Algebra

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Á L G E B R A

René JiménezColegio de Bachilleres

Revisión técnica:

Silvia Rascón CorralInstituto Tecnológico de Chihuahua

Instituto Tecnológico de Chihuahua plantel II Colegio de Bachilleres plantel 1

Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Felipe Hernández CarrascoSupervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos

PRIMERA EDICIÓN, 2008

D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° PisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

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El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-0708-6ISBN 13: 978-970-26-0708-3

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07

Jiménez, René

Álgebra

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

ISBN: 978-970-26-0708-3

Área: Matemáticas

Formato: 19 × 23.5 cm Páginas: 264

A la memoria del Ing. Jorge Leo q.e.p.d.,profesor del Colegio de Bachilleres plantel 1 y

Cecytech plantel 6

D e d i c a t o r i a

INTRODUCCIÓN VI

UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA 1Introducción al álgebra 2Problemas aritméticos 2Números reales 5Operaciones fundamentales con los números reales.

Propiedades 7Recta numérica 11Ley de la tricotomía e intervalos 12Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 15Valor absoluto y notación científica 16Razones y proporciones 19Porcentajes 26Lenguaje algebraico 31Sucesiones y series 37Notación sumatoria 46Sucesiones aritméticas 48Sucesiones geométricas 59

UNIDAD 2 POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 69Igualdades 70Propiedades de las igualdades 71Exponentes 75Leyes o reglas de los exponentes 79Radicales 82Exponentes racionales 87Operaciones con polinomios 91Suma y resta de polinomios 93

C o n t e n i d o

Contenido • v

Multiplicación de monomios y polinomios 99División de polinomios 104Productos notables 112Triángulo de Pascal y binomio de Newton 126Factorización 136Expresiones fraccionarias 162

UNIDAD 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 177Ecuaciones de primer grado 178Ecuaciones equivalentes 179Aplicaciones 188Ecuaciones con soluciones literales 199Relación de la ecuación de primer grado con la

ecuación lineal 201Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 208Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes 213Método de sustitución para resolver ecuaciones

simultáneas 215Método de eliminación para resolver ecuaciones

simultáneas 224Aplicaciones 229Sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas 230

UNIDAD 4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 235Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado 236Resolución de una ecuación cuadrática

por factorización 237Resolución de una ecuación cuadrática completando

el trinomio cuadrado perfecto 239Fórmula general para resolver una ecuación

cuadrática 242Graficación de la ecuación cuadrática 248Raíces reales de una ecuación cuadrática 251Aplicaciones 254

El contenido de este libro se diseñó de manera que cumpla con los requisitos de un curso de álgebra elemental, cuidando sobre todo que satisfaga las expectativas del programa de matemáticas I del plan de estudios del bachillerato general.

Los contenidos y actividades están organizados en orden creciente de complejidad,de tal forma que desde el punto de vista didáctico-pedagógico no sólo enriquezcan el conocimiento de los estudiantes, sino también contribuyan a su formación.

Este trabajo es el producto de varios años de trabajo y de experiencia en el campo do-cente, especialmente en el área de matemáticas. La obra consta de cuatro unidades, cadauna de las cuales comienza con un listado de temas para facilitar la consulta; enseguida sepresenta una introducción al tema.A lo largo del libro se recurre continuamente al uso dela inducción y la deducción en el marco de un enfoque constructivista, en donde el alum-no es el eje central del proceso educativo. Esto se logra a través de definiciones, situacionesdidácticas, procedimientos, notas, reglas y observaciones que se destacan en recuadros.

La primera unidad constituye una introducción al álgebra; en ella destacan los números reales, sus propiedades y operaciones básicas, el lenguaje algebraico, las su-cesiones y series.

En la unidad II se estudian situaciones en donde es necesario conocer las operacio-nes con polinomios, la clasificación de los mismos, los productos notables, la factoriza-ción y la simplificación de fracciones algebraicas.

En la unidad III se resuelven problemas en los que se utilizan las propiedades delas igualdades, se aprende a resolver ecuaciones de primer grado y ecuaciones simultá-neas con dos y tres incógnitas usando diferentes métodos de solución analíticos; tambiénse presenta una interpretación gráfica.

Por último, en la cuarta unidad se resuelven e interpretan, también de manera grá-fica y analítica, ecuaciones de segundo grado.

De acuerdo con la reforma curricular en la enseñanza de las matemáticas, el presen-te texto tiene la finalidad esencial del bachillerato de brindar al estudiante una forma-ción integral y una cultura general en la que desarrolle su sentido y amor por lasmatemáticas. Para ello, no sólo se busca que el estudiante llegue a dominar los conte-nidos, sino que, con la propuesta de las actividades, se pretende que el estudiante desa-rrolle valores, actitudes, métodos y habilidades que le permitan sistematizar y formalizarlo aprendido en este curso.

Finalmente, deseo expresar mi agradecimiento a todos los que dediquen un poco detiempo a la lectura y análisis de este material, especialmente a todos mis compañeros,maestros y alumnos, ya que fue escrito pensando en todos ellos.

René Jiménez

I n t r o d u c c i ó n

Introducción al álgebra 2

Problemas aritméticos 2

Números reales 5

Operaciones fundamentales con los números reales. Propiedades 7

Recta numérica 11

Ley de la tricotomía e intervalos 12

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 15

Valor absoluto y notación científica 16

Razones y proporciones 19

Porcentajes 26

Lenguaje algebraico 31

Sucesiones y series 37

Notación sumatoria 46

Sucesiones aritméticas 48

Sucesiones geométricas 59

U N I D A D

1I N T R O D U C C I Ó N A L Á L G E B R A

1

2 • UNIDAD 1 Introducción al álgebra

La palabra álgebra proviene de la expresión árabe ilm al jabr w’ al muqabala, que sig-nifica “trasponer y combinar términos semejantes de una ecuación”. El álgebra consi-dera las cantidades numéricas de un modo más general que la aritmética; es decir, estudialas reglas aritméticas de una forma más universal.

Propósito de la unidad

I N T R O D U C C I Ó N A L Á L G E B R A

En esta primera parte del curso construiremos un lenguaje algebrai-co generalizando modelos aritméticos, de razones, proporciones,series y sucesiones mediante la resolución de problemas cotidianosen un ambiente cooperativo, de respeto y de tolerancia.

Para que avances en el estudio del álgebra, resuelve de manera natural cada uno de lossiguientes ejercicios.

P R O B L E M A S A R I T M É T I C O S

1. Dos hombres realizan un trabajo en 5 días. Cobran por él $600 y uno de ellosgana $40 diarios. ¿Cuál es salario del otro trabajador?

Respuesta

2. Luis tenía $50 cuando cobró su sueldo semanal de $1,500. Pagó deudas por$1,650. ¿Cuánto dinero le quedó?

Respuesta

a b a b a b

r r a bm

n mn

2 2

1 3 7 2

− = + −+ − × ÷ = ⟨ ⟩ ±

=…

( )( )

/

, , , , nn −1

Problemas aritméticos • 3

3. El punto de una recta numérica correspondiente a se puede hallar utilizan-do el teorema de Pitágoras y dibujando un triángulo rectángulo cuyos ladosmiden 1, como se muestra en la figura. Halla los puntos que correspondan a y .53

2

4. El cociente intelectual (CI) de una persona se determina al multiplicar por 100 el cociente entre su edad mental y su edad cronológica. Encuentra la edadmental de una persona de 15 años cuyo CI es de 140.

5. Una persona camina 50 m hacia la derecha desde el punto A; enseguida retro-cede 30 m en la misma dirección y luego otros 42. ¿A qué distancia y direccióndel punto A se encuentra al final de su recorrido?

Respuesta

Respuesta

0 1

1

2 32


7. En la siguiente figura escribe en el espacio destinado para ello qué tipos de nú-meros contiene cada bloque.

�3, 3, 0, 0.25, 345.23, ,25

3

�23, 25, 7, 123

�5

41.25,

2

50.4,

177

553.2181818…� � � �

�5

41.25,

2

50.4,

177

553.2181818…� � ��

…, �4, �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, 4,…

2 3 5, , ,�

…, �4, �3, �2, �1 0 1, 2, 3, 4,…

6. Las aguas cubren el 70.8% (cerca de 361 3 106 km2) de la superficie de la Tie-rra. Calcula el área total del planeta.

Respuesta

Números reales • 5

Números reales. Son todos los números que conocemos en la recta numérica, como

25, 1, 23, , 0, , 0.33333…, 25.43, etcétera.

Números naturales. Son los números enteros positivos que utilizamos desde que apren-dimos a contar de forma intuitiva o natural.

1, 2, 3…

Números enteros. Son los números enteros negativos, el cero y los enteros positivos.

…24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4…

Números racionales. Un número real de la forma , donde a y b son enteros y

b ? 0 es un número racional. Las representaciones decimales de los números raciona-les pueden ser finitas o no finitas y repetitivas; por ejemplo, realizando la división de lossiguientes números tenemos que

5 0.8, 5 12, y 5 3.2181818…,

en donde los dígitos 1 y 8 en la representación se repiten en forma indefinida;a veces se le representa así: 3.218.

Números irracionales. Son números como < 1.4142 o p < 3.1416, que no son ra-cionales, es decir, no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. No existenúmero racional alguno tal que a2 5 2, en donde a2 5 a · a; pero sí existe un irracional

como , tal que ( )2 5 2.

Números primos. Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factorespositivos son 1 y p. Por ejemplo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… son números primos.

22

2

17755

17755

121

45

ab

34953

N Ú M E R O S R E A L E S


Teorema fundamental de la aritmética. Excepto por el orden de los factores, todo en-tero positivo diferente de 1 se puede expresar como el producto de números primos según una y sólo una forma. Por ejemplo:

12 5 2 · 2 · 3, 100 5 2 · 2 · 5 · 5

Lo que distingue al álgebra de la aritmética es que, en la primera, las cantidades se pue-den representar de manera más general, esto es, los números reales se representan ar-bitrariamente con letras minúsculas, como, a, b, c, x, y, …

Si a y b denotan el mismo número real, escribimos a 5 b, que se lee “a es igual a b’’, esto se llama igualdad. Cuando no son iguales se escribe a ? b y se lee “a no es igual a b”.

El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irra-cionales.Cuando se trabaja con cantidades con significados opuestos, como es el caso de los in-gresos y las deudas, se acostumbra utilizar el signo negativo (2) para indicar deudas,compromisos de pagos o recorridos a la izquierda de un punto específico y positivo (1)para los ingresos, ganancias o los recorridos a la derecha desde un punto llamado origen.

Usamos el cero para referirnos a la ausencia de cantidad, es decir, el punto dondelos ingresos y los compromisos de pago son iguales.

Operación Propiedad Generalidad Significado

Operaciones fundamentales con los números reales. Propiedades • 7

Adición y multiplicación

O P E R A C I O N E S F U N D A M E N T A L E S C O N L O SN Ú M E R O S R E A L E S . P R O P I E D A D E S

Adición

Conmutativa a 1 b 5 b 1 a El orden es intrascendente cuando dos números se suman.

Multiplicación

Conmutativa ab 5 ba Al multiplicar dos números, el ordencarece de importancia.

Asociativa a 1 (b 1 c) 5 (a 1 b) 1 c Los números se pueden agrupar indistintamente.

Identidad a 1 0 5 a Sumar cero a cualquier cantidad produce la misma cantidad.

Inversa o negativa a 1 (2a) 5 0 Sumar a una cifra su inverso aditivo da por resultado 0.

Asociativa a(bc) 5 (ab)c La agrupación de los términos en lamultiplicación carece de importancia.

Identidad a ? 1 5 a Multiplicar cualquier número por 1 da por resultado el mismo número.

Inversa o Recíproca

a 5 11a

Multiplicar un número diferente de 0por su recíproco multiplicativo dacomo resultado 1.

Distributiva a(b 1 c) 5 ab 1 ac(a 1 b)c 5 ac 1 ac

Multiplicar un número y la suma dedos cifras equivale a multiplicar cadacifra por el número y luego sumar los resultados.

PropiedadIgualdad

PropiedadIgualdad


E J E R C I C I O S

1. Escribe a la derecha de cada igualdad la propiedad correspondiente.

7 1 y 5 y 1 7

7 1 0 5 7

125 1 (2125) 5 0

x 1 (y 1 3) 5 (x 1 y) 1 3

x(7) 5 7x

1y 5 y

x(yz) 5 (xy)z

y(1yy) 5 1

(x 1 y)(w 1 z) 5 x(w 1 z) 1 y(w 1 z)

2. Escribe a la izquierda un ejemplo para cada propiedad indicada.

Adición conmutativa

Multiplicación conmutativa

Adición asociativa

Adición-identidad

Multiplicación-inversa

Adición-inversa

Multiplicación-asociativa

Multiplicación-distributiva

Multiplicación-identidad

EjemplosPropiedad

EjemplosSignificadoDefinición

Operaciones fundamentales con los números reales. Propiedades • 9

Sustracción y división

Las operaciones de sustracción (2) y división (4) se definen como sigue.

Propiedades de los cocientes

a 2 b 5 a 1 (2b)a se llama minuendob se llama sustraendoEl resultado de a 2 b es la resta.

Para restar un número de otro sesuma el negativo.

5 2 12 5 5 1 (212)

a 4 b 5 a ?

5 a ? b21; b ? 0a se llama numeradorb se llama denominadorLa división de a y b también suele escribirse ayb, o bien,y el resultado se llama cociente.

ab

1b

Para dividir un número entre otro diferente de cero se multiplica por el recíproco.Como 0 no tiene inverso multiplicativo, ayb no está definida para b 5 0, así que la división por cero no está definida.Es por esta razón por la que losnúmeros reales en la división notienen propiedad de cerradura.

7 4 5 5 7 ?

5 7 ? 521

15

ab

cd

ad bc= = si

adbd

ab

=

ab

ab

ab−

= − = −

ab

cb

a cb

+ = +

ab

cd

ad bcbd

+ = +

15

315

3 5= ⋅ = ⋅ porque 1 15

3 42 4

32

⋅⋅

=

57

57

57−

= − = −

39

59

3 59

89

+ = + =

25

34

2 4 5 35 4

8 1520

2320

+ = ⋅ + ⋅⋅

= + =

ab

cd

acbd

⋅ = 45

37

1235

⋅ =

ab

cd

ab

dc

adbc

÷ = ⋅ = 34

27

34

72

218

÷ = ⋅ =

Notación para recíprocos Ejemplos

EjemplosPropiedades de los números negativos

En la siguiente tabla definimos las posibles relaciones que se pueden dar entre dos nú-meros reales a y b. En ella consideramos los símbolos mayor que (.) y menor que (,).Estas relaciones se llaman desigualdades.


Propiedades de la igualdad

Si a 5 b y c es cualquier número real, entonces:

1. a 1 c 5 b 1 c El mismo número se puede sumar en ambos lados de una igualdad.

2. ac 5 bc El mismo número se puede multiplicar en ambos lados de una igualdad.

1. 2(2a) 5 a

2. (2a)b 5 2(ab) 5 a(2b)

3. (2a)(2b) 5 ab

4. (21)a 5 2a

1. 2(25) 5 5

2. (27)3 5 2(7 ? 3) 5 7(23)

3. (27)(23) 5 7 ? 3

4. (21)5 5 25

Si a ? 0, entonces su recíproco se escribe

5 a21

Es evidente que si a ? 0, entonces

a ? a21 5 a 5 11a

1a

5 321

5 532

123

23

1

−

13

Productos donde interviene el cero

1. a ? 0 5 0 para todo número real a2. Si ab 5 0, entonces a 5 0, o bien, b 5 0

Relaciones entre a y 2a

1. Si a es positivo, entonces 2a es negativo2. Si a es negativo, entonces 2a es positivo.

TerminologíaDefiniciónNotación

TerminologíaDefiniciónNotación

7 es mayor que 5

10 es menor que 13

7 . 5

3 , 5

25 , 22

Recta numérica • 11

E J E R C I C I O

Completa la siguiente tabla.

a . b

a , b

a 2 b es positivo

a 2 b es negativo

a es mayor que b

a es menor que b

porque 7 2 5 es positivo

porque 5 2 8 es negativo

Los números reales pueden representarse con puntos en una recta, como la que se mues-tra abajo, de manera que a cada número real le corresponda un punto (y sólo uno) dela recta y, viceversa, que a cada punto le corresponda un solo número real; esta relaciónse llama correspondencia biunívoca. La convención es la siguiente: se escoge un puntoarbitrario O como origen y se le asigna el número cero, enseguida los reales positivosenteros se marcan a la derecha del origen con longitudes iguales y los negativos de lamisma manera a la izquierda del cero. Los números racionales se pueden encontrar ha-

ciendo subdivisiones entre estas marcas y los irracionales, como , se encuentran porconstrucción geométrica.

2

R E C T A N U M É R I C A

24

215/4 2.5 p 16/3

23 22 21 0 1 2 3 4 5 6

1

Números reales negativos Números reales positivos

2


E J E R C I C I O S

1. Localiza y señala con un punto y una flecha los números 23.1, , 21/4, 24, 3.5 y 1.5 en la siguiente recta numérica.

5

2. Un círculo con un radio de 1 gira a lo largo de una recta numérica en dirección po-sitiva, como se ve en la figura. Con el punto P en el origen, encuentra su posición des-pués de una vuelta. Sugerencia: Recuerda cómo se obtiene el perímetro de unacircunferencia.

3. Para establecer geométricamente la propiedad distributiva a(b 1 c) 5 ab 1 ac losgriegos dibujaban figuras como la que aparece a continuación. Encuentra el áreadel rectángulo de dos formas diferentes para probar tal propiedad.

L E Y D E L A T R I C O T O M Í A E I N T E R V A L O S

24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6

P

0 1 2 3 4 5 6

P

b

a

c

Ley de la tricotomía

Esta ley nos permite comparar u ordenar dos números reales cualesquiera y dice quesi a y b son números reales, entonces puede ocurrir exactamente una de las expre-siones siguientes

a 5 b, a . b, a , b

GráficaDesigualdadNotaciónIntervalo

Ley de la tricotomía e intervalos • 13

Intervalos

Ya que conocemos los signos de desigualdad mayor que (.) y menor que (,), vamos aintroducir los símbolos mayor o igual que ($) y menor o igual que (#) para compren-der mejor el concepto de intervalo y la ordenación entre dos números reales a y b.

Llamaremos intervalo al conjunto de números reales que satisfacen una desigual-dad, éstos se indican encerrando entre paréntesis dos números reales a y b, es decir (a, b) y/o corchetes [a, b], donde el inferior, a, y el superior, b, nos señalan el conjuntoformado por todos los números de la recta numérica entre estos valores. También puede darse una combinación de paréntesis y corchetes.

E J E M P L O S

Leyes de los signos

Los siguientes resultados se pueden demostrar a partir de las propiedades de pro-ductos y cocientes.

1. Si a y b tienen el mismo signo, entonces el producto ab y el cociente son positivos.

2. Si a y b tienen signos opuestos, entonces el producto ab y el cociente son negativos.

ab

ab

3 , x , 7 ( )3 7

Números reales entre 3 y 7

(3, 7)

24 # x # 1 [ ]24 1

Números reales mayoreso iguales que 24 ymenores o iguales a 1

[24, 1]

24 # x , 1 [ )24 1

Números reales mayoreso iguales que 24 ymenores que 1

[24, 1)

Intervalo Notación Gráfica

Intervalo Notación Desigualdad Gráfica


En la tabla se muestran la representación y los usos de los diferentes signos de desigualdad.

a , x , b ( )a b

Abierto (a, b)

a # x # b [ ]a b

Cerrado [a, b]

a # x , b [ )a b

Semiabierto por laderecha

[a, b)

a , x # b ( ]a b

Semiabierto por laizquierda

(a, b]

E J E R C I C I O S

Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos e indica la notación.

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 211. 2 # x # 4

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 212. 2 # y # 5

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 213. x , 21

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 214. x . 7/2

0 1 2 3 4 5 626 25 24 23 22 215. 23 # x # 3

Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm) • 15

Resuelve los siguientes problemas.

1. Una señora tiene un retazo de tela de 36 m y otro de 48 m que quiere dividir en retazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada uno?

2. Un almacenista quiere empacar tres pedidos de frijol de 161, 253 y 207 kg,respectivamente, en cajas que contengan costales del mismo peso y que éste sea el mayor posible. ¿Cuál será el peso de cada costal y cuántos costales deberá haber en cada caja?

Solución: 9 costales de 23 kg.

M Á X I M O C O M Ú N D I V I S O R ( M C D ) Y M Í N I M O C O M Ú N M Ú L T I P L O ( M C M )

Una forma práctica de encontrar la solución a las situaciones anteriores es descompo-ner primero los números compuestos de cada problema en sus factores primos.

Los factores primos de un número se encuentran al dividir el número compuesto en-tre el menor de sus factores primos y así sucesivamente hasta llegar a la unidad. Porejemplo, descompongamos 36 y 48 en sus factores primos.

36 218 29 33 31

48 224 212 26 23 31

Los factores primos de 36 son2 ? 2 ? 3 ? 3 5 22 ? 32 5 36

Los factores primos de 48 son 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 5 24 ? 3 5 48


Mínimo común múltiplo. Es el menor de los múltiplos enteros comunes a un grupo denúmeros compuestos, es decir, es el número menor que puede ser dividido exactamen-te por todos esos números. Por ejemplo, el mcm de 36 y 48 se obtiene multiplicando to-dos los factores primos de ambos.

36 48 218 24 29 12 29 6 29 3 33 1 31 1 El mcd de 36 y 48 es 22 ? 3 5 12 y ésta es la solución del primer

problema.

Máximo común divisor. Es el número mayor de los divisores enteros comunes a esos nú-meros. Por ejemplo, el de 36 y 48 se obtiene de la siguiente manera.

Se descomponen los números simultáneamente en sus factores primos y enseguidase buscan los factores que tengan en común los números descompuestos. El productode éstos es el mcd.

36 48 218 24 29 12 29 6 29 3 33 1 31 1

El mcm de 36 y 48 es 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 5 24 ? 32 5 144

V A L O R A B S O L U T O Y N O T A C I Ó N C I E N T Í F I C A

Valor absoluto

El valor absoluto de un número a se indica con el símbolo uau y denota el númerode unidades entre el origen y la magnitud de a, sin tomar en cuenta la dirección, yse define como sigue:

si a $ 0, entonces uau 5 a

si a , 0, entonces uau 5 2a

Valor absoluto y notación científica • 17

Notación científica

a 5 c 3 10n, donde 1 # c , 10 y n es un entero.

E J E M P L O S

1. 613 5 6.13 ? 102

2. 25 000 000 5 2.5 3 107

3. 0.000 000 000 623 5 6.23 3 10210

4. 5.71 3 102 5 571

5. 3.15 3 105 5 315 000

6. 2.27 3 1028 5 0.000 000 022 7

doce lugares6447448

veintiocho lugares6444444447444444448

E J E M P L O S

1. u5u 5 5, porque 5 . 0

2. u25u 5 2(25) 5 5, porque 25 , 0

3. u 2 5u 5 5 2 , porque 5 2 . 0

4. u 2 5u 5 2( 2 5), porque 2 5 , 0

En general, se puede decir que uau 5 u2au para todo número real a.

Notación científica

Con frecuencia, en ciencias es necesario tratar con cantidades muy grandes o muy pe-queñas y comparar magnitudes relativas de números muy grandes y muy pequeños.Para salvar esta situación se utiliza la notación científica, que consiste en usar el sím-bolo 3 para denotar multiplicación.

La distancia que recorre un rayo de luz en un año es de 5 900 000 000 000 millas.Este número se puede escribir en notación científica como 5.9 3 1012, donde el expo-nente 12 indica que el punto decimal debe recorrerse 12 lugares a la derecha.

5 900 000 000 000 5 5.9 3 1012

La masa de un electrón es 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 924 gr. Esta cantidadse puede representar por el número 9.24 3 10228, donde el número 228 indica que elpunto decimal debe recorrerse 28 lugares a la izquierda.

0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 924 5 9.24 3 10228

555

555

Sin notación científica Con notación científica

Con notación científica Sin notación científica


E J E R C I C I O S

1. Completa la columna que está en blanco en cada una de las siguientes tablas.

2. Calcula las siguientes operaciones y expresa el resultado con notación científica.

53 2 10

1 2 10 1 52 10

3

2 3.

. .×

× + ×


1.23 3 1024 1 54 5 103. ×

3.13578 3 106

3.45 3 104

2.324 3 103

3.45 3 1024

4.3 3 10210

57241

3 200 000 000

0.000 000 12

0.023

1 245 000 000 000 000

Razón geométricaRazón aritmética

Razones y proporciones • 19

Las pantallas de las calculadoras tienen diferentes formas de presentar la notación ex-ponencial, ya que suprimen el 10. Aquí te presentamos algunas.

Por ejemplo, el número 3 045 000 000 000 5 3.045 3 1012 puede aparecer, según lacalculadora, como:

3.045 12 3.045 E 12 3.045 12


(5.2 3 102) 3 (9.85 3 103) 5

Razones

Una cantidad a es igual a 5 y otra b es igual a 7. Si comparas estas doscantidades, ¿qué podrías decir?

La palabra racional se toma del concepto matemático de razón, que significa comparardos cantidades o dos números. Esta comparación se puede realizar de dos maneras, unapor diferencia y otra por división.

De manera que para la pregunta anterior puede responderse diciendo que a es

menor en dos unidades que b, o bien, si 5 < 0.7143 < 71.43%, decimos que a

es aproximadamente el 71.43% del valor de b. Esto se resume en el cuadro siguiente:

57

ab

R A Z O N E S Y P R O P O R C I O N E S

a 2 b

Ésta se da cuando la comparación se realiza por medio de una diferencia.

5 a 4 b 5 a : b

Cuando la comparación es por medio de una división.

ab

a bab

a b a b

−

= ÷ = :


En una razón, sus términos reciben el nombre de antecedente “a”, el primero y consecuente, “b”, el segundo.

En la vida cotidiana las razones como modelos matemáticos son de uso muy fre-cuente e importante. Veámoslo con los siguientes ejemplos.

E J E M P L O S

1. ¿Qué parte de 50 es 23.5?

S o l u c i ó n

Dividiendo 23.5 entre 50

5 0.47 5 47%

2. ¿Entre qué número debemos dividir 30 para que nos dé 60?

S o l u c i ó n

Llamemos x al número que deseamos conocer, de manera que

5 60

Luego, si consideramos los recíprocos

5 , por lo tanto, x 5 5 5 0.5

3. ¿En qué precio debe venderse un artículo que cuesta de su valor original de 140 pesos?

S o l u c i ó n

Esto significa que debemos multiplicar por 140,

(140) 5 3 5 5 100 pesos

4. ¿Cuál es la razón de $0.60 a $2?

S o l u c i ó n

$2 es igual que 200 centavos, por lo tanto, la razón es

53

1060200

( )( )( )( )5 140

7 1140

157

57

57

57

12

3060

160

x30

30x

23 550

.


E J E R C I C I O S

2. ¿Cuánto pierde de su valor un automóvil que se vende a de su valor original,que fue de $100,000?

