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Lezioni di algebra lineare
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A.A. 2014/2015Corso di Algebra Lineare
Stampato integrale delle lezioni
Massimo Gobbino
Indice
Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma,prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza. . . . . . . . . . . 7
Lezione 02: Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodottoscalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). Disuguaglianza diCauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lezione 03: Rette nel piano: equazione cartesiana vs equazione parametrica. Signi-ficato dei coefficienti nei vari tipi di rappresentazione. . . . . . . . . . . . . . . 15
Lezione 04: Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessunasoluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Lezione 05: Matrici a scala e pivot. Interpretazione dei risultati dellalgoritmo diGauss. Esempi di applicazione. Variante alla Jordan dellalgoritmo di Gauss. . 24
Lezione 06: Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica della rettanello spazio. Mutua posizione di due rette nello spazio. . . . . . . . . . . . . . 28
Lezione 07: Piani nello spazio: equazione cartesiana e parametrica. Significato geo-metrico dei coefficienti nellequazione cartesiana. Passaggio dalla parametricaalla cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Lezione 08: Intersezione di due rette nel piano (date in varia forma) e nello spazio,intersezione di due piani nello spazio, intersezione di una retta ed un piano nellospazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Lezione 09: Matrici e operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero,prodotto tra matrici. Trasposta di una matrice. Interpretazione dei sistemilineari in termini di matrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Lezione 10: Esercizi di geometria analitica nello spazio: area di un triangolo, volumedi un tetraedro, piede dellaltezza di un triangolo. Sistemi lineari n*n. . . . . . 47
Lezione 11: Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vet-toriale. Esempi classici di campo e spazio vettoriale. Primi esempi di sottospazivettoriali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Lezione 12: Definizioni: combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vetto-ri linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione. Basi canoniche edimensione degli spazi vettoriali classici. Esempio di spazio di dimensione infinita. 55
Lezione 13: Componenti di un vettore rispetto ad una base. Esempi di basi e calcolodi componenti. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazionilineari di colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Lezione 14: Teorema di esistenza della base. Tutte le basi hanno lo stesso numerodi elementi. Come ottenere basi per eliminazione da un sistema di generatori oaggiungendo elementi ad un insieme di vettori linearmente indipendenti. . . . . 65
Lezione 15: Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. 70
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4 INDICE
Lezione 16: Presentazione cartesiana e parametrica di un sottospazio vettoriale.Esempi di sottospazi vettoriali descritti in vario modo e relative basi e dimensione. 75
Lezione 17: Applicazioni lineari. Teorema di struttura. Matrice associata adunapplicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo. . . . . . . . 80
Lezione 18: Esempi di costruzione della matrice associata ad unapplicazione lineare.Costruzione di una matrice di cambio di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Lezione 19: Ker e immagine di unapplicazione lineare. Teorema rank-nullity (rela-zione tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze intermini di iniettivita e surgettivita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Lezione 20: Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine. Strut-tura dellinsieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo (soluzionequalunque piu soluzione generica dellomogeneo). . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Lezione 21: Matrice inversa: quando esiste e come si calcola con lalgoritmo al-la Gauss-Jordan. Giustificazione dellalgoritmo. Uso delle matrici inverse neicambi di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Lezione 22: Dimostrazione del teorema di sostituzione (punto di partenza per iteoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Esercizi sulla matrice associataad unapplicazione lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Lezione 23: Proprieta della matrice trasposta ed inversa. Esercizi misti su sottospazivettoriali e cambi di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Lezione 24: Introduzione ai determinanti: obiettivi, definizione assiomatica, primeproprieta (alternanza e annullamento nel caso di vettori linearmente dipendenti).Enunciato del teorema di esistenza ed unicita. Caso 2*2 con interpretazionegeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Lezione 25: Determinante nel caso 3*3: regola di Sarrus e interpretazione geome-trica. Determinante e algoritmo di Gauss. Determinante di matrici diagonali etriangolari superiori. Unicita del determinante via algoritmo di Gauss. . . . . . 116
