album de geometría analítica. UNIDAD 1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Para calcular la distancia entre dos puntos considere los puntos A(x1,y1) y B(x2, y2) de la siguiente figura, cuya distancia se pretende encontrar:

Analizando la figura, se observa que:

AC= A’B’ = x2 – x1 CB = A´´B´´ = y2 – y1

En el triangulo rectángulo ACB, y según el teorema de Pitágoras, se puede escribir:

(AB)2 = (AC)2 + (CB)2

O bien:

(AB)2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

finalmente se tiene:

AB =Ejercicio.- Determinar la distancia entre los puntos R(-1,1) y B(1,-2)

En este espacio escribe el procedimiento

1

2 2

Ejercicio.- Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos: A(4,2), B(-6,4) y C(-2,-4)


Ilustra el resultado en el plano cartesiano

Ejercicio.- Uno de los extremos del segmento AB, de longitud 5 unidades, es el punto (3, -2), si la abscisa del otro extremo es 6, hallar su ordenada.


2

X

Y

Ilustra el resultado en el plano cartesiano

Ejercicio.- Encuentre la distancia entre los puntos que tienen por coordenadas G(9,-5) y H(-6, -5).

Ejercicio.- la longitud del segmento PQ es igual a . Si la abscisa del punto Q es 3, y las coordenadas de P son (-3, 4), encuentre la ordenada del extremo Q.

En este espacio escribe el procedimiento:

3

X

Y

Ilustra el problema en el plano cartesiano

Ejercicio.- Los lados iguales del triángulo isósceles FGH tienen una longitud de . Sabiendo que los vértices de los ángulos congruentes son los puntos (-4, -3) y (2,-3), encuentre las coordenadas del tercer vértice.


4

X

Y

Ilustra el problema en el plano cartesiano

PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Razón: Es el resultado de comparar dos cantidades entre sí

Para determinar las coordenadas que divide a un segmento en una razón dada considera la siguiente figura en la que se ha trazado el segmento AB, y en el que además se señala un punto P del segmento que lo divide en una razón r, y cuyas coordenadas se desean conocer.

5

X

Y

Si el punto P divide al segmento en una razón cualquiera r, entonces se puede escribir:

Considerando las proyecciones horizontal y vertical sobre los ejes, se tiene:

y además

Analizando la figura anterior se observa que:

A´P´= x – x1 P´´B´= x2 – x A´´P´´= y – y1 P´´B´´= y2 – y

De acuerdo con esto se puede escribir las fórmulas que se utilizan para cuando se quiere encontrar la razón en que un punto divide a un segmento, y que son:

6

Si lo que se pretende es determinar las coordenadas del punto que divide al segmento, en función de las coordenadas de los dos extremos de éste y de la razón, entonces las expresiones son:

Punto medio

Razón = 1

Para determinar las coordenadas del punto medio de un segmento, las expresiones son:

Ejercicio.- En el segmento A(2,1), B(9,8), determinar las coordenadas

del punto P(x,y) que lo divide en la razón .


Respuesta: P(___, ___)

Ilustra el resultado en el plano cartesiano:

7

Ejercicio.- Determinar las coordenadas de un punto K(x,y), que divide

al segmento determinado por M(-2,1) y N(3,-4) en la razón .


Respuesta K(____,___)


8

X

Y

Y

Ejercicio.- Los extremos de un segmento son los puntos M(-6,5) y N(6,-4). Hallar las coordenadas de los puntos P y Q que lo dividen en tres partes iguales.


Respuesta P(__ , __) Q(__, __)


9

X

Y

Ejercicio.- Un segmento tiene por extremos los puntos: R(1, -5) y S(-5, 3).Sabiendo que un punto P(x, y) del segmento dado se encuentra a la quinta parte, de R a S, determine sus coordenadas.


Respuesta: P(__ , __)


10

X

X

Y

Ejercicio.- Las coordenadas de uno de los extremos del diámetro de una circunferencia son E(9,7). Hallar la abscisa del otro extremo D(X1, Y1) del diámetro, sabiendo que el centro de la circunferencias es el punto C(4,2).