45

3. Un vendedor tiene que recorrer el primer día las partes de 105 km y el segundo

día de lo que le resta. ¿Cuánto le falta por recorrer?23

47

4. ¿Cuál es el valor de cada ángulo interior de un triángulo cuya razón es de 5:4:3?

1. ¿Qué parte de 69 es ?23


5. Tres socios se van a repartir $900,000; el primero y el segundo recibirán ydel total, respectivamente. ¿Cuánto recibirá el tercero?

13

59

8. Las ventas de un combustible A respecto a un combustible B están en la ra-

zón . Si mensualmente se venden 9,000 litros, ¿cuántos se venden de A y

cuántos de B?

53

6. Luego de cortar y de una tabla de madera, la longitud de ésta ha dis-

minuido en 78 centímetros. ¿Cuál era su longitud original?

27

311

7. En una escuela preparatoria el número de alumnos respecto del número de

alumnas es de . Si el total de estudiantes es de 2,000, ¿cuántos estudiantes

mujeres y hombres hay?

34


9. El largo y el ancho de un rectángulo están en la razón 5:4. Si su perímetro es de100 cm, determina las longitudes del largo y del ancho.

10. Un estudiante contestó correctamente 25 de 30 preguntas en un examen. ¿Cuáles la razón de respuestas incorrectas al número de respuestas correctas?

Proporciones

A la igualdad de dos razones en matemáticas se le llama proporción; por ejemplo,

5 o, escrito de otra forma, 3:4 5 12:16, y se lee “3 es a 4 como 12 es a 16’’.

En general, si tenemos la proporción 5 , que puede escribirse también

a : b 5 c : d, los términos a y d se llaman extremos, mientras que b y c son los medios.

a : b 5 c : d

Una propiedad de las proporciones dice que el producto de sus extremos es igual alproducto de sus medios, es decir:

ad 5 bc

E J E M P L O S

1. Encuentra el valor de x en la proporción 516x

43

cd

ab

1216

34

extremos64748

medios

678


S o l u c i ó n

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que

4x 5 (16)(3); por lo tanto,

x 5 5 12

2. Encuentra el valor de x en la proporción 5

S o l u c i ó n

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que

(4)(14) 5 7x; por lo tanto,

x 5 5 8

E J E R C I C I O S

( )( )4 147

x14

47

( )( )16 34

1. Resuelve la proporción

558x

714

2. Resuelve la proporción

558

100x

14


3. Un automóvil recorre 100 km con 8 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesitapara recorrer 270 km, que es la distancia de la ciudad de Chihuahua a CiudadJuárez?

6. Si 20 libras de manzanas cuestan 1.80 dólares, ¿cuánto cuestan 28 libras de manzanas?

4. Un reloj se atrasa 3 minutos por semana, ¿cuánto se atrasará en un año?

5. Una superficie rectangular tiene 2.5 m de ancho por 5 m de largo. ¿Cuánto debevariar el largo para que el ancho sea de 2 m sin que la superficie cambie?


Una de las comparaciones de cantidades más usada en la vida cotidiana es la de los por-centajes. La razón de un número respecto al cien se llama porcentaje, es decir que siem-pre dividimos por cien. El porcentaje se representa mediante el símbolo %. Ejemplos:

a) 5 0.40 5 40% se lee cuarenta por ciento.

b) 5 0.70 5 70% se lee setenta por ciento.

c) 5 1 5 100% se dice cien por ciento.

d) 5 1.20 5 120% significa ciento veinte por ciento.

A veces es conveniente expresar los porcentajes como un modelo de proporciones.

E J E M P L O S

1. Determina el 20% de 32.

S o l u c i ó n

Planteamos la situación así:

5 entonces x 5 5 5 6.4

Entonces el 20% de 32 es 6.4.

640100

( )( )32 20100

x20

32100

120100

100100

70100

40100

7. Encuentra el valor de x en la figura.

24

4 x

P O R C E N T A J E S

Porcentajes • 27

2. ¿De qué número es 45 el 5%?

S o l u c i ó n

La proporción será entonces

5

x 5 5 5 900

El 5% de 900 es 45.

3. Determina qué porcentaje de 500 es 75.

S o l u c i ó n

Si x es el porcentaje buscado, entonces

5

x 5 5 5 15%

75 representa el 15% de 500.

4. Si 168 es el 120% de una cantidad, ¿de que número estamos hablando?

S o l u c i ó n

Planteamos la situación como

5

x 5 5 5 140

140 es la cantidad buscada.

5. ¿En cuánto se venderá un artículo que normalmente cuesta $160 y se ofrece en ofer-ta con un 25% de descuento?

S o l u c i ó n

Si x es el precio de la oferta, entonces es el 75% de $160. Es decir,

5

x 5 5 5 120 dólares12000100

( )( )160 75100

x75

160100

16800120

( )( )168 100120

168120

x100

7500500

( )( )75 100500

75x

500100

45005

( )( )45 1005

455

x100


E J E R C I C I O S

1. ¿Qué porcentaje de 235 es 47?

4. ¿352 es el 25% menos de qué número?

2. Escribe 12/5 como porcentaje.

3. ¿378 es el 70% de qué número?

Porcentajes • 29

5. Escribe 25.5% como decimal.

8. Escribe el 70% de 25.

6. ¿Qué porcentaje es 135 de 450?

7. ¿Qué porcentaje de 235 es 470?


9. Una persona gana $12,000 mensuales. Si logra un aumento del 4.5%, ¿a cuántoascenderá su salario?

12. El agua tiene una propiedad anormal, cuando se congela aumenta de volumenen un 9%. Un cubo de hielo contiene 16 cm3, ¿cuál será el volumen de aguacuando se derrita?

10. Un jugador de beisbol bateó 320 veces de 500 que estuvo en su turno al bat.¿Qué porcentaje de bateo logró?

11. Un automóvil nuevo cuesta 13,000 dólares. Si se devalúa 11% anualmente,¿cuánto vale después de 3 años?

Extraer raícesElevar a potenciasDividir

MultiplicarRestarSumar

Lenguaje algebraico • 31

13. Un estudiante de bachillerato contestó correctamente 42 preguntas en un exa-men de 50. ¿Qué porcentaje de preguntas no contestó o lo hizo incorrectamente?

14. Un terreno tiene un valor inicial de $300,000 y por la plusvalía de su ubicaciónsu precio se incrementa en un 7% anual. ¿Cuánto vale al término del segundoaño de su venta?

Antes de presentar el lenguaje algebraico, es necesario que revisemos cada uno de lossiguientes conceptos.

Signos del álgebra. En el álgebra existen tres tipos de signos: signos de operación, sig-nos de relación y signos de agrupación.

Signos de operación. Son los signos utilizados en las operaciones de suma, resta, multi-plicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

L E N G U A J E A L G E B R A I C O

a 1 b

se lee a más b

a 2 b

se lee a menos b

a 3 b 5 a ? b 5 (a)(b)

se lee a por b

5 a 4 b

se lee a dividido entre b

ab

am

m se llama exponente y se lee a elevado a la m

el signo se llama radical y se lee la raíz enésima de a

an

an


Signos de relación. Estos signos indican la relación que hay entre dos cantidades.

5 se lee igual a. Así, por ejemplo, a 5 b significa que a y b son iguales.

. se lee mayor que. Si a es mayor que b se escribe a . b.

, se lee menor que. Si a es menor que b se escribe a , b.

Signos de agrupación. Son símbolos que nos ayudan a indicar de una manera más claray eficiente la combinación entre las operaciones algebraicas.

( ) Paréntesis ordinario (a 1 b)c. Indica que el resultado de sumar a y b debe multi-plicarse por c.

[ ] Paréntesis angular o corchete [a 2 b]c. Indica que el resultado de la diferenciaentre a y b debe multiplicarse por c.

{ } Llaves.

u u Barras.

Notación algebraica

Aunque es probable que ya estemos familiarizados con la notación algebraica, vamos aseñalar de nuevo que para representar las cantidades en álgebra se utilizan números yletras, a diferencia de la aritmética, que sólo utiliza números.

Los números se utilizan para representar cantidades conocidas y determinadas.Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades.Generalmente las primeras letras del alfabeto, (a, b, c, d…) se usan para represen-

tar cantidades conocidas y las últimas letras como u, v, x, y, z, se utilizan para repre-sentar cantidades desconocidas.

Expresión algebraica

Es la consecuencia de la generalización que hace el álgebra al utilizar letras y números,al tiempo que representa las cantidades y las operaciones entre éstas; también suelen lla-marse fórmulas algebraicas.

E J E M P L O S

2x2, b 3 h, l 3, (a 1 b)2, , (x 1 y)(x 2 y), , etcétera.

• 2x2 representa una regla que eleva al cuadrado una cantidad y la multiplica por 2.• b 3 h es el producto de dos cantidades.• l 3 es el cubo de una cantidad.• (a 1 b)2 representa la suma de dos cantidades elevada al cuadrado.• (x 1 y)(x 2 y) representa el producto de la suma por la resta de dos cantidades.

• significa restar cuatro veces una cantidad a 2 y luego dividir todo entre la

suma de la cantidad más cuatro.

2 44

−+

xx

2 44

−+

xx

5x

GradoParte literalCoeficienteSignoTérmino


Con frecuencia las expresiones algebraicas nos sirven para representar áreas ovolúmenes, procesos económicos, comportamientos de la naturaleza, etcétera, como yaestudiaremos más adelante.

Término

Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios no separados porel signo 1 o por el signo 2. Por ejemplo,

x, 2b, 3xy, son términos.

Elementos de un término. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coefi-ciente, la parte literal y el grado respecto de una literal.

• Signo. Precede y define el sentido del término y puede ser positivo o negativo.• Coeficiente. Es un factor más del término que generalmente va primero en la ex-

presión y con mucha frecuencia es un número.• Parte literal. Es la parte formada por las letras que hay en el término.• Grado respecto a una letra. Es el grado en relación con una letra elegida de antemano.

E J E M P L O S

52

ab

x

x

Área 5 x 2

l

Volumen 5 l 3

l

l

a

(a 1 b)2

b

b

a

ab b2

a2 ab

Intereses devengadospor un capital.

C 5 P(1 1 i )n

a positivo 1 a 1

25ax negativo 5 ax Uno en relación a x y también a la a

9a5b positivo 9 a5b Cinco en relación a a

232

xy

negativo 32

xy

Uno respecto a x

ax357

positivo 57

ax3 Tres respecto a x

10 irracionales10 racionales10 fraccionarios10 enteros

GradoParte literalCoeficienteSignoTérmino


Clases de términos

• Término entero. Es el que no tiene denominador literal como 5x, .

• Término fraccionario. Es el que tiene un denominador literal como .

• Término racional. Son términos que no tienen radicales como 5x, .

• Término irracional. Son términos que tienen radicales, como , .

E J E R C I C I O S

1. Escribe el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado respecto a la letra que hayaselegido.

53 2

ab

xy

35

3 5a b

3xy

35

3 5a b

2. Escribe 10 términos enteros, 10 fraccionarios, 10 racionales y 10 irracionales.

7a2

24a3x

24a2b3

23

2

4x

x357

Enunciado verbalRepresentación simbólica

Representación simbólicaEnunciado verbal


Con todo lo antes dicho ya debemos estar en condiciones de enunciar expresiones al-gebraicas de manera verbal o con una representación simbólica; esto es el lenguaje algebraico.

E J E R C I C I O S

Completa los espacios en blanco de las tablas mostradas a continuación

La suma de tres cantidades diferentes.

El triple de un número.

Cuatro números consecutivos.

El volumen de un cubo.

Una persona tiene $x, recibe $500, pero paga $y.¿Cuánto le queda?

La persona que compra x libros a $120 y y lápices a $4.20, ¿cuánto se gasta?

El cociente de dos números.

xy

x3 1 y3

2(a 1 b)

x214

a 2 b

2x

2n

Enunciado verbalRepresentación simbólica

Enunciado verbal Representación simbólica


S o l u c i ó n

Los ejercicios anteriores debieron haberte quedado de la siguiente manera.

La suma de tres cantidades diferentes. a 1 b 1 c, x 1 y 1 z, etc.

El triple de un número. 3a, 3x, etc.

Cuatro números consecutivos. n, n 1 1, n 1 2, n 1 3

El volumen de un cubo. V 5 l 3

Una persona tiene $x, recibe $500, pero paga $y.¿Cuánto le queda? (x 1 500) 2 y

La persona que compra x libros a $120 y y lápices a $4.20, ¿cuánto se gasta? 120x 1 4.20y

El cociente de dos números. etc.ab

mn

xy

, , ,

xy La raíz cuadrada del producto de dos números.

x3 1 y3 La suma de los cubos de dos números.

2(a 1 b) El doble de la suma de dos números.

x214

La cuarta parte del cuadrado de un número.

a 2 b La diferencia de dos números.

2x El doble de un número.

2nUn número par, siendo n un entero o el doble deun número.

Sucesiones y series • 37

En matemáticas la palabra sucesión tiene prácticamente el mismo significado que en ellenguaje cotidiano.

Cuando disponemos de una lista de números escritos en un orden específico lo queestamos obteniendo es una sucesión o progresión numérica.

De tal suerte que si llamamos a1 al primer término, a2 al segundo término, a3 al tercer término y en general an al n-ésimo término de la lista, entonces la sucesión la podemos escribir de la siguiente manera

a1, a2, a3, …, an.

Y como a cada término an le corresponde un número natural n, una sucesión o progre-sión se define como una regla de dependencia entre los términos de la sucesión y losnúmeros naturales.

S U C E S I O N E S Y S E R I E S

Sucesión. Es una lista de términos dispuestos en un orden específico de forma quequedan determinados por una regla de dependencia definida por el conjunto de losnúmeros naturales.

F F Fn n n= +− −1 2

a an n= −58 1


Un ejemplo sencillo de una sucesión son los números impares:

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

los puntos significan que la sucesión es indefinida y se llama precisamente sucesión in-finita.

El ejemplo nos muestra que efectivamente se trata de los números impares, peropara mayor exactitud es conveniente especificar un procedimiento para calcular todosy cada uno de los términos de la sucesión. En este caso,

an 5 2n 2 1

porque cualquier número natural n multiplicado por 2 al que se resta 1 nos produce unnúmero impar. La sucesión se escribe como sigue:

Observa cómo la fórmula an 5 2n 2 1 nos permite obtener todos los términos de lasucesión.

Por ejemplo, los primeros cuatro términos de la sucesión se obtienen así:

Si n 5 1, entonces a1 5 2(1) 2 1 5 1

Si n 5 2, entonces a2 5 2(2) 2 1 5 3

Si n 5 3, entonces a3 5 2(3) 2 1 5 5

Si n 5 4, entonces a4 5 2(4) 2 1 5 7

Para calcular el centésimo término de esta sucesión se sustituye n por 100 en la ex-presión an 5 2n 2 1

a100 5 2(100) 2 1 5 199

1,

a1

3,

a2

5,

a3

7,

a4

…, 2n 2 1,

an

…

Otra forma de escribir las sucesiones escon la notación funcional:

a(n) 5 2n 2 1

De manera que

a(1) 5 2(1) 2 1 5 1, a(2) 5 2(2) 2 1 5 3,

etcétera.

a100a4a3a2a1n-ésimo término


Cálculo de los términos de una sucesión

E J E M P L O S

Calcula los 4 primeros términos y el centésimo término de cada una de las sucesionessiguientes.

1. an 5 2n2. an 5 n2 2 1

3. an 5

4. an 5 (21)n

S o l u c i ó n

nn+1

En el ejemplo 4 observa cómo se alternan los signos producto de las potencias pares e impares.

5. Calcula y grafica los primeros seis términos de la sucesión an 5

S o l u c i ó n

Como los términos de una sucesión dependen de los números naturales, su gráfica sepuede trazar a partir de un plano cartesiano.

an 5 1, , , , , , …, , …

Observa que los puntos de la sucesión no están conectados.

1n

16

15

14

13

12

1n

1. an 5 2n 2 4 6 8

2. an 5 n2 2 1 0 3 8 15

3. an 5n

n+1 2 3

243

54

4. an 5 (21)n 21 1 21 1

200

9999

101100

1

an

1

1 2 3 4 5 6 n

n-ésimo término a1 a2 a3 a4 a1000


E J E R C I C I O S

Calcula los primeros 4 términos y el milésimo término de cada sucesión.

1. an 5 n 1 1

4. an 5 1 1 (21)n

5. an 5 2n 1 3

6. an 5 n2 1 1

2. an 51

1n +

3. an 5( )−1

2

n

n

7. an 512n

8. an 5 (21)n11 nn +1

Ahora calcula y grafica los primeros seis términos de la sucesión an 5( )− +1 1n

n

an

1

21

1 2 3 4 5 6 n


Cálculo de los términos de una sucesión recursiva

Una sucesión recursiva ocurre cuando tenemos definido un primer término de ésta yqueremos conocer el siguiente término de la sucesión como consecuencia del términoanterior.

E J E M P L O S

1. Calculemos los 5 primeros términos de la sucesión recursiva

an 5 an21 1 2

y a1 5 1.

S o l u c i ó n

Observa que calcularemos el segundo término a partir del primero, el tercero a partirdel segundo, el cuarto a partir del tercero, y así sucesivamente.

Como a1 5 1 podemos calcular los demás términos a partir de éste como sigue:

a2 5 a1 1 2 5 1 1 2 5 3

a3 5 a2 1 2 5 3 1 2 5 5

a4 5 a3 1 2 5 5 1 2 5 7

a5 5 a4 1 2 5 7 1 2 5 9

a6 5 a5 1 2 5 9 1 2 5 11

Los primeros cinco términos de la sucesión son 1, 3, 5, 7, 9, … Observa que si quisiéra-mos calcular el vigésimo término tendríamos que conocer el décimonoveno.

2. Sucesión de Fibonacci. Esta sucesión toma su nombre de su descubridor, un mate-mático italiano del siglo XIII, Fibonacci (1175-1250), que la utilizó para resolver unproblema acerca de la cría de conejos. Es importante mencionar que este compor-tamiento también se presenta en muchas otras aplicaciones de la naturaleza.

La sucesión en mención se comporta recursivamente de la siguiente manera:

Fn 5 Fn21 1 Fn22

siendo F1 5 1 y F2 5 1, de forma que

F3 5 F2 1 F1 5 1 1 1 5 2

F4 5 F3 1 F2 5 2 1 1 5 3

F5 5 F4 1 F3 5 3 1 2 5 5

Es claro que cada término es tan sólo la suma de los dos que le preceden.Por lo tanto, los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

n-ésimo término a1 a2 a3 a4 a5


A continuación te mostramos dos ejemplos de la naturaleza donde se manifiesta la su-cesión de Fibonacci.

E J E R C I C I O S

Calcula los primeros 5 términos de cada sucesión definida en forma recursiva.

5

8

23

13

21

34

1 1

Espiral de Fibonacci

8

5

3

2

1

1

Sucesión de Fibonacci en lasramas de un árbol

1. an 5 7 2 an21 si a1 5 5

4. an 5 2an21 1 1 si a1 5 1

5. an 5 (an21)n21 si a1 5 2

2. an 5 si a1 5 28an−1

2

3. an 5 an21 si a1 5 12814

6. an 5 si a1 5 111 1+ −an


7. Sucesión de Bode. La sucesión de Bode, definida por

a1 5 0.4, ak 5 0.1(3 ? 2k22 1 4) para valores de k $ 2

es útil en el cálculo de las distancias entre los planetas y el Sol. Estas distanciasse miden en unidades astronómicas (UA), con 1 UA 5 93 000 000 millas. Por cierto, el tercer término corresponde a la Tierra. Calcula los primeros cinco términos de la sucesión.

8. Interés compuesto. Se depositan $1,000 en una cuenta que gana 8% de intere-ses compuestos trimestralmente. El saldo en la cuenta, después de n trimestres,está dado por

An 5 1000, donde n 5 1, 2, 3, …

Calcula los cinco primeros términos de la sucesión y encuentra el saldo despuésde cinco años.

1 0 084

+

.n

9. Costo de hospitalización. El costo promedio de un día en un hospital, de 1980 a1987, está dado por el modelo

an 5 242.67 1 42.67n donde n 5 0, 1, 2, …,7

en donde an es el costo promedio en dólares y n es el año, n 5 0 correspondien-te a 1980. Encuentra los siete términos de esta sucesión finita.


Determinación del n-ésimo término de una sucesión

Determinar patrones de comportamiento es muy importante en matemáticas y a vecesno resulta fácil.Vamos ahora a tratar la situación inversa, dada una sucesión de números,intentaremos encontrar una expresión que represente el n-ésimo término de ésta.

E J E M P L O 1

Calcula el n-ésimo término de una sucesión cuyos primeros términos son los siguientes:

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, …b) 22, 4, 28, 16, 232, 64, …

S o l u c i ó n

a) Se observa que los números de esta sucesión son potencias de 2, por lo tanto, la ex-presión que coincide con este patrón es

an 5 2n 5 21, 22, 23, 24, …

b) Se observa que los números de esta sucesión son potencias de 2, pero tienen los sig-nos alternados, por lo tanto, la expresión que coincide con este patrón es

an 5 (21)n2n

Recordemos que para alternar signos es necesario utilizar como factor el término(21)n.

E J E M P L O 2

Crecimiento de bacterias. La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente de500 y el cultivo se duplica todos los días. Encuentra una fórmula para calcular lapoblación bacteriana después de n días y la cantidad de bacterias luego de 1, 2 y 3 días.

S o l u c i ó n

Llamemos a0 la cantidad de bacterias al iniciar el cultivo, es decir a0 5 500. Por con-siguiente, la población de bacterias después de n días es

an 5 2an21,

luego, el número de bacterias después del primer día será de

a1 5 2a0 5 2(500) 5 1000

el segundo día

a2 5 2a1 5 2(1000) 5 2000

y el tercero

a3 5 2a2 5 2(2000) 5 4000


E J E R C I C I O S

Calcula una fórmula que nos dé el n-ésimo término de la sucesión cuyos primeros tér-minos son los siguientes.

1. 2, 4, 8, 16, …

4. 34

45

56

67

, , , ,…

5. 0, 2, 0, 2, 0, 2, …

2. 1, 4, 7, 10, …

3. 1, 34

59

716

925

, , , ,…

an 5

an 5

an 5

an 5

an 5

6. Niveles de cloro. Cuando se agrega cloro al agua de las piscinas, el nivel de ésteno debe ser mayor a 3 ppm (partes por millón). Si esto ocurre, los nadadoressentirán que les arden los ojos e incomodidad en la piel; si el nivel baja a menosde 1 ppm, hay posibilidades de que el agua tome un tono verdoso por la gran can-tidad de algas. El cloro debe agregarse al agua a intervalos regulares. Si no se apli-ca a una piscina en un periodo de 24 horas, alrededor del 20% del cloro sedisipará en la atmósfera y el 80% permanecerá en el agua.a) Demuestra que la sucesión recursiva an 5 (0.20)na0 expresa la cantidad de

cloro presente después de n días si la alberca tiene a0 ppm de cloro al prin-cipio y no vuelve a agregarse más.

b) Si al principio la piscina tiene 7 ppm de cloro, elabora una tabla para hallarel primer día en que el nivel del cloro bajará de las 3 ppm.

Día

ppm

Notación sumatoriaSuma


En esta sección veremos que dada una sucesión a1, a2, a3, …, an, la suma de sus términosse puede representar con una notación muy útil y cotidiana en matemáticas que seconoce como notación sigma o sumatoria. El nombre tiene su origen en la letra ma-yúscula sigma del alfabeto griego ∑ y que corresponde a nuestra letra “s”.

N O T A C I Ó N S U M A T O R I A

E J E M P L O 1

Observa las sumas en la parte izquierda de la tabla y analiza cómo es su representaciónsimbólica con sumatoria en la parte de la derecha.

Definición de la notación sigma

La suma de n términos a1, a2, a3, …, an se denota por

5 a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an

donde k se llama índice de la suma, ak es el k-ésimo término y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n, respectivamente, es decir, el primero y último tér-mino de la sumatoria.

akk

n

=∑

1

1. 1 1 2 1 3 1 … 1 10 kk=∑

1

10

2. 12 1 22 1 32 1 … 1 102 kk

2

1

10

=∑

3. 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 ii=∑

5

10

4. A1 1 A2 1 A3 1 … 1 An Akk

n

=∑

1

5. 1 1 1 2 1 3 12 2 2 2

na

na

na

nn a( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + +…+ + 1 2

1 nj a

j

n

( )+=

∑

6. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21

6

i=∑

SumaNotación sumatoria

Notación sumatoria • 47

E J E M P L O 2

Calcula las siguientes sumas:

a) b) c)

S o l u c i ó n

a) b)

c)

Propiedades de las sumatorias

1. donde c es una constante. 2.

E J E R C I C I O S

1. Determina la suma indicada.

( )a b a bk k k kk

n

k

n

k

n

± = ±===

∑∑∑111

ca c ak kk

n

k

n

===

∑∑11

ii

= + + + + + ==∑ 5 6 7 8 9 10 45

5

10

1 13

14

15

47603

5

kk

= + + ==∑k

k

2 2 2 2 2

1

4

1 2 3 4 30= + + + ==

∑

ii

==∑

5

101

3

5

kk=∑k

k

2

1

4

=∑

( )2 11

3

kk

−=

∑

kk

2

1

4

=∑

1

1

3

kk=∑

1 11

8

+ − =

∑ ( ) j

j

2 1

1

5k

k

−

=∑

( )−=

∑ 11

100k

k

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Notación sumatoriaSuma


2. Usa la notación sigma para indicar la suma dada en la siguiente tabla:

a) 1 1 2 1 3 1 … 1 n

b) 2 1 4 1 6 1 … 1 20

c) a a a a1 1 1 2 1 3 1 10+

++

++

+…++

d) A1 1 A2 1 A3 1 … 1 An

e) 12 1 22 1 32 1 … 1 102

S U C E S I O N E S A R I T M É T I C A S

Probablemente la forma más sencilla de generar una sucesión es comenzar con un nú-mero a y sumarle una constante d a cada término consecutivo.

Sucesión aritmética. Es una sucesión de la forma

a, a 1 d, a 1 2d, a 1 3d, a 1 4d, …

donde a es el primer término y d es la diferencia común de la sucesión entre dos tér-minos consecutivos.

Por lo tanto, el n-ésimo término de una sucesión aritmética se calcula con la expresión

an 5 a 1 (n 2 1)d

E J E M P L O 1

Si a 5 2 y d 5 3 calcula los 4 primeros términos y el n-ésimo término de la sucesión aritmética.

Sucesiones aritméticas • 49

S o l u c i ó n

a1 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (1 2 1)(3) 5 2

a2 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (2 2 1)(3) 5 5

a3 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (3 2 1)(3) 5 8

an 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 3(n 2 1)

E J E M P L O 2

Encuentra el n-ésimo término de la sucesión aritmética.

5, 2, 21, 24, 27, …

S o l u c i ó n

La diferencia común se obtiene restando dos términos consecutivos, por lo tanto,d 5 23 y el n-ésimo término de la sucesión es

an 5 5 2 3(n 2 1)

E J E M P L O 3

Encuentra los cinco primeros términos y el 100-ésimo término de la sucesión.

