Algebra

11 1n pm n.m.pn m.na b c a .b .c

6 42

4018 36

x

x

1.- Teoría de Exponentes. 2.- Expresiones Algebraicas 3.- Polinomios especiales. 4.- Operaciones con polinomios. 5.- Productos Notables I y II. 6.- Ecuaciones de 1er grado. 7.- Ecuaciones de 2do. Grado.

TEORIA DE EXPONENTES

Si a R - o, n N, se define

vecesn

n

0

a...a.a.aa

1a

donde, a : base, n : exponente

an : n-ésima potencia de a.

Propiedades:

1. nmnm aa.a 8. n1an a

2. nm

n

m

aa

a 9. nnn b.aab

3. nnnbaab 10.

n

n

n

b

a

b

a , b 0

4. n

nn

b

a

b

a

; b 0 11. mnn

mn m aaa

5. mnmnnm aaa 12. n pa .mna

n pa .ma

6. n

n

a

1a ; a 0 13. mnpm n p

aa

7. nn

a

b

b

a

; a 0 , b 0

ECUACIÓN EXPONENCIAL

Es una igualdad entre dos expresiones que contienen a la

variable como exponente.

Ejemplos:

1) 2x = 85x-1 2) xx = aa

Propiedades:

1) Si ax = ay x = y a > 0 y a 1

2) Si ax = bx a = b a > 0 y b > 0

Si ax = by x = y = 0, para todo a,b R.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I).- Subraya la alternativa correcta.

1).- Halla el exponente de “x”.

2232 xx

a) 8 b) 4 c) 12 d) 16 e) 32

2).- Reduce:

52

22222

x

xx

a) x2 b) x c) 1 d) 0 e) N.A

3).- Simplifica :

532

544332

x

xxx

a) x6 b) x2 c) x8 d) x e) N.A.

4).- Halla : 12416E

a) ½ b) ¼ c) 4 d) 2 e) -4

5).- Evalúa : 151222 242

a) 0 b) 32 c) 16 d) 14 e) 1

6).- Reduce : 161211

a) 1 b) 2 c) –2 d) –1 e) 0

7).- Simplifica : -13 + -22 – -12

a) –1 b) 2 c) –2 d) –4 e) 0

8).- Resuelve : 157022

a) -2 b) 4 c) 8 d) 2 e) N.A.

9).- Resuelve :

0234

a) 4 b) 16 c) 64 d) 2 e) 1

10).- Reduce:

2635711 4444

a) 7 b) 2 c) 4 d) 16 e) 64

11).- Efectúa:

052146 33333

a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) 1

12).- Reduce :

120

3 5 5,0x

a) x b) x2 c) x4 d) x5 e) x3

13).- Efectúa :

2507223

a) 3 b) 9 c) 27 d) 81 e) N.A.

14).- Efectúa:

7072256

a) 8 b) 16 c) 4 d) 15 e) 128

15).- Reduce : 104

53

29612

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

16).- Reduce : v eces) 61.....(xxx

)v eces 31......(xxx444

a) x b) 4 x c) 3 2x d) x61 e) N.A.

17).- Simplifica :

322/1 )x(

a) x3 b) x8 c) x4 d) x e) x

18).- Simplifica : 4/132m

a) m3/2 b) m2 c) m4

d) m2 e) N.A.

NIVEL II

II).- Subraya la alternativa correcta.

1).- 40

1054

81

9.9.9 es igual a:

a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 3

2).- 634

520

aaa

a.a es igual a:

a) 2a

a b) a-1/2 c) a d) 1 e) 1/a

3).- 8a - a + 2 es igual a:

a) aa b) 2aa c) 2 d) 2a e) a2

4).- 223 2 41664 es igual a :

a) 6 b) 8 c) 2 d) 4 e) 20

5).- Resuelve : 22 43

a) 1 b) 5/12 c) 1/3 d) 2 e) 5/24

6).- Simplifica, e indica el exponente de “x”,

87

206542

x

x.x.x

a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 3

7).- Calcula el valor de “R” en:

323.

3

1R 6

7

a) 1 b) ½ c) 1/3 d) 2 e) 3

8).- Resuelve:

veces15

veces18

.......x.x.x........x.x.x

a) 1 b) x c) x4 d) x2 e) x3

9).- Simplifica : 2234

754

2

2

a) 6 b) 8 c) 2 d) 4 e) 20

10).- Resuelve :

1021211

36

5432

2.2

2.2

a) 6 b) 28 c) 32 d) 64 e) 16

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresión Algebraica (E.A.)

Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por

las operaciones fundamentales (Adición, Sustracción,

Multiplicación, División, Radicación y Potenciación), en

forma finita y sin variables como exponentes

CONSTANTE : Es por lo general, un valor numérico o literal.

VARIABLE : Es un valor arbitrario o desconocido,

representa a la cantidad en forma general. Se representa siempre por letras.

Ejemplos:

a) -12x3 + 8x4y + 1

3x

b) 3x4y2 + 1,5x6y3

Término Algebraico

Términos Semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectadas de

iguales exponentes.

Ejemplo: a) -2x5 ; 3x5 ; 22x5

b) 80 20x ; 50 20x ; -3

420x

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

I. Por la naturaleza de los exponentes: Una expresión algebraica puede ser:

1) E.A. Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables están

afectadas por exponentes enteros. A su vez pueden ser:

a) E.A.R. Entera (EARE): Los exponentes

de sus variables son enteros positivos, incluyendo el cero.

b) E.A.R. Fraccionaria (EARF): Los exponentes

de sus variables son enteros negativos.

2) E.A. Irracional (EAI): Son aquellas cuyas

variables están afectadas de radicales o

exponentes fraccionarios. Ejemplos:

1) x2y4x3 +log 3 EARE

2) 3 x22xy521

x EAI

3) 1x

52y3x

EARF

4) 3 x2

7

4 EAI

II. Por el número de términos: Una expresión

algebraica puede ser:

Monomio: Es la expresión algebraica que consta de un solo término

Ejemplos: 5x ; 6xy3 ; -8x3y2

Polinomio: Es la expresión algebraica que consta de dos o más

términos, siendo los exponentes de las variables enteros

positivos.

En particular:

Binomio: Es el polinomio que tiene dos términos

Ejemplos: 2+3y ; 3x3 + 6xz ; 2

5x2 + 3y

Trinomio: Es el polinomio que tiene tres términos.

Ejemplos: 1+2z+4x ; 5x3y+2x3z+8 ; x+2xz+5x5z12

GRADO DE UN MONOMIO

Para un monomio cualquiera pueden determinarse dos

tipos de grados. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de

la variable referida.

Ejemplo: P(x,y,z) = 8 2 51

P(x,y,z) x y z2

G.R.(x) = 8 G.R.(y) = 2 G.R.(z) = 5

Grado Absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de sus variables.

Del ejemplo anterior: 4 5 2P(x,y,z) 7 2x y z

G.A.: 4+ 5 +2 = 11

Valor Numérico

4 72x 5x 19

Consiste en reemplazar las variables de un monomio por números determinados. Así, se obtendrán un

resultado, denominado VALOR NUMÉRICO. Ejemplo: P(x) = 6x + 7 , hallar P(-2)

GRADO DE UN POLINOMIO

Grado Absoluto (G.A.): Está dado por el Mayor de los grados de sus términos.

Grado Relativo (G.R.): Está dado por el Mayor de los exponentes de la variable referida. Ejemplo:

583542

5

3327),,( zyxyxyzxzyxP

4 916G.A.

Mayor de los G.A. de los términos

Luego el grado absoluto (G.A.) del polinomio es 16.

Además: G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x) G.R.(y) = 8 (Mayor exponente de y)

G.R.(z) = 5 (Mayor exponente de z)


1. Relacionar los términos que son semejantes:

a) 4x2y5 ( ) x

7ay

4

b) 5x7y4a ( ) 2za

3b4

c) -3a3b4z ( ) 5abzx

d) 15xabz ( ) 3y5x2

2. Completar:

Término

Algebraico

Parte

Constante

Parte

Variable

Término

Semejante

34yx2

1–

7xabn

27

54z2

22yx3

3. Completa la siguiente Tabla

4. Son términos semejantes:

I. 4xy2; -2x

2y II. 3abc; -3a

2b2c

III. 15m2n3; 3n

3m

2 IV. -20z

2; 2z

2x

a) I b) II c) III d) IV e) N.A.

5. Colocar si las proposiciones son verdaderas (V) o

falsas (F):

I. En un término algebraico los exponentes de las

variables no pueden ser letras. ( )

II. yzx5 3 es un término algebraico. ( )

III. 5x4y3z2; -2x

4y3z2 son términos semejantes.

( )

6. Si los términos t1 y t2 son semejantes.

Expresión Es una E.A. No es una

E.A.

2x xx

2 5

x x x3 5 6

5 + 10x2 + 15x3 +….

2x + 1

x-12

8x+x6

x5 - 23x +1

x3

2 7 6x 5y x

x2 + 6 – 2x

t1 = 30x4 t2 = 4x

a

Calcular: 5aM

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

7. Dado los términos semejantes :

23am+3

; 14a2 .

