associando a cada par ((x), (y)) ∈ Pn×Pm o ponto em P(n+1)(m+1)−1
cujas coordenadas são os produtos dois a dois das coordenadas de (x) e (y),
isto é,
σ : ((x0, x1, . . . , xn), (y0, y1, . . . , ym)) 7→ (. . . , xiyj, . . .)
10
A imagem desta aplicação é uma variedade chamada de Variedade de
Segre e será denotada por Σn,m.
Exemplo 1.24 Nosso primeiro exemplo de variedade de Segre é a variedade
Σ1,1 ⊂ P3, isto é, a imagem da aplicação σ : P1 × P1 → P3 onde
σ : ((x0, x1), (y0, y1)) = (x0y0, x0y1, x1y0, x1y1) = (z0, z1, z2, z3)
Notemos que Σ1,1 é o lugar dos zeros do polinômio z0z3−z1z2, ou seja, é uma
superf́ıcie quádrica.
Exemplo 1.25 Outro exemplo de variedade de Segre é a imagem da apli-
cação σ : P2 × P1 dada por
σ : ((x0, x1, x2), (y0, y1)) = (x0y0, x0y1, x1y0, x1y1, x2y0, x2y1) =
(z0, z1, z2, z3, z4, z5)
denotada por Σ2,1 = σ(P2 × P1) ⊂ P5 e conhecida como variedade de Segre
de dimensão três. Observemos que Σ2,1 é o lugar dos zeros dos polinômios
G1 = z0z3 − z1z2G2 = z0z5 − z1z4G3 = z3z4 − z2z5.
1.5 Espaço Tangente
1.5.1 Espaço Tangente Afim
Suponha que X ⊂ An é uma variedade afim de dimensão k com I(X) =
(f1, f2, . . . , fl). Seja M a matriz l×n com entradas mi,j = ∂fi∂xj , onde 1 ≤ i ≤ l
e 1 ≤ j ≤ n.
11
Definição 1.26 Um ponto p ∈ X é dito suave (ou não singular) em X seo posto da matriz M avaliada em p é exatamente n− k. Um ponto p ∈ X échamado singular se o posto da matriz M avaliada em p é menor que n− k.
Podemos ver a matriz M avaliada em p como uma transformação linear de
An para Al e com isto fazer a seguinte definição.
Definição 1.27 Seja X uma variedade afim. Se p ∈ X é suave definimos oespaço tangente a X em p, denotado por Tp(X), como o núcleo da matriz M
avaliada em p.
1.5.2 Espaço Tangente Projetivo
Definição 1.28 Seja X ⊂ Pn uma variedade projetiva . Para cada p ∈ Xo espaço tangente projetivo, que será denotado por Tp(X) é definido como o
fecho projetivo de Tp(X∩U) onde U ∼= An ⊂ Pn é um aberto afim contendo p.
Podemos descrever Tp(X) de uma maneira mais direta.
Suponha que X ⊂ Pn é uma hipersuperf́ıcie dada pelo polinômio homogêneoF (Z). Sejam U ∼= An o aberto afim Z0 6= 0 com coordenadas euclidianas
zi =ZiZ0
e f(z1, z2, . . . , zn) = F (1, z1, z2, . . . , zn) tal que X ∩ U é o lugar dos
zeros de f . Para p ∈ X com coordenadas (w1, w2, . . . , wn) o espaço tangente
afim é dado como o lugar {(z1, z2, . . . , zn) ∈ An :n∑i=1
∂f
∂zi(p)(zi − wi) = 0}.
Pela definição, o espaço tangente projetivo é dado como o lugar Tp(X) =
{(Z0, Z1, . . . , Zn) ∈ Pn :n∑i=1
∂F
∂Zi(1, w1, w2, . . . , wn)(Zi − wiZ0) = 0}.
Mas as derivadas parciais de um polinômio homogêneo de grau d satisfazem a
12
relação de Eulern∑i=0
∂F
∂ZiZi = dF e temos que F (1, w1, w2, . . . , wn) = 0 então
Tp(X) = {(Z0, Z1, . . . , Zn) ∈ Pn :n∑i=0
∂F
∂Zi(p)Zi = 0}.
Uma vez descrito o espaço tangente de uma hipersuperf́ıcie, podemos de-
screver o espaço tangente projetivo de uma variedade arbitráriaX ⊂ Pn comoa interseção dos espaços tangentes projetivos de todas as hipersuperf́ıcies con-
tendo X.
Em particular, se I(X) = (F1, F2, . . . , Fm) então o espaço tangente projetivo
de X,Tp(X), será o subespaço de Pn dado pelo núcleo da matriz M , avaliada
em p, com entradas mi,j =∂Fi∂Zj
, onde 1 ≤ i ≤ l e 1 ≤ j ≤ n, vista como uma
transformação de Kn+1 para Kn.
Definição 1.29 Sejam X e Y ⊂ Pn duas variedades projetivas e p ∈ X ∩Y .Dizemos que X e Y tem interseção transversal em p se p ∈ X é suave, p ∈ Yé suave e os espaços tangentes projetivos Tp(X) e Tp(Y ) geram Tp(Pn).
Definição 1.30 Suponha que X e Y ⊂ Pn são duas variedades projetivas.Dizemos que X e Y tem interseção genericamente transversal se a interseção
é transversal para um ponto genérico p ∈ X ∩ Y
1.6 Explosão
Considere dois espaços projetivos Pn com coordenadas x0, x1, . . . , xn e Pn−1
com coordenadas y0, y1, . . . , yn−1. Para pontos x = (x0, x1, . . . , xn) ∈ Pn e
y = (y0, y1, . . . , yn−1) ∈ Pn−1 denotamos o ponto (x, y) ∈ Pn × Pn−1 por
(x0, x1, . . . , xn; y0, y1, . . . , yn−1).
13
Considere a variedade Π em Pn × Pn−1 definida pelas equações
xiyj = xjyi para i, j = 0, . . . , n− 1
Definição 1.31 O mapa σ : Π → Pn definido pela restrição da projeçãona primeira coordenada a Π é chamada explosão de Pn com centro em ξ =
(0, 0, . . . , 1) ∈ Pn.
Vejamos algumas propriedades da explosão.
Proposição 1.32 A explosão de Pn com centro em ξ é um isomorfismo entre
Pn \ ξ e Π \ (ξ × Pn−1)
Demonstração: Se p = (x0, x1, . . . , xn) 6= ξ então as equações de definição
de Π implicam que (y0, y1, . . . , yn−1) = (x0, x1, . . . , xn−1). Então o mapa
σ−1 : Pn \ ξ → Π definido por
σ−1(x0, x1 . . . , xn) = (x0, x1 . . . , xn;x0, x1 . . . , xn−1)
é a inversa de σ.
Se p = (x0, x1, . . . , xn) = ξ então as equações de definição de Π são satisfeitas
para todo valor de yi. Logo σ−1(ξ) = ξ × Pn−1.
Dessa forma σ define um isomorfismo entre Pn \ ξ e Π \ (ξ × Pn−1).
Lema 1.33 A variedade Π é irredut́ıvel.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [6], caṕıtulo
2, seção 4.
14
Exemplo 1.34 Vamos explodir P2 com centro em (0, 0, 1), ou seja, con-
sidere x = (x0, x1, x2) ∈ P2 e y = (y0, y1) ∈ P1. Em P2 × P1 com pon-
tos da forma (x0, x1, x2; y0, y1). Seja a variedade Π definida pela equação
x0y1 = x2y0. Considere as aplicações σ : Π ⊂ P2 × P1 → P2 definida pela
restrição da projeção à primeira coordenada de P2 × P1 → P2 a Π e também
σ−1 : P2 \ ξ → Π definida por σ−1(x0, x1, x2) = (x0, x1, x2;x0, x1). Dessa
forma temos um isomorfismo entre P2 \ (0, 0, 1) e Π \ ((0, 0, 1)× P1).
1.7 Projeção
Sejam o hiperplano Pn−1 ⊂ Pn e um ponto p ∈ Pn \ Pn−1. Podemos definir aaplicação
πp : Pn \ {p} → Pn−1
dada por
πp : q 7→ qp ∩ Pn−1
isto é, mandando um ponto q ∈ Pn com q 6= p no ponto de interseção da reta
pq com o hiperplano Pn−1. A reta pq é chamada reta projetante.
Definição 1.35 Mantendo as notações anteriores, temos que a aplicação πp
é chamada de projeção a partir de p para o hiperplano Pn−1.
Em coordenadas, suponha que p é um ponto de Pn da forma p = (0, 0, . . . , 1)
e que Pn−1 é o hiperplano xn = 0. Então a aplicação πp assume a forma:
πp(z0, z1, . . . , zn) = (z0, z1, . . . , zn−1)
15
Suponha que X é uma variedade em Pn não contendo o ponto p. Podemosrestringir a aplicação πp a variedade X e ter uma aplicação regular πp : X →
Pn−1. A imagem X = πp(X) desta aplicação é chamada de projeção de X a
partir de p para Pn−1.
Teorema 1.36 A projeção X de uma variedade projetiva X a partir de p
para Pn−1 é também uma variedade projetiva.
Demonstração: A demonstração pode ser encontrada em [2], caṕıtulo
3.
A noção de projeção a partir de um ponto pode ser generalizada. Se
Λ ∼= Pk é um subespaço e Pn−k−1 é um subespaço complementar a Λ podemosdefinir a aplicação
πΛ : Pn \ Λ → Pn−k−1
mandando um ponto q ∈ Pn \ Λ na interseção de Pn−k−1 com o (k +
1)−plano q,Λ (chamado de projetante).Novamente, para uma variedade X ⊂ Pn disjunta de Λ podemos restringira aplicação πΛ a variedade X e obter uma aplicação regular cuja imagem é
chamada de projeção de X a partir de Λ para Pn−k−1.A projeção a partir de Λ pode ser vista como a composição de uma sequência
de projeções a partir de p0, . . . , pk gerando Λ. Logo o Teorema 1.36 nos
garante que a projeção da variedade X a partir de Λ para Pn−k−1 também éuma variedade projetiva.
Seja X ⊂ Pn uma variedade. Podemos, de maneira análoga, projetar Xa partir de um ponto p ∈ X. Observe que a projeção, neste caso, não ficadefinida para o ponto p ∈ X. Vejamos um exemplo.