17, 12, …

S o l u c i ó n

El primer término es 17, por lo tanto, a 5 17 y la diferencia entre dos términos conse-cutivos es d 5 12 2 17 5 25, luego

an 5 17 2 5(n 2 1)

a1 5 17 2 5(1 2 1) 5 17

a2 5 17 2 5(2 2 1) 5 12

a3 5 17 2 5(3 2 1) 5 7

a4 5 17 2 5(4 2 1) 5 2

a5 5 17 2 5(5 2 1) 5 23

a100 5 17 2 5(100 2 1) 5 2478

Los primeros seis términos de la sucesión son 17, 12, 7, 2, 23, 28 y el 100-ésimo es 2478.

ana100a4dSucesión aritmética


E J E M P L O 4

El undécimo término de una sucesión aritmética es 52 y el decimonoveno es 92. Calcu-la el 300-ésimo término.

S o l u c i ó n

Para calcular el n-ésimo término de la sucesión necesitamos conocer a y d de la ex-presión

an 5 a 1 (n 2 1)d.

Al sustituir, obtenemos que

a11 5 a 1 (11 2 1)d 5 52 entonces a 1 10d 5 52

a19 5 a 1 (19 2 1)d 5 92 entonces a 1 18d 5 92

Resolviendo el sistema de ecuaciones que aparecen en gris tendremos los valores de a y d.

despejando tenemos que d 5 5 5 y a 5 52 2 10d 5 2.

El 300-ésimo término es a300 5 2 1 5(300 2 1) 5 1497.Es pertinente mencionar que es muy probable que el estudiante aún no esté fami-

liarizado con la resolución de ecuaciones como las del ejemplo anterior, por eso la im-portancia de la mediación que el docente debe asumir.

E J E R C I C I O S

Determina la diferencia común, el cuarto término, el 100-ésimo y el n-ésimo de cadasucesión aritmética.

408

− − = − −+ =

=

a da d

d

10 52 118 928 40

multiplicando por

suumando las dos ecuaciones

1. 2, 5, 8, 11, …

2. 1, 5, 9, 13, …

3. 212, 28, 24, 0, …

4. 25, 26.5, 28, 29.5, …

5. 2, 2 1 s, 2 1 2s, 2 1 3s, …


6. El duodécimo término de una sucesión aritmética es 32 y el quinto término es 18. Calcula el 20-ésimo término.

8. El vigésimo término de una sucesión aritmética es 101, y la diferencia común es 3. Calcula los dos primeros términos.

7. El 100-ésimo término de una sucesión aritmética es 98 y la diferencia común es 2. Calcula los tres primeros términos.


Suma de una sucesión aritmética

Reflexiona esta pregunta: ¿cuál es la suma de los números 1, 2, 3,…, 100?

Anécdota de Gauss. Cuenta la historia que cuando el célebre matemático C. F. Gaussestaba en la escuela, su profesor planteó esta suma a la clase para mantenerlos ocupa-dos. Gauss dio la respuesta correcta casi de inmediato. Se fijó que los números guardanun patrón de comportamiento y supuso que la suma también, así que hizo el procedi-miento siguiente: Dispuso la suma de los números en orden ascendente y después en or-den descendente y sumó de la siguiente manera:

Es evidente que

2S 5 (1 1 100)100 5 (101)100 5 10, 100, por lo tanto, S 5 5 5050.

Naturalmente que este procedimiento puede generalizarse para hallar la suma de los n primeros términos de cualquier sucesión aritmética; así

Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 … 1 an y

Sn 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 2 2d) 1 (an 2 3d) 1 … 1 a

Sumando ambas expresiones tenemos que

2Sn 5 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 … 1 (a 1 an)

Hay n términos idénticos en el lado derecho de esta ecuación, por eso

2Sn 5 n(a 1 an)

Sn 5 (a 1 an)

Pero recuerda que an 5 a 1 (n 2 1)d es el n-ésimo término de la sucesión, así que la suma la podemos escribir como

Sn 5 [a 1 a 1 (n 2 1)d] 5 [2a 1 (n 2 1)d]n2

n2

n2

101002

SSS

= + + +…+ + += + + +…+ + +=

1 2 3 98 99 100100 99 98 3 2 1

2 1011 101 101 101 101 101+ + +…+ + +

Suma de los n términos de una sucesión aritméticaLa suma

Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 … 1 an

de los n primeros términos de una sucesión aritmética los podemos calcular concualquiera de las siguientes fórmulas.

1. Sn 5 (a 1 an) 2. Sn 5 [2a 1 (n 2 1)d]n2

n2


E J E M P L O 1

Calcula la suma de los primeros 50 números pares.

S o l u c i ó n

En este caso a 5 2 y d 5 2. El n-ésimo término de esta sucesión es an 5 2n, por lo quea50 5 2(50) 5 100. Por tanto la suma buscada es

S50 5 (a 1 a50) 5 (2 1 100) 5 2550

E J E M P L O 2

Calcula la suma de los 40 primeros términos de la sucesión aritmética

3, 7, 11, 15, …

S o l u c i ó n

Para esta sucesión a 5 3 y d 5 4, entonces a40 5 3 1 4(40 2 1) 5 159, luego la suma delos 40 términos de la sucesión es

S40 5 (a 1 a40) 5 (3 1 159) 5 3240

E J E M P L O 3

Un teatro tiene 50 filas de asientos, y en la primera fila hay 20 butacas, 22 en la segun-da, 24 en la tercera y así sucesivamente. Calcula la cantidad total de butacas.

S o l u c i ó n

La cantidad de asientos forman una sucesión aritmética con a 5 20 y d 5 2. Entonces,utilizando la segunda fórmula, la suma de butacas es

S50 5 [2a 1 (n 2 1)d] 5 [2 ? 20 1 2(50 2 1)] 5 3450 asientos502

n2

402

n2

502

n2

Suma parcial


E J E M P L O 4

El valor inicial de un auto es de 12,500 dólares. Su depreciación anual es de 1,875 dólares.Calcula el valor del auto después de 5 años.

S o l u c i ó n

El valor de d 5 21875 y el de a 5 12500 2 1875 5 10625, por lo tanto, estamos buscandoa5 y éste es

a5 5 10625 1 (5 2 1)(21875) 5 3125 dólares.

Observa la siguiente tabla para una mejor comprensión.

E J E R C I C I O S

Determina las sumas indicadas en la siguiente tabla.

Tiempo Tercer año Cuarto añoPrimer año Segundo año Quinto año

Valor $6,875 $5,000$10,625 $8,750 $3,125

1. 1 1 5 1 9 1 … 1 401

S n a an n= +2 1( )

2. 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11

3. − + −

+ + + +…+3 3

20 3

22 30

4. 2 1 4 1 6 1 8 1 … 1 150

5. 0.7 1 2.7 1 4.7 1 … 1 56.7


6. Se almacenan postes de teléfonos en una pila con 25 postes en la primera fila,24 en la segunda, y así sucesivamente. Si hay 12 capas, ¿cuántos postes hay en la pila?

9. Un concursante obtendrá 5 premios en efectivo por un total de $5,000 y habráuna diferencia de $100 entre premios sucesivos. Encuentra el primer premio.

7. Una persona recibe una oferta de trabajo con un salario de $30,000 anuales,y le prometen aumentos anuales de $2,300. Calcula sus ingresos totales en 10 años de trabajo.

8. En un cine al aire libre hay lugares para estacionar 20 automóviles en la primerafila, 22 en la segunda, 24 en la tercera, y así sucesivamente. Si hay 21 filas en ese cine, calcula la cantidad de autos que se pueden estacionar.

$800

$403,500


Media aritmética

La media aritmética (promedio) entre dos cantidades a y b es

m 5

y es evidente que está a la misma distancia de a que de b, por lo que a, m y b forman unasucesión aritmética. En general, si m1, m2, …, mk están espaciadas a intervalos iguales entre a y b de tal manera que

a, m1, m2, …, mk, b

forman una sucesión aritmética, se dice entonces que m1, m2, …, mk son las medias aritméticas entre a y b.

a b+2

10. Un arquitecto diseña un teatro con 15 butacas en la primera fila, 18 en la se-gunda, 21 en la tercera, etcétera. Si el teatro debe tener 870 lugares, ¿cuántas filas debe haber en el diseño?

11. Cuando un objeto se deja caer libremente desde un globo de aire caliente, cae16 pies en el primer segundo, 48 pies en el siguiente segundo, 80 en el siguientey así sucesivamente. Calcula la distancia total que cae el objeto en 6 segundos.

a bm

576 pies


E J E M P L O

Intercala 3 medias aritméticas entre 10 y 18.

S o l u c i ó n

Podemos considerar una sucesión aritmética con los términos a 5 10 y a5 5 18. Por lotanto, la diferencia común se calcula de la siguiente manera

18 5 10 1 (5 2 1)d despejando tenemos que d 5 5 2

De esta forma, las medias aritméticas son

m1 5 a 1 d 5 10 1 2 5 12

m2 5 m1 1 d 5 12 1 2 5 14

m3 5 m2 1 d 5 14 1 2 5 16

E J E R C I C I O S

18 104−

1. Intercala 2 medias aritméticas entre 10 y 18.

2. Un doctor desea aumentar la dosis de medicina de 100 mg a 300 mg por día a un paciente en 5 etapas iguales. ¿Cuántas medias aritméticas debe insertarentre 100 y 300 para administrar la sucesión de dosis diarias y cuánto valen esasmedias?


3. Las ganancias de 3 años de un negocio están en progresión aritmética. El pri-mer año ganó 12,500 dólares y el tercero 20,500. ¿Cuál fue la ganancia en el segundo año?

4. Se desea construir una escalera con nueve peldaños espaciados igualmente deforma que la distancia entre ellos disminuya de manera uniforme, de 24 pulga-das en la base a 18 pulgadas en la parte superior. Determina las distancias delos siete peldaños intermedios.

a9 5 24

a1 5 18

16,500 dólares

Sucesiones geométricas • 59

Otra técnica muy sencilla para generar una sucesión es iniciar con un número a y mul-tiplicarlo en forma repetida por una constante r que no sea cero. Observa cómo se com-portaría la sucesión y cómo se obtiene el n-ésimo término de tal sucesión.

a1 5 aa2 5 ara3 5 (ar)r 5 ar2

a4 5 (ar2)r 5 ar3

O

an 5 arn21

Por consiguiente, la sucesión es de la forma

a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn21

y se llama sucesión geométrica.

S U C E S I O N E S G E O M É T R I C A S

E J E M P L O 1

Si a 5 2 y r 5 3, se forma la sucesión geométrica

2, 2 ? 3, 2 ? 32, 2 ? 33, 2 ? 34, …, an 5 2(3)n21

o bien, 2, 6, 18, 54, 162, …, an 5 2(3)n21

E J E M P L O 2

La sucesión

2, 210, 50, 2250, 1,250, …, an 5 2(25)n21

es geométrica con a 5 2 y r 5 25. Fíjate que el factor común r se obtiene dividiendo un

término consecuente entre el antecedente, r 5 5 5 25.5010−

−102

Sucesión geométrica. Es una sucesión de la forma

a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn21

donde a es el primer término y r es el factor común de la sucesión entre dos tér-minos consecutivos.

Por tanto el n-ésimo término de una sucesión aritmética se calcula con la ex-presión

an 5 arn21


E J E M P L O 3

La sucesión

1, …, 1

es geométrica con a 5 1 y r 5 .

E J E M P L O 4

Las sucesiones geométricas también se encuentran en la naturaleza. Si una pelota se

deja caer desde 2 metros de altura, rebota sólo 2 5 de su posición inicial. El

segundo rebote llega a una altura de , y así sucesivamente. Por consiguiente,

la altura hn es la n-ésima altura en el n-ésimo rebote y viene dada por

hn

n

n n

n

=

= ⋅ = ⋅ =

−

−23

13

23

13

2 13

2 13

1

1

23

13

29

⋅ =

23

13

12

12

1

−n12

14

18

, , ,

2

1

1 2 3 t

h

23

29

E J E M P L O 5

Calcula el octavo término de la sucesión 5, 15, 45.

S o l u c i ó n

Es claro que a 5 5 y que r 5 5 3, de manera que el octavo término de la suce-

sión es

a8 5 arn21 5 5(3)7 5 10,935.

155

ana5RazónSucesión

RazónSucesión


E J E R C I C I O S

Determina si la sucesión es geométrica. Si lo es, calcula la razón.

1. 2, 4, 8, 16, …

2. 2, 6, 8, 36, …

3. 3 32

34

38

, , , ,…

4. 27, 29, 3, 21, …

Determina la razón, el quinto y el n-ésimo término de las sucesiones dadas.

5. 4, 12, 36, …

6. 16, 8, 4, …

7. 4, 28, 16, 232, …

8. 49, 7, 1, …

9. 1, 2 2 2 2, , , …

10. El primer término de una sucesión geométrica es 3 y el tercero es 4. Calcula elquinto término.


11. El primer término de una sucesión geométrica es 8 y el segundo término es 4.Calcula el quinto término.

14. En cierto cultivo, el número de bacterias se duplica cada día. Si hay 1,000 bacte-rias al final del primer día, ¿cuántas habrá después de 6 días? Calcula el valor uti-lizando la fórmula y comprueba tu resultado completando la siguiente tabla.

12. La razón de una sucesión geométrica es y el cuarto término es .

Calcula el tercer término.

52

25

13. Si el valor de un automóvil es de $120,000 y se deprecia un 10% anualmen-te, ¿cuál será el valor del auto después de 5 años? Calcula el valor utilizando lafórmula y comprueba tu resultado completando la siguiente tabla.

Año 1 2 3 4 5

Valor delautomóvil

Día 1 2 3 4 5 6

Núm. debacterias

R. 12

R. 70,858.8


Suma de una sucesión geométrica

Supongamos que te propones ahorrar guardando 1 centavo el primer día, 2 centavos elsegundo, 4 el tercero y así sucesivamente. Si continúas duplicando la cantidad guar-dada durante 30 días, ¿cuánto tendrás al final del mes?

Cuando trates de encontrar la respuesta, te darás cuenta que sería útil tener unafórmula que nos permita obtener la suma de todas esas cantidades de una manera más fácil.

Para deducir una fórmula que nos permita calcular la suma Sn de los n términos de una sucesión geométrica

Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21

multiplicamos a Sn por r y luego lo restamos de Sn, obteniendo así

Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21

2rSn 5 2ar 2 ar2 2 ar3 2 … 2 arn21 2 arn

Sn 2 rSn 5 a 1 2 arn

Así,

Sn(1 2 r) 5 a(1 2 rn)

Sn 5 ; r ? 1

Este resultado se resume como sigue:

La suma

Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21

de los n primeros términos de una sucesión geométrica es igual a

Sn 5 ; r ? 1a r

r

n( )11

−−

a rr

n( )11

−−

15. Una población tiene 200,000 habitantes y crece a razón del 1.2% cada año.Estima la población en 30 años.

R. 282,660


E J E M P L O 1

Ahora ya podemos calcular de manera muy rápida la cantidad de dinero total guarda-da al cabo de 30 días si guardas 1 centavo el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero y asísucesivamente, usando la fórmula anterior con a 5 1 y n 5 30 se obtiene

S30 5 5 1 073 741 823 centavos

por tanto la cantidad total ahorrada es 10,737,418.23 pesos.

E J E M P L O 2

Determina la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica

1, 0.5, 0.25, 0.125, …

S o l u c i ó n

La suma requerida de esta sucesión con a 5 1 y r 5 5 0.5 es

Sn 5 1 5 1.998047

E J E M P L O 3

Calcula la suma

S o l u c i ó n

Si desarrollamos los primeros términos de la sumatoria tenemos que

(22)k 5 7(22)1 1 7(22)2 1 … 1 7(22)5

por lo tanto, a 5 7(22)1 5 214 y r 5 5 22, luego la suma pedida es

Sn 5 214 5 214 5 214 ? 5 2154333

1 321 2−+

1 21 2

5− −− −( )( )

7 2

7 2

2

1( )

( )

−−

71

5

k=∑

7 21

5

( )−=

∑ k

k

1 0 51 0 5

10−−( . )

.

0 51.

1 1 21 2

30( )−−


E J E M P L O 4

Un péndulo recorre una distancia de 20 cm ensu primera oscilación. Después recorre el 80%de cada una de las oscilaciones anteriores.¿Cuál es la distancia total recorrida después de 4 oscilaciones?

S o l u c i ó n

Tenemos que encontrar S4 con a 5 20 y r 5 0.8.

S4 5 20 5 59.04 cm

E J E R C I C I O S

Calcula la suma de la sucesión geométrica con las condiciones dadas.

1 0 81 0 8

4−−( . )

.

1. a 5 5, r 5 2, n 5 6

2. a 5 , r 5 , n 5 413

23

S6 5 315


3. a3 5 28, a6 5 224, n 5 6

6. 7 320

5

=∑

i

i

4. a2 5 0.12, a5 5 0.00096, n 5 4

5. 3 121

10

=∑

k

k

S6 5 441

Sn 5 2.997070


7. Un péndulo recorre una distancia de 20 cm en su primera oscilación. Despuésrecorre el 80% de cada una de las oscilaciones anteriores, ¿cuál es la distanciatotal recorrida después de 7 oscilaciones?

8. Una pelota se deja caer desde una altura de 9 pies. Su elasticidad es tal quesiempre rebota y alcanza la tercera parte de la altura desde la que se le dejó caer.¿Cuál es la distancia total recorrida por la pelota en el instante en que llega alsuelo la quinta vez?

9. La figura mostrada representa un árbol genealógico con la generación actual(tú) y tres generaciones anteriores, con un total de 12 abuelos. Si buscaras tu his-toria familiar hasta 10 generaciones, ¿cuántos antepasados encontrarías sin contar a tus padres y a ti?

Tú

Madre

Padre

d 5 79.02 cm

1020


Media geométrica

Si a y b son dos números reales positivos, un número positivo m se llama media geo-métrica de a y b si a, m, b forman una sucesión geométrica. Si la razón común es r,entonces

r 5 5 , o sea m2 5 ab y m 5

vemos que la media geométrica de los números positivos a y b es .

E J E M P L O

Determina la media geométrica de los números 20 y 45.

S o l u c i ó n

m 5 5 5 30

E J E R C I C I O

Determina la media geométrica de los números 3 y 5.

90020 45⋅

ab

abbm

ma

P O L I N O M I O S D E U N A V A R I A B L E

U N I D A D

2

Igualdades 70

Propiedades de las igualdades 71

Exponentes 75

Leyes o reglas de los exponentes 79

Radicales 82

Exponentes racionales 87

Operaciones con polinomios 91

Suma y resta de polinomios 93

Multiplicación de monomios y polinomios 99

División de polinomios 104

Productos notables 112

Triángulo de Pascal y binomio de Newton 126

Factorización 136

Expresiones fraccionarias 162

69

70 • UNIDAD 2 Polinomios de una variable

Fíjate en la siguiente expresión y completa la tabla asignando el valor numérico que resulta al sustituir los valores en cada lado de la relación.

a b c a b a c+( ) = ⋅ + ⋅

I G U A L D A D E S

Expresiones como la anterior reciben el nombre de igualdad.

Esta relación se expresa vinculando las cantidades o expresiones algebraicas en cuestión mediante el signo 5, que se lee igual a. Son ejemplos de igualdades:

x x+ = −2 3 5 ; a b a b a b+( ) −( ) = −2 2 ; 5 3 1 02k k− − =

Clasifi cación de las igualdades. Las igualdades se clasifi can como lo muestra el siguiente diagrama.

Igualdad

Es la relación que se establece entre dos cantidades o expresiones algebraicas cuya diferencia es cero.

a b c a(b 1 c) a ? b 1 b ? c

3 5 4 3(5 1 4) 5 27 3 ? 5 1 3 ? 4 5 27

2 6 3

210 22 23

5 8 10

Una identidad es una igualdad que se verifi ca para cualquier valor que tomen las variables que entran en ella; para indicar esta relación se utiliza el signo �, que se lee como es idéntico a. Un ejemplo de este tipo de vinculación es la relación con la que iniciamos el tema de este apartado. Otros ejemplos de identidades son

x y y x+ = + ; a b a ab b+( ) = + +2 2 22

Igualdades

Identidades

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la que también hay una o varias cantidades des-conocidas, sólo que en este caso la relación se verifi ca únicamente para determinados valores de las variables implicadas. Son ejemplos de ecuaciones:

5 3 2x x− = − ; k 3 8 0− = ; 3 34 5

2xx

y−−

= −

Las partes o expresiones separadas por el signo 5 en una igualdad reciben el nombre de miembros, mientras que a los números o cantidades relacionadas con los signos 1 o 2 en cada miembro se les llama términos.

2 5 17x xtérmino

1er. miembro

término

2

− = +ddo. miembro

Propiedad Igualdad Signifi cado

Aditiva a b a c b c= ⇒ + = + Si a una igualdad se le suma la misma cantidad en ambos miembros, permanece la relación de igualdad.

Sustractiva a b a c b c= ⇒ − = − Si a una igualdad se le resta la misma cantidad en ambos miembros, permanece la relación de igualdad.

Multiplicativa a b a c b c= ⇒ ⋅ = ⋅

Cuando en una igualdad el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha se multiplican por la misma cantidad, ésta no se altera.

Divisora a b ac

bc

c= ⇒ = ≠ ; 0

Cuando en una igualdad el miembro de la izquierda y el miembro de la derecha se dividen entre la misma cantidad, ésta no se altera.

Sustitución a b b a= ⇒ = Si a 5 b, entonces a puede sustituir a b en cualquier expresión algebraica dando una expresión equivalente.

P R O P I E D A D E S D E L A S I G U A L D A D E S

En las propiedades siguientes a, b y c son números reales.

Propiedades de las igualdades • 71


E J E M P L O S

En cada una de las siguientes igualdades determina el valor de la literal destacando el uso de las propiedades de la igualdad.

1. x + =3 7

x + − = −3 3 7 3 Propiedad sustractiva

x = 4

2. x − =3 7

x − + = +3 3 7 3 Propiedad aditiva

x = 10

3. 7 12− =x

7 7 12 7− − = −x Propiedad sustractiva

− =x 5

− −( ) = − −( )1 1 5x

x = −5 Propiedad multiplicativa

4. 2 5 15y − =

2 5 5 15 5y − + = + Propiedad aditiva

2 20y =

22

202

y =

Propiedad divisora

y = 10

E J E R C I C I O S

Tomando como referencia los ejemplos anteriores calcula el valor de la parte literal de cada una de las siguientes igualdades haciendo uso de las propiedades de las igualdades.

1. x − =5 28

x 5 33

2. x + =5 2

5. 3 5 28− =x

3. 7 3= − x

4. 4 5 25x + =

Propiedades de las igualdades • 73

x 5 24

x 5 25


6.

y2

5 2+ =

9. − = −7 63x

7. − = −7 3 y

8.

45

5 25u + =

y 5 10

x 5 9

10.

7 32

20− = −z

11. − = − −7 3 4y

12. − − =7 21 0a

Escribe el resultado de cada una de las siguientes multiplicaciones

a) 5 5 5⋅ ⋅ = b) −( ) −( ) −( ) −( ) =3 3 3 3

c)

− ⋅ ⋅ ⋅( ) =3 3 3 3

d)

12

12

12

12

12

=

E X P O N E N T E S

Exponentes • 75

y 5 1


Cuando en un producto se repite varias veces un factor, por lo general se escribe en notación exponencial. Por ejemplo, las multiplicaciones anteriores se pueden escribir de la siguiente manera:

a) 5 5 5 5 1253⋅ ⋅ = =

b) −( ) −( ) −( ) −( ) = −( ) =3 3 3 3 3 814

c) − ⋅ ⋅ ⋅( ) = − ( ) = −3 3 3 3 3 814

d)

12

12

12

12

12

12

132

5

=

=

En general, considerando las situaciones anteriores podemos defi nir los exponentes así:

Observa la diferencia entre (23)4 y 234. En (23)4 el exponente opera sobre 23 y en 234 opera sobre 3.

Notación exponencial

Si a es cualquier número real y n es un entero positivo, entonces la n-ésima potencia de a es

a a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅factores

El número a se conoce como base y n como exponente.

E J E M P L O S

a) −( ) = −( ) −( ) −( ) −( ) −( ) = −2 2 2 2 2 2 325

b)

23

23

23

49

2

=

=

c)

− = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) = −2 2 2 2 2 2 325

d)

5 5 5 5 5 5 5 5 31253 2 5( )( ) ⋅ ⋅( ) ⋅( ) = ( ) =

Multiplicación de potencias con la misma base

Es fácil concluir que la notación exponencial fi nalmente es una multiplicación abreviada en donde los factores se repiten n veces. Por eso es que, a partir de su defi nición, podemos enunciar varias reglas útiles que nos permitan trabajar de manera más rápida y efi ciente con los exponentes.

Para multiplicar dos potencias de la misma base se procede de la siguiente manera:

3 3 3 3 3 3 3 34 2

4 2

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅( ) ⋅( ) factores factorees factores

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = +3 3 3 3 3 3 3 36

6 4 2

La evidencia nos muestra que para multiplicar dos potencias con la misma base, sumamos sus exponentes. En general, si a es un número real y m y n son dos enteros positivos cualesquiera entonces

a a a a a a am n

m

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ factores

⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+

factores

a a a a an m n factores

= +am n

De manera que hemos demostrado que

a a am n m n= +

donde m y n son enteros positivos.Cuando m y n son 0 o enteros negativos, entonces se cumple que

2 2 2 20 3 0 3 3⋅ = =+

pero esto sólo se cumple si 20 5 1. Asimismo debemos tener en cuenta que

2 2 2 2 15 5 5 5 0⋅ = = =− + −( )

Esto es cierto si 2 12

55

− = . Estas conclusiones nos conducen a la siguiente defi nición.

Exponentes cero y negativos

Si a es cualquier número real diferente de cero y n es un entero positivo, entonces

a aa

nn

0 1 1= =−

E J E M P L O S

a)

−( ) =3 10

b)

a

a− =1 1

c)

35

10

=

División de potencias con la misma base

Si vamos a dividir dos potencias con la misma base podemos tomar de referencia lo anterior para concluir el patrón de comportamiento; es decir,

aa

aa

a a a am

nm

nm n m n m n= ⋅ = ⋅ = =− + −( ) −1

Exponentes • 77


Las operaciones nos muestran que para dividir dos potencias con la misma base, restamos sus exponentes

aa

am

nm n= −

E J E M P L O S

a)

55

5 5 6257

37 3 4= = =−

b)

xx

x x9

59 5 4= =−

Elevar una potencia a otra potencia

Si m y n son enteros positivos, tenemos que

( )a a a a am n

m

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

factores

nn

m

a a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

factores

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅a a

m

factores

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a a a a

m

n

factores

faactores

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =a a a a amn

mn factores

Por lo tanto,

a am n mn( ) =

Los casos en que m # 0 o n # 0 se prueban con la defi nición para exponentes negativos.

E J E M P L O

a)

5 5 5 156252 3 2 3 6( ) = = =( )( )

b)

x x xx

− −( )( ) −( ) = = =2 5 2 5 10101

Elevar un producto a una potencia

Si m y n son enteros positivos, tenemos que

ab ab ab abn

n

( ) = ( )( ) ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ( )

factores

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )a a a a

n

factores

b b b b a bn n

n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) =

factores

ab a bn n n( ) =

Esta tabla contiene las leyes de los exponentes; es elemental conocerlas para desarrollar mejor nuestro trabajo. Consideramos que a y b son números reales y los exponentes m y n son enteros. Observarás que sólo demostramos hasta la regla 4. Se sugiere que el estudiante demuestre el resto para una mejor comprensión del tema.

