Algebra Lineal I-2013

7/27/2019 Algebra Lineal I-2013

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)FACULTAD DE CIENCIAS MATEMTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

NOTAS DE CLASE

LGEBRA LINEAL I

Profesor: Vctor G. Osorio Vidal

2011-I


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Notas de clase de lgebra Lineal I Vctor G. Osorio Vidal----------------------------------------------------------------------------------------------------------

i

NDICE GENERAL

Prlogo

1. Preliminares 1Funciones . 1Leyes de composicin interna y externa 2Conjuntos nR y nC .. 2Grupos y campos . 2

2. Espacios vectoriales 7Espacios vectoriales . 7

Ejercicios .. 14Subespacios .. 16Ejercicios .. 19Operaciones con subespacios 20Ejercicios ... 25Independencia y dependencia linealBase y dimensin de un espacio vectorial .... 26Ejercicios ... 44

3. Transformaciones lineales y temas afines 48Transformaciones lineales ... 48

Ncleo e imagen de una transformacin lineal .... 53

Ejercicios .. 61Composicin de transformaciones lineales .. 63Transformaciones lineales inversibles .. 63Espacio vectorial de las transformaciones lineales ... 67Espacio dual de un espacio vectorial .... 71Segundo espacio dual obidual de un espacio vectorial . 76Anuladores 78Dual de una transformacin lineal 81

4. Matriz asociada a una transformacin lineal 83Coordenadas o componentes de un vector 83Matriz asociada a una transformacin lineal ... 84Matriz cambio de base . 96Frmulas de transformacin de coordenadas 99Matrices semejantes .. 103Ejercicios .. 105


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ii

5. Determinantes 110Formas n-lineales .. 114Funcin determinante .. 115Adjunta de una matriz .. 126Regla de Cramer ...... 131

Ejercicios 133

6. Producto interno y ortogonalidad 139Producto interno 139Ejercicios ... 147Ortogonalidadconjunto ortogonalconjunto ortonormal 147Proceso de ortogonalizacin .. 153Ejercicios ... 159

7. Valores y vectores propios 161Valores y vectores propios de una transformacin lineal .... 161Valores y vectores propios de una matriz .... 165

Polinomio caracterstico 172Polinomio anulador y polinomio minimal 175Ejercicios .. 177Teorema de Cayley-Hamilton .. 179


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iii

Prlogo

El lgebra Lineal es un curso bsico en la formacin de los estudiantes de ciencias,ingenieras, economa y ciencias administrativas.

El material que pongo a disposicin de los estudiantes que cursan la asignatura de

lgebra Lineal corresponde a las Notas de Clase entregadas a mis alumnos de laFacultad de Ciencias Matemticas y Facultad de Educacin (Especialidad deMatemtica y Fsica) de la Universidad Nacional de San Marcos a travs de Chamiloque es una solucin de software libre, licenciada bajo la GNU/GPLv3, de gestin delE-learning o aprendizaje electrnico, desarrollada con el objetivo de mejorar el acceso ala educacin y el conocimiento globalmente. La direccin eshttp://campus.chamilo.org/.

Para finalizar agradecer a mis colegas y alumnos por las sugerencias y crticas quetengan a bien hacer llegar a la siguiente direccin [email protected].

EL AUTOR
http://campus.chamilo.org/mailto:[email protected]:[email protected]://campus.chamilo.org/


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1

PRELIMINARES

El presente captulo tiene dos objetivos. El primero es recordar definiciones yresultados que se supone el estudiante ha adquirido en los cursos que son prerrequisitos.El segundo objetivo es dar a conocer algunos conceptos sin entrar en detalle, ya que esnecesario para la mejor comprensin de los captulos siguientes.

1. FUNCIONES

DEFINICIN 1.1.- Sean X e Y dos conjuntos cualesquiera; llamaremos producto

cartesiano de Xpor Yal conjunto denotado por:

YyXxyxYX /),(

DEFINICIN 1.2.- Dados X, Yconjuntos; diremos que R es una relacin de Xen

Ysi y solo si R es un subconjunto de YX .DEFINICIN 1.3.- Sean X, Y conjuntos; YXf : es una aplicacin o funcin

de Xen Ysi y solo si fes una relacin de Xen Yy adems satisface:

zyfzxfyx ),(),(

Si fyx ),( entonces )(xfy , y se denomina valor de f en x imagen de x

segn f.

DEFINICIN 1.4.- Sea YXf : una funcin.

a) fes inyectiva si y solo si se cumple:

212121 )()(:, xxxfxfXxx

o equivalentemente,

)()(:, 212121 xfxfxxXxx .

b) f es suryectiva si y solo si YXf )( ; es decir, para todo Yy , existe Xx

tal que yxf )( .

c) fes biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva.

DEFINICIONES 1.5

a) Sea YXf : y XA , llamaremos imagen de A segn f al conjunto

denotado por:

}),(/{)( AaafyYyAf .

b) Sea YXf : y YB , llamaremos pre-imagen o imagen inversa de B

segn fal conjunto denotado por:


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2

},)(/{)(1 BbbxfXxBf .

DEFINICIN 1.6.- Sean YXf : , WYg : funciones, llamaremos funcin

composicin de g con f fseguida de g a la funcin denotada por:

WXfg : tal que )())(( xfgxfg

2. LEYES DE COMPOSICIN INTERNA Y EXTERNA

DEFINICIN 2.1.- Sea un conjunto A , llamaremos ley de composicin

interna definida en A a toda aplicacin de AA en A.

212121 ),(),(

:

aaaaaa

AAA

Es decir el resultado de operar dos elementos de A sigue estando en A.

DEFINICIN 2.2.- Sean A, dos conjuntos ( se denomina conjunto deoperadores o escalares). Llamaremos ley de composicin externa definida en A y

con operadores en , a toda aplicacin de A en A.

aaa

AA

),(),(

:

3. LOS CONJUNTOS nR Y nC

Sea R el conjunto de nmero reales, Cel conjunto de los nmeros complejos y n un

nmero entero positivo. Denotaremos por:

},,2,1,,/),,({ 1 niRxordenadasuplasnxxxR inn

sean ),,( 1 nxxx ,n

n Ryyy ),,( 1 diremos que yx si y solo si ii yx

para todo ni ,,2,1 .

De manera anloga denotaremos:

},,2,1,,/),,({ 1 niCzordenadasuplasnzzzC inn

4. GRUPOS Y CAMPOSDEFINICIN 4.1.- Sea un conjunto G , si en G definimos una ley de

composicin interna T, diremos que el objeto ),( TG es un grupo si satisface las

siguientes condiciones:

G1) )()( cTbTacTbTa para todo a, b, Gc .

G2) Existe Ge tal que para todo Ga se cumple que aaTeeTa


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3

G3) Para todo Ga , existe Ga tal que eaTaaTa .

Si adems de las tres condiciones se cumple:

G4) aTbbTa para todo a, Gb .

Se dice que ),( TG es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

NOTAS:

(1) e se denomina elemento identidado nulo del grupo.

(2) El elemento a relativo a la propiedad G3) recibe el nombre de elemento

inverso de a.

EJEMPLO 4.1.1.- ),}0{(),,(),,(),,( RRQZ donde "+" y "." denotan la

adicin y multiplicacin usuales, son grupos conmutativos.

EJEMPLO 4.1.2.- El conjunto de las matrices de componentes reales de ordennm denotada por nmR con la operacin usual de suma de matrices es un grupo

abeliano.

)()()(/)(),( jijijijinm

jiji babaRba donde mi 1 y nj 1 .

EJEMPLO 4.1.3.- Sea n un nmero entero positivo, denotemos por

ZaaZn /][ , donde ][a designa a la clase de restos mdulo n que contiene al

nmero a. Definimos en nZ una operacin tal que:

][][][][],[:

bababaZZZ nnn

donde + es la adicin usual en Z. ),( Z es un grupo conmutativo.

EJEMPLO PARTICULAR.- Sea ]2[,]1[,]0[,3 3 Zn .

]1[]0[]2[]2[

]0[]2[]1[]1[

]2[]1[]0[]0[

]2[]1[]0[

DEFINICIN 4.2.- Sea un conjunto K , definimos en K dos leyes de

composicin internas:

Adicin:

baba

KKK

),(

:


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4

Multiplicacin:

baba

KKK

),(

:

Diremos que el objeto ),,( K es un campo si y solo si satisface las siguientes

condiciones:

K1) )()( cbacba para todo Kcba ,, .

K2) Existe K0 tal que aaa 00 para todo Ka . 0 es llamado elemento

nulo o cero.

K3) Para todo Ka , existe un elemento de Kque se llama opuesto de a o inverso

aditivo de a que denotaremos por a y es tal que: 0)()( aaaa .

K4) abba para todo Kba , .

K5) )()( bcacab para todo Kcba ,, .K6) Existe Ke tal que aaeea para todo Ka . e es llamado elemento

idntico o identidad.

K7) Para todo 0a elemento de K, existe un elemento tambin en K llamado

opuesto de a o inverso de a con respecto a la multiplicacin que se denota por

1a y es tal que: eaaaa 11 .

K8) abba para todo Kba , .

K9) cabacba )( y cbcacba )( para todo Kcba ,, .

OBSERVACIONES:

(1) ),( K es un grupo aditivo conmutativo.

(2) )},0{( K es un grupo multiplicativo conmutativo.

(3) El elemento 0 que cumple K2), y e que cumple K6) son nicos.

(4) El inverso aditivo y multiplicativo ( K3), K7)) de cada elemento es nico.

(5) 00 a para todo Ka .

(6) 0ba entonces 0a 0b . Esta propiedad se expresa diciendo que K no

tiene divisores de cero.

EJEMPLO 4.2.1.- ),,(),,,(),,,( CRQ donde "+" y "." son las

operaciones usuales de adicin y multiplicacin son campos.


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EJEMPLO 4.2.2.- Sea ZaaZp /][ , ][a como se vio en el ejemplo 4.1.3.

representa la clase de restos mdulo p donde p es primo. Definimos en pZ las

operaciones: ][][][ baba

][][

][ baba donde "+" y "." son las operaciones usuales de adicin y multiplicacin. ).,,( pZ

es un campo.

NOTA.- Si p no es primo la afirmacin anterior no es verdadera. En efecto,

consideremos:

]3[],2[],1[],0[4 Z y construyamos la tabla siguiente:

]1[]2[]3[]3[]2[]0[]2[]2[

]3[]2[]1[]1[

]3[]2[]1[

de la tabla podemos observar que ]0[]2[ pero; sin embargo, no tiene inverso

multiplicativo, es decir no cumple K7) de la definicin 4.2.

