algebra 5º secundaria

IEP “ BLAS PASCAL ” - CHICLAYO ALGEBRA

AV. SAENZ PEÑA – 823- CHICLAYO -- TELF: (074) 272515 1

Mirtha Mirella Castillo Mora Profesora de Algebra





ÍNDICE

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1. Definición

2. Clasificación

TEORÍA DE EXPONENTES

1. Propiedades

POLINOMIOS

1. Grado relativo y absoluto

2. Grado de operaciones con expresiones algebraicas

3. Polinomios Especiales

PRODUCTOS NOTABLES

1. conceptos

2. principales productos notables



EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

LEYES

FUNDAMENTALES

1. Producto de Potencias de Igual

Base: xa . x

b = x

a+b .

2. Cociente de Potencias de Igual

Base: ba

b

a

xxx

x 0

3. Producto de Potencias de

Diferente Base: .xa . y

a = (x . y)

a .

4. Cociente de Potencias de Bases

Diferentes a

a

a

y

x

y

x. y 0

5. Potencia de Potencia

. cba

cba xx .. .

OBSERVACIÓN: (XA)

B = (X

B)

A = X

A . B

6. Exponente Negativo

. aa

xx

1 .

. aa

xy

yx . x 0, y 0

7. Exponente Nulo o Cero

. x0 = 1 . x 0

8. Exponente Fraccionario

. b ab

a

xx . b 0

9. Producto de Radicales

Homogéneo. aaa yxyx .. .

10. Potencia de un Radical

. a cb

ca b xx .

.

11. Raíz de Raíz

. cbaa b c xx ..

.

b aa b xx

12. Casos Especiales



1....... n Mn n n mmm AradAAA

1...... nn n n BradBBB

. aa

....a aa aa .

1.......111 nradnnnnnn

nradnnnnnn ......111

nx....xx

n nx

bb

....a bb aa

n2 1n2xx......xxx

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Después de reducir :

2 3

1

1x

x

xx x

x x+

++ +

+ . La expresión

que resulta es :

a) Racional entera

b) Racional fraccionaria

c) Irracional d) Exponencial

e) Transcendente

2. Después de reducir:

( )1 2 5x xx x x x

- --

.El resultado se

puede clasificar como:

a)E.A.R.E b) E.A.R.F c) E.A.I

d) Expresión cúbica e) Expresión

exponencial

3. La expresión

1

4 22.x x xy xyz se

clasifica como:

a) Expresión algebraica racional

entera

b) Expresión algebraica racional

fraccionaria

c) Expresión algebraica irracional

d) Expresión cúbica

e) Expresión exponencial

4. Indicar verdadero o falso

I.

23 2

3

1 2

5

x x

x , tiene como

grado absoluto 2

II. 35 4 22 3 2x x x , tiene

como grado absoluto 15

III. 6

2 52x x x ,tiene como grado

absoluto 30



IV.

5 2 6

2 2

x y z

x yz , tiene como grado

absoluto 8

a) FVVV b) VFFV c) VVFF

d) VFVF e) VVVV

5. Sea el monomio :

( ) ( ) ( ) ( )23 2 23 4,

m mnM x y xy xy x y=

Si sus grados relativos a " "x y a

" "y son 4 y 9 respectivamente.

Calcular: m n

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

6. Dada la expresión: 2 58 2 cos log 9x

xP x x x x

Podemos afirmar que es:

I. E.A.R.E

II. E.A.R.F

III. E.A.I

IV. E.A homogénea

V. Expresión trascendente

a) I b) II c) III d) IV e) V

7. De un juego de naipes de 52

cartas, se sacan “x” y 3 más, luego el

doble de lo anterior y 4 más y

finalmente la tercera parte de las

restantes ¿Cuántas quedan al final?