Resultado: D(___ ,___)


11

X

Y

Ejercicio.- Determinar las coordenadas del punto medio M del segmento que tiene por extremos los puntos: P(-3, 7) y Q(6,-9)


Respuesta: M(__ , __)

Ilustre el resultado en el plano cartesiano

12

X

Y

Ejercicio.- Si las coordenadas del punto medio M del segmento AB son: (-4, -6), y las del punto A son: (6, -4), determine la abscisa y la ordenada de B.


Respuesta: B(__ , __)


13

X

Y

Ejercicio.- La ordenada del punto R y la abscisa del punto S son, respectivamente, 9 y 4.

Además, las coordenadas que tiene el punto medio M del segmento determinado por R y S son (-3, 5). Con estos datos encuentre la abscisa de R y la ordenada de S.


Respuesta: R(__ , __) S(__, __)


PENDIENTE Y/O ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

X

Y

14

La pendiente de una recta.- Para deducir la expresión que se utiliza en la determinación de la pendiente de una recta, en la figura siguiente que se ha trazado la recta L, y de la cual se han señalado los puntos Q1 y Q2.

La inclinación de la recta L, se establece tomando como referencia el ángulo que forma con la dirección positiva del eje horizontal. Esta ángulo se ha señalado con el símbolo “” .

Además la pendiente de una recta cualquiera, denotada generalmente con la literal “m”, se define como la tangente del ángulo de inclinación , por lo tanto, se puede escribir:

m = tan .

Recordando la definición de la función tangente, y aplicándola para el ángulo del triangulo rectángulo Q1 R Q2, y considerando que:

R Q2 = y2 – y1 , Q2R = x2 – x1

Se tiene:

m = tan =

Ejercicio.- hallar la pendiente m y el ángulo de inclinación para la recta que pasa por los puntos: A(-8, -4) y B(5, 9).


R

Q2(X2, Y2)

Q1(X1, Y1)

LY

X

15

Ilustra gráficamente en el plano cartesiano:

Ejercicio.- Encuentra a pendiente m y el ángulo de inclinación para la línea recta que pasa por los puntos: H(6, 5) y K(-7, -6). Debes graficar el resultado.

En este espacio realiza los cálculos correspondientes:

X

Y

16

Respuestas: m =_____ = _____

Ilustra gráficamente el resultado:

Ejercicio.- Encuentra la pendiente m y el ángulo de inclinación para la línea recta que pasa por los puntos: D(-5, 7) y E(6, -9). Debes graficar el resultado.


Respuestas: m = _________ = ______

X

Y

17


Ejercicio.- Encuentra la pendiente m y el ángulo de inclinación para la línea recta que pasa por los puntos: M(2,7) y N(-10,-6). Debes graficar el resultado.


Respuestas: m= ______ = ________


X

Y

18

Ejercicio.- Encuentra la pendiente m y el ángulo de inclinación para la línea recta que pasa por los puntos: G(9, -8) y R(-9, 8). Debes graficar el resultado.


Respuestas: m =_____ = _____


X

Y

Y

19

Ejercicio.- Demostrar que los puntos: A(-3, 4), B(3,2) y C(6,1) son colineales. La solución debe ser analítica y gráfica

En este espacio desarrolla la demostración en forma analítica:


X

X

Y

20

ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS

Para deducir la expresión que determina el ángulo formado por dos líneas rectas, considere la siguiente figura en la que se han trazado las rectas: L1 con pendiente m1, y la recta L2 con pendiente m2. También se ha señalado el ángulo , medido en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, es decir, de la recta L1 hacia la recta L2.

Conforme a la figura, se tiene:

= +

De donde: = -

luego entonces:

Tan = tan ( - )

L2

L1

x

y

21

Aplicando los conocimientos trigonométricos se tiene:

de acuerdo con esto, se obtiene:

analizando la figura anterior, se puede observar que y son los ángulos de inclinación de las rectas L1 y L2, respectivamente; por lo tanto, se puede escribir:

Tan = m1 tan = m2

Haciendo las sustituciones correspondientes, se tiene:

Dado que es suplementos de , entonces se sabe que:

Tan = -tan

Por lo tanto:

Ejercicio.- Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45°, y que la pendiente m1 de L1, es igual a dos tercios, hallar la pendiente m2 de L2.

