Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai
Luspay Tamás, Bauer Péter
BME Közlekedésautomatikai Tanszék
2012. január 10.
1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény
Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik.Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a Laplace transzfor-máció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [1] A függelék). Vegyük a differenciálegyenletL-transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y (s) ésU(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt:
G(s) =Y (s)
U(s)=
b(s)
a(s)=
bmsm + . . .+ b1s+ b0
ansn + . . .+ a1s+ a0(1)
Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vettL-transzformáltjainak hányadosa.
Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk:
G(s) = k
∏m
j=1(s− zj)
∏n
i=1(s− pi)
(2)
ahol zj a rendszer zérusai, vagyis a b(s) = 0 egyenlet gyökei, míg pi jelöli a rendszerpólusait, az a(s) = 0 egyenlet gyökeit.
A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok álta-lános időállandós alakja a következő:
G (s) =C(s)
Tnsn + Tn−1sn−1 + . . .+ T1s+ 1︸︷︷︸
0T︸ ︷︷ ︸
1T
(3)
Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokúnevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése nT . A számláló C(s) eleme háromfélealakú lehet:
1. A ekkor a tag arányos (P)
2. Ads ekkor a tag differenciáló (D)
3. AI
sekkor a tag integráló (I)
A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatátszinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Eh-hez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényé-nek (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszosbemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.
A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és azexponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel,míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kap-csolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún.Fourier transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [1]. AG(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvenciaszerint ábrázoljuk.
Nyquist diagram: A Nyquist diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. Afrekvenciafüggvény értéke egy adott ω0 frekvencián egy komplex szám:
1
G(iω0) = ReG(iω0) + iImG(iω0)
Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω = 0 . . .∞ tartományon a pontokatábrázolva adódik a Nyquist diagram.
A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω0 frekvenciára vonatkozóan az ampli-túdót A(ω0) és fázisszöget ϕ(ω0):
A(ω0) =√
ReG(iω0)2 + ImG(iω0)2
ϕ(ω0) = arctanImG(iω0)
ReG(iω0)
Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koor-dinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Revalós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad.(márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög).
A továbbiakban az alap tagok (0-tól 2 tárolóig) Nyquist és Bode diagramjainak alakjátismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt azábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb le-vezetéseket és az állítások igazolását a függelék tartalmazza.
Összetett tagok Nyquist diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafügg-vényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist diagramjaitpontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjukaz eredő Nyquist diagramot.
Összetett tagok Bode diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvénytfelbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode diagramjait pontonkéntösszeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bodediagramot. Ennek igazolását lásd a függelékben!
2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata
2.1. 0TP 0 tárolós arányos tag
Átviteli függvénye:
G(s) = A
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) = A = 2
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = A
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = A
Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd 1. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy a 0dB-es tengellyel párhuzamos egyenes 20 lg(A) magas-ságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd 2. ábra). Itt a(ω) = 20lg|A(ω)| azamplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel [dB] mértékegységben adjaeredményül.
2
0 0.5 1 1.5 2−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Re
Im
0TP tag Nyquist diagramja
A
1. ábra. 0TP alaptag Nyquist diagramja
100
101
5
5.5
6
6.5
7
7.5
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
0TP tag Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A)
100
101
−1
−0.5
0
0.5
1
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
0TP tag Bode fázis diagramja
2. ábra. 0TP alaptag Bode diagramja
2.2. 0TD 0 tárolós differenciáló tag
Átviteli függvénye:
G(s) = Ads
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) = Adiω = 2iω
3
−0.5 0 0.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Re
Im
0TD tag Nyquist diagramja
ω = 0
ω → ∞
3. ábra. 0TD alaptag Nyquist diagramja
10−1
100
101
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
0TD tag Bode amplitúdó diagramja
Ad−1
+20 dB/dek
10−1
100
101
89
89.2
89.4
89.6
89.8
90
90.2
90.4
90.6
90.8
91
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
0TD tag Bode fázis diagramja
4. ábra. 0TD alaptag Bode diagramja
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = i∞
4
Nyquist diagramja egy egyenes 0-ból i∞-be (lásd 3. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy a +20 dB
dekmeredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt
az 1
Adfrekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +90 fok (lásd 4. ábra). Ennek
igazolását a függelék tartalmazza. 1 dekád a tizes alapú logaritmikus skálán a 10 kétegymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 dekád a távolság 10k és10k+1 közt, de ugyanígy 0, 25 ∗ 10k és 0, 25 ∗ 10k+1 közt is.
