Alan J. CannMathe für Biologen

Alan J. CannMathe für Biologen

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Alan J. Cann

Mathe für Biologen

Übersetzt von Björn Feuerbacher

Autor

Prof. Dr. Alan J. CannUniversity of Leicester, UK

Übersetzer

Dr. Björn FeuerbacherSeestraße 5669214 EppelheimGermany

Titel der englischen Originalausgabe:Maths from Scratch for Biologists,John Wiley & Sond Ltd. 2002

Umschlaggestaltung 4t Werbeagentur,DarmstadtSatz Steingraeber Satztechnik GmbH,DossenheimDruck Strauss GmbH, MörlenbachBindung Litges & Dopf BuchbindereiGmbH, Heppenheim

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Printed in the Federal Republic of GermanyGedruckt auf säurefreiem Papier

ISBN 3-527-31183-1

Mathe für Biologen. Alan J. CannCopyright c© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31183-1

V

Vorwort

Dieses Buch entstand aus meinem eigenen Wunsch nach einem Text, den ich mitFreuden meinen Studenten empfehlen könnte. Obwohl es nicht gerade wenige Bü-cher gibt, die behaupten, Biologen bei der Mathematik zu helfen, haben alle, diemir bekannt sind, einen von zwei Fehlern. Entweder sind sie von wohlmeinendenMathematikern geschrieben und kümmern sich wenig um die Biologie, oder siesind nicht dem Niveau angemessen, auf dem die meisten Probleme auftauchen –neue Studenten, die nicht besonders selbstsicher an mathematische Probleme heran-gehen, obwohl sie in der Schule eine intensive Mathematik-Ausbildung bekommenhaben.

Ich behaupte nicht, ein mathematisches Genie zu sein. Aber ich denke, dass gera-de mein Ringen darum, das Material in einer leicht zugänglichen Form zu erklären,eines der Stärken des Buches ist – es bringt mich den Studenten, mit denen ich michverständigen will, näher. Ich verwehre mich gegen alle Anschuldigungen, ich hättedas Material zu stark vereinfacht – jeder, der jemals versucht hat, einem panischenStudenten im Griff der Mathe-Phobie zu helfen, weiss, dass eine beruhigende, nichteine belehrende, Stimme in solchen Situationen ein wichtiges Hilfsmittel ist. MeineAbsicht ist durchweg, einen leicht zugänglichen Text für Studenten zur Verfügung zustellen, die, mit oder ohne formale Mathematikqualifikatonen, durch die vermeint-liche „Schwierigkeit“ der Mathematik geängstigt sind und unwillens, unfähig odernicht erfahren genug sind, ihre mathematische Fähigkeiten anzuwenden. Um jenenStudenten entgegenzukommen, die sich für ein Biologiestudium entschieden, dasie (bewusst oder unbewusst) annahmen, dass dies eine Möglichkeit wäre, Karrierein der Wissenschaft zu machen und dabei gleichzeitig die Mathematik zu vermei-den, ist der Stil dieses Buches bewusst informell und darauf ausgerichtet, Vertrauenaufzubauen.

Die Mathe in diesem Buch ist aufs Schärfste überprüft worden, aber ich kannnicht garantieren, dass der Text frei von Rechenfehlern ist. Außerdem könnte eseinige Abschnitte geben, in denen die behandelten Themen nicht so klar ausgedrücktwerden, wie ich gehofft hatte. Ich verlasse mich darauf, dass meine Leser mich aufdiese aufmerksam machen werden – und ich bin sicher, das werden sie tun.

Alan J. Cann

Mathe für Biologen. Alan J. CannCopyright c© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31183-1

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort V

1 Mathe in der Biologie 11.1 Was kann schief gehen? 11.2 Schätzen 41.3 Wie benutzt man dieses Buch? 51.4 Mathematische Konventionen, die in diesem Buch benutzt werden 5

2 Zahlen manipulieren 72.1 Zahlen manipulieren 82.2 Gleichungen lösen 92.3 Warum müssen Sie dies alles wissen? 122.4 Brüche 122.5 Die Zahl 1 142.6 Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler 152.7 Brüche addieren und subtrahieren 152.8 Multiplizieren von Brüchen 162.9 Dividieren von Brüchen 172.10 Brüche, Kommazahlen und Prozente 172.11 Verhältnisse und Proportionalitäten 18

Aufgaben 21

3 Einheiten und Umrechnungsfaktoren 253.1 Das SI-System der Maßeinheiten 253.2 SI-Vorsilben 273.3 Gebrauch des SI-Systems 283.4 Energie messen 293.5 Temperatur 31

Aufgaben 33

VIII Inhaltsverzeichnis

4 Molaritäten und Verdünnungen 354.1 Die Avogadro-Zahl 354.2 Molekulargewicht 364.3 Lösungen 374.4 Spektroskopie 394.5 Verdünnungen 41