A) 3x-2 B) 39-3x C) 45-x

D) 26-2x E) 26+x

8. Reducir la siguiente expresión si

se sabe que los términos son

semejantes

131 b ba a xxaxabxxb

A) 311 x B) Cero C) 24x1/3

D) 333 x E) 3 x

9. Para cuántos valores de " "n la

expresión en variables , ,x y z

5 2 53n n nNx y xz x yz es una

. . .E A R E

a) 4 b) 5 c) 6 d)7 e) 8

10. Reducir la siguiente expresión

algebraica si se sabe que es racional

entera

111

111

2

xnxm

xm

A) 2x–1 B) x+2 C) 2x–2

D) 2x+2 E) 2x+1

11. Clasificar la siguiente expresión:

x

x

x

xx

x

x

ba

ab

ab

ba1

2

21

2

2

Rpta.



12. Calcular la suma de los

valores enteros distintos de “n”

que convierten a la siguiente

expresión en racional entera.

(x8 – n

+ xn – 3

)2 + x

n

Rpta.

13. Indicar las expresiones irracionales

en:

I)12x

--II)

21x-- III)

22x--

IV)( )2

2x-

-

a) Sólo I b) Sólo III c) Sólo II

d) I y III e) II y IV

Determinar el valor de " "m n+ en:

5 1/4 5 5 34, 3 2 1 4 2E x y m x n y x y x y

Sabiendo que es racional entera.

a) -1 b) -2 c) -5 d) 5 e) 1

14. Qué valor como mínimo debe

tener “n” para que la expresión sea

fraccionaria nxxxxx 111

Rpta.

15. Calcular la suma de los valores

enteros de " "n que convierten a la

expresión: 6n x en fracción

fraccionaria

a) -6 b) -4 c) -12 d) -3 e) -7

16. 23 . 4

3 = (2 . 4)

3

17. 3 . 6 = (3 . 5)

18. 4

8

2

2 = 2

8–4 = 2

4

19. 5

6

2

2 = 2

–6–(–5) = 2

–1

20. 13 0xy

21. 15

y3x2

0

22. 3

3

3

3

4

2

4

23. 3

3

3

2

8

2

8

24. 2

12 1

25. 2

222

2

3

2

3

3

2

26. 3333 205.45.4

27. 5555

6

5

3

5.

2

1

3

5.

2

1

28. 3 23

2

xx

29. 3 53

5

xx

30. 243 4 xx

31. 123 44 3 101010



32. Si: x, y Z+, tal que:

y- x 2; hallar el valor más

simple de:

xyyxxy

xyxyyx

xyyx

xyyx

..

..22

Rpta.

33. Simplificar:

2

12

22222

90

39a

a

aa

M

Rpta.

34. Simplificar:

yx yx

yx

y

yxx

E3

3.6322

35. Rpta.

36. Efectuar::

1 11..cb cbcbb aaa

A) ab B) a

ba C) aa

b

D) aa E) a

c

37. Reducir:

yxyx

yx

yxx1

3

2.

6

1218

2

3

A) 3 B)

3

1

C) 2

D) 2

1

E) 6

38. Si: 2xxx ; hallar el valor de:

112 xxx

xxxx xxS

A) 17 B) 18 C) 19

D) 20 E) 21

39. Resolver la exponencial: 382739 327

xx

A) 13

8 B)

12

5 C)

24

7

D) 13

5 E)

3

2

40. Si: x R+ - {1}; halle el

valor de “n” que verifica la

igualdad:

3 4

n3

x

1

xxx

1

Y coloque como respuesta

el valor de (n + 3) / 7

A) 3 B) 2 C) 5

D) 4 E) 1

41. Si se cumple:

.......3535a

.......5353b



Hallar el valor que toma: ab

A) 13 B) 12 C) 15

D) 14 E) 11

42. Simplificar:

xx

xxxxx

1

111

El exponente De “x” es

A) 1/7 B) 1/8 C) 1/9

D) 2 E) ½

43. Indique el exponente de “x” luego

de reducir:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

radn.......xxxR

A) -2 B) 1/2 C) -1/2

D) 0 E) -1

44. Calcular el valor de: 4

65

510

5,0

1

548

1812E

A) 3 B) 8 C) 6

D) 9 E) 1

45. Simplificar:

nmmnmm

mnmn

24 212

4 22

3.5.3

3.3.15

A) 1/13 B) 15 C) 1

/15

D) 13 E) 11

POLINOMIOS

GRADO DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

El grado es una característica de las

expresiones algebraicas, relacionado

con los exponentes.