16
Exemplo 1.37 Seja C ⊂ P3 a cúbica reversa. Sabemos que C é imagem da
aplicação v : P1 → P3 dada por v : (x0, x1)=(x03, x02x1, x0x12, x13). Vamos
projetar C a partir do ponto p = (0, 0, 0, 1) ∈ C. A projeção πp : P3 → P2
fica assim definida πp(z0, z1, z2, z3) = (z0, z1, z2). Se restringirmos πp a C\{p}
temos πp(C \ {p}) = (x03, x02x1, x0x12) = x0(x02, x0x1, x12) que é a cônica
em P2.
De maneira geral, suponhamos que X ⊂ Pn é uma variedade de grau d e
dimensão k e que p /∈ X. Seja X = πp(X) ⊂ Pn−1 a projeção de X a partir
de p. Como os hiperplanos no espaço tangente de Pn−1 correspondem aoshiperplanos em Pn passando por p então uma k-upla de hiperplanos genéricos
Hi ⊂ Pn−1 vem de uma k-upla de hiperplanos Hi em Pn passando por pque interceptam X em exatamente d pontos pi com i = 1, 2, . . . , d. Logo a
interseção de X com os hiperplanos Hi será a imagem pi = πp(pi) ∈ Pn−1 e
portanto o grau de X será menor ou igual a d.
Novamente suponhamos que X ⊂ Pn é uma variedade de grau d e dimensão
k . Seja X = πp(X) ⊂ Pn−1 a projeção de X a partir de p, com p ∈
X. A mesma argumentação anterior continua válida, ou seja, os pontos de
interseção deX com os hiperplanosHi correspondem aos pontos de interseção
de X com os hiperplanos Hi exceto pelo ponto p. Então o grau de X é menor
ou igual a d− 1.
17
Caṕıtulo 2
Rolos Racionais Normais
2.1 Construção Sintética
Sejam k e l dois inteiros positivos com k ≤ l. Sejam Λ e Λ′ subespaços
lineares complementares de dimensões k e l respectivamente em Pk+l+1 (isto
é, Λ e Λ′ são disjuntos e geram Pk+l+1). Escolha curvas racionais normais
C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja Sk,l a união das retas
p, ϕ(p) ligando pontos p de C aos pontos correspondentes ϕ(p) de C ′.
Sk,l é chamado um rolo racional normal. As retas p, ϕ(p) são chamadas retas
da regra de Sk,l ⊂ Pk+l+1.
Exemplo 2.1 Consideremos Λ = P1 e Λ′ = P2 contidos em P4. Escolha
um isomorfismo ϕ entre uma reta C ⊂ Λ e uma cônica C ′ ⊂ Λ′. Para cada
p ∈ C, considere a reta p, ϕ(p). Dessa forma temos S1,2 = {⋃p∈C
p, ϕ(p)} ⊂ P4.
18
Λ = P1
C
C ′
Λ′ = P2
Exemplo 2.2 Também podemos considerar Λ = P1 e Λ′ = P3. Escolha um
isomorfismo entre uma reta C ⊂ Λ e uma cúbica reversa C ′ ⊂ Λ′. Para
cada p ∈ C, considere a reta p, ϕ(p). Temos assim S1,3 = {⋃p∈C
p, ϕ(p)} ⊂ P5.
Λ′ = P3
C ′
Λ = P1
C
Exemplo 2.3 Consideremos Λ = P2 e Λ′ = P2. Escolha um isomorfismo en-
19
tre as cônicas C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′. Dessa forma temos S2,2 ⊂ P5.
Λ = P2
C
C ′
Λ′ = P2
Exemplo 2.4 Também podemos considerar Λ = P2 e Λ′ = P3. Escolha um
isomorfismo entre uma cônica C ⊂ Λ e uma cúbica reversa C ′ ⊂ Λ′ .Assimtemos S2,3 ⊂ P6.
Λ′ = P3
C ′
Λ = P2
C
Vamos agora estudar as principais propriedades dos rolos racionais nor-
mais.
20
2.2 Grau e dimensão do rolo racional normal
Mostraremos nesta seção que dim(Sk,l) = 2 e que o grau de Sk,l é k + l.
Lema 2.5 Seja Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a partir
de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l respectiva-
mente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e de umisomorfismo ϕ : C → C ′. Então Sk,l é irredut́ıvel.
Demonstração: Considere a projeção Π : Sk,l → C definida da seguinte
forma: para todo p ∈ Sk,l temos que p ∈ q, ϕ(q) para algum q ∈ C. Defina
Π(p) = q. Assim a fibra Π−1(q) é a reta q, ϕ(q) para todo q ∈ C. Logo todasas fibras têm a mesma dimensão, neste caso dimensão 1. Pelo corolário do
teorema da dimensão das fibras (ver 1.13), Sk,l é irredut́ıvel.
Teorema 2.6 Mantendo a notação do lema anterior, considere Sk,l ⊂ Pk+l+1.
Temos que dim(Sk,l) = 2.
Demonstração: Seja Π a projeção do lema anterior. Já sabemos que Sk,l
é irredut́ıvel e que todas as fibras têm a mesma dimensão, neste caso dimensão
1. Então, pelo teorema da dimensão das fibras (ver 1.12), dim(Sk,l) = dim
C + 1 e como dim C = 1 logo dim(Sk,l) = 1 + 1 = 2.
Para calcular o grau do rolo S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 faremos a interseção de S
com um hiperplano particular H gerado por Λ e por Λ0 onde Λ é o subespaço
de dimensão k que aparece na construção de S e Λ0 é um hiperplano genérico
em Λ′ (Λ′ é o subespaço de dimensão l que aparece na construção de S).
Temos que dim(S) = 2 e dim(H) = k+ l logo dim(S) + dim(H) = k+ l+ 2
> k + l + 1. Assim, pelo Teorema 1.15, temos que grau(S) = grau(S ∩H)
21
desde que essa interseção seja transversal. Para calcular grau(S∩H) vejamos
que Λ0 ∩S consiste de l pontos (já que C ′ ⊂ Λ′ é uma curva racional normal
de grau l) e Λ ∩ S = C. Assim H ∩ S = C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl onde r1, . . . , rlsão retas de S. Logo grau(S ∩ H) = grau(C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl) = k + l. Paraver que essa interseção é transversal, seja p ∈ H ∩ S. Sabemos que o espaçotangente projetivo do hiperplano H é o próprio H, isto é, Tp(H) = H.
Temos também que Tp(S) é um plano, não contido em H. Logo Tp(H) e
Tp(S) geram Tp(Pk+l+1) = Pk+l+1 e a interseção é transversal.
Exemplo 2.7 O rolo S1,2 ⊂ P4 tem grau 1 + 2 = 3. Já o rolo S1,3 ⊂ P5 temgrau 1 + 3 = 4.
2.3 Outras propriedades
Exemplo 2.8 Consideremos S1,2 ⊂ P4. Vamos utilizar a notação do Exem-
plo 2.1. Temos que duas retas da regra de S1,2 são independentes (geram
P3). Já três retas da regra são dependentes e geram P4. De fato, sejam r e
s duas retas da regra de S1,2 ⊂ P4, com r ∩ C = p1, s ∩ C = p2, r ∩ C ′ = p3e s ∩ C ′ = p4.
p1
p2
p3
p4
r
s
CC ′
Λ′
Suponha, por absurdo, que as duas retas r e s se interceptam. Seja α o
plano gerado por elas. Temos que p3p4 ⊂ Λ′ . Mas em α temos que p1p2 e
22
p3p4 se interceptam logo Λ e Λ′ se interceptam. Absurdo. Logo duas retas
da regra de S1,2 geram P3.
Vejamos agora que três retas da regra geram P4. Basta observar que umaterceira reta da regra de S1,2 intercepta a curva C em um ponto que pertence
ao P3 gerado pelas duas retas da regra, mas intercepta C ′ num ponto que
não pertence ao supracitado P3.
Exemplo 2.9 Observemos S = S1,3 ⊂ P5, onde vamos manter a notação
do Exemplo 2.2. Três retas da regra são dependentes, ou seja, geram exata-
mente P4 e não P5. De fato, já vimos anteriormente que duas retas da regra
de S geram P3. Seja t uma terceira reta da regra de S, diferente de r e s.
Observemos que t intercepta o P3 gerado por r e s, pois Λ está contido neste
P3 e t intercepta Λ. Logo três retas da regra de S geram P4 e não P5.
De maneira geral, temos o seguinte resultado:
Lema 2.10 Seja Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a partir
de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l respecti-
vamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e deum isomorfismo ϕ : C → C ′. Para k < l temos que k + 1 retas da regra
de S são independentes, isto é geram P2k+1 e k + 2 retas da regra de S são
dependentes, isto é geram exatamente P2k+2. Em outras palavras, k + 1 é omaior número de retas da regra de S independentes.
Demonstração: Seja S = Sk,l. Primeiro vejamos que duas retas da regra
de S são disjuntas. Suponhamos, por absurdo, que as retas r e s da regra de
S se interceptam. Considere o P2 gerado por r e s e os pontos p1 = r ∩ C,p2 = s∩C, p3 = r∩C ′ e p4 = s∩C ′. Assim as retas p1p2 ⊂ Λ e p3p4 ⊂ Λ′. As
23
retas p1p2 e p3p4 ⊂ P2 e portanto se interceptam. Logo Λ e Λ′ se interceptam.Absurdo.
Suponha, por indução, que n retas da regra de S geram P2n−1, com n ≤ k.
Queremos mostrar que n+ 1 retas da regra de S geram P2n+1.
Para isso, suponha, por absurdo, que n + 1 retas da regra de S geram P2n.
Um subespaço de Λ de dimensão n está contido neste P2n e um subespaço
V ⊂ Λ′ também de dimensão n está contido neste P2n. Pela Observação1.11, V e Λ se interceptam e logo Λ e Λ′ se interceptam. Absurdo, pois isto
contraria a construção de S. Portanto n+1 retas da regra de S geram P2n+1.
Notemos que Λ ⊂ P2k+1 logo a k + 2-ésima reta da regra de S intercepta
P2k+1 então k + 2 retas da regra de S geram exatamente P2k+2.
Exemplo 2.11 Consideremos S = S2,2 ⊂ P5. Então três retas da regra de
S2,2 são independentes (geram P5).
