Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

5/25/2018 Algebra Liniara Si Geometrie Analitica

1/203

Leonard Du

ALGEBR LINIARiGEOMETRIE ANALITIC


2/203

Prefa

Algebra liniar i geometria analitic reprezint de multvreme instrumentefundamentale pentru disciplinele matematice, abstracte sau aplicate. Cursurile dealgebrliniari geometrie se regsesc n programa analitica oricrei universiti cuprofil tehnic. Conceptele introduse i rezultatele obinute n cadrul unui astfel de curs,

fiind preluate i utilizate de numeroase discipline tehnice, au condus la necesitateaintroducerii algebrei liniare i a geometriei ca materie de studiu pentru toatespecializrile din Universitatea Tehnicde Construcii Bucureti.

Aceast lucrare are la baz cursurile pe care le-am predat la Facultatea deHidrotehnici respectprograma analitica primului semestru aferentspecializriiIngineria Mediului. Principalele teme tratate sunt: calcul vectorial, geometrie analitic

n spaiu, spaii vectoriale i spaii euclidiene, valori proprii i vectori proprii, formeptratice i forme biliniare. De asemenea sunt prezentate i cteva metode numerice nalgebra liniar: metode de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare sau pentrudeterminarea valorilor proprii i a vectorilor proprii. Toate rezultatele teoretice sunt

nsoite de demonstraii complete, ceea ce permite parcurgerea independenta acesteilucrri de ctre studenii anului I. Dei cartea are un pronunat caracter teoretic, pe

parcursul ei am inclus numeroase exerciii avnd rezolvri complete, iar fiecarecapitol se ncheie cu o seciune de exerciii propuse, cu diferite grade de dificultate.Astfel, lucrarea poate fi folositi n cadrul seminarului.

Doresc smulumesc D-lui. Prof. Dr. Ghiocel Groza pentru atenia cu care acitit manuscrisul i pentru observaiile pertinente i constructive care au marcatpozitiv conceperea acestei lucrri.

Bucureti, septembrie 2009 Leonard Du


3/203

Cuprins

Capitolul I: Vectori liberi..................................................................................1. Vectori liberi..........................................................................................2. Operaii cu vectori liberi........................................................................3. Expresia analitica unui vector liber....................................................4. Produsul scalar......................................................................................5. Produsul vectorial..................................................................................6. Produsul mixt........................................................................................7. Exerciii.................................................................................................

Capitolul II: Planul i dreapta n spaiu...........................................................1. Planul.....................................................................................................2. Dreapta..................................................................................................3. Fascicol de plane...................................................................................4. Unghiuri n spaiu..................................................................................5. Distane n spaiu...................................................................................6. Exerciii.................................................................................................

Capitolul III:Spaii vectoriale..........................................................................1. Noiunea de spaiu vectorial. Exemple..................................................2. Dependeni independenliniar.......................................................3. Sistem de generatori. Baza unui spaiu vectorial................................4. Subspaii vectoriale...............................................................................5. Schimbarea bazei unui spaiu vectorial.................................................6. Exerciii.................................................................................................

Capitolul IV:Spaii euclidiene..........................................................................1. Produs scalar. Norm.............................................................................2. Ortogonalitate. Baze ortonormate.........................................................3. Polinoame ortogonale............................................................................4. Exerciii.................................................................................................

Capitolul V:Transformri liniare....................................................................1. Definiie. Exemple. Proprieti..............................................................2. Nucleul i imaginea unei transformri liniare.......................................3. Matricea asociatunei transformri liniare...........................................4. Exerciii.................................................................................................

114

12

14192426

29293337404348

50505254606567

707076

8290

929296

102107


4/203

Capitolul VI:Sisteme de ecuaii liniare............................................................1. Metoda lui Gauss...................................................................................2. Factorizarea LU.....................................................................................3. Factorizarea Cholesky...........................................................................4. Metode iterative de rezolvare ale sistemelor de ecuaii liniare.............5. Exerciii.................................................................................................

Capitolul VII:Valori proprii i vectori proprii...............................................1. Valori proprii i vectori proprii.............................................................2. Localizarea valorilor proprii..................................................................3. Diagonalizarea unui endomorfism (sau a unei matrice)........................4. Metoda puterii.......................................................................................5. Exerciii.................................................................................................

Capitolul VIII:Clase speciale de matrice........................................................

1. Matrice ortogonale.................................................................................2. Matrice simetrice...................................................................................3. Rotaii i simetrii...................................................................................4. Exerciii.................................................................................................

Capitolul IX:Forme biliniare. Forme ptratice..............................................1. Forme biliniare......................................................................................2. Forme ptratice. Reducerea la forma canonic.....................................3. Signatura unei forme ptratice. Teorema ineriei..................................4. Exerciii.................................................................................................

Bibliografie..........................................................................................................

Indice...................................................................................................................

109109114

123127135

138138146149155158

160

160164166174

176176179189192

195

197


5/203

1

Capitolul I

Vectori liberi

1. Vectori liberi

Fie 3E spaiul tridimensional al geometriei elementare, spaiu conceput ca omulime de puncte i n care sunt valabile axiomele lui Euclid.

Definiii 1.1: Se numete vector legat sau segment orientat o perecheordonatde puncte 33 EE(A,B)

fig. 1

Punctul A se numete originea, iar B vrful sau extremitatea vectorului legat(A,B).

Dac BA , atunci dreapta determinat de punctele A i B se numetedirecia vectorului legat (A,B). Dac BA = , atunci obinem vectorul legat (A,A),numit vector legat nul. Direcia oricrui vector legat nul este nedeterminat.

Se numete lungime sau normsau modul a unui vector legat (A,B) numrulreal pozitiv care reprezint distana dintre punctele A i B (relativ la o unitate demsurfixat).

Evident, un vector legat este nul daci numai dac lungimea lui este zero.

Definiii1.2:Fie (A,B) i (C,D) doi vectori legai nenuli.

A

B


6/203

2

1. Spunem c(A,B) i (C,D) au aceeai direcie dacdreptele lor suport suntparalele. n cazul particular n care dreptele suport coincid, vom spune cvectoriilegai sunt coliniari.

2. Dac A,B,C,D sunt puncte necoliniare, vectorii legai (A,B) i (C,D) auaceeai direcie, iar punctele B i D se aflde aceeai parte a dreptei AC, vom spunec(A,B) i (C,D) au acelai sens (fig. 2). DacA,B,C,D sunt puncte coliniare i exist

dou puncte E, F, nesituate pe dreapta determinat de cele patru puncte iniiale,astfel nct vectorul legat (E,F) are acelai sens i cu (A,B) i cu (C,D), vom spune c(A,B) i (C,D) au acelai sens. Doi vectori care au aceeai direcie dar nu au acelaisens, se spune cau sensuri opuse.

fig. 2

Definiia 1.3:Doi vectori legai (A,B) i (C,D) se numesc echipoleni i vomnota (A,B)~(C,D), dacau acelai sens i aceeai lungime sau, echivalent, dacsegmentele [AD] i [BC] au acelai mijloc.

fig. 3

Observaie: Se poate verifica frdificultate crelaia de echipolenpe

mulimea vectorilor legai are proprietile:1. este reflexiv: (A,B)~(A,B);2. este simetric: dac(A,B)~(C,D), atunci i (C,D)~(A,B);3. este tranzitiv: dac(A,B)~(C,D) i (C,D)~(E,F), atunci (A,B)~(E,F).

Astfel, putem afirma cechipolena vectorilor legai este o relaie de echivalen.

Relaia de echipolen poate fi extins i la vectorii legai nuli: orice doivectori legai nuli sunt echipoleni ntre ei.

CA

B D

A

B

C

D


7/203

3

Fiind dat vectorul legat (A,B), existo infinitate de vectori legai echipolenicu (A,B) (practic, cu originea n orice punct al spaiului 3E putem construi un vectorechipolent cu (A,B) i numai unul).

Definiia 1.4: Clasele de echivalenale vectorilor legai, relativ la relaia deechipolen, se numesc vectori liberi. Cu alte cuvinte, un vector liber reprezintmulimea tuturor vectorilor legai echipoleni cu un vector legat dat. Dac(A,B) esteun vector legat, atunci vom nota cu AB vectorul liber corespunztor, adic

)},(~),(/),{( 33 BADCEEDCAB =

Vom nota cu 3V mulimea tuturor vectorilor liberi din spaiul 3E .

Un vector legat (A,B) determinun vector liber (o clasde echivalen) AB ivom spune c este un reprezentant al vectorului liber determinat. Vom nota

ABA,B )( .Uneori, vectorii liberi se noteaz i cu litere mici cu sgeat deasupra:

...,,,, vuba

rrrr

Definiia 1.5: Prin direcie, sens i lungime a unui vector liber vom nelege

direcia, sensul i respectiv lungimea unui reprezentant al vectorului liber. DacAB

este un vector liber, vom nota cu AB lungimea vectorului liber.

Observaie: Un vector legat este caracterizat prin: origine, direcie, sens ilungime. n cazul unui vector liber, caracteristice sunt numai direcia, sensul ilungimea. Aadar putem considera un vector liber dat v

rca avnd originea n orice

punct din spaiu.

Definiia 1.6: Vectorul liber de lungime zero se numete vector nul i senoteaz 0

r.

Ca reprezentant al vectorului nul putem lua vectorul legat (A,A), cu 3EA

arbitrar. Direcia i sensul vectorului liber nul sunt nedeterminate.

Definiia 1.7: Un vector liber de lungime unu se numete versor.

Definiia 1.8: Doi vectori liberi ar

i br

se numesc egali i scriem barr

= ncazul n care reprezentanii lor sunt echipoleni.

Definiia 1.9: Doi vectori liberi nenuli ar i br care au aceeai direcie senumesc vectori coliniari. Trei vectori liberi nenuli care admit reprezentani situaintr-un acelai plan se numesc coplanari.

Definiia 1.10: Doi vectori coliniari care au aceeai lungime, dar sensuriopuse se numesc vectori opui; opusul vectorului liber a

rva fi notat cu a

r .


8/203

4

2. Operaii cu vectori liberi

Definiia 2.1: Fie ar

i br

doi vectori liberi, O punct fixat n spaiul 3E i

considerm vectorii OA i OB astfel nct aOA r

= i bOBr

= . Atunci suma

vectorilor ar

i br, notat ba

rr+ este vectorul OCc =

r, unde OC este diagonala

paralelogramului OACB.

Observaii: 1. Definiia precedent este cunoscut sub numele de regulaparalelogramului. Aceast regul de adunare a vectorilor are la baz fapteexperimentale i a fost obinut mai nti la compunerea (adunarea) forelor nmecanic.