Grado en un Monomio

1. Grado Absoluto (G.A.)

Se obtiene al sumar los exponentes de

las variables.

2. Grado Relativo (G.R.)

El grado relativo a una variable es el

exponente de dicha variable. Ejm:

F(x,y) = a4x

5y

8

G.R.(x) = 5 ; G.R.(y) = 8

G.A.(F) = 8 + 5 = 13

Grado en un Polinomio



1. Grado Absoluto: Está dado por el

mayor grado de sus términos.

2. Grado Relativo: El grado relativo

de una variable es el mayor exponente

de dicha variable.

Ejm: P(x,y) = 6x8y – 3x

7y

3 + 2xy

5

G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5

G.A.(P) = 10

3. Cálculo de Grados en

Operaciones: En la adición o

sustracción se conserva el grado del

mayor.

Ejm: Si P(x) es de grado: a

Si Q(x) es de grado: b, Tal que: a > b

Grado [P(x) Q(x)] = a

En la multiplicación los grados se

suman (x4 + x

5y + 7) (x

7y + x

4y

5 + 2)

Grado: 6 + 9 = 15

En la división los grados se restan

3334

338 7

yxyzx

xyxxy Grado: 9 – 6 = 3

En la potenciación el grado queda

multiplicado por el exponente

(x3y – x

2y

6 + z

9)

10

Grado: 9 . 10 = 90

En la radicación el grado queda

dividido por el índice del radical.

3 12637 72 xyxxy Grado 43

12


1. Hallar el valor numérico de:

abc

xy4R

2

; si se cumple:

1zc

b

y

yb

ax

A) 2 B) 0 C) 4

D) 5 E) 1

2. Hallar el valor de “n” si el grado

de P y Q es igual a 3 y 4

respectivamente, y se conoce que el

grado de la expresión:

3n45

n257

QP

QP ; es igual a 4.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

3. Determine el coeficiente de:

R(x; y) =

m

3

1 . 9

n . x

3m + 2n y

5m – n

Sabiendo que su grado absoluto es 10

y el grado relativo a “x” es 7

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) N.A.

4. Si el monomio:



P(x) = )13(42

)13()12(3 .n

nn

xn

xx

Es de sexto grado. Calcular el

coeficiente de dicho monomio

a) 25 b) 1/5 c) 1/25 d) 1/5 e) 1/27

5. Indicar el coeficiente del

monomio: 7 325 32 nnn nxxxxM

Si el grado del mismo es “2n” (n

Z+)

A) 3 B) 8 C) 12

D) 24 E) 32

6. Si {a, b, c, d} N y además:

abcd...x

xxxxP

2d6

31a2a2bab3ccab

Es un polinomio completo y ordenado

(b>1), señale su término

independiente

A) 36 B) 56 C) 30

D) 60 E) 120

7. Clasificar la siguiente

expresión:

x

x

x

xx

x

x

ba

ab

ab

ba1

2

21

2

2

Rpta.

8. Calcular la suma de los

valores enteros distintos de “n”

que convierten a la siguiente

expresión en racional entera.

(x8 – n

+ xn – 3

)2 + x

n

Rpta.

Rpta.

9. Hallar el valor numérico (V.N.) de:

62

2

y

yx

Para: x = 0,125; Y = 0,0001

Rpta.

10. Si el grado de P es “m” y el grado

de Q es “n” (m>n). Hallar el grado de:

Q

PQPR

2

Rpta.

11. Dado el monomio:

xy

yxyxH

n mnm

201

32,

Si: G.R.x(H) = 2 y G.R. y(H) =

4; hallar el grado de:

F(x,y,z) = mnxn + mxym + zn–4

Rpta.