Lezione 26: Sottomatrici e minori. Sviluppi di Laplace (ricorsivi) per colonne eper righe. Enunciato dellesistenza del determinante via sviluppi per colon-ne. Dimostrazione che gli sviluppi per righe coincidono con quelli per colonne.Determinante della matrice trasposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Lezione 27: Descrizione dello sviluppo di Leibnitz (con le permutazioni) del deter-minante. Teorema di Binet (enunciato e parte della dimostrazione). Regola diCramer per i sistemi lineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Lezione 28: Dimostrazione del teorema di Binet e della formula di Cramer. Formulaper la matrice inversa con i determinanti. Formula per i vettori perpendicolarie sua interpretazione con i determinanti. Formule per il volume del tetraedro. . 129
Lezione 29: Rango di una matrice. Dimostrazione completa dellequivalenza traR-rango, C-rango, D-rango. Rango ed algoritmo di Gauss. Pivot e rango dellematrici a scala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Lezione 30: Rango e sistemi lineari: teorema di Rouche-Capelli. Esempi di utilizzodel rango nella risoluzione di esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Lezione 31: Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto a talibasi. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . 144
Lezione 32: Ortogonale di un sottospazio e sue proprieta. Esempi di calcolo di basiortogonali e di ortogonali di sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
INDICE 5
Lezione 33: Matrici ortogonali e loro proprieta. Proiezione ortogonale su un sotto-spazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Lezione 34: Struttura delle matrici ortogonali 2*2. Esercizi su matrici ortogonali,basi ortogonali e ortonormali, applicazioni lineari e matrici di cambio di base. . 159
Lezione 35: Forma canonica di unapplicazione lineare potendo scegliere basi apiacere in partenza ed arrivo (dipende solo dal rango). . . . . . . . . . . . . . 164
Lezione 36: Introduzione motivazionale alle forme canoniche per applicazioni dauno spazio in se (stessa base in partenza ed arrivo): matrici simili, autovalori,autovettori, autospazio, esempio di diagonalizzazione 2*2. . . . . . . . . . . . . 169
Lezione 37: Prime proprieta delle matrici simili. Polinomio caratteristico ed auto-valori. Molteplicita algebrica e geometrica. Disuguaglianza tra le molteplicita. 174
Lezione 38: Richiami su coefficienti di un polinomio vs somma e prodotto delle ra-dici. Coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice. Autovalori relativiad autovettori distinti sono linearmente indipendenti. . . . . . . . . . . . . . . 179
Lezione 39: Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita sui reali osui complessi. Condizione solo necessaria. Descrizione dei blocchi di Jordan edella forma canonica di Jordan sui reali e sui complessi. . . . . . . . . . . . . . 184
Lezione 40: Applicazioni lineari simmetriche vs matrici simmetriche. Enunciato delteorema spettrale in termini di applicazioni ed in termini di matrici. Autovettorirelativi ad autovalori distinti (di applicazioni simmetriche) sono ortogonali. . . 188
Lezione 41: Dimostrazione del teorema spettrale (via esistenza di almeno un autova-lore reale ed invarianza dellortogonale di un sottospazio invariante). Riassuntosu diagonalizzazione/Jordanizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Lezione 42: Esempi ed esercizi sulle forme canoniche. . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Lezione 43: Introduzione alle forme quadratiche: definizione, matrice associata,forme (semi)definite positive/negative, segnatura come terna di numeri. . . . . 201
Lezione 44: Descrizione dei metodi per trovare la segnatura di una forma quadratica:segno degli autovalori, completamento dei quadrati, minori orlati di Sylvester(in vario ordine), Cartesio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Lezione 45: Ricerca di sottospazi di dimensione opportuna su cui una forma qua-dratica e definita positiva/negativa (via completamento dei quadrati). Dimo-strazione del legame tra segnatura e segno degli autovalori della matrice associata.210
Lezione 46: Dimostrazione dellesistenza di un polinomio che annulla una matrice.Polinomio minimo di una matrice. Enunciato del teorema di Hamilton-Cayley.Proprieta del polinomio minimo e suoi legami con i blocchi di Jordan. . . . . . 215
Lezione 47: Forma di Jordan reale vs forma di Jordan complessa: come ottenerela prima dalla seconda e come ottenere la matrice di cambio di base che portanella prima da quella che porta nella seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Lezione 48: Definizione astratta di prodotto scalare. Matrice associata ad un pro-dotto scalare. Forma quadratica associata ad un prodotto scalare. Come variala matrice associata ad un prodotto scalare quando si cambia base: matricicongruenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Lezione 49: Algoritmo di Gram-Schmidt per un prodotto scalare qualunque definitopositivo. Teorema di Sylvester (Sylvesters law of inertia). Esempio di passaggioalla forma alla Sylvester per un prodotto scalare non definito positivo. . . . . . 229
6 INDICE
