Alcune applicazioni della diseguaglianza tra la media geometrica e lamedia aritmetica

Giulio C. BarozziUniversità di Bolognabarozzi@ciram.unibo.it

1. Iniziamo con un semplice problema: tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato,determinare quello di area massima.

Un po’ di algebra viene in nostro aiuto. Se x e y sono i lati del rettangolo e p e ilsemiperimetro, si tratta di determinare il massimo del prodotto xy sotto il vincolo chesia x + y = p. Naturalmente dovra anche essere x ≥ 0 e y ≥ 0, dunque la condizionex + y = p implica che x e y non superano p: 0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ p.

Scrivendo p − x al posto di y, si tratta dunque di determinare il massimo delprodotto x(p−x) nell’intervallo 0 ≤ x ≤ p. Questa volta ci aiuta un po’ di geometriaanalitica; il grafico della funzione x �→ x(p − x) nell’intervallo indicato e un arcodi parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate e concavita rivoltaverso il basso: dunque il massimo corrisponde al vertice della parabola, e poiche questainterseca l’asse delle x nei punti di ascissa 0 e p, tale vertice ha ascissa x = p/2.

Conclusione: il massimo del prodotto xy si ha quando x (e di conseguenza anche y)e uguale a p/2, cioe quando il rettangolo e un quadrato. Abbiamo dunque il risultato

xy ≤(p

2

)2

=(x + y

2

)2

, (1)

o anche, estraendo le radici quadrate di entrambi i membri

√xy ≤ x + y

2, (2)

dove il segno di uguaglianza vale se e solo se x = y.A primo membro abbiamo la media geometrica dei numeri x e y a secondo membro

la loro media aritmetica: dunque la media geometrica non supera la media aritmetica,e l’uguaglianza tra le due medie si ha se e solo se i numeri x e y sono tra loro uguali.

La media geometrica dei numeri x e y puo essere vista come il lato di un quadratoavente la stessa area del rettangolo di lati x e y.

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.

2. La diseguaglianza (1) ammette una dimostrazione diretta assai semplice: possiamoriscriverla successivamente

4xy ≤ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ⇐⇒ 0 ≤ x2 − 2xy + y2 = (x − y)2,

dunque essa segue dal fatto che il quadrato di un numero reale e, in ogni caso, unnumero non negativo, e l’uguaglianza si ha soltanto per x − y = 0, cioe x = y.

Altrettanto semplice e l’interpretazione geometrica della diseguaglianza (2): con-sideriamo un triangolo rettangolo, inscritto nel semicerchio di diametro p, e siano x ey le misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

G.C. Barozzi: Media geometrica e media aritmetica

√xy

x + y

2

x y

Figura 1

Allora l’altezza h relativa all’ipotenusa e media proporzionale tra le due proiezioniconsiderate (Euclide, Elementi II, 14), cioe x : h = h.y ⇐⇒ h =

√xy, e il massimo

valore per h si ha quando il triangolo e rettangolo isoscele, cioe√

xy ≤ p/2 = (x+y)/2.

3. Vogliamo ora estendere la validita della (2) al caso di n ≥ 2 numeri non negativi.

Teorema. Se x1, x2, . . . , xn, n ≥ 2, sono numeri non negativi, si han√

x1x2 . . . xn ≤ x1 + x2 + . . . + xn

n, (3)

e vale il segno di uguaglianza se e solo se x1 = x2 = . . . = xn.

Osservazione. Elevando alla potenza n-esima i due membri della (3) abbiamo ladiseguaglianza equivalente

x1x2 . . . xn ≤(x1 + x2 + . . . + xn

n

)n

. (3′)

A parole: il prodotto di n numeri non negativi non supera la potenza n-esimadella loro media aritmetica. Ne segue che tra tutte le n-ple di numeri non negativiaventi una somma assegnata, quella per cui il relativo prodotto e massimo e la n-placostituita da n numeri uguali tra loro.

La (3) puo anche scriversi

nn√

x1x2 . . . xn ≤ x1 + x2 + . . . + xn. (3′′)

Dunque tra tutte le n-ple di numeri non negativi aventi un prodotto assegnato, quellaper cui la relativa somma e minima e la n-pla costituita da n numeri uguali tra loro.

Dimostrazione. Abbiamo gia dimostrato il Teorema per n = 2. Tra i vari metodi perdare una dimostrazione generale, scegliamo quello suggerito da A.L. Cauchy (1789-1857). Innanzitutto dimostriamo il teorema per n = 4, 8, 16 . . ., in generale per tuttii valori di n che sono potenze di 2.

