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ALGEBRA LINEAL
TAREA 1: MATRICES MARZO-JULIO 2012
XAVIER SALAZAR BDEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ESPE
1. Construir la matrices, que satisfagan con:
1.1. Sea A4x4; si aij = (i− 1)j.
1.2. Sea A5x5; si aij = sen (i+j−1)π4 .
1.3. Sea A6x6; si:
aij =
{(−1)i+j(i+ j) si 6 ≤ i+ j ≤ 8;
(−1)i+j(i+ j) caso contrario.
2. Dadas las siguientes matrices
A =
123
, B =
102
, C =
114
, D =
001
,2.1. Encuentre valores escalares a , b . Tal que: C=aA+ bB.
2.2. Demostrar q no existen valores escalares a , b . Tal que:D=aA+ bB.
2.3. Si aA+ bB + cD=0. demuestre que a=b=c=0.
2.4. Si aA+ bB + cC=0. demuestre que no existen escalares que cum-plen con la igualdad.
3. Resuelva los siguientes sistemas:
3.1. Encuentre una matriz X, tal que. : i3A− i
2X = 1iC
3.2. Encuentre matrices X ; Y; Z tales que: i3X + Y − Z = A;X − Y =
B;Y + Z = C
A =
2 −1 1−1 2 11 1 2
B =
−1 2 1−1 1 0−2 1 3
C =
1 1 2−1 1 −12 0 1
,4. Conociendo las matrices:
A =
[2 31 3
], B =
[1 12 −3
]Evaluar la funcion:
f(x, y) = x3 − 2x2y + 3xy2− 3y3
1
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4.1. f(A,B) =?
4.2. f(2A+B,AB) =?
5. Halle todas las matrices conmutativas para la multiplicacion B,conociendo A:
5.1. A =
[1 + i i−i i
]
5.2. A =
1 1 −11 −1 1−1 1 1
6. Hallar una familia de matrices para A
A =
a 0 00 b c0 d e
6.1. A sea Idempotente.
6.2. A sea Involutoria.
6.3. A sea nilpotente , para k=2.
7. Hallar Ak
7.1. A =
[cos(α) −sen(α)sen(α) cos(α)
]
7.2. A =
8 4 4i4 2 2i4i 2i −2
7.3. A =
a b 0 00 a b 00 0 a b0 0 0 a
8. Con la siguiente hipermatriz demostrar:
8.1. La matriz particionada es Simetrica.
8.2. Hallar Ak , usando la matriz particionada.
8.3. Ak es simetrica?
8.4. Demostrar que existe condicion par y condicion impar para Ak.
A =
2 −1 1 1 0 03 −2 0 1 0 01 1 2 −1 0 00 1 3 −2 0 00 0 0 0 2 −10 0 0 0 3 −2
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9. Sea A una matriz tridiagonal, de dimension 8x8, con valores deuno en las diagonales, en las posiciones diferentes el valor cerodemostrar que Ak tambien es tridiagonal. Usando particion de
matrices
10.
Sean A =
[1 −12 −1
],B =
[3 −24 2
], comprobar si:
A3 +B3 = (A+B)(A2 −A.B +B2). Si no comprueba la igualdad entonces hallaralguna matriz B, que compruebe la igualdad.
11. Sean A y B matrices que operan para la suma y lamultiplicacion, y k valor escalar natural. Demostrar que
11.1. Para que condiciones (A+B)k cumple con la formula del binomio.
11.2. (A+B)k = Ak +Bk si y solo si AB = BA = φ.
11.3. Ak − Bk = (A − B)(Ak−1 + Ak−2B + Ak−3B2 + Ak−4B3 + ...... + Bk−1),si y solo si A.B = B.A.
12. Dada la matriz A, encuentre una matriz simetrica y una matrizantisimetrica, una hermitica y una antihermitica
A =
2a− bi −4a+ 3bi 3a− 5bi−3a+ 3bi 3bi 2aa− bi 2bi −a+ bi
13. Comprobar si existe alguna matriz A de 2x2, tal que:
13.1. AT .A = I.
13.2. AT .A = 0.
13.3. AT .A = A.AT .
14. CONSULTAR QUE ES LA TRAZA DE UNA MATRIZ Y SUSPROPIEDADES.
14.1. Sean A y B matrices cuadradas, a y b valores escalares. Compro-bar: Trz(aA+ bB) = aTrz(A) + bTrz(B).
14.2. Sea A una matriz antisimetrica. Comprobar que la Traza de A esigual a cero.
14.3. Sea C una matriz compleja. Comprobar que la Traza de C+C esun numero real.
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15. Sabiendo que A es una matriz simetrica, comprobar que laexpresion A3 − 2A2 + 3A− I,tambien es simetrica
16. Sean A matriz antisimetricas, comprobar que A2k es simetrica yA2k+1 es antisimetrica
17. Sean A y B matrices simetricas, comprobar que A.B tambien essimetrica
18. Sean C es matriz compleja, comprobar que C+C = CC+ y ademases hermitica
19. Sean A1, A2, A3, A4, .........., Ak, matrices de nxm, Demostrar que:
19.1. (A1+A2+A3+A4+ ..........+Ak)T = AT1 +AT2 +AT3 +AT4 + ..........+ATk .
19.2. (A1.A2.A3.........Ak−1.Ak)T = ATk .A
Tk−1.A
Tk−2.................A
T2 .A
T1 .
20. Sea A una matriz cuadrada compruebe que3A2 − 2A− I = (3A+ I)(A− I)
21. Sea A una matriz idempotente, demostrar que:
(A+ I)k = I + (2k − 1)A
22. Sea A una matriz que satisface la expresion A2 −A+ I = φ.demostrar que cumple con A3k −A3k−1 +A3k−2 = φ para cualquier
k elemento de los naturales.
23. Sean A,B,C matrices cuadradas tales que; C es nilpotentecuando k = 2, B y C son conmutativas para la multiplicacion yA = B + C. Demotrar que para todo k escalar natural, se
cumple con:
Ak+1 = Bk(B + (n+ 1)C)