L E Y E S O R E G L A S D E L O S E X P O N E N T E S

Ley Descripción Ejemplo

1. a a am n m n= +Si multiplicamos dos potencias de la misma base se suman los exponentes.

2 2 2 2563 5 8⋅ = =

2.

aa

am

nm n= −

Para dividir dos potencias con la misma base restamos sus exponentes.

xx

x x7

47 4 3= =−

3. a am n mn( ) =

Para elevar una potencia a una nueva potencia se multiplican los exponentes.

b b b3 5 3 5 15( ) = =⋅

4. ab a bn n n( ) =

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada factor a la potencia.

2 2 83 3 3 3y y y( ) = =

5.

ab

ab

n n

n

=

Para elevar un cociente a una potencia eleva tanto el numerador como el denominador a la potencia.

x x x5 5 125

3 3

3

3

= =

6.

ab

ba

n

m

m

n

−

− =

Para llevar del numerador al denominador o del denominador al numerador un número elevado a una potencia cambia el signo del exponente.

xy x

y y

x

n

m n

m m

n

−

− = ⋅ =11

7.

ab

ba

n n

=

−Para elevar una fracción a una potencia negativa, invierte la fracción y cambia el signo del exponente.

ab

ab a

b ba

n n

n n

n n

n

= = ⋅ =

− −

−1

1

Leyes o reglas de los exponentes • 79


Simplifi cación de expresiones con exponentes

Simplifi ca

a)

3 22 3 2 4x y xy( )( )

b)

xy

y xz

2 3 2

S o l u c i ó n

a)

3 22 3 2 4x y xy( )( ) = ( ) ( )

3 22 3 4 4 2 4x y x y

Ley 4

= ( )( )3 162 3 4 8x y x y

Ley 3

= ( )( ) + +3 16 2 4 3 8x y

Ley 1 y agrupamiento de términos

= 48 6 11x y

b)

xy

y xz

2 3 2

= ⋅( )x

y

y x

z

2

2

3 2 2

2

Leyes 4 y 5

= =+ ⋅x y

y z

x y

y z

2 2 3 2

2 2

4 6

2 2

Leyes 1 y 3

= =

−x y

z

x y

z

4 6 2

2

4 4

2

Ley 2 y agrupamiento de términos

E J E R C I C I O S

1. Calcula las potencias dadas a continuación.

a) −( ) =4 2

b) − =42 c) π 0 =

d)

12

2

=

−e)

13

42

3

( ) =− f)

57

30

2

⋅ =−

g) 3 42 5− ⋅ = h)

55

10

4 = i)

3 32 5 3⋅( ) =

2. Simplifi ca las siguientes expresiones y escríbelas únicamente con exponentes positivos.

a) x x− =2 8 b) 4 5 3a a( )( ) =

c)

6 3x( ) = d)

x x x4 2 81

36

( ) =−

e)

3 22 5 6a b a b( )( ) = f)

2 14

163 1 6 4s t s t−( )

=

g) ab b a( ) ( )( ) =−3 6 52 4 h)

2 33 1 3 3 2u v u v− −( ) ( ) =

i)

x x

x

5 3

3

2( ) = j)

x y

x y

5 5

7 2

−

− =

k)

2

2

3

5

x

x

( ) = l)

2 33 2 4

3 4

x x

x

( ) ( )( )

=

m)

x y xy

x y

2 3 4 4 3

2

( ) ( )=

− −

n)

c dcd

dc

4 3

2

2

3

3

=

o)

xy z

x y z

2 3 4

3 2 3

( )( )

= p)

xy z

x y z

− −

−

−

=2 3

2 3 4

3

q)

x yz

x y z

− −

− −

( )( )

=1 2 4

5 2 3 r)

322

2

3

2

xy zx y

z( )

=−

Leyes o reglas de los exponentes • 81


Ya sabemos lo que el signifi ca 2n cuando n es un entero, pero valdría la pena pregun-

tarse el signifi cado de una expresión como 23

5 , en donde el exponente es un número racional, es decir, no es entero. Para poder responder es necesario conocer y analizar los radicales.

El símbolo signifi ca raíz cuadrada positiva de. De manera que,

x a= signifi ca que a2 5 x y que a � 0

Por ejemplo,

4 2= porque 22 5 4 y evidentemente 2 � 0

Además de las raíces cuadradas existen las raíces cúbicas, las raíces cuartas y, en general, las raíces n-ésimas. La raíz n-ésima de x es el número que, al ser elevado a la n-ésima potencia, nos produce x. Es decir,

R A D I C A L E S

De acuerdo con la defi nición anterior

16 24 = porque 24 5 16 y 2 � 0

− = −27 33 porque −( ) = −3 273

Es muy importante aclarar que las raíces pares de números negativos no están

defi nidas. Por ejemplo, −4 , −164 , −646 etcétera, no están defi nidas porque no

hay ningún número que elevado a una potencia par nos dé un número real negativo.

Raíz n-ésima

Si n es cualquier número entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de x se defi ne como

xn 5 a y signifi ca que an 5 x

Si n es par, tenemos que considerar que x $ 0 y a $ 0.

Quizás estés pensando que el número 4 tiene dos raíces cuadradas, 2 y 22, pero por convención se sugiere que cuando se desee la raíz cuadrada negativa, se debe escribir − = −4 2 , ya que la raíz positiva 2 se conoce como la raíz cuadrada principal de 4.

Propiedades de las raíces n-ésimas

E J E M P L O 1

Utiliza las propiedades de las raíces para calcular el valor de cada una de las siguientes expresiones.

a) 20 5 ⋅ b) 324

3

3 c) 646

S o l u c i ó n

a) 20 5 20 5 100 10 ⋅ = ⋅ = = Propiedad 1

b)

324

324

8 23

33 3= = =

Propiedad 2

c) 64 64 8 26 3 3= = = Propiedad 3

1. ab a bn n n= − ⋅ = − = −( )( ) = −8 27 8 27 2 3 63 3 3

2.

ab

ab

nn

n= 16

811681

23

44

4= =

3. a anm mn= 64 64 23 6= =

4. a ann = si n es impar −( ) = −3 333

; 4 455 =

5.

a ann = si n es par −( ) = − =3 3 344

Propiedad Ejemplos

Radicales • 83


E J E M P L O 2

Simplifi cación de expresiones algebraicas que contienen radicales.

a) x x x53 3 23= Factorizando la potencia cúbica más grande

= ⋅x x33 23 Utilizando la propiedad 1

= x x 23 Utilizando la propiedad 4

b)

81 818 44 4 84 44x y x y= ⋅ ⋅

Propiedad 1

= ⋅ ( ) ⋅344 2 4

4 x y

Propiedad 5

= 3 2x y

E J E R C I C I O S

1. Evalúa las siguientes expresiones.

a) −1253 = b) −325 =

c)

425

= d)

132

5 =

e) 2564 = f) 7 28 =

g) 3 93 3 = h) 24 544 4 =

i)

722

= j)

483

=

R. 25

R. 4

R. 3

R. 6

R. 25

2. Simplifi ca las siguientes expresiones.

a) x33 = b)

x y3 63 =

c)

x y33 = d)

x y4 4 =

e) a b6 75 = f) a b a b23 43 =

g)

64 63 x = h)

x y z4 2 24 =

E J E M P L O 3

Suma y resta de radicales.Para sumar y restar radicales tan sólo se combinan los términos cuyos factores

radicales son exactamente los mismos.

a)

5 2 4 2 3 2 5 4 3 2+ − = + −( ) Propiedad distributiva

= 6 2

b) Si x . 0, tenemos que

8 23 43 33 33x x x x x− = −

= −2 3 3x x x

= −( )2 3x x

Propiedad distributiva

c) 80 20 16 5 4 5+ = ⋅ + ⋅ Factorizando

= +4 5 2 5 Simplifi cando

= +( )4 2 5


= 6 5

Radicales • 85

Es importante considerar que

a b a b+ ≠ +Si a 5 16 y b 5 9, es fácil darse cuenta de los siguiente:

9 16 9 16+ ≠ +porque

9 16 25 3 45 7

+ = ≠ +≠

R. x

R. x y3

R. ab ab5 2

R. 2x


d) b b b b b b83 53 6 23 3 3 238 2+ = + Factorizando

= +b b b b63 23 3 33 232 Propiedad 1

= +b b b b2 2 232 3 Sacando raíces

= +( )b b b2 232


E J E R C I C I O

Simplifi ca y reduce las siguientes sumas y restas de radicales.

a) 4 12 5 8 50 7 48+ − − = b) 4 3 5 12 2 75− + =

c) 4 12 3 8 50 48+ − − = d) 5 2 64 2 32 5 4+ + − =a a

e) 5 9 2 4 252 2 2 2a b ab a b ab− + − = f) 2 16 643 3 3+ − =

g) 2 54 128 3 233 3 3m k m− − = h) − + + =x x x54 94 134625 81

R. 5 2 20 3−

R. 2 4 3+

R. 16 9a b b a−

R. ( )3 4 23m k−

Un exponente racional es un exponente fraccionario, por ejemplo, en x2

3 es necesario

utilizar radicales para expresar el exponente. Con el propósito de encontrar el

signifi cado de una expresión como x n1

, recordemos las leyes de los exponentes.

x x x x xnn

nn n

n1

11

= = = =

A partir de la defi nición de raíz n-ésima, tenemos que

x xn n1

=

Se defi ne un exponente racional como sigue.

E X P O N E N T E S R A C I O N A L E S

De esta defi nición concluimos que las leyes de los exponentes también son válidas para exponentes racionales.

E J E M P L O 4

Comprendiendo la defi nición de exponentes racionales:

a) 3 31

2 =

b) 8 8 21

3 3= =

c)

4 4 2 83

23 3= ( ) = =

Exponentes racionales

Si m y n son enteros y n . 0, entonces, para cualquier exponente racional m/n expresado en su forma mas sencilla, defi nimos

x x xm

n nm mn= ( ) =

y signifi ca que vamos a calcular la raíz n-ésima de xm.Si n es par, tenemos que considerar que x $ 0.

Exponentes racionales • 87


d)

64 1

64

164

14

13

13

3( ) = = =−

e)

1 143 4

3

43

a aa= = −

E J E M P L O 5

Las leyes para los exponentes racionales son las mismas que para los exponentes enteros.

a) x x x x x1

25

212

52

62 3⋅ = = =

+

b)

a a

aa a

23

73

53

23

73

53

43= =

+ −

c)

a b a b a b a b3 43

2 33

2 43

2 3 32 4 3

29

2 6( ) = ( ) ( ) = =( ) ( )

d)

2 23

4

13

34

12

3

34

3

1

x

y

y

x

x

y

=

−33

34 1

2

y x

= ⋅8

94 4 1

2xy

y x

=

+ −894

12 4 1x y

= 811

4 3x y

E J E M P L O 6

Los radicales son exponentes fraccionarios.

a)

2 5 1031

21

3x x x x( )( ) =

= =+ +

10 1012

13

3 26x x

= 105

6x

b)

x x x x x31

23 1 12

13

= ⋅ =

+

=

= =

⋅x x x

32

13 3

213

12

Racionalización de denominadores con radicales

Suele ser útil eliminar el radical en el denominador para facilitar las operaciones entre radicales. Esto se logra multiplicando el numerador como el denominador por una expresión apropiada. Este procedimiento se conoce como racionalización.

E J E M P L O S

a)

12

12

1 12

22

22

= ⋅ = ⋅ = ;

Sin el uso de la calculadora resulta más fácil dividir

22

que 12 .

b)

223 x

= 2 2 223

3

3

23

33

23

x

xx

x

x

xx

⋅ = =

c)

1 12

525

35

35

35

55

35

x x

x

x

x

x

xx

= ⋅ = =

d) Cuando el denominador es un binomio se multiplica y se divide por su conjugado.

3 21 2

+−

= 3 21 2

1 21 2

+−

⋅ ++

=

=

+( ) +( )−( ) +( ) = + + +

−

3 2 1 2

1 2 1 23 3 2 2 2

1 2

= +

−= − +( ) = − −5 4 2

15 4 2 5 4 2

Exponentes racionales • 89

El conjugado de un binomio es otro binomio que difi ere solamente en un signo en uno de los términos.Por ejemplo el conjugado de

1− x

es

1+ x


E J E R C I C I O S

1. Simplifi ca la expresión y elimina cualquier exponente negativo. Supón que todas las letras indican números positivos.

a)

x x2

31

5 = b)

−

=2 5

34

32a a

c)

4 81

22

5b b( )

= d)

8 6

23a( ) =

−

e)

c d2 31

3( ) =−

f)

4 6 83

2x y( ) =

g)

y3

4

23

= h)

a

25

34

=

−

i)

2 84 45

32

23x y y

−

( ) = j)

x y z− −( ) =4 3 10

35

k)

x y

y

6

4

52

= l)

−

=

−

21

3

12

16

1

x

y z

m)

9

27

32

3 42

3

st

s t

( )( )

=−

n)

a bx y

x b

a y

2 3

1 2

32 1

32

13

−

−

− −

=

R. x13

15

R. 169

10b

R. 1

23c d

R. y

R. 32 12

1615

x

y

R. x

y

15

152

R. 3

256

12

t

s=

2. Racionaliza el denominador.

a)

16

= b)

xy3

=

c)

x5

2= d)

23

=

e)

13 x

= f)

134 x

=

g)

3 53 5

+−

= h)

y

x y+=

O P E R A C I O N E S C O N P O L I N O M I O S

Cualquier polinomio es una suma de términos de la forma axk, llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no negativo.

Polinomio

Es una expresión algebraica que está formada por uno o más monomios.

La forma general de un polinomio de grado n (donde n es un entero no negativo) en la variable x es

a x a x a x ann

nn+ +…+ +−

−1

11 1 0

donde a0, a1, …, an son constantes con an � 0.

Operaciones con polinomios • 91

R. 6

6

R. 22

5x

R. xx

23

R. − −4 15


Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios y así sucesivamente.

Por ejemplo, 2x2 2 3x 1 4, 2x 1 5 y x4 1 4x3, son polinomios de grado 2, 1 y 4 respectivamente; el primero es un trinomio y los otros dos son binomios.

Términos semejantes

Cuando dos o más términos tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen las mismas variables afectadas por los mismos exponentes, se llaman términos semejantes.

E J E M P L O S

4a3b3 y 22a3b3 son términos semejantes

3xy y

− 23

xy son términos semejantes

2 2p q y −8 2p q son términos semejantes

Signos de agrupación

Estos signos ya se explicaron en un apartado anterior. Ahora es importante recordar que su función es principalmente la de indicar que las operaciones localizadas en su interior son las que se deben efectuar primero y si un signo negativo antecede a una expresión entre paréntesis, entonces cuando eliminamos tales paréntesis todos los términos de adentro cambian de signo.

( ) paréntesis

[ ] corchetes

{ } llaves

E J E M P L OSimplifi quemos la siguiente expresión y reduzcamos los términos semejantes.

2 3 2 2 3 2 7 42 3 2 2 3x xy y xy x x xy y

primero

− + − − + + − + −( )

+

segundo

3xxy y

tercero

−

2 3

= − + − − + − + −2 3 2 2 3 2 7 42 3 2 2 3x xy y xy x x xy yconservan

el mismo signo

porque les precede un +

+ −

3 2 3xy y

= − + + − + − +2 3 2 2 3 2 7 42 3 2 2 3x xy y xy x x xy ycambian de signo porque les precede un −

+ −

3 2 3xy y

= − + + − + − + + −2 3 2 2 3 2 7 4 3 22 3 2 2 3 3x xy y xy x x xy y xy y

= − +( ) + − + − +( ) + + −( )2 3 2 3 2 7 3 2 4 22 3x xy y Agrupando y factorizando

= − +x xy y2 35 4

S U M A Y R E S T A D E P O L I N O M I O S

Cuando sumamos y restamos polinomios lo que hacemos es combinar términos semejantes utilizando para ello las propiedades de los números reales que vimos al principio de este curso.

E J E M P L O 1

Calcula la suma de a a a a a a3 2 3 26 2 4 3 5 4− + +( ) + + −( )

S o l u c i ó n

a a a a a a3 2 3 26 2 4 3 5 4− + +( ) + + −( )= +( ) + − +( ) + −( ) +a a a a a a3 3 2 23 6 5 2 4 4

Agrupando términos semejantes

= − − +4 2 43 2a a a Combinando términos semejantes

E J E M P L O 2

Calcula la suma de 23

35

2 7 57

49

87

2 2 2 2b ab a ab b a ab+ −

+ +

+ − −

S o l u c i ó n

23

35

2 7 57

47

87

2 2 2 2b ab a ab b a ab+ −

+ +

+ − −

Suma y resta de polinomios • 93


= − −

+ + −

+ +2 4

735

7 87

23

57

2 2 2 2a a ab ab ab b b

Agrupando términos semejantes

= − −

+ + −

+ +

2 4

735

7 87

23

57

2 2a ab b Se aíslan los coefi cientes fraccionarios

= − −

+ + −

+ +

14 47

21 245 4035

14 1521

2a ab bb2

Se realizan las operaciones

= − + +187

22635

2921

2 2a ab b

E J E R C I C I O S

Resuelve las siguientes adiciones de polinomios.

1.

3 6 2 3 23 2 4 3 2x x x x x x− + −( ) + − + +( ) =

2.

2 3 3 4 3 22 2 3 2 2ab a b ab a a b ab− +( ) + + +( ) =

R. x4 1 2x3 1 x2 1 x 2 4

3. ax ay az ax az ay az ay ax− +( ) + − − −( ) + + +( ) =5 6 7 8 9 4

6.

12

34

25

16

14

13

14

2 2 2 2 2q p pq q pq q p− −

+ −

+ +

=

4.

2 3 5 4 3 2 2 32 2 2 2 2 2ab a b a ab b a b ab− −( ) + + +( ) + − − +( ) =

5.

x xy y xy xy y2 2 212

13

14

14

2−

+ −

+ − −

=


R. ay 1 3az

R. x xy y2 253

− −


E J E M P L O 3

Calcula la resta de 11 12 10 6 2 5 133 2 3 3 2 2 3a ab b a a b ab b− +( ) − + − +( )

S o l u c i ó n

11 12 10 6 2 5 133 2 3 3 2 2 3a ab b a a b ab b− +( ) − + − +( )= − +( ) − +11 12 10 6 23 2 3 3a ab b a

minuendo

aa b ab b2 2 35 13− +( )sustraendo

= − +( ) + − − + −( )11 12 10 6 2 5 133 2 3 3 2 2 3a ab b a a b ab b

Los signos en el sustraendo cambian

= −( ) + −( ) + − +( ) + −11 6 2 12 5 10 133 3 2 2 2 3 3a a a b ab ab b b(( )= − − −5 2 7 33 2 2 3a a b ab b

E J E M P L O 4

Calcula la resta de 13

2 12

23

14

a ab b a ab bx y y x y y− +

− − +

S o l u c i ó n

13

2 12

23

14

a ab b a ab bx y y x y y− +

− − +

= − +

+ − + −

13

2 12

23

14

a ab b a ab bx y y x y y

= −

+ − +

+ −

13

2 23

12

14

a a ab ab b bx x y y y y

= −

+ − +

+ −

13

1 2 23

12

14

a ab bx y y

= −

+ − +

+ −

1 33

6 23

2 14

a ab bx y y

= − − +23

43

14

a ab bx y y

E J E R C I C I O S

Resuelve las siguientes sustracciones de polinomios.

1.

5 6 5 6 2 1 53 2 2 3a a a a a a− + −( ) − + + +( ) =

4.

12

34

25

16

14

2 2 2q p pq q pq− −

− −

=

2.

2 2 8 3 4 6 2 83 2 4 2x x x x x x+ − +( ) − − + −( ) =

3.

5 8 22 2 9 3 2 9x y xy y x xy y− +( ) − − +( ) =


R. 212a2 2 a 2 6

R. 2y9 2 7xy2 1 5x2y 2 x3


Sumas y restas combinadas. Resuelve las siguientes sumas y restas de polinomios.

1.

3 5 1 5 2 8 5 6 5 63 3 2 3 2u u u u u u u+ −( ) + − +( ) − − + + +( ) =

3.

5 8 22 2 9 3 2 9 3 9a b ab b a ab b a b− +( ) − − +( ) + −( ) =

2.

2 2 8 3 3 2 4 6 2 83 2 2 3 4 2x x x x x x x x x+ − +( ) + − +( ) − − + −( ) =

R. 13u3 2 8u2 1 1

R. 5a2b 2 7ab2 2 2b9

Multiplicación de monomios

M U L T I P L I C A C I Ó N D E M O N O M I O S Y P O L I N O M I O S

La multiplicación de monomios se realiza multiplicando entre sí los coefi cientes numéricos y sus partes literales teniendo en cuenta las leyes de los exponentes.

E J E M P L O S

a)

2 3 2 3 62 5 2 1 1 5 3 6a b ab a b a b( ) −( ) = −( ) = −+ +

b)

23

9 23

91

62 3 2 1 3 2 2 4 4xy x y x y x y

( ) = ⋅

=+ +

Multiplicación de polinomios

a b c d c a b d a b ac ad bc bd+( ) +( ) = +( ) + +( ) = + + +

Esto equivale a multiplicar cada uno de los términos de un factor por cada uno de los términos del otro factor y al fi nal sumar estos productos.

Para obtener el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas es necesario utilizar varias veces la propiedad distributiva.

E J E M P L O S

a)

2 5 2 2 5 2 22 2 2x xy x xy x( ) −( ) = ( ) + −( )

= −10 43 2x y x

b) 2 1 3 5 2 3 5 1 3 5a a a a a−( ) −( ) = −( ) + −( ) −( )

= − + − +( )6 10 3 52a a a

= − − +6 10 3 52a a a

= − +6 13 52a a

(a 1 b)(c 1 d) 5 ac 1 ad 1 bc 1 bd

Multiplicación de monomios y polinomios • 99


c)

2 3 2 2 2 3 23 3 3x x x x x x x x−( ) + +( ) = + +( ) + −( ) + +( )

= + + + − − −( )

2 2 3 3 64 2 3x x x x x

= − + − − 2 3 64 3 2x x x x

= − + − −2 6 2 2 124 3 2x x x x

E J E R C I C I O S

Obtén el producto de las siguientes multiplicaciones.

3.

3 42 3 5x y x y( )( ) =

1.

3 24 3x x( )( ) =

2.

5 22r ru( ) −( )

R. 6x7

R. 12x5y6

4.

−( )( ) =2 42 3 3a b a b

7.

23

19

3 12

3 2 2 2 2x y x x y y

− +

=

5.

xy x x y y( ) − +( ) =4 3 2 2

6.

x x y xy x y3 2 2 33 7 2− +( )( ) =


R. 4x2y 2 3x3y2 1 y3

R.

227

2 13

4 2 5 4 3 4x y x y x y− +


8.

2 5 3 22x y x y−( ) +( ) =

11.

4 2 2 2 12 2j j j j− −( ) − −( ) =

9.

x xy y x y2 2 3− +( ) −( ) =

10.

a ab b a b2 2− +( ) −( ) =

R. 4j 4 2 10j 3 2 2j 2 1 6j 1 2

R. 3x3 2 4x2y 1 4xy2 2 y3

12.

32

35

2 25

2x x x− −

−

=

13. De la siguiente fi gura calcula las siguientes áreas:a) Área del rectángulo mayorb) Área del rectángulo menorc) Área del espacio blanco

2x 1 3

2x 1 1

x 2x

14. Calcula el área de la cruz en blanco.x x

x x

l

x x

x x

m

15. ¿Cómo se calcularía el volumen de esta fi gura?

Volumen 5

x

x 1 2

3x 1 2



Monomio entre monomio

D I V I S I Ó N D E P O L I N O M I O S

E J E M P L O 1

División de monomio entre monomio.

a)

9 3 93

3 32 3 22 3

22 1 3 2a b ab a b

aba b ab( ) ÷ −( ) =

−= − = −− −

b)

−

÷ −

=

−−

= =25

15

105

23 225

3

15

2

2

2a aba

abab

a22

2b

E J E M P L O 2

División de polinomio entre monomio.

9 6 4 39 6 44 2 3 3 2 4 2 2

4 2 3 3 2

x y x y x y x yx y x y x− +( ) ÷ ( ) = − + yy

x y

4

2 23

= − +9

3

6

3

4

3

4 2

2 2

3 3

2 2

2 4

2 2

x y

x y

x y

x y

x y

x y

= − +3 2 43

2 2x xy y

E J E R C I C I O S

Realiza las siguientes divisiones.

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio en-tre el monomio, expresando el resultado como una serie de divisiones de monomios.

1.

24

6

3 4

2

x y

xy−=

R. 24x2y2

2.

xx

b

b

+

+ =3

2

5.

18 13 5 34 4 3 2 2x y x y x y x y− +( ) ÷ ( ) =

3.

2

5

3 4

5 2

x y

x y=

4.

6 32a b a bx x x+( ) ÷ ( ) =

División de polinomios • 105

R. 2

5

2

2

y

x

R. 6 133

53

2 3x y x− +


6.

20 5 8 44 5 7 2 2a b a a b a− +( ) ÷ ( ) =

7.

x y x y x y

x y

m m m m m

m m

+ + =+ − −

+

1 2 1

1

4

8.

− + − =3 5 105

2 5 7u v uv vuv

Polinomio entre polinomio

La división entre polinomios se realiza aplicando el algoritmo de la división aritmética. Recordemos este procedimiento con el siguiente ejemplo.

15 243

215

16

93290

3

cociente

dividendo

divisor

residuo

multiplica el divisor por 1resta y baja el 3

multiplica el divisor por 6y resta

R.

1 42 2y

xy x ym + +

La división anterior también se puede expresar como

24315

16 315

16 15

= + = +

Con la siguiente ilustración vamos a recordar la división larga de un polinomio entre otro polinomio. Primero ordenamos el dividendo y el divisor en forma descendente.

Algoritmo de la división

Si P(x) y d(x) son polinomios tales que d(x) no es cero y el grado de d(x) es menor o igual que el grado de P(x), entonces existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que

P x d x q x rdividendo divisor cociente

( ) = ( ) ( ) + xxresiduo

( )

en donde el grado de r(x) es menor que el grado de d(x).

El resultado de la división anterior es

6 26 124

6 2 44

2x xx

xx

− +−

= − +−

multiplicando por (x 2 4) ambos lados de la igualdad, la división se puede escribir así:

6 26 12 6 2 4 42x x x x− + = −( ) −( ) +

y su expresión en forma de polinomios es P(x) 5 q(x)d(x) 1 r(x), donde q(x) es el cociente de la división, d(x) es el divisor de la división y r(x) es el residuo.

Esto ilustra un teorema bien conocido: el algoritmo de la división.

