Alcune questioni Alcune questioni sulla dimostrazionesulla dimostrazione

Nicolina A. Malara, Dipartimento di MatematicaUniversità di Modena & Reggio E.

valenza educativa della dimostrazionevalenza educativa della dimostrazione

concezioni di dimostrazioneconcezioni di dimostrazione

la dimostrazione nell’insegnamentola dimostrazione nell’insegnamento

Aspetti logico-linguistici inerenti la Aspetti logico-linguistici inerenti la dimostrazione dimostrazione

La dimostrazione in ambito aritmetico La dimostrazione in ambito aritmetico ed il ruolo del linguaggio ed il ruolo del linguaggio

algebricoalgebrico

dall’esplorazione alla dimostrazione (‘l’unità cognitiva di teoremi’)l’unità cognitiva di teoremi’)

Sulla Sulla valenza valenza educativa educativa della della dimostraziondimostrazionee

in in The Mathematical ExperienceThe Mathematical Experience (1981) (1981) Davis ed Hersh sostengono che Davis ed Hersh sostengono che la la dimostrazione caratterizza univocamente dimostrazione caratterizza univocamente la matematica e che non vi è matematica la matematica e che non vi è matematica se non vi è dimostrazionese non vi è dimostrazione. .

Rilevano che, rispetto ad un dato Rilevano che, rispetto ad un dato argomento, la dimostrazione determina la argomento, la dimostrazione determina la validità di enunciati, in genere non validità di enunciati, in genere non evidenti ed a volte insospettati, ed evidenti ed a volte insospettati, ed aumenta la conoscenza e comprensione aumenta la conoscenza e comprensione dell'argomento stesso. dell'argomento stesso. Richiamano il valore sociale della Richiamano il valore sociale della dimostrazione, per il costante processo di dimostrazione, per il costante processo di critica e di conferma cui è sottoposta, che critica e di conferma cui è sottoposta, che ne suggella la rispettabilità e l'autorità.ne suggella la rispettabilità e l'autorità.

Lucio Russo, Scienza e tradizioni culturali, relazione al convegno “Perché l’antico”, Firenze 2000

La tendenza ad eliminare le dimostrazioni è oggi molto forte e segue varie strade contemporaneamente: mentre il metodo dimostrativo è quasi completamente scomparso dalle scuole secondarie dell’occidente, si stanno diffondendo (in particolare negli USA) corsi di “fisica senza matematica”, nei quali la fisica è insegnata con un metodo puramente descrittivo; inoltre le dimostrazioni tendono a sparire anche dai corsi universitari di matematica (in Italia i corsi di matematica generale per Economia e gli altri corsi “di servizio” hanno già quasi completato la trasformazione; per i corsi di laurea in matematica e fisica un importante passo avanti in questa direzione sarà compiuto con le lauree triennali appena istituite).

In definitiva il metodo dimostrativo si sta In definitiva il metodo dimostrativo si sta rifugiando in una “riserva indiana” rifugiando in una “riserva indiana” costituita da pochi corsi di dottorato e costituita da pochi corsi di dottorato e pochi settori della ricerca matematica pochi settori della ricerca matematica (dove, essendo usato solo per fare carriera (dove, essendo usato solo per fare carriera accademica, potrà in breve essere accademica, potrà in breve essere sostituito da una qualsiasi altra tecnica sostituito da una qualsiasi altra tecnica sufficientemente astrusa). Le conseguenze sufficientemente astrusa). Le conseguenze di questo processo sulle capacità di questo processo sulle capacità argomentative diffuse sono facilmente argomentative diffuse sono facilmente verificabili (e costituiscono la controprova verificabili (e costituiscono la controprova dell’antico rapporto tra dimostrazioni, dell’antico rapporto tra dimostrazioni, capacità argomentative e democrazia).capacità argomentative e democrazia).

Gila Hanna (1995):Challenges to the Gila Hanna (1995):Challenges to the importance of proof, For the learning of importance of proof, For the learning of mathematics, vol. 15, n. 3mathematics, vol. 15, n. 3

La Dimostrazione è un argomento La Dimostrazione è un argomento trasparente, in cui tutte le informazione trasparente, in cui tutte le informazione usate e tutte le leggi di ragionamento usate e tutte le leggi di ragionamento sono chiaramente espresse e aperte alla sono chiaramente espresse e aperte alla critica. E’ proprio per la natura stessa critica. E’ proprio per la natura stessa della dimostrazione che la validità della della dimostrazione che la validità della conclusione scaturisce non da alcuna conclusione scaturisce non da alcuna autorità esterna ma dalla dimostrazione autorità esterna ma dalla dimostrazione stessa. La dimostrazione veicola agli stessa. La dimostrazione veicola agli studenti il messaggio che essi possono studenti il messaggio che essi possono ragionare da se stessi, che ragionare da se stessi, che nonnon hanno hanno bisogno di piegarsi alla autorità. Dunque bisogno di piegarsi alla autorità. Dunque l’uso della dimostrazione in classe è in l’uso della dimostrazione in classe è in realtà anti-autoritariorealtà anti-autoritario

Sul Sul significato di significato di dimostraziondimostrazionee

Usualmente il significato attribuito al Usualmente il significato attribuito al termine ‘dimostrazione’ è inteso come termine ‘dimostrazione’ è inteso come sistemazione deduttiva di un processo sistemazione deduttiva di un processo di ragionamentodi ragionamento..

