177

解答例・解説

数学〔Ａ方式（ 1 /29）〕2019年 4月 9日 (初校反映) 2

A 1 数 学 (解答)

I 0

(1)

(a + b + c)(bc + ca + ab) − abc = {a + (b + c)} {(b + c)a + bc} − abc

= (b + c)a2 + (b + c)2a + (b + c)bc + abc − abc

= (b + c){a2 + (b + c)a + bc

}

= (a + b)(b + c)(c + a) ……（答）

(2) 7 が を で座る座り は 部で (7 − 1)! = 6! = 720 り．

2 が り合う座り は 2 を 1 と考えて (6 − 1)! = 5! = 120 り．

そ に いて 2 の は 2 りなので 120 × 2 = 240 り．

よって求める座り は 部で 720 − 240 = 480 り ……（答）

(3) i) �ACDで より ADsin ∠ACD

= 15，

よって sin ∠ACD = AD15=

1015=

23……（答）

ii) ∠ACD = ∠ABD，∠ABC = 90◦より ∠ABD < 90◦となるので

cos ∠ABD =√1 − sin2 ∠ADB =

√1 − sin2 ∠ACD =

√1 −

(23

)2=

√53

�ADBで より

AD2 = AB2 +DB2 − 2AB · DBcos ∠ABD

102 = 92 +DB2 − 2 · 9 ·√53

DB

DB2 − 6√5DB − 19 = 0

DB = 3√5 ± 8，DB > 0より DB = 3

√5 + 8

よって �ABD = 12AB · BDsin ∠ABD

=12

× 9 × (8 + 3√5) × 2

3

= 24 + 9√5 ……（答）

2019年 4月 9日 (初校反映) 3

II 0

(1) abc(5) よ cab(8) は 3 の なので，

1 � a � 4，0 � b � 4，0 � c � 4， よ

1 � c � 7，0 � a � 7，0 � b � 7，となり，こ らより

1 � a � 4，0 � b � 4，1 � c � 4 · · · · · · · となる．

，n = 25a + 5b + c = 64c + 8a + bより，63c = 17a + 4b · · · · · · · である．

ここで ??より，

63c = 17a + 4b

� 17 × 4 + 4 × 4

= 84

c � 8463

となり，こ を すのは c = 1である．こ を ??に すると

63 = 17a + 4b

17a = 63 − 4b bに 0から で 4を て

17a = 63, 59, 55, 51, 47 aは なのでこ を すのは

17a = 51

a = 3

このとき b = 3

以上より，a = 3, b = 3, c = 1 ……（答）

(2) n = 25 × 3 + 5 × 3 + 1 = 91 ……（答）

(3) 91 = 1011011(2) ……（答）

2019年 4月 9日 (初校反映) 4

III 0

(1)

f (x) = 2x2 + 2(a − 1)x + a2 − 2a − 5

= 2(x + a − 1

2

)2+ a2 − 2a − 5 − (a − 1)2

2

= 2(x + a − 1

2

)2+

a2 − 2a − 112

となる め，y = f (x)のグラフの頂点の座標は(− a − 1

2, a2 − 2a − 11

2

)……（答）

(2) を すのはグラフの軸が 1 < x < 3， f (1) > 0， f (3) > 0，グラフの頂点の y 座標 < 0

のときである．

i) グラフの軸が 1 < x < 3より

1 < − a − 12< 3

−6 < a − 1 < −2−5 < a < −1

ii) f (1) > 0より

f (1) = 2 + 2(a − 1) + a2 − 2a − 5 > 0

a2 − 5 > 0

(a −√5)(a +

√5) > 0

a < −√5，√5 < a

iii) f (3) > 0より

f (3) = 18 + 6(a − 1) + a2 − 2a − 5 > 0

a2 + 4a + 7 > 0

(a + 2)2 + 3 > 0 よって aはす ての

iv) グラフの頂点の y 座標 < 0より

a2 − 2a − 112

< 0

a2 − 2a − 11 < 0

(a − 1 + 2√3)(a − 1 − 2

√3) < 0

1 − 2√3 <a < 1 + 2

√3

こ らの 部分は

a−51 − 2√3 −

√5 −1

√5 1 + 2

√3 より，1 − 2

√3 < a < −

√5 ……（答）

①

②

4まで

178

解答例・解説

数学〔Ａ方式（ 1 /30）〕2019年 4月 9日 (初校反映) 6

A 2 数 学 (解答)