EJEMPLO 4.2.3.- Consideremos el conjunto },/2{)2( QbabaQ . Si

sobre )2(Q se definen las operaciones

Adicin : 2)()()2()2( dbcadcba

Multiplicacin : 2)()2()2)(2( bcadbdacdcba

Probar que ,),2( Q es un campo.

PRUEBA:

Slo probaremos la condicin K7) de la definicin 4.2.; las restantes condiciones no

ofrecen dificultad.

Sea 02 ba donde )0( b , debemos probar que existe 2dc tal que

1)2()2( dcba .

Sabemos que 20112)()2()2()2( dacbbdcadcba

De donde: 12 bdca (1)

0 dabc (2)

despejando c de (1) y (2) respectivamente tenemos:


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6

a

bdc

21 (3)

b

dac

(4)

igualando (3) y (4), obtenemos:

222 ab

bd

y reemplazando el valor de den (4), resulta:

22 2ba

ac

Luego:

2222 2

2

22

ba

b

ba

adc

)2(Q es un campo.

EJEMPLO 4.2.4.- El conjunto },/2{)2( ZbabaZ con las operaciones

de adicin y multiplicacin definidas en el ejemplo 4.2.3. no es un campo. La

verificacin es inmediata.


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ESPACIOS VECTORIALES

En el clculo elemental se estudia funciones reales de una variable real; es decir,

funciones cuyo dominio y rango son R o subconjuntos de R. Para esto es necesarioconocer las propiedades de nmeros reales. Una situacin muy similar se presenta en el

lgebra lineal; los objetos realmente importantes son lastransformaciones lineales que

son un tipo particular de funciones cuyo dominio y contradominio son conjuntos

dotados de una estructura muy importante: los espacios vectoriales. Es por lo tanto, la

intencin de este captulo dar los conceptos y propiedades bsicas de los espacios

vectoriales.

1. ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIN PRELIMINAR.- Dado un conjunto V , un campo ),,( K(que puede ser los reales R o los complejos C), se define una ley de composicininterna en V

yxyx

VVV

),(

:

llamadaadicin y se define una ley de composicin externa en Vcon escalares en elcampo K

: VVK ),( xa ax

denominada multiplicacin por escalares. Diremos que el objeto ,,,( KV ) es

un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si verifica las siguientescondiciones:

V1) )()( zyxzyx para todo Vzyx ,, .

V2) Existe V tal que xxx , para todo Vx . El elemento se

denominaneutro aditivo ocero.

V3) Para todo Vx , existe Vy tal que xyyx . El elemento y se

denominaopuesto de x y se denota por xy .

V4) xyyx para todo Vyx , .

V5) a(bx) )( ba x para todo Kba , , para todo Vx .

V6) )( ba x a bx x para todo Kba , , para todo Vx .

V7) a )( yx ax ay para todo Ka , para todo Vyx , .

V8) Existe K1 llamado elemento idntico multiplicativo tal que 1 xx . Para

todo Vx ,


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OBSERVACIONES:

a) Un conjunto V para que sea espacio vectorial sobre un campo Kdebe tener

definidas dos operaciones adicin y multiplicacin por un escalar; las

cuales deben cumplir las ocho propiedades arriba mencionadas. En caso que no

cumpla con alguna de ellas no es un espacio vectorial.

b) A los elementos de V se les llaman vectores y el elemento neutro aditivo

recibe el nombre de vector nulo.

c) Si RK , V es llamado espacio vectorial real y si CK , V se denomina

espacio vectorial complejo.

d) En lo que sigue de las notas si no se dice lo contrario en lugar de denotar la

adicin de vectores con el smbolo simplemente denotaremos con +,

haciendo la diferencia segn el contexto cuando se trata de la suma de vectores

)( yx o la suma de escalares )( ba ; el smbolo se usar ms adelante

para denotar la suma directa.

Omitiremos escribir el smbolo que denota la ley de composicin externa,

simplemente con la yuxtaposicin se entender la multiplicacin de un vector

por un escalar haciendo la diferencia segn el contexto cuando se trate de la

multiplicacin de un vector por un escalar (ax) o la multiplicacin de dos

escalares (ab).

Con las precisiones hechas en d), la definicin de espacio vectorial se puede

enunciar formalmente como sigue:

DEFINICIN 1.1.- Dados un conjunto V , un campo K, una ley de

composicin interna + en V llamada adicin y una ley de composicin externa

definida en V y con operadores o escalares en K denominada multiplicacin

por escalares. Diremos que V es un K- espacio vectorial o que V es un espacio

vectorial sobre el campo Ksi y solo si se verifican las siguientes condiciones:

V1) )()( zyxzyx para todo Vzyx ,, .V2) Existe V tal que xxx , para todo Vx . El elemento se

denominaneutro aditivo ocero.

V3) Para todo Vx , existe Vy tal que xyyx . El elemento y se

denominaopuesto de x y se denota por xy .

V4) xyyx para todo Vyx , .


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V5) xbaxba )()( para todo Kba , , para todo Vx .

V6) bxaxxba )( para todo Kba , , para todo Vx .

V7) ayaxyxa )( para todo Ka , para todo Vyx , .

V8) Existe K1 llamado elemento idntico multiplicativo tal que xx 1 . Para todo

Vx ,

EJEMPLO 1.1.1.- Sea },,2,1,/),,({ 1 niRxxxRV inn

y RK .

Dados nnn Ryyyxxx ),,(,),,( 11 y Ra , definimos:

),,( 11 nn yxyxyx

),,( 1 nxaxaxa

),,,( RRn

cumple las condiciones de espacio vectorial. En efecto:V1) Sean

nRzyx ,,

),,(]),,(),,([)( 111 nnn zzyyxxzyx

),,(),,( 111 nnn zzyxyx

])(,,)([ 111 nnn zyxzyx

])(,),([ 111 nnn zyxzyx

),,(),,( 111 nnn zyzyxx

)( zyx

V2) Existe xxxRn /)0,,0( , para todo nRx .

V3) Para todonRx , existe ),,( 1 nxxxy tal que xyyx .

V4) SeannRyx ,

),,(),,( 11 nn yyxxyx

),,( 11 nn yxyx

),,( 11 nn xyxy

xy

V5), V6), V7) y V8) se verifican anlogamente.


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EJEMPLO 1.1.2.- Consideremos RRf :F el conjunto de funciones

definida en los reales y con valores reales, y RK . Sean Fgf, y Ra

definimos:

)()()()( xgxfxgf para todo Rx

)())(( xfaxfa para todo Rx

La cuaterna ),,,( RF es un espacio vectorial. Verificaremos slo las

condiciones V2) y V3), las dems quedan como ejercicio para el lector.

V2) Existe F definida como 0)( x para todo Rx (funcin cero) y

cumple fff para todo Ff .

V3) Para todo Ff , existe un opuesto que definimos como:

)())(( xfxf tal que ffff )( .

EJEMPLO 1.1.3.- R no es un espacio vectorial sobre CK . Pues si Ca y

Rx , no siempre se cumple que Raxa ; es decir, no es una ley de composicin

externa.

EJEMPLO 1.1.4.- Sea Kun campo, construyamos el conjunto:

niKkkkK inn ,,2,1,/),,( 1

para nnn Kkkykkx )',,'(),,,( 11 y Kc , definimos:

)',,'( 11 nn kkkkyx

),,( 1 nckckcx

),,,( KKn es un espacio vectorial.

EJEMPLO 1.1.5.- Denotemos por:

)(

,),,,,(/ 10nmeroselementosdefinitonmero

unexceptoceros,todossonKalosdondeaaaxxK

in

Sean Kbyax ii

)(),( y Kc

. Definimos:),,,,( 1100 nn bababayx

),,,,( 10 ncacacacx

se deja al lector verificar que ),,,( KK es un espacio vectorial.


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EJEMPLO 1.1.6.- Consideremos ][xP el conjunto de las funciones polinomiales

en la indeterminada x de grado menor o igual que )( Znn sobre el campo delos nmeros reales. Sean:

n

nxaxaaxp 10)( , ][)( 10 xPxbxbbxq

n

n y R

Definimos:n

nn xbaxbabaxqxp )()()()()( 1100

n

nxaxaaxp 10)(

,,],[ RxP es un espacio vectorial. La verificacin es anloga en el ejemplo

1.1.2.

NOTA.- Si se considera el conjunto de todos los polinomios de grado igual a

)(

Znn con las mismas operaciones, no constituye un espacio vectorial sobre R,

pues la adicin para este conjunto no es una ley de composicin interna.

EJEMPLO 1.1.7.- Sea Kun campo, consideremos:

},,1{},,,1{ nImI nm

}11/),({},,1{},,1{ njmijinmP

es decir nm IIP (producto cartesiano de mI por nI ). Definimos:

mnm

n

ji

nm

aa

aa

AKajiAKPAK

1

111

,),(/:

KPA :

11)1,1( a

12)2,1( a

nan 1),1(

jiaji ),(

mnanm ),(

nmK recibe el nombre deconjunto de matrices de orden nm sobre el campo K.

Sean nmKBA , y K . Definimos la:


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Adicin : jijiji bajiBjiAjiBAc ),(),(),()(

Multiplicacin : jiji ajiAjiAc ),(),()(

Fcilmente se verifica que nmK con las operaciones definidas arriba es un espacio

vectorial sobre K.

EJEMPLO 1.1.8.- Dado el sistema lineal homogneo:

01212111 nn xaxaxa

02211 nnmmm xaxaxa

con coeficientes en R.

Sea }),,/(),,({11

sistemadelsolucinesxxxxSnn

S con las operaciones usuales de adicin y multiplicacin por escalares es un

espacio vectorial sobre R.

EJEMPLO 1.1.9.- Sean 21 , VV espacios vectoriales sobre el campo K y

consideremos el conjunto:

}/),({ 221121 VvVvvvV

para Vvvvv )''(),,( 2121 y Ka . Definimos:

)','()''(),( 22112121 vvvvvvvv

),(),( 2121 vavavva

Vcon las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre K.

EJEMPLO 1.1.10.- Sea Rf )1,1(: (R un espacio vectorial sobre R con lasoperaciones usuales) tal que:

01

01)(

xsix

x

xsix

x

xf

Es fcil mostrar que fas definida es una biyeccin.

Para )1,1(, yx y Ra definimos:

)()(1 yfxffyx

)(1 xaffxa


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demostrar que )1,1( con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial

sobre R.

SOLUCIN

Slo verificaremos las condiciones V1) y V7) las restantes se dejan al lector para

que las verifique.