Aufgaben 46

5 Flächen und Rauminhalte 495.1 Geometrie 495.2 Flächen und Rauminhalte berechnen 49

Aufgaben 55

6 Exponenten und Logarithmen 576.1 Exponenten 576.2 Exponentialfunktionen 606.3 Logarithmen 61

Aufgaben 67

7 Einführung in die Statistik 697.1 Was ist Statistik? 697.2 Statistische Variablen 707.3 Statistische Methoden 717.4 Häufigkeitsverteilungen 737.5 Schaubilder für Häufigkeitsverteilungen 75

Aufgaben 80

8 Deskriptive (beschreibende) Statistik 838.1 Populationen und Stichproben 838.2 Die zentrale Tendenz 848.3 Variabilität 858.4 Standardfehler 878.5 Vertrauensintervalle 888.6 Parametrische und nicht-parametrische Statistik 898.7 Einen passenden statistischen Test auswählen 908.8 Explorative Datenanalyse 90

Aufgaben 96

9 Wahrscheinlichkeit 999.1 Wahrscheinlichkeitstheorie 999.2 Ziehen mit und ohne Zurücklegen 1009.3 Berechnen der Wahrscheinlichkeit mehrerer Ereignisse 101

Inhaltsverzeichnis IX

9.4 Die Binomialverteilung 1029.5 Koinzidenzen 106

Aufgaben 108

10 Beurteilende Statistik 11010.1 Statistische Urteile 11010.2 Das Verfahren zum Testen von Hypothesen 11210.3 Standard-Werte (z-Werte) 11310.4 Student-t -Test (t -Test) 11310.5 Analyse der Varianz (ANOVA) 11910.6 ÷2-Test 12410.7 Fishers exakter Test 128

Aufgaben 130

11 Korrelation und Regression 13311.1 Regression oder Korrelation? 13311.2 Korrelation 13411.3 Regression 138

Aufgaben 141

A Lösungen zu den Aufgaben 143

B Software für Biologen 198

E-Mail 198Textverarbeitungsprogramme 200Präsentation und Grafik 201Quellen im Internet 201Statistik-Software 203

C Statistische Formeln und Tabellen 205

Deskriptive Statistik (Kapitel 8) 205Wahrscheinlichkeitstheorie (Kapitel 9) 206Beurteilende Statistik (Kapitel 10) 206Regression und Korrelation (Kapitel 11) 207Kritische Werte der ÷2-Verteilung 208Kritische Werte für den Student-t -Test 209Tabelle mit kritischen Werten für das F-Verhältnis 210Tabelle mit kritischen Werten für den Korrelationskoeffizienten r 215Tabelle der binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung 216

D Glossar 223

E Stichwortregister 229

Mathe für Biologen. Alan J. CannCopyright c© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31183-1

1

1

Mathe in der Biologie

Mathematik, aus dem Griechischen „manthano“: lernen

Manche Leute entscheiden sich für ein Biologiestudium in der (bewussten oder un-bewussten) Annahme, dass es eine Möglichkeit wäre, Karriere in der Wissenschaftzu machen und dabei gleichzeitig die Mathematik zu vermeiden. Dieses Buch wur-de entworfen, um Studenten einen einfachen Zugang zu ermöglichen, die, mit oderohne formale mathematische Kenntnisse, von der vermeintlichen „Schwierigkeit“der Mathematik geängstigt sind und die deshalb nicht gewillt sind, ihre womöglichvorhandenen mathematischen Kenntnisse anzuwenden. Haben Sie jemals bemerkt,dass Sie, nachdem Ihnen beigebracht worden war, wie Sie ein mathematisches Pro-blem zu lösen haben, immer noch nicht wussten, warum Sie einen bestimmtenRechenschritt machen müssen? Dies ist die Wurzel vieler Probleme mit der Mathe-matik, und deswegen wird dieses Buch versuchen, das Warum der Mathe zu erklären,zusätzlich zum Wie. Manchmal scheinen diese Erklärungen unnötig zu sein, aberich rate Ihnen ernsthaft, sie nicht zu überspringen – verstehen, warum man etwasmachen muss, ist der Schlüssel dazu, sich zu merken, wie man es machen muss.Ich beabsichtige dabei, zwanglos zu schreiben und Vertrauen aufzubauen, um si-cherzustellen, dass alle Leser eine allgemeine Wertschätzung der grundlegendenmathematischen, statistischen und Datenverarbeitungs-Methoden, die für die Bio-logie angemessen sind, erlangen. Ich werde versuchen, den Jargon zu erklären, derLeute, die nicht in Zahlen denken, verwirrt.

