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04-12-2013
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.
Uma função f : Df IRn IRm é uma função de n variáveis reais.
Se m = 1 f é designada campo escalar, onde f(x1, … , xn) IR.
Temos assim f : Df IRn IR
(x1, … , xn) z = f(x1, … , xn)
Se m > 1 então f é designada campo vetorial e tem-se
f : Df IRn IRm
(x1, … , xn) (y1, … , ym)
onde yi = fi(x1, … , xn), com i = 1, … , m.
Exemplo 5.1:
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 é um campo escalar
f(x, y) = (x2 + y2, ln(x)) é um campo vetorial
1
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn5.2 Domínio, representação geométrica e conjuntos de nível de campos escalares.
Seja f um campo escalar tal que f : Df IRn IR.
O domínio da função, Df, é o conjunto dos pontos (x1, x2, … , xn)
para os quais a função está definida, isto é,
(x1, … , xn) IRn : z = f(x1, … , xn) IR
Exemplo 5.2:
Descreva analiticamente e geometricamente o domínio da função
(Ex 3 do Exame da Época Normal - Comp. B do ano letivo 2010/11)
2
2 2
1
1
ln xf x,y
x y
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2
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.2 Domínio, representação geométrica e conjuntos de nível de campos escalares.
Seja f : Df IR2 IR uma função definida no seu domínio, Df,
(x, y) z = f(x, y)
do plano xoy.
Para a representação geométrica de um campo escalar a duas
variáveis deve-se para cada ponto (a, b) Df elevar uma perpendicu-
lar ao plano xoy sobre a qual se traça um segmento igual ao valor de
f(a, b). Obtém-se assim um ponto do espaço cujas coordenadas são:
(a, b, c), com c = f(a, b).
z
c(a,b,c)
b ya
x3
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.2 Domínio, representação geométrica e conjuntos de nível de campos escalares.
O conjunto de todos os pontos do espaço assim obtidos constitui o
gráfico da função f(x, y). Assim, o gráfico de um campo escalar a
duas variáveis é o conjunto definido por
(x, y, z) IR3 : (x, y) Df z = f(x, y)
Considere-se um campo escalar f : Df IRn IR. Dado c IR, o
conjunto
Nc f = (x1, … , xn) Df : f(x1, … , xn) = c
é chamado conjunto de nível de f de valor c.
No caso de n = 2, o conjunto de nível (x, y) Df : f(x, y) = c
chama-se linha de nível de cota c.
Exemplo 5.3: Represente geometricamente a função f(x, y) = x2+y2.4
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Definição: Chama-se bola (aberta) de raio r (r > 0) e centro
a IRn ao conjunto de pontos de IRn cuja distância a a é inferior a r
e representa-se por
B(a , r) = X IRn : d(X, a) < r
onde
d(X, a) = ||X a|| é a distância euclideana entre X = (x1, … , xn)
e a = (a1, … , an) sendo dada por
Assim, tem-se que
B(a , r) = (x1, … , xn) IRn :
5
2 2
1 1 n nd X, x a ... x a a
2 2 2
1 1 n nx a ... x a r
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Se n = 2, B(a , r) = (x, y) IR2 : é um cir-
culo de centro a e raio r.
Se n = 3, B(a , r) = (x, y, z) IR3 :
é uma esfera de centro a e raio r.
Definição: Seja D IRn. Um ponto a IRn chama-se ponto de
acumulação do conjunto D quando toda a bola aberta de centro a
contém algum ponto de D, diferente de a.
O conjunto de todos os pontos de acumulação de D chama-se
derivado de D e representa-se por D’.
Exemplo 5.4: Determine o derivado de Df da função do Exemplo 5.2.6
2 2 2
1 2x a y a r
2 2 2 2
1 2 3x a y a z a r
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Sejam f : Df IRn IR e a (Df)’. Diz-se que o ponto b IR é o
limite de f(X) quando X tende para a e escreve-se
quando dado qualquer > 0, existe > 0, tal que se X Df,
0 < ||X a|| < implica |f(X) b| < . Simbolicamente,
Teorema:
Sejam f : Df IRn IR e a (Df)’. Se o limite de f no ponto a é b
então ele é único.