V1) ))()(()(1 zfyxffzyx

))()))()(((( 11 zfyfxffff

))())()(((1 zfyfxff

)))()(()((1 zfyfxff

))))()(((()(( 11 zfyfffxff

))()((1 zyfxff

)( zyx

V7) bxaxxba )( para todo Rba , y para todo )1,1(x .

))()((1 bxfaxffbxax

))))((())))(((( 111 xbfffxaffff

))()((1 xbfxaff

))()((1 xfbaf

xba )(

PROPOSICIN 1.2.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial. Entonces se tiene:

i) El elemento es nico.

ii) x0 para todo Vx .

iii) a para todo Ka .

iv) Si ax , entonces 0a x .

v) )()( axxa para todo Ka y para todo Vx .

PRUEBA.- Solamente, a modo de ilustracin, probaremos i) y v).

Prueba de i)

Supongamos que exista V' tal que xxx '' para todo Vx .

Haciendo x tenemos que:

'' (1)


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Por otro lado en virtud de la condicin V2) de espacios vectoriales existe V tal

que xxx para todo Vx , haciendo x tenemos que:

''' (2)

de (1), (2) y V4) finalmente se tiene: ' .

Prueba de v):

axax)( por V3)

x0 por ii)

xaa )( por suma de opuestos en K

axaxaxax )( por V6)

axax )( por la ley de cancelacin.

EJERCICIOS

1. Sean 2RV y RK . Averiguar si 2R con las operaciones definidas a

continuacin es un espacio vectorial sobre R.

a) )0,(),(),( 212211 xxyxyx y )0,(),( axyxa

b) ),(),(),( 21212211 yyxxyxyx y )0,(),( axyxa

(las operaciones que aparecen en el segundo miembro de las igualdades,

tanto en a) como en b) son la adicin y multiplicacin usuales).

2. En 3R con la operacin usual de adicin y la multiplicacin definida como:

)2,,(),,(:),,(; 3 azayaxzyxaRzyxRa

averiguar si 3R es un espacio vectorial sobre R.

3. Sean RV (el conjunto de los nmeros reales positivos) y RK . Se definen

las operaciones de adicin y multiplicacin por escalar como sigue:

xyyxRyx :,

axxaRxRa :;

Averiguar si R con las operaciones definidas anteriormente es un espacio

vectorial sobre R.

4. Sean V=R y K=R; se define la operacin de adicin como sigue:

},{:, yxmxyxRyx

Si la multiplicacin por escalar es la usual de nmeros reales, averiguar si R con

las operaciones antes definidas es un espacio vectorial.


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5. Sea Zel conjunto de los nmeros enteros con la adicin usual y la multiplicacin

por escalar definida por

xaxaZxRa :,

donde a denota el mximo entero; esto es

Zkkakka ;1

Por ejemplo

8)4)(2(475,2475,2 , 9)3)(3(315,2315,2

Cules de las condiciones de espacio vectorial no se verifican?.

6. Sea el conjunto },/2{)2( QbabaQ . Se define:

2)()()2()2( dbcadcba

2)2( baba

Es ),,),2(( KQ un espacio vectorial?, Si:

(a) )2(QK , (b) QK y (c) RK .

7. Demostrar ii), iii) y iv) de la proposicin 1.2.

8. En el conjunto 2R se definen la adicin y la multiplicacin como sigue:

3131 )(,)(:),(,),( 3232313122121 yxyxyxRyyyxxx

),(:),(; 212

21 axaxxaRxxxRa

Averiguar si 2R con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial.

9. En un grupo aditivo V se da la siguiente definicin. Para Vx y para

cualquier entero positivo n, se define el producto nx inductivamente por

xx 1 y xxnnx )1(

Para un entero negativo n, se define

))(( xnnx ,

donde n es un entero y por consiguiente xn)( est bien definido. Denotando

por Z el conjunto de todos los enteros, demostrar que la aplicacin

nxxn

VVZ

),(

verifica las siguientes propiedades:

a) nynxyxn )( b) nxmxxnm ))(

c) )()( nxmxmn d) xx 1

Es V un espacio vectorial?. La respuesta es obvia.


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2. SUBESPACIOS

DEFINICIN 2.1.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial cualesquiera. Diremos

que W, un subconjunto de V diferente del vaco es un subespacio si y solo si

),,,( KW con las operaciones definidas para V es por s mismo un espacio

vectorial.

NOTA.- El conjunto }{ y V son subespacios vectoriales de V, denominados

subespacios triviales; cualquier otro subespacio es llamado subespacio propio.

Ntese adems que el elemento neutro aditivo de Wes el mismo que el de V.

TEOREMA 2.2.- Sea V un K-espacio vectorial un espacio vectorial y W un

subconjunto de Vdiferente del vaco. Wes un subespacio vectorial de Vsi y solo si:

i) Para todo WyxWyx ,, .

ii) Para todo Ka , para todo WaxWx , .PRUEBA

) Es obvio

) Por hiptesis tenemos que se cumple i) y ii), probaremos que Wes un K-espacio

vectorial.

V1) )()( zyxzyx para que Wzyx ,, . Se verifica: VWzyx ,, y

en Vse cumple V1).

V2) Existe xxxW / para todo Wx . En efecto, sea:

WyyWy )1( (por ii)) Wyy )( por i)).

V3) Para todo Wx , existe Wx tal que xxxx )( en virtud de i) y

ii).

Anlogamente se puede verificar que ),,,( KW cumple las condiciones restantes

del espacio vectorial.

EJEMPLO 2.2.1.- Sea 2RV y consideremos:

constantey0,)0,0(),/(),( 1

1

221

221 axa

x

xxxRxxW

Wes un subespacio vectorial de V.

EJEMPLO 2.2.2.- Sea F el R-espacio vectorial de todas las funciones reales de

variable real, consideremos:


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}continuaes/:{ fRRf C

es un subespacio vectorial de F. En efecto, tenemos que C ya que C ,

pues RR : tal que 0)( x para que Rx es una funcin continua. Las otras

condiciones se cumplen en virtud de las propiedades de funciones continuas.

EJEMPLO 2.2.3.- Sea ),,,( 3 RR y dados )0,3,1(u y )1,0,2(v

elementos de 3R . Construimos:

}),(/{ 3 RauvauwRwW

Wno es un subespacio de 3R , pues es fcil verificar que cero no pertenece a W.

EJEMPLO 2.2.4.- Sea FV el R-espacio vectorial de todos las funciones reales

de variable real. Averiguar si el conjunto definido como:

)}()()()()(/{ afafbfafbaffW F

es un subespacio vectorial.

SOLUCIN

Haciendo uso del teorema 2.2. tenemos que VW por definicin y adems

W pues la funcin cero pertenece a W. Veamos si cumplen las condiciones i) y

ii) del teorema.

i) Wgf , entonces:

)()()()()( afafbfafbaf (1)

)()()()()( agagbgagbag (2)

Sumando las igualdades de (1) y (2) miembro a miembro

))()(())()(()()( bgagbfafbagbaf

)()()()( agafagaf

agrupando convenientemente y usando la definicin de suma de funciones,

tenemos:

))(())(())(())(())(( agfagfbgfagfbagf

luego Wgf .

ii) WfR , entonces:

)()()()()(, afafbfafbafR (3)


23/187


18

multiplicando las igualdades de (3) por y de la definicin de producto de una

funcin por un escalar tenemos:

))(())(())(())(())(( afafbfafbaf

luego Wf .

De i) y ii) Wes un subespacio vectorial.

EJEMPLO 2.2.5.- Sea }continuaes/:{ fRRfV C y consideremos:

}0)(/{ 101 dttffW C

}1)(/{ 102 dttffW C

1W es un subespacio vectorial, 2W no es un subespacio pues no se cumplen las

condiciones del teorema 2.2. En efecto, tomemos RRf : tal que 1)( tf ,

entonces 2Wf ya que 110 dt , pero 2Wff pues 12))()((

10 dttftf .

EJEMPLO 2.2.6.- Sea nnRV el espacio vectorial de las matrices cuadradas de

orden nn sobre el campo R. Definimos:

},;/{ jijjinn

iaaRAS

},;/{ jijjinn

iaaRAT

Los elementos del conjunto Sse denominan matricessimtricas, y a los elementos

de Tse les llaman matricesantisimtricas. Los conjuntos Sy Tcon las operaciones

heredadas de ),,,( RR nn son subespacios vectoriales.

EJEMPLOS 2.2.7.- Sea }/){( CaaC jijinn

el espacio vectorial de las

matrices de componentes complejas sobre el campo R. Definimos:

},1;/){( njiaaCaH ijjinn

ji

Hes un subespacio de nnC .


24/187


19

EJERCICIOS

1. Sea el espacio vectorial ),,,( 2 RR . Averiguar cules de los siguientes sub-

conjuntos son subespacios vectoriales:

a) }0/),({ 2 yxRyxU

b) }0/),({ 2 xyRyxW

c) }2/),({

2

yxRyxS

d) }12/),({ 2 yxRyxT

2. Sea el espacio vectorial ),,,( 3 RR . Averiguar cules de los siguientes sub-


a) }/),,({ 31 zxRzyxU

b) }1/),,({ 22232 zyxRzyxU

c) }/),,({ 33 yxRzyxU

d) }02/),,({ 34 zyxRzyxU

e) }/),,({ 35 zyxRzyxU

3. Sea el espacio vectorial ),,,( RF , donde }:{ RRf F (ver el

ejemplo 1.1.2.). Averiguar cules de los siguientes subconjuntos de F son

subespacios vectoriales.

a) }0)1(/{1 ffW F

b) })1()0(/{2 fffW F

c) }0)1()0(/{3 fffW F

d) }0)(/{4 xffW F

e) }0)1(/{5 ffW F

f)

2

)1()0()2/1(/6

ffffW F


25/187


20

g) }))(()(/{ 227 xfxffW F

h) })5(1)3(/{8 fffW F

i) }0)1(0)1(/{9 fffW F

j) }0)1(0)1(/{10 fffW F

4. Sea el espacio vectorial ),,,( 2 RC . Determinar cules de los siguientes sub-


a) }0/),({ 2221 uzCuzS

b) })Re()Re(/),({ 22 uzCuzS

c) })Im()Re(0)Im(/),({ 23 zuzzCuzS

d) }0)Im()Im(/),({ 24 uzCuzS

5. Analizar si ),,,( 2 RR es un subespacio de ),,,( 3 RR .

6. Sea ),,,( 22 RR el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden

22 de entradas reales sobre R y 22RA una matriz particular. Determinar

cules de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales:

a) }/{ 221 BAABRBT

b) }/{ 222 BAABRBT

c) }0/{ 223

BARBT

3. OPERACIONES CON SUBESPACIOS

PROPOSICIN 3.1.- Sea Iii

W

una familia de subespacios de ),,,( RV . Si

Ii

iWW

entonces, Wes un subespacio de V.