In den folgenden Kapiteln werden wir uns anschauen, wie man mit Zahlen um-geht, mit Einheiten und Umrechnungen, mit Molaritäten und Verdünnungen, mitFlächen und Rauminhalten, mit Exponenten und Logarithmen und Statistik. Diegrundlegenden Ratschläge in diesem Kapitel sind jedoch wirklich der wichtigste Teildes Buches, also lesen Sie bitte weiter.

2 1 Mathe in der Biologie

1.1

Was kann schief gehen?

Es ist in der Mathematik leicht, Fehler zu machen. Eine Antwort sieht wie die andereaus, wie kann man also sagen, ob sie richtig oder falsch ist? Schauen wir uns einigeBeispiele für die Arten von Fehlern an, die allzu leicht gemacht werden. Jeder weiss,dass Zahlen bedeutungslos sind ohne die Einheiten, die festlegen, was sie bedeuten(mehr darüber in Kapitel 3). Selbst wenn wir den grundlegenden Fehler vermeiden,dies zu vergessen und nicht einfach „33,6“ als Antwort zu geben (33,6 von was?Volt? Meter? Frösche?), sind die Probleme nicht immer einfach. Betrachten Sie diefolgenden Frage:

Ein Aquarium hat die inneren Maße 100 cm×45 cm×45 cm.Wie groß ist sein Volumen in Litern?

Das ist ziemlich einfach: Berechnen Sie das Volumen in Kubikzentimetern, dannrechnen Sie auf Liter um. 1 Liter = 1000 cm3, also teilen Sie durch 1000:

100 cm × 45 cm × 45 cm = 202 500 cm3 = 202 500Liter

1000= 202,5 Liter

Das Leben ist jedoch nicht immer so leicht. Wenn dieselbe Aufgabe auf andere Weisegestellt wird, ist die Antwort nicht mehr so einfach:

Ein Aquarium hat die inneren Maße 39 Zoll× 18 Zoll× 18 Zoll.Wie groß ist sein Volumen in Litern?

Dies ist schwieriger, weil die Einheiten, in denen die Daten gegeben werden und indenen die Antwort gegeben werden soll, zu unterschiedlichen Einheitensystemengehören. Im wirklichen Leben passiert so etwas nur zu häufig.

WARNUNG!Die Verwendung gemischter Einheiten ist gefährlich (siehe Kapitel 3).

Um Fehler zu vermeiden, müssen wir die Einheiten so umrechnen, dass sie ins-gesamt konsistent sind. Dies bedeutet jedoch, dass es zwei Möglichkeiten gibt, dieAufgabe zu lösen:

1. Rechnen Sie Zoll in Zentimeter um (1 Zoll = 2,54 cm), dann führen Sie dieRechnung wie oben durch:

(39 Zoll × 2,54

cm

Zoll

)×

(18 Zoll × 2,54

cm

Zoll

)×

(18 Zoll × 2,54

cm

Zoll

)

= 99,06 cm × 45,72 cm × 45,72 cm

= 207066,94 cm3

= 207 066,94Liter

1000= 207,067 Liter

1.1 Was kann schief gehen? 3

2. Berechnen Sie das Volumen in Kubikzoll, und danach rechnen Sie in Liter um(1 Kubikzoll = 0,0164 Liter, also ist der Umrechnungsfaktor gleich 0,0164):

39 Zoll × 8 Zoll × 18 Zoll = 12 636 Zoll3

12 636 Zoll3 × 0,0164Liter

Zoll3= 207,23 Liter

Im allgemeinen ist die beste Methode die, die weniger Umrechnungen und wenigerSchritte erfordert, hier also Methode 2. Dies hängt jedoch davon ab, welche Um-rechnungsfaktoren zur Verfügung stehen – falls Sie den Umrechnungsfaktor vonKubikzoll auf Liter berechnen sollen, könnte es besser sein, Methode 1 zu verwen-den. Beachten Sie, dass die Genauigkeit der Umrechnungen von einer Einheit aufeine andere von der Zahl der signifikanten Ziffern abhängt, die man benutzt. Signi-fikante Ziffern sind: „die kleinste Anzahl von Ziffern, die benötigt wird, um einengegebenen Wert (in wissenschaftlicher Notation) darzustellen, ohne an Genauigkeitzu verlieren“. Die meistsignifikante Ziffer ist die am weitesten links stehende, dieZiffer, die am besten bekannt ist. Die wenigstsignifikante Ziffer ist die am weitestenrechts stehende, die Ziffer, die am schlechtesten bekannt ist.

Signifikante Ziffern sind wichtig, wenn man wissenschaftliche Daten veröffent-licht, weil sie dem Leser ein Gefühl dafür geben, wie genau die Daten gemessenwurden. Hier sind die Regeln:

1. Alle Ziffern ungleich null (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sind immer signifikant: z. B. hat12345 fünf signifikante Ziffern, und 1,2345 auch.