7
Xlimf X b
a
0 0 0f
Xlimf X b : X D X f X b
a
a
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Exemplo 5.5: Determine o .
No estudo de f.r.v.r. temos que:
De facto, a aproximação ao número real a faz-se ao longo da curva
representativa da função e só pode ocorrer para valores superiores a
a (limite à esquerda de a) ou por valores superiores a a (limite à
direita de a).
Nas funções a várias variáveis não existem apenas dois caminhos
para chegar a a, existem infinitos caminhos através dos quais nos
podemos aproximar de a.8
2
21 2
2
2(x,y) ( , )
x ylim
x y
x a x a x a x a x a
limf x sse lim f x e lim f x e lim f x lim f x
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
No entanto, se existir o , os limites obtidos ao longo dos
mais diversos caminhos têm de ser iguais em virtude da unicidade do
limite.
É óbvio que não se consegue calcular o limite ao longo de todos os
caminhos possíveis, mas se por caminhos diferentes obtemos limites
diferentes pode concluir-se que não existe limite.
Para o caso de n = 2, o domínio da função f(x, y) é Df IR2, e
a = (, ) (Df)’. Se é indeterminado é habitual começar por
calcular os limites direccionais , isto é, o limite ao longo das retas que
passam pelo ponto a :
x =
y = m(x ), m IR9
Xlimf X b
a
Xlimf Xa
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Se (1)
ou (2) depende de m, ou seja, o limite não é o mesmo
ao longo de todas as retas não verticais,
conclui-se que .
Se , k IR, pode-se tentar encontrar
outro caminho que passe pelo ponto (, ) ao longo do qual o limite
seja diferente de k, de modo a concluir que não existe limite.
É usual considerar as linhas definidas por
y = m(x )2, m IR x = m(y )2, m IR
y = m(x )3, m IR x = m(y )3, m IR10
x,y , x,y , x y- =m(x )
lim f x,y lim f x,y
x,y ,y- =m(x )
lim f x,y
x,y ,lim f x,y
x,y , x,y , x y- =m(x )
lim f x,y lim f x,y k
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Note-se que a igualdade dos limites ao longo de vários caminhos não
permite concluir a existência de limite. A única maneira de garantir
que existe limite é provando-o por definição.
A prova de existência de limite pela definição processa-se através da
majoração de até obtermos uma expressão em
no caso de n = 2. Para tal, são muitas vezes úteis as desigualdades,
11
f X b
2 2
X x y a
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
x x y x x y
y x y y x y
x y x y
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Se (, ) = (0, 0) as desigualdades anteriores ficam
Exemplo 5.6:
Determine, caso exista,
(Ex 4 do Exame da Época Normal - Comp. B do ano letivo 2010/11)
12
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
x x y x x y
xy x y
y x y y x y
2
20 0
2
2(x,y) ( , )
x ylim
x y
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Teorema:
Sejam f, g : D IRn IR, a D’ e b, c IR tais que
então
Sejam f : Df IRn IR e a (Df)’ Df. A função f diz-se contínua
no ponto a se existir limite em a e . Simbolicamente,
Uma função contínua em todos os pontos do seu domínio diz-se
contínua.13
X Xlimf X b e limg X c
a a
X Xlim f X g X b c e lim f X .g X b.c
a a
Xlimf X f
a
a
0 0 0f
: X D X f X f a a
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Teorema:
Sejam f, g : D IRn IR funções contínuas em a D’ D, então
f + g, f.g, kf (k IR) e f/g (se g(a) 0) são contínuas em a.
Exemplo 5.7: Estude a continuidade da função
no ponto (1, 0).