2. Vectorul sum cr

este independent de alegearea punctului O n spaiu,

adicde alegerea reprezentanilor OA i OB ai vectorilor ar

i respectiv br

.

fig. 4

Se poate vedea c, dacse considerpuncteleAiBn 3E astfel nct aOA r

=

i bABr

= , atunci vectorul OB va reprezenta suma barr

+ . Aceast metod deadunare a doi vectori liberi este cunoscutsub numele de regula triunghiului.

fig. 5

Observaie:Regula triunghiului se generalizeaz la regula liniei poligonale,prin intermediul creia pot fi adunai un numr de n vectori liberi naaa

rrr,...,, 21 , astfel:

O A

B

O A

B C


9/203

5

pornind din punctul O se construiete linia poligonal nAAOA ...21 , cu

...,, 22111 aAAaOA rr

== , nnn aAA r

=1 ; atunci suma naaa rrr

+++ ...21 este nOAs =r

.

fig. 6

Propoziia 2.2: Operaia de adunare a vectorilor liberi are urmtoareleproprieti:

1. este comutativ: abba rrrr

+=+ , pentru orice 3, Vba rr

;

2. este asociativ: )()( cbacba rrrrrr

++=++ , pentru orice 3,, Vcba rrr

;

3. are element neutru, vectorul nul: aaa rrrrr

=+=+ 00 , pentru orice 3Va r

;

4. orice element este simetrizabil: pentru orice vector liber ar

existun vector

notat ar

astfel nct 0)()( rrrrr

=+=+ aaaa ( ar

este chiar opusul vectorului ar,

definit n paragraful anterior).

Demonstraie: 1. Proprietatea de comutativitate a adunrii vectorilor liberi

este imediatdacse ine cont de regula paralelogramului.2. Fie 3,, Vcba

rrrarbitari. Proprietatea de asociativitate este evidentdacse

folosete regula triunghiului:

fig. 7

3. i 4. Clar.

Observaii:1. Din Propoziia precedentrezultc ),( 3 +V este un grup

abelian.

cb rr

+ ar

br

cr

)( cba rrr

++

barr

+ ar

br

cr

cba rr

r ++ )(

2ar

nar

sr

O

1A

2A

nA

1ar


10/203

6

2. Cu ajutorul vectorului opus se poate efectua scderea a doi vectori astfel:

)( babarrrr

+= . Din punct de vedere grafic, diferena barr

este cea de-a doua

diagonala paralelogramului construit pe vectorii ar

i br, cu sensul ctre vectorul

din care se scade.

fig. 8

Definiia 2.3: Fie ar

un vector liber i R . Se numete nmulire avectorului ar cu scalarul (numrul real) i se noteaz ar vectorul definit astfel:

- dac 0ar

i 0 , atunci ar

are lungimea ar

, aceeai direcie cu ar,

iar sensul coincide cu al lui ar

sau este opus sensului lui ar, dup cum 0> sau

0 . Rezultc 0>+ . Vectorii a

r)( + i aa

rr + vor avea

aceeai direcie i acelai sens cu ar

. Cu privire la lungimile lor, obinem:aaaaaaaaa

rrrrrrrrr +=+=+=+=+=+ )()( .

Astfel putem conchide cn acest caz aaa rrr

+=+ )( .ii) 0, i 0+ . Atunci:aaaaaaaa

rrrrrrrr)()()()( +=+++=++=+

(la penultima egalitate s-a folosit punctul i), scalarii + i fiind ambiipozitivi).

iv) 0 se trateazsimilar cazului anterior.

ar

br

barr

barr

+


11/203

7

2. Considerm vectorii aOA r

= i bABr

= . Atunci baOBrr

+= . Presupunem

0> (cazul 0


12/203

8

Demonstraie: Dac ar

sau br

ar fi vector nul, atunci ar

i br

ar fi coliniari,

ceea ce contrazice ipoteza. Deci }0{\, 3rrr

Vba .

Dac 0rr

=c , atunci putem considera 0== i concluzia teoremei esteclar.

Aadar, n cele ce urmeaz, vom lucra cu cba rrr,, vectori liberi nenuli. Fie O

punct arbitrar n spaiul 3E i vectorii cOCbOBaOA rrr === ,, . Coplanaritatea

vectorilor cba rrr,, este echivalentcu coplanaritatea punctelor O, A, Bi C.

Prin punctul Cvom duce paralele la vectorii OA i OB si notm cu 'B , 'A

interseciile acestor paralele cu direciile vectorilor OB i respectiv OA . Obinemastfel paralelogramul ''CBOA :

fig. 10

Evident '' OBOAOC += . Vom demonstra c 'OA i 'OB sunt unicii vectori avnd

aceeai direcie cu vectorii OA i respectiv OB , cu proprietatea c '' OBOAOC += .Presupunem prin absurd c exist '" AA punct pe dreapta OAi '" BB punct pe

dreapta OB astfel nct ""'' OBOAOBOAOC +=+= . Rezult c

'""' OBOBOAOA = . Evident "' OAOA este un vector nenul coliniar cu ar

, iar

'" OBOB este un vector nenul coliniar cu br

. Astfel, din Propoziia 2.5, egalitatea

'""' OBOBOAOA = conduce la coliniaritatea vectorilor ar

i br

- contradicie.

Deci scrierea '' OBOAOC += este unic.

Pe de altparte, deoarece vectorii OA i 'OA sunt coliniari, din Propoziia 2.5

rezult c exist i este unic un scalar astfel nct aOA r=' . Similar, folosind

coliniaritatea vectorilor OB i 'OB , obinem cexisti este unic un scalar astfel

nct bOBr

=' . Deci bacrrr

+= , cu , scalari unic determinai.

Teorema 2.7: Fie barr

, i cr

trei vectori liberi necoplanari. Dac vr

este unvector liber, atunci exist i sunt unici scalarii ,, astfel nct

cbav rrrr

++= .

Demonstraie: Vectorii barr

, i cr

sunt nenuli (altfel s-ar contrazice condiia denecoplanaritate din ipotez).

O 'A A

C'B

B


13/203

9

Dac 0rr

=v , atunci putem lua 0=== i concluzia teoremei este clar.

De asemenea, dac vr

este coplanar cu doi dintre vectorii cba rrr,, , atunci ne

reducem la cazul teoremei precedente.

Astfel, n cele ce urmeaz, vom considera cvectorii cba rrr,, i v

rsunt nenuli i

oricare trei sunt necoplanari. Fie O un punct arbitrar n spaiul 3E i vectorii

cOCbOBaOA rrr === ,, i vOM r= . Prin punctul M construim paralela la vectorul

OCi notm cu Npunctul de intersecie al acestei paralele cu planul determinat de

vectorii OA i OB . Pe dreptele suport ale vectorilor OA , OB i OC se considerpunctele 'A , 'B i respectiv 'C astfel nct patrulaterele ''NBOA i 'ONMC suntparalelograme (vezi fig. 11) :

fig. 11

Este clar c '''' OCOBOAOCONOM ++=+= (1)

Se demonstreazfrdificultate, prin reducere la absurd, c 'OA , 'OB i 'OC sunt

unicii vectori avnd aceeai direcie cu vectorii OA , OB i respectiv OC, cu

proprietatea c ''' OCOBOAOM ++= Folosind Propoziia 2.5obinem cexisti sunt unici scalarii ,, astfel

nct aOA r=' , bOB

r=' i cOC

r=' (2)

nlocuind relaiile (2) n (1), gsim c cbav rr

rr ++= .

n finalul acestui paragraf, prezentm o propoziie deosebit de utiln anumiteprobleme de geometrie vectorial, aa cum vom vedea.

Propoziia 2.8: Fie A, M, B trei puncte coliniare, cu M situat ntre A i B.

DacO este un punct arbitrar n spaiu i MBkMA = , atunci

B'A

'B O

'C

A

M

N

vr

C


14/203

10

k

OBkOAOM

+

+=

1 (*)

fig. 12

Demonstraie: Evident keste un scalar pozitiv (fiind raportul a doulungimi

de vectori). Deoarece MA i MB sunt vectori coliniari de sensuri opuse iMBkMA = , rezultc

MBkMA = (3)Dar, din triunghiurile OAMi OBMgsim c

OMOAMA = (4)i respectiv

OMOBMB = (5)nlocuind relaiile (4) i (5) n (3), obinem c:

)( OMOBkOMOA = ,

de unde rezultckOBkOAOM

++=

1.

Caz particular important:DacM este mijlocul segmentului [AB], atunci 1=k , decirelaia (*)devine:

2

OBOAOM

+= (**)

Exerciiul 1:Sse arate, cu ajutorul calculului vectorial, cmedianele ntr-untriunghi sunt concurente.

Soluie:Fie ',',' CBA mijloacele laturilor BC, CA i respectiv AB. NotmcAB

r= , aBC

r= i ''}{ BBAAG I= (vezi fig. 13). Din regula triunghiului rezult

caAC rr

+= . Aplicnd relaia (**), vom gsi:2

2

2'

caACABAA

rr+

=+

= i

22'

caBCBABB

rr

=+

= .Vectorii AG i 'AA fiind coliniari, existun scalar astfel

O

BAM


15/203

11

nct 'AAAG = . Similar, putem gsi scalarul astfel nct 'BBBG = . Dar

AGBGAB =+ .

fig. 13

nlocuind n funcie de vectorii ar

i cv

, egalitatea precedent conduce la

relaia:2

2

2

cacac

rrrrr +

=

+ . Prin gruparea convenabila termenilor se obine c:

ca rr

=

21

22

.

Pentru a exista triunghiulABCeste clar cvectorii ar

i cv

trebuie sfie necoliniari.

Astfel, din egalitatea precedentrezultc 0

2

1

22

==

, de unde se obine

c3

2== .

Deci punctul Geste situat pe medianele 'AA i 'BB la doutreimi de vrf i otreime de baz. Dac vom considera acum ''}'{ CCAAG I= , printr-un raionamentsimilar celui anterior vom obine c 'G este situat pe medianele 'AA i 'CC la doutreimi de vrf i o treime de baz i astfel 'GG= ceea ce nseamn concurenamedianelor triunghiuluiABC.

Observaie: Pe parcursul rezolvrii Exerciiului 1 s-a demonstrat c centrulde greutate al unui triunghi se aflsituat la doutreimi de vrf i o treime de bazpe

fiecare dintre mediane.

Exerciiul 2: FieABCun triunghi oarecare i Gcentrul su de greutate. DacOeste un punct arbitrar n spaiu, sse arate c

OGOCOBOA 3=++ .