26 −x4−x 1 22 6 6 2 +−

−

+xx

x x 2 4 −6 2

1 22 +− x

82 x

)divisor

cociente

dividendomultiplica el divisor por 6xresta y baja 12multiplica el divisor por 22restaresiduo



El algoritmo de la división también puede escribirse como

P x

d xq x

r x

d x

( )( ) = ( ) + ( )

( )

E J E R C I C I O S

Efectúa las siguientes divisiones de polinomios.

3.

x y x y2 2−( ) ÷ −( ) =

1.

4 5 6 2 33x x x+ −( ) ÷ −( ) =

2.

20 5 8 3 4 34 3 2a a a a− + −( ) ÷ −( ) =

R. 2 3 7 152 3

2x xx

+ + +−

R. x 1 y

4.

5 2 3 4 2 13 2 2a a a a a− + −( ) ÷ − +( ) =

5.

x x x x x x x6 5 3 2 4 22 6 7 4 6 3 2− + − − +( ) ÷ − +( ) =

División sintética

La división sintética es un método abreviado de la división de polinomios, pero únicamente para cuando tenemos divisores de la forma x 2 k. Este método es de gran ayuda para encontrar los factores de un polinomio. Enseguida te presentamos un ejemplo para un polinomio cúbico, pero la técnica la puedes usar en expresiones de grado cuarto o mayor.

División sintética

Para dividir ax3 1 bx2 1 cx 1 d entre x 2 k utiliza la siguiente técnica,

a

a b

ka

c dk

r

coeficientes del cociente

residuo

��

Forma vertical: suma términos.Forma diagonal: multiplica por k.


R. x2 2 2x 1 3


E J E M P L O 1

Vamos a dividir 6x2 2 26x 1 12 entre x 2 4, la división que resolvimos por el método largo.

El divisor x 2 k 5 x 2 4 signifi ca que k 5 4

Por lo tanto, tenemos que

6 26 124

6 2 44

2x xx

xx

− +−

= − +−

E J E M P L O 2

Dividir 6x3 2 19x2 1 16x 2 4 entre x 2 2

4 6 226 12 }

24 28

{ 6 22 4

Coeficientesdel dividendo

Coeficientesdel divisor Residuo

Entonces, tenemos que

6 19 16 42

6 7 23 2

2x x xx

x x− + −−

= − +

2 6 219 16 24

12 214 4

6 27 2 0

E J E R C I C I O S

Efectúa las siguientes divisiones utilizando la división sintética.

1.

2 18 7 34 3 2a a a a− − −( ) ÷ +( ) =

4.

x x x3 22 9 2− +( ) ÷ +( ) =

2.

8 3 1 15 2x x x− −( ) ÷ −( ) =

3.

3 7 20 24x x x− −( ) ÷ −( ) =


R. 3 6 12 17 142

3 2x x xx

+ + + +−

R. 2 7 3 9 203

3 2a a aa

− + − ++


a b a a b ab b+( ) = + + +3 3 2 2 33 3

Los productos notables son fórmulas para obtener productos de multiplicaciones de una manera más rápida y efi ciente, esto se logra al abreviar la aplicación del algoritmo normal estudiado en apartados anteriores.

Estas fórmulas son transformaciones algebraicas que con la utilización adecuada de las propiedades de los números reales nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos para la operación que defi nen.

En esta parte del curso veremos algunas expresiones algebraicas cuyos productos pueden obtenerse a partir de una regla general, sin tener que realizar la multiplicación directa. Estos procesos generales se conocen como productos notables.

P R O D U C T O S N O T A B L E S

a

b

b

a

ba

a

bb3 de éstos

a a

1 de éstos

abb

b

1 de éstos

a

a b

3 de éstos

Productos notablesProducto de dos binomioscon un término común

Cubo de un binomio

Cuadrado de un binomio

Producto de dos binomiosconjugados

Binomio de Newton

Cuadrado de un binomio

Observa la fi gura de la derecha y fíjate que el área es

a b a ab b+( ) = + +2 2 22

Esta interpretación geométrica de elevar un binomio al cuadra-do se puede enunciar algebraicamente de la siguiente manera:

al cuadrado

a b a

a b

+( ) =+

2 2 cuadrado delprimer término

+ 22ab Doble del primertérmino por el segundo

Cuadrado d

+ b2

eelsegundo término

E J E M P L O S

Utilización de la regla para elevar un binomio al cuadrado.

a) x x x+( ) = ( ) + ( )( ) + ( )3 2 3 32 2 2

= + +x x2 6 9

b) 2 3 2 2 2 3 32 2 2a b a a b b−( ) = ( ) + ( ) −( ) + −( )

= − +4 12 92 2a ab b

c)

a a ax x x−

= ( ) + ( ) −

+ −

23

2 23

23

2 2 2

= − +a ax x2 4

349

d) x y z x y z x y x y z+ −( ) = +( ) − = +( ) + +( ) −( )2 2 2 2 22 2 2 ++ −( )z2

= + + − − +x xy y xz yz z2 2 24 4 2 2

La regla anterior facilita el cálculo de cuadrados numéricos cuando no tenemos una calculadora. Veamos dos ejemplos.

23 20 3 20 2 20 3 3 400 120 92 2 2 2( ) = +( ) = ( ) + ( )( ) + ( ) = + + == 529

28 30 2 30 2 30 2 2 900 1202 2 2 2( ) = −( ) = ( ) + ( ) −( ) + −( ) = − ++ =4 784

Los ejemplos nos enseñan que el producto que obtenemos al elevar un binomio al cuadrado está formado por tres términos; el primero y el tercero son el cuadrado de cada uno de los términos del binomio y el segundo es el doble producto de éstos. Un trinomio con estas características se llama trinomio cuadrado perfecto.

a

a a

b

b ab

ab

(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2

b2

a2

Productos notables • 113


E J E R C I C I O S

Desarrolla las siguientes expresiones.

1. x −( ) =3 2

4. 2 3 2a −( ) =

2. u +( ) =5 2

3. 2 1 2x +( ) =

5. x y+( ) =2 2

8.

4 32 2x x−( ) =

6. 3 2 2x y−( ) =

7.

3 32

2

a −

=



9. x y+ −( ) =2 3 2

10. m r+ −( ) =2 3 2

Producto de dos binomios conjugados

Encuentra el área de la región sombreada en la siguiente fi gura realizando la operación indicada.

A a a b b a b= −( ) + −( ) =

Fíjate en la fi gura que la multiplicación anterior es equivalente a multiplicar (a 1 b)(a 2 b),

a b a b a ab ab b a b+( ) −( ) = − + + = −2 2 2 2

Los binomios como los anteriores se llaman conjugados porque tienen dos términos que son exactamente iguales y los otros dos difi eren sólo en el signo; como viste en las multiplicaciones anteriores, su producto es la diferencia de sus cuadrados.

a

b

a b

a 2 b a(a 2 b) b(a 2 b)

Regla

El producto de dos binomios conjugados da como resultado la diferencia de los cuadrados de sus términos.

(a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2

E J E M P L O S

Productos de binomios conjugados.

a)

a a a a+( ) −( ) = − = −3 3 3 92 2 2

b) 2 3 2 3 2 3 4 92 2 2 2a b a b a b a b+( ) −( ) = ( ) − ( ) = −

c) 3 5 3 5 3 5 9 252 2 2 2x y x y x y x y−( ) +( ) = ( ) − ( ) = −

d)

12

23

12

23

12

23

2

a b a b a bx y x y x y+

−

=

−

= −

22 21

449

a bx y

e) 2 3 2 3 2 3 4 12 92 2 2a b c a b c a b c a ab+ −( ) + −( ) = +( ) − ( ) = + + bb c2 2−

E J E R C I C I O S


1. x x−( ) +( ) =7 7

2. x x+( ) −( ) =11 11



3.

u x−( ) +( ) =5 5

6.

2 7 2 7x xn n−( ) +( ) =

4. 3 7 3 7x x−( ) +( ) =

5. 5 4 5 4x x−( ) − −( ) =

7.

3 32

3 32

a a−

+

=

10. 5 2 3 5 2 3m r m r+ −( ) + +( ) =

8.

12

3 12

3x x−

+

=

9. x y x y+ −( ) + +( ) =2 3 2 3



Cubo de un binomio

Otro producto notable muy útil es el cubo de un binomio, cuya regla se obtiene a partir del desarrollo del algoritmo normal de la multiplicación.

a b a b a b+( ) = +( ) +( )3 2

= + +( ) +( )a ab b a b2 22

= + + + + +a a b a b ab ab b3 2 2 2 2 32 2

= + + +a a b ab b3 2 2 33 3

Este producto recibe el nombre de cubo perfecto y su regla es la siguiente.

a

b

b

a

ba

Cubo de un binomio

El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

E J E M P L O S

Uso de la regla para elevar un binomio al cubo.

a) 2 3 2 3 2 3 3 2 3 33 3 2 2 3a b a a b a b b+( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + ( )

= + + +8 36 54 273 2 2 3a a b ab b

b) x y x x y x y y−( ) = + −( ) + −( ) + −( )2 3 2 3 2 23 3 2 2 3

= − + −x x y xy y3 2 2 36 12 8

c)

2 12

2 3 2 12

3 2 12

23

2 3 2 2 2a b a a b a+

= ( ) + ( )

+ ( ) bb b

+

2 312

= + + +8 6 3

218

6 4 2 2 3a a b a b b

E J E R C I C I O S


1. x +( ) =7 3

2. 2 5 3u v−( ) =

3. 5 42 4 3

x y−( ) =



4.

3 32

3

a +

=

5.

0 25 0 052 3. .x x−( ) =

Producto de dos binomios con un término común

Calcula el área de cada uno de los siguientes rectángulos.

A1 = A2 =

mn

nx

n x

xx2

a2

mx m

a

a an

mnamm

n

En ambos casos habrás observado que hay un elemento común al sumar las áreas en que están divididos los rectángulos. Es decir,

A x mx nx mn x m n x mn12 2= + + + = + +( ) +

A a am an mn a m n a mn22 2= + + + = + +( ) +

El cálculo de este tipo de productos recibe el nombre de binomios con un término común y su regla es la siguiente.

Producto de dos binomios con un término común

Cuadrado del común, más la suma de los no comunes por el común más el producto de los no comunes.

x m x n x+( ) +( ) = Cuadrado del co

2

mmún Suma de los no c

+ +( )m n x

oomunespor el común

Pro

+ mndducto de los

no comunes

E J E M P L O S

Aplicación de la regla del producto de dos binomios con un término común.

a)

x x x x x x+( ) −( ) = + −( ) + ( ) −( ) = + −7 5 7 5 7 5 2 352 2

b) 2 3 2 5 2 3 5 2 3 5 4 42 2a a a a a a+( ) −( ) = ( ) + −( )( ) + ( ) −( ) = − −−15

c)

2 12

2 23

2 12

23

23 3 3 2 3x x x x−

+

= ( ) + − +

( ) ++ −

= + −1

223

4 13

13

6 3x x

E J E R C I C I O S

Desarrolla los siguientes productos.

1. x x−( ) +( ) =3 5



2. u u+( ) −( ) =5 9

5. 5 4 5 3x x−( ) +( ) =

3. 2 3 2u x+( ) +( ) =

4. 3 7 3 2x x−( ) +( ) =

6.

2 7 2 3x xn n−( ) +( ) =

9.

x y x ym m+( ) +( ) =2 3

7.

3 32

3 12

a a−

+

=

8.

12

3 12

2x x−

−

=



10. 5 2 5m r m r+( ) +( ) =

En este apartado estudiaremos los métodos de Pascal y de Newton como elementos auxiliares para desarrollar diferentes potencias de binomios. Para ello tomaremos las potencias sucesivas del binomio (a 1 b)n, utilizando el algoritmo natural de la multiplicación y los productos notables estudiados hasta aquí.

T R I Á N G U L O D E P A S C A L Y B I N O M I O D E N E W T O N

Observa que la cuartapotencia de (a 1 b) seobtiene así:(a 1 b)4 5 (a 1 b)3(a 1 b)

(a 1 b)0 5 1

(a 1 b)1 5 a 1 b

(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2

(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

(a 1 b)4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4

(a 1 b)5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 b5

(a 1 b)6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6

Si analizamos con cuidado el desarrollo de los binomios anteriores encontraremos las siguientes características:

• El desarrollo de (a 1 b)n tiene n 1 1 términos.• La suma de los exponentes de a y b en cada término del desarrollo de (a 1 b)n

es n.• Los exponentes de a en el desarrollo de (a 1 b)n decrecen término a término

de n hasta 0, mientras que los de b crecen en la misma dirección.

El triángulo que llamamos de Pascal se forma a partir de los coefi cientes que resultan al desarrollar las potencias de (a 1 b)n.

Triángulo de Pascal

• El primero y el último número de cada fi la son iguales a 1.• Todo número de un triángulo que esté situado en medio y debajo de

otros dos resulta de la suma de éstos.

E J E M P L O S

Utilización del triángulo de Pascal para el desarrollo de (a 1 b)n.

a) Desarrolla (x 1 2y)5

S o l u c i ó n

Para encontrar los coefi cientes del binomio, desarrollamos el triángulo de Pascal hasta la fi la 6, una más que la indicada por el exponente 5.

x y x x y x y x y x+( ) = + ( ) + ( ) + ( ) +2 1 5 2 10 2 10 2 5 25 5 4 3 2 2 3yy y( ) + ( )4 51 2

= + + + + +x x y x y x y xy y5 4 3 2 2 3 4 510 40 80 80 32

a) Desarrolla (3x 2 2)4

S o l u c i ó n

Para encontrar los coefi cientes del binomio, desarrollamos el triángulo de Pascal hasta la fi la 5 una más allá que la indicada por el exponente 4.

3 2 1 3 4 3 2 6 3 2 4 34 4 3 2 2x x x x x−( ) = ( ) + ( ) −( ) + ( ) −( ) + ( ) −−( ) + −( )2 23 4

= − + + − +81 216 216 96 164 3 2x x x x

E J E R C I C I O S

Utilizando el triángulo de Pascal desarrolla las siguientes expresiones.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1

1 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Coeficientes dela sexta fila

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Coeficientes dela quinta fila

1.

x2 43+( ) =

Triángulo de Pascal y binomio de Newton • 127


2. 2 5 6u v−( ) =

5.

x hn −( ) =5

3.

5 42 5x y−( ) =

4.

3 32

7

a +

=

Un método más general para desarrollar binomios elevados a una potencia n es el binomio de Newton, o teorema del binomio, que fue demostrado por Isaac Newton en el siglo XVIII y que permite encontrar, además, cualquier término del desarrollo de una potencia. Puesto que no es el propósito de este material demostrar tal teorema, sólo se usará el algoritmo correspondiente.

Para poder utilizar la fórmula que describe el comportamiento de los coefi cientes al desarrollar el binomio de Newton es necesario explicar la notación factorial.

Notación factorial

El producto de los n primeros números naturales se representa por n! y se llama n factorial:

n! 5 1 ? 2 ? 3 … (n 2 1)n

También lo defi nimos como 0! 5 1.

E J E M P L O S

Factorial de un número

a) 4! = ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 3 4 24

b) 7! = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 3 4 5 6 7 5 040,

Coefi ciente binomial

Sean n y r enteros no negativos, con r # n. El coefi ciente binomial se escribe nr

y se defi ne como sigue:

nr

nr n r

=

−( )!

! !

E J E M P L O S

Cálculos de coefi cientes binomiales.

a)

94

94 9 4

1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3

=

−( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

!! ! 44 1 2 3 4 5

126( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) =

b)

403

403 40 3

1 2 3 37 38 39 401

=

−( ) = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅!! ! ⋅⋅ ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) =

2 3 1 2 3 379 880,



E J E R C I C I O S

Evalúa las siguientes expresiones.

3.

10098

=

1.

64

=

2.

83

=

R. 15

R. 4,950

5.

31

42

=

4.

105

=

Ahora ya podemos enunciar el teorema del binomio.

E J E M P L O S

Aplicación del teorema del binomio.

a)

x y x x y x+( ) =

+

+

− −4 4 4 1 440

41

42

22 2 4 1 443

44

y xy y+

+

−

= + + + +x x y x y xy y4 3 2 2 3 44 6 4

b)

( ) ( ) ( ) ( )3 250

351

3 252

5 5 5 1a a a+ =

+

+−

+

+

− −( ) ( ) ( ) ( )3 2

53

3 254

5 2 2 5 3 3a a +

−( ) ( ) ( )3 255

25 4 4 5a

= + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) +243 5 81 2 10 27 4 10 9 8 5 35 4 3 2a a a a aa( )( ) +16 32

= + + + + +243 810 1080 720 240 325 4 3 2a a a a a

Teorema del binomio

a bn

an

a bn

an n n n+( ) =

+

+

− −0 1 2

1 22 2 1

1b

nn

abnn

bn n+…+ −

+

−


R. 18


E J E R C I C I O S

Desarrolla las siguientes expresiones utilizando el binomio de Newton.

3. 2 33 6

k h+( ) =

1. x y+( ) =3 4

2. a b−( ) =2 7

4. a b−( ) =10

7. 3 6x y−( ) =

5. a b2 2 3

2−( ) =

6. 4 4a b−( ) =



Cuando queremos encontrar cualquier término del desarrollo de un binomio, sin determinarlo por completo, utilizamos la siguiente expresión.

Término general del desarrollo de un binomio

El término que contiene a ar en el desarrollo de (a 1 b)n es

nn r

a br n r

−

−

E J E M P L O

Determinación de término del desarrollo de un binomio.

Determina el término que contiene a a5 en el desarrollo de (2a 1 b)20.

S o l u c i ó n

El término que contiene a a5 resulta al desarrollar (2a 1 b)20. Este término es

2020 5

2 205 15

325 20 5 5 15

−

( ) = ( ) =−a b a b!

! !4496 128 5 15, a b

E J E R C I C I O S

Determina el término que se te pide en cada uno de los siguientes binomios.

1. El quinto término de

a y2 3 12+( )

2. Determina el cuarto término de

x y2 73−( )

3. Determina el sexto término de 3 2 8a b−( )



Cuando utilizamos la propiedad distributiva de las expresiones en sentido inverso al desarrollo de la multiplicación o de los productos notables, lo que estamos realizando es un proceso que se llama factorización. Por ejemplo, escribimos

F A C T O R I Z A C I Ó N

Factor común en un polinomio

Compara las multiplicaciones que aparecen a continuación con los factores y observa si puedes descubrir un patrón de comportamiento.

FACTORIZACIÓN

DESARROLLO

5x2 2 4 (x 1 2)(x 2 2)

Lo que nos enseñan los ejemplos anteriores es que tenemos que encontrar un factor común a todos los términos de la expresión y que para poder factorizar el polinomio es necesario seleccionar el máximo factor común, axn, donde:

• a es el máximo entero que divide a cada uno de los coefi cientes del polinomio y• n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

E J E M P L O S

a) Factoriza 6 183 2x x+

S o l u c i ó n

Aquí tenemos que 6 y 18 tienen como máximo factor común a 6 y, x3 y x2 tienen como máximo factor común a x2, así que escribimos:

6 18 6 33 2 2x x x x+ = +( )

b) Factoriza 6 8 23 2 2 3 4x y x y xy+ −

3 3 3x y x y+( ) = +

2 3 2 6a x ax a+( ) = +

3 3 3x y x y+ = +( )

2 6 2 3ax a a x+ = +( )

Producto Factores

Verifi camos la multiplicación:

6x2(x 1 3) 5 6x3 1 18x2

S o l u c i ó n

Aquí tenemos que 6, 8 y 2 tienen como máximo factor común a 2, mientras que x3y2, x2y3 y xy4 tienen como máximo factor común a xy2, por lo que escribimos

6 8 2 2 3 2 4 23 2 2 3 4 2 2 2x y x y xy xy x xy xy x+ − = ( )( ) + ( )( ) + yy y2 2( ) −( )= + −( )2 3 42 2 2xy x xy y

E J E R C I C I O S

Factoriza completamente las siguientes expresiones.

3. 4 322a + =

1. 9 18y − =

2. − − =3 18y

Factorización • 137

Verifi camos la multiplicación:

2xy2(3x2 1 4xy 2 y2) 56x3y2 1 8x2y3 2 2xy4


4. 3 6 93 2x x x+ + =

7. 5 15 10 207 6 3 2x x x x− + − =

5. − − =3 183 6x x

6. 8 4 163 2x x x+ − =

8. 3 4 4x y x+( ) − +( ) =

9. 5 2 2y x y−( ) − −( ) =

10. p x q x q−( ) − −( ) =

Factorización por agrupación

Al parecer, un polinomio como x3 1 2x2 1 3x 1 6 no tiene un factor común, pero si utilizamos la propiedad asociativa y después la distributiva veremos que sí es posible factorizar. He aquí la forma de hacerlo:

x x x x x x3 2 3 22 3 6 2 3 6+ + + = +( ) + +( ) Propiedad asociativa

= +( ) + +( )x x x2 2 3 2 Factor común en cada binomio

= +( ) +( )x x2 32

Propiedad distributiva con el MFC



E J E M P L O

Factoriza 6 2 9 32 2x xy xy y+ + − −

6 2 9 3 6 2 9 32 2 2 2x xy xy y x xy xy y+ + − − = +( ) + − −( ) Propiedad asociativa

= +( ) − +( )2 3 3 3x x y y x y Factor común en cada binomio

= +( ) −( )3 2 3x y x y Propiedad distributiva con el MFC

E J E R C I C I O S

Factoriza por agrupación.

3. y y y3 23 3− + − =

1. x x x3 22 2+ + + =

2. x x x3 23 3+ + + =

R. (x 1 2)(x2 1 1)

R. (y 2 3)(y2 1 1)

4. y y y3 25 5− + − =

7. 3 12 44 2 2x x x+ + + =

5. 4 6 2 33 2a a a+ + + =

6. 6 3 2 13 2x x x+ + + =


R. (2a 1 3)(2a2 1 1)

R. (3x2 1 1)(x2 1 4)


8. x y x y2 22 2 4+ − − =

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Ve los dos cuadrados que aparecen abajo y fíjate que, aunque el área está expresada en dos formas diferentes, es exactamente la misma.

El modelo geométrico anterior nos enseña que:

a a a2 210 5 5+ + = +( )

y que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto se obtiene de la siguiente manera:

Producto

A 5 a2 1 10a 1 25

5a

a2

25

5a

Factores

A 5 (a 1 5)(a 1 5) 5 (a 1 5)2

5

a

a 5

5

Raíz cuadrada deprimer término

Raíz cuadrada desegundo término

Signo del dobleproducto

4x2 2 20x 1 25 5 (2x 2 5)2

E J E M P L O S

Factores de un trinomio cuadrado perfecto

a)

9 12 4 32 2

9 2

x xy y xx

+ + = + Raíz de

Raíz de

24

2

2

yy

b)

x xy y x y2

2 4 22

42 4

22− + = −

E J E R C I C I O S

Factoriza cada trinomio cuadrado perfecto.

2. x x2 4 4+ + =

1. x x2 6 9− + =



3. 9 42 492y y+ + =

6. x x4 22 1+ + =

4. 144 144 3652y y+ + =

5. 16 40 252a a+ + =

7.

14

25

425

4 2 3 6x x y y− + =

8.

425

425 9

2 2 4x xy y− + =

Completando un trinomio cuadrado perfecto

La expresión x2 1 4x 2 8 evidentemente no es un trinomio cuadrado perfecto pero se puede factorizar parcialmente con tan sólo manipular el cero de la siguiente manera.

x x x x2 2 2 24 8 4 2 2+ − = + + − 2 es la mitad delcoeeficiente de 4La resta es 0

x.

− 8

= + +x x2 24 2Los primeros trestérminos son untriinomio cuadradoperfecto

− − = +( )2 8 22 2x −−12

E J E M P L O S

Completa un trinomio cuadrado perfecto.

a)

x x x x2 2 2 26 10 6 3 3 10+ − = + + − − cero

= + + −x x2 26 3 3Trinomio cuadradoperfecto

22 210 3 19− = +( ) −x



b)

x x x x x x

cero

2 23 16 3 16 2 4 2 4− + = − + + ( ) − ( )

= − ( ) +x x2 2 4 16

Trinomio cuadrado perfecto

+ ( ) −2 4 3x x

= −( ) +x x4 52

Observa que en este ejemplo tenemos dos cuadrados perfectos x2 y 16, pero sus raíces respectivas por 2 no nos producen el doble producto que necesitamos, así que tuvimos que utilizar el cero para completar el doble del primero por el segundo.

c)

4 12 5 4 12 3 32 2 2 2y y y y− − = − + −El 3 es el númeroneceesario donde12 2 3 2

5

y y= ( )( )

−

= − + − −4 12 3 3 52 2 2y yTCP

= −( ) −2 3 142y

E J E R C I C I O S

Completa cada trinomio cuadrado perfecto y factoriza parcialmente.

2. 4 162y y− + =

1. x x2 6− =

R. (x 2 3)2 2 9

3. 36 48 632a a+ + =

4. a a4 121− + =

Factores de trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c

Para encontrar los factores de un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c, con a � 0, es necesario dividir la situación en dos casos:

ax bx caa

2 11

+ + =≠{ cuando

cuando

En el primer caso, cuando a 5 1, para factorizar un polinomio cuadrático de la forma x2 1 bx 1 c, es necesario observar que

x m x n x+( ) +( ) = Producto delcomun

2 ++ +( )

Suma de los no comunespo

m n x

rr el común

Producto de

+ mnllos

no comunes

donde m y n son números tales que (m 1 n) 5 b y mn 5 c.


R. (6a 1 4)2 1 47


E J E M P L O S

Factores de x bx c2 + + por ensayo y error.

a) Factoriza x x2 7 12+ +

S o l u c i ó n

Aquí mn 5 12 y m 1 n 5 7; así que buscamos por ensayo y error factores de 12 cuya suma sea 7.

Entonces, m 5 3 y n 5 4 son los factores de 12 cuya suma es 7. Por lo tanto,

x x x x2 7 12 3 4+ + = +( ) +( )

b) Factoriza y y2 8 15− +

S o l u c i ó n

Aquí, mn 5 15 y m 1 n 5 28; de manera que buscamos por ensayo y error factores de 15 cuya suma sea 28.

Entonces, m 5 23 y n 5 25 son los factores de 15 cuya suma es 28. Por consiguiente,

x x x x2 8 15 3 5− + = −( ) −( )

En el segundo caso, cuando a � 1, para factorizar un polinomio cuadrático de la forma ax2 1 bx 1 c, es necesario encontrar factores de la forma px 1 m y qx 1 n:

ax bx c px n qx m pqx pn qm x mn2 2+ + = +( ) +( ) = + +( ) +

donde p, q, m y n son números tales que pq 5 a, (pn 1 qm) 5 b y mn 5 c.

m 1 2 3

n 12 6 4

Suma 13 8 7

m 21 23

n 215 25

Suma 216 28

E J E M P L O S

Factores de ax bx c2 + + por ensayo y error.

a) Factoriza 6 7 52x x+ −

S o l u c i ó n

Aquí pq 5 6, pn 1 qm 5 7 y mn 5 25; entonces, buscamos por ensayo y error los valores anteriores.

pq mn pn qm+

6 1( )( ) −( )( )1 5 6 5 1 1 29( )( ) + ( ) −( ) =

3 2( )( ) 5 1( ) −( ) 3 1 2 5 7( ) −( ) + ( )( ) =

Entonces, p 5 3, q 5 2, m 5 5 y n 5 21. Por lo tanto,

6 7 5 3 5 2 12x x x x+ − = +( ) −( )

E J E R C I C I O S

Factoriza cada una de las siguientes expresiones.

