Algebra lineal u1

M.A. Álvaro Chávez Galavíz lunes 10 de abril de 2023

Algebra LinealAlgebra Lineal

Unidad INúmeros Complejos

M.A Álvaro Chávez Galavíz lunes 10 de abril de 2023

1.1 Definición y origen de los números

complejos

• Un número Complejo es una expresión del tipo

• donde a y b son números reales e i es un símbolo que denota la parte imaginaría

biaz



complejos

• Este tipo de números, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación

012 xx



complejos

• Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual sería llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición

• O bien

12 i

1i



complejos

• Ejemplos

iz 32

8z

iz 12

Número imaginario puro


1.2 Operaciones fundamentales con

números complejos

• Suma

• Ejemplo

ibazibaz 222111 y Sean

seria suma La

212121 ibbaazz

iz 431 iz 932



números complejos

• Resta

• Ejemplo

ibazibaz 222111 y Sean

seria resta La

212121 ibbaazz

iz 431 iz 932



números complejos

• Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales

– Sean: Z, W y U números complejos

1. Propiedad del cierre para la sumaZ + W como Z - W son complejos

2. Propiedad asociativaZ + ( W + U ) = (Z + W ) + U



números complejos


3. Propiedad conmutativaZ + U = U + Z

4. Propiedad del elemento neutroZ + 0 = Z

5. Propiedad del opuestoZ + ( - Z ) = ( - Z ) + Z = 0



complejos

• Ejemplos

iziz 48con 23Sumar 21

iziz 32 restarle 74A 21

iii-i 2736810125Z

en Zde valor elCalcular



complejos

• Ejercicios



complejos

• Ejercicios



números complejos

• Producto

dicWbiaZ y Sean

es producto El

ibcadbdacZW



números complejos

• Ejemplo

iWiZ 53y 26Sean

ZWEncontrar

iWZ 23y 8Sean

ZWEncontrar



números complejos

• Propiedades del producto – Sean: Z, W y U números complejos

1. Propiedad del cierre para la sumaZ W es un número complejo

2. Propiedad asociativaZ ( W U ) = (Z W ) U

3. Propiedad conmutativaZ U = U Z



números complejos


4. Propiedad del elemento neutroZ 1 = Z

5. Propiedad del inversoZ Z-1 = 1

6. Propiedad distributivaZ ( W + U ) = Z W + Z U



números complejos

• Conjugado de Z • Si es un número

complejo, entonces el CONJUGADO de Z, denotado por , es un número complejo definido por

• Ejemplos

biaZ

Z

biaZ

iZ 92 iZ 97



números complejos

• División• Sean: Z y W dos números complejos, y

W0 podemos hacer la división de Z ente W de la forma siguiente

• 2

W

WZ

W

W

W

Z

W

Z



números complejos

• Ejemplo

iWiZ 53y 26Sean

W

ZEncontrar

iWiZ 32y 43Sean

W

ZEncontrar



números complejos

• Ejercicios



números complejos

• Ejercicios


1.3 Potencias de “i”, módulo o valor

absoluto de un número complejo

• Representación geométrica – Plano complejo

Eje real

Eje imaginario




• El modulo de Z • Si es un número

complejo, el MODULO de Z, es el número real

• Ejemplos

biaZ

22 baZ

iZ 43 iZ 93




• Algunas propiedades del modulo son:– Sean: Z, W y U números complejos

11 .5

.4

.3

0 si soloy si 0 .2

0 .1

ZZ

WZZW

WZWZ

ZZ

Z




• El módulo de un número complejo Z es igual a la distancia desde el punto Z hasta el origen


1.3 Potencias de “i”, módulo o valorabsoluto de un número complejo

1.4 Forma polar y Exponencial de unnúmero complejo

• Forma polar

a

b1tan Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo




• Ejemplos – Hallar la forma polar de:

a) En el primer cuadrante

b) En el segundo cuadrante

c) En el tercer cuadrante

d) En el cuarto cuadrante

.Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

iZ 22

iZ 43

iZ 43

iZ 21




• Multiplicación y división en la forma polar

Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

isenWZZW cos

cosy cosSean isenWWisenZZ

isenW

Z

W

Zcos




• Ejemplo

• Calcular la multiplicación y división en forma polar

Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

2626cos3y 9595cos2Sean isenWisenZ

iWiZ 53y 26Sean




• Potencias

• Entonces

• Ejemplo – Sea calcule la

potencia de orden cinco de este número, es decir Z5

– Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo

positivo enteroun es y cos Sea nisenZZ

nisennZZnn cos Sea

3030cos2 isenZ


1.5 Teorema de Moivre, potencias yextracción de raíces de un número

complejo.

• Teorema de Moivre y raíces

• Entonces

• Ejemplo – Hallar todas las ráices cúbicas de

.

isenZZ cos Sea

buscada raiz...3,2,1,0 donde

2

2 cos

2

2 cos Sea

1

11

1

k

n

kisen

n

kZW

n

kisen

n

kZZ

n

nn

k

3030cos8 isenZ



complejo.

• Ejercicios



complejo.

• Ejercicios



complejo.

• Ejercicios


1.6 Ecuaciones polinómicas• Algunas ecuaciones que no se

pueden resolver en el conjunto de los números reales, tiene solución ene l conjunto complejo.

• En general, se verifica que toda ecuación polinómica con coeficientes reales en el conjunto de los números complejos, pudiendo ser éstas número reales o imaginarios.


1.6 Ecuaciones polinómicas• Ejemplo

0166

054

09

23

2

2

xxx

xx

x


Tarea • Algebra y trigonometría con

geometría analítica – Walter Fleming/Dale Varberg– Editorial Prentice Hall– Pag. 45– Sección de problemas 1-6– Del 1 al 22– Del 23 al 30– Del 31 al 38– Del 43 al 51

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