2. Alle Nullen, die rechts des Kommas stehen und am Ende der Zahl, sind immersignifikant. Diese Regel verwirrt manche Leute gelegentlich, da sie nicht verste-hen, warum das so sein soll. Der Grund ist, dass diese Nullen die Genauigkeitfestlegen, mit der diese Zahl berechnet wurde. Beispielsweise haben 1,2001 und1,2000 beide fünf signifikante Ziffern.

3. Alle Nullen zwischen signifikanten Ziffern sind immer signifikant: z. B. haben10002, 1,0002 und 1,0200 alle fünf signifikante Ziffern (hier sind die „Platzhalter-Nullen“ rechts des Kommas signifikante Ziffern, weil sie zwischen signifikantenZiffern stehen).

4. Alle anderen Nullen sind keine signifikanten Ziffern: z. B. hat 0,0200 drei signi-fikante Ziffern (die „Platzhalter-Null“ rechts des Kommas ist keine signifikanteZiffer, weil sie nicht zwischen signifikanten Ziffern und nicht am Ende der Zahlsteht), 1 000 000,01 hat neun signifikante Ziffern (Nullen zwischen signifikantenZiffern), aber 1 000 000 hat nur eine signifikante Ziffer. Will man letztere Zahlmit sieben signifikanten Ziffern schreiben, so muss man die wissenschaftlicheNotation verwenden: 1,000000×107.

Es ist wichtig, eine angemessene Zahl von signifikanten Ziffern in Rechnungenzu verwenden, da dies Verluste an Genauigkeit verhindert. Computer und Taschen-rechner geben jedoch oft lächerlich viele signifikante Ziffern an – weit jenseits der

4 1 Mathe in der Biologie

Genauigkeit, mit der eine Messung durchgeführt werden könnte. Aus diesem Grund,und um Rechnungen zu erleichtern (besonders beim Schätzen, siehe unten), ist esoft nötig, die signifikanten Ziffern in einer Zahl zu „runden“ (auch: „runden aufdie nächste gerade Zahl“ genannt). Beachten Sie, dass hier von „Runden“ die Re-de ist, nicht „Auf- und Abrunden“, welches zu Ungenauigkeiten und Fehlern führt.„Auf- oder abrunden“ einer Ziffer, die von einer 5 gefolgt wird (z. B.: 5,45 wird zu5,5), führt zu Fehlern in Rechnungen, weil die Ziffern eins, zwei, drei und vier (vierMöglichkeiten) „abgerundet“, aber die Ziffern fünf, sechs, sieben, acht, neun (fünfMöglichkeiten) „aufgerundet“ werden. „Runden“ vermeidet diese Fehler:

1. Falls die Ziffer, die der Ziffer folgt, die die letzte sein wird, kleiner als 5 ist, streichesie und alle Ziffern rechts von ihr.

2. Falls die Ziffer, die der Ziffer folgt, die die letzte sein wird, größer als 5 ist, erhöhedie zu rundende Ziffer, also die vorhergehende, um 1.

3. Falls die Ziffer, die der Ziffer folgt, die die letzte sein wird, gleich 5 ist, runde dievorhergehende Ziffer, so dass sie gerade wird.

Beispiele

• Runde 123,456789 auf drei signifikante Ziffern: 123 (Regel 1: runde die Zahl durchStreichen der restlichen Ziffern)

• Runde 123,456789 auf fünf signifikante Ziffern: 123,46 (Regel 2: runde die letzteZiffer auf)

• Runde 123,456789 auf vier signifikante Ziffern: 123,4 (Regel 3: mache die letzteZiffer gerade)

• Runde 123,356789 auf vier signifikante Ziffern: 123,4 (Regel 3: mache die letzteZiffer gerade)

• Runde 123,456799 auf acht signifikante Ziffern: 123,45680 (Beachten Sie, dass9 auf 10 aufgerundet wird, nicht auf 0 abgerundet).

1.2

Schätzen

Hinweis: Machen Sie nach jeder Rechnung eine grobe Abschätzung, um zu sehen,ob Ihre Antwort Sinn ergibt, und um Fehler zu vermeiden.

Taschenrechner und Computer spucken Zahlen auf Knopfdruck aus, aber sind dieAntworten richtig? Schätzen ist eine unbedingt notwendige Fähigkeit, wenn Sie ler-nen wollen, mit Zahlen sicher und gekonnt umzugehen. Schätzen und rechnensind jedoch nicht dasselbe, und es ist wichtig, den Unterschied zu verstehen. Wo

1.3 Wie benutzt man dieses Buch? 5

Rechnungen versuchen, die genauestmögliche Antwort zu geben (innerhalb der ex-perimentellen Fehler), verzichten Schätzungen freiwillig auf Genauigkeit, um dieBerechnung des Ergebnisses zu vereinfachen.