PRUEBA

VW por definicin y adems es no vaco ya que IiWi , entonces W .

i) Sean iWyxiWyxWyx ii ,,

Wyx .

ii) Sean iWaxiWxKaWxKa ii ,

Wax .


26/187


21

EJEMPLO 3.1.1.- Sea ),,,( 3 RR y consideremos:

}0/),,({ 31 yxRzyxW

}02/),,({ 32 zxRzyxW

}020/),,({3

21 zxyxRzyxWW es un subespacio de .),,,(3

RR

DEFINICIN 3.2.- Sean 21 , WW subespacios de ),,,( RV . Definimos:

},/{ 221121 WxWxxxxVxW

Wse denota por 21 WWW y se le llamasuma de subespacios 1W y 2W .

PROPOSICIN 3.3.- La suma de dos subespacios de Ves un subespacio vectorial

de V.

PRUEBA

Sea VWWWxWxxxxVxWW 2122112121 },,/{ por definicin

y adems es diferente del vaco pues21

WW ya que se puede escribir

( es elemento de 1W y de 2W ).

i)21, WWyx , debemos probar que 21 WWyx .

221121 , WxWxxxx

221121 , WyWyyyy

212211 )()( WWyxyxyx

pues222111

WyxWyx .

ii) 21, WWxKa , debemos probar que 21 WWax .

212121 WWaxaxaxxxx pues 2211 WaxWax .

Luego 21 WW es un subespacio vectorial.

EJEMPLO 3.3.1.- En ),,,( 3 RR consideremos los subespacios:

},/),0,({ 31 RzxRzxW y },/),,0({3

2 RzyRzyW

Tenemos:

222111

22113

21),,0(),0,(

);,,0(),0,(),,/(),,(

WzyyWzx

zyzxwvuRwvuWW


27/187


22

Podemos observar que 321 RWW pues cualquier vector3),,( Rwvu se puede

escribir como )2

1,,0()

2

1,0,(),,( wvwuwvu donde 1)2

1,0,( Wwu y

2

)2

1,,0( Wwv .

DEFINICIN 3.4.- Sean Vun espacio vectorial sobre 1,WK y 2W subespacios de

V. Diremos que Ves la suma directa de los subespacios 1W y 2W y denotaremos

por:

21 WWV .

Si y solo si:

i) 21 WWV

ii) }{21 WW

EJEMPLO 3.4.1.- En ),,,( 2 RR consideremos los subespacios:

}/),({ 21 xyRyxW y }/),({2

2 xyRyxW

212 WWR . En efecto:

i) Cualquier vector 2),( Rvu se puede expresar como:

))(21),(

21())(

21),(

21(),( uvvuvuvuvu

es decir que 212

WWR .

Obsrvese que 1))(2

1),(

2

1( Wvuvu y 2))(2

1),(

2

1( Wuvvu .

ii) Probaremos ahora que })0,0({21 WW .

21})0,0({ WW se cumple siempre.

Sea yxyxWyxWyxWWyx 2121 ),(),(),(

})0,0({),(0 yxyx . Luego })0,0({21 WW })0,0({21 WW .

De i), ii) y la definicin 3.4 se tiene:

212

WWR


28/187


23

EJEMPLO 3.4.2.- Sea Vel espacio vectorial de todas las funciones de R en R; sea

pV el conjunto de las funciones pares ))()(( xfxf y iV el conjunto de las

funciones impares ))()(( xfxf . Afirmamos que ip VVV . En efecto:

i) Debemos probar que ip VVV . Esta condicin se satisface del hecho quecualquier funcin de R en R se puede escribir como:

))()((2

1))()((

2

1)( xfxfxfxfxf

Ntese que ))()((2

1xfxf es una funcin par, y ))()((

2

1xfxf es una

funcin impar.

ii) Probaremos que }{ ip VV .

Sea ipip VfVfVVf

RxxfxfRxxfxf ),()(),()(

fRxxf ,0)(2

De i), ii) y definicin 3.4. tenemos que:

ip VVV

EJEMPLO 3.4.3.- Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el

campo R; y consideremos:

}/{T

AAVAU conjunto de las matrices simtricas.

}/{ TAAVAW conjunto de las matrices antisimtricas.

Demostrar que WUV .

i) Demostraremos que WUV . Sea A una matriz cuadrada arbitraria de orden

n. Siempre es posible expresar A como:

)(2

1)(

2

1 TTAAAAA

Slo nos falta hacer ver que:

a) UAA T )(21

y

b) WAA T )(2

1

Probando a)


29/187


24

TTTTAAAA )(

2

1))(

2

1(

TTT AA 2

1

)(21 AAT

)(2

1 TAA

Probando b)

TTTT AAAA )(2

1))(

2

1(

TTT AA 2

1

)(2

1AA

T

)(2

1 TAA

Luego satisface la condicin i).

ii) Demostraremos que }{WU .

Sea AAAAAWAUAWUA TT .

Luego }{WU .

De i), ii) y de la definicin 3.4 se tiene:

WUV

OBSERVACIN 3.5.- La definicin de suma de espacios puede ser generalizada

para una familia finita de subespacios. En efecto la suma de los subespacios

nWWW ,,, 21 de ),,,( KV es el conjunto:

n

i

n

i

iiii niWwwvVvWW1 1

,,2,1;/

Wes un subespacio de ),,,( KV . Adems si tales subespacios tienen como nicoelemento comn al vector cero, es decir si para todo ji se tiene que

}{ ji WW , entonces diremos que W es la suma directa y escribiremos:

nWWWW 21


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25

EJERCICIOS

1. Sea 4RV y )2,3,6,2(),1,3,4,1(),3,0,2,1( 321 vvv elementos de

4R . Definimos:

},;/{ 214

1 RbabvavvRvW

};/{ 34

2 RaavvRvW

i) Calcule21 WW

ii) Hallar un vector de 4R tal que no pertenezca a 1W .

iii) Si consideramos },,;/{ 3214

3 RcbacvbvavvRvW .

Cul es la relacin que existe entre 1W y 3W ?

2. Dados Uy Wsubespacios de V. Demostrar que WU es un subespacio de Vsi y solo si WU UW .

3. Extendemos la definicin de suma a subconjuntos arbitrarios no vacos (no

necesariamente subespacios) Sy Tde un espacio vectorial Vdefiniendo

}/{ TtSstsTS

Demostrar que esta operacin satisface:

i) STTS

ii) SSS }{}{

ii) )()( 321321 SSSSSS

iv) VSVVS

4. Demostrar que para todo subespacio vectorial Wde Vse tiene que WWW .

5. Dados U, Wy Tsubespacios de un espacio vectorial V. Demostrar:

)()()( WTUWUTU

6. Sean U, Vy Wsubespacios de ),,,( 3 RR donde:

}0/),,({ zyxzyxU , }/),,({ yxzyxV y }/),0,0({ RzzW

a) Calcular WUVU , y WV .

b) Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte a) la suma es directa.

7. Dada la recta }5/),({ 21 xyRyxL . Hallar otra recta 2L tal que

212 LLR


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26

4. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL BASE Y DIMENSIN DE

UN ESPACIO VECTORIAL

DEFINICIN 4.1.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial y },,,{ 21 nvvvA un

subconjunto de V diferente del vaco, llamaremos combinacin lineal (c.l.) de

elementos de A a todos los vectores de la forma:

n

i

nnii vavavava1

2211 , donde Kai y Avi .

Diremos que Vv es una combinacin lineal de los elementos de A si existen

escalares Kaaa n ,,, 21 tal que:

n

i

iii Avvav1

,

EJEMPLO 4.1.1.- Dado )0,1,1(1 v y )2,2,1(2 v vectores del espacio vectorial),,,( 3 RR . Averiguar si los vectores )2,0,1(),3,1,0( wu son

combinaciones lineales de1

v y2v .

SOLUCIN

Para u: Si u fuera combinacin lineal de 1v y 2v se podra escribir 2211 vavau

para Raa 21, .

)2,2,1()0,1,1()3,1,0( 21 aa

)2,2,()0,,( 22211 aaaaa )2,2,( 22121 aaaaa

)3(32

)2(12

)1(0

2

21

21

a

aa

aa

de (3) 2/32 a y reemplazando dicho valor en (2) se tiene 21 a . Sustituyendo

dichos valores en la ecuacin (1) se tiene:

)(02

1

luego para u no existen nmeros reales21, aa tales que 2211 vavau . En

consecuencia u no es c.l. de 1v y 2v .

Para w: 2211 vbvbw

)2,2,1()0,1,1()2,0,1( 21 bb


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27

)2,2,()0,,( 22211 bbbbb

)2,2,( 22121 bbbbb

)'3(22

)'2(02

)'1(1

2

21

21

b

bb

bb

de las ecuaciones (2) y (3) resulta 21 b y 12 b reemplazando dichos valores

en (1) satisface la ecuacin. Luego existen 21 b y 12 b tal que

)2,2,1()0,1,1(2)1,0,1( ; entonces w es combinacin lineal de 1v y 2v .

EJEMPLO 4.1.2.- Dado el espacio vectorial ),,,( RF y considerando

Fhgf ,, definidas como ttgttf cos)(,sen)( y 2)( tth . Hallar todos los

nmeros reales tales que chbgaf .

SOLUCIN

chbgaf

0)())(( ttchbgaf

0)()()( tchtbgtaf

0cossen 2 tctbta (1)

derivando (1)

02sencos 2 tctbta (2)

nuevamente derivando (2)

02cossen ctbta (3)

En las ecuaciones (1), (2) y (3) para todo 0t se tiene:

0b (1)

0a (2)

02 cb (3)

de (1), (2) y (3) concluimos que los nicos nmeros reales que satisfacen la

ecuacin chbgaf son:0 cba

DEFINICIN 4.2.- Sean V un espacio vectorial sobre un campo K y

},,{ 1 nvvA un subconjunto de V diferente del vaco, definimos el conjunto:

vVvAL /{}{ es combinacin lineal de elementos de A}.

PROPOSICIN 4.3.- El conjunto }{AL definido en 4.2. es un subespacio de V.


33/187


28

PRUEBA

Tenemos que },,{ 1 nvvA es un subconjunto de Vdiferente del vaco. VAL }{

por definicin y }{AL puesto que A , existe por lo menos un elemento

Avi para i entre 1 y n que se puede escribir como:

niiiivvvvvv 0000 111

i) Sean }{, ALuv , entonces mostraremos que }{ALuv .