(Ex 4 do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo
2011/12)
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2 4
0 1 0
11 0
1
se x,y ,
x yf x,y se x,y ,
x y
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Uma função f : Df IRn IR diz-se prolongável por
continuidade a um ponto a (Df)’ \ Df somente se existir .
Neste caso, chama-se prolongamento por continuidade de f ao ponto
a à função g que coincide com f nos pontos onde f está definida e
que no ponto a toma o valor , isto é,
Exemplo 5.8: Considere a função .
a) Determine o seu domínio e represente-o geometricamente.
b) A função dada é prolongável por continuidade ao ponto (1, 1)?
Justifique a sua resposta.
(Ex 5.6) 15
1
2 3
xf x,y
y x
Xlimf Xa
X
g limf X
a
a
f
X
f X se X Dg X
limf X se X
a
a
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Definição: Seja D IRn. Um ponto a D chama-se ponto interior
a D sse existir uma bola centrada em a contida em D.
O interior de D é o conjunto int D formado por todos os pontos
interiores a D.
O conjunto D diz-se aberto se todos os seus pontos são interiores,
ou seja, int D = D.
Exemplo 5.9: Determine o interior de Df da função do Exemplo 5.2.
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Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Seja f : U IRn IR uma função definida em U, subconjunto
aberto de IRn, e seja a = (a1, … , an) U. A derivada parcial de 1ª
ordem de f em ordem a xi no ponto a, com i = 1, … , n, é o limite
caso exista
Se considerarmos a f.r.v.r. g definida por
vem que .
Daqui resulta que a derivada parcial de 1ª ordem de f em ordem a xi
pode ser calculada usando as regras de derivação já conhecidas para
f.r.v.r., considerando a coordenada xi como variável e as restantes
coordenadas como constantes. 17
1 1
0
xi
i n i n
hi
f
f a ,...,a h,...,a f a ,...,a ,...,aflim
x h
a
a
1 1 1i i ng x f a ,...,a ,x,a ,...,a
ix i
f g a a
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
Se U é um subconjunto aberto de IR2, as derivadas parciais de 1ª
ordem de uma função f : U IR num ponto (a, b) U são dadas
por
e
Exemplo 5.10: Seja f(x, y) = y ln(x). Calcule, pela definição,
e .
(Ex 5.7)
18
0
0
h
h
f a h,b f a,bfa,b lim
x h
f a,b h f a,bfa,b lim
y h
2f
e,x
2
fe,
y
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Seja f(x, y) uma função real de duas variáveis independentes. Vimos
que existem duas derivadas parciais de 1ª ordem,
e
que são em regra geral funções de x e y. Assim, faz sentido calcular
as suas derivadas parciais.
As derivadas parciais das derivadas parciais de 1ª ordem constituem
as derivadas parciais de 2ª ordem de f. Temos então que, se existi-
rem as derivadas parciais de 1ª ordem, e , então as
derivadas de em ordem a x e a y são respetivamente,
ou
ou
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
19
x
fx,y f x,y
x
y
fx,y f x,y
y
xf x,y y
f x,y
xf x,y
x xxxf f
2
2
f f
x x x
x xyyf f
2f f
y x y x
e as derivadas de em ordem a x e a y são respetivamente,
ou
ou
As quatro derivadas de 2ª ordem de f no ponto (a, b) são
definidas por
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
20
yf x,y
y yxxf f
2
2
f f
y y y
y yyyf f
2f f
x y x y
2
2 0
2
0
2
0
2
2 0
x x
xxh
x x
xyh
y y
yxh
y y
yyh
f a h,b f a,bfa,b f a,b lim
hxf a,b h f a,bf
a,b f a,b limy x h
f a h,b f a,bfa,b f a,b lim
x y h
f a,b h f a,bfa,b f a,b lim
hy
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Exemplo 5.11: Calcular as derivadas parciais de 2ª ordem da
função f(x, y) = x2y+ y3.