Exemplo 2.12 Seja S = S2,4 ⊂ P7. Segue do lema anterior que três retas
da regra de S geram P5 e que quatro retas da regra de S geram P6 e não P7.
Proposição 2.13 Os rolos Sk,l ⊂ Pk+l+1 e Sk′,l′ ⊂ Pk′+l′+1 com k + l + 1 =
k′ + l′ + 1 são projetivamente equivalentes se, e somente se, k = k′
Demonstração: Suponha que S = Sk,l e S′ = Sk′,l′ são projetivamente
equivalentes e k > k′. Consideremos k + 1 retas da regra de S . Sabemos,
pelo Lema 2.10, que estas retas são independentes e como transformação
projetiva leva reta em reta e preserva independência temos que a imagem
dessas retas são independentes em S ′. Também temos, pelo Lema 2.10,
que o maior número de retas independentes em S ′ é k′ + 1. Mas estamos
24
conseguindo em S ′, k + 1 > k′ + 1 retas da regra independentes. Absurdo.
Logo k não pode ser maior que k′.
De maneira inteiramente análoga não podemos ter k′ maior que k. Portanto
k = k′.
Suponha que k = k′. Logo l = l′ pois k + l + 1 = k′ + l′ + 1. Relembremos
a construção do rolo : sejam Λ e Γ subespaços lineares complementares de
dimensões k e l respectivamente em Pk+l+1 e sejam C ⊂ Λ e E ⊂ Γ ascurvas racionais normais que aparecem na construção de S. Sejam, também
C ′ ⊂ Λ′ e E ′ ⊂ Γ′ as curvas racionais normais da construção de S ′. Sabemosque existe uma transformação projetiva TC : Λ → Λ′ que leva C em C ′ etambém uma transformação projetiva TE : Γ → Γ′ que leva E em E ′. MasPn é gerado por Λ e Γ (ou Λ′ e Γ′). Logo as transformações TC e TE se
estendem a uma transformação T : Pk+l+1 → Pk+l+1. Assim T leva C em C ′,E em E ′ e retas da regra de S em retas da regra de S ′. Portanto S e S ′ são
projetivamente equivalentes.
Exemplo 2.14 Consideremos os rolos S1,3 ⊂ P5 e S2,2 ⊂ P5. De acordo com
a proposição anterior eles não são projetivamente equivalentes.
A proposição anterior nos diz que num dado espaço Pn os diferentes tiposde rolos racionais normais contidos neste espaço ficam completamente deter-
minados pelo número k que é o grau da curva C que figura na construção
do rolo. Desta forma, excluindo a possibilidade de k ser zero, temos num
dado Pk+l+1, quantos tipos de rolos racionais normais diferentes, ou seja, nãoprojetivamente equivalentes entre si ? A resposta depende da soma k+ l. Se
k + l for par temos, em Pk+l+1, k+l2
tipos de rolos. Se k + l for ı́mpar temos
k+l−12
tipos de rolos diferentes em Pk+l+1.
25
Exemplo 2.15 Em P4 temos apenas um tipo de rolo racional normal, o S1,2
pois 1+2−12
= 1. Já em P5 existem dois tipos de rolos racionais normais, o
S1,3 e o S2,2 visto que42
= 2. Agora em P6 também temos apenas dois tipos
de rolos racionais normais, a saber o S1,4 e o S2,3 pois5−12
= 2.
Lema 2.16 Seja Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a partir
de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l respectiva-
mente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e de umisomorfismo ϕ : C → C ′. No caso k < l temos que l retas r1, r2, . . ., rl da
regra do rolo S = Sk,l geram um hiperplano H ⊂ Pk+l+1 e que H ∩ S =l⋃
i=1
ri ∪ C.
Demonstração: Seja p = l − k. Sabemos pelo Lema 2.10 que k + 2 retas
da regra de S geram P2k+2. Assim k + 3 retas geram P2k+3 e pelo mesmo
racioćınio conclúımos que l = k + p retas geram P2k+p=k+l. Logo l retas daregra de S geram um hiperplano H.
Como p ≥ 1 temos que C ⊂ H pois C ⊂ Λ ⊂ H já que Λ fica determinado pork+ 1 pontos em posição geral (neste caso sobre uma curva racional normal).
Como ri ⊂ H por construção, temos (C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl) ⊂ (H ∩ S). Como
grau(H ∩ S) = k + l e grau(C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl) = grau(C) + l = k + l temosH ∩ S = C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl
Proposição 2.17 Seja Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a
partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l res-
pectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ ede um isomorfismo ϕ : C → C ′. Suponha k < l. No rolo S = Sk,l a curva
26
racional normal C ⊂ S é a única curva racional normal de grau menor quel em S, além, é claro, das retas da regra de S que têm grau 1.
Demonstração: Seja D uma curva racional normal em S tal que D não
é uma reta da regra de S. Consideremos {p1, . . . , pl} pontos distintos sobreD e tomemos ri com i = 1, . . . , l retas da regra de S que passam por pi
(isso é posśıvel já que todo ponto de S está em alguma reta da regra e essas
retas são distintas, pois caso contrário D seria uma reta). Consideremos o
subespaço Λ′′ gerado por {p1, . . . , pl} e o hiperplano H gerado por r1, . . . , rl.Temos, pelo Lema 2.16 e por construção que H ∩ S = D ∪C ∪ r1 ∪ · · · ∪ rl etomando os graus temos k + l = grau(D ∪ C) + l. Portanto D = C.
Definição 2.18 A curva C da proposição anterior, isto é, a curva C de grau
k que aparece na construção do rolo, é chamada de diretriz do rolo S.
Exemplo 2.19 Temos então que em S1,2 ⊂ P4 e em S1,3 ⊂ P5 a diretriz é
uma reta. Já em S2,3 ⊂ P6 a diretriz é uma cônica.
Definição 2.20 Uma curva racional normal de grau l sobre o rolo S = Sk,l
que está num subespaço linear Pl complementar ao espaço da diretriz e queintercepta cada reta da regra de S uma única vez é chamada uma secção
complementar de S.
Lema 2.21 Sejam S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo
a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l
respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′
e de um isomorfismo ϕ : C → C ′ e D uma secção complementar de S.Considere o rolo racional normal S ′ constrúıdo utilizando as curvas C e D.
Então S = S ′. Em outras palavras, qualquer secção complementar pode fazer
o papel de C ′ na construção do rolo.
27
Demonstração: Notemos que dado S ′ precisamos apenas mostrar que
C ′ ⊂ S ′. Agora pela construção temos que a cada ponto q de D existe umponto p de C ′ associado. Temos que p ∈ S ′ pois p está justamente na retada regra de S ′ que passa por q. Logo C ⊂ S ′ e portanto S = S ′
Observação 2.22 No caso k = l qualquer curva racional C de grau l encon-
trando cada reta da regra uma única vez pode ser chamada de secção com-
plementar de S. E usando o lema anterior podemos concluir que qualquer
duas secções complementares que estejam em subespaços complementares de
Pk+l+1 podem fazer o papel de C e C ′ na construção do rolo S.
Já vimos que um hiperplano H ⊂ Pk+l+1 contendo k + 1 ou mais retasda regra de S intercepta S na união das retas da regra com a diretriz C.
Já a intersecção de S com um hiperplano contendo k retas da regra de S
intercepta S na união das dadas k retas com uma secção complementar de
S. De fato, sabemos a intersecção de um hiperplano com S é uma curva de
grau k + l. Se o hiperplano já contém k retas da regra, falta uma curva de
grau l e pela Proposição 2.17 esta só pode ser uma secção complementar.
Lema 2.23 Seja S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo a
partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l res-
pectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ ede um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja C a diretriz de S. Então todo pontode S que não está na diretriz está em alguma secção complementar de S
Demonstração: Seja p ∈ S e p /∈ C. Temos que p ∈ r onde r é uma retada regra de S. Escolha k retas da regra de S diferentes de r, de modo que
um hiperplano H que contém as k retas contenha p. Como H ∩ S é uniãodas dadas k retas com uma secção complementar de S e p não pertence as
retas então p está numa secção complementar de S.
28
Proposição 2.24 Seja S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 o rolo racional normal constrúıdo
a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l
respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′ e
de um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja S = πp(S) a imagem da projeção Sk,la partir de p. Temos que:
i) se p está na diretriz de S então S é projetivamente equivalente a Sk−1,l ⊂
Pk+l
ii)se p não pertence a diretriz de S então S é projetivamente equivalente a
Sk,l−1 ⊂ Pk+l.
Demonstração: Já sabemos que a projeção de uma curva racional normal
C de Pn é uma curva racional normal em Pn−1 quando projetada a partir de
um ponto p ∈ C (ver Exemplo 1.37). Assim
i) se p está na diretriz C, a curva racional normal de grau k contida no subes-
paço de dimensão k, a projeção a partir de p leva C numa curva de grau k−1
e obtemos Sk−1,l ⊂ Pk+l, pois C ′ é projetada numa curva de mesmo grau.
ii)se p não pertence a diretriz de S então p pertence a alguma secção comple-
mentar de S, uma curva racional normal de grau l que está num subespaço
Pl complementar ao espaço da diretriz e que pode fazer o papel de C ′ na
construção do rolo. Logo a projeção a partir de p leva C ′ numa curva de
grau l−1 e obtemos Sk,l−1 ⊂ Pk+l, pois C é projetada numa curva de mesmograu.
29
Caṕıtulo 3
Rolos Racionais Normais eVariedades Determinantais
Veremos agora outra importante classe de variedades cujas equações são os
de menores de uma matriz. Estas variedades, chamadas variedades deter-
minantais, fornecem uma maneira alternativa, mais algébrica, de estudar os
rolos racionais normais.
Definição 3.1 Seja M o espaço projetivo Pmn−1 associado ao espaço veto-rial das matrizes m×n. Para cada d, seja Md ⊂M o subespaço das matrizesde posto menor ou igual a d.
Como Md é exatamente o lugar dos zeros comuns dos determinantes de
menores (d+1)×(d+1) (que são polinômios homogêneos de grau (d+1)sobre
M) temos que Md é uma variedade projetiva e é chamada variedade deter-
minantal genérica.
Vejamos alguns exemplos.