Calcular: 2

1mA

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

8. Si los siguientes términos son semejantes:

4xa+3

y4 ; -5x

8yb+5

Calcular: baR

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

9. Dados los términos semejantes:

2xa+8

yb+5

; 3x12

ya+2b

Calcular: R = a . b

a) 1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5


6a22

3b41 yx)a3b(tyx)ba2(t

Calcular: La suma de coeficientes.

a) 10 b) 4 c) 12 d) 7 e) -3

11. Si: t1 = 4x3y5z4 y t2 = -3x

ayb+1

zc+2

son

semejantes. Calcular: A = a + b + c

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

12. Si los términos semejantes presentan iguales

coeficientes:

(a + 4)xayb+3

; 7xay7

Calcular la suma de los exponentes.

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6


7xa+1

yb+2

zc+3

; -4xb+1

yc+2

z7

Calcular: 3

cbaA

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

14. En el siguiente monomio:

P(x,y) = 2x3y

4

Hallar: GR(x) + GR(y) + GA

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

15. En el siguiente monomio:

P(x,y) = -3x5y

2

Hallar: GR(x).GR(y).GA a) 60 b) 70 c) 40 d) 20 e) NA

16. Hallar el valor numérico de:

P(x,y) = 1 26x y

Cuando: x = 1/2 , y = 1/4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) NA

17. Dada la expresión: P(x,y) = 3x5y

4

¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

I. 3 es el coeficiente del monomio II. “x” es la única variable

III. 5 y 4 son los exponentes a) I b) II c) III d) I y II e) II y III

18. Calcular “m” si el siguiente polinomio es de grado

absoluto igual a 10.

P(x) = 5 + 8xm-4 – 6xm+3

a) 8 b) 4 c) 7 d) 3 E) 5

19. Hallar el GR(m) + GR(n) , en el polinomio:

P(m,n) = 2m4n7 + m12 – 9mn10

a) 12 b) 22 c) 7 d) 1 e) 8

20. Hallar “m+n” si el polinomio adjunto es de

grado 8 respecto a “y” y de tercer grado

respecto a “x”.

P(x,y) = -5xm-2 + 2xmyn-3 - 1

5xm+1yn-2

a) 9 b) 12 c) 11 d) 17 e) 15

21. Sea el polinomio: P(x)= 3x15

+ 2x19

–x + 4

I. Su grado es 19 II. El término independiente es 4 III. El polinomio tiene 4 términos

IV. La suma de coeficientes es 10 V. Su coeficiente superior es 3 ¿Indique cuántos enunciados son verdaderos?

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5

22. Sea el polinomio:

A(x)= 4x5 – 2x + 3x2 –7

I. Su grado es 5. II. El coeficiente de su término cuadrático es 3. III. El coeficiente de su término lineal es 2.

IV. Su término independiente es7 V. La suma de sus coeficientes es 5. ¿Indique cuántos enunciados son verdaderos?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. Calcular de los términos semejantes:

(b + 4)x7 ; (2 - b)x

b+2

Los coeficientes:

a) 9 y -3 b) 9 y 3 c) 9 y 4 d) -9 y 4

e) N.A.

24. Si: t1 = 3x4y5z3 y t2 = -2x

ayb+2

zc+1

son

semejantes.

Calcular: A = a + b + c

a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6

25. Si: P(3x-2)=x9 + x

3 + 10

Calcular: P(1) + P(-5) a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24

26. Dado el polinomio:

P(x;y) = 5x4z

10 + 2xy

7z

2 – 7x

6y

3z

12

Hallar el GR(x)+GR(y)+GR(z)+GA

a) 22 b) 28 c) 46 d) 64 e) 33

27. Si se tiene el polinomio:

A(x) = 3xa+3

y4 + 5x

a+1y

5 + ax

ay

7

Donde el GR(x) = 5. ¿Hallar la suma de coeficientes del polinomio? a) 8 b) 10 c) 8+a d) 12 e) NA

28. Calcular el grado absoluto del polinomio.

8 4 2 4 2 4 8 9 4 2

(x,y,z)P 2x y z (xy) z x y x y z

a) 14 b) 12 c) 15 d) 13 e) 16

29. Cuál es el grado absoluto de:

P(x; y) 3x6y

2 + 2x

5y

3 - 8x

4y

2 + 9y

9 - 7x

2y

2

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

30. Al efectuar: 3 4 2 a(x y )(x y ) resulta un

monomio de grado absoluto igual a 13. Calcular

el valor de “a”.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

31. Calcular el valor de “n” del monomio:

2 m 3 n

m

x .yM(x;y)

x

Sabiendo que su grado absoluto es 3.

a) 2 b) 4 c) 3 d) 14 e) 6

32. Hallar en el siguiente monomio:

P(x,y) = - 4 33x y , el producto del coeficiente con

el G.A. A) -23 b) -21 c) -19 d) -17 e) NA

33. Sabiendo: P(x,y) = x

2 + y

2

Hallar: E = P(1;1) + P(1;0) + P(0;1) a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

34. Si: P(x,y) = 6x

2y

6 , determinar el valor de:

E = P(1;1) + P(2;1) a) 24 b) 8 c) 6 d) 30 e) 12

35. Si: P(x) =

2x

2

Calcular: P(P(P(2)))

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

36. Sabiendo que:

Q(x) = x 1

x 1

Calcular: Q(Q(Q(3))) a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 5

37. Si tenemos:

2 3

(x;y)M 2x y , calcular:

(1;1) (2;1)

(1;2)

M ME

M

a) ½ b) -1/2 c) 3/8 d) -3/8 e) 0

38. Si: P(x) = x2 – x

Hallar P(x-2)

a) x2-5x+4 b) x

2-5x c) x

2+5x d) x

2-5x+6 e) NA

39. Si: P(x+1) = x

2 + x ; dar P(3)

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

40. Si: P(x-2) = x

2 + x

Hallar P(x+2)

a) x

2+9x+20 b) x

2+9x+16 c) x

2+9x+1

d) x2+9x+7 e) NA

41. Siendo: P(x) = 2 3x x

Hallar: P(1/2) a) 8 b) 10 c) 12 c) 14 e) 16

42. Siendo: P(x) = 1 + x +x2 + x

3 + x

4 + …..

Hallar P(1/3)

a) 3 b) 2/3 c) 3/2 d) 2 e) 4

43. Si:

P(x) = x+2

Q(x) = x+3 Hallar P(Q(2)) + Q(P(3)) a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11

44. Si: P(x+3) = 3x – 4

Además: P(f(x)) = 15x + 8 Calcular: f(4)

a) 24 b) 30 c) 27 d) 32 e) NA

45. Si: GA = 24 5

)x(GR)y(GR

M(x, y) = 2xa+b

ya-b

Calcular: a . b

a) 96 b) 108 c) 64 d) 25 e) 15

46. Si: P(x) = xa+4

+ xa+3

+ xa-4

GA = 7

Calcular : a3 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

47. Si : P(x, y) = 2xa+1

yb-1

+ xa+3

yb-4

+ xa+2

yb-2

GR(x) = 5 GR(y) = 3

Calcular el GA

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

48. Si:

P(x) = axa + (a + 1)x

a+1 + (a + 2)x

a-4

Es de GA = 5 Calcular la suma de coeficientes:

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

49. Si el polinomio:

P(x; y) x14+m

yn-5 x

n y

2m+4 + 7y

49

es homogéneo, el grado relativo respecto a “x” es :

a) 24 b) 25 c) 18 d) 20 e) 26

50. Si : P(x; y; z) n42mnm8m mnz - ny mx

es homogéneo, calcula m2n.

a) 18 b) 24 c) 16 d) 8 e) 10 51. Si el monomio:

3 2m

2m

x

xx

es de tercer grado, entonces el valor de “m” es : a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25 52. Si :

n2

4n32n

)x(

x)x(

Es de 4to grado. Halla “n”: a) 6 b) –4 c) 4 d) 3 e) 2

53. Si :

H(x –1) F(x) + G(x)

F(x –2) 2x + 4 G(x +2) 3x

2 + 6x + 1

Calcula: H(5) a) 62 b) 78 c) 87 d) 93 e) 99 54. Dado el polinomio:

P(x + 1) 4x2 + 8x – 7

Calcula la suma de coeficientes de P(x). a) –5 b) –6 c) –7 d) –8 e) -9


P(x, y) ax2y

ab + x

2ay

3 – b

2x

4

Es homogéneo, calcula: abab

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

56. Si el monomio es de grado 32, halla “x”.

xx xx 2)xx(x3x aa

a) 3 b) 2 c) 4 d) 7 e) 5 57. Calcula “n”, si el grado del producto :

P(x) = (x+1)(x4+4)(x

9+9)...) )n(x 22n es 204

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

58. En el polinomio completo y ordenado en forma creciente. Calcula la suma de coeficientes:

P(y) =my

m+n + ny

m-1 - py

p-t + ty

t

a) –2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

59. Halla (a + b)c

(aa+2)x

5 +(b

b-3)x

3+c-6=

2

2

3

x5+x

3+4

a) ¼ b) 0 c) 1 d) 2 e) 220

60. Halla el grado de homogeneidad de :

P(x, y) = 8xa+b

yb + 3

bx

a+6y

b+4

Si G.R.(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y). a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

61. Dados los polinomios : P(x) = 3x

2 – x + 1

Q(x) = x2 + 2x – 3

R(x) = 2x2 – 3x + 2

¿Cuánto le falta al primero para ser igual al exceso del doble del tercero sobre el segundo?

a) 2x b) 7-8x c) 6-7x d) 5x-3 e) 7x-6

62. Conociendo que:

ax2 + bx + c (mx + n)

2

Halla el valor de :

E = ac3b

acb2

2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIO COMPLETO

Es aquel polinomio que presenta todos los términos

algebraicos, desde el mayor, hasta el menor.