En este espacio escribe el desarrollo del problema.

22

Resultado m2 =_______

Ejercicio.- Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 30°, y que la pendiente m1 de L1, es igual a un tercio, hallar la pendiente m2 de L2.


Resultado m2 =_______Ejercicio.- Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 60°, y que la pendiente m1 de L1, es igual a tres, hallar la pendiente m2 de L2.


23

Resultado m2 =_______

Ejercicio.- Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45°, y que la pendiente m2 de L2, es igual a dos tercios, hallar la pendiente m1 de L1.


Resultado m1 =_______Ejercicio.- Sabiendo que las pendientes de las rectas L1 y L2 son iguales a un tercio y a un quinto respectivamente, hallar el ángulo formado por estas líneas rectas.


Resultado =_______

24

Ejercicio.- La recta L pasa por los puntos A(5,4) y B(-6,-1), y la recta K pasa por: C(-6,4) y D(3,-3). Con estos datos encuentre la pendiente m1 y el ángulo de inclinación de L, así como la pendiente m2 y el ángulo de inclinación de K. También determine el ángulo que forman estas dos líneas. Debes graficar los resultados.


Resultados: m1 =_______ m2 =_______ =______ ______ =_____

X

Y

25

Paralelismo

Para analizar la condición de paralelismo en líneas rectas, analiza la siguiente figura, en la que se han trazado las rectas L1 y L2, y sus respectivos ángulos de inclinación y .

De acuerdo con lo anterior, la expresión:

Conduce a:

(1 + m2m1)( 0)= m2-m1

0 = m2-m1

Esto es:

26

m1 = m2

“Si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales”

Ejercicio.- Averiguar si la recta que pasa por los puntos A(-2,-1) y B(4,0), es paralela a la que pasa por: C(3,3) y D(-3,2)

Escribe aquí el procedimiento:


X

Y

27

Ejercicio.- Averiguar si la recta que pasa por los puntos H(3,4) y K(-7,-4), es paralela a la que pasa por: T(8,2) y R(-2, -6).



Ejercicio.-Averiguar si la recta que pasa por los puntos M(-6,5) y N(6,-2), es paralela a la que pasa por : F(-8,2) y G(4,-5).

X

Y

28



Ejercicio.- Averiguar si la recta que pasa por los puntos P(4,7) y Q(-3,-7) es paralela a la que pasa por J(-5,7) y H(-10,-3).


X

Y

29


Ejercicio.- Verificar que el cuadrilátero cuyos vértices son H(-5,-6),K(6,-1), L(4,8) y M(-7,3), es un paralelogramo.


X

Y

30


Ejercicio.- Verificar que el cuadrilátero cuyos vértices son Q(-3, 6), P(8,8) R(6,-2) y S(-5,-4), es un paralelogramo.


X

Y

31


Perpendicularidad

Si dos líneas son perpendiculares entre sí, entonces el ángulo formado es igual a 90°. Esta condición se ilustra en la siguiente figura.

Considerando lo siguiente:

X

Y

32

y

Se puede escribir:

Como cot 90° = 0, se tiene:

por lo tanto: (0) (m2 - m1) = 1 + m2m1

Finalmente:

m2m1 = -1

Ejercicio.-Averiguar si la recta que pasa por los puntos A(4,5) y B(6,6), es perpendicular a la que pasa por C(4,-6) y D(5,-8).

En este espacio realiza los cálculos


Y

33

Ejercicio.- Averiguar si la recta que pasa por los puntos G(-7,7) y H(7,-7), es perpendicular a la que pasa por K(5,5) y P(-4,-4).



X

X

Y

34

Ejercicio.- Averiguar si la recta que pasa por los puntos M(8,6) y N(-3,-6), es perpendicular a la que pasa por E(-2,7) y F(10,-4). Debe ilustrar el problema.



X

Y

35

Ejercicio.- Averiguar si la recta que pasa por los puntos L(5,5) y S(-7,-1), es perpendicular a la que pasa por Q(-6,5) y R(-3,-1).



X

Y

36

Ejercicio.- Una recta que pasa por los puntos A(6,4) y B(1,-6), es perpendicular a la que pasa por C(9,-7) y D(-5,y). Determine la ordenada del punto D.



