ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA I - lences.cz

VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V BRN� FAKULTA STAVEBNÍ

ALEŠ DRÁB

HYDROINFORMATIKA I MODUL M02

EXCEL PRO VODOHOSPODÁ�E

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Hydroinformatika I · Modul 2

- 2 (28) -

© Aleš Dráb, Brno 2005

Obsah

- 3 (28) -

OBSAH

1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot�ebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klí�ová slova.........................................................................................5 1.5 Metodický návod na práci s textem ......................................................6

2 Aproximace ko�en� rovnic ..........................................................................7 3 �ešení optimaliza�ních úloh ......................................................................12 4 �ešení oby�ejných diferenciálních rovnic ................................................16 5 �ešení soustavy oby�ejných diferenciálních rovnic ................................18 6 Makra ..........................................................................................................23 7 Záv�r ............................................................................................................27

7.1 Shrnutí .................................................................................................27 7.2 Studijní prameny .................................................................................27

7.2.1 Seznam použité literatury .....................................................27 7.2.2 Seznam dopl�kové studijní literatury ...................................28

Úvod

- 5 (28) -

1 Úvod

EXCEL je velice užite�ným univerzálním nástrojem v rukou vodohospodá�e. Umož�uje správu dat, provád�ní analýz a grafickou prezentaci výsledk� p�ede-vším formou graf�. Úlohy prezentované v tomto modulu odpovídají “tradi�ní-mu” schématu hydroinforma�ního systému (viz Modul 1, obrázek 2.1).

Vaše znalosti z dosavadního studia, spolu se vstupními daty uvedenými v za-dání úloh a p�íklad�, využijete pro sestavení matematického popisu jev� �eše-ných v úloze (tj. vytvo�íte tzv. matematický model). Vztahy definované v rámci matematického modelu budete následn� �ešit bu� analyticky nebo nu-mericky v programu EXCEL. Definování matematického modelu a jeho ná-sledné �ešení p�edstavuje ve zmi�ovaném schématu (viz Modul 1, obrázek 2.1) simula�ní model. EXCEL je tedy nástrojem simula�ního modelu. Na základ� takto získaných výsledk� doporu�íte �ešení dané úlohy.

1.1 Cíle

V tomto modulu se nau�íte, jakým zp�sobem je možné aplikovat EXCEL p�i �ešení úloh s využitím základních numerických metod. Konkrétn� p�jde o:

• Aproximace ko�en� rovnic.

• Optimaliza�ní úlohy.

• �ešení oby�ejných diferenciálních rovnic (ODR).

• �ešení soustav (ODR).

Jednotlivé numerické metody budou prezentovány na konkrétních úlohách z oboru vodního hospodá�ství. V záv�ru se navíc ješt� seznámíme s možnostmi využití maker p�i �ešení výše uvedených úloh.

1.2 Požadované znalosti

K úsp�šnému zvládnutí tohoto modulu se p�edpokládají základní znalosti nu-merických metod, hydrauliky a práce s programem EXCEL.

1.3 Doba pot�ebná ke studiu

Doba pot�ebná ke zvládnutí textu odpovídá 6 výukovým hodinám, tedy cca 6 x 50 min.

1.4 Klí�ová slova

Numerické metody, hydraulika, Excel, matematický model, numerický model, makro.


- 6 (28) -

1.5 Metodický návod na práci s textem

Text modulu je t�eba procházet postupn� (nep�eskakovat mezi kapitolami) a pr�b�žn� zpracovávat uvedené p�íklady a úlohy. Spln�ním úlohy je mnohdy podmín�no pochopení dalšího textu, který navazuje na poznatky získané b�hem jejího �ešení.

Student by m�l p�i pro�itání textu sou�asn� realizovat nazna�ené postupy na po�íta�i v programu EXCEL.

Aproximace ko�en� rovnic

- 7 (28) -

2 Aproximace ko�en� rovnic

V této kapitole se budeme zabývat možnostmi �ešení rovnic typu f(x)=0, s vyu-žitím programu EXCEL. Mezi nejrozší�en�jší aproxima�ní metody pat�í nap�.:

• metoda t�tiv (neboli regula falsi),

• metoda te�en (neboli Newtonova metoda),

• itera�ní metoda,

• metoda p�lení intervalu atd.

Informace

Podrobn�jší informace o uvedených metodách m�žete získat nap�. v literatu�e [1] a [2].

Úkol 2.1

S použitím odborné literatury si zopakujte základní principy výše uvedených numerických metod.