Ejemplo:

P(x) 5x3 + 2x – 4x2 + 7

OjO: Presenta todos los términos desde el mayor grado

(5x3) hasta el menor (7).

POLINOMIO ORDENADO

Es aquel que guarda un orden ascendente o

descendente referido a los grados relativos. Ejemplo:

P(x) = x2 + 2x

3 – x

5 (Polinomio ordenado en forma

ascendente)

P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma

descendente)

P(x) = x17

–x25

+x50

(Polinomio……………………..

en forma……………………..)

P(x) = 14x – 2 (Polinomio…………………….. en

forma……………………..)

Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto

solo a una.

P(x, y) = 4x3y

7 – 5x

2y

9 + 2xy

4

(Polinomio ordenado en forma descendente con

respecto a “x”)

P(x, y) = -5x2y

9 + 4x

3y

7 + 2xy

4

(Polinomio ordenado en forma descendente con

respecto a “y”)

POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO

Es aquel polinomio que cumple los dos criterios

anteriores.

Ejemplo:

P(x) = 5x4 – 3x

3 + x

2 + x + 3 (Observemos que es

completo por que presenta todos los exponentes de “x” y

además están ordenados en forma descendente)

POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta

el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

P(x, y) 4x3y

4 – 3x

7 + 2xy

6 – x

5y

2

P(x, y) = 2x3y

5 + 5x

ay

2 + 3x

by

7

3 + 5 = a + 2 = b + 7

POLINOMIOS IDÉNTICOS

Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un

valor en cuestión.

Ejemplo:

P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x

2 + 2x + 1

P(0) = Q(0) = 1

P(1) = Q(1) = 4

P(x) y Q(x) son idénticos.

Esto trae como consecuencia que tengan los mismos

coeficientes en términos homólogos.

Recuerda La suma de los coeficientes de un polinomio es P(1) o

P(1;1)

El termino independiente es cuando P(0) o P(0;0)

GA =

7

GA =

7

GA =

7

GA =

7

a = 6

b = 1


a. Calcular el valor de “a” en los siguientes polinomios completos:

1. P(x) = 4xa + 4x2 + 3 – 2x

2. Q(x) = 2x + xa+2 + x2 – 4 3. R(x) = 3xa+2 + xa+1 + 5xa+3 – 2x + 1

4. En el polinomio completo: P(x) = axa+3 + 3xa+1 + 5x3 – 2ax + a2 Calcule la suma de coeficientes:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A 5. Dado el polinomio completo:

P(x) = mxm + nxn + mnp + pxp Calcular: m + n + p a) 1 b) 6 c) 5 d) 4 e) N.A.

b. Ordenar en forma ascendente y descendente

los siguientes polinomios: 6. P(x) = 25x5 + 3x7 – 2x + 4 7. R(x) = 1 – x + x3 – x7 + 2x2

8. Q(x) = ax + nx3 – bx2 + abc

c. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios primero relativo a

“x” y luego a “y”. 9. P(x, y) = x3y4 – 5xy2 + 2x7y3 – 2ab 10. P(x, y) = axm+1yn-2 + bxmyn + cxm-2yn+1 – abc

11. Dado el polinomio completo y ordenado. P(x) = 2axa+3 + 5x3 – 7x2 + ax + 3

Calcule la suma de coeficientes. a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) N.A.

12. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x) = 3x2a-1 + 4x4 + 2xb+1 + 3x2 – x + ab

Calcule el término independiente.

a) 4 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.A.

13. Si el polinomio es completo y ordenado en

forma ascendente. P(x) = axc-1 + bxb + cxa

Calcular la suma de coeficientes.

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.


P(x) = abxc + caxb + bcxa + abc

Es completo y ordenado:

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 6 c) 5 d) 4 e) N.A.

15. De la pregunta (14), calcule la suma de

coeficientes y el término independiente.

a) 17; 9 b) 17; 6 c) 15; 6 d) 15; 9

e) N.A.

16. Dado el polinomio homogéneo.

P(x, y) = 2xay3 + 3x5y7 – xby8

Calcular: (a + b)

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

17. Dado el polinomio homogéneo.

P(x, y, z) = 5xyz – x2ya + zb + xc

Calcular: a + b + c

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

18. Si el polinomio es homogéneo: P(x, y) = 3xa+2yb+8 + xd+3y7 + 2x8y5

Calcular: a + b + d

a) 1 b) 13 c) 6 d) 5 e) 8

19. Dado el polinomio homogéneo:

P(x, y) = axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10

Calcule la suma de coeficientes.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) N.A.

20. Dado el polinomio homogéneo:

P(x, y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb+7y

Calcular la suma de coeficientes.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) N.A.

21. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:

P(x) = ax5 + 3x2 – 4

Q(x) = (2a - 3)x5 + (c + 2)x2 + b

Calcular : a + b + c

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A.

22. Si : R(x) = 2x2 + 5x – 3

Es idéntica con :

S(x) = (a2 - 2)x2 + (b2 + 1)x + c

Calcular: a + b + c

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) N.A.

23. Dados los polinomios homogéneos: P(x) = 4x2 + bx + 7

Q(x) = cx2 + 3x + 7

R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a

Calcular : a + b + c + d

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

24. Dado: P(x) = (4 + a)x + 5c + d

Q(x) = 4c + 3 + (2a + 2)x

Son idénticos.

Calcule: a + c + d

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.

25. Si los siguientes polinomios son idénticos.

P(x) = mx2 + nx + p y Q(x) = ax2 + bx + c

Calcular: cba

pnmA

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26. Dado el polinomio idénticamente nulo:

P(x) = (a - 2)x2 + bx + c + 3

Calcular: a . b . c

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) N.A.

27. Dado el polinomio idénticamente nulo:

Q(x) = 3x2 + 5x – 3 + ax2 + bx – c

Calcular: a + b + c

a) -10 b) -11 c) -12 d) -13 e) N.A.

28. Si el polinomio es nulo:

R(x) = 3x2 + (a2 - 1)x2 + cx – 2x + d – 4

Calcular: a . c . d

a) 1 b) 2 c) 16 d) 15 e) N.A.

29. Dado el polinomio nulo:

P(x) = (a2 + 1)x2 + (b2 + 1)x + c2 – 1 – 2x2 –

10x

Calcular: a + b + c

a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e) N.A.

30. Si el siguiente polinomio es nulo:

P(x) = (m2 - a)x2 + (n2 – b)x + p2 – c

Calcular: cba

pnm 222

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.

31. Sea P(x) un polinomio mónico:

P(x) = (a - 6)x3 + 7x2 + (2a - 13)x4 + ax

Hallar: F = coeficientes

( indica sumatoria)

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

32. Indicar cuantos de los polinomios son

homogéneos:

Donde (m, n, p Z+)

I. P(x, y) = 3xm+nyp + 5xmyn+p

II. M(x, y) = 5x3ym+n + 2 xm+3yn+1

III. N(x, y) = 4x2y3+p + 7x5yp

a) Sólo I b) Sólo II c) Todas

d) I y III e) Sólo III

33. Calcular: (m + n + p) Si: P(x) M(x)

Siendo: P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

Q(x) = (m + n - 1)x3 + (n + p - 2)x2 + (p)x + 1

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

34. Sea P(x) un polinomio idénticamente nulo: P(x) = (m + n + 3)x2 + (2m + n - 1)x + n - 2

Hallar: E = (m + n)50

a) 3000 b) -1 c) 0 d) 1 e) m + n - mn

35. Indicar el GR(x) si el grado de homogeneidad de M(x, y) es 12.

M(x, y) = 5xa+b + 3xbyb + 4xmyn

(Donde m < 4)

a) 8 b) 10 c) 21 d) 12 e) 14

36. Señale el grado del polinomio entero y

ordenado en forma estrictamente

decreciente. P(x) = x12-2a + x2a-4 + x4-2a

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

37. Si: ax2 + bx + c (mx + n)2

Calcular: acb

acbF

2

2

a) 4/5 b) 5/3 c) 3/5 d) 1/3 e) 1/5

38. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio :

P(x, y) = mxa + bx + bxb + xm . y3

Sabiendo que es completo y ordenado.