2.3. 0TI 0 tárolós integráló tag
−0.5 0 0.5−5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Re
Im
0TI tag Nyquist diagramja
ω = 0
ω → ∞
5. ábra. 0TI alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) =AI
s
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =AI
iω= −AIi
ω= −2i
ω
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = −i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
Nyquist diagramja egy egyenes −i∞-ből 0-ba (lásd 5. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy −20 dB
dekmeredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt az
AI frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans −90 fok (lásd 6. ábra). Ennekigazolását a függelék tartalmazza.
5
100
101
−15
−10
−5
0
5
10
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
0TI tag Bode amplitúdó diagramja
Ai
−20 dB/dek
100
101
−91
−90.8
−90.6
−90.4
−90.2
−90
−89.8
−89.6
−89.4
−89.2
−89
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
0TI tag Bode fázis diagramja
6. ábra. 0TI alaptag Bode diagramja
−1 0 1 2 3 4 5 6−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Re
Im
1TP tag Nyquist diagramja
ωs = 1/T
ω = 0ω → ∞A
7. ábra. 1TP alaptag Nyquist diagramja
2.4. 1TP 1 tárolós arányos tag
Átviteli függvénye:
6
10−2
10−1
100
101
−15
−10
−5
0
5
10
15
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
1TP tag Bode amplitúdó diagramja
T−1
−20 dB/dek
20*log10
(A)
10−2
10−1
100
101
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
1TP tag Bode fázis diagramja
0.1*T−1
−45 fok/dek
10*T−1
8. ábra. 1TP alaptag Bode diagramja
G(s) =A
Ts+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =A
Tiω + 1=
A− ATωi
1 + T 2ω2=
5
2iω + 1
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = A
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=A− Ai
2=
A
2− Ai
2
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = −45◦. A tagNyquist diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból 0-ba (lásd 7. ábra). A félköralak igazolása a függelékben megtalálható.A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismer-tetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel avalódi frekvencia válaszokat.1TP tag Bode amplitúdó diagramja ωs =
1
Tfrekvenciáig egy 20 lg(A) magasságban haladó
vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától −20 dBdek
meredekségű egyenes. Fázisdiag-ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes
0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és −90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frek-venciák esetén (lásd 8. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen−45◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
7
2.5. 1TD 1 tárolós differenciáló tag
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Re
Im
1TD tag Nyquist diagramja
ω = 0 ω → ∞
Ad /T
ωs = 1 / T
9. ábra. 1TD alaptag Nyquist diagramja
10−2
10−1
100
101
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
1TD tag Bode amplitúdó diagramja
T−1
+20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
1TD tag Bode fázis diagramja
0.1*T−1
−45 fok/dek
10*T−1
10. ábra. 1TD alaptag Bode diagramja
Átviteli függvénye:
8
G(s) =Ads
Ts+ 1Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =Adiω
T iω + 1=
AdTω2 + Adωi
1 + T 2ω2=
5iω
2iω + 1A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
ω → ∞ ⇒ G(i∞) =Ad
T
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=Ad + Adi
2T=
Ad
2T+
Adi
2T
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = +45◦. A tagNyquist diagramja egy félkör a felső síknegyedben 0-ból Ad
T-be (lásd 9. ábra). A félkör
alak igazolása a függelékben megtalálható.Az 1TD tag Bode diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figye-lembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd függelék), az 1TD tagfelfogható mint egy 0TD és 1TP alaptagok sorba kapcsolt eredője. Az alaptagok ampli-túdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredőgörbéket, melyről a következőket mondhatjuk:
• az amplitúdó görbe egy +20 dBdek
meredekségű egyenes ω < 1
Tfrekvenciákon, mely az
1
Adpontban metszi (metszené) a 0 dB-es tengelyt, majd 1
T< ω frekvenciákra egy
20 lg Ad
Terősítésű vízszintes egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az 1
Tés 1
Ad
frekvenciák viszonyától függ. Ha 1
T> 1
Adakkor létrejön a metsződés, ha 1
T< 1
Ad
akkor nem jön létre metsződés, ha 1
T= 1
Adakkor a diagram éppen a 0dB-es tengelyre
törik.