1. x x2 8 15+ + =

2. x x2 9 8+ + =



3. y y2 30+ − =

6. x x4 22 8+ − =

4. y y2 13 40− + =

5. a a2 11 26+ − =

Continúa de la misma manera.

7. x xm m2 2 8− − =

10. 4 12 92t t− + =

8. 5 4 122y y+ − =

9. 4 12 92a a+ + =



11. 2 7 42x x− − =

12. 5 7 22t t+ + =

13. 4 4 32x x− − =

Factores de una diferencia de cuadrados

Recordemos que el resultado de multiplicar dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados. Así que al factorizar una diferencia de cuadrados, el proceso es inverso, es decir;

a b a b a b+( ) −( ) = −2 2

entonces

a b a b a b2 2− = +( ) −( )

E J E M P L O S

Factoriza una diferencia de cuadrados:

a)

4 9 4 9 4 9 2 3 2 32 2 2x x x x x− = +( ) −( ) = +( ) −( )

b)

16 4 44 6 2 3 2 3a b a b a b− = +( ) −( )c)

x y y x y y x y y x x y+( ) − = +( ) + +( ) − = +( )2 2 2

d)

6 6 6 1 6 1 12 2a a a a− = −( ) = +( ) −( )

E J E R C I C I O S

Factoriza cada una de las siguientes expresiones:

2. − + =81 42 2x y

1. 25 162x − =



3. 625 642a − =

6. 1 4− =x

4. 4 472y x − =

5. 2 3 362y −( ) − =

7. 16 36 5b b− =

8. x x3 − =

Factores de sumas y diferencias de cubos

Para factorizar expresiones como a3 1 b3 o a3 2 b3 es necesario recordar la división entre polinomios. Por ejemplo,

a ba b

a ab b3 3

2 2++

= − +

por lo tanto,

a b a b a ab b3 3 2 2+ = +( ) − +( )De la misma manera:

a ba b

a ab b3 3

2 2−−

= + +

luego

a b a b a ab b3 3 2 2− = −( ) + +( )



E J E M P L O S

Factoriza sumas y diferencias de cubos.

a)

27 8 3 2 3 2 3 3 2 23 3 3 2 2a a a a a+ = ( ) + = +( ) ( ) − ( )( ) + ( )

= +( ) − +( )3 2 9 6 42a a a

b)

x x x x x6 2 3 3 2 2 2 2 264 4 4 4 4− = ( ) − = −( ) ( ) + ( )( ) + ( )

= −( ) + +( )x x x2 4 24 4 16

E J E R C I C I O S


2. − + =81 3 3x y

1. 125 13x − =

3. a3 27+ =

6. x y6 6− =

4. a3 27− =

5. x6 64− =



Factores de un cubo perfecto

Para factorizar un cubo perfecto sólo debemos analizar que el polinomio que deseamos factorizar contenga: el primer término al cubo, el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, el triple producto del primero por el cuadrado del segundo y el cubo del segundo, como se representa a continuación.

a a b ab b a b3 2 2 3 33 3+ + + = +( )

E J E M P L O S

Factores de un cubo perfecto.

a) 8 36 54 27 2 3 2 3 3 2 3 33 2 3 2 2x x x x x x+ + + = ( ) + ( ) ( ) + ( )( ) + (( )3

= +( )2 3 3x

b)

8 36 54 27 2 3 2 36 4 3 2 6 9 2 3 2 2 3a a b a b b a a b− + − = ( ) + ( ) −( ) ++ ( ) −( ) + −( )3 2 3 32 3 2 3 3a b b

= −( )2 32 3 3

a b

E J E R C I C I O S


2. x a b ab b3 2 2 36 12 8− + + =

1. x x x3 23 3 1+ + + =

3. 8 27 36 543 2− − + =y y y

6. x x xn n3 23 3 1+ + + =

4. 64 240 300 1253 2 2 3a a b ab b− + − =

5. 8 36 54 273 2x x x− + − =



Factorizando completamente una expresión algebraica

A veces, al factorizar un polinomio, es posible factorizar de nuevo la expresión resultante, lo cual permite simplifi car la expresión. A este proceso de factorizar un polinomio hasta que ya no sea posible continuar se le llama factorización completa.

E J E M P L O

Factoriza por completo los siguientes polinomios.

a)

2 8 2 44 2 2 2x x x x− = −( ) Factor común 2x2.

= +( ) −( )2 2 22x x x

Factorización de x2 2 4 como (x 1 2)(x 2 2).

b)

a b ab ab a b5 5 4 4− = −( ) Factor común ab.

= +( ) −( )ab a b a b2 2 2 2

Factorización de a4 2 b4 como (a2 1 b2)(a2 2 b2).

= +( ) +( ) −( )ab a b a b a b2 2

Factorización de a2 2 b2 como (a 1 b)(a 2 b).

E J E R C I C I O S

Factoriza totalmente cada una de las siguientes expresiones.

2. 2 83 5x xy− =

1. 16 36 5x y− =

3. a b16 881− =

6. x x y2 210 25 36− + − =

4. a4 1− =

5. 1 4− =y



Cuando tratamos con el cociente de dos expresiones algebraicas, estamos trabajando con una expresión fraccionaria en donde el valor del denominador no es cero.

Si el numerador y el denominador de la fracción son polinomios, entonces la fracción se llama expresión racional. Por ejemplo,

x xx

3 2 53

− +−

Fíjate que para que nuestra expresión racional tenga sentido, debemos considerar valores para el denominador donde x � 3.

Simplifi cación de expresiones fraccionarias

Para simplifi car expresiones racionales es conveniente que tanto el numerador como el denominador no tengan factores comunes, así que utilizaremos la siguiente propiedad básica:

E X P R E S I O N E S F R A C C I O N A R I A S

E J E M P L O S

Simplifi cación de expresiones racionales.

a)

( )x a x

y x

x a x

x y

+ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ =

+ 2 3 2

2

2 2

2 2

4

( )x a x

y

+

= 2

b)

( )( )( )( )11

11

12

1

2

2

++−+=

++−

aa

aa

aa

a

a

a

+−=

1

1

c)

( )( )( )( )22

23

4

6

2

2

−+−+=

−−+

xx

xx

x

xx

( )2

3

++=x

x

acbc

ab

=

E J E R C I C I O S

Simplifi ca cada una de las siguientes expresiones.

1.

2 3 2

5a bab

=

4.

xy

x y xy3 32 2−=

2.

1824

2 3

3 2a ba b c

=

3.

26

3 2

5 7a ka bk

=

Expresiones fraccionarias • 163

R. 2 2

3a

b=

R. 1

3 2 5a bk=


5.

−+

=2

4 22 3

xy

x y x

8.

x xx x

2

23 2

2 4 2− +− +

=

6.

x y

x xy y

2 2

2 2

4

4 4

−+ +

=

7.

x y

x xy y

2 2

2 2

4

4 4

−− − −

=

R. −

+=y

x y x( )2

R. x yx y−

− −=2

2

9.

11

2

3−

−=x

x

12.

2 62 7 6

3 2

2x x xx x

− −− +

=

10.

x xx

2

26

4+ −

−=

11.

y y

y

−−

=2

2 1


R. − −

+ +=x

x x1

12

R. −+

=yy 1


Multiplicación de expresiones fraccionarias

La siguiente propiedad es la que utilizamos para multiplicar fracciones y signifi ca que los numeradores y denominadores se multiplican para fi nalmente simplifi car la fracción.

E J E M P L O S

Multiplica las siguientes expresiones fraccionarias:

ab

cd

acbd

⋅ =

E J E R C I C I O S


32

22

3

2

6

4

3

2

⋅⋅×=×

9

4=

a) b) ( )x

yx

x

xx

x

yx

x

xx −⋅−−=−⋅

−−

1

13

1

332

( )1

13

−−−=

xx

yxxx

yx 33 −=

2.

xx

xx

−+

⋅ +−

=39

392 2

1.

axb y

a bx y

2

2

2

2 4⋅ =

3.

x xx x

x xx x

2

2

3 2

26

2 2 3− −+

⋅ +− −

=

4.

x xx x

x xx x

2

2

2

27 123 2

5 66 0

+ ++ +

⋅ + ++ +

=

División de expresiones fraccionarias

Para dividir expresiones fraccionarias, utilizamos la siguiente propiedad de las fracciones:

Esta propiedad en realidad signifi ca que para dividir una fracción entre otra, multiplicamos el inverso del divisor por la fracción del numerador.

E J E M P L O S

Divide las siguientes expresiones fraccionarias:

bc

ad

d

c

b

a=÷

1015

312

3

10

15

12

⋅⋅=÷

( )( )5253

3322

⋅⋅⋅⋅=

25

6=

1

12

2

22

−++⋅−

x

xx

x

xx=++

−÷−12

1

2

22

xx

x

x

xx

( ) ( )( )( )11

112

−++⋅−=xx

x

x

xx

1+= x

a) b)



E J E R C I C I O S


1.

x y

xy

x y

x y

3 2

3

2 2

5÷ =

4.

x xx x

x xx x

2

2

2

27 123 2

5 66 0

+ ++ +

÷ + ++ +

=

2.

4 9 98 14 15

3 7 66 11 10

2

2

2

2a a

a aa a

a a− −

− −÷ − −

− −=

3.

x xx x

x xx x

2

2

3 2

26

2 2 3− −+

÷ +− −

=

Suma y resta de expresiones fraccionarias

Para sumar y restar expresiones fraccionarias, primero obtenemos un denominador común (máximo común múltiplo) y a continuación utilizamos la siguiente propiedad de las fracciones.

El mínimo común denominador (MCD) se obtiene al factorizar cada denominador y tomar el producto de los diferentes factores, utilizando la potencia más elevada que aparezca en cualquiera de los factores.

E J E M P L O S

Suma y resta de expresiones fraccionarias:

ab

cd

ad bcbd

+ = +

( )( ) ( )( )( )( )83

3324

8

3

6

2 +=+

24

17

24

98 =+=

El MCD de 6 y 8 es (8)(3)

6 8 23 4 23 2 23 1 31 1

(23)(3) 5 (8)(3)

a)

b) El MCD es x 1 2 ( )2

215

2

2

2

1

2

5

+++−=

++

++−

+ x

xx

x

x

x

x

x

2

215

++−−=

x

xx

2

4

++=x

x

c) ( )( ) ( )( )( )( )21

1322

2

3

1

2

+−−++

=+

+− xx

xxx

x

x

x

( )( )21

33422

+−−++=

xx

xxx

( )( )21

3542

+−−+=xx

xx

El MCD es (1 2 x)(x 1 2)



E J E R C I C I O S

Resuelve cada una de las siguientes sumas y restas.

El MCD es (x 2 1)(x 1 1)2

( ) ( )( ) ( ) 1

12

1

2

11

1

1

12

1

2

1

1

222 ++

++

−−+

=++

++

−− x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )2

11

11121211

+−+−++−−+=

xx

xxxxxx

( )( )( )( )2

22

11

112221

+−−+++−+=

xx

xxxxx

( )( )2

232

11

122221

+−−+−++−+=

xx

xxxxxx

( )( )2

23

11

2

+−+−=

xx

xxx

d)

1.

35

23x x+

+−

=

R. 5 15 3x

x x+

+ −( )( )

2.

35

2 35

−+

+ ++

=xx

xx

5.

13

192x x+

+−

=

3.

32

25

ab

ba

+ =

4.

33 4 3

−+( ) −( ) +

+=a

a aa

a


R. 15 4

10

2 2a bab+

R. x

x x−

+ −2

3 3( )( )


6.

xx x−

−−

=3

39

9.

3

2 3

52 32

a a−( )−

−=

7.

1 1 122x x x

+ +−

=

8.

12 42x

xx−

+−

=

R. 2 2

2

2

2x xx x

− −−( )

R. 18 102 3 2

−−

aa( )

10.

xx x x x2 22

25 4+ −

+− +

=

13.

13 2

12 32 2x x x x+ +

−− −

=

11.

2 31

42x x x x

+−

−−

=

12.

xx x x x2 6

12

23− −

−+

−−

=


R. 5 6

1x

x x−−( )

R. −

+ + −5

1 2 3( )( )( )x x x


Simplifi cación de una fracción compuesta

Una fracción compuesta se caracteriza porque contiene fracciones tanto en el numerador como en el denominador y se resuelve con la siguiente propiedad:

E J E M P L O S

Simplifi cación de fracciones compuestas:

bc

ad

d

cb

a

=medios

extremos

=−

+

a

b

b

a

1

1

2

2

1

1

bab

aba

ab

ab

a

bb

a

−+=

⋅

−

+

( )( )bab

baa

−+

=

Obtenemos el mínimo común denominadorab de todas las fracciones dentro de laexpresión, y enseguida multiplicamos elnumerador y el denominador por este.

Metodo 1a)

b)

=−

+

a

b

b

a

1

1

a

bb

ba

−

+

a

( )( )bab

baa

−+

=

Método 2Realizamos las operaciones del numeradory del denominador para obtener una solafracción y enseguida multiplicamos extremopor extremo y medio por medio.

c)

( )( )( )( )

−+−+

⋅

−+

−+

=

−+

−+

yxyx

yxyx

yx

yx

yx

yx

21

11

21

11

( )( )( )( ) ( )yxyxyx

yxyxyx

++−+−+−−

=2

( )( )( )( )2

1

+−+−−−=yxyx

yxyx

Multiplicamos y dividimostanto el numerador como eldenominador por el mínimocomún denominador (x 1 y)(x 2 y)y luego simplificamos.

E J E R C I C I O S

Simplifi ca las siguientes expresiones.

3.

1 1

1 1

−+

++

=x y

x y

1.

xy

yx

x y

−

−=

1 12 2

2.

11

1 12

−−

+=

yx

x


R. x yx y

+ −+ +

11

R. 2xy


5.

51

21

11

1

a aa

a a

−−

+

−+

+

=

4.

x yx

x yy

x yy

x yx

− − +

− − + =

R. 3 7

2 12a

a a+

+ −

E C U A C I O N E S D E P R I M E R G R A D O

U N I D A D

3

Ecuaciones de primer grado 178

Ecuaciones equivalentes 179

Aplicaciones 188

Ecuaciones con soluciones literales 199

Relación de la ecuación de primer grado con la ecuación lineal 201

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 208

Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes 213

Método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneas 215

Método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas 224

Aplicaciones 229

Sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas 230

177

178 • UNIDAD 3 Ecuaciones de primer grado

En esta sección resolverás situaciones en las que se aplican las ecuaciones de primer grado con una incógnita, así como sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos e interpretación gráfi ca.

Por ejemplo, observa la fi gura del anuncio en esta página; nos dice que se descuentan $40 del precio original de una lata de impermeabilizante y que ahora su precio es de $79.99. ¿Cuál era el precio anterior p de la lata?

I m p

e r c o o l

Garantizados

DESCUENTO DE $40

En cada lataI m p e r c o o l

Impercool

ResultadosGarantizados

$7999Ahora

CUBIERTA PROTECTORA

NO SE DECOLORA

S o l u c i ó n

Evidentemente, puesto que el precio p se rebajó $40, entonces el nuevo precio es p 2 $40. Como el nuevo precio es $79.99, tenemos que

p 2 40 5 79.99

Aplicando la propiedad aditiva de las igualdades, sumamos 40 en ambos lados de la igualdad y obtenemos el precio original p:

p 2 40 1 40 5 79.99 1 40

p 5 119.99

Por lo tanto, el precio anterior de la lata de impermeabilizante era de $119.99.Por supuesto, éste es un ejemplo muy elemental de la solución de ecuaciones de

primer grado con una incógnita, pero es importante que te familiarices con su análisis y su operatividad para que tengas mejores resultados en su aplicación.

Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas son iguales. Por ejemplo, en la situación anterior,

p 2 40 5 79.99

es una ecuación y, como vimos, su resultado simplemente expresa una relación de igualdad entre dos cantidades fáciles de calcular y que ilustra el modelo de este tipo de relaciones.

E C U A C I O N E S D E P R I M E R G R A D O

La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en álgebra contienen variables, las cuales generalmente son letras que representan cantidades numéricas. En las ecuaciones

x(x 2 4) 5 x2 2 4x 2y 1 3 5 7

las letras x y y son variables. En la expresión x(x 2 4) 5 x2 2 4x estamos representando la propiedad distributiva de la multiplicación. Esta expresión es verdadera para cualquier valor de x; en este caso, la ecuación recibe el nombre de identidad.

En el caso de 2y 1 3 5 7 existe un solo valor, y 5 2, que hace que la igualdad sea verdadera; este valor se llama solución o raíz de la ecuación.

E C U A C I O N E S E Q U I V A L E N T E S

Cuando dos ecuaciones tienen las mismas soluciones, se dice que son equivalentes. Para encontrar su solución, intentamos una equivalencia más sencilla y que contenga la variable sola en uno de los lados del signo de igualdad (5). Además, es indispensable utilizar de forma adecuada las propiedades de la igualdad.

Las propiedades de la igualdad, como sabemos, establecen que al resolver una ecuación, deben efectuarse las mismas operaciones en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, al resolver 3x 1 5 5 26, primero tenemos que

sumar (25) y luego multiplicar por 13

en ambos lados de la igualdad.

3x 1 5 1 (25) 5 26 1 (25) sumamos (25)

3x 5 21

13

3 13

21⋅ = ⋅x

multiplicamos por 13

x 5 7 simplifi camos

Para verifi car si la solución es correcta, sustituimos en la ecuación el valor de x 5 7 y la parte izquierda de la igualdad debe ser igual que la de la derecha.

x =

+ ==

7

3 7 5 2626 26

( )¡correcto!

Ecuaciones lineales

La clase más sencilla de ecuaciones son las ecuaciones lineales o de primer grado. Una ecuación lineal es de la forma ax 1 b 5 0; donde a y b representan números reales con a � 0, y x es la incógnita que hay que defi nir.

Propiedades de la igualdad:

1. Si a 5 b, entonces a 1 c 5 b 1 c

2. Si a 5 b, entonces ac 5 bc

Ecuaciones equivalentes • 179


E J E M P L O 1

Resuelve la ecuación 2x 2 4 5 5x 1 8.

S o l u c i ó n

Hay que buscar una ecuación equivalente de manera que en un lado aparezcan los términos en x y en el otro los valores constantes.

2x 2 4 5 5x 1 8

(2x 2 4) 1 4 5 (5x 1 8) 1 4 Suma 4 en ambos lados

2x 5 5x 1 12 Simplifi ca

2x 2 5x 5 (5x 1 12) 2 5x Resta 5x en ambos lados

23x 5 12 Simplifi ca

−

− = −

13

3 12 13

( ) ( )x

Multiplica por −

13

x 5 24 Simplifi ca

C o m p r o b a c i ó n

Sustituimos x 5 24 en la ecuación original

x = −

− − = − +− = −

4

2 4 4 5 4 812 12

( ) ( )¡verdadero!

E J E M P L O 2

Uso de la propiedad distributiva. Resuelve 5(x 1 2) 5 3(x 1 1) 1 9

5(x 1 2) 5 3(x 1 1) 1 9

5x 1 10 5 3x 1 3 1 9 Propiedad distributiva

5x 1 10 5 3x 1 12 Simplifi ca

5x 1 10 2 10 5 3x 1 12 2 10 Resta 10 en ambos lados

5x 5 3x 1 2 Simplifi ca

5x 2 3x 5 3x 2 3x 1 2 Resta 3x en ambos lados

2x 5 2 Simplifi ca

22

22

x =

Divide entre 2 en ambos lados

x 5 1 Simplifi ca

C o m p r o b a c i ó n

x =

+ = + += +=

1

5 1 2 3 1 1 95 3 3 2 9

15 15

( ) ( )( ) ( )

¡verdaderoo!

E J E R C I C I O S

Resuelve las siguientes ecuaciones.

2. 25x 2 12 5 27

1. 3x 2 12 5 0


R. x 5 4


3. 24h 2 2 5 6

6. 10h 1 15 2 5h 5 25

4. 23x 1 1 5 29

5. 8t 1 4 5 15t 2 10

R. h 5 22

R. t 5 2

Continúa de la misma manera.

7. 3x 1 4 5 x 1 10

10. 6m 1 12 5 3m

8. 5x 2 12 5 6x 2 8

9. 4u 2 7 5 6u 1 9

R. x 5 3

R. u 5 28



11. 10 2 3z 5 8 2 6z

14. 5(4 2 3a) 5 7(3 2 4a)

12. 5(x 1 2) 5 3(x 1 3) 5 1

13. u 2 (4 2 2u) 5 7(u 2 1)

R. z = − 23

R. u = 34

E J E M P L O 3

Resuelve

34 5

1+ =x

( ) ( ) ( )20 34

205

1 20+ =x

Multiplica por MCD 5 20

15 1 4x 5 20 Simplifi ca

15 2 15 1 4x 5 20 2 15 Resta 15 en ambos lados

4x 5 5 Simplifi ca

44

54

x =

Divide entre 4 en ambos lados

x = 54

Simplifi ca

E J E M P L O 4

Reducción a una ecuación lineal. Resuelve xx

xx+

= +−1

2 12 3

; si x � 21, y x ≠ 32

xx

xx+

= +−1

2 12 3

( )( ) ( )( )x x xx

xx

x x+ −+

= +−

+ −1 2 31

2 12 3

1 2 3

Multiplica por MCD

(2x 2 3)x 5 (2x 1 1)(x 1 1) Simplifi ca

2x2 2 3x 5 2x2 1 3x 1 1 Desarrolla

23x 5 3x 1 1 Resta 2x2 en ambos lados

26x 5 1 Resta 23x en ambos lados

x = − 16 Divide entre 26 en ambos lados

La comprobación se deja como ejercicio al estudiante.


Comprobación

¡verdadero!

x

x

=

+ = + ⋅ =

54

34 5

34

15

54

1

El MCD es (x 1 1)(2x 2 3)

El MCD de 4 y 5 es 20.

4 5 22 5 21 5 5 (22)(5) 5 201 1


E J E R C I C I O S

Resuelve las siguientes ecuaciones.

1.

3 53

33

12x x+ + + =

4.

2 13

412

k k− = −

2.

x x3 2

1− =

3.

u u+ − − =14

2 23

3

R. x 5 7

R. u 5 25

5.

26

31t t+

=−

8. x x− =4 2

6.

41

21

3512x x x−

++

=−

7.

13

59

232x x x+

+−

=−

R. t 5 220

R. x 5 24



Considera el siguiente diagrama como un sistema de acceso a la solución de problemas aplicados.

¿Qué conocemos?¿Qué queremos?

Ecuaciónalgebraica

SoluciónModelo verbal

o gráfico

E J E M P L O 1

José tiene un trabajo en donde gana $120,000 anuales, que incluye un bono de $10,000 al fi nal del año. Si recibe un pago quincenal, ¿cuál es el ingreso bruto en cada cheque?

A P L I C A C I O N E S

E J E M P L O 2

Roberto invitó al cine a su novia y durante la función compraron tres refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $22 cada una. Si Roberto gastó $100 en total, ¿cuánto costó cada refresco?

Modelo verbal

Ingreso por año 5 24 pagos 1 bono

¿Qué conocemos?

Ingreso por año 5 $120,000Bono 5 $10,000

¿Qué queremos?

Cantidad en cada cheque 5 x

Ecuación

$120,000 5 24x 1 10,000

Solución

Utilizando las técnicas usadas en la solución de ecuaciones tenemos que

x = − =120 000 10 00024

4 583 33, , $ , .

El ingreso por cada cheque es de $4,583.33.

E J E M P L O 3

Silvia invierte $100,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $5,700 al año, ¿cuánto dinero está invertido en cada una de las cuentas?

Aplicaciones • 189

Modelo verbal

Gasto total 5 2 bolsas de palomitas de $22 cada una 1 3 refrescos

¿Qué conocemos?

Gasto total 5 $100Costo de las palomitas 5 (2)($22) 5 $44

¿Qué queremos?

Precio de cada refresco 5 x

Ecuación

$100 5 $44 1 3x

Solución

Utilizando las técnicas usadas en la solución de ecuaciones, tenemos que

x = − =100 443

18 66$ .

Cada refresco costó $18.66.

Modelo verbal

Interés total generado por $100,000 dividido en dos cuentas

¿Qué conocemos?

Dinero invertido 5 $100,000Tasa de interés de una cuenta 5 6%Tasa de interés de la otra cuenta 5 5%Interés total recibido 5 $5,700

¿Qué queremos?

Cantidad invertida al 6% 5 xCantidad invertida al 5% 5 $100,000 2 x


E J E M P L O 4

Un albañil puede hacer una obra en 3 días y otro en 5 días. ¿En cuánto tiempo terminarán la obra juntos?

Ecuación

0.06x 1 0.05(100,000 2 x) 5 5,700

Solución

0.06x 1 5000 2 0.05x 5 5700

0.01x 1 5000 5 5700

0.01x 5 5700 2 5000 5 700

x = =70001

70 000.

,

100,000 2 x 5 100,000 2 70,000 5 30,000

Silvia ha invertido $70,000 al 6% y $30,000 al 5%.

Modelo verbal

Tiempo total de la obra 5 Tiempo empleado por los albañiles trabajando juntos

¿Qué conocemos?

Tiempo del albañil 1 5 3 díasTiempo del albañil 2 5 5 días

¿Qué queremos?

Tiempo total de la obra 5 x

Ecuación

El ritmo de trabajo de un albañil es 13

x y

el del otro 15

x , por lo tanto, entre ambos

terminan el 100% de la obra en

x x3 5

1+ =

Solución

x x3 5

1+ =

5x 1 3x 5 15

x = =158

1 875. días

El tiempo total para terminar la obra entre ambos albañiles es de 1.875 días.

E J E M P L O 5

Un autobús recorre la distancia de Chihuahua a Juárez a una velocidad promedio de 95 km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 km/hr. Si todo el recorrido tomó 8 horas, ¿cuál es la distancia de Chihuahua a Juárez?

s


Modelo verbal

Tiempo total del viaje 5 Tiempo de ida 1 tiempo de regreso

¿Qué conocemos?

Velocidad promedio de ida 5 95 km/hrVelocidad promedio de regreso 5 90 km/hrTiempo total del viaje 5 8 hrs

¿Qué queremos?

Distancia de Chihuahua a Juárez 5 s

Ecuaciones

La relación de velocidad es

v st

= , entonces

el tiempo t es t sv

= , luego, el tiempo de ida es

t svi

i

= y el de regreso t s

vrr

= . Por lo tanto,

s s95 90

8+ =

Solución

s s95 90

8+ =

90s 1 95s 5 68,400

s = = ≈68 400185

369 72 370, .

La distancia de Chihuahua a Juárez es de 370 km aproximadamente.


E J E R C I C I O S

En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución.

1. Dimensiones de un anuncio. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?

Modelo gráfi co

Haz ej

ercic

io

Siempre

140 cm

100 cm

x

x

¿Qué conocemos?

Perímetro del área impresa 5 2 · 100 1 2 · 140 5 480

Perímetro del cartel 5 1.5 veces el perímetro del área impresa 5 720

¿Qué queremos?

