Al Paraguay que me adoptó, · [email protected]. Índice general Prólogo i Derecho de Autor iii Sobre el Autor v Capítulo 1. Introducción 1 1 Fórmulas del Álgebra.....1

Al Paraguay que me adoptó,

NUEVOS METODOS DE GEOMETRÍA

ANALÍTICA

por

Don Danny

11 de enero de 2015

[email protected]

Índice general

Prólogo i

Derecho de Autor iii

Sobre el Autor v

Capítulo 1. Introducción 1

1 Fórmulas del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Fórmulas de identidad 11.2 Ecuación del segundo grado 11.3 Resolución de un sistema de ecuaciones 21.4 Los Determinantes 31.4.1 Método del menor complementario para hallar los

determinantes 31.4.2 Método de Sarrus para hallar los determinantes 4

2 Principios de Geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Los ángulos 62.1.1 Unidades de medida de los ángulos 62.1.2 Minutos y Segundos 72.1.3 Clasi�cación de los ángulos 82.2 El triángulo 92.2.1 El teorema de Tales 112.3 La circunferencia 11

3 Fórmulas de la trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1 Ángulos positivos y negativos 163.2 De�nición de las funciones trigonométricas 173.2.1 Representación general de las funciones 193.2.2 Algunos valores de las funciones trigonométricas 213.2.3 Identidades de base de la trigonometría 21

Índice general

3.2.4 Identidades en función deα

222

3.2.5 Identidadesα

2en función de α 23

3.2.6 Seno, coseno y tangente de suma y diferencia 233.2.7 Suma y diferencia de senos, cosenos 243.2.8 Identidades de funciones con α± π

2y α± π 24

3.3 Funciones arcsin, arc cos, y arctan 273.4 Los triángulos 303.4.1 Notación de los triángulos 303.4.2 Regla de los senos 313.4.3 Regla de los cosenos 32

3.4.4 Fórmulas de senA

2, y de cos

A

233

3.4.5 Regla de las tangentes 353.4.6 Cálculo de la super�cie de un triángulo 363.5 Conclusión 37

4 Formulario de trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Capítulo 2. El punto 43

1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Segmento rectilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Segmento rectilíneo dirigido 432.2 Sistema de coordenada lineal 442.2.1 Distancia entre 2 puntos de segmento rectilíneo dirigido 45

3 Sistema de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . 473.1 Los cuadrantes 483.2 Coordenadas del punto P 493.3 Distancia entre 2 puntos en el sistema de coordenadas 573.4 División de un segmento en una razón r dada 583.4.1 Coordenadas del punto P qui divide un segmento según la

razón r positiva 583.4.2 Coordenadas del punto P qui divide un segmento según una

razón r negativa 603.5 Pendiente de una recta 723.6 Coordenadas de la extremidad de un segmento de longitud L y de

pendiente m 73

Índice general

3.7 Ángulo entre dos rectas 773.7.1 Condición para que dos rectas de pendiente m1 y m2 sean

paralelas 793.7.2 Condición para que dos rectas sean perpendiculares 793.7.3 Mediatriz, lugar geométrico equidistante de 2 puntos 853.8 Transformación de los ejes coordenados 903.8.1 Traslación de los ejes coordenados 903.8.2 Rotación de los ejes coordenados 923.9 Rotación de punto 1013.9.1 Rotación de punto al usar el origen de los ejes coordenados

como pivote 1013.9.2 Rotación de punto con centro de rotación O′(O′x, O′y) 103

4 Formulario del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Capítulo 3. La Recta 109

1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2 De�nición de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.1 Las dos formas de ecuación de la recta 1102.2 Intersección de la recta con los ejes XY 1112.3 Recta paralela a los ejes de coordenadas XY 1122.4 Rectas paralelas y rectas perpendiculares 1122.5 La tercera forma de ecuación de la recta pasando por 2 puntos 1152.6 Ecuación simétrica de la recta 116

3 Ecuación general de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.1 Posiciones relativas de dos rectas 1213.2 Distancia de un punto a una recta 127

4 Ecuación normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.0.1 Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a

la forma normal 1334.0.2 Recta bajo la forma normal pasando por un punto P (xP , yP )1374.0.3 Ecuación en forma normal de la recta distante de d a un

punto A y pasando por un punto P dado 1454.0.4 Estudio del caso particular ∆x = d 1514.1 Ecuación de la recta paralela distante de d a una recta R0 1544.2 Ecuación de la bisectriz 157

Índice general

4.2.1 Fórmulas de ecuaciones de las bisectrices por el método delas rectas normales 161

4.2.2 Estudio del termino tgω1 + ω2

2164

4.2.3 Ejemplos de cálculos de bisectrices donde una de la recta esde la forma Ax+ C = 0 o By + C = 0 170

5 Algunas aplicaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 1785.1 Área del triángulo por los vértices 1785.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de

determinante 1815.2.1 Condición para que 3 rectas sean concurrentes 1825.3 Baricentro del triángulo 186