• a fázis 90◦ és 0◦ között változik, 0.1ωs-nél kisebb frekvenciák esetén 90◦, 0.1ωs és10ωs frekvenciatartományon −45
◦
dekmeredekségű egyenes, 10ωs-nél nagyobb frek-
venciák esetén 0◦ (lásd 10. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bodefázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen +45◦ értéket vesz fel, me-lyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.6. 1TI 1 tárolós integráló tag
Átviteli függvénye:
G(s) =AI
s(Ts+ 1)
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =AI
iω(T iω + 1)=
−AITω2 − AIωi
T 2ω4 + ω2=
−AIT − AI
ωi
T 2ω2 + 1=
2
3(iω)2 + iω
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = −AIT − i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=−AIT − AIT i
2= −AIT
2− AIT i
2
9
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Re
Im
1TI tag Nyquist diagramja
AI T
ω = 0
ω → ∞
11. ábra. 1TI alaptag Nyquist diagramja
10−2
10−1
100
101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
1TI tag Bode amplitúdó diagramja
T−1
−20 dB/dek
−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−180
−170
−160
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
1TI tag Bode fázis diagramja
0.1*T−1
−45 fok/dek
10*T−1
12. ábra. 1TI alaptag Bode diagramja
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = −135◦. A tag Ny-quist diagramja ω = 0-ban az AIT −i∞ pontból indul és a 0 pontba fut be. Aszimptotájaaz AIT -vel jellemzett egyenes (lásd 11. ábra).
10
Az 1TI tagot mint 0TI és 1TP soros kapcsolásának tekintve a Bode diagramok:
• az amplitúdó görbe egy −20 dBdek
meredekségű egyenes ω < 1
Tfrekvenciákon, majd
1
T< ω frekvenciákra egy −40 dB
dekmeredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való
metsződés az 1
Tés AI frekvenciák viszonyától függ. Ha 1
T> AI akkor -20 dB
dek, egyéb
esetben -40 dBdek
meredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.
• a fázis −90◦ és −180◦ között változik, 0.1ωs-nél kisebb frekvenciák esetén −90◦, 0.1ωs
és 10ωs frekvenciatartományon −45◦
dekmeredekségű egyenes, 10ωs-nél nagyobb frek-
venciák esetén −180◦ (lásd 12. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bodefázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −135◦ értéket vesz fel, me-lyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.7. 2TP 2 tárolós arányos tag
−4 −2 0 2 4 6−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Re
Im
2TP tag Nyquist diagramja
Aω =0
ω → ∞
ωs = 1/T
ωs = 1/T
ξ≥ 0,5
ξ< 0,5
13. ábra. 2TP alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) =A
T 2s2 + 2Tξs+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =A
T 2(iω)2 + 2Tξiω + 1=
A(1− T 2ω2 − 2Tξωi)
(1− T 2ω2)2 + 4T 2ξ2ω2=
A− AT 2ω2 − 2ATξωi
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
ξ = 0, 8 G(iω) =5
4(iω)2 + 3, 2iω + 1
ξ = 0, 3 G(iω) =5
4(iω)2 + 1, 2iω + 1
11
10−2
10−1
100
101
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TP tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A) p
−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TP tag (ξ<1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TP tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A) p−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TP tag (ξ=1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TP tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A) p1
−20 dB/dek
p2
−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TP tag (ξ>1) Bode fázis diagramja
0.1*p1
−45 fok/dek
0.1*p2
−90 fok/dek
10*p1
−45 fok/dek10*p
2
14. ábra. 2TP alaptag Bode diagramjai
12
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = A
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=A− A− 2Aξi
4ξ2= 0− 2Aξi
4ξ2
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán képzetes ϕ(ωs) = −90◦. A tag Nyquist diagramja egy torz "félkör" az alsó kétsíknegyedben A-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquistdiagramja) (lásd 13. ábra). Bizonyítható (lásd függelék), hogy az A pontba húzottfüggőleges egyenest ξ < 0, 5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor"lóg át" rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalánhelyezkedik el.A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja,három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengő-rendszer):
• ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált pólus-párja van,
• ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernekegy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás),
• ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van (|p1| < |p2|).A kéttárolós tagok Bode diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utánieredő számítással kaphatjuk meg.A pólusok alapján a 2TP aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
• – Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus eseténaz amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egyenes az |p1| = |p2| = |p|frekvenciáig, majd onnan −40 dB
dekmeredekségű egyenes.