Consideremos d = 1. A variedade determinantal M1 ⊂ M = Pmn−1 é avariedade de Segre, imagem da aplicação
σ : Pn × Pm → P(n+1)(m+1)−1
30
Exemplo 3.2 Podemos representar Σ1,1 = σ(P1 × P1) ⊂ P3 como
Σ1,1 =
{[z] =
∣∣∣∣ z0 z1z2 z3∣∣∣∣ = 0}
F = z0z3 − z1z2
Exemplo 3.3 Analogamente, a variedade de Segre de dimensão três que é
Σ2,1 = σ(P2 × P1) ⊂ P5 pode ser realizada como
Σ2,1 =
{[z] : posto
(z0 z1 z2z3 z4 z5
)≤ 1
}
As curvas racionais normais também são variedades determinantais. Lem-
bremos que uma curva racional normal C ⊂ Pn é dada como a imagem da
aplicação de Veronese vn : P1 → Pn que manda (x, y) ∈ P1 para (xn, xn−1y,
. . .,yn) ∈ Pn. C pode ser realizada como a variedade determinantal de posto1 associada a matriz
(z0 z1 . . . zn−1z1 z2 . . . zn
)
Exemplo 3.4 Para n = 3 temos a cúbica reversa e suas equações de definição
são dadas pelas determinantes 2× 2 da matriz(z0 z1 z2z1 z2 z3
)F0,1 = z0z2 − z12
F0,2 = z0z3 − z1z2F0,3 = z1z3 − z22
Observemos que as equações são as mesmas que figuram no Exemplo 1.16
31
Vejamos o rolo racional normal como variedade determinantal
Teorema 3.5 Sejam k e l inteiros positivos com k ≤ l. Então a variedadedeterminantal linear
Ψ =
{[z] : posto
(z0 . . . zk−1 zk+1 . . . zk+lz1 . . . zk zk+2 . . . zk+l+1
)≤ 1
}é o rolo racional
normal Sk,l ⊂ Pk+l+1
Antes da demonstração, vejamos um exemplo.
Exemplo 3.6 Consideremos l = 2 e k = 1. Temos que S1,2 ⊂ P4 é dado por
Ψ =
{[z] : posto
(z0 z2 z3z1 z3 z4
)≤ 1
}cujas equações são
F0,2 = z0z3 − z1z2F0,3 = z0z4 − z1z3F2,3 = z2z4 − z32
Observemos que C ⊂ Λ = P1 definido por V (z2, z3, z4) satisfaz F0,2, F0,3 e
F2,3 e C′ ⊂ Λ′ = P2 dado por V (z0, z1, F2,3) também satisfaz F0,2, F0,3 e F2,3.
Para p ∈ C com p = (z0, z1, 0, 0, 0) temos que a imagem de p pelo isomor-
fismo ϕ entre C e C ′ é ϕ(p) = (0, 0, z02, z0z1, z1
2) ∈ C ′. A reta p, ϕ(p) é
dada por t(z0, z1, 0, 0, 0) + u(0, 0 ,z02, z0z1, z1
2) = (tz0,tz1, uz02, uz0z1,
uz12) e satisfaz F0,2, F0,3 e F2,3 para todo (t, u) ∈ P1. Mostramos assim que
S1,2 ⊂ Ψ. Resta ver que Ψ ⊂ S1,2.
32
Seja p = (a0, a1, a2, a3, a4) ∈ P4 tal que p satisfaz F0,2, F0,3, F2,3.
Se p for da forma p = (0, 0, a2, a3, a4) por satisfazer F2,3 temos que p pertence
a cônica e portanto p ∈ S1,2. Se p for da forma p = (a0, a1, 0, 0, 0) então ppertence a reta.
Agora se p não for de nenhuma dessas formas precisamos mostrar que p per-
tence a alguma reta da regra de S1,2. Já vimos que uma reta da regra de S1,2 é
dada por (tz0, tz1, uz02, uz0z1, uz1
2). Podemos supor, sem perda de generali-
dade, a0 = 1 temos (1, a1, a2, a1a2, a12a2) = (1, a1, a2, a3, a4), pois como p sat-
isfaz F0,2 temos a3 = a1a2 e como satisfaz F0,3 temos que a4 = a1a3 = a12a2.
Segue que p está na reta acima fazendo z0 = 1, z1 = a1, t = 1 e u = a2.
Demonstração do Teorema 3.5: Basta ver que uma variedade do
tipo Ψ satisfaz a construção sintética do rolo. Seja Λ = Pk dado por
Λ = V (zk+1, zk+2, . . . , zk+l+1). Desta forma a variedade determinantal em
questão se resume a
C =
{[z] : posto
(z0 . . . zk−1z1 . . . zk
)≤ 1
}que é uma curva racional normal
de grau k (ver comentário anterior ao Exemplo 3.4).
Analogamente seja Λ′ = Pl dado por Λ′ = V (z0, z1, . . . , zk). Assim a var-
iedade é
C ′ =
{[z] : posto
(zk+1 . . . zk+lzk+2 . . . zk+l+1
)≤ 1
}que é uma curva racional nor-
mal de grau l.
Já temos C e C ′. Considere ϕ : C → C ′ dada por ϕ(ak, ak−1b, ak−2b2, . . .,
bk) = (al, al−1b, al−2b2, . . ., bl) e vejamos as retas da regra de S. Lembremos
que os polinômios são da forma Fi,j = zizj+1 − zi+1zj para 0 ≤ i < j ≤ k + l
e i, j 6= k. Para p ∈ C com p = (z0, z1, . . ., zk, 0, . . ., 0) = (ak, ak−1b,
33
ak−2b2, . . ., bk, 0,0, . . .,0) para (a, b) ∈ P1 temos que a imagem de p pelo
isomorfismo ϕ entre as curvas C e C ′ é ϕ(p) = (0,. . ., 0, zk+1, zk+2, . . .,
zk+l+1) = (0,. . ., 0,al, al−1b, al−2b2, . . .,bl) ∈ C ′. A reta p, ϕ(p) é dada por
tp + uϕ(p)= t(z0,z1,. . ., zk,0,. . ., 0) + u(0,. . ., 0, zk+1, zk+2, . . ., zk+l+1) =
t(ak, ak−1b, ak−2b2, . . ., bk, 0, 0, . . ., 0) + u(0,. . ., 0, al, al−1b, al−2b2, . . ., bl)
= (tak, tak−1b, tak−2b2, . . ., tbk, ual, ual−1b, ual−2b2, . . ., ubl) = (tz0, tz1, . . .,
tzk, uzk+1, uzk+2, . . ., uzk+l+1).
De maneira geral um ponto de uma reta da regra tem a i-ésima coordenada
zi dada por
zi = tak−ibi se 0 ≤ i ≤ k
zi = uak+l+1−ibi−k−1 se k + 1 ≤ i ≤ k + l + 1
e basta verificar que um ponto desta forma satisfaz a Fi,j = zizj+1 − zi+1zjcom 0 ≤ i < j ≤ k + l + 1− 1 e i, j 6= k.Temos três casos posśıveis:
Primeiro caso: i < j < k. Assim zizj+1 − zi+1zj = (tak−ibi)(tak−(j+1)bj+1)−
(tak−(i+1)bi+1)(tak−jbj) = t2a2k−i−j−1bi+j+1 − t2a2k−i−j−1bi+j+1
Segundo caso: k < i < j. Logo zizj+1−zi+1zj = (uak+l+1−ibi−k−1) (uak+l+1−(j+1)b(j+1)−k−1)
- (uak+l+1−(i+1)b(i+1)−k−1) (uak+l+1−jbj−k−1) = u2a2k+l+1−i−j−1b−2k+i+j−1 -
u2a2k+l+1−i−j−1b−2k+i+j−1.
Terceiro caso: i < k < j. Então zizj+1−zi+1zj = (tak−ibi) (uak+l+1−(j+1)b(j+1)−k−1)
- (tak−(i+1)bi+1) (uak+l+1−jbj−k−1) = tuak+l+1+k−i−j−1b−k+i+j - tuak+l+1+k−i−j−1b−k+i+j.
Mostramos assim que Sk,l ⊂ Ψ. Resta ver que Ψ ⊂ Sk,l.
Seja p = (a0, a1, . . . , ak, ak+1, . . . , ak+l+1) ∈ Pk+l+1 tal que p satisfaz Fi,jpara 0 ≤ i < j ≤ k + l + 1 − 1 e i, j 6= k. Se p for da forma p =(0, 0, . . . , ak+1, . . . , ak+l+1) por satisfazer Fi,j para k < i < j temos que p per-
tence a C ′ e portanto p ∈ Sk,l. Se p for da forma p = (a0, a1, . . . , ak, 0, 0, 0, 0)
34
por satisfazer a Fi,j para i < j < k então p pertence a C, logo a Sk,l. Agora
se p não for de nenhuma dessas formas precisamos mostrar que p pertence
a alguma reta da regra de Sk,l. Já vimos que uma reta da regra de Sk,l é
dada por (tak, tak−1b, tak−2b2, . . ., tbk, ual, ual−1b, ual−2b2, . . ., ubl). Pode-
mos supor, sem perda de generalidade, a0 = 1 temos (1, a1, a12, . . ., a1
k,
ak+1, ak+1a1, ak+1a12, . . ., ak+1a1
l) = (1, a1 , a2, . . . , ak, ak+1, . . ., ak+l+1),
pois como p satisfaz F0,j temos a0aj+1 = a1aj, ou seja, aj+1 = a1aj,para
1 < j < k. Segue que p está na reta acima fazendo t = 1, a = 1, a1 = b e
ak+1 = u. Mostrando assim que Ψ ⊂ Sk,l.
Vejamos de uma outra maneira as equações do rolo racional normal. Se-
jam z0, z1, . . . , zk+l+1 as coordenadas de Pk+l+1. A curva C pode ser repre-sentada pelas equações:
z0 = 1, z1 = λ, z2 = λ2, . . ., zk = λ
k,
zk+1 = 0, zk+2 = 0, . . ., zk+l+1 = 0
Já uma seção complementar pode ser representada por:
z0 = 0, z1 = 0, z2 = 0, . . ., zk = 0,
zk+1 = 1, zk+2 = λ, . . ., zk+l+1 = λl
e fica claro que a correspondência projetiva entre as duas curvas se expressa
através do parâmetro λ. Já um ponto do rolo se expressa pelas equações:
z0 = 1, z1 = λ, z2 = λ2, . . ., zk = λ
k,
zk+1 = µ, zk+2 = λµ, zk+3 = λ2µ, . . ., zk+l+1 = λ
lµ.