Questa visione della dimostrazione, Questa visione della dimostrazione, induttiva e deduttiva insieme, tipica induttiva e deduttiva insieme, tipica della cultura di matrice anglosassone, della cultura di matrice anglosassone, è stata sottolineata da nostri è stata sottolineata da nostri importanti studiosi sin dai primi del importanti studiosi sin dai primi del ‘900‘900

Va invece fatto inteso in senso più Va invece fatto inteso in senso più ampio come ampio come costruzione di un costruzione di un ragionamento che porta alla scoperta ragionamento che porta alla scoperta di nuove conoscenzedi nuove conoscenze. .

Nel 1904 Vailati scriveva Nel 1904 Vailati scriveva

““E’ di somma importanza che l’allievo E’ di somma importanza che l’allievo arrivi il più presto possibile a vedere arrivi il più presto possibile a vedere nel processo di dimostrazione un nel processo di dimostrazione un mezzo per passare dal noto all’ignoto, mezzo per passare dal noto all’ignoto, uno strumento cioè di prova e, ancor uno strumento cioè di prova e, ancor più, di ricerca, mentre solo più tardi più, di ricerca, mentre solo più tardi potrà apprezzarne e gustarne potrà apprezzarne e gustarne l’efficacia come strumento di analisi, e l’efficacia come strumento di analisi, e di riduzione al minimo, dei concetti e di riduzione al minimo, dei concetti e delle ipotesi fondamentalidelle ipotesi fondamentali”. ”.

Brano tratto dalla recensione del testo di geometria di Enriques Brano tratto dalla recensione del testo di geometria di Enriques Amaldi.Amaldi.

G. Lolli (2006) ‘I turbamenti dell’uguale’ ‘Se viceversa’, Polymath (http://www2.polito.it/didattica/polimath/)

Instillare al contrario, anche nel caso di Instillare al contrario, anche nel caso di successioni di uguaglianze e disuguaglianze, successioni di uguaglianze e disuguaglianze, servendosi proprio dei vari artifici di servendosi proprio dei vari artifici di dispiegamento dei commenti, l’idea chedispiegamento dei commenti, l’idea che

In generale, la regola dominante deve essere In generale, la regola dominante deve essere quella di distruggere (o ancor prima, non quella di distruggere (o ancor prima, non instillare) l’opinione che la risposta (a un instillare) l’opinione che la risposta (a un quesito che richiede una dimostrazione) debba quesito che richiede una dimostrazione) debba o possa essere un flusso diretto lineare o possa essere un flusso diretto lineare ininterrotto di formule matematicheininterrotto di formule matematiche..

la dimostrazione è più simile ad una la dimostrazione è più simile ad una passeggiata, senza fretta, con deviazioni e passeggiata, senza fretta, con deviazioni e

ritorni e visite su percorsi laterali, in un ritorni e visite su percorsi laterali, in un paesaggio abitato paesaggio abitato

da pensieri e paroleda pensieri e parole..

La La dimostrazionedimostrazionenel nostronel nostroinsegnamentoinsegnamento

La dimostrazioneLa dimostrazione

nel nostro nel nostro insegnamentoinsegnamento

geometrigeometriaa

altroaltro

AritmeticAritmeticaa

AlgebraAlgebra

AnalisiAnalisi

ProbabiliProbabilitàtà……

Didattica della dimostrazioneDidattica della dimostrazione

CostruzioneCostruzione Lettura-comprensioneLettura-comprensioneApprendimento-Apprendimento-

riproduzioneriproduzione

ComunicazioneComunicazione

Aspetti semanticiAspetti semantici Aspetti sintatticiAspetti sintattici

Attività Attività propedeutichepropedeutiche

Attività di controlloAttività di controllo

Aspetti Aspetti logici logici inerenti la inerenti la dimostraziodimostrazionene

La (diffusa) scarsa padronanza del La (diffusa) scarsa padronanza del linguaggio naturalelinguaggio naturale determina negli studentidetermina negli studenti varie difficoltà nell’apprendimento di una varie difficoltà nell’apprendimento di una dimostrazione dimostrazione

Per questo è opportuno dedicare una Per questo è opportuno dedicare una particolare cura agli aspetti logici del particolare cura agli aspetti logici del linguaggio e in particolare alle proposizioni linguaggio e in particolare alle proposizioni condizionali,condizionali, le cosìdettele cosìdette implicazioni implicazioni

Importante è far riconoscere ed esplicitare Importante è far riconoscere ed esplicitare proposizioni condizionali quando esse sono proposizioni condizionali quando esse sono espresse attraverso l’uso di: espresse attraverso l’uso di:

•articoli determinativi o indeterminativiarticoli determinativi o indeterminativi

•il quantificatore universaleil quantificatore universale tuttitutti (ogni)(ogni)

