8/16/2019 Algebra Linear2 2015 1 Lista01

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Universidade Federal do Maranhão - DEMAT

Disciplina:  DEMA 0080 -  Álgebra Linear 2 - 2015.1Professor:  Adecarlos Costa Carvalho

1a Lista de Exercı́cios

1. Seja   V   =  M n(R) o espaço das matrizes quadradas de ordem   n. Prove que   ⟨A,B⟩   =tr(AtB) define um produto interno sobre  V .

Notação:

•   At é a transposta de  A

•   tr(A) é o traço da matriz A, ou seja, a soma dos elementos de sua diagonal principal.

2. Seja  V   um espaço com produto interno. Prove que  |⟨u, v⟩|  =  ∥u∥∥v∥  se e somente se oconjunto {u, v}  é L.D.

3. Dados os vetores  u  = (2,−1, 2),   v  = (1, 2, 1) e  w  = (−2, 3, 3), determine o vetor de  R3

que é a pro jeção ortogonal de  w  sobre o plano gerado por  u e  v.

4. Sejam  u  = (1, 2) ,   v  = (−1, 1)  ∈  R2. Encontre um vetor w  ∈  R2 tal que  ⟨u, w⟩  =  −1 e⟨v, w⟩ = 3.

5. (Regra do paralelogramo) Seja  V   um espaço com produto interno. Prove que

∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 = 2∥u|2 + 2∥v∥2.

6. Seja W  o subespaço de R

2

gerado pelo vetor (3, 4). Usando o produto interno usual, sejaP  a projeção ortogonal de  R2 sobre  W . Determinar

(a) uma fórmula para  P (x, y);

(b) a matriz de  P   em relação a base canônica;

(c)  W ⊥;

(d) um base ortonormal em relação à qual  P  seja representada pela matriz

  1 00 0

.

7. Determinar um produto interno sobre  R2 tal que  ⟨(1, 0), (0, 1)⟩ = 2.

8. Seja V   = P 3(R), o espaço vetorial formado pelos polinômios de grau no máximo 3, munido

com o produto interno  ⟨f (t), g(t)⟩ =∫ 1

0 f (t)g(t)dt.

(a) Determinar o complemento ortogonal do subespaço dos polinômios constantes;

(b) Aplicar o processo de Gram-Schmidt à base  {1, t , t2, t3}.

Sugestões de exerćıcios do livro   Carlos A. Callioli,   ´ Algebra Linear e Aplica瘠oes, sexta edi瘠ao reformulada.

•   páginas 169-172: 2, 3, 4, 5, 12, 20