A

B 'A

'B

C

G


16/203

12

fig. 14

Soluie: Fie 'A mijlocul laturii BC. Dup cum am vzut, centrul de greutatentr-un triunghi se afl situat la o treime de baz i dou treimi de vrf, pe fiecaredintre mediane. Astfel, .'2 GAGA = Aplicnd relaia (*) punctelor coliniare A, G,

'A , va rezulta c ( )'23

1

21

'2OAOA

OAOAOG +=

+

+= .

'A fiind mijlocul segmentului [BC], din (**) obinem c .2

'OCOB

OA +

= Din

ultimele dourelaii se obine egalitatea cerut.

Lsm cititorului ca tem

urm

torul:

Exerciiul 3: Fie ABCD un tetraedru oarecare i G centrul su de greutate.DacOeste un punct arbitrar n spaiu, sse arate c

OGODOCOBOA 4=+++ .(Centrul de greutate al unui tetraedru se afla la intersecia medianelor tetraedrului segmentele care unesc vrfurile tetraedrului cu centrele de greutate ale feelor opuse.Centrul de greutate se afl poziionat la un sfert de fa i trei sferturi de vrf, pefiecare dintre medianele tetraedrului.)

3. Expresia analitica unui vector liber

Exist mai multe posibiliti de a descrie i studia obiectele geometrice nspaiul tridimensional. Cea mai veche metod, utilizat pentru prima dat de

OA

BC

'A

G


17/203

13

matematicienii Greciei antice i formalizatde Euclid, constn studiul axiomatic alacestor obiecte: se definesc punctele, liniile, planele i alte obiecte geometrice prinintermediul axiomelor pe care le satisfac. O alt metod, datorat lui Descartes,propune pentru rezolvarea problemelor de geometrie o abordare algebric, dupcumurmeaz: se fixeaz mai nti un punct O ca origine i apoi se traseaz trei axeperpendiculare doucte doun punctul O(prin axnelegem o dreaptpe care s-au

fixat o origine, un sens i o unitate de msur). Vom conveni ca cele trei axe sfiedispuse ca n fig. 15.

Axa Oxse numete axa absciselor, Oyaxa ordonatelor, iar Ozaxa cotelor. Pecele trei axe de coordonate se vor considera versorii kji

rrr,, avnd aceeai orientare cu

Ox, Oy, respectiv Ozi originea n punctul O. Vom nota acest sistem ortogonal decoordonate prin Oxyz.

Cum versorii kjirrr

,, sunt necoplanari, conform Teoremei 2.7, orice vector

liber 3Vv r

se scrie n mod unic sub forma:

kvjvivv zyxrrrr

++= . (1)

fig. 15

Scalarii zyx vvv ,, se numesc componentele vectorului vr

, iar relaia (1) este cunoscut

sub numele de expresia analitica vectoruluivr

.Considerm M un punct oarecare din spaiu. n raport cu sistemul de

coordonate considerat, punctul M are coordonate ),,( MMM zyx . Vom desemna acest

lucru prin notaia ),,( MMM zyxM . Din procedeul descompunerii unui vector duptreidirecii necoplanare, indicat n demonstraia Teoremei 2.7, precum i din

reprezentarea punctelor n sistemul de ortogonal de coordonate Oxyz, se obine c:kzjyixOM MMMrrr

++= . (2)

Propoziia 3.1: Fie ),,( MMM zyxM i ),,( NNN zyxN doupuncte n spaiu.

Atunci vectorul MN are expresia analitic:

kzzjyyixxMN MNMNMNrrr

)()()( ++= .

O

x

y

z

ir

jr

kr

M


18/203

14

fig. 16

Demonstraie: Conform relaiei (2), avem: kzjyixOM MMMrrr

++= i

kzjyixON NNNrrr ++= . Deoarece OMONMN = , folosind egalitile precedente

obinem relaia dorit.

4. Produsul scalar

Definiia 4.1: Fie }0{\, 3rrr

Vba . Numim unghi determinat de vectorii barr

, inotm cu ),( ba

rr unghiul, din intervalul ],0[ , format de direciile celor doi

vectori, astfel nct vrfurile celor doi vectori s se afle pe cele dou laturi aleunghiului (vezi fig. 17).

fig. 17

Definiia 4.2: Fie }0{\, 3rrr

Vba . Se numete produs scalar al vectorilor ar

i

br

i se noteaz cu barr

numrul real dat de formula cosbabarrrr

= ),( barr

.

Dac 0rr

=a sau 0rr

=b , atunci prin definiie 0= barr

.

ar

br

ar

br

O

x

y

z

ir

jr

kr

M

N


19/203

15

Obsevaie: Din definiia precedent se obine imediat o prim formul de

calcul a unghiului dintre doi vectori nenuli:

cosba

baba rr

rrrr =),(

Astfel, ca o consecin, obinem cdoi vectori nenuli ar i br

sunt ortogonali dacinumai dac 0= ba

rr.

Interpretarea mecanica produsului scalar:Dac ar

i br

sunt doi vectori, O

este un punct material asupra cruia se exercito for aF rr

= i care efectueazo

deplasare definit de vectorul br, atunci produsul scalar ba

rr este chiar lucrul

mecanic L al forei Fr

pentru deplasarea br

.

fig. 18

Definiia 4.3: Dac }0{\, 3rrr

Vba , iar = ),( barr

, atunci numrul real

cosar

se numete mrimea proieciei ortogonale a vectorului ar

pe vectorul br

i

se noteaz aprbr

r . Dac 0rr

=a , atunci prin definiie 0=aprbr

r .Dac 0rr

=b , atunci nu

exist aprbr

r .

Observaie:Din definiiile produsului scalar i respectiv a mrimii proiecieiortogonale a unui vector pe un alt vector, obinem c

bpraaprbba abrrrrrr

rr == .

Propoziia 4.4:Mrimea proieciei ortogonale are proprietile:

1. bpraprbapr cccrrrr

rrr +=+ )( ,pentru orice }0{\,, 3rrrr

Vcba ;

2. aprapr bbrr

rr =)( , pentru orice }0{\, 3rrr

Vba i R .

Demonstraie: 1. Fie Opunct arbitrar n spaiul 3E i puncteleA,B,Castfelnct ,, bOBaOA

rr== cOC

r= . Atunci aprOA c

rr=' , bprOB c

rr=' i

)(' baprOD crr

r += (vezi fig. 19). Deoarece '''''' OAOBDBOBOD +=+= ,

rezultc bpraprbapr cccrrrr

rrr +=+ )( .

aF rr

=

br

O


20/203

16

fig. 19

2. Presupunem mai nti c >0. Considerm punctele A, 1A , Bastfel nct

aOA r

= , aOA r=1 i bOB

r= . Dac 'A i '1A sunt proieciile ortogonale ale

punctelor A i respectiv 'A pe dreapta OB (vezi fig. 20), din asemnarea

triunghiurilor 'OAA i

'

11AOA rezult c == OA

OA

OA

OA 11

'

'

, de unde obinem

''1 OAOA = , ceea ce nseamnc aprapr bbrr

rr =)( .

Dac ,0= atunci dinDefiniia 4.3egalitatea de demonstrat devine 0=0.Dac0.

fig. 20

Propoziia 4.5: Produsul scalar al vectorilor liberi are proprietile:

1. abba rrrr

= , pentru orice 3, Vba rr

;

2. )()()( bababarrrrrr

== , pentru orice 3, Vba rr

i R ;

3. cabacba rrrrrrr

+=+ )( , pentru orice3

,, Vcba rrr

.

Demonstraie: 1. Este evident din definiia produsului scalar, avnd n vedere

cunghiul dintre vectorii ar

i br

coincide cu unghiul dintre br

i ar

.2. Este suficient sdemonstrm prima egalitate.

Dac 0= , atunci 0)()( == babarrrr

.

Dac>0, atunci vectorii ar

i ar

au acelai sens, deci ),( barr

= ),( barr

.n acest caz, obinem:

ar

ar

A

'A

1A

'1A O

O

A

'B

B

'D

D

C'A

ar

br

cr

ar

+br


21/203

17

cos)( babarrrr

= cos),( babarrrr

= )(),( babarrrr

= .

Dac


22/203

18

Exerciiul 1: S se determine scalarul astfel nct vectorii

kjiarrrr

+++= )3( i kjibrrrr

= 37 sfie perpendiculari.

Soluie: Aa cum s-a vzut anterior, perpendicularitatea vectorilor ar

i br

este

echivalent cu egalitatea 0= ba

rr

. Utiliznd expresia analitic a produsului scalar,obinem c 0)3(37 =+ , de unde 3= .

Exerciiul 2: Dac 3, Vba rr

astfel nct 3=ar

, br

=2, iar unghiul dintre cei

doi vectori este3

, s se determine unghiul dintre diagonalele paralelogramului

construit pe cei doi vectori.

fig. 21

Soluie: Deoarece la acest moment avem o formul de calcul numai pentruunghiul dintre doi vectori, este natural s dm semnificaie de vectori celor dou

diagonale: barr

+ , respectiv barr

(vezi fig. 21). Pentru determinarea unghiului formatde aceti doi vectori, folosim:

cosbabababababa rrrr

rrrrrrrr

+

+=+ )()(),(

Dar 5)()(22

==+ bababarrrrrr

. De asemenea,

1942

123292)()(

222

=++=++=++=+ bbaabababarrrrrrrrrr

, de unde

19=+ barr

. Similar gsim 7= barr

. n final obinem:

cos133

5),( =+ babarrrr

.

Exerciiul 3:Se considervectorii kjiOArrr

22 += i kiOBrr

43 += . Sse

determine versorul bisectoarei unghiului ),( OBOA .

Soluie: Determinm mai nti versorii corespunztori celor doi vectori dai:

3441 =++=OA i 5169 =+=OB , deci )22(3

1kjiarrrr

+= i

br

ar


23/203

19

)43(5

1kibrrr

+= sunt versorii vectorilor OA , resp. OB . Paralelogramul determinat de

versorii ar

i br

este de fapt un romb, deci bisectoarea unghiului determinat de cei doivectori coincide cu diagonala care trece prin punctul O. Dacnotm

kjibadrrrrrr

15

2

3

2

15

14++=+= , atunci versorul bisectoarei unghiului cutat va fi :

( )kjid

dv

rrrr

rr

21014310

1++== .

Exerciiul 4: Demonstrai cntr-un triunghi nlimile sunt concurente.

fig. 22

Soluie: Fie 'BB i 'CC nlimile corespunztoare laturilor AC i respectivAB. Notm ''}{ CCBBH I= . Vom demonstra c BCAH .