Esempi

“un numero naturale divisibile per quattro è divisibile per due”

“i rettangoli hanno le diagonali uguali”

“Tutti i numeri quadrati hanno esattamente tre divisori”

Se un numero naturale è divisibile per quattro allora è divisibile pre due

Se un quadrilatero è un rettangolo allora ha le diagonali uguali

Se un numero naturale è un quadrato allora ha esattamente tre divisori

implicazione, implicazione inversa, implicazione contraria, implicazione contronominale

E’ opportuno educare gli studenti a riconoscerericonoscere l’equiveridicità di una l’equiveridicità di una implicazione e della sua contronominaleimplicazione e della sua contronominale ed a comprendere il ruolo di quest’ultima ed a comprendere il ruolo di quest’ultima nelle dimostrazioni per assurdo.nelle dimostrazioni per assurdo.

Distinzione delle proposizioni condizionali Distinzione delle proposizioni condizionali costruite sulle stesse componenticostruite sulle stesse componenti

Esempio se un parallelogrammo è un rettangolo allora ha gli angoli ugualiInversa: se un parallelogrammo ha gli angoli uguali allora è un rettangoloContraria: se un parallelogrammo non è un rettangolo allora non ha gli angoli ugualiContronominale: se un parallelogrammo non ha gli angoli uguali allora non è un rettangolo

Una cura particolare va data alla Una cura particolare va data alla negazione di proposizioni quantificate. negazione di proposizioni quantificate.

Ancora più delicata è la gestione di proposizioni contenenti entrambi i quantificatori

“esiste … per ogni” “per ogni … esiste”

Di cui va fatta rilevare la non commutativitàEsempio classico: assiomi 2° e 3° di gruppo Esempio classico: assiomi 2° e 3° di gruppo

In generale gli studenti tendono ad In generale gli studenti tendono ad identificare la negazione del quantificatore identificare la negazione del quantificatore “tutti” con il suo contrario “nessuno”“tutti” con il suo contrario “nessuno”

Sul significato del termine Sul significato del termine “Teorema”“Teorema”

Dizionario Enciclopedico “Fedele” (UTET)Dizionario Enciclopedico “Fedele” (UTET)

Teorema Teorema (dal greco “esamino”)(dal greco “esamino”)

““ciò che si esamina”ciò che si esamina” ma anche “la verità ma anche “la verità che è il risultato dell’esame, della che è il risultato dell’esame, della dimostrazionedimostrazione”. ”.

In matematicaIn matematica

““proposizione dimostrabileproposizione dimostrabile””

Enciclopedia BritannicaEnciclopedia Britannica

““proposizione che deve essere proposizione che deve essere dimostratadimostrata””

Elementi fondamentali di un teorema sono:Elementi fondamentali di un teorema sono:

L’ipotesi: proposizione iniziale, dalla quale si L’ipotesi: proposizione iniziale, dalla quale si prendono le mosse per la dimostrazione prendono le mosse per la dimostrazione del teorema del teorema

tesi: tesi: proposizione finale, conclusiva di una proposizione finale, conclusiva di una dimostrazione del teoremadimostrazione del teorema

Un’importante osservazioneUn’importante osservazione

Il predicato di una proposizione esprime una Il predicato di una proposizione esprime una condizione circa il sogetto della stessa.condizione circa il sogetto della stessa.

Esempio: Esempio:

Un rombo ha le diagonali perpendicolariUn rombo ha le diagonali perpendicolari

La condizione espressa per un rombo dal La condizione espressa per un rombo dal predicato èpredicato è

““l’avere le diagonali perpendicolari”l’avere le diagonali perpendicolari”

Teorema Teorema Se un numero naturale è divisibile Se un numero naturale è divisibile per 4 allora è divisibile per 2per 4 allora è divisibile per 2

Condizione espressa Condizione espressa per un numero dalla per un numero dalla tesitesi

(b)(b) Divisibilità per 2 Divisibilità per 2 Dato il teorema, per un numeroDato il teorema, per un numero

E’ sufficienteE’ sufficiente che si verifichi la condizione (a) che si verifichi la condizione (a) perché perché necessariamente necessariamente si verifichi la si verifichi la condizione (b)condizione (b)

IpotesiIpotesi

un numero un numero naturale è naturale è divisibile per 4 divisibile per 4

Condizione espressa Condizione espressa per un numero per un numero dall’ipotesidall’ipotesi

(a)(a) Divisibilità per 4 Divisibilità per 4

TesiTesi

un numero un numero naturale è naturale è divisibile per 2divisibile per 2

(a) è detta cond. sufficiente, (b)(a) è detta cond. sufficiente, (b) cond.cond. necessarianecessaria

Raramente di fronte ad un semplice teorema si caratterizzano le condizioni espresse dalla ipotesi e dalla tesi motivando le denominazioni di

“condizione sufficiente” per quella dell’ipotesi

“condizione necessaria” per quella della tesi

Per antica tradizione, nella prassi didattica, tali condizioni usualmente vengono utilizzate nella formulazione unitaria di due teoremi uno inverso dall’altro. Ad esempio

Condizione necessaria e sufficiente affinché Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è che abbia due un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli ugualiangoli uguali

L’omettere con gli studenti una analisi L’omettere con gli studenti una analisi come questa, genera in loro come questa, genera in loro incomprensione e spesso sta all’origine di incomprensione e spesso sta all’origine di atteggiamenti di passività. atteggiamenti di passività.