– A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között
és −180◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 14. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen −90◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan advissza.
– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p|sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelennagy kiemelés alakul ki.
• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egye-nes az |p1| frekvenciáig, majd onnan −20 dB
dekmeredekségű egyenes a |p2| frek-
venciáig. |p2| frekvenciától pedig −40 dBdek
meredekségű egyenes.
– A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p1| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák kö-
zött, −90◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45
◦
dek
meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −180◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén(lásd 14. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −90◦ értéketvesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
13
2.8. 2TD 2 tárolós differenciáló tag
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Re
Im
2TD tag Nyquist diagramja
Ad /
2ξT
ω = 0
ω → ∞ φ = 0
15. ábra. 2TD alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) =Ads
T 2s2 + 2Tξs+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =Adiω
T 2(iω)2 + 2Tξiω + 1=
Adiω(1− T 2ω2 − 2Tξωi)
(1− T 2ω2)2 + 4T 2ξ2ω2=
(1− T 2ω2)Adiω + 2AdTξω2)
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
ξ = 0, 8 G(iω) =5iω
4(iω)2 + 3, 2iω + 1
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=0 + 2Adξ
T
4ξ2=
Ad
2ξT+ 0i
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán valós (ϕ(ωs) = 0). A tag Nyquist diagramja egy teljes kör a felső és alsó kétsíknegyedben 0-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquistdiagramja) (lásd 15. ábra). A teljes kör alak igazolása a függelékben megtalálható.A pólusok alapján az 1TD aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
14
10−2
10−1
100
101
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TD tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja
+20 dB/dek
p
−20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TD tag (ξ<1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TD tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja
+20 dB/dek
p
−20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TD tag (ξ=1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TD tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja
+20 dB/dek
p1
p2
−20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TD tag (ξ>1) Bode fázis diagramja
0.1*p1
−45 fok/dek
0.1*p2
−90 fok/dek
10*p1
−45 fok/dek10*p
2
16. ábra. 2TD alaptag Bode diagramjai
15
• – Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus ese-tén az amplitúdó diagram +20 dB
dekmeredekségű egyenes az |p1| = |p2| frek-
venciáig (mely 0dB-es tengelyt az 1
Adfrekvencián metszi), majd onnan −20 dB
dek
meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az 1
Tés 1
Adfrekven-
ciák viszonyától függ. Ha 1
T> 1
Adakkor létrejön a metsződés, ha 1
T< 1
Adakkor
nem jön létre metsződés.
– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között
és −90◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen 0◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan advissza.
– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p|sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelennagy kiemelés alakul ki.
• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +20 dBdek
meredekségű egyenes az|p1| frekvenciáig (mely 0dB-es tengelyt az 1
Adfrekvencián metszi), majd onnan
vízszintes egyenes a |p2| frekvenciáig. |p2| frekvenciától pedig −20 dBdek
mere-dekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az |p1| és 1
Adfrekvenciák
viszonyától függ. Ha |p1| > 1
Adakkor létrejön a metsződés, ha |p1| < 1
Adakkor
nem jön létre metsződés.
– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p1| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák kö-
zött, −90◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45
◦
dek
meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −90◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 0◦ értéket veszfel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.9. 2TI 2 tárolós integráló tag
Átviteli függvénye:
G(s) =AI
s (T 2s2 + 2Tξs+ 1)
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =AI
T 2(iω)3 + 2Tξ(iω)2 + iω=
AI(−2Tξω2 − ωi+ T 2ω3i)
4T 2ξ2ω4 + ω2 − 2T 2ω4 + T 4ω6=
=−2TξAI − AI
ωi+ T 2AIωi
4T 2ξ2ω2 + 1− 2T 2ω2 + T 4ω4
G(iω)|ξ=0,8 =5
4(iω)3 + 3, 2(iω)2 + iωG(iω)|ξ=0,6 =
5
4(iω)3 + 2, 4(iω)2 + iω
16
−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0−500
−400
−300
−200
−100
0
1002TI tag Nyquist diagramja
Re
Im
ξ<0.707
ξ≥0.707
ω = 0
ω → ∞
2Tξ AI
17. ábra. 2TI alaptag Nyquist diagramja
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = −2TAIξ − i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=−2TAIξ + (TAI − TAI)i
4ξ2=
−TAI
2ξ+ 0i
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán valós (ϕ(ωs) = −180◦). A tag Nyquist diagramja az 1TI tag diagramjának torzí-tása (két síknegyeden halad át) 2TAIξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd 17. ábra).Bizonyítható (lásd függelék), hogy a 2TAIξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/
√2
csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta balra) egyébkéntminden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el.A pólusok alapján az 1TI aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
• – Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus ese-tén az amplitúdó diagram −20 dB
dekmeredekségű egyenes az |p1| = |p2| = |p|
frekvenciáig, majd onnan −60 dBdek
meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyelvaló metsződés a |p| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p| > AI , akkor−20 dB
dek, egyéb esetben −60 dB
dekmeredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.
– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között
és −270◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen −180◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosanad vissza.
– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben.
17
10−2
10−1
100
101
−60
−40
−20
0
20
40
60
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TI tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja
−20 dB/dek
p
−60 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TI tag (ξ<1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TI tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja
−20 dB/dek
p
−60 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TI tag (ξ=1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TI tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja
−20 dB/dek
p1
−40 dB/dek
p2
−60 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TI tag (ξ>1) Bode fázis diagramja
0.1*p1
−45 fok/dek
0.1*p2
−90 fok/dek
10*p1
−45 fok/dek10*p
2
18. ábra. 2TI alaptag Bode diagramjai
18
• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram −20 dBdek
meredekségű egyenes az|p1| frekvenciáig, majd onnan −40 dB
dekmeredekségű egyenes a |p2| frekvenciáig.
|p2| frekvenciától pedig −60 dBdek
meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel valómetsződés a |p1| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p1| > AI , akkor -20 dB
dek, egyéb esetben -40 dB
dekvagy -60 dB
dekmeredekséggel metszi a görbe a 0dB-es
tengelyt.
– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p1| frekvenciánál ki-sebb frekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák
között, −90◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45
◦
dek
meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −270◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −180◦ értéketvesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.10. PD arányos deriváló tag
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Re
Im
PD tag Nyquist diagramja
ω → ∞
ω = 0
19. ábra. PD alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) = Ts+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) = T iω + 1
19
10−2
10−1
100
101
102
103
0
20
40
60PD tag Bode amplitúdó diagramja
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
10−2
10−1
100
101
102
103
0
50
100PD tag Bode fázis diagramja
Fáz
issz
ög [f
ok]
ω [rad/sec]
+20dB/dekT−1
0.1*T−1
10*T−1
+45 fok/dek
20. ábra. PD alaptag Bode diagramja
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 1
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 1 + i∞
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
= i+ 1
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = 45◦. A tag Nyquistdiagramja egy egyenes az 1 pontból az 1 + i∞-be (lásd 19. ábra).A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismer-tetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel avalódi frekvencia válaszokat.PD tag Bode amplitúdó diagramja ωs = 1
Tfrekvenciáig egy 0dB magasságban haladó
vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +20 dBdek
meredekségű egyenes. Fázisdiag-ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45
◦
dekmeredekségű egye-
nes 0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és +90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobbfrekvenciák esetén (lásd 20. ábra).