Introducem vectorii HAa =r , HBb =r i HCc =r . Rezult c abAB = ,

bcBC vr

= i caCA vv

= . Deoarece ACBH i ABCH , obinem c

0)( = cab rvv

i 0)( = abc rvr

. Prin adunarea ultimelor dourelaii gsim 0= acab rrrr

,

adic 0)( = acb rvv

, ceea ce implic BCAH .

5. Produsul vectorial

Definiia 5.1 : Fie }0{\, 3rrr

Vba doi vectori necoliniari. Se numete produs

vectorial al vectorilor ar

i br

i se noteazcu barr

vectorul avnd:

- direcie perpendicularpe vectorii ar

i br

;- sens dat de regula burghiului, adicsensul de avansare al burghiului cnd

se deplaseazvectorul ar

peste vectorul br

;

B C

A

'B

'C

H


24/203

20

- mrime datde formula sinbabarrrr

= ),( barr

.

(vezi fig. 23)

Dac ar

sau 0rr

=b , sau vectorii ar

i br

sunt coliniari, atunci prin definiie

0= barr

.

Observaie: Formula de calcul a mrimii produsului vectorial furnizeaz oaltmodalitate de determinare a unghiului dintre doi vectori nenuli:

sinba

baba rr

rrrr

=),(

n consecin, doi vectori liberi nenuli sunt coliniari daci numai dacprodusul lorvectorial este zero.

fig. 23

Interpretarea geometric a produsului vectorial: Mrimea produsuluivectorial a doi vectori nenuli si necoliniari este egal cu aria paralelogramuluiconstruit pe cei doi vectori (pentru demonstrarea acestui rezultat indicm utilizarea

formulei ariei unui triunghi ABC ca2

sinAACAB )

Propoziia 5.2: Produsul vectorial are proprietile:

1. abba rrrr

= , pentru orice 3, Vba rr

;

2. )()()( bababarrrrrr

== , pentru orice 3, Vba rr

i R ;

3. cabacba rrrrrrr

+=+ )( , pentru orice 3,, Vcba rrr

.

Demonstraie: 1. Schimbnd ordinea factorilor n produsul vectorial, direciai mrimea acestuia nu se modific. Se va schimba doar sensul. Astfel, avem c

abba rrrr

= , deci produsul vectorial este anticomutativ.2. Vom demonstra prima egalitate, pentru cea de-a doua procedndu-se

analog.Dac 0= , atunci fiecare termen al egalitii ce trebuie probat devine

vectorul nul.

ar

br

barr


25/203

21

Dac >0, putem considera cvectorii barr

, sunt nenuli (n caz contrar, dubla

egalitate din enun este evident). Atunci ),( barr

= ),( barr

i vectorii barr

)( ,

barr

i )( barr

vor avea acelai sens. Pe de altparte,

sin)( babarrrr

= ),( barr

sinbarr

= ),( barr

)( barr

= ,

deci putem conchide c )()( babarrrr

= .Dac


26/203

22

Asemntor se obine c 'OCOAOCOA = i 'ODOAODOA = . (2)

Fie 3" EB astfel nct '" OBOAOB = . Deoarece OAOB " , "B se afl

situat n planul )(P . Cum '" OBOB i '" OBOB = , "OB se obine rotind vectorul

'OB cu unghi 2 n planul )(P (astfel ca sensul lui "OB s respecte regula

burghiului aplicatvectorilor OA i 'OB ). Similar se obin n planul )(P punctele "C

i "D din relaiile '" OCOAOC = i respectiv '" ODOAOD = . n plus, """ CDOB este paralelogramul obinut prin rotirea paralelogramului ''' CDOB cu unghi 2 n

planul )(P . Din regula paralelogramului rezult c """ OCOBOD += , adic

''' OCOAOBOAODOA += . Din relaiile (1) i (2), ultima egalitate este

echivalentcu OCOAOBOAODOA += , adic

OCOAOBOAOCOBOA +=+ )( .Astfel

cabacba rrrrrrr

+=+ )( (3)

Presupunem acum c }0{\3rr Va arbitrar i notm

aav rrr

= . Atunci evident vr

este versor i, din relaia (3), cvbvcbv rrrrrrr

+=+ )( . Amplificnd aceastegalitate

cu ar

i innd cont de proprietatea 2din aceast propoziie vom obine afirmaia

dorit.

Teorema 5.3 (Expresia analitic a produsului vectorial): Fie

kajaiaa zyxrrrr

++= i kbjbibb zyxrrrr

++= doi vectori liberi, dai sub form

analitic. Atunci produsul lor vectorial se calculeazcu formula:

zyx

zyx

bbb

aaakji

ba

rrr

rr= .

Demonstraie: Determinm mai nti valorile produsului vectorial pemulimea versorilor },,{ kji

rrr. De exemplu, din Definiia 5.1 i din orientarea

versorilor (vezi fig. 25), obinem:0= ii

rri kji

rrr= .

Raionnd astfel, rezultatele produsului vectorial pe mulimea versorilor axelor decoordonate pot fi date sub forma tabelului


27/203

23

Din proprietile produsului vectorial i din rezultatele tabelului precedent

obinem:

+++=++++= kibajibaiibakbjbibkajaiaba zxyxxxzyxzyxrrrrrrrrrrrrrr

)()(

=+++++ kbakkbajkbaikbakjbajjbaijba yxzzyzxzzyyyxyrrrrrrrrrrrrr

ibajbaibakbajba yzxzzyxyzxrrrrr

++ .Pe de altparte:

jbaibakbakbajbaiba

bbb

aaa

kji

zxyzxyyxxzzy

zyx

zyx

rrrrrr

rrr

++= .

Comparnd aceste dourelaii, obinem formula dorit.

Exerciiul 1:Studiai coliniaritatea punctelor:A(-1,3,2),B(0,4,1) i C(2,6,-1).

Soluie:Punctele A(-1,3,2), B(0,4,1) i C(2,6,-1) sunt coliniare daci numai

dacvectorii kjiABrrr

+= i kjiACrrr

333 += sunt coliniari, adic 0r

=ACAB .

Dar 0

333

111 r

rrr

=

=

kji

ACAB , deci cele trei puncte sunt coliniare.

Exerciiul 2: Se consider punctele A(1,0,2), B(3,2,-2) i C(0,-1,2). S sedetermine aria triunghiuluiABCprecum i lungimea nlimii dinB.

Soluie:Vectorii AB i AC au expresiile analitice kjiAB rrr 422 += i

jiAC rr

= . Folosind expresia analitica produsului vectorial, obinem:

ji

kji

ACAB rr

rrr

44

011

422 +=

= ,

de unde gsim aria triunghiului 222

1== ACABSABC .

Pe de altparte, lungimea nlimii dinBeste 42

==AC

Sh ABCb .


28/203

24

6. Produsul mixt

Definiia 6.1:Fie 3,, Vcba rrr

. Se numete produs mixt al vectorilor cba rrr,, i

se noteazcu ),,( cba rrr

scalarul dat de relaia:)(),,( cbacba

rrrrrr=

Teorema 6.2 (Expresia analitica produsului mixt): Fie

kajaiaa zyxrrrr

++= , kbjbibb zyxrrrr

++= i kcjcicc zyxrrrr

++= trei vectori liberi,

dai sub formanalitic. Atunci produsul mixt al celor trei vectori se poate calculaprin formula:

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba =),,( rrr

Demonstraie: Din expresia analitica produsului vectorial obinem c:

kcc

bbj

cc

bbi

cc

bb

ccc

bbb

kji

cbyx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

rrr

rrr

rr+== .

Folosind acum definiia produsului mixt i expresia analitic a produsului scalar,rezultc:

zyx

zyx

zyx

yx

yxz

zx

zxy

zy

zyx

ccc

bbb

aaa

cc

bba

cc

bba

cc

bbacbacba =+== )(),,(

rrrrrr

(ultima egalitate, privit de la dreapta la stnga, reprezint dezvoltarea dup primalinie a determinantului de ordinul trei).

Propoziia 6.3: Produsul mixt are proprietile:1. ),,(),,(),,( bacacbcba

rrrrrrrrr== , pentru orice 3,, Vcba

rrr;

2. ),,(),,(),,(),,( abcbcacabcba rrrrrrrrrrrr

=== , pentru orice 3,, Vcba rrr

;

3. ),,(),,(),,( 2121 cbacbacbaa rrrrrrrrrr

+=+ , pentru orice 321 ,,, Vcbaa rrrr

;

4. ),,(),,( cbacba rrrrrr = , pentru orice 3,, Vcba

rrri R .

Demonstraie: Aceste proprieti se verific imediat dac se ine cont deexpresia analitica produsului mixt, precum i de proprietile determinanilor.

Observaie: Proprietile 1. i 2. pot fi sintetizate astfel: la aplicarea uneipermutri de ordin 3 termenilor unui produs mixt se schimbsemnul daci numaidacpermutarea este impar.


29/203

25

Interpretarea geometric a produsului mixt: Modulul produsului mixt

),,( cba rrr

este egal cu volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori.

ntr-adevr, volumul paralelipipedului este dat de produsul dintre aria bazei Ab

i nlimea paralelipipedului h. Dar aria bazei Ab este cb rr

(vezi interpretarea

geometrica produsului vectorial), iar unghiul dintre vectorii a

r

i cb

rr

coincidecu unghiul dintre vectorul a

r i nlimea h, deci =cosa

rh. Obinem astfel:

== cos),,( cbacba rrrrrr

Abh, deci concluzia dorit.

fig. 26

Corolar 6.4: Trei vectori liberi cba rrr,, sunt coplanari daci numai dac

produsul lor mixt este zero.

Demonstraie: Putem presupune, fr a reduce generalitatea, c cba rrr ,, suntvectori nenuli i oricare doi sunt necoliniari (n cazul contrar echivalena din enunfiind clar).

Dac cba rrr,, sunt vectori coplanari, n ipoteza de lucru formulatanterior, din

Teorema 2.6 rezultcexistscalarii , astfel nct bacrrr

+= . Astfel, ultima

linie a determinantului care reprezintexpresia analitica produsului mixt ),,( cba rrr

vafi o combinaie liniar a primelor dou linii i n consecin acest determinant va fi

zero. Deci 0),,( =cba rrr

.Reciproc, dac produsul mixt este zero, atunci volumul paralelipipedului

construit pe cei trei vectori este zero (vezi fig. 26). Vectorii b

r

i cr

fiind necoliniari,aria bazei Ab este nenuli astfel rezultcnlimea h a paralelipipedului trebuie sfie zero. Acest lucru se ntmpldaci numai dacpunctul A este n planul bazei,adic cba

rrr,, sunt vectori coplanari.