I 0

(1) 1

2 −√3=

2 +√3

4 − 3= 2 +

√3

1 <√3 < 2より，3 < 2 +

√3 < 4．よって a = 3，b = 2 +

√3 − 3 =

√3 − 1

a2 + ab + 2b2 = 32 + 3(√3 − 1) + 2(

√3 − 1)2

= 9 + 3√3 − 3 + 2(4 − 2

√3)

= 14 −√3 ……（答）

(2) i) 80100

× 5100

+20100

× 7100

=27500

……（答）

ii) Aで を り す は 80100

× 5100

=4100

なので

410027500

=4100

× 50027=

2027

……（答）

(3) i) x(x − 2) � 0， り x � 0，2 � x のとき

x(x − 2) � x

x(x − 2) � x

x(x − 3) � 0

0 � x � 3

x � 0，2 � x より，x = 0，2 � x � 3 · · · · · · ·

ii) x(x − 2) < 0， り 0 < x < 2のとき

x(x − 2) � x

−x(x − 2) � x

x(x − 1) � 0

x � 0，1 � x

0 < x < 2より，1 � x < 2 · · · · · · ·

??，??より，x = 0，1 � x � 3 ……（答）

2019年 4月 9日 (初校反映) 7

II 0

(1) AP = t，QA = 12

t，PB = 4 − t，BM = MC =√3，CQ = 2 − 1

2t となる．

よって �APQ = 12AP · AQsin 60◦ = 1

2× t × 1

2t ×

√32=

√38

t2 ……（答）

(2) �PBM = 12BP · BMsin 30◦ = 1

2(4 − t) ×

√3 × 1

2=√3 −

√34

t ……（答）

(3) �CQM = 12CQ · CM = 1

2(2 − 1

2t)√3 =

√3 −

√34

t

，�ABC = 2√3より

�PQM = �ABC − (�APQ + �PBM + �CQM)

= 2√3 −

( √38

t2 +√3 −

√34

t +√3 −

√34

t)

= −√38

t2 +√32

t

= −√38

(t − 2)2 +√32

となる．0 < t < 4より，t = 2で最大値

√32をとる． ……（答）

III 0

(1) AE = 3a，AF = 4a より，�AEF = 12AE · AF sin 60◦ = 1

2× 3a × 4a ×

√32=

3√3a2 ……（答）

(2) 頂点 Dから �ABCに 線 DHを す．

DA = DB = DC，∠DHA = ∠DHB = ∠DHC = 90◦より (DH は )，�DHA ≡ �DHB ≡

�DHCとなる め，AH = BH = CHであり，点 Hは �ABCの 心である．

�ABCで より

BCsin A

= 2AH

AH = 6a

2 ×√32

=6√3

a = 2√3a

�AHDで の より

HD2 = AD2 −AH2 = (6a)2 − (2√3a)2 = 24a2

HD = 2√6a

求める 積 V は

V = 13

× �AEF ×HD

=13

× 3√3a2 × 2

√6a

= 6√2a3 ……（答）

2019年 4月 9日 (初校反映) 7

II 0

(1) AP = t，QA = 12

t，PB = 4 − t，BM = MC =√3，CQ = 2 − 1

2t となる．

よって �APQ = 12AP · AQsin 60◦ = 1

2× t × 1

2t ×

√32=

√38

t2 ……（答）

(2) �PBM = 12BP · BMsin 30◦ = 1

2(4 − t) ×

√3 × 1

2=√3 −

√34

t ……（答）

(3) �CQM = 12CQ · CM = 1

2(2 − 1

2t)√3 =

√3 −

√34

t

，�ABC = 2√3より

�PQM = �ABC − (�APQ + �PBM + �CQM)