6 Formulario de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Capítulo 4. La circunferencia 193

1 De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

2 Ecuación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1962.1 Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones

dadas 199

3 Familias de circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083.1 Familia de curvas pasando por la intersección de 2 circunferencias 2083.2 El eje radical 2113.3 Estudio de las condiciones de intersección de dos circunferencias 2123.3.1 Factor de intersección de dos circunferencias 2133.3.2 Los puntos de intersección de dos circunferencias 216

4 La recta y la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.1 La secante a la circunferencia 2314.1.1 Coordenadas de los puntos de intersección de una recta con

una circunferencia 2314.1.2 Cálculo de las coordenadas de los extremos del diámetro con

la circunferencia 2344.1.3 Hallar las pendientes de las 2 rectas pasando por un punto P

y cortando una circunferencia según una longitud de cuerdaimpuesta 236

Índice general

4.1.4 Determinar la recta de pendiente m dada que corta unacircunferencia según una longitud de cuerda impuesta 239

4.1.5 Longitud de una cuerda 2424.2 La tangente a la circunferencia 2444.2.1 Ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un

punto dado de contacto 2454.2.2 Ecuación de la tangente de pendiente dada m a una

circunferencia dada 2474.2.3 Ecuación de la tangente a una circunferencia dada y que pasa

por un punto P exterior dado 2524.3 Longitud de una tangente a la circunferencia 2564.4 La recta normal en un punto P 2574.5 Condición de intersección de una recta con la circunferencia. 258

5 Hallar la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2635.1 Determinar la circunferencia inscrita a un triángulo 2635.1.1 Determinar las coordenadas del centro de la circunferencia

por las bisectrices 2645.1.2 El método de las paralelas 2675.2 Circunferencias perteneciendo a familia de circunferencias 2695.2.1 Escribir la ecuación de la familia de las circunferencias

pasando por un punto P (x1, y1) 2705.2.2 Escribir la ecuación de la familia de las circunferencias

pasando por 2 puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) 2715.2.3 Hallar la circunferencia pasando por un punto P y que

pertenece a la familia de circunferencias Γ1 y Γ2 2755.2.4 Hallar la ecuación de circunferencia que pasa por las

intersecciones de las circunferencias Γ1 y Γ2 y cuyo el centroes sobre una recta dada de ecuación y = mx+ b 277

5.2.5 Hallar las circunferencias tangentes a una recta y pasandopor las intersecciones de dos circunferencias dadas 280

5.2.6 Hallar la ecuación de la circunferencia pasando por un puntoP (xP , yP ) dado y por las intersecciones de una circunferenciaΓ con una recta Re. 283

5.3 Hallar el radio de circunferencia de centro dado 2865.3.1 Hallar el radio de una circunferencia conociendo las

coordenadas del centro y una tangente 2865.3.2 Hallar el radio de la circunferencia centrada en C cortada por

una recta dada según una longitud de cuerda impuesta 2875.4 Hallar el centro de la circunferencia de radio R dado 289

Índice general

5.4.1 Hallar el centro de la circunferencia de radio R y tangente ados rectas 289

5.5 Hallar la circunferencia tangente a 2 rectas y pasando por unpunto 295

6 La circunferencia como lugar geométrico . . . . . . . . . . 299

7 Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3037.1 La cicloide 3037.1.1 Las Trocoides 3057.1.2 Cálculo de las coordenadas del punto M exterior a la

circunferencia 3067.1.3 Cálculo de las coordenadas del punto N interior a la

circunferencia 3087.2 Epicicloide 3107.2.1 Epicicloides por diferentes valores de N 3127.3 Hipocicloide 3137.3.1 Hipocicloides por diferentes valores de N 3157.4 Evolvente 316

8 Formulario de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . 318

Capítulo 5. La parábola 325

1 De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3251.1 Cuerda focal y lado recto 3261.2 Ecuación de la parábola 3271.2.1 Parábola de eje confundido con el eje Y 3291.3 Ecuación de parábola de vértice (xv, yv) y con eje paralelo a un

eje coordenado 3311.3.1 Ecuación de la parábola bajo la forma Ax2 + Cy2 + Dx +

Ey + F = 0 3321.3.2 La parábola de forma cuadrática y = ax2 + bx+ c 3381.3.3 Hallar la ecuación de la parábola al aplicar la de�nición 3401.3.4 Longitud del lado recto 3411.3.5 Hallar la parábola conociendo la directriz de la forma

y = mx+ b y las coordenadas del foco 3421.4 Ecuación general de la parábola 3441.4.1 La parábola inclinada y de vértice centrado al origen O(0, 0) 344