Použití Newtonovy metody si budeme demonstrovat na p�íklad� �ešení úlohy ustáleného rovnom�rného proud�ní v prizmatickém koryt�. K �ešení tohoto typu úloh se b�žn� používá Chezyho rovnice [5]:

RICv = , (2.1)

kde v je st�ední profilová rychlost, C rychlostní sou�initel, R hydraulický po-lom�r a I podélný sklon dna koryta.

Rychlostní sou�initel C budeme uvažovat dle Manninga ve tvaru:

6/11R

nC = , (2.2)

kde n je drsnostní sou�initel. Pokud rovnici 2.1 dosadíme do rovnice kontinuity obdržíme pro objemový pr�tok Q korytem vztah:

RISCQ = , (2.3)

kde S zna�í pr�to�ný pr��ez koryta toku. Naším úkolem je nyní stanovit hloub-ku h, kterou protéká, za daných podmínek, korytem pr�tok Q. Ze vztahu 2.3 je patné, že explicitní �ešení této úlohy není možné. To znamená, že z rovnice 2.3 není možné vyjád�it prom�nnou h. Je to dáno tím, že S=f(h), C=f(h), R=f(h).

Tradi�ní postup �ešení této úlohy spo�ívá ve vykreslení m�rné k�ivky koryta (tj. funk�ní závislosti Q=f(h)) pro dostate�ný rozsah hloubek, tak aby z této k�ivky bylo možné následn� ode�íst pro hledaný pr�tok odpovídající hloub-ku h.


- 8 (28) -

Druhou možností, která je snáze zpracovatelná s využitím výpo�etní techniky je p�evedení rovnice 2.3 na tvar f(h) = 0:

0=− QRISC . (2.4)

�ešit tuto rovnici znamená nalézt všechny hloubky h, pro které rovnice f(h)=0. Každé takové �íslo nazýváme ko�en rovnice, k jehož nalezení m�žeme použit n�kterou z aproxima�ních metod, zmín�ných v úvodu kapitoly. V následujícím p�íklad� provedeme �ešení ob�ma postupy s použitím programu EXCEL.

P�íklad 2.1

Zjist�te jakou hloubkou h, protéká v prizmatickém koryt� dle obrázku 2.1 pr�-tok Q=20 m3/s. Koryto je ve dn� široké b=15 m, stupe� drsnosti n=0,020, po-délný sklon I=1 ‰. Sklon svahu 1:2. C stanovte dle Manninga.

Obr. 2.1- Schéma p�í�ného profilu.

Nejprve provedeme vyjád�ení vztah� pro výpo�et pr�to�né plochy S a omo�e-ného obvodu koryta o:

hmhbS ��

��

� +=21 , (2.5)

21 mhbho +++= . (2.6)

Nyní m�žeme postupn� jednotlivé vztahy vložit do sešitu aplikace EXCEL. Výsledek by m�l odpovídat obrázku 2.2.


- 9 (28) -

Obr. 2.2- Výpo�et funk�ní závislosti Q=f(h).

Do grafu následn� vyneseme funk�ní závislost Q=f(h), �ímž získáme m�rnou k�ivku, která je uvedena na obrázku 2.3.

M�rná k�ivka koryta

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80Pr�tok Q [m3/s]

Hlo

ubka

h [m

]

Obr. 2.3- M�rná k�ivka koryta.

Z grafické podoby m�rné k�ivky by bylo nyní možné ode�íst pro p�íslušný pr�-tok Q odpovídající hloubku h. Tento postup se však v programu EXCEL obtíž-n� realizuje. Zvolíme tedy postupy jiné, založené na numerických metodách.

Pokud se blíže podíváte na tabulku vypo�tených hodnot hloubek vody a pr�to-k� zjistíte, že hledaná hloubka se pohybuje p�ibližn� okolo hodnoty 0,9 m. My bychom však cht�li znát �ešení p�esn�jší. Jednou z cest k dosažení výsledku je metodou “pokus� a omyl�“ postupn� zkoušet m�nit hodnotu ve sloupci hlou-bek, tak dlouho než dosáhneme ve sloupci pr�tok� hodnoty 20 m3/s. Tento postup je však zna�n� zdlouhavý.


- 10 (28) -

EXCEL k tomuto ú�elu disponuje nástrojem, který nalezneme v položce hlav-ního menu Nástroje | Hledání �ešení (viz obrázek 2.4).

Obr. 2.4- Nástroj “Hledání �ešení”.