Se abbiamo quattro numeri x1, x2, x3, x4, abbiamo innanzitutto, in virtu della (1),

x1x2 ≤(x1 + x2

2

)2

, x3x4 ≤(x3 + x4

2

)2

,

dunque

x1x2x3x4 ≤(x1 + x2

2· x3 + x4

2

)2

. (4)

Il segno di uguaglianza vale se e solo se x1 = x2 e x3 = x4. La stessa diseguaglianzaapplicata ai numeri (x1 + x2)/2 e (x3 + x4)/2 fornisce

x1 + x2

2· x3 + x4

2≤

(x1 + x2 + x3 + x4

4

)2

,

quindi(x1 + x2

2· x3 + x4

2

)2

≤(x1 + x2 + x3 + x4

4

)4

, (5)

G.C. Barozzi: Media geometrica e media aritmetica

dove il segno di uguaglianza vale se e solo se x1 + x2 = x3 + x4. Combinando le duediseguaglianze (4) e (5) si ottiene

x1x2x3x4 ≤(x1 + x2 + x3 + x4

4

)4

,

da cui segue la tesi del teorema per n = 4, estraendo le radici quarte di entrambi imembri. Si noti che vale il segno di uguaglianza se e solo se x1 = x2 = x3 = x4.

Chiaramente possiamo ripetere l’argomento precedente per 8, 16, . . . numeri, cioeper ogni insieme che contenga un numero di termini pari a una potenza di 2.

Procediamo ora con una sorta di induzione a ritroso. Mostriamo cioe che se latesi (3) vale per n > 2, allora essa vale anche per n − 1. Dunque se la tesi vale pern = 8, essa vale anche per n = 7, e di conseguenza per 6, 5 ecc., in breve per tutti ivalori di n compresi tra 8 e 2.

Siano infatti dati i numeri non negativi x1, x2, . . . , xn−1 la cui media aritmeticasia A:

A =x1 + x2 + . . . + xn−1

n − 1.

Si tratta di dimostrare la (3′), cioe

x1 · x2 · . . . · xn−1 ≤ An−1. (6)

Per l’ipotesi fatta, la (3′) e valida per gli n numeri x1, x2, . . ., xn−1 e A:

x1 · x2 · . . . · xn−1 · A ≤(x1 + x2 + . . . + xn−1 + A

n

)n

;

ma x1 + x2 + . . . + xn−1 = (n − 1)A, dunque la quantita entro parentesi vale A, e la(6) segue subito. Ancora una volta, nell’ultima diseguaglianza scritta vale il segno diuguaglianza se e solo se tutti i numeri considerati sono uguali tra loro.

Per altre dimostrazioni del Teorema precedente, si veda Barozzi [1], par. 1.6,Courant-Robbins [2], per. 7.6, Hardy-Littlewood-Polya [3], cap. 2.

Nelle sezioni seguenti vogliamo trarre alcune conseguenze dal teorema dimostrato.

4. Siano x1, x2, . . . , xn numeri strettamente positivi. Possiamo considerare la loromedia armonica, definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci:

H :=n

1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn.

Applichiamo la diseguaglianza (3) ai numeri 1/x1, 1/x2, . . . , 1/xn:

n

√1x1

1x2

. . .1xn

=1

n√x1x2 . . . xn

≤ 1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn

n;

passando ai reciproci otteniamon

1/x1 + 1/x2 + . . . + 1/xn≤ n√

x1x2 . . . xn, (6)

cioe la media armonica non supera la media geometrica. Se G e A sono la la mediageometrica e la media aritmetica dei numeri in esame, abbiamo

H ≤ G ≤ A.

Nel caso n = 2 abbiamo un risultato piu preciso:

A : G = G : H ⇐⇒ G2 = A · H,

dunque la media geometrica e media proporzionale tra la media aritmetica e la mediaarmonica. Per convincersene basta osservare che

H =2x1x2

x1 + x2, G =

√x1x2, A =

x1 + x2

2.

Possiamo interpretare geometricamente il risultato ottenuto se completiamo lafigura precedente come e mostrato nella figura 2.