12. Si la diferencia entre los

grados relativos de “x” e “y” es

5, además el menor exponente



de “x” es 3. hallar el grado

absoluto del polinomio:

26

4532

2

74mnm

mnmmnm

yx

yyxx,yP

Rpta.

13. Dados lo monomios:

M1(x; y)= 2

3 npx . Y17

M2(x; y)= 5(p – q)xp . y

a

M3(x; y)= 2

13 nqx . Y3n + 14

Dónde: M1, M2, M3 tienen el mismo

grado absoluto. Encontrar la suma de

coeficientes de los tres monomios

a) 142 b) 143

c) 144 d) 145

e) 146

14. Si la expresión:

3 3

3b

12

5a

y.xE

Es de cuarto grado con respecto a “y”,

y de sexto grado absoluto. El valor de

(a – b) es:

A) 8 B) 9 C) 1

D) 3 E) 5

15. El grado absoluto de:

2 1 1 1, ,aa b a b bM x y z x y z x yz xy z

es 17 y ( ) 9.GR y = Hallar:

( )a

a b+

a) 20 b) 25 c) 30 d) 10 e) 35

16. Hallar el grado de la

expresión:

2 2

2 2

m n n m n

n m m n m

x y zM

x y z,

siendo:

01 12 34 12516 ; 32n m- -- -

= =

a)5 b)4 c)3 d) 2 e)1

17. Hallar el grado del siguiente

monomio:

3 3 36 6 6 ....7M x

a) 1 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7

18. Hallar el grado de la

expresión:

3 3 34 2 4 2 4 ....4M x

a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 7

19. Si el monomio:

2

3 2

m

m

x x

x es de

tercer grado, entonces el valor de

" "m es:



a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25

20. En el siguiente polinomio3 3 1 5 2 5 6, m m m mP x y mx x y y Se

cumple: 2GR y GR x . Calcular

el grado absoluto del polinomio.

a) 13 b) 17 c) 14 d) 10 e) 8

21. Hallar " "n para que el monomio:

3 1 104

6 5 4

n n

n

x xM x

x sea de

primer grado.

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

22. Sea el monomio

23 2 23 4,m m

nM x y xy xy x y

Si sus grados relativos de " "x y " "y

son 4 y 9 respectivamente, calcular:

m n-

23. Sabiendo que el siguiente

polinomio es de : 10GA ;

además la diferencia de los

grados respecto a e x y es 4

.Hallar .m n 2 4 2 2 2 3, 3 5m n m n m n m nP x y x y x y

a) 80 b)81 c)–81 d) 27 e) – 27

24. Dado el polinomio: 2 3 3 5 2 3

, ,

m n m n m n

x y zP x y z x y z x y z

Hallar : x y z

GR GR GR

si 2m n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25. Hallar " "n , si el grado de :

2n nn nx es 729

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

26. Si se cumple

2 4 2 4 0a b c d x b de xy b c a e y

Calcular el grado absoluto de la

expresión:

2 22

. . .ab d b de cS x x y xy

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

27. Sabiendo que el siguiente

polinomio es de : 10GA ; además la

diferencia de los grados respecto a

e x y es 4 .Hallar .m n

2 4 2 2 2 3, 3 5m n m n m n m nP x y x y x y

a) 80 b) 81 c) – 81 d) 27 e) – 27

28. Al efectuar: 1

1 1 21 1n n

n n n nx x x x resulta

un polinomio de grado 13. Calcule el

valor de " "n

a) 2 b) 5 c) 4 d) 3 e) 9



29. Calcular el grado absoluto del

monomio

( )

2

2

2

3 2

2

.,

.

a b ab

a b

aa b b

x yQ x y

y x

-

-

- -

=

Sí x yGR GR= .

a) 2 b) 4 c)6 d) 8 e) 10

30. Halle el grado absoluto del

polinomio:

6 47 2m n n m nS(x,y) x y x y

Sabiendo que es homogéneo y

además: xGR (S) es menor que

yGR (S) en dos unidades.

a) 22 b) 18 c) 20 d) 17 e) 21

POLINOMIOS

ESPECIALES

1. Polinomios Homogéneos

todos los términos tienen igual grado.