= 2√3 −

( √38

t2 +√3 −

√34

t +√3 −

√34

t)

= −√38

t2 +√32

t

= −√38

(t − 2)2 +√32

となる．0 < t < 4より，t = 2で最大値

√32をとる． ……（答）

III 0

(1) AE = 3a，AF = 4a より，�AEF = 12AE · AF sin 60◦ = 1

2× 3a × 4a ×

√32=

3√3a2 ……（答）

(2) 頂点 Dから �ABCに 線 DHを す．

DA = DB = DC，∠DHA = ∠DHB = ∠DHC = 90◦より (DH は )，�DHA ≡ �DHB ≡

�DHCとなる め，AH = BH = CHであり，点 Hは �ABCの 心である．

�ABCで より

BCsin A

= 2AH

AH = 6a

2 ×√32

=6√3

a = 2√3a

�AHDで の より

HD2 = AD2 −AH2 = (6a)2 − (2√3a)2 = 24a2

HD = 2√6a

求める 積 V は

V = 13

× �AEF ×HD

=13

× 3√3a2 × 2

√6a

= 6√2a3 ……（答）

①

②

②①

179

解答例・解説

数学〔Ｂ方式（ 1 /31）〕2019年 4月 9日 (初校反映) 9

B 数 学 (解答)

I 0

(1)

(x2 + x + 1)2 − (2x + 1)2 − (x2 − 1)2 =(x2 + x + 1 + 2x + 1

) (x2 + x + 1 − 2x − 1

)− (x2 − 1)2

= (x2 + 3x + 2)(x2 − x) − (x2 − 1)2

= x(x − 1)(x + 1)(x + 2) − {(x + 1)(x − 1)}2

= (x − 1)(x + 1) {x (x + 2) − (x + 1)(x − 1)}= (x − 1)(x + 1)(x2 + 2x − x2 + 1)= (x − 1)(x + 1)(2x + 1) ……（答）

(2)