La La dimostraziondimostrazione in ambito e in ambito aritmeticoaritmetico

La dimostrazione in ambito aritmetico è La dimostrazione in ambito aritmetico è poco o nulla praticata in Italia, anche per poco o nulla praticata in Italia, anche per ragioni connesse alla storia ragioni connesse alla storia dell’insegnamento matematicodell’insegnamento matematico

L’aritmetica, ed in particolare l’ambiente L’aritmetica, ed in particolare l’ambiente dei numeri naturali costituiscono terreno dei numeri naturali costituiscono terreno ideale per attività dimostrative. ideale per attività dimostrative.

Queste attività offrono un importante Queste attività offrono un importante contesto per l’argomentazione e la contesto per l’argomentazione e la dimostrazione, con un progressivo dimostrazione, con un progressivo passaggio dal linguaggio naturale a passaggio dal linguaggio naturale a quello algebrico. quello algebrico.

Non tutti i ricercatori sono concordi Non tutti i ricercatori sono concordi sull’importanza del linguaggio algebrico per sull’importanza del linguaggio algebrico per la dimostrazione in ambito aritmetico la dimostrazione in ambito aritmetico valorizzando la semplicità di certe valorizzando la semplicità di certe dimostrazioni verbali.dimostrazioni verbali.EsempiEsempi

provare che il prodotto di tre numeri provare che il prodotto di tre numeri consecutivi è divisibile per seiconsecutivi è divisibile per sei

(passi di ragionamento: Dati tre numeri (passi di ragionamento: Dati tre numeri consecutivi, almeno uno dei tre deve essere pari , consecutivi, almeno uno dei tre deve essere pari , almeno uno dei tre diviso per 3 ha resto zero) almeno uno dei tre diviso per 3 ha resto zero)

Un esempio di problema dimostrativo non Un esempio di problema dimostrativo non risolubile per via verbalerisolubile per via verbale

Dati due numeri interi a e b se 3a = 2b Dati due numeri interi a e b se 3a = 2b allora la somma a+b è muntiplo di 5”allora la somma a+b è muntiplo di 5”

Confronto di Confronto di strategie strategie

provare che il quadrato di un numero provare che il quadrato di un numero dispari è disparidispari è dispari

Dimostrazione verbaleDimostrazione verbale

Passi di ragionamento: un numero dispari ha cifra Passi di ragionamento: un numero dispari ha cifra delle unità dispari, il quadrato delle cifre dispari ha delle unità dispari, il quadrato delle cifre dispari ha unità dispariunità dispari

Analisi delle Analisi delle difficoltàdifficoltà

Dimostrazione algebricaDimostrazione algebrica

(2k+1)(2k+1)22 = 4k = 4k22 + 4k+1=2(2k + 4k+1=2(2k22 + + 2k) + 12k) + 1

Ritengo cruciale per la didattica Ritengo cruciale per la didattica della dimostrazione portare gli della dimostrazione portare gli studenti a condurre ragionamenti studenti a condurre ragionamenti via linguaggio algebricovia linguaggio algebrico

- per la semplificazione e per la semplificazione e controllo della complessità controllo della complessità argomentativaargomentativa

- per la facilitazione della per la facilitazione della comunicazionecomunicazione

- per la valorizzazione del ruolo per la valorizzazione del ruolo di metalinguaggio del di metalinguaggio del linguaggio naturalelinguaggio naturale

Nell’approccio alla dimostrazione il ruolo Nell’approccio alla dimostrazione il ruolo dell’insegnante è cruciale, egli dovrà dell’insegnante è cruciale, egli dovrà porsi come porsi come modellomodello mostrando, in varie mostrando, in varie situazioni, come: situazioni, come:

-- tradurre le ipotesi in linguaggio tradurre le ipotesi in linguaggio algebrico, algebrico,

-- trasformare una scrittura in più modi trasformare una scrittura in più modi per aprire il campo a sue diverse per aprire il campo a sue diverse interpretazioni;interpretazioni;

-- interpretare formule ottenute per interpretare formule ottenute per elaborazione sintattica e selezionare elaborazione sintattica e selezionare quelle utili ai fini della tesi.quelle utili ai fini della tesi.

Dimostra che la differenza tra i quadrati di due numeri Dimostra che la differenza tra i quadrati di due numeri naturali consecutivi è sempre disparinaturali consecutivi è sempre dispari

Occorre partire considerando due numeri naturali Occorre partire considerando due numeri naturali consecutivi.consecutivi.