Ejercicio.- Los vértices de un cuadrilátero son los puntos A(-3,-1), B(5,-3) C(7,5) y D(-1,7). Verificar si sus diagonales cumplen con la condición de perpendicularidad. También determine las coordenadas del punto común a estas diagonales.

X

Y

37



Ejercicio.- Un polígono tiene por vértices los puntos cuyas coordenadas son: G(-5,-5), H(6,-3), I(8,8) y J(-3,6). Verificar si sus diagonales son perpendiculares entre si y que se cortan en su punto medio. También diga, justificando su respuesta, de que polígono se trata y determine su perímetro y el área.


X

Y

38


LUGARES GEOMÉTRICOS

Conviene ir dando un repaso a los conceptos que se requieren para trazar las graficas de ecuaciones o para determinar la ecuación a partir de su grafica.

Grafica de Ecuaciones

En esta parte solo se graficarán ecuaciones que tienen dos variables, las que se denominan dependiente e independiente. Las variables independientes suelen denotarse con la literal “x”, y son aquellas

X

Y

39

cuyo valor no está en función de otras; mientras que las dependientes, denotadas comúnmente la “y”, son las que adquieren valores en función de otra u otras variables.

Ejemplo:

y = x + 5

Para graficar una ecuación, se asignan valores a la variable independiente, dentro de su dominio, para luego proceder a calcular los valores correspondientes a la variable dependiente; obteniendo de esta manera una serie de pares ordenados, mismos que se registran en una tabla.

Ejercicio.- Trace la grafica de la ecuación y = x + 5

X -2 -1 0 1 2 3

Y

Variable dependiente

Variable independiente

Constante

40

Traza la gráfica:

Ejercicio.- Trace la grafica de la ecuación y = x + 2

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Traza la gráfica:

X

Y

41

Ejercicio.- Trace la grafica de la ecuación y = x2

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

Traza la gráfica:

Y

X

Y

42

Ejercicio.- Trace la grafica de la ecuación x2 + y2 = 9

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Traza la gráfica:

X

X

Y

43

Ejercicio.- Trace la grafica de la ecuación x2 + 8x – 2y + 10 = 0

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Y

Traza la gráfica:

X

Y

44

Simetría

La grafica de una ecuación presenta simetría con respecto al origen, cuando se cumple que pasa cada uno de los puntos de la curva, existe un punto correspondiente, también perteneciente a la curva, de tal manera que sean simétricos respecto al origen O del sistema de coordenadas cartesianas.

Simetría de curvas con respecto al origen: Se sustituye las variables (x) por (-x), y (y) por (-y) en la ecuación dada, si ésta no se altera entonces se puede afirmar que la curva es simétrica con respecto al origen.

Ejercicio.- Trace la gráfica de la siguiente ecuación y diga si tienen o no simetría con respecto al origen. Justifique la respuesta.

X2 + y2 = 25

X -5 -4 -3 0 3 4 5

Y

Traza la gráfica:

X

Y

45

Ejercicio.- Trace la gráfica de la siguiente ecuación y diga si tiene o no simetría con respecto al origen. Justifique la respuesta.

X2 + y2 = 36

X 0 1 2 3 6

Y

Traza la gráfica:

X

Y

46


25X2 + 36y2 = 900

X 0 1 2 3 6 -6

Y

Traza la gráfica:


X2 + 4y2 = 64

X

Y

47

X 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2

Y

Traza la gráfica:

Simetría que una curva puede tener con respecto al eje “x”: Se sustituye (y) por (-y) en la ecuación dada, y si esta no se altera, entonces se puede afirmar que la curva presenta simetría con respecto a al eje horizontal.

Simetría que una curva puede tener con respecto al eje “y”: Se sustituye (x) por (-x) en la ecuación dada, y si esta no se

X

Y

48

altera, entonces se puede afirmar que la curva presenta simetría con respecto a al eje vertical.