Tento nástroj je založen na Newtonov� aproxima�ní metod�. Jeho použití je velice jednoduché. Po spušt�ní bude EXCEL hledat takovou hodnotu v bu�ce “M�n�ná bu�ka” dokud nedosáhne v bu�ce “Nastavená bu�ka” hodnoty stano-vené v poli “Cílová hodnota”. Praktické použití pro náš p�ípad je patrné z ob-rázku 2.5.

Obr. 2.5- Použití nástroje “Hledání �ešení”.

Po spušt�ní nástroje obdržíme výsledek h=0,914 m.

Nástroj “Hledání �ešení” si ukážeme ješt� v jiné modifikaci. Obsah listu s vý-po�tem m�rné k�ivky si nakopírujeme na nový list a upravíme dle obrázku 2.6.

Do bu�ky f(h) dále vložíme rovnici 2.4 a pomocí nástroje “Hledání �ešení” nalezneme její ko�en.


- 11 (28) -

Obr. 2.6- Použití nástroje “Hledání �ešení”pro nelezení ko�enu rovnice.

Výsledkem je samoz�ejm� hodnota shodná s p�edchozím �ešením, tedy h=0,914 m.

Úkol 2.2

Navrhn�te další možnosti využití nástroje “Hledání �ešení” v hydraulických výpo�tech. Inspiraci m�žete nalézt nap�. v literatu�e [6], [7].


- 12 (28) -

3 �ešení optimaliza�ních úloh

V této kapitole se budeme zabývat možnostmi �ešení úloh matematického pro-gramování (lineárního a nelineárního)[11] s využitím nástroje “�ešitel”, který je sou�ástí programu EXCEL.

Úlohy lineárního a nelineárního programování vycházejí zpravidla ze základ-ního principu nalezení extrému (tj. absolutního minima, pop�. absolutního ma-xima) tzv. ú�elové funkce, p�i dodržení vlastních omezujících podmínek (vlast-ních omezení) a podmínek nezápornosti [11].

P�íklad 3.1

Na obrázku 3.1 je zakreslen systém prvk�, které se budeme snažit optimalizo-vat na základ� zadaných kritérií. Na vodním toku je umíst�n odb�r vody A pro úpravnu pitné vody. Tímto odb�rem se snižuje pr�tok vody v toku, na kterém dále leží �istírna odpadních vod (�OV), která naopak do toku dodává organic-ké zne�išt�ní. Problémem je, že �ím v�tší bude odb�r pro úpravnu pitné vody, tím menší bude pr�tok v míst� vyúst�ní �OV a z toho plyne i v�tší zne�išt�ní toku pod �OV.

Obr. 3.1- Schéma systému prvk�.

Vstupní parametry, které máme optimalizovat jsou následující:

• R - procentuelní snížení odb�ru pro úpravnu pitné vody (stávající odb�r je A [m3/s]).

• S - procentuelní snížení organického zne�išt�ní z �OV (stávající zatížení je W [kg/den]).

Náklady a škody vyvolané uvedenými opat�eními jsou tyto:

• Náklady na vybudování náhradních odb�r� pro pitnou vodu v d�sledku pro-centuelního snížení odb�ru A:

22000RXA = . (3.1)

• Náklady na rozší�ení kapacity �OV za ú�elem procentuelního snížení zne-�išt�ní W:

75,0500004000000 SXW += . (3.2)

�ešení optimaliza�ních úloh

- 13 (28) -

• Škody vyvolané zne�išt�ním vodního toku pod �OV (možnosti rekreace, cena pozemk�, atd.):

DXC 1000= , (3.3)

kde D je délka toku pod �OV v [km], kde je koncentrace kyslíku ve vod� men-ší než 5 g/l.

Racionální plánování, projektování, �ízení a monitorování �OV je z velké �ásti založeno na porozum�ní kyslíkové balanci toku a zajišt�ní požadované koncen-trace kyslíku.

K tomu, abychom mohli tuto úlohu �ešit pot�ebujeme matematický model, po-mocí kterého stanovíme hodnotu D. Za tímto ú�elem použijeme Streeter�v-Phelps�v model [12], který popisuje proces oxygenace, pop�. deoxygenace vody v toku:

��

�

�

��

�

�−

−−=

−−vx

Kvx

K

da

odsx

adee

KKLK

cc , (3.4)

kde cx [g/m3] je aktuální koncentrace rozpušt�ného kyslíku ve vzdálenosti x sm�rem po toku od výusti �OV, cs [g/m3] rovnovážná koncentrace kyslíku ve vod�, Kd [s-1] rychlostní konstanta odbourávání zne�išt�ní, Ks [s-1] rychlostní konstanta reaerace vody v toku, Lo [g/m3] koncentrace zne�išt�ní v toku na výusti z �OV (tj. pro x=0 m) a v [m/s] je st�ední profilová rychlost vody v toku.