1. Wenn die Frage ist „Was ist 6×5?“ und Ihre Antwort 4 ist, kann das überhauptrichtig sein? Kann das Ergebnis kleiner als die Zahlen, die miteinander multipli-ziert werden, sein?

2. Wenn Sie aufgefordert werden, eine Gleichung für x zu lösen (Kapitel 2), undIhre Antwort ist 7x, dann ist irgendetwas falsch.

3. Wenn Sie das Ergebnis von 6,42213 / 2,36199 auf sechs signifikante Ziffern be-rechnen (2,71895), dann schätzen Sie zur Überprüfung die erste oder zweite sig-nifikante Ziffer ab: 6 / 2 = 3, also sieht 2,71895 richtig aus, wohingegen 27,1896falsch aussieht.

Falls Sie einen Computer oder einen Taschenrechner benutzt haben, um ein Ergeb-nis zu berechnen, ist es am Besten, eine Schätzung im Kopf oder auf einem FetzenPapier durchzuführen, um zu überprüfen, ob sich durch Benutzen der Maschinenicht irgendwelche Fehler eingeschlichen haben. Deshalb beinhaltet Schätzen eineErleichterung der Rechnung – eine Schätzung ist nicht dafür gedacht, genau zu sein,aber sie sollte leicht zu berechnen sein und eine verlässliche Überprüfung bieten.Neben dem eigentlichen Durchführen der Rechnung ist Schätzen das wichtigste Mit-tel, sicherzustellen, dass Antworten auf Aufgaben richtig sind. Einige Rechnungen inder Biologie sind komplex und benötigen viele Schritte (Kapitel 5). Schätzen ist dortsehr wichtig, um sicherzustellen, dass die Antwort vernünftig aussieht. Rechnungenmit Zahlen und Gleichungen könnten auch auf einen mathematischen Term stattauf eine Zahl als Antwort führen (z. B. 3y-2). Hier besteht der Trick darin, Ihr Er-gebnis in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um zu sehen, ob es funktioniert(Kapitel 2).

1.3

Wie benutzt man dieses Buch?

Falls Sie angewiesen wurden, dieses Buch als Begleitung zu einer bestimmten Vor-lesung zu benutzen, sollten Sie am Besten den Anweisungen desjenigen folgen, derdie Vorlesung hält. Ansonsten können Sie dieses Buch benutzen, wie auch immeres Ihnen gefällt. Einige Leute möchten vielleicht alle (oder die meisten) Kapitel inder richtigen Reihenfolge lesen. Andere könnten Abschnitte auslassen und in man-che Kapitel nur hineinlinsen, von denen sie denken, dass sie sie brauchen. BeideMöglichkeiten sind in Ordnung, solange Sie Aufgaben konsistent und genau lösenkönnen – und am Wichtigsten ist es, dass Sie das Wissen und das Selbstvertrauenerlangen, um damit anzufangen, zu versuchen, mögliche Antworten auszuarbeiten.

6 1 Mathe in der Biologie

1.4

Mathematische Konventionen, die in diesem Buch benutzt werden

Um sie leichter lesbar zu machen, werden Zahlen mit mehr als vier Ziffern in Grup-pen von drei Ziffern, getrennt durch Leerzeichen (nicht Kommas, wie sonst üblich inder englischsprachigen Literatur), aufgeteilt; z. B. bedeutet 9999999 neun Millionen,neun hundert und neunundneunzigtausend, neun hundert neunundneunzig.

Mathe für Biologen. Alan J. CannCopyright c© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31183-1

7

2

Zahlen manipulieren

Algebra (aus dem Arabischen „al-jabr“: die Reduktion): ein Zweig der Mathematik,in dem Symbole benutzt werden, um Zahlen darzustellen

LERNZI ELE

Nach dem Beenden dieses Kapitels sollten Sie zu folgendemin der Lage sein:

• Die Grundregeln der Algebra verstehen.

• Einfache algebraische Umformungen durchführen.

• Brüche erkennen und umformen.

Die Arithmetrik beschäftigt sich mit den Auswirkungen von Operationen (z. B. Ad-dition, Multiplikation usw.) auf direkt angegebene Zahlen. In der Algebra werdendie Operationen auf Variablen statt auf feste Zahlen angewandt. Warum? Hier ist einklassisches Beispiel:

John ist 10 Jahre alt. Sein Vater ist 35 Jahre alt.Nach wie vielen Jahren wird der Vater zweimal so alt wie der Sohn sein?

Sie könnten versuchen, die Antwort zu finden, indem Sie verschiedene Zahlen aus-probieren, aber das wäre mühselig. Besser ist es, dies als ein Algebra-Problem zubehandeln und die Aufgabe als eine Gleichung zu schreiben, die wir lösen können.