Lezione 50: Esempio di funzioni ortogonali rispetto ad un prodotto scalare definitotramite integrale. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalaregenerale e relativo teorema spettrale. Esempio di calcolo dellortogonale di unsottospazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Lezione 51: Introduzione alla geometria affine. Equazioni parametriche e cartesianedi sottospazi affini. Trasformazioni affini e loro composizioni. Traslazioni eomotetie, rispetto allorigine e rispetto ad un punto generico. . . . . . . . . . . 239
Lezione 52: Teorema di struttura delle isometrie nello spazio n-dimensionale. Rota-zioni nel piano. Interpretazione dei blocchi di Jordan reali come composizionedi una rotazione ed unomotetia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Lezione 53: Classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei puntifissi. Esempi di calcolo dellimmagine e della controimmagine di punti e retterispetto ad unisometria del piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Lezione 54: Esercizi sulle isometrie del piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Lezione 55: Introduzione alle isometrie dello spazio. Classificazione delle matrici
3*3 ortogonali. Simmetria rispetto ad un piano passante per lorigine. . . . . . 258Lezione 56: Matrici ortogonali che rappresentano (nello spazio) la simmetria rispetto
ad un piano o la rotazione rispetto ad una retta (entrambi passanti per lorigine).262Lezione 57: Matrici che rappresentano una rotazione rispetto ad una retta seguita
dalla simmetria rispetto al piano ortogonale alla retta stessa. Classificazionedelle isometrie dello spazio sulla base del luogo dei punti fissi. . . . . . . . . . 266
Lezione 58: Esercizi sulle isometrie dello spazio. Rette sghembe nello spazio: cometrovare la distanza, i punti di minima distanza, ed un piano che contiene laprima e non interseca la seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Lezione 59: Semplici esempi di studio di ellissi ed iperboli nel piano (non in formacanonica). Esponenziali e funzioni trascendenti di matrici. . . . . . . . . . . . 276
Lezione 60: Cambi di basi ed algoritmo jpeg (o mp3). . . . . . . . . . . . . . . . . 281
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Lezione 29
138 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
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154 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 33
Stampato integrale delle lezioni 155
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156 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 33
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Lezione 33
158 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 33
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Lezione 34
160 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 34
Stampato integrale delle lezioni 161
Lezione 34
162 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 34
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Lezione 34
164 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 35
Stampato integrale delle lezioni 165
Lezione 35
166 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 35
Stampato integrale delle lezioni 167
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168 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 35
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Lezione 36
170 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 36
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172 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 36
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Lezione 37
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180 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
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Lezione 40
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Lezione 48
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Lezione 48
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Lezione 49
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Lezione 51
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Lezione 52
Stampato integrale delle lezioni 245
Lezione 52
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Lezione 52
Stampato integrale delle lezioni 247
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Lezione 53
Stampato integrale delle lezioni 251
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252 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015
Lezione 53
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Lezione 54
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Lezione 54
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Lezione 55
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Lezione 55
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Lezione 56
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Lezione 57
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Lezione 58
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Lezione 59
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Lezione 59
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Lezione 60
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Lezione 60
Stampato integrale delle lezioni 283
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