Índice general

1.4.2 Ecuación general de parábola inclinada y de vértice decoordenadas (xv, yv) 348

1.4.3 Coordenadas del vértice V , coordenadas del foco F , ydirectriz de una parábola de ecuación general 351

1.4.4 Resumen de las fórmulas para hallar las coordenadas del focoy la directriz de una parábola de ecuación general 352

1.4.5 Fórmula de la ecuación general de la parábola a partir de lascoordenadas del vértice, de la pendiente tg θ del eje focal y dela distancia focal p 361

1.4.6 Hallar la ecuación de la parábola por θ = 0 o θ = 90◦ 3641.4.7 Característica de la parábola 365

2 La tangente a la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3662.1 La tangente trazada de un punto perteneciendo a la parábola 3662.1.1 Tangente a un punto de la parábola de forma y2 = 4px 3662.1.2 Tangente a un punto de la parábola de forma x2 = 4py 3672.2 La tangente a la parábola de pendiente m dada 3702.2.1 Tangente de pendiente m a la parábola de forma y2 = 4px 3702.2.2 Tangente de pendiente m a la parábola de forma x2 = 4py 3702.3 Tangente trazada a partir de un punto P (xP , yP ) exterior a una

parábola 3722.3.1 Tangente trazada a partir de un punto exterior a una parábola

de forma y2 = 4px 3722.3.2 Tangente trazada a partir de un punto exterior a una parábola

de forma x2 = 4py 3752.4 Tangente a la parábola de vértice (xv, yv) 3792.4.1 Tangente a un punto P (x1, y1) de la parábola de eje horizontal

de forma Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 3792.4.2 Tangente a un punto P (x1, y1) de la parábola de eje vertical

de forma Ax2 +Dx+ Ey + F = 0 3802.4.3 La tangente a un punto de la parábola Ax2 + Bxy + Cy2 +

Dx+ Ey + F = 0 3822.5 Fórmula general de la pendiente de tangente trazada a partir de

un punto P (xP , yP ) exterior 3862.5.1 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la

parábola de eje horizontal. 3862.5.2 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la

parábola de eje vertical. 3892.5.3 Pendiente de tangentes trazada a partir de P exterior a la

parábola de eje inclinado. 391

Índice general

3 Propiedades de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.0.4 Demostración Geométrica 401

4 La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . 4074.1 Altura y Alcance 4084.1.1 Alcance de una bomba 410

5 Formulario de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

Capítulo 6. La elipse 427

1 De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

2 Ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4282.1 Elipse de eje focal coincidiendo con el eje Y 4302.1.1 La excentricidad de la elipse 4312.1.2 Cálculo del lado recto de la elipse 4312.1.3 El método de Trammel para construir una elipse 4322.1.4 Directriz de una elipse 4352.2 Ecuación de la elipse de centro (xC , yC) con los ejes paralelos a

los coordenados 4382.3 Ecuación general de la elipse 4412.3.1 Ecuación general de la elipse de la forma Ax2 +Bxy +Cy2 +

F = 0 4462.3.2 Calcular la pendiente del eje de la elipse 4482.3.3 Ecuación general de la elipse de la forma Ax2 +Bxy +Cy2 +

Dx+ Ey + F = 0 4582.3.4 Resumen de las fórmulas principales de la elipse bajo forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 4662.3.5 Ecuación de la elipse por las coordenadas del centro (xC , yC),

a, b, y θ 4712.3.6 Característica de la ecuación de elipse Ax2 + Bxy + Cy2 +

Dx+ Ey + F = 0, B2 − 4AC 472

3 La tangente a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4763.1 La tangente trazada a partir de un punto perteneciendo a la elipse476

3.1.1 La tangente a la elipse de la formax2

a2+y2

b2= 1 476

Índice general

3.1.2 Las tangentes trazadas a partir de un punto P exterior a la

elipse de formax2

a2+y2

b2= 1 478

3.1.3 Las tangentes a la elipse de pendiente m 4833.1.4 Tangente a un punto T de la elipse de forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 4843.1.5 Tangente a una elipse de forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx +

Ey + F = 0 trazada a partir de P exterior 486

4 Propiedad de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

5 Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

6 Formulario de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Capítulo 7. La hipérbola 515

1 De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

2 La ecuación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 5162.1 Discusión de la ecuación de la hipérbola 5182.2 Hipérbola de eje focal coincidiendo con el eje Y 5182.2.1 Excentricidad 5192.2.2 Cálculo del lado recto 5192.2.3 Ecuaciones de las directrices de la hipérbola 5212.2.4 Las asíntotas de la hipérbola 5232.3 Hipérbolas conjugadas 5252.4 Hipérbola equilátera 528