Ancho de la banda 5 x

Dimensiones del cartel 5 (100 1 2x)(140 1 2x)

Perímetro 5 2(100 1 2x) 1 2(140 1 2x)

Ecuación Solución

Ancho de la banda 5

Dimensiones del cartel 5

2. Altura de un edifi cio. Se desea calcular la altura de un edifi cio y, para tal fi n, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edifi cio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál es la altura h del edifi cio?


Modelo gráfi co

1.80 m

10 m

h

1 m

¿Qué conocemos?

Sombra del edifi cio 5

Sombra de la persona 5

Altura de la persona 5

¿Qué queremos?

Altura del edifi cio 5

Ecuación

Considerando las razones entre triángulos

h10

1 801

= .

Solución

Altura del edifi cio 5

3. Mezclas y concentraciones. Con el propósito de elaborar oro blanco para las amalgamas dentales, los especialistas mezclan oro puro y platino. Supongamos que se desea elaborar 10 onzas troy de oro blanco para vender a $415 la onza. Si el oro puro cuesta $400 la onza y el platino a $475 la onza. ¿Cuánto de cada uno se debe mezclar?

Modelo verbal

10 onzas de oro blanco a $415 cada onza debe ser igual a la mezcla de una cantidad de oro puro a $400 por onza + otra cantidad de platino a $475 la onza.

¿Qué conocemos?

Precio de 10 onzas de oro blanco 5 $415Precio de una onza de oro puro 5 $400Precio de una onza de platino 5 $475

¿Qué queremos?

Cantidad necesaria de oro puro 5 xCantidad necesaria de platino 5 10 2 x


4. Saúl revisa su cuenta bancaria; en ella tiene $12,378.00 después de que el banco le ha abonado sus respectivos intereses del 8%. ¿Cuánto tenía antes de que le depositaran los intereses?

R. 11,461.11

5. La suma de 3 números consecutivos (n, n 1 1, n 1 2) es 156. ¿Cuáles son esos números?

R. 51, 52 y 53

6. Queremos repartir 300 dólares entre A, B y C, de forma que la parte de B sea el doble que la de A, y la de C el triple que la de A.

R. A 5 50, B 5 100 y C 5 150

Ecuación

Sugerencia: Suma el costo de cada uno de los metales que van a componer la mezcla y el total debe ser $4,150.

Solución


7. Si un número se multiplica por 5 el resultado es el número aumentado en 20. ¿Cuál es ese número?

R. 5

8. Un ganadero compró el doble de vacas que de bueyes. Por cada vaca pagó $7,000 y por cada buey, $8,500. Si el importe total de la compra fue de $270,000, ¿cuántas vacas y cuántos bueyes compró?

9. La distancia de Miami hasta Tampa es de unas 200 millas. Si un jet vuela a una velocidad promedio de 400 millas por hora, ¿cuánto tiempo tarda en llegar de Miami hasta Tampa?

10. Una impresora de rayo láser imprime una página de 12 pulgadas en 6 seg.a) ¿Cuál es la velocidad de impresión?b) ¿Cuánto tardará en imprimir 60 de esas páginas a esa velocidad?

R. 24 vacas y 12 bueyes

R. 0.5 hrs.

R. a) 2 pulg/seg b) 6 minutos


11. Un tren de carga sale de la estación a 30 millas por hora. Una hora más tarde, un tren de pasajeros sale de la misma estación a 60 millas por hora y viaja en la misma dirección. ¿Cuánto tiempo tarda el tren de pasajeros en alcanzar al tren de carga?

R. 1 hr

12. Dos automóviles parten de dos casetas A y B de cobro de una carretera dis-tantes entre sí 230 km, yendo uno hacia otro. Si uno viaja a una velocidad pro-medio de 110 km por hora y el otro a 85 km/hr, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que los automóviles se encuentren? Fíjate que los recorridos de los dos automóviles se van a sumar para completar los 230 km.

230 km

A B

110 km/h 85 km/h

R. t � 1.18 hrs

13. Durante su carrera en ligas mayores, Hank Aaron conectó 31 cuadrangulares más que Babe Ruth. Juntos batearon 1,459. ¿Cuántos conectó Babe Ruth?

R. 714


14. El gerente de una gasolinera compró 60,000 lts de gasolina verde y roja por $295,360. Suponiendo que el precio de mayoreo para los concesionarios es de $4.89 por litro de gasolina verde y $5.03 por litro de gasolina roja, ¿cuántos litros compró de cada una?

R. 46,000 lts de verde y 14,000 lts de roja

15. Un inversionista invierte $20,000, una parte al 6% y el resto al 8%. Si su interés anual proveniente de estas dos inversiones suma $1,500, ¿cuánto invirtió a cada tasa?

R. $5,000 al 6%$15,000 al 8%

16. Un hombre tiene una cuenta de ahorros que le paga el 5% de interés anual y algunos certifi cados de depósito que le dan 7% anual. El interés total de las inversiones es de $1,100 y la cantidad total de dinero en ambas es de $18,000. ¿Cuánto dinero tiene esta persona en la cuenta de ahorros?

R. $8,000


17. Una suma de $10,000 se divide y las dos partes se invierten al 5% y al 6%, respectivamente. Si el interés de la inversión al 5% excede el interés de la inversión al 6% en $60, ¿cuánto se invirtió a cada tasa?

R. $6,000 al 5%$4,000 al 6%

19. Si el precio del cobre es de 0.65 de dólar por libra y el precio del zinc es de 0.30 dólares, ¿cuántas libras de ambos deben mezclarse para obtener 70 libras de bronce, que se vende a 0.45 dólares por libra?

R. 30 lbs de cobre

18. ¿Cuántos litros de solución de glicerina al 40% deben mezclarse con 10 lts de una solución de glicerina al 80% para obtener una solución al 65%?

R. 6 lts

Soluciónde glicerina

Litros %

A x 0.40

B 10 0.80

Mezcla x 1 10 0.65

Litros de laconcentración

0.40x

8

0.65(x 1 10)

Existen muchos casos en donde las aplicaciones de las matemáticas y la física utilizan ecuaciones que contienen más de una variable, y la solución de alguna de ellas queda subordinada a las otras. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones literales.

E J E M P L O

En la fórmula de la relación de temperaturas Farenheit y Celsius

C F= −59

32( ) , encuentra el valor de 8F.

S o l u c i ó n

Se desea despejar 8F.

C F= −59

32( )

95

32⋅ = −C F( )

Multiplicamos por el recíproco de 59

95

32 32 32⋅ + = − +C F( )

Sumamos 32 en ambos lados

95

32⋅ + =C F o bien

F C= ⋅ +9

532

E J E R C I C I O S

Resuelve la ecuación para la variable indicada.

E C U A C I O N E S C O N S O L U C I O N E S L I T E R A L E S

1. R en PV 5 nRT

Ecuaciones con soluciones literales • 199


2.

r S ar

en =−1

3. w en P 5 2w 1 2l

4.

x y ax bcx d

en = ++

Antes de ocuparnos de la relación entre la ecuación lineal y la ecuación de primer grado, es conveniente extender la utilidad de la correspondencia entre puntos geométricos y números reales, puesto que esta relación nos permite comprender el concepto de lo que es un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.

Sistema coordenado en el plano

Es un sistema rectangular, llamado así en honor a su descubridor, René Descartes (1596-1650). Se trata de un sistema formado por dos ejes que se cortan perpendicularmente y generan cuatro regiones donde a cada punto le corresponde precisamente un par de números reales.

A continuación se muestran los elementos que componen este sistema.

I(1,1)

P (x, y)

II(2,1)

IV(1,2)III(2,2)

x

y

R E L A C I Ó N D E L A E C U A C I Ó N D E P R I M E R G R A D O C O N L A E C U A C I Ó N L I N E A L

P(x, y) es un punto geométrico, donde (x, y) representan un par de números reales.

x se llama abscisa y y se llama ordenada, juntas se llaman coordenadas.

I, II, III y IV se llaman cuadrantes y defi nen los signos de las coordenadas.

E J E M P L O S

Localiza los puntos en el plano cartesiano.

1. Grafi ca los puntos

A −( )72 2, , C(3.3, 23), P(2, 4) y Q(24, 23) en el plano

cartesiano.

Relación de la ecuación de primer grado con la ecuación lineal • 201


S o l u c i ó nEn cada eje ubicamos la coordenada respectiva. Trazamos, a partir de ellas, segmentos paralelos a los ejes; en su intersección se encuentra el punto buscado.

P (2, 4)

x

y

A (27/2, 2)

Q (24, 23) C (3.3, 23)

2. Indica las coordenadas que corresponden a cada punto de la gráfi ca de referencia.

S o l u c i ó n

A(21, 4)

B(2, 23)

P(3, 2)

R − −

72

2 5, .

E J E R C I C I O 1

En la gráfi ca 1 localiza los puntos indicados a la izquierda, y en la gráfi ca 2 escribe las coordenadas de cada punto correspondiente a las coordenadas señaladas.

P (4, 5)

Q (24.5, 3.7)

R (24, 24)

S (3, 24/2)

A ( )

B ( )

C ( )

D ( )

Gráfica 1 Gráfica 2

x

y

A

DB

C

x

y

A

RB

P

x

y

E J E R C I C I O 2

La gráfi ca muestra la venta de teléfonos personales en millones de unidades para los años 1985 a 1989. Fíjate que en el eje horizontal se indica el año y en el vertical, el número de unidades vendidas. Escribe los siguientes pares ordenados.

a) La cantidad de teléfonos vendidos en 1988.

b) El año en que las ventas fueron de 7.1 millones unidades.

8

6

4

2

85 86 87 88 89

Millones deunidades

Ano

Ahora que conocemos el sistema de coordenadas en el plano, estamos en condiciones de relacionar la ecuación de primer grado con su lugar geométrico, es decir, con la línea recta.

Supongamos que deseamos rentar un automóvil que cuesta $300 por día más $2 por kilómetro recorrido. Entonces, la ecuación para el costo diario y basado en el número x de kilómetros recorridos es la siguiente:

Costo Costo por km

y x= +2 Renta fija

300

Esta ecuación nos permite calcular los pares ordenados de la forma (x, y) dependiendo del número de kilómetros recorridos. Grafi ca los valores de la tabla y une los puntos resultantes.


x (km)

y ($)

0

300

10

320

20

340

30

360

40

380

x (km)

y ($)

10 20 30 40

400

340320300

360380


Como te habrás dado cuenta, la gráfi ca es una línea recta y representa la ecuación de primer grado o ecuación lineal. Su principal característica es que los puntos que la forman guardan entre sí una relación que no cambia; esa relación se llama pendiente y es el coefi ciente del término en x cuando la y está despejada, como en este caso.

En cursos posteriores de geometría analítica estudiarás la relación constante, llamada pendiente, pero por el momento es conveniente que te fi jes que es una razón de cambio de las ordenadas entre las abscisas. Es decir, en nuestro ejemplo el costo de $2 por kilómetro recorrido representa ese valor y signifi ca que cada vez que recorremos un valor en x a la derecha, subimos 2 en y.

1

1

2

2pendiente = =2

12

Ecuación de primer grado o ecuación lineal

La ecuación de primer grado se puede escribir en la forma

Ax 1 By 1 C 5 0

donde A, B y C son constantes (A y B nunca valen cero simultáneamente), x y y son variables y su gráfi ca es precisamente una línea recta.

E J E M P L O 1

Grafi cación de líneas rectas. Grafi ca 3x 1 y 2 6 5 0.

S o l u c i ó n

Aunque una línea recta tiene un número infi nito de puntos, con dos es sufi ciente para defi nirla y realizar su trazo. Dos puntos fáciles de encontrar son las intersecciones con los ejes; es decir, cuando x 5 0, encontramos y, y después hacemos y 5 0 y encontramos x, pero evidentemente se puede asignar cualquier valor a x después de despejar y.

Despejando y de la ecuación 3x 1 y 2 6 5 0

y 5 23x 1 6

Si x 5 0, entonces y 5 23(0) 1 6 5 6Si x 5 1, entonces y 5 23(1) 1 6 5 3

(0, 6)

(1, 3)

Raíz

x

y

Con esto tenemos los dos puntos (0, 6) y (1, 3) para grafi car.Otra forma de grafi car es que a partir de un punto, por ejemplo (0, 6), avancemos

una unidad a la derecha y bajemos 3, porque su pendiente es 23 (coefi ciente de x cuando y está despejada).

Raíz de la ecuación lineal

Por cierto, si te fi jas, cuando y 5 0, nuestra ecuación se convierte en 23x 1 6 5 0 y x 5 2. Este valor se llama la raíz de la ecuación o la intercepción con el eje x.

E J E M P L O 2

Grafi cación de líneas. Grafi ca 3x 1 2y 2 6 5 0.

S o l u c i ó nDespejemos y de la ecuación y encontremos las intercepciones con los ejes.

y x= − +32

3

Si x 5 0; entonces y = − + =32

0 3 3( )

Si y 5 0; entonces 0 3

23= − +x

32

3x = ; luego x = ⋅ =3 23

2 .

Las intercepciones son (2, 0) y (0, 3). Observa que a partir del punto (0, 2) cuando avanzamos 2 unidades a la derecha bajamos 3 en el eje y.


(0, 3)

(2, 0)

Raíz

x

y


Gráfi cas de líneas horizontales y verticales que pasan por el origen

y 5 k

x

y

x

y

x

y

Recta horizontal Recta vertical Recta que pasa por el origen

x 5 kAx 1 By 5 0

E J E R C I C I O S

1. Grafi ca una por una las siguientes ecuaciones: a) 2x 1 y 2 4 5 0 b) 2x 1 5y 5 10 c) y 5 3x 2 3

2. Grafi ca una por una las siguientes ecuaciones:

a) 2x 1 y 5 0 b) y 5 24 c)

x = 7

2

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

4. De acuerdo con el Departamento de Agricultura de Estados Unidos, el consumo total diario de grasa g (en gramos) por persona se puede aproximar mediante la ecuación g 5 140 1 t, donde t es la cantidad de años después de 1950.

a) ¿Cuál fue el consumo diario de grasa por persona en 1950? b) ¿Cuál es el consumo diario de grasa que se calcula para el año 2000? c) Traza la gráfi ca de g 5 140 1 t.

3. Grafi ca una por una las siguientes ecuaciones: a) y 5 22x 1 4 b) 3x 2 6y 5 6 c) 23y 5 4x 1 12

5. De acuerdo con la Asociación de la Industria de la Grabación, el porcentaje p en dólares estadounidenses de ventas por grabaciones de jazz se puede aproximar mediante p 5 6 2 0.6t, donde t son los años después de 1989.

a) Encuentra las intercepciones en t y en p para esta ecuación. b) Grafi ca la ecuación.


x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

50

100

150

200

250

10 20 30 40 50 60t

g

1

2

3

4

5

6

2 4 6 8 10 12t

p


Si observamos en la gráfi ca de la derecha, es muy evidente que hay un punto donde las líneas de la oferta y la demanda coinciden. Este punto se llama de intersección y es la solución simultánea de las dos líneas. En este apartado vamos a aprender los métodos gráfi co, de eliminación y de sustitución para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, si es que existe la solución.

Miles de millones debarriles de petróleoal día

DEMANDA

OFERTA

DÉFICIT

Equilibrio

1980 1990Año

Oferta y demanda de energía150

130

110

90

70

2000

Método gráfi co para resolver ecuaciones lineales simultáneamente

La solución simultánea de dos ecuaciones con dos variables es un par ordenado de números reales (x, y) que representan un punto común al lugar geométrico de las dos líneas rectas. Por lo tanto, en el método gráfi co nos basaremos en la gráfi ca de las dos ecuaciones lineales para determinar su solución.

E J E M P L O 1

Encuentra de manera gráfi ca la solución de

2x 2 y 5 0

3x 1 2y 5 14

S o l u c i ó n

Primero que nada hay que grafi car cada ecuación como lo hicimos en el apartado anterior. Para ello construyamos una tabla como la siguiente:

S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N D O S I N C Ó G N I T A S

x

y

Solución

3x 1 2y 5 14

2x 2 y 5 0

x y 5 2x x y 5 2 x 1 7

0 0 0 7

1 2 2 4

32

En la gráfi ca podemos apreciar claramente que el par ordenado que satisface al sistema de ecuaciones es (2, 4). Enseguida tenemos la comprobación.

2(2) 2 4 5 0

3(2) 1 2(4) 5 14

E J E M P L O 2


x 1 y 5 4

2y 2 x 5 21

S o l u c i ó n

De la misma manera que en el ejemplo anterior construyamos una tabla para grafi car las ecuaciones dadas.

x

y

x y 5 4 2 x x y 5 x 2

0 4 1 0

4 0 21 21

12

12

Solución

y 5 4 2 x

y x5 212

12

Como se observa en la gráfi ca de estas dos líneas, la solución es (3, 1). ¡Compruébalo!

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas • 209


E J E R C I C I O S

Resuelve cada sistema por grafi cación.

3. 3x 2 2y 5 6 x 5 y 5 23

1. x 1 y 5 4 x 2 y 5 22

2. x 1 2y 5 0 x 2 y 5 23

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

R. (1, 3)

R. (0, 23)

6. y 5 3x 1 6 y 5 22x 2 4

4. 2x 2 y 5 22 x 2 2y 5 2

5. x 2 2y 5 2 y 5 22

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas • 211

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

R. (22, 22)


E J E M P L O 3


x 1 2y 5 4

x 1 2y 5 22

S o l u c i ó n

Construyamos una tabla para grafi car las ecuaciones dadas.

x

y

x x y 5 2 x 1 2

0 21 0 2

22 0 2 1

12

y 5 2 x 2 112 x 1 2y 5 4

x 1 2y 5 22

Como se aprecia en la gráfi ca las rectas son paralelas y no se intersecan, por lo tanto, el sistema no tiene solución. Cuando ocurre esto, el sistema se llama inconsistente y las pendientes de la rectas son iguales.

E J E M P L O 4


4x 1 2y 5 8

2x 1 y 5 4

S o l u c i ó n

Construyamos una tabla para grafi car las ecuaciones dadas.

x

y

2x 1 y 5 4

4x 1 2y 5 8

x y 5 22x 1 4 x

0 4 0 4

2 0 2 0

y 5 4 2 2x

Cuando revisamos los puntos de cada ecuación, lo que vemos es que son los mismos para ambas. ¿Qué signifi ca esto? Signifi ca que las gráfi cas de cada ecuación lineal coinciden, es decir, son las mismas. De manera que la solución para una es la misma que para la otra. De hecho, hay un número infi nito de soluciones. Se dice que un sistema de esta clase es dependiente.

E C U A C I O N E S C O N S I S T E N T E S , I N C O N S I S T E N T E S Y D E P E N D I E N T E S

Como hemos visto hasta aquí, un sistema de ecuaciones puede tener exactamente una solución (cuando las líneas se cruzan); entonces, el sistema se llama consistente. Cuando no tienen solución (las líneas son paralelas), el sistema es inconsistente. Cuando hay un número infi nito de soluciones (las líneas se superponen) y el sistema es dependiente. Las siguientes fi guras ilustran los tres casos.

Sistema consistente eindependiente (una solasolución)

Sistema inconsistente; líneasparalelas (ninguna solución).

Sistema dependiente; laslíneas coinciden (númeroinfinito de soluciones).

E J E R C I C I O S

Resuelve cada sistema por grafi cación. Determina si las rectas son paralelas, si se cortan en un punto o si tienen un número infi nito de soluciones.

1. x 1 y 5 3 2x 2 y 5 0

Ecuaciones consistentes, inconsistentes y dependientes • 213

x

y

x y 5 x y 5

R. (1, 2)


2. 2x 1 5y 5 15 4x 1 10y 5 20

3. x 1 2y 5 7 5x 2 y 5 2

4. 2x 2 y 5 22 2x 2 2y 5 24

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

R. (1, 3)

El método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneamente es un proceso analítico, más efi ciente y más preciso que el gráfi co. En el método de sustitución, en una de las ecuaciones se despeja una variable en función de la otra. Enseguida, la variable despejada se sustituye en la otra ecuación para que quede una sola variable y se pueda resolver.

5. 3x 1 12y 5 2 x 1 4y 5 8

6. 2x 1 4y 5 8 x 1 2y 5 4

M É T O D O D E S U S T I T U C I Ó N P A R A R E S O L V E R E C U A C I O N E S S I M U L T Á N E A S

Método de sustitución para resolver ecuaciones simultáneas • 215

x

y

x y 5 x y 5

x

y

x y 5 x y 5

R. Líneas paralelas


E J E M P L O 1

Resuelve por sustitución el sistema

2 13 4 14

x yx y

+ =+ =

S o l u c i ó n

Observa el siguiente diagrama para resolver el sistema por sustitución.

MÉTODO DE SUSTTITUCIÓN

Se seleccionauna ecuación

2 1x y+ =

Se despejauna variable

y x= −1 2

Se sustituye y enla otra ecuacióny se resuelve.

3 4 1 2 143 4 8 14

5 102

x xx x

xx

+ − =+ − =

− == −

( )

Sustituimos x 5 22 en

y resolvemos

y x= −1 2

yy

= − −=

1 2 25

( )

La solución de la ecuación es el par ordenado (22, 5). La fi gura muestra que las gráfi cas de las ecuaciones son la rectas que se intersecan en ese punto.

x

y

3x 1 4y 5 14

2x 1 y 5 1

E J E M P L O 2

Resuelve por sustitución el sistema

x yx y

+ =− = −

82 3 9

S o l u c i ó n

Despejamos y de la primera ecuación

y 5 8 2 x

Ahora sustituimos y en la ecuación 2x 2 3y 5 29 y resolvemos para x

2 3 8 9x xy

− − = −( )

2x 2 24 1 3x 5 29

5x 5 15

x = =155

3

A continuación sustituimos x 5 3 en y 5 8 2 x y calculamos el valor de y

y 5 8 2 3 5 5

La solución es el par ordenado (3, 5), y la fi gura muestra las gráfi cas de las dos ecuaciones.

E J E M P L O

Una persona invirtió $25,000 en dos cuentas bancarias; una de ellas genera el 5% y la otra el 6% de interés simple. Si la persona recibió $1,440 de intereses en un año, ¿qué cantidad invirtió en cada cuenta?


x

y

x 1 y 5 8

2x 2 3y 5 29

Modelo verbal

Inversión de $25,000 divididos en dos cuentas; una al 5% y otra al 6%.

¿Qué sabemos?

Dinero invertido 5 $25,000Interés de una cuenta 5 5%Interés de la otra cuenta 5 6%Interés anual generado 5 $1,440

¿Qué queremos

Cantidad invertida al 5% 5 x Cantidad invertida al 6% 5 y


E J E R C I C I O S

Resuelve cada sistema por el método de sustitución. Determina si las rectas son paralelas, si se cortan en un punto o si tienen un número infi nito de soluciones.

1. y 5 2x 2 4 22x 5 y 2 4

Ecuaciones

x 1 y 5 25,000

0.05x 1 0.06y 5 1,440

Solución

y 5 25,000 2 x Despejando y

0.05x 1 0.06(25,000 2 x) 5 1,440 Sustituyendo y

0.05x 1 1,500 2 0.06x 5 1,440 Simplifi cando

20.01x 5 260 Simplifi cando

x = =600 01

6000.

Resolviendo para x

y 5 25,000 2 6,000 5 19,000 Resolviendo para y

Se invirtieron $6,000 al 5% y $19,000 al 6%.

R. (2, 0)

2. y 5 2x 1 2 2x 5 y 1 1

5. y 2 4 5 2x 2x 5 y 2 2

3. x 1 y 5 5 3x 1 y 5 9

4. x 1 y 5 5 3x 1 y 5 3


R. (2, 3)

R. Paralelas


6. y 1 5 5 4x y 5 4x 1 7

9. x 1 2y 5 4 x 5 22y 1 4

7. x 5 8 2 2y x 1 2y 5 4

8. x 5 4 2 2y x 2 2y 5 0

R. Paralelas

R. Número infi nito de soluciones

10. x 1 3y 5 6 x 5 23y 1 6

11. x 5 2y 1 1 y 5 2x 1 1

12. y 5 3x 1 2 x 5 3y 1 2


R. (21, 21)


Aplicaciones

3. Una compañía de cable hace un cargo de $350 por la instalación inicial más $200 al mes. Otra cobra $200 por la instalación inicial más $350 al mes. ¿Al fi nal de qué mes el costo será el mismo en las dos compañías?

1. La compañía telefónica A tiene un plan que cuesta $200 al mes más $1 por cada minuto x de tiempo aire, mientras que la compañía B hace un cargo de $500 mensuales más $0.40 cada minuto x de tiempo aire. ¿En qué momento el costo y es igual en ambas compañías?

2. El restaurante T-Bone paga a sus camareros $500 a la semana más las propi-nas, que promedian $100 por mesa. La Fogata paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas mesas x tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal y fuera el mismo en ambos restaurantes?

R. Al fi nal del primer mes

R. x 5 500y 5 700

5. La oferta y de cierto producto está dada por la ecuación y 5 3x 1 8, donde x es el número de días transcurridos. Si la demanda está dada por y 5 4x, ¿en cuantos días la oferta igualará a la demanda?

4. La fórmula para la conversión de grados centígrados 8C en Farenheit 8F es

F C= +9

532

¿Cuándo será la temperatura en grados Farenheit la misma que en grados centígrados?

6. Una compañía tiene 12 de sus productos en existencia. Además fabrica 3 más cada día. Si la demanda del producto es de 7 por día, ¿en cuántos días la oferta igualará a la demanda?


R. En 8 días


Hasta aquí hemos resuelto sistemas de ecuaciones con dos variables por los métodos gráfi co y de sustitución. Cuando no es deseable o factible utilizar alguno de estos métodos, hay otra opción: el método de eliminación, que también se llama método de suma o resta.

Este método resulta conveniente cuando el sistema de ecuaciones tiene una variable con el mismo coefi ciente, ya sea que tenga el mismo signo o signo contrario, lo que nos permite sumar ambas ecuaciones y eliminar una de las variables. Aquí te presentamos cómo hacerlo.

E J E M P L O 1

Resuelve el sistema

2 13 2 9

x yx y

+ =− = −

S o l u c i ó n

La idea es multiplicar una o ambas ecuaciones por la misma cantidad para que una de las variables se elimine y así nos quede una ecuación con una sola incógnita.

Sistema de ecuacionesdado

Multiplicamos la primeraecuación por 2 y sumamos

ambas ecuaciones paraeliminar la y

Si resolvemos para x De esta forma la solucióndel sistema es (21, 3).

Escribimos 21 en lugarde x en 2x 1 y 5 1

2 13 2 9

x yx y

+ =− = −

4 2 23 2 97 0 7

x yx yx

+ =− = −+ = −

x = − = −77

1

2 1 11 23

( )− + == +=

yyy

E J E M P L O 2

Un sistema inconsistente. Resuelve el sistema

2 3 34 6 6

x yx y

+ =+ = −

M É T O D O D E E L I M I N A C I Ó N P A R A R E S O L V E R E C U A C I O N E S S I M U L T Á N E A S

S o l u c i ó n

En este caso, nos conviene eliminar la x multiplicando la primera ecuación por 22

2x 1 3y 5 3 multiplicamos por 22 24x 2 6y 5 26

4x 1 6y 5 26 se queda como está 4x 1 6y 5 26

0 1 0 5 212

Como vemos, no hay solución, puesto que esto es un absurdo: el sistema es inconsistente.