Aplicaie important: Calculul volumului unui tetraedru


30/203

26

Volumul tetraedrului OABC este:6

),,(

32

3

cbahcb

hAV OBCOABC

rrr

rr

=

=

= .

Exerciiul 1: Se consider punctele )7,2,0(),1,1,3(),2,0,1( CBA . S se

determine un punctDpe axa Oxastfel nct volumul tetredruluiABCDsa fie 7. Aflaiapoi lungimea nlimii coborte din vrfulDpe faa (ABC) a tetraedrului.

Soluie: Vrful cutat D fiind pe axa Ox, va avea coordonate de forma

)0,0,(D , cu R . Atunci vectorii ADACAB ,, au expresiile analitice:

kjiABrrr

= 2 , kjiACrrr

52 ++= i respectiv kiADrr

2)1( = .

Rezult c 33

201

521

112

),,( =

=

ADACAB , de unde obinem cvolumul

tetraedruluiABCDeste 2

1

6

33 +=

=

ABCDV . Punnd condiia ca acest volum

s fie 7 gsim 151 = i 132 = . Deci exist dou puncte )0,0,15(1 D i

)0,0,13(2D care satisfac cerinele exerciiului.Dac notm cu h lungimea nlimii coborte din vrful D pe faa (ABC) a

tetraedrului, atunciABC

ABCD

A

Vh

3= , unde ABCA reprezint aria triunghiului ABC.

Deoarece

kji

kji

ACABrrr

rrr

393

521

112 +=

= , iar2

113

2

1== ACABAABC , obinem

11

14=h .

7. Exerciii

1. Fie ABC un triunghi oarecare, G centrul su de greutate i ',',' CBA

mijloacele laturilorBC, CAi respectivAB. Sse arate c:i) 0'''

r=++ CCBBAA ;

ii) Geste unicul punct din spaiu care satisface relaia 0r

=++ GCGBGA ;iii) centrul de greutate al triunghiului ''' CBA coincide cu centrul de greutate G

al triunghiuluiABC.

2. Pe un cerc cu centrul n punctul O se considertrei puncte A, B, C. S se

arate ctriunghiulABCeste echilateral daci numai dac 0r

=++ OCOBOA .


31/203

27

3. Fie ABC un triunghi i O centrul cercului circumscris triunghiului. S se

arate ctriunghiulABCeste echilateral daci numai dac AOACAB 3=+ .

4. ntr-un cerc de centru Ose considerdoucoarde perpendiculareABi CDcare se intersecteazn punctul P. Sse demonstreze c:

POPDPCPBPA 2=+++ .

5. Sse arate, cu ajutorul calculului vectorial, cdiagonalele unui romb suntperpendiculare.

6. FieABCDun patrulater i Opunctul de intersecie al diagonalelor.i) Sse arate cABCDeste trapez daci numai dacpunctul Oaparine unuia

dintre segmentele care unete mijloacele a doulaturi opuse ale patrulaterului;ii) S se arate cABCD este paralelogram dac i numai dac punctul O

aparine fiecruia dintre segmentele care unete mijloacele laturilor opuse alepatrulaterului.

7. Fie ABCDun patrulater i O punctul de intersecie al diagonalelor. S se

arate cABCDeste paralelogram daci numai dac MOMDMCMBMA 4=+++ ,oricare ar fi punctulMdin spaiu.

8. i) Fie 3,,, EMCBA puncte arbitrare. Sse demonstreze care loc relaia:

0=++ ABCMCABMBCAM .ii) Sse demonstreze cdacntr-un tetraedru douperechi de muchii opuse

sunt ortogonale, atunci i cea de-a treia pereche are aceeai proprietate.

9. Fie ABC un triunghi i O un punct arbitrar n spaiu. S se demonstreze

relaia:)(2 OAOCOCOBOBOAOCABOBCAOABC ++=++ .

10. Fie ,, unghiurile pe care le formeazun vector liber nenul cu axele

de coordonate. S se arate c 1coscoscos 222 =++ . (Remarc: cos,cos,cos se numesc cosinuii directoriai vectorului.)

11. Dac 3,, Vcba rrr

astfel nct 0rrrr

=++ cba , s se arate c

accbba rrrrrr

== . Reciproc este adevrat?

12. S se demonstreze, cu ajutorul calculului vectorial, c n orice triunghi

ABC are loc relaiaC

c

B

b

A

a

sinsinsin == (teorema sinusului). (Indicaie: Se poate

utiliza exerciiul 11.)

13. Se considerpunctele ),0,0(),0,,0(),0,0,( cCbBaA .S se arate c aria

triunghiului ABC este cel mult egal cu 4442

1cba ++ . n ce caz are loc


32/203

28

egalitatea?

14. S se arate c vectorii vua rrr

+= 3 i vub rrr

+= sunt coliniari dac inumai dacvectorii u

ri v

rsunt coliniari.

15. Fie kjiarrrr

22 += i jib

rrr+= . S

se determine:

i) unghiul dintre vectorii ar

i br

;

ii) aria paralelogramului construit pe vectorii ar

i br

16. Sse determine R astfel nct vectorii

kjiarrrr

)4(23 ++= i kjibrrrr

3+= sfie perpendiculari.

17. S se determine calculeze expresia accbbaE rrrrrr

++= , cunoscnd c

kjicbarrrrrr

++=++ i 2=== cba rrr

.

18. Se considervectorii liberi cba rrr,, cu proprietile: 2,1,3 === cba

rrri

3),(

=barr

,6

),(

=ca rr

,4

),(

=cb rr

. Sse calculeze cba rrr

2+ .

19. Sse arate cvectorii

kjiarrrr

32 += , kjibrrrr

+= 44 , kicrrr

52 += sunt coplanari.

20. Sse determine R astfel nct vectorii

kjia

rrrr

32)2( +++= , kjib

rrrr

+= , kic

rrr

24 += sfie coplanari i sse descompunapoi vectorul a

rdupdireciile vectorilor b

ri c

r.

21. Sse demonstreze c

),,(4

1

2,

2,

2cba

accbba rrrrrrrrr

=

+++,

oricare ar fi 3,, Vcba rrr

.

22. Fie punctele )7,4,2(),5,5,3(),4,4,4(),1,1,1( DCBA . Sse determine:i) Volumul tetraedruluiABCD;

ii) Lungimea nlimii coborte din vrfulApe faa (BCD).

23. Se considervectorii wvu rrr,, necoplanari cu ajutorul crora se definesc

wvua rrrr

32 += , wvub rrrr

+= , wvuc rrrr

+= 3 .S se determine scalarul astfel nct volumul tetraedrului determinat de

vectorii cba rrr,, sfie de cinci ori volumul tetraedrului determinat de vectorii wvu

rrr,, .


33/203

29

Capitolul II

Planul i dreapta n spaiu

Pe parcursul acestui capitol ne vom raporta la sistemul ortogonal decoordonate Oxyz introdus n seciunea 3 a capitolului precedent. De asemenea,noiunile introduse i rezultatele obinute n capitolul Vectori liberivor fi instrumente

deosebit de utile pentru studiul planelor i dreptelor din spaiu.

1. Planul

Teorema 1.1 (Ecuaia planului ce trece printr-un punct dat i este

perpendicular pe o direcie dat):Dac ),,( 0000 zyxM esteunpunct fix n spaiu, iar

kCjBiAn rrrr ++= un vector nenul dat, atunci ecuaia planului ce trece prin 0M i

este perpendicular pe vectorul nr

are forma:0)()()( 000 =++ zzCyyBxxA . (1)

fig. 27

Demonstraie: Fie )(P planul cutat i considerm ),,( zyxM un punct

arbitrar n planul )(P , diferit de punctul 0M . Apartenena punctului Mla planul )(P

(P)

nr

0M

M


34/203

30

este echivalent cu perpendicularitatea vectorilor nr

i MM0 , deci cu relaia

00 = MMnr

. Deoarece kzzjyyixxMMrrr

)()()( 0000 ++= , innd cont de

expresia analitic a produsului scalar obinem c0)()()( 000 =++ zzCyyBxxA .

Aadar, un punct ),,( zyxM aparine planului )(P dac i numai dac

0)()()( 000 =++ zzCyyBxxA .

Definiia 1.2:Orice vector perpendicular pe un plan dat se numete vectornormal la planul respectiv.

Observaie: Din demonstraia Teoremei 1.1 reiese c, dat fiind un plan de

ecuaie 0=+++ DCzByAx , atunci kCjBiAnrrrr

++= este un vector normal laplanul considerat.

Teorema 1.3 (Ecuaia generala planului): Orice plan din spaiu este definit

de o ecuaie de forma: 0=+++ DCzByAx , (2)

cu DCBA ,,, anumite constante reale astfel ca .0222 ++ CBA

Demonstraie: Fie )(P un plan arbitrar. Alegnd ),,( 0000 zyxM un punct n

planul )(P i kCjBiAnrrrr

++= un vector normal la planul )(P , conform Teoremei

1.1obinem cecuaia planului )(P este 0)()()( 000 =++ zzCyyBxxA , adic0=+++ DCzByAx , unde s-a notat .000 CzByAxD = Datoritfaptului cun

vector normal la un plan este nenul, obinem condiia adiional .0222 ++ CBA

Teorema 1.4:Orice ecuaie de gradul nti n x,y,z definete un plan dinspaiu.

Demonstraie: O ecuaie de gradul nti nx, y, zeste de forma0=+++ DCzByAx (3)

cu DCBA ,,, constante reale date i 0222 ++ CBA (pentru ca ecuaia s fie degradul nti). O astfel de ecuaie are o infinitate de soluii reale (se dau valori arbitrarela dou dintre necunoscute i se determin cea de-a treia necunoscut). Fie

),,( 000 zyx o soluie a acestei ecuaii. Evident tripletul de numere reale ),,( 000 zyx

corespunde punctului ),,( 000 zyxM din spaiu i

0000 =+++ DCzByAx (4)

Scznd relaia (4) din relaia (3) obinem c0)()()( 000 =+++ DzzCyyBxxA (5)

Ecuaiile (3) i (5) sunt echivalente (se poate obine ecuaia (5) din (3) - aacum am vzut mai sus i invers putem ajunge la ecuaia (3) pornind de la (5), tot cuajutorul relaiei (4)). Pe de altparte, dupcum rezultdin Teorema 1.1, ecuaia (5)definete un plan (planul ce trece prin punctul ),,( 000 zyxM i este perpendicular pe

vectorul kCjBiAnrrrr

++= ). Deci i ecuaia (3) va reprezenta un plan din spaiu.