G.C. Barozzi: Media geometrica e media aritmetica

x y

A B

C

OH

K

Figura 2

Se verifichiamo che CK e la media armonica di x e y, allora la relazione A : G == G : H segue dalla similitudine dei triangoli rettangoli OCH e CHK. Applicandoil cosiddetto primo teorema di Euclide (Elementi II, 11) al triangolo OCH abbiamo

CH2

= CK · CO ⇐⇒ CK =CH

2

CO=

xy

(x + y)/2=

2xy

x + y.

5. Una diseguaglianza dovuta a Jakob Bernoulli (1654-1705) stabilisce che

(1 + x)n ≥ 1 + nx, (7)

per ogni naturale n e per ogni x > −1. Osserviamo innanzitutto che la (7) si riducea un’identita per n = 0 e n = 1. Per i restanti valori di n essa e ancora ovvia se x etale che 1 + nx ≤ 0, cioe −1 < x ≤ −1/n, perche il primo membro e positivo mentreil secondo membro e negativo.

Se dunque 1 + nx > 0, poniamo x1 = 1 + nx, x2 = . . . = xn = 1. Il prodotto deinumeri considerati vale 1 + nx, mentre la loro media aritmetica vale

1 + nx + n − 1n

= 1 + x;

la (7) non e altro che la (3′) scritta nel caso in esame.

6. Vogliamo studiare la successione n �→ n√a. Per fissare le idee, supponiamo a ≥ 1.

Poniamo x1 = a, x2 = . . . = xn = 1. La (3) forniscen√

a ≤ a + n − 1n

= 1 +a − 1

n,

dunque

1 ≤ n√a ≤ 1 +

a − 1n

,

da cui segue subito che la successione in esame tende a 1 per n → ∞.

7. Vogliamo studiare la successione n �→ n√n. Se procediamo come nel punto pre-

cendente, ponendo x1 = n, x2 = . . . = xn = 1, otteniamo la doppia diseguaglianza

1 ≤ n√n ≤ 2 − 1

n,

che non consente di valutare il limite della successione stessa. Possiamo soltanto direche tale limite, se esiste, e compreso tra 1 e 2. Poniamo allora x1 = x2 =

√n,

x3 = . . . = xn = 1. Il prodotto dei numeri cosı definiti vale ancora n, dunque la (3)fornisce

1 ≤ n√n ≤ 2

√n + n − 2

n= 1 +

2√n− 2

n,

da cui segue che la successione in esame tende a 1 per n → ∞.

G.C. Barozzi: Media geometrica e media aritmetica

8. Il numero e = 2.718281 . . ., base dei logaritmi naturali, detto numero di Nepero, o,piu propriamente, numero di Eulero, dai nomi latinizzati dei matematici John Napier(1550-1617) e Leonhard Euler (1709-1783), puo essere definito come il limite comunealle due successioni

an :=(1 +

1n

)n

, bn :=(1 +

1n

)n+1

, n ≥ 1.

Si ha subito an < bn; dimostriamo che la prima successione e strettamente crescente,la seconda strettamente decrescente.

10 20 30 40

1

2

3

4

10 20 30 40

1

2

3

4

Figura 3. A sinistra alcuni termini della successione n �→ (1 + 1/n)n, a destra alcunitermini della successione n �→ (1 + 1/n)n+1.

Consideriamo n + 1 numeri, di cui il primo uguale a 1 e i restanti n uguali a1 + 1/n; il loro prodotto vale (1 + 1/n)n, mentre la loro media aritmetica vale

A =n(1 + 1/n) + 1

n + 1= 1 +

1n + 1

.

Dunque, in virtu della (3′),(1 +

1n

)n

<(1 +

1n + 1

)n+1

,

cioe an < an+1.Indichiamo un procedimento analogo per dimostrare la decrescenza della succes-

sione bn. Possiamo dimostrare la crescenza della successione dei reciproci

cn =1bn

=( n

n + 1

)n+1

.

Scegliamo n + 1 numeri, di cui il primo uguale a 1 e i restanti n uguali a 1 − 1/n; illoro prodotto vale(

1 − 1n

)n

=(n − 1

n

)n

,

mentre la loro media aritmetica e n/(n + 1). Dunque, in virtu della (3′), si ha(n − 1n

)n

<( n

n + 1

)n+1

,

cioe cn < cn+1.Non e difficile riconoscere che la differenza bn − an tende a 0. Infatti

0 < bn − an = bn

(1 − an

bn

)≤ b1

(1 − an

bn

)= 4

(1 − n

n + 1

)=

4n + 1

.