Ejemplo: x3y

2 – x

5 + x

2yz

2

Es un homogéneo de grado 5.

2. Polinomios Ordenados

Será ordenado con respecto a una de

sus variables, si los exponentes de

dicha variable aumentan o disminuyen

según sea el orden ascendente o

descendente .Ejm:

x4y

7 – x

8y

10 + x

5y

24, Está ordenado

ascendentemente con respecto a y.

3. Polinomios Completos

Es completo con respecto a una de sus

variables si contiene todos los

elementos de dicha variable desde el

mayor hasta el cero inclusive.

Ejm:xy8 – y

8 + x

3y

7 + x

2y

8

Es completo con respecto a x.

Propiedad: En todo polinomio

completo y de una sola variable.

Número de términos = Grado + 1

Ejm: P(x)= x3 – x

4 +2x –7x

2 +11x

5 + 2

Es completo, el # términos = 6

4. Polinomios Idénticos

Si tienen el mismo valor numérico

para cualquier valor asignado a sus

variables, los coeficientes y sus

términos semejantes son iguales.

ax + by + cz = 8z + 2x – 5y

a = 8; b = –5, c = 2

5. Polinomios Idénticamente Nulos

Son aquellas expresiones que son

equivalentes a cero. Estando reducidas

se cumple que cada coeficiente es

igual a cero.

ax + by + cz = 0, a = 0; b = 0; c = 0



6. Polinomios Mónico

Aquel cuyo coeficiente principal es 1.

P(x) = x2 + 3x + 1, Es Mónico porque

el coeficiente de x2 es igual a 1

Ejercicios De Aplicación

1. Siendo:

P(x) = 45x5 – 2x

p + 1 – x

q–2 + 3x

2 + x + 1

Un polinomio ordenado y

completo, hallar el número de

términos del polinomio:

S(x) = xp+q–1

+ 2xp+q–2

+ ... + 3x +

2

Si este es completo y ordenado.

Rpta.

2. De qué grado es E si el en el

numerador hay 109 términos:

1...

1...1222

241424

xxxxxxxx

E nn

nnn

Rpta.

3. Reducir: P(x) si se sabe que es

homogéneo

P(x)= [(ab)2x

2]

ab + + bx

a+b(x

-b + 2ab

–

1x

b–a) + x

abc

Rpta.

4. Calcular el valor de (B – A) para

que los siguientes polinomios sean

equivalentes:

P = A(x+1)2 + B(x–2) + 2

Q = (x–2)(x+1) + (x+3)(x+2)

Rpta.

5. Si el polinomio:

(x2+x+1) (a–b) + (x

2+x+2) (b–c) +

+ (x2+x+3) (c–a). Es nulo, Hallar

acb

E

Rpta.

6. Si: P(x)= x – 1; Q(x) = 2x – 4

Calcular: R = P[Q(x)] – Q[P(x)]

Rpta.

7. Dados los polinomios:

P(x–1) = x2 + x + 1

Q(x+1) = x2 – 2x + 2

Además: H(x) = P(x+1) Q(x–1)

Calcular: H(3)

Rpta.

8. Halle la suma de los polinomios:

P(x) = 1 – x + x2

Q(x) = 2x2 + x – 1

S(x) = 2 + 2x – x2

Rpta.

9. De la suma de 2x2 + 5x – 3 con

x2 – 2x+ 4 restar la diferencia de: x

2 -

6x + 3 con 5 – 7x – 2x2

Rpta.

10. Simplificar:

3x2 – (x

2 – [1 – (2x - 3) ] ) – x

2

Rpta.



11. Simplificar:

{1 – (2x2 + [3 –(2x -1) ] - 2) }

Rpta.