35/203

31

Teorema 1.5 (Ecuaia planului paralel cu dou direcii neparalele): Dac

),,( 0000 zyxM este un punct fix n spaiu, iar knjmilvrrrr

1111 ++= i

knjmilvrrrr

2222 ++= sunt doi vectori neparaleli, atunci ecuaia planului ce trece

prin 0M i este paralel cu vectorii 1vr

i 2vr

are forma:

0

222

111

000

=

nml

nmlzzyyxx

. (6)

fig. 28

Demonstraie: Fie )(P planul ce trece prin 0M i este paralel cu vectorii 1vr

i 2vr

. Considerm ),,( zyxM un punct arbitrar n planul )(P . Vectorii liberi 1vr

i 2vr

fiind paraleli cu planul )(P , pot fi considerai ca inclui n )(P , de unde obinem

coplanaritatea vectorilor MM0 , 1vr

i 2vr

, adic .0),,( 210 =vvMM rr

Cum

kzzjyyixxMM rrr )()()( 0000 ++= innd cont de expresia analitic a

produsului scalar, obinem ecuaia dorit.

Teorema 1.6 (Ecuaia planului ce trece prin trei puncte necoliniare):Dac),,( iiii zyxM , 3,1=i , sunt trei puncte necoliniare, atunci ecuaia planului determinat

de cele trei puncte este:

0

131313

121212

111

=

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

. (7)

fig. 29

(P) 1M

2M

3M

(P)

1vr

0M M

2vr


36/203

32

Demonstraie: Aa cum se tie, din axiomele de inciden ale spaiului iconsecinele lor, trei puncte necoliniare determin un plan i numai unul. Fie )(P

planul ce trece prin punctele ),,( iiii zyxM , 3,1=i .

Dac notm 211 MMv =r

i 312 MMv =r

, este clar c vectorii 1vr

i 2vr

sunt

inclui n planul )(P , deci paraleli cu planul )(P , iar punctul 1M aparine planului

)(P . Putem astfel aplica Teorema 1.5.Avnd n vedere c

kzzjyyixxMMrrr

)()()( 12121221 ++= ,

kzzjyyixxMMrrr

)()()( 13131331 ++= ,

relaia (6) conduce la ecuaia dorit.

Corolar 1.7 (Ecuaia planului prin tieturi):Planul care intersecteazaxelesistemului cartezian ortogonal n punctele )0,,0(),0,0,( bBaA i respectiv ),0,0( cC (diferite de originea O a sistemului cartezian) are ecuaia

01 =++c

z

b

y

a

x (8)

fig. 30

Demonstraie:Evident, punctele A,B,C sunt necoliniare. Conform Teoremei1.6, ecuaia planului determinat de puncteleA,B,Ceste:

0

0

0 =

ca

ba

zyax

.

Dezvoltnd acest determinant dupprima linie obinem0)( =++ abzacyaxbc .

Dacse mparte relaia precedentprin abc , obinem ecuaia (8).

Observaie: Teoremele 1.1, 1.5, 1.6 precum i Corolarul 1.7 prezintsituaiifavorabile determinrii ecuaiei unui plan n spaiu. ntr-o problem de geometrieanaliticavnd drept concluzie determinarea ecuaiei unui anumit plan, se va reduce

O

z

y

x

A

B

C


37/203

33

situaia prezentatn problemla unul din rezultatele teoretice menionate anterior ise folosete ecuaia corespunztoare.

Exerciiul 1:Sse determine ecuaia planului de coordonate (xOy).

Soluia 1: Planul de coordonate (xOy) trece prin originea )0,0,0(O i este

perpendicular pe versorul kr

. Astfel, din Teorema 1.1,ecuaia planului de coordonate(xOy) este 0)0(1)0(0)0(0 =++ zyx , adic 0=z .

Soluia 2: Planul de coordonate (xOy) trece prin originea )0,0,0(O i este

paralel cu versorii ir

i jr

(de fapt cei doi versori sunt inclui caz particular deparalelism n planul (xOy)). Din Teorema 1.5 ecuaia planului de coordonate (xOy)este

0

010

001

000

=

zyx

,

deci 0=z .

Soluia 3: Vom folosi c planul de coordonate (xOy) trece prin originea)0,0,0(O i prin punctele )0,0,1(A i )1,0,0(B . Astfel, din Teorema 1.6, ecuaia

planului cutat este

0

000100

000001

000

=

zyx

,

adic 0=z .

Exerciiul 2:Sse determine ecuaia planului tiind c punctul )3,0,1(M estepiciorul perpendicularei coborte din origine pe plan.

Soluie: Din ipotez, kiOMrr

3+= este vector normal pentru planul cutat, iarpunctul )3,0,1(M aparine acestui plan. Putem aplica Teorema 1.1 i vom obineecuaia 0)3(3)0(0)1(1 =++ zyx , adic 0103 =+ zx .

2. Dreapta

Definiia 2.1:Fie (d) o dreaptdatdin spaiu. Se numete vector director al

dreptei (d) orice vector avnd direcia paralelcu dreapta (d). Dac knjmilvrrrr

++= este un vector director al dreptei (d), atunci l, m, n se numesc parametri directori aidreptei.


38/203

34

Teorema 2.2 (Ecuaia vectorial a dreptei): Dac 0M este un punct fixat

arbitrar n spaiu, iar vr

un vector nenul, atunci ecuaia vectoriala dreptei ce treceprin 0M i are pe v

rvector director este

vrr rrr

+= 0 , (1)

unde rr

este vectorul de poziie al unui punct oarecare de pe dreapt, 0rr

este vectorul

de poziie al lui 0M , iar un parametru real.

fig. 31

Demonstraie: Fie (d) dreapta care trece prin 0M i are direcia dat de

vectorul vr

. ConsidermMun punct oarecare pe dreapta (d). Deoarece vectorii MM0

i vr

sunt coliniari, conform Propoziiei 2.5 din Capitolul I, existun scalar astfel

nct vMM r

=0 . Pe de altparte, din regula triunghiului, 00 rrMM rr

= . Obinem

deci vrr rrr

= 0 sau, echivalent, vrr rrr

+= 0 .

Teorema 2.3 (Ecuaiile parametrice ale dreptei): Ecuaiile parametrice aledreptei care trece prin punctul ),,( 0000 zyxM i are vectorul director

knjmilvrrrr

++= sunt:

+=

+=

+=

nzz

myy

lxx

0

0

0

, (2)

unde este un parametru real.

Demonstraie: Dac (d) este dreapta care trece prin 0M i are vectoruldirector v

r, iar ),,( zyxM este un punct arbitrar pe dreapta (d), atunci, conform

Teoremei 2.2, ecuaia vectoriala dreptei (d) este vrr rrr

+= 0 ,unde rr

este vectorul

de poziie al punctuluiM, iar 0rr

este vectorul de poziie al lui 0M .

O

z

y

x

M

0M

0rr

rr

vr

ir

jr

kr


39/203

35

fig. 32

innd cont de expresiile analitice ale vectorilor 0,rr rr

i respectiv vr

,

obinem c

)(000 knjmilkzjyixkzjyixrrrrrrrrr

+++++=++ ,

adic knzjmyilxkzjyixrrrrrr

)()()( 000 +++++=++ . Folosind unicitatea

descompunerii unui vector duptrei vectori necoplanari, rezultc

+=

+=

+=

nzz

myy

lxx

0

00 .

Teorema 2.4 (Ecuaiile canonice ale dreptei):Ecuaiile canonice ale dreptei

care trece prin punctul ),,( 0000 zyxM i are vectorul director knjmilvrrrr

++= sunt:

n

zz

m

yy

l

xx 000 =

=

. (3)

Demonstraie:Din Teorema 2.3, ecuaiile parametrice ale dreptei care trece

prin punctul ),,( 0000 zyxM i are vectorul director knjmilv

rrrr

++= sunt date desistemul (2). Explicitnd din fiecare dintre cele trei ecuaii ale sistemului se obineirul de trei rapoarte egale din relaia (3).

Observaie:Vom conveni s scriem ecuaiile unei drepte sub forma (3)i ncazul cnd unul sau doi dintre parametrii directori l, m, n sunt nuli, nelegnd nacest caz cdacunul dintre numitorii ecuaiilor (3)este zero, atunci i numrtorulcorespunztor este zero.

Teorema 2.5 (Ecuaiile dreptei care trece prin dou puncte date): Dac),,( 1111 zyxM i ),,( 2222 zyxM sunt dou puncte distincte din spaiu, atunci

ecuaiile dreptei care trece prin cele doupuncte sunt:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

=

=

. (4)

Demonstraie: Dac notm 21MMv =r

, este clar c vr

reprezint un vector

director al dreptei deteminate de punctele 1M i 2M . innd cont c

kzzjyyixxMMrrr

)()()( 12121221 ++= , din Teorema 2.4 se obine imediatrelaia dorit.

M

0M

0rr

rr

vr

(d)O


40/203

36

Din geometria euclidianse tie cdouplane neparalele se intersecteazdupo dreapt. Fie 0:)( 11111 =+++ DzCyBxAP i 0:)( 22222 =+++ DzCyBxAP

dou plane neparalele i )()()( 21 PPd I= . Vectorii kCjBiAnrrrr

1111 ++= i

kCjBiAn

rrrr

2222 ++= sunt vectori normali pentru planele )( 1P i respectiv )( 2P .Cum cele dou plane sunt neparalele, vectorii 1n

r i 2n

r vor fi necoliniari, adic

021rrr

nn . Deoarece

222

11121

CBA

CBA

kji

nn

rrr

rr= ,

condiia 021rrr

nn este echivalent cu 2222

111=

CBA

CBArang . Am obinut astfel

urmtorul rezultat:

Teorema 2.6 (Ecuaiile dreptei ca intersecie de douplane):O dreapt(d)din spaiu are ecuaii de forma

=+++

=+++

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA, (5)

cu 2222

111=

CBA

CBArang .

fig. 33

Observaie:Aa cum vom vedea n paragrafele urmtoare, n formulele legatede unghiuri i distane la drepte intervin parametrii directori ai acestora. Astfel,devine importantaflarea parametrilor directori ai unei drepte (d) date sub forma(5). Vom utiliza notaiile premergtoare Teoremei 2.6.