2.4.1 Hipérbola equilátera de la forma xy =a2

2528

2.5 Ecuación de la hipérbola de centro (xC , yC) con los ejes transversoy conjugado paralelos a los coordenados 530

2.6 Ecuación general de la hipérbola de forma Ax2 + Cy2 + Dx +Ey + F = 0 531

2.6.1 Ecuación general de la forma(x− xC)2

a2− (y − yC)2

b2= 1 -

Eje transverso paralelo a X 531

2.6.2 Ecuación general de la forma(y − yC)2

a2− (x− xC)2

b2= 1 -

Eje transverso paralelo a Y 535

Índice general

2.6.3 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbolas de ecuacionesAx2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 539

2.7 Ecuación de hipérbola de forma Ax2 +Bxy + Cy2 + F = 0 5402.7.1 Cálculos del ángulo de inclinación θ, y de las longitudes de

los ejes transverso y conjugados a, y b 5412.7.2 Signo del ángulo de inclinación θ 5462.7.3 Longitudes de los ejes transverso y conjugado a, b por

θ = ±45◦ 5522.8 Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola de forma Ax2 +Bxy+

Cy2 + F = 0 5572.9 Hallar la ecuación de una hipérbola centrada al origen a partir de

tg θ, de a, y de b 5602.10 Ecuación de la hipérbola por las ecuaciones de las asintotas y por

la media distancia focal c 5662.11 Ecuación general de la hipérbola bajo la forma Ax2 +Bxy+Cy2 +

Dx+ Ey + F = 0 5712.12 Resumen de las fórmulas bajo la forma Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+

Ey + F = 0 5732.13 La hipérbola y la hipérbola conjugada bajo forma Ax2 + Bxy +

Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 5782.14 Ecuación general de la hipérbola a partir de las coordenadas del

centro C, de tg θ, de a, y de b 5802.15 Las asintotas de la hipérbola de ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 +

Dx+ Ey + F 5812.15.1 Característica de la ecuación de hipérbola Ax2 +Bxy+Cy2 +

Dx+ Ey + F = 0, B2 − 4AC 592

3 Tangente a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

3.1 La tangente a la hipérbola de la formax2

a2− y2

b2= 1 593

3.1.1 Las tangentes trazadas a partir de un punto exterior a la

hipérbola de formax2

a2− y2

b2= 1 597

3.1.2 Las tangentes a la hipérbola de pendiente dada m 6003.1.3 Tangente a un punto de la hipérbola de forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 6033.1.4 Tangente a una hipérbola de forma Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+

Ey + F = 0 trazada a partir de P exterior 607

4 Propiedad de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

Índice general

4.0.5 Hallar la ecuación de la hipérbola a partir de un punto Pde la hipérbola y dos focos utilizando la propiedad de latangente en este punto 627

5 Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

6 Formulario de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

Capítulo 8. Geogebra 641

1 De�nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.1 El programa de base 6421.2 El setup 6421.3 El punto, la recta y las curvas 6461.3.1 El punto 6461.3.2 La recta 6481.3.3 La circunferencia 6501.3.4 Las cónicas 651

2 Entrar las ecuaciones y los comandos . . . . . . . . . . . . 6532.1 Entrar unos puntos y ecuaciones 6542.2 Medida de longitud y de distancia 6572.2.1 Medida de distancia 6572.3 Medida de ángulos y de pendiente 6592.3.1 Medidas de ángulos 6592.3.2 Medidas de pendiente 660

3 Documentación de Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . 661

Bibliografía 663

Índice alfabético 665

Prólogo

Por haber encontrado muchas personas que tienen di�cultades en las matemáti-cas, y especialmente en la Geometría Analítica, decidí de escribir un libro sobre elasunto. Como profesor de matemática - que nunca he enseñado en un colegio o auna escuela - pero que di muchas veces clases particulares. Los alumnos presentantodos y todas los mismos problemas de comprensión. Para preparar un examen o unconcurso los alumnos memorizan o estudian las etapas para resolver un problema sinentenderlo. Este libro propone una solución etapa por etapa para que los estudiantesentienden la Geometría Analítica.

En este libro se da un punto de vista diferente de lo que se ve en los librosde matemática tradicionales. Para empezar, la introducción refresca la mente delos estudiantes al presentar una pequeña revisión sobre las fórmulas de álgebra, degeometría, y de trigonométrica, indispensable para seguir el razonamiento del curso.

Cada capítulo trata un asunto preciso : Comenzamos por el punto, la de�niciónde las coordenadas, el cálculo de la distancia entre 2 puntos etc. . . , y el mas impor-tante es la aplicación de la materia vista por muchos ejemplos. Los asuntos tratadosdesarrollan y demuestran las fórmulas de las propiedades.

En este libro el autor desarrolla unos puntos que no se encuentran en otros librospara que sirve de ejemplo de la manera de considerar un problema.

Los capítulos sobre el punto, la recta y la circunferencia, por ejemplo tratan losproblemas de manera mas práctica y mas sencilla. Un especial esfuerzo fue desarro-llado para que los estudiantes aplican las fórmulas directamente sin pasar por etapasinútiles en la solución de un problema - Sabemos como el tiempo es precioso en unexamen.

i

ii PRÓLOGO

En el capítulo de la circunferencia, se trata además de la circunferencia, tangen-te etc. . . de la cicloide, asunto muy importante, una aplicación de las ecuacionesparamétricas.