12. Simplificar:

-5ab – [4b – (2ab - a)] – [5a –

(4ab - b) + 5b]

Rpta.

13. Simplificar:

xyxyx

3

1)

2

1(

3

1

3 -

)3

1(

2yx

y

Rpta.

14. Efectuar:

a +2b(a + 2b) – a – 2b (a + 2b)

Rpta.

15. Sea:P(x) = x2 + 3x – 2.

Calcular: E = P(0) + P(1)

Rpta.

16. Dados:

P(x) = 2x + 5; y Q(x) = 3x – 1

Hallar: P(3) + Q(3)

Rpta.

17. Sea el polinomio

P(x) = (x - 1)6 +(x + 1)

5 + (x +

2)4 + 2(x - 2)

3 + 3

Calcular el término

independiente de dicho

polinomio

Rpta.

18. Sean:

H(x;y) = 6x2y

a

G(x;y) = 8xby

4

Términos semejantes

Calcular a + b

Rpta.

19. Hallar (a + b) (ab)

sabiendo que:

P(x, y) = xa–2b

ya+b

– 15xb y

2b+a +

2xa-b

y8

Es un polinomio homogéneo.

Rpta

20. Si el siguiente polinomio de 14

términos es completo y ordenado:

P(x)= xa+b

+2xb+c

+ 3xc+d

+ 4xd+4

Ascendentemente.

Calcula: abcd

Rpta.

21. Si el siguiente polinomio de 14

términos es completo y ordenado:

P(x) = xn+4

+ ... +xa-1

+ xa-2

+ xa-3

Calcular: “a + n”

Rpta.

22. Si el polinomio

P(x; y) = 2xa + b

+ 3xb y

2a-3



es homogéneo, hallar “a”

Rpta

23. Calcular el grado de Q si se sabe

que P es homogéneo y de 5to. grado.

P = xm+1

(yn–1

+ zm–n

)

Q = xm+1

(yn+1

+ zm+n

)

A) 5 B) 6 C) 4

D) 7 E) 8

24. Calcular el valor de E, si A y B

son polinomios equivalentes:

A = (x2–a)

2 + b(x–a) + c

B = (x2+b)

2 + c(x+b) + d

cdabdcba

E22

A) 1 B) –1 C) 2

D) –2 E) 0

25. Si el polinomio:

L(x) = (ab–ac+d2)x

4 +

+ (bc–ba+4d)x2 + (ca–cb+3)

Es idénticamente nulo, donde d –3,

calcular el valor de:

cbaf

341

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

26. Si los polinomios P(x) y Q(x) son

idénticos:

P(x) = a (x + 1)2 + b (x – 2)+2

Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3) (x + 2)

Calcular: “ab”

a) 0 b) 1 c) 2 d) –1 e) –2

27. Si el polinomio

R(x,y) = (m + n)x3y

5 + 3x

5y

3 – 11x

3y

5

+ (n – m)x5y

3, es idénticamente nulo.

Calcule

n . m

a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 28

28. Si: F(x) = 23

232

2

xxxx

. Calcula

E = )1(2)2()3(

1)0()2(2)3(

FFFFFF

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

29. Siendo F (2x + 1) = x

Encontrar “x” en F(x - 1) = 0

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3

30. Si:

F(x + 1) = x4 + ax

2 – 5x

G(x + 2) = 2x3 – x – a + 1

Encontrar “a” si F(2) = G(3)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 40

31. Si: P(x) = ax

Además

P(x + a) = P (x + b) + P(x + c)

Encontrar el valor de “x”

a) a2 – b – c

b) a – b + c

c) a + b + c

d) a – b – c



e) N.A.

32. Se tiene:

P(x + 2) = 3x + 8

Q(x – 1) = 5x + 3

Calcular: M = )1()1(

22)()(

xQxPxQxP

a) x + 1 b) –4 c) –4x

d) x – 1 e) – (x + 1)

PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTO

Son los resultados de ciertas

multiplicaciones indicadas que se

obtienen en forma directa.