Indichiamo con una lettera il primo dei due Indichiamo con una lettera il primo dei due aa

Esprimiamo il suo successivo mediante aEsprimiamo il suo successivo mediante a a +1a +1

Indichiamo il quadrato di ciascuno Indichiamo il quadrato di ciascuno aa22

(a+1)(a+1)22

Scriviamo la differenza tra i quadrati Scriviamo la differenza tra i quadrati (a+1)(a+1)2 2 - a- a22

Occorre provare che questa differenza è un numero dispariOccorre provare che questa differenza è un numero dispari

Trasformiamo perciò la scrittura (a+1)Trasformiamo perciò la scrittura (a+1)2 2 - a- a22,,

svolgiamo il quadrato di (a+1)svolgiamo il quadrato di (a+1)2 2 (a(a2 2 + + 2a + 1)2a + 1)

riscriviamo la differenza dei quadratiriscriviamo la differenza dei quadrati (a(a2 2 + 2a + 1)- a+ 2a + 1)- a2 2 = = 2a + 12a + 1

Interpretiamo la scrittura 2a + 1: rappresenta un Interpretiamo la scrittura 2a + 1: rappresenta un numero dispari?numero dispari? Si. Si.

Quanto si voleva è dimostratoQuanto si voleva è dimostrato..

conoscenza di specifici termini nel conoscenza di specifici termini nel linguaggio caratterizzanti predicati in linguaggio caratterizzanti predicati in associazione con il verbo essere (doppio, associazione con il verbo essere (doppio, consecutivo, pari, maggiore di, minore di, consecutivo, pari, maggiore di, minore di, divisibile per, multiplo di, etc e loro divisibile per, multiplo di, etc e loro combinazioni);combinazioni);capacità di: capacità di: - - riformulare predicati in termini di riformulare predicati in termini di uguaglianzauguaglianza-- tradurre espressioni dal linguaggio tradurre espressioni dal linguaggio naturale a quello algebrico;naturale a quello algebrico;-- interpretare espressioni algebricheinterpretare espressioni algebriche trasformate nei termini della situazione in trasformate nei termini della situazione in esame;esame;-- controllare le conseguenze degli controllare le conseguenze degli assunti e ragionamenti fatti.assunti e ragionamenti fatti.

Conoscenze e abilità necessarie per la Conoscenze e abilità necessarie per la costruzione di una dimostrazione nei costruzione di una dimostrazione nei naturalinaturali

Proposizioni da tradurre in linguaggio algebricoProposizioni da tradurre in linguaggio algebrico

Il successivo di un pari, Il successivo pari di un Il successivo di un pari, Il successivo pari di un paripariIl quadrato del successivo di un numeroIl quadrato del successivo di un numeroIl successivo del quadrato di un numeroIl successivo del quadrato di un numeroIl quadrato del successivo di un pariIl quadrato del successivo di un pariIl quadrato del successivo di un dispariIl quadrato del successivo di un dispari

Il precedente di un numeroIl precedente di un numeroL’antecedente del triplo di un numeroL’antecedente del triplo di un numeroIl precedente di un pariIl precedente di un pariIl precedente di un dispariIl precedente di un dispariL’antecedente del triplo di un numero pariL’antecedente del triplo di un numero pariL’antecedente del triplo di un numero dispariL’antecedente del triplo di un numero dispari

La somma di due dispari consecutiviLa somma di due dispari consecutiviIl prodotto di due numeri consecutiviIl prodotto di due numeri consecutiviLa somma dei quadrati dei reciproci di due La somma dei quadrati dei reciproci di due numerinumeriLa somma del quadrato dei reciproci di due La somma del quadrato dei reciproci di due numerinumeriIl quadrato della somma dei reciproci di due Il quadrato della somma dei reciproci di due numerinumeri

Esempi di attività interpretative di scritture Esempi di attività interpretative di scritture algebriche e di riconoscimento di loro algebriche e di riconoscimento di loro equivalenze equivalenze

Dopo aver valutato la correttezza delle seguenti Dopo aver valutato la correttezza delle seguenti uguaglianze, esprimi il loro perché. uguaglianze, esprimi il loro perché.

2(2k+2)=4k+4 ; 2(2k+2)=4k+4 ; 3(2k+1)3(2k+1)22=12(k=12(k22+k)+3 ; +k)+3 ; (2h)2-1=4h(2h)2-1=4h22-1-1 ((2h+1)+2)+1=(2h+1)+2((2h+1)+2)+1=(2h+1)+2

Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti ad 8k. Esprimi il perché di tali equivalenti ad 8k. Esprimi il perché di tali equivalenze:equivalenze:

224k4k 442k2k 6+2k6+2k (5+3)k.(5+3)k.

Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle Riconosci, tra le seguenti espressioni, quelle equivalenti a 2k+3. Esprimi il perché di tali equivalenti a 2k+3. Esprimi il perché di tali equivalenze:equivalenze:

2(k+1)+22(k+1)+2 (2k+2)+1(2k+2)+1 2(k+2) -1.2(k+2) -1.