Dále zavedeme hodnotu sníženého zatížení toku zne�išt�ním z �OV – W’ a pr�tok vody v toku v míst� �OV - Q’:

��

��

� −=100

1'S

WW , (3.5)

��

��

� −−=100

1'R

AQQ . (3.6)

St�ední profilovou rychlost v toku potom vyjád�íme vztahem: 55,0)'(2,0 Qv = . (3.7)

Vztah vychází z Chezyho rovnice po dosazení parametr� koryta, které nejsou pro zjednodušení sou�ástí zadání (drsnost, sklon dna, p�í�ný profil).

�ešení provedeme pro tyto vstupní hodnoty:

• cs=10 g/m3,

• Kd=2,31 . 10-5 s-1,

• Ka=5,79 . 10-5 s-1,

• W= 1500 kg/den,

• Q= 5 m3/s,

• A= 2 m3/s.


- 14 (28) -

Do sešitu v programu EXCEL nejd�íve vložíme výše uvedené vstupní paramet-ry, hodnoty po�áte�ního odhadu parametr� S, R a dále vztahy pro výpo�et XA, XW, W’, Q’, Lo a v. P�íklad s vypo�tenými hodnotami m�žeme vid�t na obráz-ku 3.2.

Obr. 3.2- Optimalizace – výchozí tabulka.

Jist� jste si povšimli, že v tabulce na obrázku 3.2 není uvedena hodnota cx. Její výpo�et je vhodné provést zvláš pro r�zné hodnoty vzdálenosti x. V našem p�ípad� m�žeme použít nap�. x v intervalu od 0 do 50 000 m, s krokem 500m (viz obrázek 3.3). Pokud si vyneseme závislost cx=f(x) do grafu, zjistíme, že hodnota cx postupn� klesá z po�áte�ní hodnoty cs=10 g/m3 na minimum a poté se zp�t pozvolna vrací na po�áte�ní úrove� 10 g/m3.

Obr. 3.3- Výpo�et závislosti cx=f(x)

�ešení optimaliza�ních úloh

- 15 (28) -

Pro stanovení hodnoty D použijeme funkci KDYŽ(), která nám umožní ov��it podmínku poklesu cx pod hodnotu 5 g/m3. Následn� použijeme funkci MIN(), pro ur�ení minimální hodnoty ve sloupci cx. Dále funkci MAX() pro ur�ení maximální hodnoty ve sloupci D, ze které vypo�teme škodu XC (viz obrázek 3.3 dole).

V tuto chvíli již m�žeme vypo�ítat i hodnotu v bu�ce “Celkem“ (viz obrázek 3.4 dole), jako sou�et XC+XA+XW. Uvedený sou�et náklad� a škod tvo�í ú�e-lovou funkci, jejíž hodnotu se budeme snažit minimalizovat za sou�asného dodržení t�chto omezujících podmínek:

• 0 R 100,

• 0 S 90,

• Minimální hodnota cx � 4 g/m3 (uvažováno na celém �ešeném úseku toku). Tato mezní hodnota je stanovena s ohledem na zabrán�ní úhynu ryb v toku.

K �ešení použijeme v úvodu kapitoly zmi�ovaný nástroj “�ešitel”, a to volbou položky z hlavního menu Nástroje | �ešitel. Nastavení v zobrazeném dialogovém panelu je patrné z obrázku 3.4.

Obr. 3.4- Použití �ešitele pro nalezení minima ú�elové funkce p�i spln�ní v�tšího po�tu omezu-

jících podmínek.

�ešení

Po spušt�ní �ešitele obdržíme tyto výsledky: R=1 %, S=52 % a celkové vy-volané náklady �iní cca 5 mil. K�. Vzhledem k velmi malé vypo�tené hodno-t� R m�žeme doporu�it ponechat velikost odb�ru A na stávající úrovni, tedy R= 0 %.

Úkol 3.1

Použijte nástroj “�ešitel” k nalezení hloubky vody v p�íkladu 2.1.


- 16 (28) -

4 �ešení oby�ejných diferenciálních rovnic

Postup numerického �ešení oby�ejné diferenciální rovnice v programu EXCEL si ukážeme na jednoduchém p�íklad� �ešení usazovací nádrže za pomocí Eule-rovy metody [1], [3].