}{ALv , entonces existen escalares Kaa n ,,1 tal que

n

i

iivav1

(1)

}{ALu , entonces existen escalares Kbb n ,,1 tal que

n

i

iivbu1

(2)

de (1) y (2)

n

i

ii

n

i

iii

n

i

ii

n

i

ii vcvbavbvauv1111

)(

donde iii bac .

}{ALuv

ii) Sea }{, ALvKa hay que mostrar que }{ALav .

}{ALv entonces existen escalares Kaa n ,,1 tal que

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii vbvaavaavaaavvav11111

)()(

donde ii aab

}{ALav

luego }{AL es un subespacio de Vy es llamado subespacio generado por A.

EJEMPLO 4.3.1.- En el espacio vectorial ),,,( 3 RR consideremos

)}1,0,3(),1,2,1{( A , hallar el subespacio }{AL .

SOLUCIN

},);1,0,3()1,2,1(),,/(),,{(}{ 3 RbabazyxRzyxAL

)1,0,3()1,2,1(),,( bazyx

),2,3( baaba


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29

zba

ya

xba

2

3

(*)

en el sistema (*) eliminando a y b

2

ya y

)2(2

)1(2

3

yzb

yxb

multiplicando (2) por 3 y sumando con (1), resulta 032 zyx .

}032/),,{(}{ 3 zyxRzyxAL que es un plano en 3R que pasa por el

origen.

EJEMPLO 4.3.2.- En el espacio ),,,( 3 RR averiguar si los conjuntos:

)}1,5,2(),3,1,2(),1,1,0{( A y )}2,0,1(),4,2,1(),1,1,1{( B generan el

mismo subespacio.

SOLUCIN

i) },,;)1,5,2()3,1,2()1,1,0(),,/(),,{(}{ 3 RcbacbazyxRzyxAL

)1,5,2()3,1,2()1,1,0(),,( cbazyx

)3,5,22( cbacbacb

)3(3)2(5

)1(22

cbazcbay

cbx

eliminando a, b y c

(2)-(3) cbzy 44 (4)

y ahora multiplicando (1) por 2 y restando (4) resulta: 02 zyx

Luego }02/),,{(}{ 3 zyxRzyxAL

ii) },,;)2,0,1()4,2,1()1,1,1(),,/(),,{(}{ 3 RcbacbazyxRzyxBL

)2,0,1()4,2,1()1,1,1(),,(

cbazyx)24,2,( cbabacba

)'3(24

)'2(2

)'1(

cbaz

bay

cbax

eliminando a, b y c


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30

(2)-(3) cbazy 222 ( '4 )

y ahora multiplicando (1) por 2 y restando ( '4 ) resulta: 02 zyx

Luego }02/),,{(}{ 3 zyxRzyxBL

De i) y ii) }{}{ BLAL . Es decir, A y B generan los mismos subespacios.

PROPOSICIN 4.4.- Sea el espacio vectorial ),,,( KV , },,{ 1 nvvA un

subconjunto de V diferente del vaco y Iii

W la familia de todos los subespacios

tales quei

WA , para todo Ii . Entonces:

Ii

iWAL

}{

PRUEBA

i) Probaremos Ii

iWAL

}{ .

Sea }{ALv , entonces existen escalares Kaa n ,,1 tal que

n

j

jjvav

1

;

njAv j ,,1, . Pero como njIiWvIiWA iji ,,1,,,

Ii

iiin

n

j

jj WvIiWvIiWvvvav

;,,,; 11

Ii

iWAL

}{ .

ii) Ahora verificaremos que }{ALWIi i

.

}{ALA . En efecto, para njAv j ,,1; se puede escribir siempre

njjjj vvvvvv 00100 111 ; nj ,,1 .

0}{}{ iWALALA para algn Ii 0

}{}{0

ALWALWWIi

ii

Ii

i

Luego de i) y ii) Ii

iWAL

}{ .

NOTA.- La proposicin 4.4. tambin se puede enunciar diciendo que }{AL es el

menor de todos los subespacios que contienen a A.

DEFINICIN 4.5.- Un subconjunto diferente del vaco, de vectores },,,{ 21 nvvv

de un espacio vectorial V sobre un campo K, se dice que es linealmente

independiente (l.i.) si y solo si:


36/187


31

n

i

iii niava1

,,1;0

Si },,,{ 21 nvvv no cumple esta condicin diremos que },,,{ 21 nvvv es

linealmente dependiente (l.d.); es decir

n

i

iiva

1

y 0ia para algn i entre 1 y n

EJEMPLO 4.5.1.- En )0,1,0(),0,0,1(, 213 eeR y )1,0,0(3 e son

linealmente independientes.

EJEMPLO 4.5.2.- En )1,1,2(),3,2,1(, 213 vvR y )11,8,1(3 v son

linealmente dependientes, pues 321 )1()2(3 vvv .

EJEMPLO 4.5.3.- En

10

00

,01

00

,00

10

,00

01

,

22

R son linealmente

independientes

EJEMPLO 4.5.4.- En F , el espacio vectorial de las funciones sobre },{, 2tt eeR

es linealmente independiente. En efecto, sea la combinacin lineal:

02 tt beae (1)

derivando (1) obtenemos:

02 2 tt beae (2)

y resolviendo (1) y (2) resulta 0 ba .PROPOSICIN 4.6.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial.

a) Un vector Vv es linealmente independiente. si y solo si v .

b) Sinvvv ,,, 21 son linealmente independientes, entonces mvvv ,,, 21 donde

nm 1 tambin son linealmente independientes.

PRUEBA

a) ) Asumamos que v es linealmente independiente en V.

Por el absurdo supongamos que v , entonces Kaav , . En particular

si elegimos 1a , tenemos que v1 , lo cual es una contradiccin con el

hecho de que v es linealmente independiente.

Luego v .

) Ahora asumiendo que v .

vaav 0


37/187


32

pero con v por hiptesis, resulta que 0a y en consecuencia v es

linealmente independiente.

b)

n

miii

m

iii

n

iii

vavava111

0i

a , para todo ni ,,1 por ser nvv ,,1 linealmente independientes.

0ia , para todo mi ,,1 para los mvv ,,1 , pues nm

mvv ,,1 son linealmente independientes.

Dado un espacio vectorial ),,,( KV , hemos definido el concepto de linealmente

independiente, para un subconjunto Sfinito diferente del vaco. Extenderemos ahora

esta definicin cuando Ses un subconjunto cualquiera de V.DEFINICIN 4.7.- Sean ),,,( KV un espacio vectorial, VS , diremos que Ses

linealmente independiente si todo subconjunto finito de S es linealmente

independiente.

PROPOSICIN 4.8.- Sean Sy 'S subconjuntos de V tal que 'SS . Entonces:

i) Si 'S es linealmente independiente, entonces Stambin lo es.

ii) Si Ses linealmente dependiente tambin lo es 'S .

PRUEBA. Queda como ejercicio.EJEMPLO 4.8.1.- Sea ][xP el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes

en R e indeterminada x. },,,,,1{ 2 nxxxS es linealmente independiente.

DEFINICIN 5.9.- Dado un espacio vectorial V sobre un campo K, llamaremos

base de Va todo subconjunto no vaco Sde Vque cumple las siguientes condiciones:

i) Ses linealmente independiente.

ii) VSL }{

EJEMPLO 4.9.1.- El conjunto },,{321eee es una base para el espacio vectorial

),,,( 3 RR , donde ),0,0,1(1 e )0,1,0(2 e y )1,0,0(3 e .

EJEMPLO 4.9.2.- El conjunto },,,{ 21 neee es una base para el espacio vectorial

),,,( RR n , donde ),0,,0,1(1 e )0,,1,0(2 e ,..., )1,,0,0( ne son

n-uplas.


38/187


33

EJEMPLO 4.9.3.- El conjunto

10

00,

01

00,

00

10,

00

01es una base

para el espacio vectorial ,.),( 22 RR .

EJEMPLO 4.9.4.- Hallar una base para }022/),,{( 3 zyxRzyxS

subespacio de ),,,( 3 RR .

SOLUCIN

}022/),,{( 3 zyxRzyxS

},/),22,{( Rzxzzxx

},/),2,0()0,2,{( Rzxzzxx

},/)1,2,0()0,2,1({ Rzxzx

)}1,2,0(),0,2,1{( L

El conjunto )}1,2,0(),0,2,1{( es una base para S, pues:

i) Es linealmente independiente.

ii) )}1,2,0(),0,2,1{( LS

PROPOSICIN 4.10.- Un conjunto de elementos },,{ 1 nvv del espacio vectorial

Vsobre un campo K forman una base si y solo si vVv , puede ser expresado de

forma nica como combinacin lineal denvv ,,1 .

PRUEBA

) Asumamos que nvv ,,1 es una base. Sabemos que Vv , v puede ser

expresado como una combinacin lineal denvv ,,1 . Supongamos que v se puede

expresar de dos formas, es decir

n

i

iii

n

i

ii

n

i

iivbavbvav

111

)( , pero

como nvv ,,1 son linealmente independientes:

niba ii ,,1,0

nibaii

,,1,

) Recprocamente, asumamos que nvv ,,1 tiene la propiedad que vVv ,

puede ser expresado de una nica forma como combinacin lineal de losnvv ,,1 .

Por lo tanto es VvvL n },,{ 1 .


39/187


34

Nos resta probar quenvv ,,1 son linealmente independientes. Supongamos que

n

i

i

n

i

ii vva11

0 , entonces, por la unicidad 0ia para todo ni ,,1 .

Luego },,{ 1 nvv forma una base.

LEMA 4.11.- Sea },,{ 1 nvvS un conjunto de generadores para el espacio

vectorial ),,,( KV . Sea Vv tal que

n

i

iivav1

, si 0ia para algn i,

entonces }{ iSLV , donde }{}){( ii vvSS , ( },,,,,,{ 111 niii vvvvvS ).

PRUEBA

Sea Vu un elemento arbitrario, mostraremos que u se puede expresar como una

combinacin lineal de elementos dei

S .

Por hiptesis:

n

i

iivbuSLV1

}{ (1)

Adems tenemos que:

n

ij

iijj

n

i

ii vavavvav1

ij

jij

i

i vaava

v )/(1

(2)

reemplazando (2) en (1)

nn

ij

jij

i

i vbvaava

bvbu

)/(1

11

nininiiiiii vaabbvabvaabbvaabb ))/(()/())/(())/(( 222111

denotando

)/(,,/,),/(),/( 222111 ininniiiiiii aabbcabcaabbcaabbc

tenemos

nni vcvcvcvcu 2211

}{ iSLV

PROPOSICIN 4.12.- Sean ),,,( KV un espacio vectorial

VvvvS n },,,{ 21 y }{},,,{' 21 SLuuuS m .