(Ex 5.10)
Se derivarmos as derivadas parciais de 2ª ordem em relação a x e
em relação a y obtemos as derivadas parciais de 3ª ordem, que
são em nº de 23 = 8:
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
21
3 2 3 2
3 2 2 2
3 2 3 2
2
3 2 3 2
2
3
2
f f f f = =
x yx x y x x
f f f f= =
x y x x y x y y xy x
f f f f= =
x x y y x y y x yx y
f
x y
2 3 2
2 3 2
f f f= =
x yy y y
Em funções reais de mais de duas variáveis as derivadas parciais
definem-se do mm modo.
Em geral, a notação representa a derivada de ordem n de f
obtida derivando primeiro f (n-p) vezes em relação à variável y e em
seguida p vezes em relação à variável x.
Para uma função real de k variáveis existem kn derivadas parciais de
ordem n.
Exemplo 5.12: Calcular as derivadas parciais de 3ª ordem da
função f(x, y) = x2y+ y3.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
22
n
p n p
f
x y
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Definição: Seja f : U IRn IR com U aberto. Diz-se que f é de
classe Ck (k IN) se e só se f admitir derivadas parciais contínuas
até à ordem k (inclusive) em U, e escreve-se f Ck(U).
Teorema de Schwarz:
Sejam f : U IR2 IR, com U aberto e (a, b) U. Suponhamos
que existem no ponto (a, b) e que é contínua em (a, b),
então existe e
Em particular, se f C2(U) então
Este resultado pode generalizar-se:
Se f : U IRn IR, com U aberto e f Ck(U) então é indiferente a
ordem de derivação até à ordem k (inclusive).
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
23
x y xyf , f e f
xyf
yxf a,b
yx xyf a,b f a,b
yx xyf a,b f a,b , a,b U.
Sejam f : U IRn IR, com U aberto, X0 U e v IRn. Se existir
o limite
designar-se-á derivada direcional de f no ponto X0 na direção do
vetor v e representa-se por .
Observação:
A divisão por traduz a independência face à norma do vetor v.
Assim, o valor da derivada direcional depende apenas do sentido e
direção do vetor v (e não do seu comprimento) e representa a taxa
de variação da função, no ponto X0, na direção do vetor v.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
24
0 0
0h
f X hv f Xlim
h v
0vf X
v
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13
Exemplo 5.13: Considere .
Determine a derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção do
vetor (1,3).
(Ex 4.b) do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo
2010/11)
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.3 Limites, noção de continuidade, derivadas parciais e derivadas direcionais de
campos escalares
25
2 2 2f x,y ln x y x
Sejam f : U IRn IR, com U aberto e X0 U. f diz-se derivável
(diferenciável) em X0 sse e
Teorema:
Seja f : U IRn IR, com U aberto, uma função de classe C1 em
U então f é derivável em todos os pontos de U.
Teorema:
Sejam f : U IRn IR, com U aberto e X0 U. Se f é derivável
em X0 então v IRn existe , onde é uma
aplicação linear definida por:
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
26
01
ixf X , i ,...,n
0 0 01
1 20 2 2
1
0i
n
x iin
h
n
f X h f X f X hlim , com h= h ,h ,...,h .
h ... h
00
1v Xf X Df v
v
0XDf v
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14
onde é a matriz jacobiana da função
f em X0.
Assim, .
Seja f : U IRn IR uma função derivável em X0 U, sendo U
um conjunto aberto. Chama-se gradiente de f em X0 e representa-
se por f(X0) ao vetor de IRn, .
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
27
0 1 0 0
1
1v n
n
f ff X v X v X
x xv
0
1
2
0 0
1
X
n
n
v
vf fDf v X X
x x
v
0 0 0
1
X
n
f fJf X X
x x
0 0 0
1 n
f ff X X ,..., X
x x
Temos então que se ,
Pelo que, .