Possiamo dunque concludere lo studio in esame scrivendo⋂n≥1

[an, bn] = {e}.

Per ogni n ≥ 1 i numeri an e bn forniscono approssimazioni razionali, rispettivamenteper difetto e per eccesso, del numero irrazionale e, e tali approssimazioni convergonoal numero stesso per n → ∞.

G.C. Barozzi: Media geometrica e media aritmetica

9. Vogliamo dimostrare che la successione n �→n√

n! diverge positivamente, o, che elo stesso, vogliamo dimostrare che la successione n �→ 1/

n√n! tende a 0. Ora 1/

n√n!

e la media geometrica dei numeri 1, 1/2, . . . , 1/n, quindi la (3) fornisce

1n√

n!≤ 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1/n

n.

A numeratore abbiamo la somma parziale n-esima della serie armonica (o numeroarmonico di ordine n):

Hn = 1 +12

+13

+ . . . +1n

.

Se si integra la funzione f(x) = 1/x sull’intervallo [1, n], e facile riconoscere che

12

+13

+ . . . +1n

<

∫ n

1

1x

dx = log n.

Infatti a primo membro e scritta una somma inferiore relativa alla funzione f e allascomposizione dell’intervallo [1, n] in n − 1 parti uguali, mediante i punti di ascissaintera. Sommando 1 a entrambi i membri otteniamo

Hn < 1 + log(n)

In definitiva

0 <1

n√n!

<1 + log n

n

e l’ultima quantita tende 0 per n → ∞. Per riconoscere che (log n)/n tende a 0 pern → ∞, basta applica la regola di L’Hopital alla funzione x �→ (log x)/x per x → ∞.

10. Concludiamo con alcune osservazioni sulle successioni studiate. La successionen �→ n√

a e monotona decrescente per a > 1. Infatti la relazionen√

a >n+1√

a,elevando entrambi i membri alla potenza di esponente n(n + 1) si scrive an+1 > an,cioe a > 1.

Al contrario, la successione n �→ xn :=n√

n mostra un andamento crescente neiprimi tre termini:

x1 = 1, x2 =√

2 = 1.414 . . . , x3 = 3√

3 = 1.442 . . . ,

mentre sembra mostrare un andamento decrescente a partire dal terzo termine.

10 20 30 40

1

2

10 20 30 40

1

2

Figura 4. A sinistra alcuni termini della successione n �→ n√a, per a = 2, a destra

alcuni termini della successione n �→ n√n.

Dimostriamo che, per ogni n ≥ 3, si ha xn+1 < xn, cioen+1√

n + 1 <n√

n.

Elevando entrambi i membri alla potenza di esponente n(n+1), la nostra tesi diventa

(n + 1)n < nn+1 ⇐⇒ (n + 1)n

nn=

(1 +

1n

)n

< n.

G.C. Barozzi: Media geometrica e media aritmetica

Per quanto sappiamo dal punto 8, si ha

an =(1 +

1n

)n

< e = 2.718 . . .

per ogni n, mentre si ha ovviamente e < n per ogni n da 3 in poi.

11. La diseguaglianza tra medie da cui abbiamo preso le mosse si inquadra, in buonasostanza, nei problemi di massimo e di minimo trattati senza l’uso delle derivate. Inproposito rimandiamo al volume di Courant-Robbins [2] (cap. 7) e alla nota di A.Padoa nel secondo dei due volumi a cura di F. Enriques [3].

Ringrazio Enrico Pontorno e Luigi Tomasi, che hanno letto una prima stesura diquesta nota, suggerendo miglioramenti e integrazioni.

Bibliografia

[1] G.C. Barozzi, Primo Corso di Analisi Matematica, Zanichelli (Bologna), 1998;[2] R. Courant, H. Robbins, Che cos’e la Matematica?, Bollati Boringhieri Editore

(Torino), 2000 [ edizione riveduta e ampliata, a cura di I. Stewart, della primaedizione del 1941 ];

[3] F. Enriques (a cura di), Questioni riguardanti le matematiche elementari, 3 volumiin 2 tomi, Zanichelli (Bologna), 1983 [ristampa anastatica della prima edizionedegli anni 1924-1927];

[4] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G, Polya. Inequalities, 2nd ed., Cambridge Univer-sity Press, 1988 [ la prima edizione e del 1934 ];

[5] R. Young, Excursions in Calculus, Mathematical Association of America, 1992.