Cada aplicación o ejercicio es acompañado por un dibujo para que el estudiantepuede entender y clari�car la solución del problema.

Capítulo 4/Sección 8

8 Formulario de la circunferencia

Ecuación ordinaria de la circunferencia de radio R, y centrada en (xC , yC)(x− xC)2 + (y − yC)2 = R2

Ver (1.1) Pagina 193.

Ecuación de circunferencia de radio R centrada al origenx2 + y2 = R2. Ver (1.2), Pagina 194.

Ecuación general de la circunferencia de radio R, y centrada en (xC , yC)

x2 + y2 +Dx+ Ey + F con xC = −D2, e yC = −E

2

R =1

2

√D2 + E2 − 4F Ver (2.2), Pagina 197.

Familia de circunferencias :(x2 + y2 +D1x+ E1y + F1) + k(x2 + y2 +D2x+ E2y + F2) = 0 con k 6= −1Ver (3.1) Pagina 208.

El Eje Radical : x(D1 −D2) + y(E1 − E2) + F1 − F2 = 0Ver 3.2 Pagina 211.

Factor de intersección : λ =|xC∆D + yC∆E + ∆F |

R√

∆2D + ∆2Econ eje radical

x∆D + y∆E + ∆F = 0, ∆D = D1 −D2, ∆E = E1 − E2, ∆F = F1 − F2

y(xC , yC) coordenadas del centro de una circunferencia. Ver (3.3) Pagina 214.

318 LA PIRATERÍA MATA LA ECONOMÍA - FOTOCOPIAR ES UN DELITO

NUEVOS MÉTODOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA por Don Danny ©2014-2018


Coordenadas de los puntos A y B de intersección entre una circunferencia de radio R,y de centro (xC , yC) y el eje radical perpendicular a la linea diametral dependiente mdiam, se conoce tambien el factor de interseccion λ.

xA = xC ±R√

1 +m2diam

(λ∓mdiam

√1− λ2

)yA = yC ±

R√1 +m2

diam

(λmdiam ±

√1− λ2

)xB = xC ±

R√1 +m2

diam

(λ±mdiam

√1− λ2

)yB = yC ±

R√1 +m2

diam

(λmdiam ∓

√1− λ2

). Ver (3.4) Pagina 218.

Coord Posición Circunferencia Fórmula

xA, xB IzquierdaxC +

R√1 +m2

diam

(λ∓mdiam

√1− λ2

)

yA, yB yC +R√

1 +m2diam

(λmdiam ±

√1− λ2

)

xA, xB

Derecha

xC −R√

1 +m2diam

(λ±mdiam

√1− λ2

)

yA, yB yC −R√

1 +m2diam

(λmdiam ∓

√1− λ2

)

Cuadro 2. coordenadas de los puntos de intersección de dos circunferencias

LA PIRATERÍA MATA LA ECONOMÍA - FOTOCOPIAR ES UN DELITO



Formulas de las coordenadas del diámetro con la circunferencia :

xA, xB = xC ±R√

1 +m2diam

yA, yB = yC ±Rmdiam√1 +m2

diam

. Ver (4.1) Pagina 234.

Pendientes de secantes pasando por P exterior a una circunferencia de radio R

m =∆x∆y ± d

√∆x2 + ∆y2 − d2

∆x2 − d2

con ∆x = xP − xC y ∆y = yP − yC y d distancia de la cuerda al centro C.

Ver (4.2), Pagina 237.

Ecuación de la recta de pendiente m cortando una circunferencia segúnla longitud Lcuerda de cuerda :

Ax

B+ y − AxC

B− yC = ±

√[(A

B)2 + 1]

(R2 − L2

cuerda

4

)y −mx− (yC −mxC) = ±

√(m2 + 1)

(R2 − L2

cuerda

4

)con Lcuerda ≤ 2R. Ver (4.3) Pagina 240.

Longitud Lcuerda del segmento de cuerda perteneciendo a la recta cortandouna circunferencia de radio R y de centro (xC , yC)

Lcuerda = 2√R2 − dist2centro.

Con distcentro siendo la distancia de la recta al centro de la circunferencia.Ver (4.4) Pagina 242




Ecuación de la tangente a una circunferencia en el punto P (x1, y1)

x(xC − x1) + y(yC − y1) = xCx1 + yCy1 − (x21 + y2

1). Ver (4.5) Pagina 246.

Rectas de pendiente m tangentes a una circunferencia

Ax+By = AxC +ByC ±R√A2 +B2 con m = −A

B.

o y −mx = yC −mxC ±R√

1 +m2. Ver (4.6) Pagina 249.