(x +√2)(y − 2

√2) = 8 − 5

√2

xy − 2√2x +

√2y − 4 = 8 − 5

√2

(xy − 12) + (y − 2x + 5)√2 = 0

x，yは なので

xy − 12 = 0

y − 2x + 5 = 0が り ．こ を解いて (x, y) =

(− 32,−8

), (4, 3) ……（答）

(3) i) 200 ÷ 4 = 50， よって 50 ……（答）

ii) 200 ÷ 5 = 40， よって 40 ……（答）

iii) 200 ÷ 6 = 33あ り 2， よって 33 ……（答）

iv) 4で 5で り る のは 200 ÷ 20 = 10より，10

5で 6で り る のは 200 ÷ 30 = 6あ り 20より，6

4で 6で り る のは 200 ÷ 12 = 16あ り 8より，16

4で 5で 6で り る のは 200 ÷ 60 = 3あ り 20より，3

以上より，

4か 5か 6のい かで り る のは 50+ 40+ 33− 10− 6− 16+ 3 = 94 なので，

4で 5で 6で り ない のは 200 − 94 = 106 ……（答）

II 0

(1) S1 =12

× 13 × 13 × sin 60◦ = 1694

√3 ……（答）

(2) ラ の より CBBE

· EGGA

· AFFC=

41

· EGGA

· 31= 1，よって EG = 1

12GA

S2 : S3 = AE : AGであるので，S2 : S3 = 13 : 12 ……（答）

(3) S3 =1213

S2 =1213

· 14

S1 =313

S1

S4 = S1 − 3 · S3 = S1 − 3 · 313

S1 =413

S1 =413

· 1694

√3 = 13

√3 ……（答）

(4) �GHIの重心をO，GKと JLの交点をM，HLと JKの交点を Nとする．ここで，OはGK

と HLの交点である．

GJKLは となるので JM=ML．よって �JKLに いて KMは 線．

に JHKL となるので JN=NK．よって �JKLに いて LNは 線．2019年 4月 9日 (初校反映) 10

Oは KMと LNの交点であるから，Oは �JKLの重心であり，�GHIと �JKLの重心は一

致する． ……（答）

III 0

(1) f (x) = −x2 + 4x = −(x − 2)2 + 4より，上に凸で軸が x = 2のグラフであるから，軸が区間

a � x � a + 1にある場合とそうでない場合に分けて考える．

軸が区間 a � x � a + 1にあるのは a � 2 � a + 1より 1 � a � 2

i) a < 1のとき， f (x)は x = a + 1のとき最大となる．

よって b = f (a + 1) = −(a + 1)2 + 4(a + 1) = −a2 + 2a + 3

ii) 1 � a � 2のとき，軸を含む区間であるので f (x)は頂点の y 座標 4が最大値となる

iii) 2 < aのとき， f (x)は x = aのとき最大となる．

よって b = f (a) = −a2 + 4a

以上より，b = g(a) =

−a2 + 2a + 3 (a < 1)

4 (1 � a � 2)

−a2 + 4a (2 < a)ここで，−a2 + 2a + 3 = −(a − 1)2 + 4，− a2 + 4a = −(a − 2)2 + 4．よってグラフは図のよう

になる． ……（答）

(2)

1

4

2-1 4

b = g(a)

a

b

O

−a2 + 2a + 3 = 0を解くと

(a − 3)(a + 1) = 0

a = −1, 3

−a2 + 4a = 0を解くと

a(a − 4) = 0

a = 0, 4

より，求める面積は図の斜線部

求める面積 S は

S =∫ 1

−1

(−a2 + 2a + 3

)da +

∫ 2

1

4da +∫ 4

2

(−a2 + 4a

)da

=

[− a3

3+ a2 + 3a

]1−1+

[4a

]21

+

[− a3

3+ 2a2

]42

={(− 13+ 1 + 3

)−(13+ 1 − 3

)}+ 4 +

{(− 64

3+ 32

)−(− 83+ 8

)}

=163+ 4 + 24 − 56

3

=443

……（答）

2019年 4月 9日 (初校反映) 9

B 数 学 (解答)

I 0

(1)

(x2 + x + 1)2 − (2x + 1)2 − (x2 − 1)2 =(x2 + x + 1 + 2x + 1

) (x2 + x + 1 − 2x − 1

)− (x2 − 1)2

= (x2 + 3x + 2)(x2 − x) − (x2 − 1)2

= x(x − 1)(x + 1)(x + 2) − {(x + 1)(x − 1)}2

= (x − 1)(x + 1) {x (x + 2) − (x + 1)(x − 1)}= (x − 1)(x + 1)(x2 + 2x − x2 + 1)= (x − 1)(x + 1)(2x + 1) ……（答）

(2)