Si 'S es linealmente independiente, entonces nm .


40/187


35

PRUEBA

Consideremos }{1 SLV .

Sea

n

i

iivauVu1

11

Suponemos que 01 a (reordenando si fuera necesario) y por el lema anterior

1321 },,,,{ VvvvuL n .

Ahora seannvbvbubuVu 2211212

2,0 ibi

; pues de suponer lo contrario resultara112

ubu que es una

contradiccin ya que 2u es linealmente independiente.

Suponemos que 02 b (reordenando si fuera necesario) y aplicando nuevamente el

lema anterior tenemos que:

1321 },,,,{ VvvuuL n

Afirmacin nm

Por el absurdo, supongamos que nm , entonces el proceso anterior se podra seguir

inductivamente hasta obtener 121 },,,{ VuuuL n ; pero si nm , entonces

11 nunm por estar en 1V sera combinacin lineal de nuuu ,,, 21 , lo que es

una contradiccin con el hecho de que },,,{ 21 nuuu son linealmente

independientes. Dicha contradiccin proviene de haber supuesto que nm .

COROLARIO 4.12.1.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial. Si },,{ 1 nvvS y

},,{' 1 muuS son bases del espacio vectorial V, entonces mn .

PRUEBA

i) Si Ses base de V, entonces VSL }{ . Por otra parte, }{' SLVS y 'S es

linealmente independiente por ser base de V, en virtud de la proposicin 5.12.

resulta que nm .

ii) Anlogamente, 'S base de VSLV }'{ . Como }'{SLVS y S

linealmente independiente por ser base de V, aplicando nuevamente la

proposicin 5.12. resulta que mn .

De i) y ii) se sigue que nm .

NOTA.- Del corolario podemos observar que si V tiene una base infinita, entonces

cualquier otra base tiene un nmero infinito de elementos.


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36

DEFINICIN 4.13.- Llamaremos dimensin de un espacio vectorial V sobre un

campo K, al nmero de elementos de cualquiera de sus bases.

NOTACIN.- Denotamos por VK

dim y se lee dimensin de V sobre el campo

K.

OBSERVACIN 4.13.1.

(1) Si V tiene como nico elemento el vector nulo, convenimos que la dimensin de

Ves cero. Es decir 0}{dim K

.

(2) Si Vtiene una base infinita, la dimensin de Vdenotaremos por VK

dim .

EJEMPLO 4.13.2.- El conjunto )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( es una R base para

3R , entonces 3dim 3 R

R.

EJEMPLO 4.13.3.- El conjunto )}1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1{( es una

Kbase para nK , entonces nKnK dim .

EJEMPLO 4.13.4.- Sea },,,/)({ 32103

32

210 RaaaatatataatpV

4dim VR

, pues },,,1{ 32 ttt es una R base para V.

EJEMPLO 4.13.5.- Dado ),,,( RCn . Cul es la dimensin de nC sobre R?

SOLUCIN

},,1,/),,{( 1 njCzzzC jnn

Cz j donde jjj ibaz y podemos escribir:

)0()0( jjj ibiaz

Afirmamos que:

)},,0,0(),1,,0,0(,),0,,,0(),0,,1,0(),0,,0,(),0,,0,1{( iiiB

es una base.

En efecto

i) B es linealmente independiente.

ii) nCBL }{ , pues cualquier nn

Czz ),,( 1 se puede escribir como:

),,0,0()1,,0,0()0,,0,()0,,0,1(),,( 111 ibaibazz nnn

),,( 11 nn ibaiba

donde jjj ibaz para todo nj ,,1 .

Luego nCnR 2dim .


42/187


37

PROPOSICIN 4.14.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial finito dimensional

(asumamos que nVK dim ). Se cumple:

i) Si VuuSm

},,{ 1 donde nm , entonces Ses linealmente dependiente

sobre K.

ii) Si VuuSm

},,{ 1 donde nm , entonces Ses VSL }{ .

iii) Si VuuS m },,{ 1 es linealmente independiente sobre K, entonces Ses

una base para V.

iv) Si VuuS m },,{ 1 genera V. Entonces Ses una base para V.

PRUEBA.- Queda como ejercicio.

LEMA 4.15.- Sea },,{ 1 mvvS un subconjunto linealmente independiente de un

espacio vectorial V sobre un campo K. Si Vv es un vector tal que }{SLv ,

entonces },,,{' 1 vvvS m tambin es linealmente sobre K.

PRUEBA

Sea 02211 avvavava mm .

Afirmamos que 0a . Pues si suponemos que 0a tenemos que:

}{)/()/()/( 2211 SLvvaavaavaav mm

lo cual es una contradiccin ya que por hiptesis }{SLv .

0 a y como 01

m

aa , resulta que 'S es linealmente independiente.

TEOREMA 4.16.- (Completacin de bases)

Sea Vun espacio vectorial sobre un campo K, tal que nVK dim , Wsubespacio de

Vy },,{ 1 mvv es base de W. Entonces se cumple:

i) nm .

ii) Si nm , entonces existen Vvv nm ,,1 tal que },,,,,{ 11 nmm vvvv es

una base para V.

PRUEBA

i) Sea },,{ 1 nuu una base para V. Entonces },,{ 1 nuuLV , pero

},,{},,{ 11 mn vvuuL y en virtud d la proposicin 5.12. podemos

implicar que nm ya que },,{ 1 mvv al ser base, es linealmente

independiente.


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38

ii) Si nm , entonces VW , luego existe Vvm 1 tal que Wvm 1

},,{ 11 mm vvLv por el lema 5.15. },,,{ 11 mm vvv es l.i.

Si VvvvL mm },,,{ 11 , entonces la prueba finaliza. En caso contrario, si

VvvvL mm },,,{ 11 , existe Vvm 2 tal que },,,{ 112 mmm vvvLv ,entonces nuevamente en virtud del lema 5.15. },,,{ 11 mm vvv es l.i.

Si VvvvvLmmm

},,,,{ 211 , entonces la demostracin concluye. En caso

contrario seguimos el proceso anterior.

Pero por hiptesis la nVK dim , entonces existirn slo un nmero finito

Vvvv pmmm ,,, 21 tal que },,,,,{ 11 pmmm vvvv es l.i. y adems

genera V.

COROLARIO 4.16.1.- Sea Wun subespacio de un espacio vectorial Vsobre K.VWWV

KKdimdim

COROLARIO 4.16.2.- Sea V un espacio vectorial de dimensin finita sobre un

campo Ky Wun subespacio propio de V. Entonces existe un subespacio Upropio de

Vtal que: UWV

PRUEBA

Hay que demostrar la existencia de Uy adems

i) UWV

ii) }{UW

Como Ves de dimensin finita, sea nVK dim . Consideremos },,{ 1 mww , donde

nm es una base para VU . Entonces por el teorema de completacin de bases

existen Vuu mn ,,1 tal que },,,,,{ 11 mnm uuww es una base para V, as

definida VU .

Nos resta probar que

VUWuuwwL mnm },,,,,{ 11

i) Sea Vv como },,,,,{ 11 mnm uuww es una base para V, podemos

escribir:

mn

i

ii

m

i

iiubwav

11

donde Wwavm

i

ii

1

y Uubmn

i

ii

1


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39

UWV

ii) }{UW es evidente por la definicin de U.

Por consiguiente existe Usubespacio propio de Vtal que:

UWV

EJEMPLO 4.16.3.- Sea el espacio vectorial ),,,( 2 RR y }/),2{( RtttW .

Encontrar 2RU tal que UWR 2 .

SOLUCIN

}/),2{( RtttW

}/)1,2({ Rtt

)}1,2{( L

)}1,2{( es una base para 2RW .

Completamos dicha base para 2R y sea )}2,1(),1,2{( .

Definimos )}2,1{(LU y UWR 2 .

EJEMPLO 4.16.4.- Sea el espacio vectorial ),,,( 3 RR y

}03/),,{( 3 zyxRzyxW

1) Hallar una base paraW.

2) Construir Usubespacio de 3R tal que UWR 3 .

SOLUCIN

1) }03/),,{( 3 zyxRzyxW

},/),3,{( Rzxzzxx

},/),,0()0,3,{( Rzxzzxx

},/)1,1,0()0,3,1({ Rzxzx

)}1,1,0(),0,3,1{(L

)}1,1,0(),0,3,1{( es una base para el subespacio W.

2) Completamos dicha base para 3R y sea )}0,0,1(),1,1,0(),0,3,1{( . Definimos

)}0,0,1{(LU y UWR 3 .

EJEMPLO 4.16.5.- En el espacio vectorial ),,,( 22 RR y

}0)(/{ 22 ATrRAW


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40

1) Hallar una base paraW.

2) Construir Usubespacio de 22R tal que UWR 22 .

SOLUCIN

Definicin.- Dada nnji

RaA )( definimos la traza de A denotada por )(ATr

como la suma de los elementos de la diagonal. Es decir:

n

i

iiaATr1

)(

1) Hallamos una base paraW.

}0)(/{ 22 ATrRAW

0/ 2211

2221

1211aa

aa

aa

Raaa

aa

aa211211

1121

1211 ,,/

Raaa

a

a

a

a211211

21

12

11

11 ,,/0

00

00

0

0

0

Raaaaaa 211211211211 ,,/01

00

00

10

10

01

01

00,

00

10,

10

01L

01

00,

00

10,

10

01es una base para 3dim WW R .

2) Pero sabemos que 4dim 22 RR . Luego tenemos que completar la base de W

con un vector ms de 22R que con los ya hallados sea l.i. Si elegimos

22

00

01

R .

0001,

0100,

0010,

1001 es una base para 22R .

Definimos

00

01LU y se cumple que UWR 22 .

PROPOSICIN 4.17.- Sea Vun espacio vectorial sobre un campo Kde dimensin

finita ( nVK dim ). Si U, Wson subespacios de V, entonces se verifica que:


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41

)(dimdimdim)(dim WUWUWU KKKK

PRUEBA

Como V es de dimensin finita sobre K, sea qWpU KK dim,dim y

rWUK )(dim .

Consideremos }{WU y },,{ 1 rvv una base para WU . Como WU es

un subespacio de Uy W, respectivamente, por el teorema de completacin de bases,

completamos la base },,{ 1 rvv a bases para Uy W. Sean:

},,,,,{ 11 rpr uuvv base para U y

},,,,,{ 11 rqr wwvv base para W

Afirmacin.- El conjunto },,,,,,,,{ 111 rqrpr wwuuvv es una base WU .