PRINCIPALES PRODUCTOS

NOTABLES

1. Binomio Suma o Diferencia al

Cuadrado (T.C.P.)

. (a b)2 = a

2 2ab + b

2 .

Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a – b)

2 = 2(a

2 + b

2)

(a + b)2 – (a – b) = 4ab

(a + b)4 – (a – b)

4 = 8ab (a

2 + b

2)

2. Diferencia de Cuadrados

. a2 – b

2 = (a + b) (a – b) .

3252525

3. Binomio al Cubo

. baabbaba

babbaaba

3

33333

32233

.

baabbaba

babbaaba

3

33333

32233

Ejemplo:

(2 +3)3 = 2

3 + 3 . 2

2 . 3 + 3 . 2 . 3

2 + 3

3

(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27

(2 + 3)3 = 125

4. Producto de Binomios con Término

Común

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .

5. Producto de Tres Binomios con

Término Común

(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab

+ bc + ac) x + abc .

(x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab +

bc + ac) x – abc .

6. Trinomio al Cuadrado

. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .

. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .

7. Trinomio al Cubo

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c +

a) .



(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc

+ ca) – 3abc .

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a +

c) + 3c2(a + b) + 6abc

8. Suma y Diferencia de Cubos

. a3 + b

3 = (a + b) (a

2 – ab + b

2) .

. a3 – b

3 = (a – b) (a

2 – ab + b

2) .

9. Identidades de Argan’d

.(x2 + x + 1) (x

2 – x + 1) = x

4 + x

2 + 1

.(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4 .

En general

. (x2m

+ xm

yn + y

2n) (x

2m – x

my

n + y

2n)

= x4m

+ x2m

y2n

+ y4n

.

10. Identidades de Gauss

. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 –

ab – ac – bc) .

.(a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab +

bc + ac) .

11. Identidades Condicionales

Si . a + b + c = 0 . Se verifican:

. a2 + b

2 + c

2 = –2(ab + bc + ac) .

. (ab + bc + ac)2 = (ab)

2 + (bc)

2 +

(ac)2 .

. a3 + b

3 + c

3 = 3abc .


1. Efectuar:

E = (x–y)2 – (y–z)

2 + (z–w)

2 – (w–x)

2

+ 2(x–z)(y–w)

2. Efectuar:

E = (a+b)2(a

2+2ab-b

2) – (a–b)

2(a

2–

2ab–b2)

3. Efectuar:

E = 2(a+b)[(a+b)2 – 2ab + (a-b)

2] +

+ (a–b) [(a+b)2 + 4(a

2+b

2)–(a–b)

2]

4. Efectuar:

1563030651M

5. Calcular el valor de E para

2x

E = [(x+1)2(x

2+2x–1) – (x–

1)2(x

2–2x–1)]

2/3

6. Calcular el valor numérico de:

E = (a2+b

2)3 + (a

2–b

2)3 – 6b

4(a

2–b

2)

Para a3 =2, b

3 = 3

7. Simplificar:

yx

xyyxxyyE

22222 222

8. Calcular

33

33

721

33

721

9. Reducir:



222 xyx4zyxzyxzyxzyxE

10. Si: a = 15 b = 12; calcular

16 168844223 bbabababaM

Hallar el valor de:

16 1684 112121253R

11. Si se tiene en cuenta que:

a2 + b

2 + c

2 = 300

a + b + c = 20

Calcular:

E = (a+b)2 + (a+c)

2 + (b+c)

2

12. Si: x(x+3) = 2 : calcular:

1321 xxxxE

13. Siendo:

abcabcxabcx

Calcular:

abcxabcx

14. Si se acepta que:

41

xx

¿Cuál es la suma de las cifras de: x3 +

x–3

?