Exemplo 5.14: Considere .
a) Determine o domínio de f.
b) Determine a derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção do
vetor (1,3).
(Ex 4 do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo
2010/11).
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
28
0 1 0 2 0 0
1 2
0
X n
n
f f fDf v v X v X v X
x x x
f X v
1 2
n
nv ,v ,..., v
0 0
1vf X f X v
v
2 2 2f x,y ln x y x
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Teorema: Seja f : U IRn IR, com U aberto e f C1(U).
Se f(X0) (0, 0, … , 0) então f(X0) tem direção e sentido do
máximo crescimento de f e a taxa de variação é .
se v f(X0).
Definição: Seja f : U IRn IR uma função derivável em U,
sendo U um conjunto aberto. Chama-se diferencial de f em X0 e
representa-se por df(X0) a
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
29
0f X
00
vf X
0 0 1 0 2 0
1 2
n
n
f f fdf X X dx X dx X dx
x x x
Se f é uma função de duas variáveis x e y e X0 = (a, b)
em que
Para valores de x e y próximos de zero, temos que
em que
Exemplo 5.15: Usando o diferencial de f(x, y) = xy, estime o valor
de (1,02)3,01.
(Ex 5.25)
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
30
f f
df a,b a,b dx a,b dyx y
dx x x a e dy y y b
f a,b df a,b
f a,b f x,y f a,b
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16
Suponha que na função z = F(u, v) u e v são funções das variáveis
independentes x e y, isto é, .
Neste caso, z é uma função composta que se pode exprimir
diretamente em função de x e de y, da seguinte forma
Suponha que as funções F, e são de classe C1. O cálculo das
derivadas parciais de z, em relação a x e a y, pode efetuar-se sem
explicitar z como função das variáveis x e y. Para tal recorre-se às
seguintes desigualdades:
xu
yz
xv
y
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
31
u x,y e v x,y
z F x,y , x,y
z z u z v=
x u x v x
z z u z v=
y u y v y
Exemplo 5.16: Considere .
c) Supondo que x = euv2e y = arcsen(u)+1, determine no ponto
(u, v) = (0, 1) usando a regra da função composta.
(Ex 4 do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo
2010/11).
Exemplo 5.17: Considere o campo escalar , defi-
nido em .
a) Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem e diga, justificando, se
f é de classe C1.
c) Supondo que x = 3u + v2, y = u2v2 + 3u e z = , determine
usando a regra da função composta.
(Ex 5 do Exame da Época Normal - Comp. B do ano letivo 2010/11).
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.4 Vetor gradiente e derivada da função composta de campos escalares.
32
2 2 2f x,y ln x y x f
u
2 2 3yf x,y,z x x z
1v
1 2,
f
u
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17
Diz-se que f tem um mínimo local em a U sse
B(a,r) U tal que f(x) f(a), x B(a,r)
Diz-se que f tem um máximo local em a U sse
B(a,r) U tal que f(x) f(a), x B(a,r)
Diz-se que f tem um extremo local em a U sse f tem um mínimo
ou máximo local em a.
Teorema: Seja f : U IRn IR uma função de classe C1 em U
aberto. Se a U é um extremo local de f então
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
33
0 1i
f, i ,...,n
x
a
Definição: Seja f : U IRn IR uma função de classe C1 em U
aberto. Se a U e então a diz-se ponto crítico
de f.
Um ponto crítico de f que não é extremo local denomina-se ponto
de sela.
Apresenta-se de seguida um método que permite identificar
extremos entre os pontos críticos (candidatos a extremos).