Prueba de la afirmacini) Que sea linealmente independiente.

Considrese la combinacin lineal

rq

i

ii

rp

i

ii

r

i

ii wcubva111

(1)

rq

i

ii

rp

i

ii

r

i

iiwcubva

111

(2)

WUwcrq

i

ii

1

pues la relacin (2), por un lado por ser igual a una

combinacin lineal de elementos de },,,,,{ 11 rpr uuvv , est en U y de

otro lado por ser una combinacin lineal de elementos de

},,,,,{ 11 rqr wwvv , est en W.

r

i

ii

rq

i

ii vdwc11

(3)

reemplazando (3) en (1), tenemos

r

i

ii

rp

i

ii

r

i

iivdubva

111

rp

i

ii

r

i

iii ubvda11

)(

)4(,,1,0

,,1,0

rpib

rida

i

ii


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42

pues },,,,,{ 11 rpr uuvv es una base para U.

como rpibi ,,1,0 en (1) se tiene

rq

i

ii

r

i

ii wcva11

)6(,,1,0

)5(,,1,0

rqic

ria

i

i

pues },,,,,{ 11 rqr wwvv es una base para W.

de (5), (4) y (6) resulta que

rqic

rpib

ria

i

i

i

,,1,0

,,1,0

,,1,0

},,,,,,,,{ 111 rqrpr wwuuvv es l.i.

ii) Que genere WU .

Sea WUv . Por definicin de subespacio suma wuv donde Uu y

Ww .

Pero

rp

i

ii

r

i

ii ubvau11

y

rq

i

ii

r

i

ii wdvcw11

rq

i

ii

r

i

ii

rp

i

ii

r

i

ii wdvcubvav

1111

rq

i

ii

rp

i

ii

r

i

iiiwdubvca

111

)(

},,,,,,,,{ 111 rqrpr wwuuvv genera WU .

De i) y ii) la afirmacin queda probada.

Por la afirmacin como },,,,,,,,{ 111 rqrpr wwuuvv es una base para WU

resulta que

)()()(dim rqrprWUK

rqp

)(dimdimdim WUWU KKK

COROLARIO 4.17.1.- Sea Vun espacio vectorial sobre Kde dimensin finita. Si U

y Wson subespacios de Vtal que WUV , entonces

WUV KKK dimdimdim


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43

PRUEBA.- Ejercicio

EJEMPLO 4.17.2.- Sea el espacio vectorial ),,,( 4 RR . Consideremos

}2/),,,{( 4 tzyxRtzyxU y }20/),,,{( 4 txzyxRtzyxW

Hallar )(dim WUR

SOLUCIN

Hallemos WURR dim,dim y )(dim WUR .

Para U

}2/),,,{( 4 tzyxRtzyxU

},,/)2,,,{( Rzyxzyxzyx

},,/),,0,0(),0,,0()2,0,0,{( Rzyxzzyyxx

},,/)1,1,0,0()1,0,1,0()2,0,0,1({ Rzyxzyx

)}1,1,0,0(),1,0,1,0(),2,0,0,1{( L

)}1,1,0,0(),1,0,1,0(),2,0,0,1{( es una base para U. Entonces

3dim UR

.

Para W

}20/),,,{( 4 txzyxRtzyxW

},/),,2,2{( Rtztztzt

},/)0,,,0(),0,2,2{( Rtzzzttt

},/)0,1,1,0()1,0,2,2({ Rtzzt

)}0,1,1,0(),1,0,2,2{(L

)}0,1,1,0(),1,0,2,2{( es una base para W. Entonces 2dim WR .

Para WU

}202/),,,{( 4 txzyxtzyxRtzyxWU

}0,0/),,,{( 4 txRtzyx

}/)0,,,0{( Ryyy

}/)0,1,1,0({ Ryy

)}0,1,1,0{(L

)}0,1,1,0{( es una base para WU . Entonces, 1)(dim WUR . Luego

usando la proposicin 4.17. tenemos que:

)(dimdimdim)(dim WUWUWU RRRR


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44

123

4

EJERCICIOS

1. Determinar cules de los siguientes vectores pertenecen al subespacio de 3R

generado por )2,3,1( y )1,4,0( :

a) )8,1,3(

b) )1,2,2(

c) )1,2/9,2(

2. Determinar cules de los siguientes polinomios pertenecen al subespacio

generado por: 2,12 223 xxx y xx 3 :

a) 32 xx

b) 14 x

c) 12

5

2

1 23 xxx

3. Sea el espacio vectorial }]1,0[:/{]1,0[ Rff C sobre R. Si

]1,0[, Cgf donde:

12/12/1

2/100)(

xsix

xsixf

12/10

2/102/1)(

xsi

xsixxg

Hallar: }{},{ gLfL y },{ gfL .

4. En el espacio vectorial F de las funciones de R en R. Averiguar si Fhgf ,,

son linealmente independiente donde:

a) 2)(,sen)(,)( tthttgetf t

b) tthetgetf tt )(,)(,)( 2

c) tthttgetf t cos)(,sen)(,)(

5. Mostrar que:a) Los vectores ),1( ii y )1,2( i en 2C son linealmente dependientes

sobre el campo complejo C, pero son linealmente independientes sobre el

campo real R.

b) Los vectores )21,23( y )221,7( en 2R son linealmente

independientes sobre el campo Q de los racionales.


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45

6. Encontrar todos los subconjuntos linealmente independientes de los siguientes

conjuntos de vectores en 3R :

a) }7,4,6(),1,0,0(),1,1,0(),1,1,1{(

b) }1,0,0(),0,0,1(),2,2,2(),1,1,1{(

7. Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que cuatro, con

coeficientes en R e indeterminada x. Determine todos los subconjuntos que son

linealmente independientes a partir de los conjuntos que se dan a continuacin:

a) },12,1,1{ 22 xxxx

b) }1,1,1,2{ 22 xxxx

c) },2,),1({ 233 xxxxxx

d) }1,,,,1{ 232 xxxxx

8. Probar que los polinomios: xxxx2

3

2

5,

2

1

2

3,,1

32 forman una base para el

espacio vectorial de los polinomios de grado menor que cuatro.

9. Sean wvu ,, vectores l.i. de un espacio vectorial V sobre el campo Q.

Demostrar que wvwuvu ,, son tambin l.i. sobre Q. Esto es verdad

para un campo arbitrario K?

10. Averiguar si los subconjuntos )}1,0,3(),2,1,1{( A y ),3,2,1{( B

)}4,3,3( generan el mismo subespacio de3

R .11. Sea el espacio vectorial de las funciones continuas definidas en el intervalo

],[ ba y con valores en R. Demostrar que los subconjuntos

}cossen,cos,sen{ 22 ttttA y }2cos,2,1{ ttsenB generan el mismo

subespacio.

12. Hallar una base para los espacios vectoriales que se dan a continuacin:

a) RKrzyxRrzyxV },0/),,,{( 4

b) RKryxzyxRrzyxW },32,/),,,{(

4

c) RKryxzyxzyxRrzyxU },02,3,/),,,{( 4

13. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Si },,{ 1 nvv es l.i. y

},,,,{ 21 nvvvv es l.d. para todo v elemento de V. Entonces demostrar que

},,,{ 21 nvvv es una base para V.


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46

14. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Si VvvLn

},,{ 1 y

VvvvvL nii },,,,,{ 111 para ni ,,2,1 . Demostrar que },,{ 1 nvv

es una base para V.

15. En ),,,(

2

CC

se considera el subespacio }02/),{(

2 uzCuzW .

Obtener una base de Wy decir su dimensin.

16. Verificar que el conjunto )},,(),1,1,1(),,0,1{( iiiiii es una base para el

espacio vectorial ),,,( 3 CC .

17. Sean:

}0/),,,{( 4 tzyxRtzyxU y

}0/),,,{( 4 tzyxRtzyxW

subespacios de ),,,(

4

RR . Hallar la dimensin de WU .18. En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales e inde-

terminada en x, consideremos los siguientes subespacios:

}55103,55,34{ 232323 xxxxxxxxLU y

}9322,52,64{ 232323 xxxxxxxxLW

Hallar la dimensin de WU .

19. Sea el espacio vectorial ),,,( 4 RR . Si se consideran los subespacios:

}020/),,,{(

4

tyxzyxRtzyxU y}0432/),,,{( 4 tzyxRtzyxW

a) Hallar la dimensin de WUWUWU ,,, .

b) Encontrar subespacios 'U y 'W de 4R tales que '4 UUR y

'4 WWR .

20. Una compaa constructora almacena tres mezclas bsicas A, B, y C. Las

cantidades se miden en gramos y cada unidad de mezcla pesa 60 gramos.

Pueden formularse mezclas especiales de argamasa efectuando combinacionesde las tres mezclas bsicas. Por ello, las mezclas especiales posibles pertenecen

al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas

bsicas. La composicin de stas es:


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47

A B C

Cemento

Agua

Arena

Grava

Hormign

20

10

20

10

0

18

10

25

5

2

12

10

15

15

8

a) Es posible hacer una mezcla que consiste en 1000 gramos de cemento,

200 gramos de agua, 1000 gramos de arena, 500 gramos de grava y 300

gramos de hormign?. Por qu se puede y por que no?. Si se puede

Cuntas unidades de cada mezcla bsica A, B, y C se necesitan para

formular la mezcla especial?.

b) Supngase que se desea hacer 5400 gramos de argamasa de manera que

contenga 1350 gramos de cemento, 1675 gramos de arena y 1025 gramos

de graba. Si la razn de agua a cemento es de 2 a 3, que cantidad de

hormign debe utilizarse para hacer los 5400 gramos de argamasa?. Se

puede formular esta masa como una mezcla especial?. Si es as, cuntas

unidades de las mezclas A, B y C se necesitan para formular la mezcla

especial.


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48

TRANSFORMACIONES LINEALES Y TEMAS AFINES

1. TRANSFORMACIONES LINEALESDEFINICIN 1.1.- Sean ),,,( KV y ),,,( KW dos espacios vectoriales. Una

funcin WVT : es llamada transformacin li nealsi satisface las siguientes

condiciones:

i) VvuvTuTvuT ,),()()( .

ii) KavaTavT ),()( y Vv .

EJEMPLO 1.1.1.- Dados ),,,( KV y ),,,( KW espacios vectoriales.

Definimos:

VvvTv

WVT

W

;)(

:

Tas definida es una transformacin lineal pues satisface las condiciones i) y ii) de

la definicin 1.1. y es llamada transformacin lineal nul ao ceroy se denota por

T .