Respecto de x.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

OPERACIONES CON POLINOMIOS

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Al sumar polinomios, se reducirán sus términos semejantes. Aquellos que no lo sean serán colocados

conservando su propio signo. Ejemplo: P(x) = 7x

2 + 3x – 5

Q(x) = 5x2 – 2x + 9

Calcular: P(x) + Q(x) Solución:

Agrupando: (7x2 + 5x

2) + (3x-2x) + (-5+9)

12x2 + x +4 ….. Respuesta

La gran diferencia que existe con la suma, es que al

polinomio negativo (precedido por un signo – ) se le cambiarán, previamente, los signos de TODOS sus términos . Luego de esto, se procede como la suma

Ejemplo: P(x) = 2x

3 – 5x

2 + 10x – 7

Q(x) = x3 – 7x

2 +3x - 11

Calcular: P(x) – Q(x) Solución: el signo se antepone al sustraendo

2x

3 – 5x

2 + 10x – 7 – (x

3 – 7x

2 +3x – 11 )

Entonces: 2x3 – 5x

2 + 10x – 7 – x

3 + 7x

2 – 3x + 11

Reduciendo términos: x

3 + 2x

2 + 7x + 4

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar polinomios debemos tener en cuenta a la siguiente propiedad

m n m na .a a

Ejemplo: Multiplicar : x

5 por 3x

2 – 2x + 1

Solución: tenemos: x

5 . ( 3x

2 – 2x + 1 )

= x5 . 3x

2 – x

5.2x + x

5.1

= 3x

7 – 2x

6 + x

5 ….. Respuesta

DIVISIÓN

Veamos un caso inicial, la división de un

Polimonio entre un monomio

Ejemplo: Dividir:

7 8 5 11 9 6

4 5

8x y 12x y 28x y

4x y

Entonces: podemos separar en dividendos

parciales:

7 8 5 11 9 6

4 5 4 5 4 5

8x y 12x y 28x y

4x y 4x y 4x y

Dividiendo:

3 6 52x y3 3xy 7x y …. Respuesta


1. Dados:

P(x) = -3x2 + 5x

4 – x

6

Q(x) = 4x5 - 2x

4 + 3x

6

R(x) = 12x2 + x

6 – 3x

5

Hallar: a) P + Q + R b) P – 2Q

c) 3Q – 2R d) 3P + 2P – Q e) 4P + 2P – 3Q

2. Efectuar las siguientes multiplicaciones:

a) x(x+3) b) x

2(x

2 + 3x + 2)

c) 3x2(2x – 3x

2y + x

3y

2)

d) 3ax(2x – ax + 5) e) (-5x

3y + 8x

5y

2 – xy)(3xy

3)

f) (9x3 – 5x

2 – 4)(4x

2)

g) –x2y

2(x

4y

3 – 5x

3y

2 + 10xy)

3. Efectuar las siguientes multiplicaciones:

a) (3x+y)(4x-5) b) (2+x

2)(3+x

2)

c) (x2+4x)(3x+6)

d) (x2-4x+2)(x-1)

e) (x4-8x

3+4x

2+5x-6)(4x-3)

f) (3x2-4)(x-1)(2x

2+3)

g) (x+2)(x+3)(x+4)

4. Efectuar: a) 2x – 3[x + (2x-3y) – 5(x-2y) ]

b) x – 2{ x - 4[a – x + 5(a-x) – 4(a+x) ] } c) x – y – 3{x + y – 2[-x + y – 4( -x – y ) + 2(-x + y) – x]

}

d) (x + y + z)(x + y - z) – (x + z - y)(y + z - x) e) (x+1)(2+x)(x+3) – (x+1)(x+5)(x+4)

5. Simplificar: a) 2[x – 3(x – 2y)] + [ 3(2x – 5y) – 2(4x – 5y) ]

b) { [ 6(x-y) – 2(y-x) ] + [ 2(2y – 3x) + 3(y+x) ] } – (x – y )

c) 6a2 + 4{x

2 – [a

2 + 2a

2 – 3x

2 – a(3a - 8) + x(-2x + 2)]}

x2+y

2– {2x

2+3y

2+3[x

2 – y

2 + 3(2x

2 – y

2) – 2(-y

2 – x

2)

+ y2] – x

2}

Considerando estos polinomios:

P(x) = 3x3 + 2x

2 + x + 5

Q(x) = x3 + 2x

2 + 3x + 4

R(x) = 2x3 - 3x

2 + 4x - 5

6. Hallar los siguientes polinomios:

a. E = P(x) + Q(x) a) 4x

3 + 4x

2 - 9 b) 4x

3 + 4x

2 + 4x + 9

c) 4x3 + 4x

2 + 4x - 9 d) 4x

3 e) N.A.

b. E = Q(x) + R(x)

a) 3x

3 + x

2 -1 b) 3x

3 - x

2 + 7x c) 3x

3 - x

2 + 7x -1

d) 3x3 e) N.A.

c. P = R(x) - P(x)

a) x3 + 5x

2 – 3x + 10 b) x

3 – 5x

2 + 3x – 11

c) x3 – 5x

2 d) -x

3 - 5x

2 + 3x -10 e) N. A.

d. W = P(x) - Q(x) a) 2x

3 + 2x -1 b) 2x

3 + 2x + 1 c) 2x

3 - 2x + 1

d) 2x3 – 1 e) N. A.

e. F = - P(x) - R(x)

a) 5x

3 - x

2 + 1 b) 5x

3 + x

2 -1 c) 5x

3 - x

2 + x

d) -5x3 + x

2 - 5x e) N. A.

7. Multiplicar: (a + b) (c + d) – bc – bd

a) ac + ad b) ac – ad c) da – ac d) a + b e) N.A.

8. Efectuar:

(x + 1) (x2 + 1) – x

3 – x

2

a) x+2 b) x+1 c) x-1 d) x-2 e) N.A.

9. Multiplicar y efectuar:

(x + 2) (x + 3) – x2

a) x

2 + 5x + 6 b) 5x + 6 c) 5x – 6 d) x

2 – 5x + 6

e) N.A.

10. Efectuar:

2x2(x

2 + 2x + 1) – 2x

2

a) 2x

4 + 4x

3 b) 2x

4 – 2x

3 c) 2x

4 + x d) 2x

4 – x

e) N.A.

11. Efectuar:

(x2 + 1) (x + 3) – x

3 – 3x

2

a) x+2 b) x–2 c) x+3 d) x–3 e)

N.A.

12. Efectuar:

(x2 + x) (x

2 – x + 1) – x

4 – x

2

a) x+1 b) x–x

2 d) 1–x d) 2x+1 e)

N.A.

13. Calcular: (a – b) (x2 + x + 1) + bx

2 + bx + b

a) ax

2 + ax +a b) ax

2 + ax c) a

2x – ax

d) ax + a e) N.A.

14. Multiplicar:

E = (x + 3) (x + 2) – (x + 4) (x + 1)

a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) N.A.

15. efectuar: x

2(x

2 + 3) – x

2(x

2 + 2)

a) 2x2 b) x c) x

2 d) 2x e) 6x

16. Calcular:

E = (x + 6) (x – 6) + 36 a) x b) x

2 c) 2x

2 d) 2x e) 3x

17. Considerando los siguientes polinomios:

P(a,b) = a2 + 2ab + b

3

Q(a,b) = a2 - 2ab - b

3

R(a,b) = 2a2 + ab + b

3

a. Hallar el mayor coeficiente de: P(a, b) + Q(a, b)

a) 3 b) 2 c) 1 d) -2 e) N.A.

b. Hallar el menor coeficiente de: Q(a, b) + R(a, b)

a) 3 b) -3 c) 1 d) -1 e)N. A.

c. Hallar el coeficiente de a2 en: P(a, b) + Q(a, b) +

R(a, b)

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) N. A.

d. Hallar la suma de coeficientes de: P(a, b) + Q(a,

b) - R(a, b) a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) N. A.

e. Hallar el mayor coeficiente de: Q(a, b) - R(a, b)

a) 2 b) -2 c) -3 d) -1 e) N. A.

f. Hallar el polinomio: P(a, b) - Q(a, b) - R(a, b)

a) 3ab - b

3 + 2a

2 b) 3ab + b

3 + 2a

2

c) 3ab + b2 +2a

3 d) 3ab + b

3 - 2a

2 e) N.A.

P(x) Q(x) .R(x) 5x 25

2Q(x) R(x) .P(x) 2x 4

P(x) R(x) .Q(x)

18. Conociendo que:

P(x) = x + 2 Q(x) = x + 3 R(x) = x – 5

a) Hallar el valor de:

a) –x

2 b) 3x

2 c) -2x d) 2x

2 e) N.A.

b) Hallar el valor de:

a) x b) 3x c) 2x d) 4x e) N.A.

c) Hallar:

a) 2x+3 b) 7x+21 c) 2x–3 d) 7x–21 e) N.A.

19. Calcular: E = (x + 1) (x – 1) – (x + 2) (x – 2) a) 5 b) 4 c) 2 d) 3 e) N.A.

20. Conociendo: P(x) = x

2 + x + 2

Q(x) = x2 + 2x + 1

R(x) = x + 2

a) Hallar: 2Q(x) P(x) .R(x) x

a) x+2 b) x–2 c) 2–x d) -2–x e) N.A.

b) Hallar: 3P(x) R(x) .3x 3x

a) 6x2–12x b) 6x

2+12x c) 12x–6x

2 d) 6x

2+10x

e) N.A

c) Hallar: P(x) Q(x) .R(x)

a) 6x2+12x b) 2x

3+7x

2–9x–6 c) 7x

2+9x+6

d) 2x3+7x

2+9x e) 2x

3+7x

2+9x+6

d) Hallar: 2P(x) Q(x) . R(x) x

a) 2–x b) x–2 c) x–3 d) 3–x e) N.A.

e) Calcular: 2P(x) Q(x) . 2R(x) 2x 2x

a) 2x b) x2 c) -3 d) 4 e) N.A.