20
3. Függelék
3.1. Igazolás: 0TD alaptag Bode diagramja
Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk:
a(ω) = 20 lg |Adiω| = 20 lgAdω = 20 lgAd + 20 lgω
Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása:
a(10 · ω)− a(ω) = 20 lgAd + 20 lg 10 + 20 lgω − 20 lgAd − 20 lgω
= 20 lg 10 = 20
vagyis az amplitúdó görbe meredeksége +20 dbdek
.A vágási körfrekvencia:
0 = 20 lgAd + 20 lgωc
lgωc = − lgAd = lgA−1
d
ωc =1
Ad
A fázisfüggvény:
ϕ(ω) = arctanImG(iω)
ReG(iω)= arctan
ImAdiω
ReAdiω= arctan
Adω
0= arctan∞ = +90◦
minden ω-ra.
3.2. Igazolás: 0TI alaptag Bode diagramja
Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhat-juk:
a(ω) = 20 lgAI
ω= 20 lgAI − 20 lgω
Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása:
a(10 · ω)− a(ω) = 20 lgAI − 20 lg 10− 20 lgω − 20 lgAI + 20 lgω
= −20 lg 10 = −20
vagyis az amplitúdó görbe meredeksége −20 dbdek
.A vágási körfrekvencia:
0 = 20 lgAI − 20 lgωc
lgωc = lgAI
ωc = AI
A fázisfüggvény:
ϕ(ω) = arctanImG(iω)
ReG(iω)= arctan
Im −AI iω
Re −AI iω
= arctan−AI
ω
0= − arctan∞ = −90◦
minden frekvencián.
21
3.3. Igazolás: 1TP alaptag Nyquist diagramja félkör alakú
Thálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadikcsúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkal-mazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = 0)és végpont (ω → ∞) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört(teljes kört) fut be.
Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G.A pedig az ω = 0 ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GAkülönbségi vektorra mindig merőleges:
G =[AN
−ATωN
]T
N = 1 + T 2ω2
A =[A 0
]T
GA = A−G =[A− A
NATωN
]T
GA ·G =A2
N− A2
N2− A2T 2ω2
N2=
A2N
N2− A2 + A2T 2ω2
N2=
=A2 + A2T 2ω2
N2− A2 + A2T 2ω2
N2= 0 ∀ω
q.e.d.
3.4. Igazolás: 1TP alaptag Bode amplitúdó diagramja
Az 1TP tag amplitúdó függvénye:
a(ω) = 20 lg
∣∣∣∣
A
Tiω + 1
∣∣∣∣= 20 lgA− 20 lg
√
1 + (Tω)2
ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függéselhanyagolható, ω << 1
T:
a(ω)|ω<< 1
T= 20 lgA
az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az1 elhanyagolható, ω >> 1
T:
a(ω)|ω>> 1
T= 20 lgA− 20 lg Tω
az aszimptota egyenlete, ami egy −20 dBdek
meredekségű egyenes.A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:
20 lgA = 20 lgA− 20 lg Tω
amiből ω = 1
Tadódik.
3.5. Igazolás: 1TD alaptag Nyquist diagramja félkör alakú
Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és kép-zetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω → ∞ ponthoztartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindigmerőleges:
22
G =[AdTω2
NAdωN
]T
N = 1 + T 2ω2
A =[Ad
T0]T
GA = A−G =[Ad
T− AdTω2
N−Adω
N
]T
GA ·G =A2
dω2
N− A2
dT2ω4
N2− A2
dω2
N2=
A2dω
2N
N2− A2
dω2 + A2
dT2ω4
N2=
A2dω
2 + A2dT
2ω4
N2− A2
dω2 + A2
dT2ω4
N2= 0 ∀ω
q.e.d.