EJEMPLO 1.1.2.- Dado ),,,( KV espacio vectorial. Definimos:

VvvvIvVVI

;)(:

Ies transformacin lineal y es llamada transformacin lineal idnticade V.

EJEMPLO 1.1.3.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial. La aplicacin:

avvTv

VVT

)(

:

para todo Ka fijo y para todo Vv , es una transformacin lineal.

EJEMPLO 1.1.4.- Sea ),,,(2

RR espacio vectorial. Definimos22

: RRT talque )2,1(),( yxyxT ; no es una transformacin lineal.

EJEMPLO 1.1.5.- Sean ),,,( KKn y ),,,( KK . Definimos:

KKp ni :

tal que ini xxxxp ),,,( 21 . ip es una transformacin lineal y es llamada i -

sima pr oyeccin.


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49

EJEMPLO 1.1.6.- Sea el espacio vectorial ),,],[( Rx P . (Ejemplo 1.1.6. Cap.

1). Definimos:

][][: xxD PP

tal que:

n

k

k

k

n

k

k

k xkaxaD0

1

0

para todo ][)(0

xxaxpn

k

k

k P

D es llamada derivadade )(xp y es una transformacin lineal.

EJEMPLO 1.1.7.- Sea el espacio vectorial:

RRffV :/{ continuas}

sobre el campoR. Definimos:

TffVVT

:

tal que x

dttfxTf0

)())(( . Afirmamos que T as definida es una transformacin

lineal.

PRUEBA DE LA AFIRMACIN

i) Probaremos que VgfTgTfgfT ,;)( .

x

dttgfxgfT 0 ))(()))(((

x

dttgtf0

))()((

xx

dttgdttf00

)()(

))(())(( xTgxTf

TgTfgfT )( .

ii) Ahora probaremos que aTfafT )( .

x

dttafxafT0

))(()))(((

x

dttaf0

)(

x

dttfa0

)(

))(( xTfa

aTfafT )( .

De i) y ii) Tes una transformacin lineal.


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50

PROPOSICIN 1.2.- Dados ),,,( KV y ),,,( KW espacios vectoriales.

WVT : es una transformacin lineal si y solo si:

KbavbTuaTbvauT ,;)()()( y Vvu ,

PRUEBA) Asumamos que Tes una transformacin lineal.

)()()( bvTauTbvauT por def. 1.1. parte i)

)()( vbTuaT por def. 1.1. parte ii)

)()()( vbTuaTbvauT

) Hay que probar que cumpla las condiciones de la definicin 1.1. asumiendo

que:

KbavbTuaTbvauT ,,;)()()( y Vvu ,

i) )11()( vuTvuT

)(1)(1 vTuT

VvuvTuT ,),()(

ii) )0()( avuTavT

)()(0 vaTuT

KavaT

),( y Vv

PROPOSICIN 1.3.- Sean ),,,( KV y ),,,( KW dos espacios vectoriales y

WVT : una transformacin lineal. Se cumplen las siguientes afirmaciones:

i)

n

i

ii

n

i

ii vTavaT11

)(

ii) WVT )(

iii) )()( vTvT

PRUEBA

i) Usar induccin.ii) )()( VVV TT

)()( VV TT por serTtransformacin lineal.

Entonces WVT )(

iii) )()()( vvTvTvT por ser una transformacin lineal.

)( VT por ser inversos


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51

W por la parte ii)

Entonces )()( vTvT .

DEFINICIN 1.4.- Sean V, W espacios vectoriales sobre el campo K y

WVT : una transformacin lineal, diremos que:i) Tes un monomorfismosi y solo si Tes inyectiva.

ii) Tes un epimorfismosi y solo si Tes suryectiva.

iii) Tes un isomorfismosi y solo si Tes biyectiva.

OBSERVACIONES 1.4.1.

(1) Si WV , la transformacin lineal Trecibe el nombre de endomorfismo, y siadems Tes biyectiva se denomina automorfismo. Es decir, un automorfismo

es una transformacin lineal biyectiva de un espacio vectorial en s mismo.(2) Si WVT : es un isomorfismo, se dice que Ves isomorfoa Wy se denota

como WV .

EJEMPLO 1.4.2.- Sea 22: RRT definida ),(),( yxyxyxT , donde Tes

un automorfismo. En efecto, Tes una transformacin lineal y adems:

i) Tes un monomorfismo. Probaremos que:

),(),(),(),( 22112211 yxyxyxTyxT

),(),( 22221111 yxyxyxyx

2121

2211

2211, yyxx

yxyx

yxyx

),(),( 2211 yxyx

Luego Tes un monomorfismo.

ii) Tes un epimorfismo. Probaremos que:

2

11

2

22 ),(,),( RyxRyx tal que ),(),( 2211 yxyxT .

),(),(),( 22111111 yxyxyxyxT

2

221

211

211 yxx

yyx

xyx

y

2

221

yxy

Luego

2

)(,

2

)(),(),,( 22221122

yxyxyxyx tal que:

),(),( 2211 yxyxT

En consecuencia Tes epimorfismo.De i) y ii) Tes un isomorfismo y por lo tanto un automorfismo.


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52

EJEMPLO 1.4.3.- Sea 32: RRT definida por:

),0,(),( yxyxyxT

Tes una transformacin lineal.

i) Tno es monomorfismo pues considerando yx se tiene:),(),(),(),( xyTyxTxyyx

ii) Tno es epimorfismo ya que para 3)2,1,3( R no existe 2),( Ryx tal que

)2,1,3(),( yxT .

TEOREMA 1.5.- (Teorema fundamental de las transformaciones lineales).

Sean ),,,( KV y ),,,( KW dos espacios vectoriales. Sea },,,{ 21 nvvv una

base de V y },,,{ 21 nwww un subconjunto de vectores de W, entonces existe

una nica transformacin lineal WVT : tal que ii wvT )( para todo

ni ,,2,1 .

PRUEBA

i) Existencia

Sea Vv , entonces v se puede expresar de una nica forma como:

Kanivav i

n

i

ii

,,,2,1;1

por ser },,,{ 21 nvvv base de V.

Definimos WVT : como:

n

i

iiwavT1

)(

Afirmacin.-Tes una transformacin lineal.

Prueba de la afirmacin

Sean Vvu

, y Kba

, , probaremos que:)()()( vbTuaTbvauT

Como

n

i

iivauVvu1

, y

n

i

iivbv1

n

i

ii

n

i

ii vbbvaaTbvauT11

)(

n

i

ii

n

i

ii vbbvaaT

11

)()(


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53

n

i

iii vbbaaT1

)(

n

i

iii wbbaa1

)( por definicin de T

n

i

ii

n

i

ii wbbwaa11

)()(

n

i

ii

n

i

ii wbbwaa11

)()( vbTuaT

tomando extremos resulta que:

)()()( vbTuaTbvauT

con lo cual queda demostrada la afirmacin.

Adems Tcumple con la condicin de que:

niwvT ii ,,2,1;)(

En efecto ya que nii vvvv 010 1

nii wwwvT 010)( 1

niwvT ii ,,2,1;)(

ii) Unicidad

Sea WVT : otra transformacin lineal tal que

n

i

iiwavT1

)('

Mostraremos que 'TT .

Sea

n

i

iiwavTVv1

)(', por definicin de 'T

)(vT por definicin T

Luego VvvTvT ;)()(' y en consecuencia TT ' .

De i) y ii) el teorema queda completamente demostrado.

2. NCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEALDEFINCIN 2.1.- Sea WVT : una transformacin lineal.

i) Llamaremos ncleode la transformacin lineal T al conjunto denotado por

Nu(T) que definiremos como:


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54

})(/{)(Nu WvTVvT

Es decir, el ncleo de Tes el conjunto formado por todos los elementos de V

tales que sus imgenes mediante Tes igual al elemento nulo de W.

ii) Llamaremos imagende la transformacin lineal T al conjunto denotado por

Im(T) que definimos como:

})(/{)Im( wvTVvWwT

Es decir, Ww es un elemento de la imagen de Tsi existe Vv tal wvT )( .

OBSERVACIONES 2.1.1.

(1)Nu(T) es un subespacio de Ve Im(T) es un subespacio de W.(2) Si },,{ 1 nvvLV entonces )}(,),({)Im( 1 nvTvTLT .(3) La dimensin de Im(T) se denomina rangode T y se denota por r(T). Es

obvio que WTr Kdim)( .

La verificacin de las observaciones 2.1.1. se deja al estudiante.

T V

W

V W

)(TNu

T V W

W

)Im(T


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55

EJEMPLO 2.1.2.- Dada la transformacin lineal 22: RRT definida en el

ejemplo 1.4.2. como

),(),( yxyxyxT .

Hallar Nu(T) e Im(T).SOLUCIN

i) )}0,0(),(/),{()(Nu 2 yxTRyxT

)}0,0(),/(),{( 2 yxyxRyx

}00/),{( 2 yxyxRyx

}00/),{( 2 yxRyx

)}0,0{(

Luego )}0,0{()(Nu T y 0)(Nudim TR .

ii) 2)Im( RT (pues ya hemos visto en el ejemplo 1.4.2. que T es un

epimorfismo) luego 2)(Imdim TR .

EJEMPLO 2.1.3.- Sea la transformacin lineal 32: RRT definida en el ejemplo

1.4.3. como ),0,(),( yxyxyxT .

Hallar Nu(T) e Im(T).

SOLUCIN

)}0,0,0(),(/),{()(Nu 2 yxTRyxT

)}0,0,0(),0,/(),{( 2 yxyxRyx

}0/),{( 2 yxRyx

}/),{( Rxxx

}/)1,1({ Rxx

)}1,1{( L

Luego 1)(Nudim TR .


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56

},/),({)(Im RyxyxTT

},/),0,{( Ryxyxyx

},/),0,(),0,{( Ryxyyxx

},/)1,0,1()1,0,1({ Ryxyx

)}1,0,1(),1,0,1{(L

)}1,0,1{(L

Luego 1)(Imdim TR .

EJEMPLO 2.1.4.- Sea 22: RRT un endomorfismo tal que )1,2()0,1( T ,

)1,1()1,0( T . Determinar la imagen del tringulo rectngulo cuyos vrtices son

)1,4(),1,1( y )5,1( .

SOLUCIN

)(TNu

2R

T 3

R

)Im(T

2R

T 3R


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Expresamos primero )1,4(),1,1( y )5,1( como una combinacin lineal de los

vectores )0,1( y )1,0( .

)1,0(1)0,1(1)1,1( (1)

)1,0(1)0,1(4)1,4( (2))1,0(5)0,1(1)5,1( (3)

aplicando Ta (1), (2) y (3), tenemos:

)0

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Algebra Lineal I-2013