Fixando o parâmetro λ e variando µ obtemos todos os pontos de uma reta
da regra e variando também λ obtemos todos os pontos do rolo. Podemos
obter n− 1 equações do rolo, eliminando λ e µ, que se escrevem assim:
35
z0z1
= z1z2
= z2z3
= · · · = zk−1zk
= zk+1zk+2
= zk+2zk+3
= · · · = zk+lzk+l+1
que se podem escrever na forma do Teorema 3.5.
Exemplo 3.7 Para S1,2 ⊂ P4 temos z0 = 1, z1 = λ, z2 = µ, z3 = λµ,
z4 = λ2µ. Vamos para o caso S1,3 ⊂ P5 temos z0 = 1, z1 = λ, z2 = µ,
z3 = λµ, z4 = λ2µ e z5 = λ
3µ. O caso S2,2 ⊂ P5 tem z0 = 1, z1 = λ, z2 = λ2,
z3 = µ, z4 = λµ e z5 = λ2µ.
Vamos agora fazer a seguinte substituição λ = x1x0
e µ = x2x0
. Logo temos,
para S1,2 ⊂ P4, z0 = 1, z1 = x1x0 , z2 =x2x0
, z3 =x1x0
x2x0
, z4 = (x1x0
)2 x2x0
que pode
ser escrito da forma z0 = x03, z1 = x0
2x1, z2 =x02x2,z3 = x0x1x2, z4 =x1
2x2
que é um subconjunto do conjunto que geram todas as cúbicas planas. Com
substituições análogas obtemos: para S2,2,(z0 = x03, z1 = x0
2x1, z2 = x0x12,
z3 = x02x2, z4 = x0x1x2, z5 = x1
2x2 (que é outro subconjunto dos geradores
das cúbicas planas); já para S1,3 temos (z0 = x04, z1 = x0
3x1, z2 = x03x2,
z3 = x02x1x2, z4 = xox1
2x2, z5 = x13x2 (que é um subconjunto do conjunto
de geradores das quárticas do plano).
Obtemos assim aplicações ϕk,l de P2 com coordenadas x0, x1, x2 para Pk+l+1.
Veremos no próximo caṕıtulo as propriedades dessas aplicações.
36
Caṕıtulo 4
Rolos Racionais Normais eDivisores
4.1 Divisores em Variedades Irredut́ıveis
Definição 4.1 Seja X uma variedade irredut́ıvel. Um divisor D em X é
uma coleção de subvariedades fechadas irredut́ıveis C1, . . . , Cr de codimensão
1 em X cada qual associada a um inteiro ki que chamamos de multiplicidade
de Ci.
Tal divisor é escrito como uma soma formal
D = k1C1 + · · ·+ krCr
Escrevemos D = 0 para indicar que ki = 0 para todo i, neste caso chamado
divisor nulo. Já D > 0 indica que nenhum ki é negativo e algum deles é es-
tritamente positivo, nesse caso, chamamos D de divisor efetivo. Se D = Ci
chamamos D de divisor primo.
Definição 4.2 O suporte de D é o conjunto das subvariedades Ci tal que o
correspondente ki 6= 0
37
Dados dois divisores D = k1C1 + · · · + krCr e D′ = k1′C1 + · · · + kr ′Crpodemos definir D+D′ = (k1 +k1
′)C1 + · · ·+(kr +kr ′)Cr. Assim o conjuntodos divisores em X tem uma estrutura de grupo. O elemento neutro é o
divisor nulo e o simétrico de D é −D = (−k1)C1 + · · ·+(−kr)Cr. Este gruposerá denotado por DivX.
Queremos associar um divisor a uma função f ∈ k(X) (o corpo de funções
racionais) quando X é não singular . Dada uma subvariedade irredut́ıvel
C ⊂ X de codimensão 1, considere um aberto U ⊂ X, onde C é dada poruma equação local g, isto é se IC é o ideal das funções regulares que se an-
ulam identicamente em C então IC = (g) em k[U ]. Assim se 0 6= f ∈ k(U)
então existe um inteiro k > 0 tal que f ∈ (gk) e f 6∈ (gk+1). Denotaremos
tal inteiro por vC(f).
Lema 4.3 O número vC(f) definido anteriormente tem as seguintes pro-
priedades:
a) vC(f1f2) = vC(f1) + vC(f2)
b) vC(f1 + f2) ≥ min{vC(f1), vC(f2)} se f1 + f2 6= 0
Demonstração: Sejam f1 = gl1u com u invert́ıvel em OC tal que f1 ∈
(gl1) e f1 6∈ (gl1+1) e f2 = gl2v com v invert́ıvel em OC tal que f2 ∈ (gl2)
e f2 6∈ (gl2+1). Assim f1f2 = gl1ugl2v = gl1+l2uv com uv invert́ıvel em
OC. Então vC(f1f2) = l1 + l2 = vC(f1) + vC(f2). Suponha l1 ≥ l2. Assim
vC(f1 + f2) = vC(gl1u+ gl2v) = vC(g
l2(gl1−l2u+ v)) = vC(gl2) + vC(g
l1−l2u+
v) ≥ vC(gl2) = l2 = min{vC(f1), vC(f2)}.
Como X é irredut́ıvel, toda função f ∈ k(X) pode ser escrita na forma gh
com g, h ∈ k[U ]. Logo para 0 6= f definimos vC(f) = vC(g)− vC(h).
38
Lema 4.4 O número vC(f) não depende da representação de f na formagh
Demonstração: Seja f = gh
= g′
h′. Assim g′h = h′g e logo vC(g
′h) =
vC(h′g) ⇒ vC(g′) + vC(h) = vC(h′) + vC(g) ⇒ vC(g′) − vC(h′) = vC(g) −
vC(h) = vC(f).
Também é fácil ver que a definição de vC(f) independente da escolha do
aberto U .
Definição 4.5 Dizemos que C é um pólo de f se vC(f) < 0. Analogamente,
dizemos que C é um zero de f se vC(f) > 0.
Ainda resta mostrar que dada uma função f ∈ k(X) existe somenteum número finito de subvariedades irredut́ıveis C de codimensão 1 tal que
vC(f) 6= 0. Considere que X é afim e f = gh . Então vC(f) deixa de se
anular apenas nas componentes de V(g) e de V(h) (onde estão os zeros e os
polos de f). Como o anel de polinômios é noetheriano a decomposição destas
variedades em componentes é finita. No caso que X é projetiva basta cobrir
X com uma quantidade finita de abertos afins e reduzimos para o caso afim
supracitado.
Definição 4.6 Definiremos o divisor de uma função (f) como sendo (f) =∑vC(f)C.
O divisor de uma função f ∈ k(X) é chamado divisor principal.
Se (f) =∑kiCi então chamamos (f)0 =
∑ki>0
kiCi de divisor de zeros de f e
(f)∞ =∑ki
Observação 4.7 Os divisores principais formam um subgrupo do grupo dos
divisores. De fato: (f1) + (f2) = (f1f2) e 0 = (f) quando f ∈ k. Além disso,
temos que (f) ≥ 0 se f ∈ k[X].
Definição 4.8 Dizemos que dois divisores D e D′ são ditos equivalentes se
D−D′ = (f) para algum f ∈ k(X). Esta relação será denotada por D ∼ D′.
É fácil ver que esta relação é uma relação de equivalência.
(Reflexiva) Para que D ∼ D basta tomar f ∈ k∗, pois 0 = (f) = D −D
(Simétrica) Se D ∼ D′ então D−D′ = (f) para algum 0 6= f ∈ k(X). Tome
g = f−1. Assim D′ −D = −(f) = (f−1) = (g). Logo D′ ∼ D.
(Transitiva) Se D ∼ D′ então D − D′ = (f1) para algum 0 6= f1 ∈ k(X).
Analogamente, se D′ ∼ D′′ então D′−D′′ = (f2) para algum 0 6= f2 ∈ k(X).
Assim D −D′′ = (f1) + (f2) = (f1f2). Logo D ∼ D′′.
Exemplo 4.9 Considere X = P2. Toda subvariedade irredut́ıvel C de codi-mensão 1 é definida por um polinômio homogêneo F e se F tem grau k
então no aberto Ui temos IC = (F/Tik). Assim para construir o divisor de
uma função f ∈ k(P2), represente f = FG
com F e G de mesmo grau, com
F = ΠHiki e G = ΠLj
mj , com Hi e Lj irredut́ıveis. Sejam Ci a subvarie-
dade irredut́ıvel de codimensão 1 definida por Hi = 0 e Dj a subvariedade
irredut́ıvel de codimensão 1 dada por Lj = 0. Então (f) =∑kiCi−
∑mjDj
Definição 4.10 Seja D um divisor em X. O sistema linear completo asso-
ciado a D, denotado por |D|, é o conjunto de todos os divisores não negativosque são linearmente equivalentes a D.
|D| = {E ∈ DivX : E ∼ D e E ≥ 0}.
40
Definição 4.11 Seja D um divisor em X. O espaço associado a D, deno-
tado por L(D), é o conjunto das funções racionais f tal que (f) ≥ −D ou f= 0 .
L(D) = {f ∈ k(X): (f) ≥ −D} ∪ {0} .
Lema 4.12 Seja D um divisor em X. O espaço L(D) associado a D é um
espaço vetorial de k(X) sobre k.
Demonstração: Basta mostrar que se f e g ∈ L(D) então f+ag ∈ L(D)
para a ∈ k. Sabemos que (f) ≥ −D e (g) ≥ −D, ou seja, vCi(f) ≥ −ki e
vCi(g) ≥ −ki. Assim vCi(f+ag) ≥ min{vCi(f), vCi(ag)}=min{vCi(f), vCi(g)}
≥ −ki. Logo f + ag ∈ L(D).
Proposição 4.13 Se D é um divisor linearmente equivalente a D′ então
L(D) é isomorfo a L(D′) como espaço vetorial sobre k.