Der Vater sei in x Jahren zweimal so alt wie der Sohn. Der Sohn wird dann (10+x)

Jahre alt sein und der Vater (35 + x):

2(10 + x) = 35 + x

also20 + 2x = 35 + x

Vereinfachen wir dies, indem wir x von beiden Seiten abziehen, um die Gleichungim Gleichgewicht zu halten:

20 + x = 35

8 2 Zahlen manipulieren

Vereinfachen wir, indem wir 20 von beiden Seiten abziehen, um die Gleichung imGleichgewicht zu halten:

x = 15 (der Sohn ist 25 Jahre alt und der Vater 50 Jahre)

2.1

Zahlen manipulieren

Um Zahlen manipulieren zu können, müssen Sie die Regeln kennen. In der Ma-thematik sind diese als „Reihenfolge der Operationen“ bekannt – eine Anzahl vonwillkürlichen, international vereinbarten Regeln, die es Mathematikern weltweit ge-statten, zur selben Antwort auf alle Probleme zu kommen:

KEDMAS

Reihenfolge der Operationen – die Reihenfolge, in derOperationen durchgeführt werden:

Klammern (von innen nach außen arbeiten)Exponenten (siehe Kapitel 6)DivisionMultiplikationAddition (von links nach rechts)Subtraktion (von links nach rechts)

In der Algebra gibt es zwei Arten von mathematischen Konstrukten, die Sie erkennenkönnen sollten:

1. Ein mathematischer Ausdruck ist eine Kette von Symbolen, die eine (mögliche)Rechnung darstellt („ausdrückt“), unter Verwendung von Operatoren (Symbole,die anzeigen, dass eine Operation durchgeführt werden soll, z. B. plus, minus,geteilt durch usw.) und Operanden (Symbole, auf die die Operatoren wirken),z. B.:

2x + y

Ausdrücke enthalten kein Gleichheitszeichen, können aber oft vereinfacht, dasheißt in eine einfachere Form, die weniger Terme enthält, umgewandelt werden.

2. Eine mathematische Gleichung enthält ein Gleichheitszeichen. Die Terme (Grup-pen von Zahlen oder Symbolen) auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens sindäquivalent, z. B.:

2x = y

Sie können alles, was Sie wollen, mit einer Gleichung tun, solange Sie beide Seitengleich behandeln. Um eine Gleichung zu lösen, müssen Sie den Wert/die Wer-te der Variablen finden, die die Gleichung wahr machen, das heißt beide Termegleich machen. Eine mathematische Formel stellt ebenfalls eine Beziehung zwi-schen zwei oder mehr Variablen (Symbole oder Terme, deren Wert veränderlich

2.2 Gleichungen lösen 9

ist) und/oder Konstanten (Symbole oder Terme, deren Wert fest ist), her, z. B.:

e = mc2

Eine Formel ist einfach eine Gleichung, die eine Regel oder ein Prinzip durchSymbole ausdrückt, d. h. ein Rezept, dass es Ihnen erlaubt, die Werte der Termezu berechnen.

2.2

Gleichungen lösen

Um eine Gleichung zu „lösen“, müssen Sie den Wert/die Werte der Variablen finden,die die Gleichung „wahr“ machen, das heißt die Terme auf den beiden Seiten desGleichheitszeichen gleich machen. Es gibt sechs Schritte, die Sie befolgen müssen,um eine Gleichung zu lösen („KIZEKE“):

1. Klammern: wenn eine Gleichung Klammern („K“ – gruppieren Symbole zusam-men) enthält, lösen Sie diese zuerst auf. Multiplizieren Sie jedes Element in derKlammer mit dem Symbol direkt außerhalb der Klammer.

2. Isolieren: bringen Sie alle Terme, die eine Variable enthalten, auf dieselbe Seitedes Gleichheitszeichens („isolieren“ Sie die Variable, „I“).

3. Zusammenfassen: fassen Sie alle ähnlichen Terme zusammen, das heißt, fallseine Gleichung mehr als einen Term enthält, der dieselbe Variable enthält, fassenSie diese zusammen („Z“).

4. Entgegengesetzt: führen Sie für jeden Operator in einer Gleichung die entgegen-gesetzte („E“) Operation durch – wenn die Gleichung beispielsweise ein Minus-zeichen enthält, dann addieren Sie, oder wenn sie ein Malzeichen enthält, dannteilen Sie.

5. Kürzen: kürzen („K“) Sie Brüche auf ihre kleinsten Werte (z. B. 33/11 = 3/1 = 3).

6. Einsetzen: überprüfen Sie schließlich Ihre Antwort immer, indem Sie den Wertin die ursprüngliche Gleichung hineinstecken („einsetzen“ der Variablen, „E“).