P�íklad 4.1

Obr. 4.1- Schéma usazovací nádrže.

Uvažujme usazovací nádrž dle obrázku 4.1. Zne�išt�ná voda p�itéká do usazo-vací nádrže a zde dochází k sedimentaci kalu. Bilanci mezi celkovou hmotností kalu v usazovací nádrži v závislosti na p�itékajícím množství m�žeme vyjád�it diferenciální rovnicí:

AcvQcQcdt

dMsv −−= , (4.1)

kde M [g] je celková hmotnost kalu v usazovací nádrži, c [g/m3] koncentrace kalu v nádrži, cv [g/m3] koncentrace kalu v p�itékající vod�, Q [m3/den] p�ité-kající množství vody (v tomto p�íklad� je shodné s odtékajícím), vs [m/den] sedimenta�ní rychlost kalu, A [m2] plocha hladiny v nádrži. Pokud budeme p�edpokládat, že objem nádrže V [m3] není funkcí �asu, pak m�žeme rovnici 4.1 upravit na tvar:

Hcv

cVQ

cVQ

dtdc s

v −−= , (4.2)

kde H [m] je pr�m�rná hloubka usazovací nádrže.

Za p�edpokladu, že všechny prom�nné s výjimkou c, jsou nezávislé na �ase existuje analytické �ešení rovnice 4.2. Uvažujme koncentraci c=0 v �ase t=0, pak:

Hv

VQ

ecVQ

ccs

Hv

VQ

t

v

v

s

+

��

�

�

�−

=

��

��

� +−1

. (4.3)

�ešení oby�ejných diferenciálních rovnic

- 17 (28) -

�ešení rovnice 4.3 provedeme pro tyto vstupní hodnoty:

• cv=40 g/m3,

• Q=10 000 m3/den,

• V=100 000 m3,

• H=1 m,

• vs=0,2 m/den.

Postup �ešení v�etn� grafu závislosti c=f(t) je patrné z obrázku 4.2.

Obr. 4.2- Analytické �ešení usazovací nádrže.

Nyní provedeme �ešení stejné úlohy numericky, metodou Eulerovou. Rovnici 4.2 upravíme za použití aproximace 4.4 upravíme na tvar 4.5:

iii

ii

dtdc

ttcc

��

��

�=−−

+

+

1

1 , (4.4)

( )iiis

ivii ttHcv

cVQ

cVQ

cc −��

��

� −−+= ++ 11 . (4.5)

�ešení provedeme pro po�áte�ní podmínku c=0 v �ase t=0 s.Výsledné srovná-ní analytického a numerického �ešení je uvedeno na obrázku 4.3.

Obr. 4.3- Srovnání analytického a numerického �ešení usazovací nádrže.


- 18 (28) -

5 �ešení soustavy oby�ejných diferenciálních rovnic

Postup �ešení soustavy oby�ejných diferenciálních rovnic si p�iblížíme na p�í-klad� �ešení vyrovnávací komory na p�ivad��i vodní elektrárny.

Vyrovnávací komory tvo�í �ást tlakového p�ivad��e nebo odpadu vodní elek-trárny. Ú�el vyrovnávacích komor je dvojí [5]:

• zmírn�ní vodního rázu,

• vytvo�ení nádrže, která v prvních okamžicích po zm�n� pracovního režimu pojme p�ebyte�né množství vody nebo dodává tlakovému potrubí chyb�jící pr�tok.

Zmírn�ní vodního rázu vyrovnávací komorou se projevuje omezením škodli-vého p�sobení vodního rázu na krátké tlakové potrubí, zatímco dlouhý p�iva-d�� z�stává prakticky uchrán�n. Dále pak zkrácením doby p�sobení p�ímého rázu v tlakovém potrubí, takže se sníží maximum tlakového p�evýšení. Jakákoli zm�na pracovního režimu vyvolá v soustav� vodní nádrž – tlakový p�ivad�� – vyrovnávací komora – tlakové potrubí – elektrárna neustálený pohyb vody, který se projeví jednak vodním rázem, jednak oscila�ním pohybem vody v p�i-vad��i a vyrovnávací komo�e. Principem hydraulického �ešení vyrovnávacích komor je hledání závislosti zm�ny rychlosti proud�ní (v) v p�ivad��i a polohy hladiny (z) ve vyrovnávací komo�e na �ase (t) pro známou �asovou zm�nu pr�-toku Q=f(t). Pro ur�ení obou neznámých je nutno sestavit dv� diferenciální rovnice, kterým se vzhledem k periodickým výkyv�m hladiny ve vyrovnávací komo�e �íká oscila�ní. První rovnice 5.1 je rovnicí kontinuity a vyjad�uje rov-nost pr�toku p�ivad��em p�ed vyrovnávací komorou, p�ítokem do vyrovnávací komory a pr�tokem turbínou [8]:

)(1

SvQSdt

dz

k−= , (5.1)

kde t je �as, z je okamžitá poloha hladiny ve vyrovnávací komo�e (orientace je kladná, když je hladina zaklesnutá pod hydrostatickou hladinou v nádrži a zá-porná v opa�ném p�ípad�), Sk zna�í plochu p594n0ho 5eyu vzrovn8vac9 komo-rou, Q je okamžitá hodnota pr�toku od vyrovnávací komory k turbín� a v st�ední rychlost v p�ivad��i mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou (kladná orientace je ve sm�ru proud�ní k vyrovnávací komo�e).

Druhá rovnice 5.2 (pohybová) je odvozena na základ� Newtonových zákon� a vyjad�uje závislost zrychlení vodní hmoty na poloze hladiny ve vyrovnávací komo�e a na velikosti ztrát t�ením v p�ivad��i [8]:

)( tZzlg

dtdv

�= , (5.2)

kde g zna�í gravita�ní zrychlení, l délku p�ivad��e p�ed vyrovnávací komorou a Zt souhrn tlakových ztrát v p�ivad��i mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou.

�ešení soustavy oby�ejných diferenciálních rovnic

- 19 (28) -

Soustavu oby�ejných diferenciálních rovnic budeme �ešit numericky metodou Rungovou-Kuttovou [1], [3], [4] s použitím programu EXCEL v rámci násle-dujícího p�íkladu.

P�íklad 5.1

Vy�ešte �asový pr�b�h výkyv� hladiny ve vyrovnávací komo�e válcového tva-ru s volnou hladinou p�i náhlém uzav�ení p�ivad��e na elektrárnu za komorou.

Obr. 5.1- Schéma vyrovnávací komory

Je dán pr�tok p�ed uzav�ením Q=25,0 m3/s, pr�m�r kruhového p�ivad��e D=3,57 m, plocha pr��ezu komory Sk=100 m2, rychlost v p�ivad��i p�ed uza-v�ením vo=2,5 m/s, délka p�ivad��e mezi akumula�ní nádrží a vyrovnávací komorou l=3000 m a stupe� drsnosti p�ivad��e n=0,016.

�ešení zahájíme výpo�tem ztrát v p�ivad��i za pomocí Chezyho rovnice [7]:

RSC

QlZ t 22

2

= , (5.3)

kde C je rychlostní sou�initel dle Manninga a R hydraulický polom�r. Dosaze-ním za C po úprav� dostaneme vztah:

ζ23/4

22 v

R

lnvZ t == . (5.4)

Nyní již máme p�ipraveny všechny pot�ebné vztahy a m�žeme p�istoupit k �ešení v programu EXCEL.

P�ed zahájením práce si ješt� zopakujeme postup numerického �ešení soustav diferenciálních rovnic Rungovou-Kuttovou metodou [1], [3], [4].

Uvažujme soustavu dvou diferenciálních rovnic tvaru

),,('),,,(' zyxgzzyxfy == , (5.5)

p�i po�áte�ních podmínkách y(xo) = yo, z(xo) = zo. Dále položme


- 20 (28) -

( ) ( ),2261

,2261

43214321 rrrrrkkkkk +++=+++= (5.6)

kde korekce

,),,(1 ooo zyxfk = (5.7)

,)2

,2

,2

( 112

hrz

hky

hxfk ooo +++= (5.8)

,)2

,2

,2

( 223

hrz

hky

hxfk ooo +++= (5.9)

,),,( 334 hrzhkyhxfk ooo +++= (5.10) .),,(1 ooo zyxgr = (5.11)

Korekce r2, r3 a r4 jsou utvo�eny obdobn� jako korekce k2, k3 a k4 jen s tím rozdílem, že místo funkce f v nich vystupuje funkce g. Pak hledané hodnoty funkcí y a z v bod� xo + h jsou

.)(,)( rhzhxzhkyhxy oooo +≈++≈+ (5.12)

Pokusme se nyní aplikovat nazna�ený postup s využitím programu EXCEL. Nejprve do sešitu vložíme hodnoty a vztahy pro výpo�et vstupních parametr�, jak je patrné z obrázku 5.2.