Demonstração: Por hipótese, D − D′ = (f) com 0 6= z ∈ k(X). Con-
sidere a transformação linear ϕ : L(D) → k(X) tal que ϕ(g) = gf , pois temos
que ϕ(g1 + g2) = (g1 + g2)f = g1f + g2f = ϕ(g1) + ϕ(g2) para g1, g2 ∈ k(X)
e ϕ(ag) = (ag)f = a(gf) = aϕ(g) para a ∈ K. A imagem de ϕ está contida
em L(D′) pois vCi(gf) = vCi(g) + vCi(f) ≥ −vCi(D) + vCi(D) - vCi(D′) =
−vCi(D′).
Considere outra transformação linear ϕ′ : L(D′) → k(X) tal que ϕ(g) =
gf−1. Vejamos que ϕ′(g1 +g2) = (g1 +g2)f−1 = g1f
−1g2f−1 = ϕ′(g1)+ϕ
′(g2)
para g1, g2 ∈ k(X) e ϕ′(ag) = (ag)f−1 = a(gf−1) = aϕ′(g) para a ∈ K.
A imagem de ϕ′ está contida em L(D) pois vCi(gf−1) = vCi(g) − vCi(f) ≥
−vCi(D′)−vCi(D)+vCi(D′) = −vCi(D). Portanto ϕ é um isomorfismo entre
L(D) e L(D′).
41
Seja D um divisor em X. Existe uma correspondência entre a proje-
tivização P(L(D)) do espaço L(D) associado a D e o sistema linear associ-
ado |D|. Esta correspondência é dada por Φ : P(L(D)) → |D|, definida da
seguinte maneira: para [f] sendo a classe de f em P(L(D)) seja Φ([f ]) = E
com D − E = (f). Observemos que (af) = (f) para todo a ∈ K.
Proposição 4.14 A correspondência Φ definida anteriormente é uma cor-
respondência biuńıvoca.
Demonstração: Seja E ∈ |D|. Como E é equivalente a D existe uma
função f ∈ k(X) tal que E = (f) +D. Mais ainda, como E ≥ 0 temos que
f ∈ L(D). Logo Φ(f) = E, mostrando que Φ é sobrejetora.
Suponha que Φ(f) = Φ(g), o que significa que eles são o mesmo divisor.
Temos então (f) + D = (g) + D, logo temos (f) = (g), ou seja, (f/g) =
0. Logo f/g = c onde c é uma constante. Então [f ] = [g] em P(L(D)),mostrando que Φ é injetora.
Definição 4.15 Seja V um subespaço vetorial de L(D). Podemos associar
a V um subconjunto S em |D| via a correspondência Φ. O subconjunto S é
dito um subsistema —S— do sistema linear |D| associado a D.
Também podemos, utilizando a correspondência Φ, definir o conjunto de
geradores de um subsistema S da seguinte forma: um subespaço vetorial V de
L(D) tem uma base, digamos, {f1, f2, . . . , fs} e cada fi tem a sua respectiva
imagem em |D| via Φ; chamamos então {Φ(f1),Φ(f2), . . . ,Φ(fs)} de conjuntode geradores de S.
Exemplo 4.16 Consideremos X = P2 com coordenadas (x0, x1, x2). Sejam
C = V (x0) e o divisor D = 2C.
42
Vejamos que P(L(D)) é isomorfo ao espaços das cônicas planas. Se F é
uma cônica então a função racional f = Fx02
pertence a L(D). Recipro-
camente, para toda função racional f ∈ P(L(D)) com f = FG
onde F e
G são homogêneos do mesmo grau (sem fatores irredut́ıveis em comum),
podemos associar uma cônica . De fato, temos que (f) = (F )− (G). Então
(f) ∈ P(L(2C)) se, e somente se, (f) ≥ −2C, ou seja, vC(G) ≤ 2 e vC′(G) = 0
para toda curva irredut́ıvel C ′ 6= C. Logo G, a prinćıpio, pode ser da forma
G = x02, G = x0 ou G constante. Mas observemos que caso G seja x0 ou
constante podemos considerar f = Fx0x0x0
= F′
x02ou f = Fx0
2
cx02= F
′′
x02. Então
G = x02. Como F e G são homogêneos do mesmo grau, podemos assumir
que F é uma cônica.
Assim temos um isomorfismo entre a projetivização P(L(D)) de L(D) e o
espaço das cônicas planas, que como sabemos pode ser parametrizado por P5
(ver Exemplo 1.23).
Exemplo 4.17 Consideremos X = P2 com coordenadas (x0, x1, x2). Sejam
C = V (x0) e o divisor D = 3C.
Vejamos que P(L(D)) é isomorfo ao espaços das cúbicas planas. Se F é uma
cúbica então a função racional f = Fx03
pertence a L(D).Reciprocamente, para
toda função racional f ∈ P(L(D)) com f = FG
onde F e G são homogêneos do
mesmo grau (sem fatores irredut́ıveis comuns), podemos associar uma cúbica
. De fato, temos que (f) = (F )− (G). Então (f) ∈ P(L(3C)) se, e somente
se, (f) ≥ −3C , ou seja, vC(G) ≤ 3 e vC′(G) = 0 para toda curva irredut́ıvel
C ′ 6= C. Logo G, a prinćıpio, pode ser da forma G = x03, G = x02, G = x0 ou
G constante. Mas observemos que caso G seja x02, x0 ou constante podemos
considerar f = Fx0x02x0
= F′
x03, f = Fx0
2
x0x02= F
′′
x03ou f = Fx0
3
cx03= F
′′′
x03. Então
43
G = x03. Como F e G são homogêneos do mesmo grau, podemos assumir
que F é uma cúbica.
Assim temos um isomorfismo entre a projetivização P(L(D)) de L(D) e oespaço das cúbicas planas, que como sabemos pode ser parametrizado por
P9, conforme Exemplo 1.23.
Definição 4.18 Sejam X uma variedade irredut́ıvel, x ∈ X e D um divisorem X. Se x é tal que x ∈ E para todo E ∈ |D| dizemos que x é um ponto
base de |D|.
Definição 4.19 Um ponto de multiplicidade d, com d > 1, de um sistema
linear associado a um divisor (de grau n) do plano é um ponto base do sistema
linear tal que uma reta genérica passando por P encontra o divisor somente
em outros n− d pontos.
Observação 4.20 A imposição de P ser um ponto múltiplo de ordem d do
sistema linear associado a um divisor do plano de grau n implica que todas
as derivadas das curvas do sistema até a ordem d − 1 avaliadas em P seanulam e alguma derivada de ordem d não se anula em P , ou seja, temos
12d(d+ 1) condições lineares sobre o sistema.
Exemplo 4.21 Consideremos X = P2 e V (x0) = C. Para o divisor D = 2C
temos que P(L(D)) é o espaço das cônicas que tem o seguinte conjunto como
conjunto gerador {x02, x0x1, x0x2, x12, x1x2, x22}. Podemos então dizer que
o sistema linear |D| associado ao divisor D é o sistema linear de cônicas.
Considere o subsistema S dado pelo seguinte conjunto gerador :{x02, x0x1,
x0x2, x12, x1x2}. O ponto (0, 0, 1) é ponto base deste subsistema, pois
(0, 0, 1) ∈ E para todo divisor E ∈ S.
44
Consideremos agora o subsistema S ′ dado por {x02, x0x1, x12}. O ponto
(0, 0, 1) é ponto base deste subsistema, mas tem multiplicidade 2.
Definição 4.22 Sejam X = P2 um plano, x ∈ X e D um divisor em X.Se x é um ponto base de |D| e é tal que para todo E ∈ |D| temos que umareta L é a reta tangente a E em x dizemos que o sistema linear tem uma
tangente fixa em x.
Exemplo 4.23 Mantendo as notações do exemplo anterior, seja S ′′ o sub-
sistema dado pelo seguinte conjunto gerador :{x02, x0x2, x1x2, x22}. O ponto
(0, 1, 0) é ponto base deste subsistema, pois (0, 1, 0) ∈ E para toda curva
E ∈ S. Sabemos que uma curva deste subsistema é da forma E = a0x02 +
a1x0x2 + a2x1x2 + a3x22. Tomando esta curva no aberto afim x1 6= 0 temos
E ′ = a0x02 + a1x0x2 + a2x2 + a3x2
2. Observemos que a reta x2 = 0 é a reta
tangente a toda E ∈ S ′′. Então o (0, 1, 0) é ponto base deste subsistema etem uma tangente fixa.
Lembremos que uma reta tangente também pode ter multiplicidade e esta
multiplicidade pode ser calculada da seguinte maneira : seja F uma curva
afim e P = (0, 0). Escreva F = Fm + Fm+1 + Fm+2 + · · · + Fn onde Fi éuma forma de grau i e Fm 6= 0. Podemos escrever Fm = ΠLiri onde Li sãoretas distintas chamadas retas tangentes a F em P e ri é a multiplicidade da
tangente Li em P . Para maiores detalhes ver [1] caṕıtulo 3, página 66.
4.2 Divisores, Aplicações e Rolos
Sejam D um divisor em X e |D| o sistema linear associado a D. Sabemos
que existe uma correspondência entre o sistema linear |D| associado a D e a
45
projetivização P(L(D))do espaço L(D) associado a D. Seja {f0, f1, . . . , fr}
uma base para P(L(D)). Assim podemos associar ao divisor D uma aplicação
ϕ : X → Pr dada por ϕ(p) = (f0(p), f1(p), . . . , fr(p)).
Exemplo 4.24 Consideremos X = P2 e V (x0) = C. Para o divisor D = 2C
temos que P(L(D)) é o espaço das cônicas que tem o seguinte conjunto como
conjunto gerador {x02, x0x1, x0x2, x12, x1x2, x22} e pode ser parametrizado
por P5.
Assim podemos associar ao divisor D = 2C a aplicação ϕ : P2 → P5 dada por
ϕ(x0, x1, x2)=(x02, x0x1, x0x2, x1
2, x1x2, x22), que neste caso é a aplicação
de Veronese de grau 2.
Exemplo 4.25 Mantendo as considerações do exemplo anterior, considere-
mos um subsistema S do sistema |2C| dado pelo seguinte conjunto gerador
{x02, x0x1, x12, x0x2, x1x2}. Observemos que todo divisor deste subsistema
passa pelo ponto p = (0, 0, 1), logo p é um ponto base deste subsistema.