Sie werden nicht immer alle dieser Schritte durchzuführen haben – abhängig vonder Gleichung. Wenn eine Gleichung beispielsweise keine Klammern enthält, fahrenSie einfach mit dem nächsten Schritt fort, aber gehen Sie alle Schritte in der richtigenReihenfolge durch. Das Lösen von Gleichungen beinhaltet oft das Vereinfachen derAusdrücke, die sie enthalten, das heißt man muß alle ähnlichen Terme (z. B. x) aufdieselbe Seite des Gleichheitszeichens bringen. All dies hört sich viel komplizierteran, als es ist, und wird am Besten durch einige Beispiele veranschaulicht.

Beispiele

Lösen Sie nach x auf (d. h. finden Sie den Wert von x, der die Gleichung wahr macht):

4x = 2(6x) − 4

10 2 Zahlen manipulieren

Lösen Sie die Klammern auf (Kizeke):

4x = 12x − 4

Vereinfachen Sie, um die Variable zu Isolieren (kIzeke):

4x − 12x = −4

Fassen Sie ähnliche Terme Zusammen (kiZeke):

−8x = −4

Führen Sie die Entgegengesetzte Operation durch (kizEke):

8x = 4

Teilen Sie durch den Koeffienten der Variablen (Variable = x, Koeffizient = 8):

8x/8 = 4/8

Vereinfachen Sie die Gleichung durch Kürzen der Brüche (kizeKe):

x = 1/2

Überprüfen Sie die Antwort durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung(kizekE):

4(1/2) = 2[6(1/2)] − 4

2 = 2(3) − 4

2 = 6 − 4

2 = 2

Lösen Sie nach x auf (finden Sie den Wert von x):

5(x − 4) = 20

K (×5) : 5x − 20 = 20

(I,Z)E (+20) : 5x = 40

E(K) (/5) : x = 40/5 = 8

E : 5(8 − 4) = 20

5(4) = 20

20 = 20

Lösen Sie nach z auf (finden Sie den Wert von z):

z/4 + 4 = 16

(K,I,Z)E (−4) : z/4 = 12

E(K) (×4) : z = 48

E : 48/4 + 4 = 16

12 + 4 = 16

16 = 16

2.2 Gleichungen lösen 11

Beachten Sie, das Gleichungen nicht immer Zahlen als Lösung haben – manchmalkann der Wert einer Variablem nur mit Hilfe ihrer Beziehung zu einer anderenVariablen ausgedrückt werden:

Lösen Sie nach x auf (finden Sie den wahren Wert von x):

2x + 4 = 2y + 4

(K,I,Z)E (−4) : 2x = 2y

K (/2) : x = y

E : 2y + 4 = 2y + 4

2y = 2y

y = y

Lösen Sie nach t auf (finden Sie den wahren Wert von t):

t + 5 = x

(K,I,Z)E (−5) : t = x − 5

(K)E : x − 5 + 5 = x

x = x

Es gibt zwei Haupttypen von Gleichungen:

1. Lineare Gleichungen: Gleichungen, in denen die Exponenten aller Variablen(„Hochzahlen“ der Variablen, siehe Kapitel 6) gleich 1 sind und keine Varia-blen miteinander multipliziert werden. Schaubilder von linearen Gleichungenmit zwei Variablen ergeben in einem Diagramm Geraden, z. B. y = 2x + 3.

2. Nichtlineare Gleichungen: Gleichungen, in denen der Exponent („Hochzahl“, sie-he Kapitel 6) einer oder mehrerer der Variablen nicht gleich 1 ist oder in denenirgendwelche Variablen miteinander multipliziert werden. Schaubilder von nicht-linearen Gleichungen mit zwei Variablen ergeben in einem Diagramm Kurven.Dazu zählen alle Polynom-Funktionen [z. B. f (x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1], wie

• quadratische Gleichungen, z. B. x2 + 5x + 6 = 0

• kubische Gleichungen, z. B. x3 + bx2 + cx + d = 0, usw.

Obwohl nicht-lineare Gleichungen in der Biologie häufig vorkommen, beschäftigtsich dieses Kapitel vor allem mit linearen Gleichungen. Viele Leute finden, dass dasLösen von Gleichungen schwierig ist. Die Antwort darauf ist: Üben! Dafür könnenSie die Aufgaben am Ende dieses Kapitels verwenden. Wenn Sie selbstsicherer ge-worden sind, können Sie zu nichtlinearen Gleichungen übergehen. Textaufgabensind besonders nützlich, um Ihnen dabei zu helfen, die Frage durchzudenken, abersie können für viele Leute überraschend schwierig sein. Im wirklichen Leben werdendie Informationen oft in dieser Form zur Verfügung gestellt – statt einer Gleichung.Der Trick ist, als erstes die Worte in Zahlen umzuwandeln. Dies ist wiederum eine

12 2 Zahlen manipulieren

Fähigkeit, die Sie durch Übung erwerben können – benutzen Sie die Aufgaben amEnde dieses Kapitels.