Obr. 5.2- Vstupní parametry pro �ešení

Na dalším obrázku 5.3 je ukázán postup jednoho kroku Rungovy-Kuttovy me-tody. Nejprve vytvo�íme sloupec t, do kterého vložíme hodnoty �asu odstup�o-vané dle zvoleného �asového kroku (zde h=10 s). Dále do bun�k zo, yo zadáme po�áte�ní podmínky. Nyní již m�žeme pokra�ovat výpo�tem korekcí k1 až k4 a r1 až r4. Výpo�et prvního kroku zakon�íme stanovením k, r a výpo�tem

.)(,)( rhzhxzhkyhxy oooo +≈++≈+

�ešení úlohy provedeme pro �asový interval 0 až 2000 s a výsledky vyneseme do grafu, jak je uvedeno na obrázku 5.4. Pro ú�ely vynesení grafu byly vytvo-�eny nové sloupce do kterých byly kopírováním vloženy hodnoty �asu, výkyv� hladiny a rychlostí v p�ivad��i. Pro lepší p�edstavu o pohybech hladiny ve vy-rovnávací komo�e byly navíc hodnoty výkyv� vynásobeny hodnotou (-1).

h

�ešení soustavy oby�ejných diferenciálních rovnic

- 21 (28) -

Obr. 5.3- Postup �ešení v programu EXCEL.

Obr. 5.4- Pr�b�h st�edních rychlostí proud�ní v p�ivad��i a kolísání hladiny ve vyrovnávací

komo�e v p�ípad� náhlého odstavení elektrárny.

Úkol 5.1

Úpravou po�áte�ních podmínek prove�te simulaci stavu, kdy na po�átku je elektrárna mimo provoz a náhle dojde k jejímu spušt�ní. Odb�r na turbíny �iní Q=25 m3/s. Výsledky výpo�tu by m�ly odpovídat obrázku 5.5. Kontrolou je pro vás, že kóta ustálené hladiny v komo�e a rychlost proud�ní vody v p�ivad��i by m�la být shodná s hodnotami v p�vodním zadání (tj. v=2,5 m/s a z=5,6 m).

xo ),,(1 ooo zyxfk =

yo ),,(1 ooo zyxgr =

zo

)2

,2

,2

( 112

hrz

hky

hxfk ooo +++=

)2

,2

,2

( 112

hrz

hky

hxgr ooo +++=

21hk

yo + 2

1hrzo +

( )4321 2261

kkkkk +++=

( )4321 2261

rrrrr +++=

hkyo + hrzo +


- 22 (28) -

�ešení

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

�as [s]

z [m

], v

[m/s

]

Hladina v komo�e - zRychlost v p�ivad��i - v

Obr. 5.5- Pr�b�h st�edních rychlostí proud�ní v p�ivad��i a kolísání hladiny ve vyrovnávací

komo�e v p�ípad� náhlého spušt�ní elektrárny.

Úkol 5.2

V odborné literatu�e se seznamte s možnostmi stanovení chyb Rungovy-Kuttovy metody.

Makra

- 23 (28) -

6 Makra

Tato kapitola poskytuje základní informace o tvorb� maker v programu EX-CEL. Makra m�žeme chápat jako programy zapsané v programovacím jazyku VBA (Visual Basic for Application). Smyslem vytvá�ení maker maker je p�e-devším usnadn�ní opakovaného provád�ní stejných úkon�, pop�. rozší�ení pro-gramu EXCEL o nové funkce. Vytvo�ení makra nutn� nevyžaduje znalosti programování. Nyní si na jednoduchém p�íklad� ukážeme základní princip vytvo�ení makra. Použijeme k tomu p�íklad 2.1 ve kterém jsme pracovali s nástrojem “Hledání �ešení”. Na obrázku 6.1 m�žeme vid�t otev�ený sešit EXCEL, tak jak jsme ho uložili po dokon�ení p�íkladu 2.1.

Obr. 6.1- Sešit po dokon�ení p�íkladu 2.1.

Pokud bychom cht�li stanovit hloubku h pro jinou hodnotu pr�toku Q, museli bychom znovu z hlavního menu spustit nástroj “Hledání �ešení”, nastavit p�í-slušné parametry a spustit hledání �ešení.

Tento postup je posloupnosti ur�itých na sebe navazujících operací, které m�-žeme realizovat pomocí makra.

Z hlavního menu zvolíme Nástroje | Makro | Záznam nového makra, �ímž vyvoláme dialog zachycený na obrázku 6.2.