21. Dados los siguientes polinomios:

P(x) = x2 + 2x - 1

Q(x) = x2 + 3x + 2

R(x) = x - 5

S(x) = x - 3

a. Hallar : 2P(x) Q(x) . R(x) x

a) x+15 b) 2x+15 c) x–15 d) 2x–15 e) N.A.

b. - Efectuar: 2P(x) Q(x) . S(x) x

a) x2 b) 7 c) x - 9 d) 9 e) N.A.

c. Calcular:

Q(x) P(x) .S(x) 9

a) x3 b) 2x c) x – 2 d) x

2 e) N.A.

d. - Efectuar:

2Q(x) P(x) .R(x) x 2x

a) 14 b) -15 c) -13 d) 17 e) N .A.

22. Sabiendo que:

P(x) = x

2 + 3x

Q(x) = 2x2 - x

F(x) = 3x2

- 2x Hallar los siguientes polinomios.

a. 2P(x) - Q(x)

a) 6x b) 7x c) 9x d) 10x e) N.A.

b. 3Q(x) - 2F(x) a) x b) 2x c) –x d) - 2x e) N. A.

PRODUCTOS NOTABLES

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

1.- BINOMIO SUMA O DIFERENCIA AL CUADRADO

(a b)2 = a

2 2ab + b

2

Trinomio Cuadrado Perfecto

EJERCICIOS

a) (3x+1)

2 = h) (5x+3)

2 =

b) (x2+3y)

2 = i) ( 3 x+5)

2 =

c) (5x2 + 1/8 ) = j) (0,2+x)

2 =

d) (x–13)2 = k) (x

3–2y)

2 =

e) (x6– 3 )

2 = l) (–x–13)

2 =

f) (–3 – x)2 = m) (x

4 – 3y

2)2 =

g) (x11

+ 8)2 =

Ahora al contrario

tu puedes! a) ( )

2 = x

2 – 4x + 4

b) ( )2 = x

2 + 22x + 121

c) ( )2 = 4x

2 – 12x + 9

d) x2 – 18x + 81 = ( )

2

e) x2 + 0,6x + 0,09 = ( )

2

f) x2 – 4 3 x + 12 = ( )

2

g) ( )2 = x

2 + 12x + 36

h) ( )2 = x

2 + 6x + 9

i) ( )2 = 9x

2 + 6x + 1

j) ( )2 = 25x

2 + 20x + 4

k) ( )2 = x

2 – 2 7 x + 7

l) ( )2 = x

2 – 16x + 64

m) ( )2 = x

2 – 26x + 169

n) ( )2 = x

2 + 24x + 144

o) ( )2 = 9x

2 – 24x + 16

p) ( )2 =

29x

4 + 3x + 1

2.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

“El producto de la suma por la diferencia de dos binomios es igual al cuadrado del primero menos

el cuadrado del segundo”.

Al segundo miembro de esta igualdad se denomina Diferencia de Cuadrados.

EJERCICIOS

a) (5x

2 + 2)(5x

2 – 2)

b) (7y + 4)(7y – 4)

c) (6+x)(x–6)

d) (3x+4)(3x–4)

e) (1–x2)(1+x

2)

f) (x+8)(x–8)

g) ( 5 +x)(x– 5 )

h) 2 2

x 4 x 43 3

i) 1 1

x x2 2

j) (x3 + z

2)(x

3 – z

2)

k) (5x3y

– 3)(5x

3y+3)

l) ( 11x – 7 )( 11 x + 7 )

m) (2–3x4)(2+3x

4)

n) ( 2 3 )( 2 3 )

o) 2 2 2 25 5

x 2y x 2y3 3

(a+b)(a–b) = a2 – b2

( 7 6 )( 7 6 )

3.- PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN

TÉRMINO COMÚN

EJERCICIOS

a) (x+2)(x+5) =

b) (x+9)(x–8) =

c) (x+1)(x+3) =

d) (x–9)(x+4) =

e) (2x+1)(2x+4) =

f) (5x+7)(5x–3) =

g) (6x+1)(6x–6) =

h) (4x–1)(4x–7) =

i) (x+7)(x+5) =

j) (2x2–3)(2x2+4) =

k) (3x2–4)(3x2–5) =

l) (x+4)(x+2) =

m) (x+7)(x–5) =

n) ( 3 x+2)( 3 x–3) =

o) (2xy3–8)(2xy3+6) =

p) (x–6)(x+4) =

q) (x3+4)(x3–10) =

4.- CUADRADO DE UN TRINOMIO

EJERCICIOS

a) (x+y+2)2 =

b) (x-y-3)2 =

c) (x2+x–2)2 =

d) (4x–y–1)2 =

e) (x+2y+5)2 =

f) (x3+2x+4)2 =

g) (1+2x+x)2 =

h) (x2+2x–1)2 =

i) (4+x–x2)2 =

j) (2x3–3x2–4)2 =

k) (x+y+2)2 =

l) (x6–x3–1)2 =

m) (4–x–x4)2 =

n) (2x2–3–x)2 =

o) (2x–x3+3)2 =

p) (3x+y+5)2 =

5.- SUMA DE CUBOS

EJERCICIOS a) (x+4)(x²-4x+16)=

b) (x+7)(x²-7x+49)=

c) (x4+2)(x

8+2x

4+4)=

d) (x²+8)(x4-8x

2+64)=

e) (2x6+9)(4x

12-18x

6+81)=

f) (0,3x+7)(0,09x²-4,2x+49)=

g) (x²+3)(x4-3x²+9)=

h) (x5+6)(x

10-6x

5+36)=

i) (5x3+1)(25x

6-5x

3+1)=

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +a.b

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a+b)(a2–ab+b2) = a3 + b3

6.- DIFERENCIA DE CUBOS

EJERCICIOS

a) (x²-8)(x

4+8x

2+64)

b) (x-4)(x²+4x+16)

c) (x-7)(x²+7x+49)

d) (x4-2)(x

8+2x

4+4)

e) (x4–2)((x

8+2x

4+4)

f) (0,5x–3)(0,25x2+1,5x+9)

g) (2x6

–9)(4x12

+18x6+81)

h) (x2–8)(x

4+

8x

2+64)

i) (2x6-9)(4x

12+18x

6+81)

j) (7x-3)(49x2+21x+9)

k) (0,5x-3)(0,25x2+1,5x+9)

l) (x–6)(x2+6x+36)

7.- IDENTIDADES DE LEGENDRE

EJERCICIOS

EJERCICIOS a) (x + 2)

2 – (x – 2)

2

b) (3x – 1)2 + (3x + 1)

2

c) (x + 7)2 – (x – 7)

2

d) (x + 8)2 + (x – 8)

2

e) (5x + 4)2 + (5x – 4)

2

f) (2x – 11)2 + (2x + 11)

2

g) (9x + 3)2 + (9x – 3)

9

h) (4x + 1)2 – (4x – 1)

2

i) (2x3 + 6)

2 – (2x

3 – 6)

2

j) (2 – x4)2 – (2 + x

4)2

k) (ax2

+ b2)2 – (ax

2 – b

2)2

8.- BINOMIO AL CUBO

a) (x+1)3 b) (x-1)3

c)

d) √

√

e) 31)( xx

f) 322 )( xx

g) 333 )93(


01.- Desarrollar: E = (x + 2)

2 - (x - 2)

2

a) 6x b) 7x c) 8x d) 5x e) N. A.

02.- Desarrollar: E = (x + 3)

2 - (x - 3)

2

a) 13x b) 12x c) 14x d) 15x e) N.A.

03.- Desarrollar: E = (2x+1)

2 - (2x-1)

2

a) 8x b) 7x c) 6x d) 9x e) N.A.

04.- Desarrollar: P = (2x+3)

2 - (2x-3)

2

a) 23x b) 24x c) 25x d) 27x e) N.A.

05.- Calcular: E = (9 x)(9 x) (x 9)(x 9)

a) 1 b) 0 c) 3 d) 5 e) 7

06.- Efectuar: R = (x+4)(x-4) - (x+3)(x-3) a) -7 b) +7 c) -6 d) +6 e) N.A.

07.- Efectuar:

2 2 2 2(a b) (a 2b) (a 3b) 14b

a) 5ª b) 2 a c) 7ª d) 3 a e) NA

08.- Desarrollar: E = (x+5)(x-5) - (x+4)(x-4)

a) +9 b) -9 c) -5 d) +5 e) N.A.

09.- Desarrollar: E = (x+3)2 + (x-3)

2 - 2x

2

a) 13 b) 18 c) 12 d) 11 e) 7

10.- Desarrollar: E = (x+5)2 + (x-5)

2 - 50

(a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

(a+b)2 – (a-b)2 = 4ab

(a ± b)3 = a

3 ± 3a

2b + 3ab

3 ± b

3

(a ± b)3 = a

3 ± b

3 ± 3ab(a ± b)

a) 3x2 b) 2x

2 c) 4x

2 d) 5x

2 e) N.A.

11.- Desarrollar:

E = (x+4)(x-4) - (4-x)(4+x) + 32 a) 3x

2 b) 5x

2 c) 6x

2 d) 2x

2 e) N.A.

12.- Efectuar: R = (x+y)(x-y) + (y-z)(y+z)

a) x2+z

2 b) x

2-z

2 c) z

2-x

2 d) y

2+z

2 e) N.A.