Avem )( 11 Pn r

i )()( 1Pd , de unde )(1 dn r

. Similar obinem )(2 dn r

.Aceste relaii de perpendicularitate asigur cdreapta )(d este perpendicularpe

( 1P )

( 2P )

( d)


41/203

37

planul determinat de vectorii 1nr

i 2nr

. Cum i vectorul 21 nn rr este perpendicular pe

planul determinat de vectorii 1nr

i 2nr

, obinem c 21 nn rr este vector director al

dreptei )(d . Deoarece

kBA

BAj

CA

CAi

CB

CBnn

rrrrr

22

11

22

11

22

1121 += ,

rezultcparametrii directori ai dreptei )(d sunt:

22

11

22

11

22

11 ,,BA

BAn

CA

CAm

CB

CBl === (6)

Exerciiu:Sse determine ecuaiile axei de coordonate Ox.

Soluia 1:Axa Oxtrece prin originea )0,0,0(O i are direcia datde versorul

ir

. Conform Teoremei 2.4 ecuaiile axei Ox sunt001

zyx== . De remarcat c aceste

ecuaii sunt echivalente, dintr-o observaie anterioar sau lund ecuaiile 01

yx=

i

01

zx= i nmulind mezii i extremii, cu

=

=

0

0

z

y. Aceste ultime ecuaii ale axei Ox

reprezintde fapt scrierea axei ca intersecie a douplane: )(xOz i )(xOy .

Soluia 2:Vom folosi caxa Ox trece prin originea )0,0,0(O i prin punctul

)0,0,1(A . Din Teorema 2.5 rezultcecuaiile axei Oxsunt001

zyx== .

Observaie: Ecuaiile axei Ox sunt date de un ir de trei rapoarte egale, avnd

doi numitori egali cu zero. Acest ir de rapoarte egale este echivalent cu sistemul deecuaii:

=

=

01

01zx

yx

, adic

=

=

0

0

z

y.

S-au obinut astfel ecuaiile axei Ox ca intersecie de douplane: (xOz)i (xOy).

3. Fascicol de plane

Definiia 3.1:Fie (d) o dreapt din spaiu. Totalitatea planelor care conindreapta (d) se numete fascicol de plane determinat de dreapta (d).n acest caz,dreapta (d)se numete axa fascicolului (vezi fig. 32).


42/203

38

fig. 34

Teorema 3.2: Fie (d)o dreaptdin spaiu avnd ecuaiile

=+++

=+++

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA.

Atunci orice plan din fascicolul de ax(d)are o ecuaie de forma0)()( 22221111 =+++++++ DzCyBxADzCyBxA (1)

cu R, astfel nct 022 + .

Reciproc, orice ecuaie de forma (1), cu R, , 022 + definete unplan din fascicolul de ax(d).

Demonstraie:Fie (P) un plan oarecare din fascicolul de ax(d). Atunci (P)va avea o ecuaie de forma 0=+++ DCzByAx , cu RDCBA ,,, astfel ca

0222 ++ CBA . Dreapta (d) este datca intersecie a douplane: )( 1P de ecuaie

01111 =+++ DzCyBxA i respectiv )( 2P de ecuaie 02222 =+++ DzCyBxA .

Deoarece )()()()( 21 dPPP =II , sistemul

=+++

=+++

=+++

0

0

0

2222

1111

DCzByAx

DzCyBxA

DzCyBxA

este compatibil nedeterminat. Combinnd Teorema Kronecker-Cappelli i Teoremalui Cramer, rezultc

32222

1111

222

111

xw , pentru orice Ix ;

2.


87/203

83

Vom prezenta n continuare cteva proprieti remarcabile ale irurilor depolinoame ortogonale.

Propoziia 3.5:Dac ,...,, 210 PPP este un ir de polinoame ortogonale, atunci

orice polinom Q de grad n se poate scrie n mod unic ca o combinaie liniar a

polinoamelor nPPP ,...,, 10 , adicexisti sunt unici R

n ,,..., 10 astfel nct)(...)()()( 1100 xPxPxPxQ nn +++= .

Demonstraie: Artm mai nti existena, prin inducie matematicdupn.Pentru 0=n , avem 0)()( 0 == QgradPgrad , deci 0P i Q sunt polinoame

constante nenule. Punnd0

0P

Q= , atunci evident )()( 00 XPXQ = .

Presupunem afirmaia adevrat pentru un Nn fixat i vrem s-odemonstrm pentru 1+n . Fie Q polinom de grad 1+n . Notm cu i

coeficienii termenilor dominani ai polinoamelor Q i respectiv 1+nP . Atunci

)()( 1 xPxQ n+ este un polinom de grad cel mult n . Conform ipotezei inductive,

exist Rn ,,..., 10 astfel nct

)(...)()()()( 11001 xPxPxPxPxQ nnn

+++= +

sau, echivalent,

)()(...)()()( 11100 xPxPxPxPxQ nnn +++++=

.

Deci orice polinom de grad nse poate scrie ca o combinaie liniar a polinoamelor

nPPP ,...,, 10 , pentru orice Nn .

Demonstrm acum unicitatea scrierii. Fie Q un polinom de grad npentru care)(...)()()(...)()()( 11001100 xPxPxPxPxPxPxQ nnnn +++=+++= ,

cu Rnn ,,...,,,,..., 1010 . Fixm un indice ni1 , arbitrar. Rezultc, pe

de-o parte)(),()(),(...)()()(),( 1100 xPxPxPxPxPxPxPxQ iiiinni =+++= ,

iar pe de altparte)(),()(),(...)()()(),( 1100 xPxPxPxPxPxPxPxQ iiiinni =+++= .

Aadar )(),()(),( xPxPxPxP iiiiii = , de unde, innd cont c iP este polinom

nenul, iar produsul scalar este nedegenerat, obinem ii = . Astfel rezult i

unicitatea scrierii.

Observaie: Concluzia propoziiei precedente poate fi probati avnd nvedere c nPPPP ,...,,, 210 sunt polinoame ortogonale, deci sunt liniar independente.

Deoarece 1])[( += nXdim nRR , este clar c polinoamele nPPPP ,...,,, 210 vor

constitui o baz a spaiului vectorial ][XnR i n consecin orice polinom Q de

grad n se poate scrie n mod unic ca o combinaie liniar a polinoamelor

nPPPP ,...,,, 210 .


88/203

84

Corolar 3.6: Orice ir de polinoame ortogonale constituie o baza spaiuluivectorial ][XR .

Demonstraie: Afirmaia este clar, avnd n vedere i Propoziia 3.4 dinCapitolul III.

Propoziia 3.7: Fie ,...,, 210 PPP un ir de polinoame ortogonale i Q unpolinom oarecare de grad n. Atunci orice polinom mP , cu nm> , este ortogonal pe

polinomul Q .

Demonstraie:Conform Propoziiei 3.5, exist Rn ,,..., 10 astfel nct

=

=n

iii xPxQ

1

)()( . Atunci

0)(),()(),()(),(11

=== ==

xPxPxPxPxQxP imn

ii

n

iiimm

(ultima egalitate este clar, din ortogonalitatea polinoamelor mP i iP ). Decipolinomul mP este ortogonal pe polinomul Q .

Teorema 3.8: Fie ,...,, 210 PPP un ir de polinoame ortogonale. Atunci pentru

orice Nn polinomul nP are exact n rdcini reale, distincte dou cte dou,

aflate n interiorul intervalului de ortogonalitate.

Demonstraie: Fie mxxx ,...,, 21 punctele din interiorul intervalului de

ortogonalitate n care polinomul nP i schimb semnul. Evident mxxx ,...,, 21 sunt

rdcini ale polinomului nP i, din Teorema Fundamentala Algebrei, nm . Vom

demonstra c nm = .Presupunem prin absurd c nm < . Considerm polinomul

=

=m

iixxx

1

)()( .

Atunci este un polinom de grad m care i schimb semnul n fiecare dintrepunctele mxxx ,...,, 21 . De aici rezult c )()( xPx n este polinom sau strict pozitiv

sau strict negativ pe intervalul de ortogonalitate, cu excepia punctelor mxxx ,...,, 21 i,

eventual, a capetelor intervalului. Cum )(xw este funcie strict pozitiv, atunci

)()()( xwxPx n este funcie sau strict pozitiv sau strict negativ pe intervalul de

ortogonalitate, cu excepia punctelor mxxx ,...,, 21 i eventual a capetelor intervalului.Astfel,

0)()()(, = b

ann dxxwxPxPQ ,

contradicie cu Propoziia 3.7. Deci nm= i astfel teorema este demonstrat.

Teorema 3.9: Orice ir de polinoame ortogonale ,...,, 210 PPP poate fi definit

printr-o relaie de recurende forma


89/203

85

)()()()( 11 xPcxPbxaxP nnnnnn + += ,

unde nnn cba ,, sunt coeficieni care depind de n.

Demonstraie: Fie *Nn fixat. Considerm mai nti na astfel nct

)()( 1 xPxxPa nnn + sfie un polinom de grad cel mult n. Apoi alegem nb astfel nct

)()()( 1 xPxPbxa nnnn ++ s fie un polinom de grad cel mult 1n . Conform

Propoziiei 3.5, acest ultim polinom se scrie n mod unic sub forma unei combinaiiliniare a polinoamelor 110 ,...,, nPPP :

=

+ =+1

11 )()()()(

n

iiinnn xPxPxPbxa (1)

Fixm acum un indice 21 nj arbitrar. Din relaia (1) obinem:

)(,)()(),()()(1

11 xPxPxPxPxPbxa j

n

iiijnnn

=

+ =+ ,

sau, echivalent,)(),()(),()(),()(),(

1

11 xPxPxPxPxPxPbxPxxPa ji

n

iijnjnnjnn

=

+ =+ (2)

Deoarece ,...,, 210 PPP este un ir de polinoame ortogonale, din relaia (2) rezult

)(),()(),( xPxPxPxxPa jjjjnn = (3)

Dar

)(),()())()(()()())(()(),( xxPxPdxxwxxPxPdxxwxPxxPxPxxP jn

b

ajn

b

ajnjn ===

i astfel egalitatea (3) este echivalentcu

)(),()(),( xPxPxxPxPa jjjjnn = (4)Cum ))((1))(( xPgradnnxxPgrad nj =


90/203

86

Teorema 3.10:Dac ,...,, 210 PPP este un ir de polinoame ortogonale, atunci

orice rdcina polinomului nP se aflsituatntre dourdcini ale polinomului

1+nP , pentru orice*Nn .

Demonstraie: Putem presupune, schimbnd eventual semnul (acest lucru nu

afecteazrdcinile), ctoate polinoamele irului au termenul dominant pozitiv.ntr-o primetapdemonstrm prin inducie c

)()()()( '1'

1 xPxPxPxP nnnn ++ > , (6)

pentru orice Nn i oricexdin intervalul de ortogonalitate.