Ejercicio.- Construye la gráfica de la siguiente ecuación, y di si presenta simetría con los dos ejes coordenados rectangulares.

x2 – 16y – 64 = 0

X -12 -8 -4 0 4 8 12

Y

Traza la gráfica:


9x2 – 4y2 – 36 = 0

X -5 -4 -3 -2 2 3 4 5

Y

X

Y

49

Traza la gráfica:


x2 – 16y + 64 = 0

X -12 -8 -4 -0 4 8 12

Y

X

Y

50

Traza la gráfica:


4x2 – y2 = 16

X -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Y

X

Y

51

Traza la gráfica:

Intersección con los ejes coordenados

Se debe determinar puntos de la forma (0,y) para verificar si corta al eje vertical, y puntos de la forma (x,0) para encontrar puntos donde corta al eje horizontal.

Así pues, el método para determinar los puntos de intersección con los ejes, consiste en hacer x = 0 en la ecuación dada, con lo cual se encuentran las intersecciones sobre el eje vertical, mientras que al hacer y = 0, se localizan los puntos de intersección con el eje horizontal.

Ejercicio.- Grafique la siguientes ecuación y determine los puntos de intersección con cada uno de los ejes coordenados rectangulares.

3x + 2y = 6

X -2 0 2 4

Y

X

Y

52

Traza la gráfica:


4x - 5y + 20 = 0

X -6 -5 0 3

Y

Traza la gráfica:

X

Y

53


5y2 – 16x - 80 = 0

X -5 -4 -3 -2 0 1 3 5

Y

Traza la gráfica:

X

X

54


25x2 + 81y2 = 2025

X -9 -5 -3 0 4 6 8 9

Y

Traza la gráfica:

X

55

Campos de Variación

Consiste en determinar con precisión los intervalos de variación para las variables. Los valores que pueden tomar las variables independientes y dependientes, se conocen como los nombres de dominio y contradominio, respectivamente.

Se sugiere despejar cada una de ellas, para así poder analizar la expresión con detalle y precisar los intervalos del dominio y del contradominio.

Ejercicio.-Grafique la siguiente ecuación y determine los intervalos de variación para las variables o la extensión que tiene la curva.

X2 + y – 4 = 0

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Traza la gráfica:

X

56


X2 – 2 x - y – 3 = 0

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

Traza la gráfica:

X

Y

57


9X2 – 25y – 225 = 0

X -5 -2 0 1 2 3 4 5

Y

Traza la gráfica:


9X2 + 49y2 = 441

X

Y

58

X -7 -5 -3 0 1 2 3 4 5 7

Y

Traza la gráfica:

Asintotas

Si existe una recta que tiene una posición con respecto a la curva, tal que la distancia entre ellas disminuye a medida que se prolongan indefinidamente, y esta distancia tiende a cero, entonces se dice que la recta es asíntota de la curva.

X

Y

59

Las asíntotas pueden presentar cualquiera de las siguientes posiciones:

Las asíntotas horizontales coinciden o son paralelas al eje de las abscisas.

Las asíntotas verticales coinciden o son paralelas al eje de las ordenadas.

Las asíntotas oblicuas no son paralelas con respecto a los ejes coordenados.

Asíntotas Verticales.- Se recomienda despejar la variable dependiente “y” en términos de la “x”. Luego se igualan a cero los factores lineales que se encuentren en el denominador. Las ecuaciones así obtenidas corresponden a las rectas buscadas.

Asíntotas Horizontales.- Se recomienda despejar la variable independiente “x” en términos de la “y”. Luego se igualan a cero los factores lineales que se encuentren en el denominador. Las ecuaciones así obtenidas corresponden a las rectas buscadas.

Ejercicio.- Determine las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente ecuación.

xy = 1

X -5 -2 -1 -0.5 0.5 1 2 5

Y

60

Traza la gráfica:


xy – x = 1

X -2 -1 -0.5 -0.2 -0.1 0.2 0.5 1 2 4

Y

X

Y

61

Traza la gráfica:


xy – 2y – 1 = 0

X -2 -1 -0.5 0 0.2 0.4 0.8 1 2.2 3

Y

Traza la gráfica:

X

Y

62


xy + y - 1 = 0

X -5 -3 -2 -1.5 -1.2 0 1 1.5 3 4

Y

Traza la gráfica:

X

Y

63

X

64

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