Determina per quali valori di k (numero naturale Determina per quali valori di k (numero naturale qualsiasi) sono soddisfatte le seguenti qualsiasi) sono soddisfatte le seguenti condizioni:condizioni:

k+3 è multiplo di 3,k+3 è multiplo di 3, k+3 è parik+3 è parik+3 è dispari ; k+3 è dispari ; k+3 è k+3 è

multiplo di 4 multiplo di 4

3k è pari 3k è pari k k33 è dispari è dispari3k è multiplo di 6 3k è multiplo di 6 kk3 3 è divisibile per 8 è divisibile per 8 3k è dispari 3k è dispari kk3 3 è multiplo di 4è multiplo di 4

Rappresenta algebricamente tali valori in modo da Rappresenta algebricamente tali valori in modo da provare la tua conclusione.provare la tua conclusione.

Individua e rappresenta espressioni algebriche Individua e rappresenta espressioni algebriche equivalenti alle seguenti espressioni. Esprimi tale equivalenti alle seguenti espressioni. Esprimi tale equivalenza mediante il linguaggio verbale.equivalenza mediante il linguaggio verbale.

4k+2; 4k+2; 4k4k22+2k; +2k; 6k+36k+3

Esempi di problemi proponibili nella scuola Esempi di problemi proponibili nella scuola mediamedia

Dimostra che la somma di due numeri Dimostra che la somma di due numeri dispari consecutivi è uguale al doppio del dispari consecutivi è uguale al doppio del numero pari compreso tra essi.numero pari compreso tra essi.

Dimostra che la somma di un numero Dimostra che la somma di un numero naturale, del suo doppio, del suo triplo e del naturale, del suo doppio, del suo triplo e del suo quadruplo è un numero che ha come suo quadruplo è un numero che ha come cifra delle unità lo zero.cifra delle unità lo zero.

Dimostra che la somma di quattro numeri Dimostra che la somma di quattro numeri naturali consecutivi è un numero pari.naturali consecutivi è un numero pari.

Dimostra che la somma di cinque numeri Dimostra che la somma di cinque numeri naturali consecutivi è un multiplo di 5.naturali consecutivi è un multiplo di 5.

ComportameComportamentidi studenti ntidi studenti in attività in attività dimostrativedimostrative

Classici ed interessanti studi sui Classici ed interessanti studi sui comportamenti degli allievi impegnati in comportamenti degli allievi impegnati in attività di costruzione di una attività di costruzione di una dimostrazione sono quelli di Bell (1976) dimostrazione sono quelli di Bell (1976) e Balacheff (1988). e Balacheff (1988).

Gli autori, seppure con diverse Gli autori, seppure con diverse impostazioni e terminologia, impostazioni e terminologia, distinguono essenzialmente tre distinguono essenzialmente tre momenti dello stesso processo. momenti dello stesso processo.

degli esperimenti o verifiche empirichedegli esperimenti o verifiche empiriche in cui l’allievo esplora la situazione per la in cui l’allievo esplora la situazione per la formulazione di congetture o per formulazione di congetture o per convincersi della validità di un assegnato convincersi della validità di un assegnato enunciato e cercare le ragioni che ne enunciato e cercare le ragioni che ne stanno alla base;stanno alla base;

dell’illuminazione e convincimento dell’illuminazione e convincimento personalepersonale in cui l’allievo intuisce-coglie-e chiarisce a in cui l’allievo intuisce-coglie-e chiarisce a se stesso le ragioni che stanno alla base se stesso le ragioni che stanno alla base della validità della tesi; della validità della tesi; della sistemazione e della provadella sistemazione e della prova

in cui l’allievo ricostruisce il proprio in cui l’allievo ricostruisce il proprio ragionamento al fine di comunicarlo agli ragionamento al fine di comunicarlo agli altri e convincerli della correttezzaaltri e convincerli della correttezza

Balacheff svolge un’interessante Balacheff svolge un’interessante distinzione tra ‘prove empiriche’ e ‘prove distinzione tra ‘prove empiriche’ e ‘prove intellettuali’intellettuali’

Tali classificazioni consentono una lettura Tali classificazioni consentono una lettura fine delle produzioni degli allievi e possono fine delle produzioni degli allievi e possono essere letti in termini di criteri di essere letti in termini di criteri di valutazione degli stessivalutazione degli stessi

Nelle prove empiriche è presente il Nelle prove empiriche è presente il soggetto e l’azione, sono caratterizzate soggetto e l’azione, sono caratterizzate dall’uso di un linguaggio familiaredall’uso di un linguaggio familiare

nelle prove intellettuali vi è un distacco nelle prove intellettuali vi è un distacco dal soggetto e dall’azione, il linguaggio dal soggetto e dall’azione, il linguaggio usato è astratto e atemporaleusato è astratto e atemporale

Un nostro studio sui comportamenti Un nostro studio sui comportamenti di futuri insegnanti di scuola di futuri insegnanti di scuola secondariasecondaria

Problemi tratti da G. Peano “Giochi d’aritmetica e problemi interessanti”

Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza.

Scrivi un numero di più cifre, moltiplica per 10 e sottrai da questo quello di partenza, cancella nella differenza una cifra non nulla e dammi la somma delle rimanenti. Io indovinero' quella che tu hai cancellato. Spiegami come è possibile.

Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre 1089. Perché?