(x +√2)(y − 2

√2) = 8 − 5

√2

xy − 2√2x +

√2y − 4 = 8 − 5

√2

(xy − 12) + (y − 2x + 5)√2 = 0

x，yは なので

xy − 12 = 0

y − 2x + 5 = 0が り ．こ を解いて (x, y) =

(− 32,−8

), (4, 3) ……（答）

(3) i) 200 ÷ 4 = 50， よって 50 ……（答）

ii) 200 ÷ 5 = 40， よって 40 ……（答）

iii) 200 ÷ 6 = 33あ り 2， よって 33 ……（答）

iv) 4で 5で り る のは 200 ÷ 20 = 10より，10

5で 6で り る のは 200 ÷ 30 = 6あ り 20より，6

4で 6で り る のは 200 ÷ 12 = 16あ り 8より，16

4で 5で 6で り る のは 200 ÷ 60 = 3あ り 20より，3

以上より，

4か 5か 6のい かで り る のは 50+ 40+ 33− 10− 6− 16+ 3 = 94 なので，

4で 5で 6で り ない のは 200 − 94 = 106 ……（答）

II 0

(1) S1 =12

× 13 × 13 × sin 60◦ = 1694

√3 ……（答）

(2) ラ の より CBBE

· EGGA

· AFFC=

41

· EGGA

· 31= 1，よって EG = 1

12GA

S2 : S3 = AE : AGであるので，S2 : S3 = 13 : 12 ……（答）

(3) S3 =1213

S2 =1213

· 14

S1 =313

S1

S4 = S1 − 3 · S3 = S1 − 3 · 313

S1 =413

S1 =413

· 1694

√3 = 13

√3 ……（答）

(4) �GHIの重心をO，GKと JLの交点をM，HLと JKの交点を Nとする．ここで，OはGK

と HLの交点である．

GJKLは となるので JM=ML．よって �JKLに いて KMは 線．

に JHKL となるので JN=NK．よって �JKLに いて LNは 線．2019年 4月 9日 (初校反映) 10

Oは KMと LNの交点であるから，Oは �JKLの重心であり，�GHIと �JKLの重心は一

致する． ……（答）

III 0

(1) f (x) = −x2 + 4x = −(x − 2)2 + 4より，上に凸で軸が x = 2のグラフであるから，軸が区間

a � x � a + 1にある場合とそうでない場合に分けて考える．

軸が区間 a � x � a + 1にあるのは a � 2 � a + 1より 1 � a � 2

i) a < 1のとき， f (x)は x = a + 1のとき最大となる．

よって b = f (a + 1) = −(a + 1)2 + 4(a + 1) = −a2 + 2a + 3

ii) 1 � a � 2のとき，軸を含む区間であるので f (x)は頂点の y 座標 4が最大値となる

iii) 2 < aのとき， f (x)は x = aのとき最大となる．

よって b = f (a) = −a2 + 4a

以上より，b = g(a) =

−a2 + 2a + 3 (a < 1)

4 (1 � a � 2)

−a2 + 4a (2 < a)ここで，−a2 + 2a + 3 = −(a − 1)2 + 4，− a2 + 4a = −(a − 2)2 + 4．よってグラフは図のよう

になる． ……（答）

(2)

1

4

2-1 4

b = g(a)

a

b

O

−a2 + 2a + 3 = 0を解くと

(a − 3)(a + 1) = 0

a = −1, 3

−a2 + 4a = 0を解くと

a(a − 4) = 0

a = 0, 4

より，求める面積は図の斜線部

求める面積 S は

S =∫ 1

−1

(−a2 + 2a + 3

)da +

∫ 2

1

4da +∫ 4

2

(−a2 + 4a

)da

=

[− a3

3+ a2 + 3a

]1−1+

[4a

]21

+

[− a3

3+ 2a2

]42

={(− 13+ 1 + 3

)−(13+ 1 − 3

)}+ 4 +

{(− 64

3+ 32

)−(− 83+ 8

)}

=163+ 4 + 24 − 56

3

=443

……（答）

189189

解答例・解説

数学〔Ａ方式 1 /29〕Ⅰ⑴　まず展開して式を整理し、共通項を見つける。⑵　（ 7 人が円卓を囲んで座る座り方）－（先生 2 人が隣り合って座る座り方）を計算して求める。⑶　ｉ）△ACD に正弦定理をあてはめる。　　ⅱ）△ADB に余弦定理をあてはめて DB の長さを求める。

　　　　△ABD＝ 12 AB・BD sin∠ABD

Ⅱ⑴　まず、 1 ≦ a ≦ 4 、 0 ≦ b ≦ 4 、 1 ≦ c ≦ 4 …①である。次に、自然数 n についての式をつくる。　　n＝52a＋5b＋c

　＝82c＋8a＋b　　63c＝17a＋4b …②　　①より、　　63c≦17×4＋4×4

c≦ 8463

　　これと①から c＝1 が求まる。　　　63＝17a＋4b　　b に 0 から 4 を順次代入し、a が整数であることから a を求める。⑶　⑵で求めた91を 2 進法で表す。

