BAB III

ALJABAR

Perhatikan uraian berikut!

Ian memiliki 2 jambu, 3 mangga dan 5 sawo. Jika jambu dilambangkan sebagai j, mangga

sebagai m, dan sawo sebagai s, maka dikatakan bahwa Ian memiliki 2j+3m+5s.

Dari uraian diatas, bentuk 2j+3m+5s merupakan contoh bentuk aljabar dimana j,m,s di sebut

peubah atau variabel; 2,3,5 merupakan koefisien; dan 2j,3m,5s disebut suku.

Bentuk aljabar merupakan bentuk kalimat matematika yang melibatkan

angka(konstanta), huruf(variabel), koefisien dan operasi hitung.

Konstanta(tetapan) adalah lambang sebuah ide tertentu.

Variabel(peubah) adalah lambang pengganti suatu konstanta yang belum diketahui

dengan jelas.

Koefisien adalah faktor konstanta (angka) yang mendahului suatu variabel.

Jika suatu bentuk aljabar dituliskan sebagai jumlah atau selisih dari beberapa bentuk

aljabar lain maka setiap bentuk tersebut dinamakan suku.

Suku- suku sejenis yaitu suku – suku yang mengandung variabel yang sama dengan

pangkat yang sama.

Faktor, jika a,b dan cvilangan rill dan a=b x c maka b dan c merupakan faktor – faktor

dari a.

Contoh 1

Tentukan banyaknya variabel, koefisien, konstanta, suku dan suku sejenis dari bentuk aljabar

x2-y2+2x+6y2+3xy+12 !

Jawab: Banyaknya variabel ada dua yaitu x dan y. Koefisien x adalah 2, koefisien y2 adalah 6, dan koefisien xy adalah 3. Konstanta adalah 12 Banyaknya suku ada 6, yaitu x2, -y2, 2x, 6y2, 3xy, dan 12 Suku sejenis adalah -y2 dan 6y2.

Contoh 2Tentukan faktor dari :a. 3xyb. 6x2yz2 dan 10x9y2z3

Jawab:

a. 3xy = 3 × x × y, maka faktor dari 3xy adalah 3,x dan yb. 6x2yz2 = 2 × 3 × x2 × y× z3

10x9y2z3 = 2 × 5 × x9 × y2 × z3

Faktor didapat dengan mengalikan faktor yang sama dengan variabel pangkat terendah.Jadi, faktor dari 6x2yz2 dan 10x9y2z3 adalah 2 × x2 × y× z3 = 2x2yz3

Latihan 1

1. Pada bentuk aljabar 2 x2−3 x+4 xy− y2+3 xy−5 ,tentukanlah :a. Banyaknya sukub. Banyaknya variabelc. Banyaknya suku –suku sejenisd. Banyaknya konstantae. Koefisen y2

2. Tentukan faktor sekutu dari kedua suku berikut!a. 4 x3 y5 dan 6 x y8

b. 2 a3 b2 c dan18 a c2

Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat dilakukan pada suku – suku sejenis. Hasilnya adalah jumlah atau selisih dari koefisien – koefisien suku – suku sejenis tersebut. Bentuk sederhana dari suatu bentuk aljabar didapat jika banyaknya suku dan tanda operasi ( +,-,x,: ) sedikit mungkin.Contoh:Jumlahkan bentuk aljabar 8 x2+ x−2 dengan 2 x2−3 x−5!Jawab:

(8 x2+x−2 )+(2 x¿¿2−3x−5)=8 x2+2 x2+x−3x−2−5¿¿10 x2−2x−7

Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut !a. 3 x+ y+4 z−1+x−2 y−3 z

b. 4 x2 y−7 xy−8 y x2+9 xy

Jawab:

a. 3 x+ y+4 z−1+x−2 y−3 z=(3 x+x )+( y−2 y )+( 4 z−3 z )−1¿4 x− y+z−1

b. 4 x2 y−7 xy−8 x2 y+9 xy=( 4 x2 y−8 x2 y )−(7 xy+9 xy )

¿−4 x2 y+2 xy2. Perkalian dan pembagianContoh:Selesaikan bentuk – bentuk operasi perkalian dan pembagian berikut! 7 p×8q 3 ab2× 4 a2b3

−5 x2 ( x−4 ) 27 a4 :9 a3

51 y6

3 y 9¿¿

Jawab:

7 p×8q=7 × 8× p × q=56 pq 3 ab2× 4 a2b3=3×4 ×a × a2 ×b2 ×b3=12 a3 b5

−5 x2 ( x−4 )=−5 x3+20 x2

27 a4 :9 a3=27 a4

9 a3 =279

a4−3=3a

51 y6

3 y=51

3y6−1=17 y5

9¿¿

3. Bentuk perkalian sederhanaa. Perkalian suku dua : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Contoh:( x+2 ) (x−3 )=x × x+2× x−3× x−3×2¿ x2+2x−3 x−6¿ x2−x−6

b. Kuadrat suku dua : ¿¿

Contoh: ¿

c. Selisih dua kuadrat: (a+b ) (a−b )=a2−b2

Contoh: (a+3 ) (a−3 )=x2−9

Latihan 2

1. 6 p8 q5 ×7 p2 q3

2. 5 xy ( 2x−4 xy2 )−8x2 y+23 x2 y3

3. 5 x−24+1−5 ( x− y−1 )

4.27 x5 y6

3 x3 y5. (3 x−4 ) ( x+5 )6. ¿7. (a−6 ) (a+6 )

Operasi Pecahan Pada Bentuk Aljabar

1. Operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan pada bentuk aljabar umumnya sama dengan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan. Kita harus menyamakan penyebut dari pecahan tersebut kemudian baru dijumlahkan atau dikurangi.Contoh:

2xy

+ 3 x−7y

=2 x+3 x−7y

=5 x−7y

4a+ 3a

b=4 .b

a .b+ 3 a .a

b . a=4b+3a

ab

2

2. Operasi perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar juga sama dengan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan pecahan. Untuk perkalian, pembilang dikalikan dengan pembilang dan penyebut dikalikan dengan penyebut. Sedangkan untuk pembagian, yaitu mengalikan dengam kebalikan pecahan pembagi.Contoh :

4 k2

3 m× 2k

5m= 4k 2×2k

3 m×5 m= 8 k3

15m2

9x÷ 3

x2 y=9

x× x2 y

3=9×x2 y

x×3=9x2 y

3 x=3 xy

3. Operasi pangkat pecahan aljabarContoh :

( 2

x )3

=23

x3= 8

x3

( 32

y3 )4

= 32×4

y3×4= 38

y12

( xy2

p3 )5

= x1×5 y2×5

p3×5= x5 y10

p15

Latihan 3

1. Selesaikanlah operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar berikut ini !

a.

4x+ 9

x

b.

125 p

+ 32 p

c.

5bq

− 32q

d.

4 a+15

−3a−12

2. Hitunglah operasi pecahan bentuk aljabar berikut !

a.

3 p4

× 45 p

b.

ac−3 c4 b

× 82 c

c.

12xy

÷4 x3 y d.

13 a3 b5 x2

÷2 xab2

2

3. Hitunglah ( n3 x3 t5

r4 )2

!4. Gambar dibawah ini adalah persegi dengan panjang sisi 4x.

4x

4x

Hitunglah keliling dan luas persegi tersebut !

SOAL UJIAN

1. Sederhanakanlah bentuk – bentuk aljabar berikut !

a. 20 x2+3 x− y2+4 x−12 x2

b. a3+5 y2−10 a+2 a2−5 y2+3a

c. 4 a2b+3 ab2+b−2 a+a2 b−4 b2

2. Tentukanlah hasil operasi pada bentuk - bentuk aljabar berikut!

a. (2 x2+5)+(−3 x2+10 )

b. ( x−2 y )+(11 y−3 x )

c. (3 y2−5)−(5 y2+6 )

d. (a2−5a+6)−(−4 a2+2 a−1)3. Tentukanlah hasil perkalian berikut !

a. −6 (4b−3 x )

b. (2 a−3b )( 4a+5 b )

c. (3 p+7 q )2

4. Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut !

a.

110 x

−2 x−52 x

b.

3

xy2+ 2−x

x2 y5. Tentukanlah hasil dari operasi pecahan pada bentuk aljabar berikut !

a.

8 a2 y3

6 ay2 z× 4 z2

zy

b.

3 y2

4÷21 x

16

c.( xy

wz )3

6. Sebuah aquarium terbuat dari kaca berbentuk balok. Jika panjang aquarium itu adalah (2x+1), lebarnya adalah (x+2) dan tingginya adalah x. Nyatakan volome tersebut dalam bentuk aljabar !