Un numero di due cifre ha questa caratteristica: il suo quadrato diminuito del quadrato del numero precedente è uguale al numero stesso con le cifre invertite. Qual è il numero.

Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre.

Problema 1. Problema 1. Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine delle cifre e fai la differenza dei due numeri maggiore meno minore, dammi l'ultima [prima] cifra della differenza ti dirò la differenza.

132132231, 231-132=99; 815231, 231-132=99; 815518, 815-518=297; 136518, 815-518=297; 136 613, 613-136=495; 314 613, 613-136=495; 314 413, 413-314=99. Se la 413, 413-314=99. Se la differenza è di due cifre sono due 9 differenza è di due cifre sono due 9 d=99. Se la d=99. Se la differenza è di 3 cifre quella centrale è sempre 9. Le due differenza è di 3 cifre quella centrale è sempre 9. Le due cifre esterne sommate devono dare 9. Seguendo questa cifre esterne sommate devono dare 9. Seguendo questa regola è facile rispondere all’indovinello. regola è facile rispondere all’indovinello.

Problema 5. Problema 5. Scrivi un numero naturale di due cifre. Scrivi quello che ottieni da questo invertendo le cifre. Prova che la somma è divisibile per 11. Indaga cosa accade quando il numero è di tre o quattro cifre.

25+52=77 è vero; 52+25=77; 13+31=44; 44+44=88 è 25+52=77 è vero; 52+25=77; 13+31=44; 44+44=88 è vero, la somma ha sempre le cifre ripetute come i vero, la somma ha sempre le cifre ripetute come i multipli di 11. 132+231=363 è vero; 345+543=888 non è multipli di 11. 132+231=363 è vero; 345+543=888 non è vero. 1246+6421= 7667=11x697 è vero; vero. 1246+6421= 7667=11x697 è vero; 1234+4321=5555=11x505 ; 5051+1505=6556=1x596 ; 1234+4321=5555=11x505 ; 5051+1505=6556=1x596 ; 2468+8642=11110 = 11x1010. Non funziona nel caso di 2468+8642=11110 = 11x1010. Non funziona nel caso di 3 cifre. 3 cifre.

Problema 3. Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fai la differenza dei due numeri. A questa differenza aggiungi la medesima con le cifre invertite. Qualunque sia il numero si ottiene sempre 1089. Perché?

Suppongo che il numero sia abc (a>b>c)a b c - u 9 (9-u) +c b a = (9-u) 9(u)u 9(9-u) 1 0 8 9dove u è un numero. Infatti 431 – 134 = 297 ; 297 +792 = 1089.

Mi sono trovata incapace di formulare un ragionamento

Non ho la più pallida idea di come si risolvano i quesiti

Non so perché queste regolarità accadono

Dall’esplorazioDall’esplorazione alla ne alla dimostrazionedimostrazione

L’unità L’unità cognitiva di cognitiva di teoremiteoremi

""l'unità cognitiva di teoremil'unità cognitiva di teoremi" è un " è un costrutto teorico dovuto a Boero costrutto teorico dovuto a Boero et Al.et Al. (1995) elaborato, per interpretare il (1995) elaborato, per interpretare il comportamento degli allievi attraverso lo comportamento degli allievi attraverso lo studio, in opportuni campi di esperienza, studio, in opportuni campi di esperienza, dei processi durante i quali questi dei processi durante i quali questi giungono a:giungono a: produrre congetture, produrre congetture, nella forma di nella forma di

enunciati astratti, generali e enunciati astratti, generali e condizionalicondizionali, ,

costruire le dimostrazioni di tali enunciati costruire le dimostrazioni di tali enunciati

in attività condivise nella classein attività condivise nella classe

prendere parte alla costruzione prendere parte alla costruzione collettiva, guidata dall'insegnante, di collettiva, guidata dall'insegnante, di una teoria di modellizzazione per il una teoria di modellizzazione per il campo di esperienza in cui si muovono. campo di esperienza in cui si muovono.

esplorazione di situazioniesplorazione di situazioni

formulazione di congetture- formulazione di congetture-

dimostrazione della loro dimostrazione della loro validità o loro confutazionevalidità o loro confutazione

Un esempio di attività esplorativa

Si sviluppa attraverso:

l’individuazione di una regolarità aritmetica

la formulazione verbale della regolarità osservata

l’esplorazione delle ragioni sottostanti la regolarità e la sua dimostrazione formale

possibili estensioni e variazioni

La situazione

Osserva le differenze

83 - 38 = 45 74 - 47 = 27

54 - 45 = 9 81 - 18 = 63

46 - 64 = 28 31 -13 = 18

Vedi qualche regolarità?Dall’osservazione una prima, intuitiva

risposta è:

ciascuna differenza è un multiplo di 9

Occorre mettere in relazione

5 con 3 e 8 3 con 7 e 4 1 con 5 e 4 3 con 6 e 3

risulta evidente che il secondo fattore è

la differenza fra le cifre dei due termini

Chiedendo di

esplicitare tali differenze come multipli 9

cercare un legame tra le cifre dei due termini della differenza ed il secondo

fattore del prodotto

gli allievi scrivono: 83-38 = 9x5 74-47 = 9x3

54-45 = 9x1 63-36 = 9x3

La formulazione della congetturaLa situazione presentata

induce una formulazione della congettura in termini relazionali

avente come soggetto la differenza tra i due numeri

La formulazione dell’enunciato risulta difficile per la

necessità di esprimere le caratteristiche dei due numeri di cui si

fa la differenzaLa cosa si risolve

esplicitando a monte dell’enunciato i legami tra i due numeri

dando una definizione ad hoc

Le risposte ottenibili si possono così classificare:

Enunciati operativi che si riferiscono alla operazione di sottrazione (es. “in ogni sottrazione … il risultato è …”)

Enunciati misti, operativi/relazionali, in genere ‘sporchi’ (es. “La differenza …. è un multiplo di 9 moltiplicato …”)

Enunciati di tipo relazionale che esprimono le proprietà della operazione in esame (es. “Dati due numeri naturali tali che …, la loro differenza è data dal prodotto di ….”);

Se il problema si presenta in termini procedurali o in termini di indovinello, ad esempio: Prendi un numero di due cifre con le decine maggiori delle unità, ad esempio 83. Scambia le cifre, fai la differenza tra primo e secondo e scrivi il risultato, nel nostro esempio 83-38 = 45. Fai altre prove, ad esempio con 74, 54, 92, ecc, cosa osservi circa i risultati? Pensa un numero di due cifre con le decine maggiori delle unità. Considera il numero che si ottiene scambiando le due cifre e fai la differenza tra il numero iniziale e quest’ultimo. Dimmi il risultato e una delle due cifre, io ti dirò il numero che hai pensato. Spiegami come ho fatto.

È molto difficile ottenere l’enunciato della proprietà

Esplorazione, convincimento e comunicazione dei motivi della

regolarità

Questa fase è più delicata e richiede una abitudine a le rappresentazioni plurime di un numero

il collegamento tra rappresentazioni diverse

Si può esplorare la regolarità a partire da casi numerici

cercando di ridurre le cifre al ruolo di segnaposto

Nel nostro caso si tratta di

passare dalla rappresentazione posizionale a quella polinomiale dei numeri

eseguire la differenza dei due numeri

cercare di trasformare la scrittura in forma moltiplicativa mediante le proprietà delle operazioni

Vediamo un esempio

Partiamo da 83-38. Questa differenza è di fatto:

8•10 + 3 – (3•10 + 8)

La riscrittura in termini (8-3)10 +(3-8) dà subito il risultato operando in Z, basta riscrivere la differenza come

(8 - 3)9 + (8- 3) + (3 - 8)

Considerata la differenza 97-79 possiamo operare come nel caso precedente ottenendo

(9 - 7)9 + (9 - 7) + (7 - 9)

Se educati all’osservazionegli allievi non è difficile che

•colgano l’analogia tra i casi

• rileggano le espressioni come

schema di processo

Per esprimere tale processo in generale basta sostituire ordinatamente al posto di cifre corrispondenti una lettera come rappresentante.

La lettera indica una cifra qualsiasinon determinata

variabilein un certo insieme di valori

Questo percorso consente di cogliere

• il senso del passaggio particolare-generale

• il ruolo del linguaggio algebrico per la dimostrazione

Si ottiene

la dimostrazione della regolarità

a•10 + b - (b•10 + a) = (a-b)9 + (a-b) + (b-a)

Dal problem solving al problem posing

Si può chiedere se esiste una analoga regolarità considerando la somma

anziché la differenza

Scopriranno che la somma è sempre esprimibile come prodotto di 11 per la somma delle cifre Si può estendere l’indagine a casi più complessi, ad esempio porre i problemi: cosa succede con la differenza (o la somma) di due numeri di tre cifre ottenuti l’uno dall’altro invertendoli ordinatamente? cosa succede al crescere dell’ordine di

grandezza dei numeri? Questi ultimi problemi sono certamente più complessi ma adatti alla secondaria superiore.

Studi svolti da svariati ricercatori, non solo Studi svolti da svariati ricercatori, non solo italiani, testimoniano che un tale genere di italiani, testimoniano che un tale genere di attività è possibile già dalla scuola media, attività è possibile già dalla scuola media,

purchépurché

pratichi una didattica costruttiva, pratichi una didattica costruttiva, centrata sulla argomentazione, sulla centrata sulla argomentazione, sulla riflessione di quanto via via costruito, riflessione di quanto via via costruito, sulla verbalizzazione.sulla verbalizzazione.

sia consapevole dell’importanza e attui sia consapevole dell’importanza e attui attività esplorative volte alla attività esplorative volte alla individuazione di relazioni e proprietà ed individuazione di relazioni e proprietà ed alla individuazione dei fatti che le alla individuazione dei fatti che le determinanodeterminano

l’insegnantel’insegnante

Nessuna umana Nessuna umana investigazione si investigazione si può dimandare può dimandare vera scienza, vera scienza, s’essa non passa s’essa non passa dalle dalle matematiche matematiche dimostrazioni dimostrazioni

Leonardo da Leonardo da VinciVinci