A este subsistema podemos associar a aplicação ϕ1,2 : P2 → P4 dada por
ϕ1,2(x0, x1, x2) = (x02, x0x1, x1
2, x0x2, x1x2), que não está definida em p. A
imagem ϕ1,2(P2 \ p) satisfaz as equações de definição do rolo racional normal
S1,2 que são:
F0,1 = z0z2 − z12 = x02x12 − (x0x1)2,
F0,3 = z0z4 − z1z3 = x02x1x2 − x0x1x0x2 e
F1,3 = z1z4 − z2z3 = x0x1x1x2 − x12x0x2.
o que mostra que ϕ1,2(P2 \p) ⊂ S1,2. Observemos porém que a aplicação ϕ1,2não é sobrejetora. De fato, considere em P4 um ponto q da forma (0, 0, 0, a, b).
46
Sabemos que pontos desta forma são pontos da diretriz C do rolo, mas não
existe p ∈ P2 tal que ϕ1,2(p) = q. Observe também que todo ponto p ∈ S1,2\C
possui imagem. Logo ϕ1,2(P2 \ p) ∼= S1,2 \ C.
Exemplo 4.26 Sejam X = P2, V (x0) = C e D = 3C. Sabemos que
P(L(D)) corresponde ao espaço das cúbicas que tem como base o conjunto
{x03, x02x1, x02x2,x0x12, x0x1x2,x0x22, x13,x12x2, x1x22, x23} o qual pode ser
parametrizado por P9.
Logo podemos associar ao divisor 3C a aplicação ϕ : P2 → P9 dada por
ϕ(x0, x1, x2)= (x03, x0
2x1, x02x2, x0x1
2, x0x1x2, x0x22,x1
3, x12x2, x1x2
2, x23),
ou seja, a aplicação de Veronese de grau 3.
Exemplo 4.27 Mantendo a notação do exemplo anterior, consideremos agora
o subsistema S de |3C| dado pelo conjunto gerador {x0x12, x0x1x2, x0x22,
x12x2, x1x2
2}. Podemos associar a S a aplicação ψ1,2 : P2 → P4 dada
por ψ1,2(x0, x1, x2) = (x0x12,x0x1x2,x0x2
2, x12x2, x1x2
2). Observemos que
esta aplicação não está definida nos pontos p1 = (1, 0, 0), p2 = (0, 1, 0) e
p3 = (0, 0, 1). Temos também neste caso que ψ1,2(P2 \ {p1, p2, p3}) satisfaz as
equações de definição do rolo racional normal S1,2, que são
F0,1 = z0z2 − z12 = x0x12x0x22 − (x0x1x2)2
F0,3 = z0z4 − z1z3 = x0x12x1x22 − x0x1x2x12x2F1,3 = z1z4 − z2z3 = x0x1x2x1x22 − x0x22x12x2
mostrando que a imagem de ψ1,2 está contida em S1,2, sem contudo ser so-
brejetora.
De modo geral, podemos associar a um divisor D = nC sobre X = P2
uma aplicação ϕ : P2 → Pr, onde r = 12(n + 1)(n + 2) − 1 dada por ϕ(p) =
47
(f0(p), f1(p), . . . , fr(p)) onde f0, f1, . . . , fr é o conjunto gerador do sistema
linear |D| associado a D.
Podemos também considerar subsistemas S de |D| e as respectivas aplicaçõesassociadas e obter superf́ıcies racionais S ⊂ Pr. Vamos aqui nos restringir aocaso em que S é um rolo racional normal.
Exemplo 4.28 Consideremos o sistema linear associado ao divisor D = 4C
sobre P2 onde C = V (x0). O seu conjunto gerador é {x04 , x03x1, x03x2,
x02x1x2, x0
2x12, x0
2x22, x0x1
3, x0x12x2, x0x1x2
2, x0x23, x1
4,x13x2, x1
2x22,
x1x23, x2
4}.
Tomando o subsistema S dado por {x04, x03x1, x03x2, x02x1x2, x0x12x2,
x13x2} temos as seguintes propriedades: o ponto p3 = (0, 0, 1) é ponto base
com multiplicidade 3 e o ponto p2 = (0, 1, 0) é um ponto base simples e toda
curva do sistema tem a reta x2 = 0 como reta tangente fixa de multiplicidade
3.
Considerando a aplicação ϕ1,3 associada temos ϕ1,3 : P2 → P5 dada por
ϕ1,3(x0, x1, x2) = (x04, x0
3x1, x03x2, x0
2x1x2, x0x12x2, x1
3x2) que não está definida
nos pontos p2 = (0, 1, 0) e p3 = (0, 0, 1). Além disso satisfaz os polinômios
F0,2 = z0z3 − z1z2 = x04x02x1x2 − x03x1x03x2,
F0,3 = z0z4 − z1z3 = x04x0x12x2 − x03x1x02x1x2,
F0,4 = z0z5 − z1z4 = x04x13x2 − x03x1x0x12x2 e
F2,3 = z2z4 − (z3)2 = x03x2x0x12x2 − (x02x1x2)2.
F2,4 = z2z5 − z3z4 = x03x2x13x2 − x02x1x2x0x12x2,
F3,4 = z3z5 − z42 = x02x1x2x13x2 − (x0x12x2)2,
que são os polinômios de definição de S1,3. Logo ϕ1,3(P2 \ {p2, p3}) ⊂ S1,3.
Vejamos que a aplicação ϕ1,3 não é sobrejetora e nem injetora. De fato,
48
observemos que a imagem da reta x0 = 0 pela aplicação ϕ1,3 é o ponto
(0, 0, 0, 0, 0, 1). A reta da regra de S1,3 que passa por este ponto é dada
por r= (0, t, 0, 0, 0, u) (de acordo com a notação do caṕıtulo 3) já que uma
reta da regra de S1,3 tem a forma t(a,b,0,0,0,0) + u(0,0,a3,a2b,ab2,b3)=(ta,
tb,ua3,ua2b,uab2,ub3) com (t, u) ∈ P1 e (a, b) ∈ P1 dado. Observemos quepara obtermos a reta r temos que fazer a = 0, b = 1. Segue que os pontos de r
diferentes de (0, 0, 0, 0, 0, 1) não são imagem de nenhum ponto de P2 por ϕ1,3.
Qualquer outra reta da regra de S1,3 diferente da reta r pertence a imagem
de ϕ1,3, pois para a = 1, a reta da regra assume a forma (t, tb, u, ub, ub2, ub3)
que, para t = 1, é imagem de ϕ1,3(1, b, u). Para t = 0 temos a cúbica C′ =
(0, 0, ua3, ua2b, uab2, ub3) cujos pontos não são imagem de nenhum ponto de
P2 (exceto o ponto (0, 0, 0, 0, 0, 1)). Portanto os pontos de r e de C ′ não são
imagem de nenhum ponto de P2 por ϕ1,3.
Exemplo 4.29 Consideremos o sistema linear associado ao divisor D = 3C
sobre P2 onde C = V (x0). O seu conjunto gerador é {x03 , x02x1, x0x12,
x02x2, x0x2
2, x0x1x2, x13, x1
2x2, x1x22, x2
3}.
Tomemos o subsistema S ′ dado por {x03 ,x02x1 , x0x12, x02x2, x0x1x2,
x12x2} que tem o ponto p3 = (0, 0, 1) como ponto base de multiplicidade 2 e
o ponto p2 = (0, 1, 0) como ponto base simples . Consideremos a aplicação
ϕ2,2 associada ϕ2,2 : P2 → P5 dada por ϕ2,2(x0, x1, x2)=(x03, x02x1, x0x12,
x02x2, x0x1x2, x1
2x2).
Temos que ϕ2,2(P2 \ {p2, p3}) satisfaz
F0,1 = z0z2 − z12 = x03x0x12 − (x02x1)2,
F0,3 = z0z4 − z1z3 = x03x0x1x2 − x02x1x02x2,
49
F0,4 = z0z5 − z1z4 = x03x12x2 − x02x1x0x1x2,
F1,3 = z1z4 − z2z3 = x02x1x0x1x2 − x0x12x02x2,
F1,4 = z1z5 − z2z4 = x02x1x12x2 − x0x12x0x1x2 ,
F3,4 = z3z5 − z42 = x02x2x12x2 − (x0x1x2)2
que são as equações de definição de S2,2. Portanto ϕ2,2(P2 \ {p2, p3}) ⊂ S2,2.
Observemos que a aplicação ϕ2,2 não é sobrejetora e também não é injetora.
De fato, a imagem da reta x0 = 0 é o ponto (0, 0, 0, 0, 0, 1) que pertence a
reta da regra de S2,2 dada por r= (0, 0, t, 0, 0, u) (notação do caṕıtulo 3) visto
que uma reta da regra de S2,2 tem a forma (ta2, tab, tb2, ua2, uab, ub2) com
(t, u) ∈ P1 e (a, b) ∈ P1 fixo. Logo a reta r é dada por a = 0, b = 1. Qualqueroutra reta da regra de S2,2 diferente da reta r pertence a imagem de ϕ2,2,
tomemos a = 1, logo a reta da regra assume a forma (t, tb, tb2, u, ub, ub2)
que, para t = 1, é imagem de ϕ2,2(1, b, u). Para t = 0 temos a cônica
C ′ = (0, 0, 0, ua2, uab, ub2) que não é imagem de nenhum ponto de P2 (exceto
o ponto (0, 0, 0, 0, 0, 1)). Portanto os pontos de r e de C ′ não são imagem de
nenhum ponto de P2 por ϕ2,2.
Os exemplos anteriores levantam a seguinte questão : quais são os subsis-
temas que nos fornecem aplicações cujas imagens são rolos racionais normais?
Tentaremos responder esta pergunta no próximo caṕıtulo. Antes, porém exa-
minaremos melhor um caso particular: S1,2, o rolo racional normal de P4.
4.3 O rolo cúbico
Observemos que o rolo racional normal S1,2 foi dado como imagem de aplicações
associadas a dois sistemas lineares de curvas: a aplicação do Exemplo 4.25
dada por ϕ : P2 → P4 assim definida ϕ1,2(x0, x1, x2) = (x02, x0x1, x12, x0x2,
50
x1x2) que utiliza o sistema linear de cônicas com um ponto base, neste caso
o ponto (0 : 0 : 1) e a representação do Exemplo 4.27 dada por ψ : P2 → P4
definida por ψ1,2(x0, x1, x2) = (x0x12,x0x1x2,x0x2
2, x12x2, x1x2
2)que utiliza
o sistema linear de cúbicas com três pontos base, a saber (1, 0, 0), (0, 1, 0) e
(0, 0, 1).