Obr. 6.2- Nastavení parametr� nového makra.

Zde m�žeme nastavit název makra, klávesovou zkratku pro rychlé spoušt�ní a další parametry. Použijte nastavení dle obrázku 6.2. a potvr�te OK.


- 24 (28) -

V tuto chvíli je zapnut režim, který zaznamenává veškeré akce provedené od této chvíle v programu EXCEL.

Nyní budeme nalezneme �ešení stejn� jako v p�íkladu 2.1. Z hlavního menu vybereme Nástroje | Hledání �ešení, zadáme parametry �ešení, spustíme hledání a potvrdíme OK.

V tuto chvíli je zaznamenán celý postup a m�žeme ukon�it režim záznamu z hlavního menu vybereme Nástroje | Makro | Zastavit záznam.

Je �as ov��it funk�nost nového makra. Zm��te hodnotu pr�toku nap�. na Q=4 m3/s a stiskn�te kombinaci kláves CTRL + r, kterou jsme nastavili pro spušt�ní makra. Bude nalezeno �ešení h= 0,346 m.

Krom� klávesové zkratky je možné spustit makro i z hlavního menu Nástroje | Makro | Makra (nebo ALT + F8).

Obr. 6.3- Správa maker.

Dialogový panel (viz obrázek 6.3) slouží krom� spoušt�ní a správy maker i k jejich editace. Tu je již nutné provád�t v jazyku VBA. Zaznamenané makro se totiž automaticky p�epíše do jazyka VBA, o �emž se m�žeme p�esv�d�it stis-kem tla�ítka Upravit (viz obrázek 6.4).

Makra

- 25 (28) -

Obr. 6.4- Editor jazyka VBA s kódem makra Hled_reseni.

Informace

Podrobn�jší informace o možnostech programování aplikací pro EXCEL ve VBA m�žete naleznou nap�. v literatu�e [13].

Záv�r

- 27 (28) -

7 Záv�r

7.1 Shrnutí

V rámci tohoto modulu jste úsp�šn� zvládli �ešení vybraných úloh z oboru vodního hospodá�ství v programu EXCEL. Nyní jste schopni aproximovat ko-�eny rovnic, dále �ešit pomocí numerických metod (Eulerovy a Rungovy – Ku-tovy) oby�ejné diferenciální rovnice, pop�. jejich soustavy. Poznali jste nástroje programu EXCEL pro �ešení úloh lineárního a nelineárního programování. V neposlední �ad� jste schopni pomocí jednoduchých maker automatizovat vybrané �innosti.

U�ební text samoz�ejm� nem�že svým rozsahem obsáhnout veškeré možnosti využití tohoto užite�ného nástroje ve vodohospodá�ské praxi. Jeho úkolem bylo, poskytnout vám nezbytný základ pro další samostatnou odbornou �in-nost.

7.2 Studijní prameny

7.2.1 Seznam použité literatury

[1] �erná, J., Machalický, M., Vogel, J., Zlatník, �. Základy numerické matematiky a programování. SNTL. Praha 1987.

[2] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky I. SNTL. Praha 1989.

[3] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky II. SNTL. Praha 1986.

[4] Vitásek, E. Základy teorie numerických metod pro �ešení diferenciál-ních rovnic. Academia. Praha 1994.

[5] Kolá�, V. a kol. Hydraulika. SNTL. Praha 1966.

[6] Bém, J., Ji�ínský, K. Hydraulika v p�íkladech. �VUT Praha 1975.

[7] Jandora, J., Uhmannová, H. Základy hydrauliky a hydrologie. VUT Brno 1999.

[8] Broža, V., Gabriel, P., �ihák, F. Využití vodní energie. �VUT. Praha 1990.

[9] Stara, V., Veselý, J. Hydraulika – P�íklady ke cvi�ení. VUT. Brno 1988.

[10] Pernica, M. a kol. Vodní dílo Slušovice. SZN. Praha 1981.

[11] Škrášek, J., Tichý, Z. Základy aplikované matematiky III. SNTL. Praha 1990.

[12] Kiely, G. Enviromental Engineering. McGraw-Hill International 1997.


- 28 (28) -

7.2.2 Seznam dopl�kové studijní literatury

[13] Walkenbach, J. Microsoft Excel 2000 a 2002 – Programování ve VBA. Computer Press. Praha 2001.

[14] �íha, J. a kol. Matematické modelování hydrodynamických a disperz-ních jev�. VUT Brno 1997.

Documents

ALEŠ DRÁB HYDROINFORMATIKA I - lences.cz