E J E M P L O 3

Hay casos en que es necesario multiplicar ambas ecuaciones por diferentes números para que los coefi cientes de alguna de las variables cambien de signo y sean del mismo valor absoluto. Resolvamos el sistema

2 3 35 2 13

x yx y

+ =+ =

S o l u c i ó n 1

Multipliquemos ambas ecuaciones por números que nos den coefi cientes de forma que una de las variables se pueda eliminar, por ejemplo, la x



11y 5 211

y 5 21

Sustituimos 21 en lugar de y en la ecuación 2x 1 3y 5 3 2x 1 3(21) 5 3

2x 2 3 5 3

2x 5 6

x 5 3

De esta manera, la solución del sistema es (3, 21).

Método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas • 225

Simplifi camos

Sumamos


S o l u c i ó n 2

Ahora vamos a eliminar la y



211x 5 233 Sumamos

x 5 3

Sustituimos 3 en lugar de x en la ecuación 2x 1 3y 5 3

2(3) 1 3y 5 3

6 1 3y 5 3 Simplifi camos

3y 5 3 2 6

y 5 21

De esta manera, la solución del sistema es como antes (3, 21).

E J E R C I C I O S

Resuelve con el método de eliminación los siguientes sistemas de ecuaciones y establece si tienen una solución o si son inconsistentes o dependientes.

1. x 1 y 5 3 x 2 y 5 21

R. (1, 2)

2. x 1 3y 5 6 x 2 3y 5 26

5. x 2 5y 5 15 x 1 5y 5 5

3. 2x 1 y 5 4 4x 1 2y 5 0

4. 2x 1 3y 5 6 4x 1 6y 5 2


R. Paralelas

R. (10, 21)


Escribe en el paréntesis correspondiente la letra que contenga la solución correcta de cada sistema.

( )

x yx y

− =− − =

2 92 3 10

( )

x yx y

+ =− =

51

( )

x yx y

+ =− =

2 42 8

( )

x yx y

+ =− = −

31

a) (3, 2) b) (6, 21) c) (1, 24) d) (1, 2)

6. x 1 2y 5 2 2x 1 3y 5 210

7. 3x 2 4y 5 10 5x 1 2y 5 34

8. 11x 2 3y 5 25 5x 1 8y 5 2

R. (6, 2)

4. La diferencia entre dos números es 16. Uno de los números excede al otro en 4. ¿Cuáles son esos números?

2. Si el precio del cobre es de $0.65 la libra y el precio del zinc es de $0.35 la libra, ¿cuántas libras de cobre y zinc deberán mezclarse para fabricar 70 libras de bronce, el cual se vende a $0.45 por libra?

3. Una persona fue al banco a depositar $3,000. El dinero estaba en billetes de $100 y de $200, y tiene 25 billetes en total. ¿Cuántos billetes de cada de-nominación tenía esa persona?


1. El ancho de un terreno es 70% de su largo, ¿qué dimensiones tiene el terreno, si su dueño ocupó 280 metros de malla ciclónica?

largo 5 x

ancho 5 y

R. largo < 82.35 mancho < 57.65 m

R. 20 de $1005 de $200



Hasta ahora hemos estudiado cómo resolver un sistema de ecuaciones con dos variables. Sin embargo, hay aplicaciones en donde es necesario defi nir sistemas con más de dos variables. En este apartado resolveremos sistemas que contienen tres variables y, para ello, utilizaremos únicamente el método de eliminación.

E J E M P L O

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con tres variables

x 2 y 1 3z 5 4

x 1 2y 2 2z 5 10

3x 2 y 1 5z 5 14

S o l u c i ó n

Observa con atención el mecanismo de solución a través del siguiente diagrama.

5. María invirtió $25,000, una parte al 7.5% y el restante al 6%. Si el interés anual de las dos inversiones es de $1,620, ¿cuánto dinero se invirtió a cada tasa?

S I S T E M A D E E C U A C I O N E S S I M U L T Á N E A S C O N T R E S I N C Ó G N I T A S

Primero le damos unnombre a cada ecuación

Ahora multipliquemos (A) por 23y la sumamos con (C)

(E) se obtiene dividiendo entre dos

Seleccionamos una variable paraeliminar y así obtener un sistema

equivalente, por ejemplo la x.Multipliquemos (A) por 21 y

sumemos el resultado con (B)(A)(B)(C)

x y zx y z

x y z

− + =+ − =

− + =

3 42 2 10

3 5 14 − + − = − −+ − =x y z

x y z3 4 1

2 2 1multiplicando (A) por

003 5 6

ecuación (B)ecuación (D)y z− =

− + − = − −− + =

− =

3 3 9 12 33 5 14

2 4 2

x y zx y z

y z

(A) por (C)

yy z− =2 1 (E)

R. $8,000 al 7.5%$17,000 al 6%

C o m p r o b a c i ó n : x 5 2, y 5 7, z 5 3

x y zx y z

x y z

− + =+ − =

− + =

3 42 2 10

3 5 14

(2)(2)

− + =+ − =

− +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

7 3 3 42 7 2 3 10

3 2 7 5 3 ==

14

E J E R C I C I O S

Calcula la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

1.

x y zy z

x y z

− + =+ =

+ + =

2 12 53 8

Sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas • 231

Sustituimos el valor dez 5 3 en la ecuación (E)

y obtenemos y

Sustituimos los valores de yy de z en la ecuación (A)

Multipliquemos la ecuación(E) por 23 y resolvamos

para z

El sistema equivalenteque estamos buscando es

Este nuevo sistema lopodemos resolver porcualquier método que

vimos antes

La solución del sistema es x 5 2, y 5 7 y z 5 3

La solución también se expresa como (2, 7, 3)

3 5 62 1

y zy z

− =− =

(D)(E)

3 5 63 6 3

3

y zy z

z

− =− + = −

=

(D)(E)

y zy

y

− =− =

− =

2 12 3 1

6 1( ) sustituyendo

simplificandooy = 7

x y zx

xx

− + =− + =

− + ==

3 47 3 3 4

7 9 42

( )

R. (1, 1, 2)

Escribe lasecuaciones y dales

un nombre

Selecciona dosecuaciones y

elimina una variablepara obtener un

sistema equivalente

Repite el pasoanterior usando laecuación restante

Resuelve las ecuaciones queobtuviste en los dos pasos

anteriores

Sustituye los valores de las2 variables que ya conocesy obtén el valor de la tercera


2.

x y zx y z

x y z

+ + =+ + =

+ + =

6 33 34 72

5.

x y zx z

x y z

+ − = −+ =

− − = −

2

2

20

3

3.

x y zx y z

x y z

+ + =− + =

+ − =

23 2 4

4 3 12

4.

x y zx y z

x y

+ + =− + + =

− =

43 17

7 2

2

R. (1, 0, 1)

R. (21, 0, 1)

6.

2

3

y zx y

x y z

+ =+ =

+ − =

44

3 10

9.

2 32

5

x y zx y z

x y z

− − =− + − =

− − =

135 6

49

7.

a b ca c

a b c

+ − =− = −

+ + =

2 92

5 2 222

3

8.

2 76

3 2 4 11

a ba b c

a b c

+ =− + =

− + =

2

Sistema de ecuaciones simultáneas con tres incógnitas • 233

R. (21, 5, 0)

R. (10, 3, 22)


12. En una fábrica hay tres máquinas m1, m2 y m3 para pulir lentes; cuando las tres máquinas están en operación, se pueden pulir 5,850 lentes en una semana. Cuando están en operación m1 y m2 únicamente, se pueden pulir 4,200 lentes a la semana. En cambio, cuando sólo trabajan m1 y m3, se pulen 3,450 lentes a la semana. ¿Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana?

10. Tres amigos han gastado cierta cantidad de dinero en un restaurante. La suma del gasto del primero con el segundo es de $20 más que el gasto del tercero; la suma del gasto del primero y del tercero es de $60 más que el del segundo; por último, el segundo y el tercero gastaron juntos $100 más que el primero. ¿Cuánto gastó cada uno?

R. $40, $60, $80

11. Rosa, Martha y María compiten en un torneo en el que deben correr, nadar o andar en bicicleta determinadas distancias. La rapidez promedio de cada una aparece en la siguiente tabla.

María llega primero, con un tiempo total de 1.75 horas; Rosa llega en segundo lugar, con un tiempo de 2.5 horas, y Martha llega al último con un tiempo de 3 horas. Calcula la distancia de cada parte de la competencia.

R. correr 5 millas, nadar 2 millas y 30 millas en bicicleta

Rapidez promedio (mi/hr) Carrera Natación CiclismoRosa 10 4 20Martha 7.5 6 15María 15 3 40

E C U A C I O N E S D E S E G U N D O G R A D O

U N I D A D

4

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado 236

Resolución de una ecuación cuadrática por factorización 237

Resolución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto 239

Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática 242

Grafi cación de la ecuación cuadrática 248

Raíces reales de una ecuación cuadrática 251

Aplicaciones 254

235

236 • UNIDAD 4 Ecuaciones de segundo grado

En esta sección resolveremos situaciones donde se presenten problemas cuya solución implique ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Para ello, emplearemos métodos algebraicos y analíticos que nos permitirán determinar si las soluciones son reales o imaginarias.

E C U A C I O N E S C U A D R Á T I C A S O D E S E G U N D O G R A D O

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que puede escribirse en su forma estándar como

ax2 1 bx 1 c 5 0

en donde a, b y c son números reales con a � 0.

Clasifi cación de las ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones cuadráticas

ax2 1 bx 1 c 5 0

Incompletas puras

ax2 1 c 5 0

Incompletas mixtas

ax2 1 bx 5 0

Completas

ax2 1 bx 1 c 5 0

E J E M P L O 1

Resuelve la ecuación

x x2 5 24+ =

S o l u c i ó n

Sigue los pasos del siguiente diagrama para comprender la solución.

Igualamos la ecuación a 0 Factorizamos Hacemos cada factor igual a 0 yresolvemos para cada uno de ellos

x x2 5 24 0+ − = ( )( )x x− + =3 8 0 x xx1 x2

− = + == = −

3 0 8 03 8

E J E M P L O 2


2 5 02x x+ =

S o l u c i ó n


2 5 02x x+ = x x( )2 5 0+ = x x

x x

= + =

= = −

0 2 5 0

0 521 2

Propiedad del producto cero

ab 5 0 si y sólo si a 5 0 o b 5 0

Esta propiedad signifi ca que si podemos factorizar el lado izquierdo de una ecuación, entonces la resolveremos igualando a cero cada uno de los factores.

R E S O L U C I Ó N D E U N A E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A P O R F A C T O R I Z A C I Ó N

Resolución de una ecuación cuadrática por factorización • 237


E J E M P L O 3


x2 5 0− =

S o l u c i ó n

La ecuación x2 2 5 5 0 se puede factorizar como una diferencia de cuadrados y en-tonces es fácil encontrar las soluciones.


x2 5 0− = ( )( )x x+ −5 5 x x

x x

+ = − == − =

5 0 5 0

5 51 2

Una ecuación de la forma x2 5 c siempre va a tener las soluciones x c= y x c= −

E J E R C I C I O S

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones factorizando y completando el diagrama.

1. x2 1 x 5 30


2. 5y2 2 75y 5 0


R. x1 5 5, x2 5 26

Cuando una ecuación cuadrática no se puede factorizar fácilmente, entonces su solución se calcula utilizando la técnica de completar el cuadrado. Esto signifi ca sumar una constante a una expresión para convertirla en un cuadrado perfecto. Si tenemos la expresión x2 2 4x y queremos un cuadrado perfecto, debemos de sumarle 4, ya que x2 2 4x 1 4 5 (x 2 2)2.

3. z2 2 z 2 6 5 0

4. x2 2 3x 5 0

5. x2 2 4 5 0

R E S O L U C I Ó N D E U N A E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A C O M P L E T A N D O E L T R I N O M I O C U A D R A D O P E R F E C T O

Resolución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto • 239


R. z1 5 3, z2 5 22



R. x1 5 2, x2 5 22


En general, a partir de la identidad

x bx b x b22 2

2 2+ +

= +

se deduce que para hacer de x2 1 bx un cuadrado perfecto, debemos sumar el cuadrado de la mitad del coefi ciente de x.

E J E M P L O 1

Con el método de completar el cuadrado resuelve la ecuación

x x2 8 13 0− + =

S o l u c i ó n

Observa con los pasos del siguiente diagrama para que comprendas la solución.

Escribe el término numéricoa la derecha del signo igual

Resuelve la ecuaciónCompleta el cuadrado sumando elcuadrado de la mitad del coeficientede x en ambos lados de la ecuación

x x2 8 13− = − x x

x x

22 2

2

8 82

13 82

8 16 13 1

− +

= − +

− + = − + 66

4 32( )x + =

( )x

x

x

− =− =

= ±

4 3

4 3

4 3

2

Completando el cuadrado perfecto

Para hacer de x2 1 bx un cuadrado perfecto, basta con sumarle b2

2

.

Área de la región blanca

Área de la región negra

Para completar el cuadrado se agrega un pequeño cuadrado de área

x

x

b2

b2

b2

2

b2

2

xb

x x bx2 222

+

= +

E J E M P L O 2

Con el método de completar el cuadrado resuelve la ecuación

2 4 5 02x x− − =

S o l u c i ó n


Resuelve la ecuaciónFactoriza el coeficiente de x2 parapoder completar el cuadrado.

2 4 52x x− = 2 2 5

2 2 1 5 1 2

2 1 7

2

2 2 2

2

( )

( ) ( )( )

( )

x x

x x

x

− =− + = +

− =

( )x

x

x

− =

− =

= ±

1 72

1 72

1 72

2

E J E R C I C I O S

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones completando el cuadrado.

1. x2 2 4x 1 2 5 0



2. x2 2 6x 2 9 5 0

Resolución de una ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto • 241

R. 2 2±



R. 3


La técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto es muy útil porque nos sirve para obtener las raíces o solución de cualquier ecuación cuadrática de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0.

ax2 1 bx 1 c 5 0

Primero pasamos la constante c al lado derecho y dividimos ambos lados de la ecuación entre a, para obtener entonces

x ba

x ca

2 + = −

Ahora completamos el cuadrado sumando en ambos lados ba2

2

, que es el cuadrado

de la mitad del coefi ciente de x

3. 2x2 1 8x 1 1 5 0

F Ó R M U L A G E N E R A L P A R A R E S O L V E R U N A E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A



x ba

x ba

ca

ba

22 2

2 2+ +

= − +

x ba

ca

ba

+

= − +

2 4

2 2

2

Cuadrado perfecto

x ba

ac ba

+

= − +

24

4

2 2

2

Simplifi cando

x ba

ac ba

b aca

+ = − + = ± −2

44

42

2

2

2

Obteniendo la raíz cuadrada

x ba

b aca

= − ± −2

42

2

Restando

ba2

x b b aca

= − ± −2 42

Simplifi cando

Ésta es la fórmula general o cuadrática.

Fórmula cuadrática

Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática ax2 1 bx 1 c 5 0, donde a � 0 son

x b b aca

= − ± −2 42

E J E M P L O S

Determina las soluciones de cada ecuación

a) 3x2 2 5x 2 1 5 0

S o l u c i ó n

Identifica los valores dea, b y c en la ecuación

SolucionesSustituimos a, b y c en la fórmulacuadrática

3 5 1 02x xa = 3, b = −5, c = −1

− − = x

x

=− − ± − −

= ±

( ) ( ) ( )(−1)

( )

5 5 4 3

2 3

5 376

2

x

x

1

2

5 376

1 8471

5 376

0 1805

= ± ≈

= − ≈ −

.

.

b) 4x2 1 12x 1 9 5 0

S o l u c i ó n


Soluciones

En este caso hay unasola solución

Sustituimos a, b y c en la fórmulacuadrática

4 12 9 04 12 9

2x xa b c

+ + == = =, ,

x

x

=− ± −

= − ±

12 12 4 4 9

2 4

12 08

2( ) ( )( )

( )x = − = −12

832

c) x2 1 2x 1 2 5 0

S o l u c i ó n


Soluciones

La solución no existeen los números reales

Sustituimos a, b y c en la fórmulacuadrática

x xa b c

2 2 2 01 2 2+ + =

= = =, ,x

x

=− ± −

= − ± −

2 2 4 1 2

2 1

2 42

4( ) ( )( )

( )

x

x

= − ± −

= − ± −

2 2 12

1 1

Fórmula general para resolver una ecuación cuadrática • 243


Como cualquier número real elevado al cuadrado es no negativo, entonces −1 no está defi nido y, por lo tanto, la ecuación no tiene solución. En estos casos se dice que se trata de una solución imaginaria.

Siempre que resolvamos una ecuación cuadrática, ax2 1 bx 1 c 5 0, es conveniente observar bien el término b2 2 4ac , que en matemáticas se llama discriminante, porque como en los tres ejemplos que acabamos de ver, si b2 2 4ac . 0 , existen dos soluciones; si b2 2 4ac 5 0 , hay una sola solución; y si b2 2 4ac , 0 no hay solución en el campo de los números reales y se llama solución imaginaria. En resumen,

1. x2 2 2x 2 8 5 0

2. 2x2 1 x 2 3 5 0

Discriminante

El discriminante de la ecuación cuadrática general ax2 1 bx 1 c 5 0 es D 5 b2 2 4ac y se comporta de la siguiente manera:

1. Si D . 0, la ecuación tiene dos soluciones reales.2. Si D 5 0, la ecuación tiene una solución real.3. Si D , 0, la ecuación no tiene solución real.

E J E R C I C I O S

Determina las soluciones reales, si es que las hay en cada ecuación.



R. x1 5 22, x2 5 4



3. x2 1 12x 2 27 5 0

6. x2 2 6x 1 1 5 0

4. 8x2 2 6x 2 9 5 0

5. 3x2 1 6x 2 5 5 0




R. x = − ±6 3 7



R. x = − ±3 2 63






7. 3 1 5x 1 x2 5 0

10.

xx

2

10050

+=

8. u2 5 3(u 2 1)

9. x x2 5 1 0− + =



R. x = − ±5 132



R. x = ±5 12





11.

xx x x

+−

=+

+−

52

52

2842




R. x2 5 2

12. 2 1 1x x+ + =



13. x2 2 6x 1 9 5 0



R. x 5 3

14. x2 2 6x 1 1 5 0




Sin duda habrás observado la trayectoria de un fl ujo de agua como el de una fuente. ¿Qué forma tiene? Esta trayectoria se conoce como parábola y corresponde a la gráfi ca de una ecuación cuadrática de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c. Esta ecuación puede grafi carse al igual que la línea recta; es decir, asignamos valores a x para encontrar los valores correspondientes de y.

La forma más sencilla de estas ecuaciones es y 5 x2; aquí a 5 1, b 5 0 y c 5 0 y la gráfi ca la obtenemos a partir de una tabla como la siguiente:

G R A F I C A C I Ó N D E L A E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A

Se grafi can los puntos (x, y) en el sistema coordenado y se dibuja una curva suave a través de ellos. El resultado es la gráfi ca de la parábola mostrada en la fi gura conti-gua a la tabla. Por cierto, fíjate que tiene una sola raíz real o solución, el punto (0, 0), porque el discriminante vale cero.

Ahora marca los puntos dados en la tabla que corresponden a la parábola y 5 2x2 y observa detenidamente lo que ocurre con la gráfi ca.

Raíz (y 5 0)

y 5 x2x y 5 x2 x, y

22 (22)2 5 4 (22, 4)

21 (21)2 5 1 (21, 1)

0 (0)2 5 0 (0, 0)

1 (1)2 5 1 (1, 1)

2 (2)2 5 4 (2, 4)

Tu conclusión debe ser que la parábola ahora abre hacia abajo; esto es porque a , 0. Por lo tanto,

Vamos a grafi car ahora la parábola y 5 x2 1 1, ¿qué ocurrirá? En primer lugar, a . 0, por lo que la parábola abre hacia arriba; en segundo lugar, todos los puntos se desplazarán 1 unidad más arriba que los de y 5 x2, de manera que ni siquiera necesitamos la tabla de tabulación para su trazo, pero para que todo quede más claro, vamos a incluirla.

Si resolvemos la parábola y 5 x2 1 1 cuando y 5 0, es evidente que no va a tener solución real, puesto que la gráfi ca no se cruza con el eje x, es decir, el discriminante debe ser menor que 0.

D b ac= − = − = −2 24 0 4 1 1 4( )( )

Procede de la misma manera que en la gráfi ca anterior para trazar y 5 2x2 2 2, pero trata de imaginar cómo es la curva antes de que calcules las coordenadas de los puntos.

La gráfi ca de una ecuación cuadrática de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c es una parábola que

1. Se abre hacia arriba si a . 0.2. Se abre hacia abajo si a , 0.

Grafi cación de la ecuación cuadrática • 249

y 5 x2 1 1

x y 5 2x2 x, y

22 (22)2 5 4 (22, 24)

21 (21)2 5 1 (21, 21)

0 (0)2 5 0 (0, 0)

1 (21)2 5 1 (1, 21)

2 (22)2 5 4 (2, 24)

x y 5 x2 1 1 x, y

22 (22)2 1 1 5 5 (22, 5)

21 (21)2 1 1 5 2 (21, 2)

0 (0)2 1 1 5 1 (0, 1)

1 (1)2 1 1 5 2 (1, 2)

2 (2)2 1 1 5 5 (2, 5)


¿Tiene solución real 2x2 2 2 5 0? ¿Cuál es el valor del discriminante?Veamos cómo se comporta la gráfi ca de una parábola como y 5 (x 1 1)2.

La gráfi ca es idéntica a y 5 x2 pero desplazada 1 unidad a la izquierda. Tiene una sola raíz real, x 5 21.

Procede de manera semejante para que concluyas cómo se comporta y 5 (x 2 2)2.

Con todo esto, ya estamos en condiciones de grafi car una parábola cuando su ecuación tiene la forma y 5 (x 2 h)2 1 k, ya que presenta la misma forma que y 5 x2. En la ecuación, h nos dice cuántas unidades está corrida a la derecha o a la izquierda, según sea el signo, y k nos dice cuántas unidades está desplazada hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo de ésta. Veamos un ejemplo.

Raíz (y 5 0)

y 5 (x 1 1)2

x y 5 2x2 2 2 (x, y)

x y 5 (x 2 2)2 (x, y)

x y 5 (x 1 1)2 (x, y)

23 (23 1 1)2 5 4 (23, 4)

22 (22 1 1)2 5 1 (22, 1)

21 (21 1 1)2 5 0 (21, 0)

0 (0 1 1)2 5 1 (0, 1)

1 (1 1 1)2 5 4 (1, 4)

Grafi ca y 5 2(x 2 1)2 1 2

S o l u c i ó n

R A Í C E S R E A L E S D E U N A E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A

La siguiente fi gura nos ilustra que, cuando una parábola corta dos veces el eje x, tiene dos soluciones reales; cuando lo toca una sola vez, tiene una solución real, y cuando no lo cruza, no tiene solución.

Raíces reales de una ecuación cuadrática • 251

y 5 2(x 2 1)2 1 2El 21 indica unaunidad corrida ala derecha

El signo negativonos dice abrehacia abajo

El 2 indica undesplazamientode 2 unidadeshacia arriba

y 5 2 (x 2 1)2 1 2

Raíces

y

x

Dos soluciones b2 2 ac . 0

Raíz

y

x

Una solución b2 2 ac 5 0

y

x

Ninguna solución b2 2 ac , 0


E J E R C I C I O S

Encuentra la gráfi ca y las soluciones, si es que las hay, en cada una de las siguientes ecuaciones.

1. y 5 2x2

2. y 5 2x2 1 1

3. y 5 22x2 2 2

x y 5 2x2 (x, y)

x y 5 2x2 1 1 (x, y)

x y 5 22x2 2 2 (x, y)

4. y 5 (x 2 2)2 2 2

7. y 5 x2 1 2x 2 3

5. y 5 2(x 2 2)2 2 1

6. y 5 x 1 4x2 1 3

Raíces reales de una ecuación cuadrática • 253

y5(x22)222x (x, y)

x y52(x22)221 (x, y)

y5x214x13x (x, y)

y5x212x23x (x, y)


1. La fi gura muestra un triángulo rectángulo con catetos que miden 3 y 4 unidades y de hipotenusa h. Calcula el valor de h.

S o l u c i ó n

Para encontrar la solución es necesario recordar el teorema de Pitágoras:

“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

h2 2 23 4= +

h2 9 16= +

h2 25=

h = =25 5 unidades

2. La fórmula para calcular el tiempo de caída de un objeto desde una altura h es h 5 4.9t2 1 v0t. ¿Qué tiempo tarda un objeto que se deja caer desde una altura de 125 metros?

S o l u c i ó n

Como el objeto se deja caer la velocidad inicial v0 5 0 y la altura h 5 125 metros. Por lo tanto,

125 4 9 0 4 92 2= + =. ( ) .t t t

t 2 1254 9

25= ≈.

t ≈ ≈25 5

3. Encuentra el número de x artículos que tienen que producirse para encontrar el punto de equilibrio cuando la utilidad U (en miles de dólares) de una compañía está dada por U 5 3x y cuando el costo (también en miles de dólares) es C 5 2x2 2 3x 1 4.


h

3

4

125 mts

S o l u c i ó n

Para que exista equilibrio U 5 C

3x 5 2x2 2 3x 1 4

2x2 2 6x 1 4 5 0 Simplifi cando

x2 2 3x 1 2 5 0 Dividiendo entre 2

(x 2 1)(x 2 2) 5 0 Factorizando

x 2 1 5 0 x 2 2 5 0

x1 5 1 x2 5 2

El equilibrio se da cuando la compañía produzca un millar o dos millares de artículos.

E J E R C I C I O S

Resuelve cada uno de los ejercicios propuestos a continuación.

2. Encuentra la longitud del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 9 centímetros menor que su área.

1. ¿Qué longitud tiene un alambre que se extiende desde la parte superior de un poste telefónico de 40 pies hasta un punto sobre el suelo a 30 pies del poste?


COSTO

UTILIDAD

40 pies

30 pies

A 5 P 1 9 l

l


3. Un objeto se deja caer desde una altura de 320 m. ¿Cuántos segundos tardará en llegar a la superfi cie? Véase el ejemplo 2.

4. El cuadrado de cierto número positivo es 4 veces el mismo número más 5. Encuentra el número.

5. Un objeto se arroja hacia abajo con una velocidad inicial de 3 m por segundo. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 8 m?

6. La utilidad de una compañía está dada por U 5 2x, donde x son las unidades producidas en miles. Si el costo es de C 5 4x2 2 2x 1 1, ¿cuántas unidades tienen que producirse para que la compañía alcance su punto de equilibrio?

7. Si se invierten P dólares al i% compuesto anual, entonces al fi nal de 2 años la cantidad se habrá incrementado hasta A 5 P(1 1 i)2. ¿A qué tasa de interés i, $1,000 se incrementarán hasta $1,210 en 2 años?


R. (A 5 1210 y P 5 1000)

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