2.3

Warum müssen Sie dies alles wissen?

Sie müssen dies alles wissen, weil man in der Biologie nicht sehr weit kommt, ohneauf Themen wie Enzymkinetik zu treffen.

Beispiel

In einer durch ein Enzym katalysierten Reaktion verbindet sich der Reaktand (S)reversibel mit einem Katalysator (E) zu einem Komplex (ES), wobei die Vorwärts- undRückwärtsreaktionskonstante k1 bzw. k−1 ist. Der Komplex zerfällt dann mit einerReaktionskonstante k2 in das Produkt (P), und der Katalysator wird wiedergewonnen:

E + S

k1−→k−1←−ES

k2−→ E + P

Hieraus kann die Michaelis-Menten-Gleichung hergeleitet werden:

í = Vmax × [S]

Km + [S]

wobei í die Reaktionsrate (Geschwindigkeit) ist, [S] die Konzentration des Sub-strats, Vmax die maximale Rate, Km die Michaelis-Menten-Konstante = Substrat-Konzentration bei der halben Geschwindigkeit (í ), d. h. Km = [S], wenn í = Vmax/2.

Km misst die Affinität zwischen Enzym und Substrat – ein niedriges Km bedeuteteine starke Affinität zwischen Enzym und Substrat, und umgekehrt. Km ist jedochnicht nur eine Bindungskonstante, die die Stärke der Bindung zwischen Enzymund Substrat misst. Ihr Wert beinhaltet die Affinität zwischen Substrat und Enzym,aber auch die Rate, mit der das an das Enzym gebundende Substrat in das Produktumgewandelt wird (siehe Tabelle 2.1).

Für Ribonuklease ergibt sich: wenn [S] = Km = 7,9 × 10−3 M ist, dann erhältman durch Einsetzen in die Michaelis-Menten-Gleichung:

í = Vmax × 7,9 × 10−3 M

7,9 × 10−3 M + 7,9 × 10−3 M

Vereinfachen Sie dies, indem Sie Ober- und Unterseite dieser Gleichung durch7, 9 × 10−3 M teilen, dann

í = Vmax × 1

2also

Km = [S], í = Vmax/2

Wenn [S] = Km ist, dann ist í = Vmax/2 – also funktioniert die Michaelis-Menten-Gleichung.

2.4 Brüche 13

Tab. 2.1: Km für einige Enzym-Reaktionen

Enzym Katalysierte Reaktion Km (M)

Chymotrypsin Ac-Phe-Ala + (H2O) → Ac-Phe + Ala 1,5 × 10−2

Kohlensäure-Anhydrase HCO−3 + H+ → (H2O) + CO2 2,6 × 10−2

Ribonuklease Cytidine 2’,3’-cyclo-Phosphat + (H2O) →Cytidine 3’-Phosphat

7,9 × 10−3

Pepsin Phe-Gly + (H2O) → Phe + Gly 3 × 10−4

Tyrosyl-tRNA-SynthetaseFumarase Fumarat + (H2O) → Malat 5 × 10−6

2.4

Brüche

Wenn Sie algebraische Umformungen durchführen, werden Sie bald Brüchen, dasheißt Teilen von Zahlen, über den Weg laufen. Wir haben alle in der Schule ge-lernt, wie man mit Brüchen umgeht, aber in diesen Tagen des Computers und desTaschenrechners haben viele Leute vergessen, wie man das macht. Besondere Pro-bleme macht es, sich daran zu erinnern, wie man Brüche multipliziert und dividiert.

Alle Brüche haben drei Komponenten: einen Zähler, einen Nenner und einenBruchstrich:

Zähler

Nenner

Der Bruchstrich in einem einfachen Bruch zeigt an, dass der ganze Ausdruck überdem Bruchstrich der Zähler ist und so behandelt werden muss, als wäre er eineeinzige Zahl, und der ganze Ausdruck unter der Bruchstrich ist der Nenner und mussebenfalls so behandelt werden, als wäre er eine einzige Zahl. Bei Brüchen gilt dieselbeReihenfolge der Operationen (KEDMAS) wie bei anderen mathematischen Termen.Klammern weisen Sie an, den Ausdruck in der Klammer zu vereinfachen, bevorSie irgendetwas anderes tun. Der Bruchstrich in einem Bruch spielt eine ähnlicheRolle wie eine Klammer: Er weist Sie dazu an, den Ausdruck oben (den Zähler) zubehandeln, als ob er in Klammern eingeschlossen wäre, und den Ausdruck unten(den Nenner) zu behandeln, als ob er ebenfalls in Klammern eingeschlossen wäre:

(Zähler)

(Nenner)

In einem einfachen Bruch sind Zähler und Nenner beide ganze Zahlen, z. B.:

1

2

Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dem Zähler, Nenner oder beide einen Bruch ent-halten, z. B.:

1/2

3