Pendientes mR de las rectas pasando por P (xP , yP ) ytangentes a la circunferencia de radio R y de centro C(xC, yC ).

mR =∆x∆y ±R

√∆x2 + ∆y2 −R2

∆x2 −R2con ∆x = xP − xC y ∆y = yP − yC .

Ver (4.7) Pagina 253.

Longitud de una tangente a la circunferencia.

Ltang = PT =√

(xP − xC)2 + (yP − yC)2 −R2. Ver (4.8) Pagina 256.

Ecuación de la recta normal a la circunferencia de centro C(xC , yC)pasando por P (x1, y1).y(xC − x1) = x(yC − y1) + xCy1 − x1yC . Ver (4.9) Pagina 257.

Ecuación de la familia de circunferencias pasando por P (x1, y1)x2 + y2 +Dx+ Ey −Dx1 − Ey1 − x2

1 − y21 = 0. Ver (5.1), Pagina 270.




Coe�cientes de la familia de circunferencias pasando por P1(x1, y1) y P2(x2, y2)D(x1 − x2) + E(y1 − y2) = x2

2 + y22 − x2

1 − y21

−x21 − y2

1 − x1D − y1E = F . Resolver el sistema de ecuaciones en función de F .Ver (5.2), Pagina 272.

Radio de la circunferencia cortada por una recta según una longitudde cuerda impuesta.Ecuación de la recta Ax+By + C = 0

R =

√L2cuerda

4+

(AxC +ByC + C)2

A2 +B2. Ver (5.3) Pagina 288.

Coordenadas del punto P (x, y) de la cicloide.La cicloide es descrita por el punto P de una circunferencia de centro Cy de radio R rodando sobre el eje X.

θ en radian es el ángulo entre PC y la linea vertical pasando por P .Coordenadas del punto P : x = R(θ − sen θ), y = R(1− cos θ).Ver (7.1) Pagina 304.

Coordenadas del punto M exterior a la circunferencia de centro C de radio Ry rodando sobre el eje X con Re siendo igual a MC > R

Coordenadas del punto M : xM = Rθ −Re sen θ, yM = R−Re cos θ.Ver (7.2) Pagina 307.

Coordenadas del punto N interior a la circunferencia de centro C de radio Ry rodando sobre el eje X con Ri siendo igual a NC < R

Coordenadas del punto N : xN = Rθ −Ri sen θ, yN = R−Ri cos θ.Ver (7.3) Pagina 309.




Coordenadas del punto P describiendo la epicicloide resultando de unacircunferencia satélite Γs de radio Rs rodando al exterior de una circunferenciaplanetaria Γp de radio Rp �ja.

Coordenadas del punto P :xP = (Rp +Rs) cosα−Rs cos [α(1 +N)], yP = (Rp +Rs) senα−Rs sen [α(1 +N)]

con N =Rp

Rs

. Ver (7.4), Pagina 311.

Coordenadas del punto P describiendo la hipocicloide resultando de unacircunferencia satélite Γs de radio Rs rodando al interior de una circunferenciaplanetaria Γp de radio Rp �ja.

Coordenadas del punto P :xP = Rs[(N − 1) cosα + cos [α(N − 1)]], yP = Rs[(N − 1) senα− sen [α(N − 1)]]

con N =Rp

Rs

.

Tomar N ≥ 3 para tener una curva hipocicloide valida. Ver (7.7) Pagina 314.

La extremidad P (x, y) de un hilo tenso describe una curva, llamada evolventecuando se desenrolla de una circunferencia Γ �ja de radio R.θ es el ángulo que hace el radio de la circunferencia con la horizontal.La circunferencia siendo la bobina.

Coordenadas del punto P :xP = R(cos θ + θ sen θ), yP = R(sen θ − θ cos θ), con θ en radianVer (7.8) Pagina 317.




Ejemplo 1.9. Hallar las coordenadas del vértice y del foco de la parábola16x2 − 24xy + 9y2 + 380x+ 340y − 400 = 0

A = 16, B = −24, C = 9

D = 380, E = 340, F = −400

Pendiente del eje focal : tg θ =−(A− C)±

√(A− C)2 +B2

B

=−(16− 9)±

√(16− 9)2 + (−24)2

−24

=−7±

√72 + 242

−24=−7− 25

−24=

4

3tg θ > 0 por B < 0

Ordenada vértice en X′Y ′ : y′v =D tg θ − E

2(A+ C)√

1 + tg2 θ

y′v =

380 · 43− 340

2(16 + 9)

√1 +

(4

3

)2=

1520− 3 · 340

2 · 25√

25

=1520− 1020

250= 2

Distancia focal : p = − E tg θ +D

4(A+ C)√

1 + tg2 θ

p = −

4 · 340

3+ 380

4(16 + 9)