3.6. Igazolás: 2TP alaptag Nyquist diagramjának viszonya az Aponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében
A 2TP tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" az [A 0] pontba állított függőleges egyenesen,ha ReG(iω) = A lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás:
A =A− AT 2ω2
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
AT 4ω4 +(4AT 2ξ2 − 2AT 2
)ω2 + A = A− AT 2ω2 a , ω2 > 0
AT 4a2 +(4AT 2ξ2 − AT 2
)a = 0
AT 4a = AT 2 − 4AT 2ξ2
a =1
T 2− 4
T 2ξ2
(4)
Könnyen belátható, hogy (4)-nek akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 0, 5. Ezzeligazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" az A pontba húzott függőlegesen.
3.7. Igazolás: 2TI alaptag Nyquist diagramjának viszonya a −2AITξponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében
A 2TI tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" a [−2AITξ 0] pontba állított függőlegesegyenesen, ha ReG(iω) = −2AITξ lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás(hasonlóan a 2TP taghoz):
− 2AITξ =−2AITξ
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
T 4ω4 +(4T 2ξ2 − 2T 2
)ω2 = 0 a , ω2 > 0
T 4a2 = 2T 2a− 4T 2ξ2a
a =2
T 2− 4
T 2ξ2
(5)
Könnyen belátható, hogy (5)-nak akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 1/√2. Ezzel
igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" a −2AITξ pontba húzott függőle-gesen.
23
3.8. Igazolás: 2TD alaptag Nyquist diagramja kör alakú
Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetesrészből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ωs = 1/T sarokkörfrekven-ciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorramindig merőleges:
G =[
2Tξω2Ad
N
(1−T 2ω2)Adω
N
]T
N = T 4ω4 +(4T 2ξ2 − 2T 2
)ω2 + 1
A =[
Ad
2ξT0]T
GA = A−G =[
Ad
2ξT− 2Tξω2Ad
N−(1−T 2ω2)Adω
N
]T
GA ·G =2ξTA2
dω2
2ξTN− 4T 2ξ2ω4A2
d
N2− (1− T 2ω2)
2A2
dω2
N2=
A2dω
2 (T 4ω4 + 4T 2ξ2ω2 − 2T 2ω2 + 1)
N2− A2
dω2 (T 4ω4 + 4T 2ξ2ω2 − 2T 2ω2 + 1)
N2= 0
q.e.d.
3.9. Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja
A PD tag amplitúdó függvénye:
a(ω) = 20 lg |T iω + 1| = 20 lg√
1 + (Tω)2
ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függéselhanyagolható, ω << 1
T:
a(ω)|ω<< 1
T= 20 lg 1 = 0dB
az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az1 elhanyagolható, ω >> 1
T:
a(ω)|ω>> 1
T= 20 lg Tω
az aszimptota egyenlete, ami egy +20 dBdek
meredekségű egyenes.A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:
20 lg 1 = 20 lg Tω
amiből ω = 1
Tadódik.
3.10. Igazolás: Összetett tag Bode diagramja szorzat alakból aszorzatban szereplő alaptagok Bode diagramjainak összege-ként kapható meg
Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét:
G(iω0) = G1G2 . . . Gn
Gj ∈ C j = 1 . . . n ⇒Gj = rje
iϕj ⇒G(iω0) = r1e
iϕ1r2eiϕ2 . . . rne
iϕn = r1r2 . . . rneiϕ1eiϕ2 . . . eiϕn = reiϕ
(6)
24
Az eredő amplitúdó így r = r1r2 . . . rn az eredő fázis pedig ϕ = ϕ1 + ϕ2 + . . . + ϕn. Afázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk azeredő szöget.
Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definí-cióját:
a(ω0) = 20 lg |G(iω0)| = 20 lg |r1r2 . . . rneiϕ| = 20 lg(r1r2 . . . rn) =
= 20 lg r1 + 20 lg r2 + . . .+ 20 lg rn = a1(ω0) + a2(ω0) + . . .+ an(ω0)(7)
Hivatkozások
[1] Bokor József, Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, Ty-poTeX kiadó, Budapest, 2008.
25