13.- Calcular:

E = 2 2 2 2(a b) (a 2b) 2a 6ab 5b

a) a2 b) b

2 c) 0 d) ab e) a

2+b

2

14.- Efectuar: E = (x+1)

3 - (x-1)

3 - 2

a) 6x2 b) 5x

2 c) 4x

2 d) 3x

2 e) N.A.

15.- Efectuar: E = 2 2[ (x 3y) (x 3y) ].3xy

a) 3xy b) x2+y c) x+y

2 d) 6xy e) NA

16.- Calcular: E = (x+2)3 + (x-2)

3 - 24x

a) 2x2 b) 2x

3 c) 2x d) 3 e) N.A.

17.- Efectuar: E = (x+2a)2 - (x-2a)

2

a) 4xa b) 8xa c) 6xa d) xa e) N.A.

18.- Efectuar: E = (x+1)

3 + (x+1)

2 - 4x

2 - 5x – 2

a) x2 b) x

3 c) x d) 2x e) x

4

19.- Efectuar: E = (x-1)

3 + (x+1)

3 - 2x

3

a) 4x b) 3x c) 6x d) 7x e) N.A. 20.- Calcular: E = (a+b)

2 - (a-b)

2

a) 4ab b) 3ab c) 2ab d) ab e) N.A

17.- Si se cumple:

m n 17 ; mn = 2

Calcular:

“m2 + n

2 + m – n”

a) 15 b) 17 c) 16 d) 18 e) 14

18.- Señalar cuántos enunciados son verdaderos: I. (x + 5)

2 = x

2 + 25

II. (x + 3) (x - 2) = x2 – 9

III. (x + 5) (x – 2) = x2 – 10

IV. (a – x)2 = (x - a)

2

V. 3 2 3 2 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19.- Señalar verdadero (v) o falso (f).

I. (x + y) (x – y) = x2 – y

2

II. (m + 3) (m + 2) = m2 + 6

III. (p – 2) (p – 3) = p2 – 5p + 6

a) VVV b) VFF c) VVF d) VFV e) FVV 20.- Si: m + n = 5 ; mn = 2

Hallar: “m2 + n

2”

a) 25 b) 27 c) 31 d) 21 e) 19 21.- El área del cuadrado de lado “(x+y)” es 8 veces el

área de un triángulo de base “x” y altura “y” , calcular el

valor de: 4 4

2 2 2 2 2 2

(x y) (x y)E

(2x y ) (2x y )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

22.- Si se cumple: a/b + b/a = 4

Hallar el valor de:

4 2 2

2 2

(a b) 4a bE

16a b

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) NA

23.- Calcular:

E = 2 4 8 16321 3 2 1 2 1 2 1 2 1

a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2

24.- Efectuar:

E = 2

a 2 a 8 a 5 10

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 25.- Calcular:

E = 2 22x x 1 x 1 x 1

a) 2 x b) 3x c) 3 x d) 5x e) N.A.

26.- Efectuar:

R = 2 23x x 1 x 1 5x 1 2x

a) 5x b) 3x c) 4x d) 2x e) N.A.

27.- Calcular:

E = 2 2x 2x 1 x 2 x 3x 4

a) -2x b) 2x c) 3x d) -3x e) N.A.

28.- Efectuar, sabiendo que: x > 0

P = 2x x 2 x x 1 x 3x

a) x b) x c) x2 d) 2x e) N.A.

15.- Calcular: E = m m 2 m m 2 4m

a) m b) 0 c) m2 d) 1 e) N.A.

PRODUCTOS NOTABLES II

IGUALDADES CONDICIONALES

Si: a + b + c = 0

Se cumple:

a2 + b

2 + c

2 -2(ab + ac + bc)

a3 + b

3 + c

3 3abc

Si quieres saber más

entonces aplica tu ingenio.

Si: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc

Donde: a, b, c R

Se demuestra que:

a = b = c

Caso Especial:

Si:

a2 + b2 + c2 + ….. n2 = 0

Será posible si:

a = b = c = ……… = n = 0

REPASO

CUBO DE UN BINOMIO

(a + b)3 a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

Forma Desarrollada

(a + b)3 a

3 + b

2b + 3ab

2 + b

3

Forma Abreviada

(a - b)3 a

3 - 3a

2b + 3ab

2 + b

3

Forma Desarrollada

(a - b)3 a

3 – b

3 – 3ab(a – b)

Forma Abreviada

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 – ab + b

2) = a

3 + b

3

(a - b) (a2 + ab + b

2) = a

3 – b

3

IDENTIDAD DE ARGAND

(x2 + xy + y

2) (x

2 – xy + y

2) x

4 + x

2y

2 + y

4

Caso Particular:

(x2 + x + 1) (x

2 – x + 1) x

4 + x

2 + 1

CUBO DE UN TRINOMIO

(a + b + c)3 a

3 + b

3 + c

3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)

(a + b + c)3 a

3 + b

3 + c

3 + 3(a + b + c)

(ab + bc + ac) – 3abc


1. Si: a + b = 5

ab = 2

Calcular: a3 + b3

a) 83 b) 64 c) 78 d) 81 e) 95

2. Si: 5x

1x

Calcular:

3223

x

1

x

1xxE

a) 133 b) 121 c) 89 d) 76 e) 98

3. Efectuar:

P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x2 + x + 1)

a) x3 b) 2 c) 2x3 d) 54 e) 27

4. Reducir:

(x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x2 + 3x + 9)(x - 3)

a) x3 b) 18 c) 2x3 d) 54 e) 27

5. Efectuar:

3)253549()57(R33333

Indique lo correcto:

a) R + 1 = 0 b) 2 R < 3 c) R N

d) R2 + 1 = 3 e) R – 1 = 7

6. Si: 33

1212x

Hallar: M = x3 + 3x + 8

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

7. Calcular el valor numérico de: A = (a - b)[(a + b)2 + 2ab + (a - b)2] + 2b3

Si: 3 33

12by4Q

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 12

8. Si: 0cba333

Entonces el valor de 3

3

cbaL

es:

a) (abc)2 b) 3

abc c) (abc)3

d) abc3 e) abc

9. Si: x = a – b

y = b - c

z = c - a

Calcular:

yzxzxy

xyz

zyx

zyxM

333

222

a) -6 b) 3/4 c) -2/3 d) 3/2 e) 1

10. Sabiendo que: a; b; c R (a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = 0

Calcular:

45

555

)cba(

cbaM

a) 1 b) 3 c) 1/3 d) 2 e) 1/2

11. Simplificar:

)zx)(zy)(yx(

)xz()zy()yx(E

333

a) -3 b) 3 c) 1 d) -1 e) 0

12. Si: x3 = 1 y además x 1

Calcular:

1x

xxE

6

48

a) 1 b) 2 c) ½ d) -1/2 e) -2

13. Siendo x; y R que verifican:

x2 + y2 + 10 = 6x + 2y

Calcular: xy

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

14. Sabiendo que: x3 + y3 = xy

Calcular:

3 4466 )xy2(yx2)yx(xyP

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Reducir:

F = (a + b - c)3 + (a – b + c)

3 + 6a(a + b - c)(a – b + c)

a) 8a3 b) 8b3 c) 8c3

d) 3abc e) 0

16. Si: x – y = 3

xy = 5

Hallar: E = x3 – y3

a) 18 b) -18 c) -72 d) 72 e) 27

17. Si: x + y = 2

x2 + y2 = 3 ; x > y

Hallar: E = x3 – y3

a) 5 b) 3 c) -5 d) -3 e) 2

27

18. Simplificar:

M = (a + b + c)3 – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b)3

a) a3 b) b3 c) c3 d) 0 e) 3abc

19. Calcular:

4)1525)(15(N333

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

20. Multiplicar:

P = (4x6 – 2x3 + 1)(2x3 + 1)

a) 8x3 + 1 b) 8x3 – 1 c) 8x9 + 1

d) 9x9 -1 e) N.A.

21. Si: x + y = -z Simplificar:

xyz

zyxK

333

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. Siendo: 110100xy33

322 101yx

Calcular el valor de:

S = (x - y)4 – (x + y)4

a) 44 b) 88 c) 50 d) -100 e) -88

23. Hallar el valor numérico de:

12

)ca()cb()ba(M

222

Si se sabe que:

3cbba

a) 0 b) 1/5 c) 3/2 d) 3/5 e) 4/3

24. Si: ab = 1. El valor de:

1b

1ab

1a

1baS

2

2

2

2

a, b R

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

25. Si se sabe que: x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz

Calcular el valor de:

9101010

10

zyx

)zyx(M

a) 4 b) 3 c) 1 d) 5 e) 2 26. Siendo: x + 4y + 9z = 0

Según ello reducir:

xz

)xz3(

yz

)z3y2(

xy

)y2x(N

222

a) 42 b) -36 c) abc

22 d) 31 e) 23abc

27. Si: 33

3232x Calcular:

x3xR 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28. Si: (a + b)2 + 1 = (a + 1) (b + 1)

Calcular:

23

23

bb

aaE

a) 1/2 b) 2 c) -1 d) 3 e) 1 29. Si: 2x-1 = 2 – x

Calcular:

N = x9 – (x4 + x2 + 1)(x6 + x3 + 1)

a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 3

30. Si: a + b + c = 1

a2 + b2 + c2 = 2

a3 + b3 + c3 = 3

Calcular: a4 + b4 + c4

a) 3/4 b) 5/2 c) 2/5 d) 17/4 e) 25/6

31. Calcular:

P = (a 4 + b4)(a + b) (a 2 + b2)(a - b) + 3 3

Para: a = 8

23

B = 8

23

a ) 1 b) 25 c) 2 d) 2 e) 0

32. Si se cumple: 22

2

a

b

b

a

Ca lcular: aba

abaP

2

2 2

a ) 3 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4 33. Si se cumple: x + x

-1 = 4

Ca lcular: P= 2(x3 + x-3) +(x2 + x-2)2 a ) 360 b) 300 c) 320 d) 270 e) 324

34. Sabiendo que: yxyx

2

41

2

1

Encontrar el va lor de:

10

3

2

3

3

2

2

3

yx

yx

yx

y

x

yxP

a ) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 35. Hal lar el va lor numérico de:

146 xxP

para que: x = 2001 a) 2004 b) 2005 c) 2008 d) 2006 e) 2007 36. Sabiendo que: (x + y)6 = 64x3y3 Ca lcular el va lor de:

xy

yxyxP

220012001 2

a ) 1 b) 4 c) 6 d) 9 e) xy

37. Simpl i fique:

xx

xxxxP

728

96963

2222

a ) 1 b) 3 c) 3x d) 2 e) 4

38. Si : 2zyx = yxz 4

Ca lcular: z yxP

6 3336

a ) 1296 b) 6 c) 6 d) 36 e) 3

6

ECUACIONES DE 1er. GRADO

ECUACION:

Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Ejemplos:

a) 12 + x = 20 b) 3x + 5y = 6 c) 4x + 3y + 2z = 12 d) x

3 + 2y

2 = 18

Las incógnitas, en general, se representan por las letras minúsculas: x; y ; z ; w; etc.

El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente de dicha incógnita.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Llamada también ecuación lineal

Forma General:

ax+ b = 0 ; a 0 Despejamos: x = - b

a

Dónde: a y b : parámetros x : incógnita

COMO RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO Para esto aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Suprimimos signos de colección o agrupación. 2. Efectuamos reducción de términos semejantes en

cada miembro.

3. Hacemos transposición de términos, escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la

ecuación. 4. Volvemos a reducir términos semejantes. Despejamos la incógnita.

Ejercicios en Clase

I.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) 7 = 3x – 2

b) 3 + x – (5-2x) – 1 = 3

c) 5 + 3(3x+1) = 17

d) 7(x+3) = 35

e) (x+5)(x-3) + 7 = (4+x)2 – 12

f) (x-1)2 – (x

2-1) = 2(1-x)

g) 5 + 4x2 + 3x = (2x+1)

2

h) (3x-2)2 = (4+3x)

2

i) (5+x)(3+x) = (5-x)(3-x) – 32

II.- Resolver las siguientes ecuaciones:

3(5x 2)a) x

17

3 2 3x xb) x 0,5

4 3 2

x 2c) 4 1

3

x x xd) x 5

2 4 2

5x 2 2e) x 0

4 7

x 2x 1f ) 2x 4

6 9

2(14 x)g) 1

5x


Resolver las siguientes ecuaciones: 01) 7x + 5 – 2x = 8 + 4x - 2

02) 9x – 10 - 5x + 12 = x + 6 – 3x + 10

03) 7 - 3(x+1) = x – 3(x-1) 04) 5 - (2x+1) = 9 - (2+3x)

05) 5x – 2(x – 6) = 2x + 2(x – 1)

06) 3x + 1 - (x + 3) = 3(x + 1) 07) 3x + 2 - (-1 – x) = - ( - x – 3) + 2x + 4

08) 3(5x + 1) - 2(3 + 6x) = 2(-1 + x) 09) x + 5(-3 + x) = - 3(-x + 5) +2(x + 2)

10) 4x – 3(-x – 1) + 4 = -2(x + 1)

Resolver las siguientes ecuaciones:

2

3 2 5x 2a) 5

x xx

x 2 x 5b)

x 2 x 2

2

2

2

1 2 5c)

4 x 4

21 1 2d)

6x 10 5

7 17 6 3e)

2y 10 5y 5

1 1f )

x 2 3

3x 17g) 1 0

3x 7

x 1 x 3h)

x 2 x 5

3x 2i) 0

5x 1 5x 1

1 2xj) 0

x x 1

6 3xk) 3

x 2 x 2

1 2 3l)

x 2 x 3 x 4

x 2 3 1m) 0

2x 6 3 x 2

x 4 x 16n)

x 4 4 x x 16

2x 1 8 2x 1o)

2x 1 1 4x

2x 1

x 3 2x 1 x 4 2xp)

2 3 6 3

x 2 x 1 x 4 x 3q)

2 3 3 2 4 5 5 4

01.- Resolver y dar "x

2"

7x + 23 = 6x + 25

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 0 02.- Resolver la ecuación y dar "3x"

2(x + 5) + 30 = 5(x + 7) a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 0

03.- Resolver y dar "x" 3(x-3) + 13 = 4x – 1

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 04.- Resolver la ecuación y dar “x”

5(2x+7) + 3 = 48 a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 4

05.- Resolver la ecuación: 2(7x + 4) = 8(2x + 3)

a) -6 b) -8 c) -7 d) -5 e) N.A. 06.- Resolver y dar “x”

x 1 7 1 x

62 10 5

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 07.- Hallar “2a”

7a 1 3(a 1) 2(a 1)

10 10 5

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 08.- Resolver la ecuación y dar “x

x”

7(2x-3) + 10 = 17 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

09.- Resolver: 2(3x-7) + 5(x+3) = 23 a) 3 b) 0 c) 4 d) 2 e) 1

10.- Resolver: 11(2x-7) + 2(5x-4) – 3(2x-5) = -18 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.- Resolver y dar "xx"

7(x-3) - 5(x+2) + 11(x+1) = 19 a) 28 b) 27 c) 29 d) 30 e) 31

12.- Resolver la ecuación:

9(x 1) 2(x 1) 10

2 3 6

a) 33 b) 31/33 c) 33/31 d) 31 e) 4/33

13.- Resolver la ecuación: 2x + 4 – 5 = 3(x-7) a) 18 b) 19 c) 20 d) 17 e) 6

14.- Resolver:

x 2x x

92 4

a) 14 b) 13 c) 12 d) 16 e) 6 15.- Resolver:

1 x 1 2x

1 x 163 6 2 9

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 7 16.- Hallar “x”

15x 7(x 1) 2(x 4) 15x

3021 3

a) 6 b) 7 c) 8 d) 3 e) N. A. 17.- Resolver:

x(x 3) (x 4)(x 7)

211 11

a) 25 b) 4 c) 25/4 d) 4/25 e) NA 18.- Resolver y dar “x”

2(13x 1)

4 31x

a) 3 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0

19.- Resolver:

2(7x 4)

2 15x 1

a) 23 b) 21 c) 22 d) 24 e) NA

20.- Resolver:

4a 5 11a 3 7a 8a 15 5x4

2 2 5 5 2

a) 2 b) a/5 c) (10-9a)/5 d) 9a/5 e) 5/9a

01.- Resolver la ecuación: x x

23 4

a) 1

24

b) {-24} c) {12} d) 1

24

e) {24}

02.- Resolver la ecuación: x x

14 5

a) 10

9

b) {20} c) 20

9

d) 9

20

e) 1

9

03.- Resolver la ecuación: 3(x + 1) + 2(x + 3) = 5(x + 1) + 2(x + 2)

a) {1} b) {3} c) {4} d) {0} e) {-1} 04.- Resolver la ecuación:

3(x + 1) + 2(x + 3) = 5(x + 1) + 2(x + 2)

a) {3} b) {1} c) 1

3

d) {-1} e) 1

3

05.- Resolver la ecuación: x 3x 1 5 5x

2 2 2 2 2

a) {2} b) {-2} c) {6} d) {3} e) {-6}

06.- Resolver:

5(x 3)

(x 5) 152

a) 7 b) 55/7 c) 7/55 d) 55 e) 6

07.- Resolver y la ecuación:

11x 7 2x 3 x 1

214 2 2 4

a) 84 b) 84/17 c) 17/84 d) 17 e) 3

08.- Resolver y dar “3a”

a a

20 153 2

a) 6 b) 18 c) 20 d) 22 e) 28


x 3 x 2 x 1 x 4

x 1 x 2 x 1 x 2

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9

10.- Resolver:

2(7x 9) 5(3x 5)

53 3

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 10


5(7x 5) 3(11x 9)

84 4

a) 12 b) 15 c) 13 d) 17 e) 20

12.- Resolver:

2(x 1) 7x 1 3(x 1)

5 10 10

a) 1/2 b) -1/2 c) -1/3 d) 1/3 e) 8

13.- Resolver: 4 2 5 2x

(x 2) (3x 1)3 9 3

a) 6/17 b) 17/6 c) 17 d) 6 e) NA

14.- Resolver: 5(x 1) 67

1 x2 2

a) 19 b) 20 c) 21 d) 13 e) NA

15.- Hallar la solución de:

2 2

2

x 2x 4 x 2x 42x

x 2x 9

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

16.- Resolver:

a a b b

1 1 1b x a x

a) a b) b c) ab d) a+b e) a-b 17.- Resolver:

x 2 3

1x 3 x 3

a) 2 b) 5 c) 6 d) -6 e) NA

18.- Resolver:

2

6 7 21

5 x 5 x 25 x

a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) NA

ECUACIONES DE 2do GRADO

Forma General:

2ax bx c 0

a,b y c : Coeficientes. (a,b,c R) ax

2 : Término Cuadrático

bx : Termino lineal

c : Termino Independiente

Resolución de la Ecuación de Segundo Grado

I. Por Factorización. Consiste en Factorizar el 1er

. Término de la ecuación, empleando aspa simple o complementando cuadrados enseguida se iguala a

cero cada uno de los factores obtenidos. Ejemplo:

2x

2 – 5x – 3 = 0

2x2 +1

1x -3

(2x+1)(x-3) = 0

II. Por Formula. Las raíces de la ecuación ax2+bx+c = 0 se obtiene mediante formula:

2b b 4ac

x2a

Las raíces x1 y x2 de la ecuación son:

2b b 4acx2

2a

Resolver: x

2+x+3 = 0

Solución:

a = 1 ; b = 1 ; c = 3

Remplazando en la fórmula:

Propiedad de las Raíces

1. Suma de Raíces. Se obtiene dividiendo el

coeficiente del termino lineal con el signo cambiando, entre el coeficiente del termino cuadrático.

b

x x1 2a

2. Producto de Raíces. Se determina dividiendo el término independiente entre el coeficiente del término cuadrático.

c

x .x1 2a

Naturaleza de las Raíces

= b2-4ac (discriminante)

Se presentan los siguientes casos:

1. >0 ; se obtiene 2 raíces reales y diferentes.

2. =0 ; se obtiene 2 raíces reales e iguales.

<0 ; se obtiene 2 raíces complejas conjugadas.

Observaciones:

0 ; Raíces Reales

Propiedades Adicionales

Raíces Simétricas Raíces Recíprocas x x 01 2 x .x 11 2

Formación de la Ecuación de Segundo Grado Existen 2 procedimientos para formar una ecuación:

1. Se forma un producto de 2

do. grado a partir de

las raíces de los binomios cuyo primer término

es la incógnita. Siendo los segundos las raíces con signos cambiados; finalmente se iguala a cero dicho producto.

2. Consiste en calcular la suma “S” y el producto

“P” de las raíces; luego se remplaza estos dos

valores en la siguiente fórmula:

2x Sx P 0

1x1

2

x 32

2b b 4acx1

2a


I.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 – x = 0

b) x2 – 16 = 0 c) x2 = 16 d) x2 - 5x = 0

e) 2x2 - 1 = x2 + 24 f) 3x2 + 8x = 5x2 – x

g) x2 + 2 = 5(x2 + 1) h) 3x2 + 5x = 7(x2 + x) i) 2x2 + 9 = 3(x2 + 3)

j) 2(x2 + 1) = 5(x2 – 2) k) 5(2x2 + 1) = 3(4x2 + 1)

l) 7(x2+x) = 2(3x2 + 4x) m) 6x(x+1) = 5(x2+x) n) 4x2 - 9x = 0

o) 2x2 – 50 = 0 p) 2x2 – 50x = 0

q) 3x2 – 24x = 0 r) 3x2 + 24 = 0 s) (x+2)(x-2) = 5

t) (3x-1)(3x+1) = x2 u) (5x+1)x = x+2

v) (2x+3)2 = (9+x) w) (3x-1)2 = (2x+1) x) (5x+2)2 = 4(5x+1)

y) (3x-2)2 = 5 – 12x z) 25x2 – 9 = 0

II.- Dadas las siguientes ecuaciones, calcular el discriminante de cada una de ellas y resolver por la fórmula general:

a) x2 + 5x + 2 = 0 b) x2 + 7x + 5 = 0

c) x2 + 4x - 1 = 0 d) x2 + 8x + 9 = 0 e) x2 + x – 2 = 0

f) x2 + 6x + 2 = 0 g) 2x2 + 9x + 1 = 0

h) 3x2 + 7x + 2 = 0 i) x2 + x + 5 = 0 j) x2 + 5x + 7 = 0

k) 3x2 + 2x -1 = 0 l) 2x2 + 3x + 1 = 0

m) 2x2 + 3x – 1 = 0 n) 3x2 + 7x + 5 = 0 o) 4x2 + 12x + 9 = 0

p) x2 – 8x + 16 = 0 q) 3x2 – 6x + 3 = 0

r) 4x2 - 20x + 25 = 0 s) x2 + 10x + 25 = 0 t) 5x2 – 20x + 20 = 0

III.- Resolver cada una de las siguientes ecuaciones empleando factorización. a) x2 + 3x + 2 = 0

b) 3x2 + x – 4 = 0 c) x2 - 8x – 9 = 0

d) 2x2 – 5x + 2 = 0 e) 5x2 + 4x – 1 = 0 f) 9x2 + 6x + 1 = 0

g) 25x2 – 10x + 1 = 0 h) 4x2 – 12x + 9 = 0

i) 30x2 + x – 1 = 0 j) 20x2 – x – 1 = 0 k) 15x2 + 8x + 1 = 0

l) 15x2 + 2x – 1 = 0 m) 5x2 – 12x + 4 = 0

n) 6x2 + 13x + 6 = 0 o) 2x2 + 17x + 21 = 0 p) 2x2 – 17x + 21 = 0

q) 3x2 + 19x + 6 = 0 r) 4x2 – 21x + 5 = 0

s) 5x2 + x - 6 = 0

IV.- Dadas las siguientes raíces, formar las respectivas ecuaciones

a) x1 = 1 ; x2 = 2 b) x1 = -1 ; x2 = -3 c) x1 = 3 ; x2 = -1

d) x1 = 5 ; x2 = 2 e) x1 = 1/2 ; x2 = 2

f) x1 = -2 ; x2 = -3 g) x1 = 10 ; x2 = 2 h) x1 = 8 ; x2 = 3

i) x1 = 2 ; x2 = 1/4 j) x1 = 3 ; x2 = 1/3

k) x1 = 2 ; x2 = 3

l) x1 = 2 +1 ; x2 = 2 -1

m) x1 = 3 ; x2 = 5

n) x1 = 0 ; x2 = 2 o) x1 = -4 ; x2 = -2

p) x1 = -9 ; x2 = -10 V.- Completar:

Problemas

01.- Resolver la siguiente ecuación: x

2 – 19x + 18 = 10 (1 – x)

Dar el mayor valor obtenido. a) -1 b) -8 c) 7 d) 8 e) N.A.

02.- Resolver: x

2 + x + 1 = 16 - x

Dar el menor valor obtenido. a) 3 b) -1 c) -5 d) -2 e) 0

03.- Resolver: x(x - 3) = 2(x + 25) Dar un valor.

a) -50 b) -10 c) 2 d) 10 e) 11

04.- Resolver: x(x + 1) = 2(3 - 2x) Dar el mayor valor.

a) 0 b) 4 c) -7 d) 1 e) -6

05.- Resolver: x + 2 = 3x

x 2

Dar el producto de valores que verifica.

a) 4 b) 2 c) 5 d) -4 e) 3

06.- Resolver:

25 = 2 224 x

a) 8 b) 7 c) 13 d) 5 e) 1

07.- Resolver: 60 = 2 261 x

Dar la suma de valores que verifican.

a) 11 b) 0 c) 7 d) 2 e) 3 08.- Resolver:

x + 5 = 5x 31

x 5

Dar la suma de valores que verifica. a) -5 b) 2 c) 6 d) 3 e) 5

09.- Resolver: x

2 - 2x - 35 = 0

Dar una solución.

a) -3 b) -4 c) -5 d) -6 e) -7

10.- Dar la suma de raíces de la siguiente ecuación: x

2 - 7x + 11 =0

a) 4 b) 7 . a) 6 d) -7 e) 2 11.- Dar el producto de raíces, de la siguiente ecuación:

x2 + 7x + 13 = 0

a) -7 b) 7 c) -13 d) 13 e) 14 12.- Hallar un valor de "x" en:

x2 + 8x +16 = n

2

a) n-1 b) n-2 c) n-3 d) n-4 e) N.A.

13.- Hallar "n", si una raíz de la ecuación: 9x

2 - (n+2)x + 2 = 0 ; es x = 2

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) N.A.

14.- Hallar "n", si la suma de raíces de la ecuación: (n – 1)x

2 – 3(n+5)x + 10 = 0 ; es 12

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 15.- Hallar "m", si el producto de raíces de:

(m – 2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ; es

20.

a) 16 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 16.- Hallar "m", si las raíces de la ecuación son iguales

(m > 0). x

2 - (m+7)x + 25 = 0

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.- Hallar "m

2 + m", si la ecuación tiene raíz doble.

mx2 - 4x + (m+1) = 0

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.A.

18.- Hallar el discriminante de la siguiente ecuación: x

2 - 2x + 3 = 0

a) -7 b) -8 c) -9 d) -10 e) -11

19.- Hallar el discriminante de la siguiente ecuación: 2x

2 – mx – 7 = 0

a) 15 b) m2+56 c) m

2–56 d) m

2+11 e) m

2-11

20.- Hallar “

1 2

1 1

x x ”

Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación:

x

2 - 2x + 3 = 0

a) -2/3 b) 2/3 c) 3/2 d) -3/2 e) N.A

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