√1 +

(4

3

)2= −4 · 340 + 3 · 380

4 · 25√

25

= −1360 + 1140

100 · 5= −2500

500= −5

Abscisa vértice en X′Y ′ : x′v =F − (A+ C)y′2v

4p(A+ C)

x′v =−400− (16 + 9) · 22

4 · (−5) · (16 + 9)=−400− 100

−500= 1




Coordenadas del vértice,

xv =x′v − y′v tg θ√

1 + tg2 θ

=1− 2 · 4

3√1 +

(4

3

)2=

3− 8√9 + 16

=−5

5= −1

yv =x′v tg θ + y′v√

1 + tg2 θ

=

1 · 43

+ 2√1 +

(4

3

)2=

4 + 6√16 + 9

=10

5= 2

Coordenadas del foco,

xfoco = xv +p√

1 + tg2 θ

= −1 +−5√

1 +

(4

3

)2= −1 +

−5 · 3√16 + 9

= −1− 15

5= −1− 3 = −4

yfoco = yv +p tg θ√1 + tg2 θ

= 2 +

−5 · 43√

1 +

(4

3

)2= 2 +

−20√16 + 9

= 2 +−20

5= 2− 4 = −2




Figura 13. Hallar las coordenadas del foco y del vértice de la pará-bola 16x2 − 24xy + 9y2 + 380x+ 340y − 400 = 0

Coordenadas del vértice V (−1, 2), coordenadas del foco F (−4, −2),

Distancia focal : p = −5




Ejemplo 2.8. Hallar la ecuación de la elipse con a = 4 y b = 2, centrada alorigen y de eje focal 2y = x.

La pendiente del eje focal es tg θ =1

2.

La ecuación de la elipse en el sistema de coordenadas X′Y ′ inclinado tal que tg θ =1

2

es entoncesx′2

a2+y′2

b2=x′2

16+y′2

4= 1.

Reemplazar los valores x′ e y′ de la ecuación respectivamente porx cos θ + y sen θ y −x sen θ + y cos θ donde

cos θ =1√

1 + tg2 θ,y sen θ =

tg θ√1 + tg2 θ

cos θ =1√

1 +

(1

2

)2=

2√5,y sen θ =

1

2√1 +

(1

2

)2=

1√5

x′ = x cos θ + y sen θ =2x+ y√

5

y′ = −x sen θ + y cos θ =−x+ 2y√

5

La ecuación de la elipse en el sistema de coordenada original XY es entonces

x′2

a2+y′2

b2= 1 con a = 4 y b = 2

Al reemplazar los valores, tenemos,(2x+ y√

5

)2

16+

(−x+ 2y√

5

)2

4= 1

4x2 + 4xy + y2

5 · 16+x2 − 4xy + 4y2

5 · 4= 1

o sea :4x2 + 4xy + y2

80+

4(x2 − 4xy + 4y2)

80= 1

4x2 + 4xy + y2 + 4x2 − 16xy + 16y2 = 80

Ecuación de la elipse : 8x2 − 12xy + 17y2 = 80




Presentemos un otro método al aplicar la de�nición de la elipse : el lugar geomé-trico de la suma de las distancias de un punto a los focos es una constante.La constante es 2a. Sean las coordenadas de los focos siendo (xF , yF ) y (−xF ,−yF ).

xF = c cos θ, yF = c sen θ, con tg θ =1

2y a = 4

cos θ =1√

1 + tg2 θ=

1√1 +

(1

2

)2=

2√5

sen θ =tg θ√

1 + tg2 θ=

1

2√1 +

(1

2

)2=

1√5

c =√a2 − b2 =

√16− 4 = 2

√3

xF = c cos θ = 4

√3

5, yF = c sen θ = 2

√3

5

Al aplicar la de�nición,√(x− xF )2 + (y − yF )2 +

√(x+ xF )2 + (y + yF )2 = 2a

(x− xF )2 + (y − yF )2 = 4a2 − 4a√

(x+ xF )2 + (y + yF )2 + (x+ xF )2 + (y + yF )2

− xxF − yyF = a2 − a√

(x+ xF )2 + (y + yF )2

a√

(x+ xF )2 + (y + yF )2 = xxF + yyF + a2

a2[(x+ xF )2 + (y + yF )2] = (xxF + yyF + a2)2

a2x2 − x2x2F − 2xyxFyF + a2y2 − y2y2

F + a2x2F + a2y2

F − a4 = 0

x2(a2 − x2F )− 2xyxFyF + y2(a2 − y2

F ) + a2x2F + a2y2

F − a4 = 0

x2

42 −

(4

√3

5

)2− 2xy

(4

√3

5

)(2

√3

5

)+ y2

42 −

(2

√3

5

)2+

+ 42 ·

(4

√3

5

)2

+ 42 ·

(2

√3

5

)2

− 44 = 0




Al dividir por 4, tenemos

x2

4− 4

(√3

5

)2− 2xy

(√3

5

)(2

√3

5

)+ y2

4−

(√3

5

)2+

+ 4 ·

(4

√3

5

)2

+ 4 ·

(2

√3

5

)2

− 43 = 0

x2(20− 12)− 12xy + y2(20− 3) + 4 · 42 · 3 + 4 · 22 · 35

− 43 = 0

8x2 − 12xy + 17y2 + 192 + 48

5− 64 = 0

8x2 − 12xy + 17y2 + 192 + 48− 320 = 0

Ecuación de la elipse : 8x2 − 12xy + 17y2 − 80 = 0

Se nota la pendiente del eje focal de la elipse que es tg θ =1

2versus el signo del

coe�ciente B que es negativo.