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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0 1i
f, i ,...,n
x
a
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Definição: Seja f : U IRn IR. À matriz das segundas deriva-
das parciais dada por
chama-se matriz hessiana de f.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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2 2 2
2
2 1 11
2 2 2
2
1 2 22
2 2 2
2
1 2
n
n
n n n
f f f
x x x xx
f f f
H x x x xx
f f f
x x x x x
Teorema: Seja f : U IRn IR uma função de classe C2 em U
aberto. Seja a um ponto crítico de f. Considere-se a matriz hessiana
de f em a,
e os seus menores principais, i.é., os determinantes das sub-matrizes
quadradas contendo a parte superior esquerda da diagonal principal
da matriz hessiana como a sua diagonal principal,
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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2 2 2
2
2 1 11
2 2 2
2
1 2 22
2 2 2
2
1 2
n
n
n n n
f f f
x x x xx
f f f
H x x x xx
f f f
x x x x x
a a a
a a aa
a a a
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então,
(1) se dk > 0, k = 1, … , n então f(a) é um mínimo local.
(2) se (-1)k dk > 0, k = 1, … , n então f(a) é um máximo local.
(3) se se verificar uma destas ordenações até certa ordem, mas a
partir daí todos os menores são nulos então nada se conclui.
(4) em todos os restantes casos o ponto a é um ponto de sela.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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2 2
22 22 11
1 22 2 2 21 1
2
1 2 2
n
f f
x xxf fd , d , ... , d det H
x x f f
x x x
a a
a a a
a a
Este método aplicado a funções de duas variáveis pode ser
simplificado, começando pelo cálculo de d2 e prosseguindo como a
seguir se apresenta:
Exemplo 5.18: Calcule os extremos locais de .
(Ex 6 do Exame da Época de Recurso - Comp. B do ano letivo
2011/12).
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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2
1
1
0
0
00
0
ponto de sela
d nada se conclui
d ponto maximizante
d ponto minimizante
3 24f x,y x xy y
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Em muitos casos o problema da determinação dos valores máximos e
mínimos de uma função resume-se na procura dos máximos e
mínimos de uma função de várias variáveis que não independentes
entre si, mas ligadas por certas condições.
Suponha o seguinte problema:
Pretende-se construir uma caixa paralelepípeda de volume máximo
com uma folha de chapa de superfície 2a.
Seja x = comprimento da caixa
y = largura da caixa
z = altura da caixa
O problema resume-se na procura do máximo da função
em que x, y e z verificam a condição 2xy + 2xz + 2yz = 2a.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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f x,y,z xyz
Estamos em presença de um problema de determinação de extremos
ligados, condicionados ou com restrições.
Este tipo de problemas pode resolver-se utilizando o método de
redução de variáveis se for possível resolver a equação de ligação
em ordem a alguma das variáveis. Quando não for possível aplica-se
o método dos multiplicadores de Lagrange.
Exemplo 5.19: Determine os extremos da função
sujeitos à condição x – z + 2y = 3.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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2 2 22f x,y,z x x y z
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Teorema: Método dos multiplicadores de Lagrange
Seja f : U IRn IR uma função de classe C1 em U aberto. Os
extremos da função f sujeita a k restrições:
g1(X) = 0, g2(X) = 0, … , gk(X) = 0
encontram-se entre as soluções do sistema:
Os números 1, … , k, denominam-se os multiplicadores de Lagrange.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
5.5 Extremos de funções de IRn em IR: extremos livres e extremos condicionados
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1
1
1
1 1 1
1
1
0
0k
kk
kk
n n n
g X
g X
g gf...
x x x
g gf...
x x x
Este teorema apenas fornece as condições necessárias para a
existência de extremos condicionados.
Nada se afirma sobre se um ponto encontrado por este processo é ou
não extremo condicionado. Esta questão resolve-se frequentemente
através de uma análise geométrica ou outro tipo de análise. O
teorema que se segue é muito útil neste contexto.
Teorema:
Toda a função f : U IRn IR contínua num conjunto limitado e
fechado do domínio possui máximo e mínimo nesse conjunto.
Um conjunto D diz-se fechado se o seu complementar IRn\D for
aberto.
Um conjunto D diz-se limitado se existir uma bola que o contenha.
Capítulo 5 – Cálculo Diferencial em IRn
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