Consideremos a transformação quadrática θ : P2 → P2 dada por θ(x0, x1, x2) =
(x0x1, x0x2, x1x2). Consideremos também a composição ψ1,2(θ) : P2 → P4.
Assim ψ1,2(θ(x0, x1, x2)) = ψ1,2 (x0x1, x0x2, x1x2) = (x0x1(x0x2)2, x0x1x0x2,
x1x2, x0x1(x1x2)2, (x0x2)
2x1x2, x0x2(x1x2)2) = (x0
3x1x22, x0
2x12x2
2, x0x13x2
2,
x02x1x2
3, x0x12x2
3) = x0x1x22(x0
2, x0x1, x12, x0x2, x1x2) = ϕ1,2.
Obtemos com a transformação quadrática o seguinte diagrama comutativo
S1,2 ⊂ P4ϕ1,2
↗ψ1,2
↖P2 θ−→ P2
que transforma a aplicação ψ1,2 na aplicação ϕ1,2.
Já sabemos que o rolo racional normal S1,2 pode ser visto como a imagem
da aplicação ϕ : P2 → P4 dada por ϕ1,2(x0, x1, x2) =(x02, x0x1, x12, x0x2,
x1x2), que não está definida em p = (0, 0, 1). Além disso, esta aplicação não
é sobrejetora.
Vejamos que o rolo racional normal S1,2 é isomorfo a explosão de P2 em p.
Relembremos a imersão de Segre. Considere σ : P2×P1 → P5 assim definida
σ : ((x0, x1, x2), (y0, y1)) = (x0y0, x0y1, x1y0, x1y1, x2y0, x2y1)
Sejam (z0, z1, z2, z3, z4, z5) as coordenadas de P5. Relembrando a explosão de
P2 com centro em p = (0, 0, 1).
51
Seja x = (x0, x1, x2) ∈ P2 e y = (y0, y1) ∈ P1. Considere em P2 × P1,
com pontos da forma (x0, x1, x2; y0, y1), a variedade Π definida pela equação
x0y1 = x1y0. A explosão σ : Π ⊂ P2 × P1 → P2 é definida pela restrição
da projeção na primeira coordenada de P2 × P1 → P2 a Π. Utilizando a
imersão de Segre restrita a Π ⊂ P2 × P1 temos σ : ((x0, x1, x2), (y0, y1)) =
(x0y0, x0y1, x1y0 ,x1y1, x2y0,x2y1) = (z0, z1, z2, z3, z4, z5). Como z1 = z2
podemos fazer naturalmente a projeção π : Σ2,1 ⊂ P5 → P4 dada por
π(z0, z1, z2, z3, z4, z5) = (z0, z1, z3, z4, z5). Sabemos que a explosão tem a
seguinte propriedade: σ−1(p) = p×P1 ou seja, pontos da forma (0, 0, 1, y0, y1).
Esses pontos são levados via a imersão de Segre para pontos da forma (0,
0, 0, 0, y0, y1) cuja projeção natural leva em (0, 0, 0, y0, y1) que é a dire-
triz C de S1,2. Já as retas de P2 que passam por p = (0, 0, 1), retas da
forma (x0, αx0, x2), são levadas em retas da regra de S1,2 que cortam a di-
retriz em pontos da forma (0, 0, 0, x0, αx0). Como ϕ1,2 é um isomorfismo de
P2 \ (0, 0, 1) → S1,2 \ C (conforme Exemplo 4.25) segue a afirmação.
As retas que não passam por p = (0, 0, 1), retas da forma (x0, x1, 0), são
levadas em cônicas.
Observemos o seguinte diagrama:
Π ⊂ P2 × P1σ2,1↪→ Σ2,1 ⊂ P5
σ−1 ↑ ↓P2 ϕ1,2−→ S1,2 ⊂ P4
A generalização de resultados do tipo acima para sistemas lineares de
grau maior e com pontos múltiplos de ordem superior a 2 nos levaria a várias
explosões e fugiria do escopo desta dissertação. Optamos por fazer um estudo
mais simples no próximo caṕıtulo fornecendo uma generalização parcial do
resultado anterior.
52
Caṕıtulo 5
Representação Plana do Rolo
Vamos projetar o rolo racional normal Sk,l ⊂ Pk+l+1 para um plano P2.
Já sabemos que a projeção de um rolo racional normal S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 a
partir de um ponto p de S é projetivamente equivalente a Sk−1,l ⊂ Pk+l se p
pertence a diretriz C do rolo e é projetivamente equivalente a Sk,l−1 ⊂ Pk+l
se p não pertence a diretriz C do rolo (ver Proposição 2.24).
Para projetar o rolo racional normal S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 para um plano
P2 precisamos projetar a partir de um Pk+l−2. A projeção de um ponto p
de S fica assim definida: considere o Pk+l−1 projetante gerado pelo Pk+l−2
de projeção e pelo ponto p. Este Pk+l−1 projetante intercepta o plano P2 emum ponto q que será a projeção de p. Em geral, uma projeção deste tipo não
é uńıvoca. Mas se o Pk+l−2 de projeção passar por um número convenientede pontos e de retas da regra do rolo S obtemos uma projeção uńıvoca com
várias propriedades, as quais passaremos a estudar.
Exemplo 5.1 Considere S = S1,2 ⊂ P4 e fixemos uma reta r da regra de S.
Observe que um 2-plano α contendo r intercepta S em um ponto fora da reta
53
da regra fixada, pois um hiperplano H = P3 contendo a reta r intercepta Sem uma cônica residual C . Portanto α intercepta C em dois pontos, mas
um deles está sobre r e o outro fora de r.
Em geral, temos o seguinte resultado
Lema 5.2 Considere o rolo racional normal S = Sk,l ⊂ Pk+l+1 constrúıdo
a partir de subespaços lineares complementares Λ e Λ′ de dimensões k e l
respectivamente e da escolha de curvas racionais normais C ⊂ Λ e C ′ ⊂ Λ′
e de um isomorfismo ϕ : C → C ′. Seja m um inteiro positivo tal que m ≤ k.
Fixemos m retas da regra de S. Um espaço de dimensão Pk+l−1 contendo mretas da regra de S intercepta S em k + l − 2m pontos fora das m retas daregra de S consideradas.
Demonstração: Seja H um hiperplano de Pk+l+1 contendo m retas da
regra de S. Sabemos que H ∩ S é uma curva de grau k + l (ver Teorema
1.15) composta pelas m retas da regra e uma curva C de grau k + l − m.
Considere um espaço de dimensão Pk+l−1 ⊂ H contendo m retas da regrade S. Sabemos que C intercepta este espaço em k + l −m pontos. Destesk + l −m pontos temos que m pontos estão sobre as m retas da regra de S,logo k + l −m−m = k + l − 2m estão fora das m retas consideradas.
O lema anterior nos ajuda a escolher uma maneira de construir o Pk+l−2
de projeção a partir do qual devemos projetar o rolo racional normal S =
Sk,l ⊂ Pk+l+1 para o plano α. Considere um Pk+l−2 de projeção contendo m
retas da regra do rolo S e k + l − 2m− 1 pontos de S.
Exemplo 5.3 Vamos projetar S = S1,2 ⊂ P4 a partir de um P1 que é
uma reta r da regra de S para um plano α. Observemos que neste caso
54
k + l − 2m− 1 = 0, logo não fixamos nenhum ponto fora de r.
Seja p ∈ S. Considere o P2 projetante gerado por p e por r. Em P4 este
P2 projetante intercepta o plano α em um ponto q, que é a projeção de p.
Sabemos que a projeção não está definida para o espaço de projeção (no caso
a reta r fixada).
Observemos também o que acontece com os pontos da diretriz de S. Con-
sidere p′ e p′′ pontos da diretriz. O P2 projetante gerado por p′ é o mesmo
P2 projetante gerado por p′′, logo todos os pontos da diretriz são projetadosnum único ponto P do plano α.
Definição 5.4 Seja π uma projeção do rolo racional normal Sk,l ⊂ Pk+l+1 a
partir de um Pk+l−2 de projeção para um plano α. Se todos os pontos de umareta de Sk,l são projetados através de π em um único ponto P ∈ α dizemos
que P é um ponto simples para a projeção π. Se todos os pontos de uma
curva de grau n de Sk,l são projetados em um único ponto P ∈ α dizemos
então que P é um ponto n-uplo para a projeção π.
Exemplo 5.5 Consideremos a projeção do exemplo anterior. O ponto P ∈ αé um ponto simples.
Exemplo 5.6 Seja S = S1,2 ⊂ P4. Consideremos 2 pontos P1 e P2 de S de
modo que P1 e P2 não estejam sobre a mesma reta da regra. Projetemos S
a partir de P1P2 para um plano α. A projeção procede de maneira análoga:
para p ∈ S considere o P2 projetante gerado por p e por P1P2. Em P4, este
P2 projetante intercepta o plano α em um ponto q, que é a projeção de p.Novamente, a projeção não está definida para os dois pontos P1 e P2 fixados,
mas vejamos o que acontece com as retas da regra r1 e r2 de S que passam
por P1 e P2. Considere dois pontos p′ e p′′ da reta r1 que passa por P1. O
55
P2 projetante gerado por p′ é o mesmo P2 projetante gerado por p′′, logo
todos os pontos de r1 são projetados num único ponto (simples) do plano.
Um racioćınio inteiramente análogo, mostra que a reta r2 que passa por P2
também é toda projetada num mesmo ponto do plano, diferente do ponto
anterior (pois os P2’s projetantes de r1 e r2 são diferentes).
Observemos agora o que acontece, em especial, com uma cônica (uma curva
de grau k+l−m−1 = 1+2−0−1 = 2) que passa por P1 e P2. Considere um
ponto p da cônica, o P2 projetante gerado por p,P1 e P2 será o mesmo paraqualquer ponto da cônica. Assim todos os pontos da cônica são projetados
num único ponto (duplo) do plano.
Enfim, dizemos neste caso que a projeção plana de S1,2 ⊂ P4 tem dois pontos
simples e um ponto duplo.
O nosso objetivo é ver as projeções dos Exemplos 5.3 e 5.6 como inversas
das aplicações que obtivemos no caṕı