15. Simplificar:

E = (x–y)(x+y–z) + (y–z)(y+z–x) +

+ (z–x)(z+x–y)

a. 0 b. x+y+z c. x–y+z

d. x+y–z e. y+z–x

16. Simplificar:

1x

1xxxxxxxx1x1xQ

9

36136124

a. x18

+1 b. x9–1 c. x

9+1

d. 1 e. –1

17. Simplificar:

bab2babaab4E2/1

a. a b. b

c. ba d. a2

e. ba

18. Determinar el valor numérico de:

(a+b+3c)(a–b+3c)–(a–3c+b)(a–3c–b)

12a ; 2b ;

12c

a. 9 b. 10 c. 11

d. 12 e. 13

19. Si: 3 111972x ;



111969y

Hallar el valor de:

x9 – 9x

3y

3 – y

9

a. 27 b. 72 c. 30

d. 20 e. 25

20. Simplificar:

E = (x–1)(x+4)(x+2)(x–3) +

+ (x–2)(x+5)(x+3)(x–4) –

–2(x2+x–10)

2 + 56

a. 5x–20 b. x2+3x–84

c. 3(x–10) d. Cero

e. Uno

21. Si: a . b–1

+ a–1

b = 3; hallar el valor

de: 3

2

23

2

2

11ab

ba

E

a. 27 b. 81 c. 189

d. 243 e. 486

22. Si:

aabcxabcx 88

babcxabcx 88

cabcxabcx 44

Hallar:

abcxabcxR

a. ab b. bc c. 2

d. 2abc e. a2

23. Si: 33 3232E

Hallar el valor numérico de:

3 3 233EEP

a. 1 b. 2 c. 3

d. 3 2 e. 3 3

24. Sabiendo que: a + a–1

= 3;

determinar el valor de:

aaaa aaaaM 1111

a. 20 b. 30 c. 40

d. 50 e. 60

25. ¿Cuál de las siguientes

proposiciones es incorrecta?

a. (x + x )(x - x )= x2 –x; x > 0

b. (x + y)2+(x- y)2= 2(x2+ y2)

c. (x + a) (x + b) = x2 + abx + a + b

d. x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y)

e. (x + y)2 – (x - y)2 = 4xy

a) I b) II c) III d) IV e) V

26. Reducir: 93

272

3

xxx

a) x + 3 b) x – 3 c) x + 27 d) x

– 27 e) x – 9

27. Efectuar:



(x+y)2

(x2-xy+y

2)

2 – (x–y)

2

(x2+xy+y

2)

2

a) 4x3y

3 b) 3x

3y

3 c) 2x

3y

3

d) x3y

3 e) 4xy

28. Hallar: A . B, sabiendo que:

(x + A)(x2 + 2x + B)

Es una diferencia de cubos

a) –2 b) 2 c) 4 d) –8 e) 8

29. Si se cumple (a + b)3 = a

3 + b

3

Hallar a/b.

a) 32 b) 27 c) 0 d) 36 e) 216

30. Si: x + y + z = xy + xz + yz = 5;

Calcular: x2 +y

2 +z

2

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

31. Si: (x + y + z)2 = x

2 +y

2 + z

2

Calcular: x

zxyx ))((

a) x b) xy c) x/y d) 1 e) xyz

32. Si: x; y; z son enteros diferentes

de cero, entonces: x + y +z = 0 se

cumple:

i.x3 + y

3 + z

3 = –8xyz

ii.x3 + y

3 +z

3 = 3xyz

iii.x2 + y

2 + z

2 = xyz

iv.x2 +y

2 + z

2 = 4xyz

v.x3 + y

3 + z

3 =0

33. Si: 333 zyx = , calcular

“n” de:

n

xyz

zyx4

3 = 27

n + 2

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

TE SORPRENDERÁ TENER LA OPORTUNIDAD DE

AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SÓLO

ESCUCHARLO QUE TIENE PARA DECIRTE, AUNQUE

NO ESTÉS DE ACUERDO. SABER ESCUCHAR ES UNA

DE LAS MANERAS MÁS GRATIFICANTES DE SER

GENEROSO”

MÓNICA BUONFIGLIO

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algebra 5º secundaria