Ejemplo 2.9. Hallar el ángulo de inclinación θ, las longitudes de los ejes mayory menor a y b a partir de la ecuación 8x2 − 12xy + 17y2 − 80 = 0, donde A = 8,B = −12, C = 17, y F = −80.

Cálculo del ángulo θ,

tg θ =−(A− C)±

√(A− C)2 +B2

B

=−(8− 17)−

√(8− 17)2 − (−12)2

−12=

1

2positivo por B negativo




La relación −2Ax2 − 2Bxy − 2Cy2 −Dx− Ey puedes ser escrita como

−2Ax2 − 2Bxy − 2Cy2 − 2Dx+Dx− 2Ey + Ey + 2F − 2F que es igual a

Dx+ Ey + 2F , porque −2Ax2 − 2Bxy − 2Cy2 − 2Dx− 2Ey − 2F = 0.

Tenemos entonces

Dx+ Ey + 2F = −2AxxP −BxyP −BxPy − 2CyyP −DxP − EyP

que es

(3.5)

La ecuación de la cuerda de contactos de la tangente a la hipérbola

x(2AxP +ByP +D) + y(2CyP +BxP + E) +DxP + EyP + 2F = 0

a resolver con la ecuación Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,

para obtener las coordenadas de los puntos de contacto T1 y T2

Ejemplo 3.7. Hallar las tangentes a la hipérbola −11x2 − 16xy + y2 + 75 = 0trazada a partir del punto P (1,−2).

A = −11, B = −16, C = 1

D = 0, E = 0, F = 75

xP = 1, yP = −2

Ecuación de la cuerda de contactos de las tangentes :

x(2AxP +ByP +D) + y(2CyP +BxP + E) +DxP + EyP + 2F = 0

x(2 · −11 · 1− 16 · −2) + y(2 · 1 · −2− 16 · 1) + 2 · 75 = 0

(−22 + 32)x+ (−4− 16)y + 150 = 0

Al dividir por 10 : x− 2y + 15 = 0

o : x = 2y − 15




Se reemplaza el valor de x dentro la ecuación de la hipérbola −11x2−16xy+y2+75 = 0

−11(2y − 15)2 − 16xy + y2 + 75 = 0

−11(4y2 − 60y + 225)− 16y(2y − 15) + y2 + 75 = 0

o sea − 75y2 + 900y − 2400 = 0

y =−450±

√4502 − 2400 · 75

−75

=−450±

√22500

−75

=−450± 150

−75

y1 =−450− 150

−75= 8

y2 =−450 + 150

−75= 4

Los valores de x1 y x2 son

x1 = 2y1 − 15 = 2 · 8− 15 = 16− 15 = 1

x2 = 2y2 − 15 = 2 · 4− 15 = 8− 15 = −7

Las ecuaciones de las tangentes son

y − y1 =y1 − yPx1 − xP

(x− x1)

y − 8 =8− (−2)

1− 1(x− 1) da una pendiente igual a ∞

de donde x = 1

y − y2 =y2 − yPx2 − xP

(x− x2)

y − 4 =4− (−2)

−7− 1[x− (−7)]

y = 4− 6

8(x+ 7)

8y = 32− 6x− 42

8y = −6x− 10

Tangentes a la hipérbola −11x2 − 16xy + y2 + 75 = 0 : x = 1, 8y = −6x− 10




Figura 27. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazada del punto P

La fórmula (3.5) puede aplicarse a una hipérbola centrada al origen de la forma

ordinariax2

a2− y2

b2= 1.

Ejemplo 3.8. Hallar las tangentes a la hipérbola conjugada 4x2 − 5y2 + 20 = 0.Las tangentes son trazadas a partir de P (−5,−2).Ecuación de la cuerda de contactos :

A = 4, B = 0, C = −5, D = 0

E = 0, F = 20

xP = −5, yP = −2

Ecuación cuerda de contacto :

x(2AxP +BxP +D) + y(2CyP +BxP + E) +DxP + EyP + 2F = 0

x(2 · 4 · −5) + y(2 · −5 · −2) + 40 = 0

− 40x+ 20y + 40 = 0

o sea : − 2x+ y + 2 = 0

y = 2x− 2



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