Ⅲ⑴　頂点が（p， q）である 2 次関数は、f（x）=（x－p）2＋q と表せる。　　与式をこの形に変形する。

⑵　条件を満たすのは、　　グラフの軸が 1 ＜ x＜ 3 …①　　f ⑴＞ 0 …②　　f ⑶＞ 0 …③　　頂点の y座標＜ 0 …④　　①～④を解いて a の共通部分を求める。

数学〔Ａ方式 1 /30〕Ⅰ⑴　分母を有理化すると、2＋√3　　　3＜2＋√3 ＜4　　なので a と b の値が求まる。⑵　ｉ）機械Ａの不良品の確率と機械Ｂの不良品の確率を加えると、

　　　 80100 × 5

100 ＋ 20100 × 7

100 　　ⅱ）（機械Ａで製造された不良品を取り出す確率）÷（不良品を取り出す確率）を計算する。⑶　 1 ）場合分けをして絶対値をはずし、それぞれの不等式を解く。　　 2 ）共通部分を求める。

Ⅱ⑴　△ABC は∠A＝60°、∠B=30°の直角三角形。

　　△APQ＝ 12 AP・AQ sin60°

⑵　△PBM＝ 12 BP・BM sin30°

⑶　△PQM＝△ABC－（△APQ＋△PBM＋△CQM）　　なので、△PQM は t の 2 次関数で表せる。　　　f（t）＝（t－p）2＋q　　の形に変形して最大値を求める。

Ⅲ⑴　図をかいて解くこと。　　AE＝3a　AF＝4a

　　△AEF＝ 12 AE・AF sin60°

190190

解答例・解説

数学〔Ｂ方式 1 /31〕Ⅰ⑴　まず、式の特徴をつかむ。 1 項と 2 項、 3 項がそれぞれ平方の差になっていることに注目し、和と差の積に因数分解し、共通項をくくりだ

す。⑵　x、yが有理数のとき、　　x＋y√a＝0 ならば　　x＝0、y＝0　　が成り立つ。

⑶　（ 4 か 5 か 6 で割り切れる数）＝（ 4 で割り切れる数）＋（ 5 で割り切れる数）＋（ 6 で割り切れる数）－（ 4 でも 5 でも割り切れる数）－（ 4 でも6 でも割り切れる数）－（ 5 でも 6 でも割り切れる数）＋（ 4 でも 5 でも 6 でも割り切れる数）

Ⅱ⑴　三角形の面積の公式を使って求める。⑵　S2：S3＝AE：AG　　であることを押さえたうえで、メネラウスの定理を利用して AE：AG を求める。⑶　S4＝S1－3S3 なので、S3 と S1 の関係を求める。⑷　△GHI の重心をＯとする。GK と JL の交点をＭ、HL と JK の交点をＮとするとＯは GK と HL の交点。四角形 GJKL と四角形 JHKL はひ

し形。△JKL において KM と LN は中線であることから結論が導かれる。

Ⅲ⑴　 2 次関数 f（x）は上に凸で、軸が x＝2 のグラフなので、軸が区間 a ≦ x≦ a＋1 にあるときと、そうでないときに場合分けする。　　f（x）は、　　 a ＜ 1 では、x＝a＋1 のとき最大値　　 1 ≦ a ≦ 2 では、最大値 4　　 2 ＜ a では、x＝a のとき最大値となる。⑵　グラフと a 軸の交点の座標を求め、⑴で書いたグラフの 0＜b の部分の面積を積分を利用して求める。

　⑵　三角錐 AEFD の体積

　　＝ 13 ×△AEF ×高さ

　　頂点Ｄから△ABC までの距離が高さなので、頂点Ｄから△ABC に垂線を下ろして DH とし、その長さを求める。　　点Ｈは△ABC の外心なので、まず AH の長さを求める。　　次に△AHD が直角三角形であることを利用して、三平方の定理より DH を求める。