Dac 0=n , atunci 0)('1 >xP , 0)(0 >xP i 0)('

0 =xP , deci relaia (6) este

clar.

Presupunem c pentru un *Nn , fixat, avem )()()()( ' 11' xPxPxPxP nnnn > .

Conform Teoremei 3.9, polinoamele irului satisfac o relaie de recurende forma)()()()( 11 xPcxPbxaxP nnnnnn + += .

Prin derivare, obinem

)()()()()( ' 1''

1 xPxPbxaxPaxP nnnnnnn + ++= .

Atunci

0)]()()()([)()()]()()[(

)()]()()()([)()()()(

'11

'2'1

'1

''1

'1

>+=+

++=

++

xPxPxPxPcxPaxPxPcxPbxa

xPxPcxPbxaxPaxPxPxPxP

nnnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnnn

deoarece 0, >nn ca i, din ipoteza inductiv, 0)()()()('

11'

> xPxPxPxP nnnn . Deci

)()()()( '1'

1 xPxPxPxP nnnn ++ > , pentru orice Nn i orice x din intervalul de

ortogonalitate.Considerm acum ix i 1+ix dourdcini consecutive ale )(1 xPn+ . Atunci

0)()()()( '1' 1 => ++ inininin xPxPxPxP i 0)()()()( 1'1111' 1 => ++++++ inininin xPxPxPxP

Astfel, )(' 1 in xP + i )( in xP , respectiv )( 1'

1 ++ in xP i )( 1+in xP , au acelai semn.

Deoarece )(' 1 xPn+ i schimb semnul pe intervalul ),( 1+ii xx , atunci i )(xPn i

schimb semnul pe ),( 1+ii xx . Aadar, din Proprietatea lui Darboux, )(xPn are cel

puin o rdcinntre ix i 1+ix . innd cont c, din Teorema 3.8, )(1 xPn+ are 1+n

rdcini reale distincte, iar )(xPn are n rdcini reale distincte, atunci )(xPn are

exact o rdcinntre ix i 1+ix .

n finalul acestui capitol vom prezenta cteva iruri particulare de polinoame

ortogonale deosebit de importante prin aplicaiile lor n diverse zone ale matematiciicum ar fi: ecuaii difereniale, teoria interpolrii, modelare matematic etc. Toateaceste iruri particulare se pot obine cu ajutorulprocedeului Gram-Schmidtdin baza

,...,,,1 332

210 xexexee ==== a spaiului de polinoame ][xR , lucrndu-se cu

anumite produse scalare de tipul celui introdus n Propoziia 3.2.


91/203

87

Polinoamele Legendre

Se noteaz cu )(xPn i sunt caracterizate de intervalul de ortogonalitate

]1,1[=I , funcia pondere 1)( =xw i standardizarea 1)1( =nP . Astfel, pentrudeterminarea polinoamelor Legendre se aplic procedeul de ortogonalizare, lucrnd

cu produsul scalar =1

1 )()(, dxxQxPQP i gsindu-se mai nti polinoameleortogonale )(

~xPn . Polinoamele )(xPn se obin prin multiplicarea fiecrui polinom

)(~

xPn cu o anumit constant, astfel nct 1)1( =nP . Vom exemplifica acest lucru

gsind primele patru polinoame Legendre:

1~ 00 == eP ; 011 ~~ PeP += , cu

00

01~

,~

~,

PP

Pe= . Deoarece 0

2

~,

1

1

21

101 ===

x

xdxPe ,

rezultc 0= , de unde xP =1~

;

110022 ~~~ PPeP ++= , cu 31

23

2

1~

,~

~,

1

1

1

1

2

00

020 ====

dx

dxx

PP

Pe i

02

0

1~

,~

~,

1

1

1

1

3

11

121 ====

dx

dxx

PP

Pe . Astfel, obinem c

3

1~ 22 =xP .

22110033 ~~~~ PPPeP +++= , cu 0~,

~

~,

00

030 ==

PPPe ,

53

~,

~

~,

11

131 ==

PPPe ,

0~,

~

~,

22

232 ==

PP

Pe . Rezultc xxP

5

3~ 33 = .

Deoarece 1)1(~

0 =P , 1)1(~1 =P , 3

2)1(

~2 =P , 5

2)1(

~3 =P , obinem primele patru

polinoame Legendre:

1)(0 =xP , xxP =)(1 , )13(2

1)( 22 = xxP , )35(2

1)( 33 xxxP = .

Relaia de recuren pe care, conform Teoremei 3.9, o satisfac polinoameleLegendre este

)(1

)(1

12)( 11 xP

n

nxxP

n

nxP nnn +

+

+

+= .


92/203

88

Polinoamele Cebev de prima speSe noteaz cu )(xTn i sunt caracterizate de intervalul de ortogonalitate

)1,1(=I , funcia pondere21

1)(

xxw

= i standardizarea 1)1( =nT .

Primele patru polinoame Cebev de prima spesunt:

1)(0 =xT , xxT =)(1 , 12)( 22 = xxT , xxxT 34)( 33 = .Relaia de recurenverificatde polinoamele Cebev de prima speeste:

)()(2)( 11 xTxxTxT nnn + = .

O altposibilitate de definire a polinoamelor Cebev de prima speeste datde urmtoarea propoziie:

Propoziia 3.10:Pentru orice Nn se definete funciaR ]1,1[:nf , )arccoscos()( xnxfn = .

Atunci au loc urmtoarele afirmaii:1. )(xf

n

reprezintun polinom de gradul n;

2. coeficientul termenului dominant al lui )(xfn este12 n , pentru *Nn ;

3. )()( xTxf nn = , pentru orice )1,1(x .

Demonstraie: 1. Pentru un ]1,1[x , fixat arbitrar, notm cu xt arccos= .Conform formulei lui Moivre avem

ntinttit n sincos)sin(cos +=+ .Dezvoltnd membrul stng al egalitii precedente cu binomul lui Newton i egalndprile reale obinem:

...sincossincoscoscos 444222 += ttCttCtnt nnn

nn

Deoarece xt=cos , iar 21sin xt = , relaia anterioarconduce la...)1()1()( 2244222 += xxCxxCxxf nn

nn

nn (7)

i astfel )(xfn este un polinom de gradul n.

2. Coeficientul lui nx , dedus din relaia (7), este 142 2...1 =+++ nnn CC .

3. Vom demonstra c ,...,, 210 fff este un ir de polinoame ortogonale cu

intervalul de ortogonalitate )1,1(=I i funcia pondere21

1)(

xxw

= .

ntr-adevr,

==

=

= 0

0

1

1

arccos

2 coscossinsin

)cos()cos(1

)()(

ntdtmtdtt

t

ntmtdxx

xfxf txnm

+++

=++

000

)sin()(2

1)cos(

2

1)cos(

2

1ntmt

nmtdtnmtdtnm

0)sin()(2

1

0

=

ntmtnm

, pentru nm .


93/203

89

Avnd n vedere c 10cos)1arccoscos()1( === nfn , putem concluziona c

)()( xTxf nn = , pentru orice )1,1(x .

Polinoamele Cebev de spea a doua

Se noteaz cu )(xUn i sunt caracterizate de intervalul de ortogonalitate)1,1(=I , funcia pondere 21)( xxw = i standardizarea 1)1( += nUn .

Primele patru polinoame Cebev de spea a doua sunt:1)(0 =xU , xxU 2)(1 = , 14)(

22 = xxU , xxxU 48)(

33 = .

Relaia de recurenverificatde polinoamele Cebev de spea a doua este:)()(2)( 11 xUxxUxU nnn + = .

Polinoamele Hermite

Se noteaz cu )(xHn i sunt caracterizate de intervalul de ortogonalitate

),( =I , funcia pondere2

)( xexw = , iar standardizarea impune coeficientultermenului dominant sfie n2 .

Primele patru polinoame Hermite sunt:1)(0 =xH , xxH 2)(1 = , 24)(

22 = xxH , xxxH 128)(

33 = .

Relaia de recurenpe care o verificpolinoamele Hermite este:)(2)(2)( 11 xnHxxHxH nnn + = .

Polinoamele Laguerre

Se noteaz cu )(xLn i sunt caracterizate de intervalul de ortogonalitate

),0[ =I , funcia pondere xexw =)( , iar standardizarea impune coeficientul

termenului dominant sfie!

)1(n

n

.

Primele patru polinoame Laguerre sunt:

1)(0 =xL , 1)(1 += xxL , )24(2

1)( 22 += xxxL , )6189(6

1)( 233 ++= xxxxL .

Relaia de recurenverificatde polinoamele Laguerre este:

)(1

)()12(1

1)( 11 xL

n

nxLnx

nxL nnn +

+++

+= .


94/203

90

4. Exerciii

1. Fie ][3 xR spaiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult trei cu

coeficieni reali i aplicaia RRR ][][:, 33 xx , definitprin)2()2()1()1()1()1()2()2(, QPQPQPQPQP +++= .

i) Sse demonstreze caceastaplicaie este un produs scalar pe ][3 xR ;

ii) S se determine un polinom ortogonal pe ,1 x i 2x . Cte astfel de poli-noame exist?

2. Dac )(, 2 RMBA , 2,1,)( == jiijaA , 2,1,)( == jiijbB se definete aplicaia

, )(2 RM )(2 RM R , 2222212112121111, babababaBA +++= .

i) Sse demonstreze caceastaplicaie este un produs scalar;

ii) Sse calculeze

15

02,72

31.

3. Fie Vun spaiu euclidian i x,ydoi vectori din V. Sse arate c yx =

daci numai dac yxyx + .

4. Sse gseasco bazortonormata lui 3R , pornind de la baza:i) )}2,1,1(),1,0,1(),1,1,1({ 321 ==== vvvB ;

ii) )}0,1,1(),1,0,1(),1,1,0({ 321 ==== vvvB ;

iii) )},,(),0,,(),0,0,({ 321 fedvcbvavB ==== , cu Rfedcba ,,,,, astfel

nct 0acf .

5. Sse gseasco bazortonormata lui 4R , pornind de la baza)}1,11,0(),1,01,1(),1,0,1,1(),0,1,1,1({ 4321 ===== vvvvB .

6. Sse determine o bazortonormata subspaiului}02/),,,{( 43214321 =+= xxxxxxxxS

al lui 4R .

7. Fie Vun spaiu euclidian finit dimensional i Sun subspaiu vectorial al su.

Sse arate c VS= daci numai dac }0{ VS =

.

8. Fie Vun spaiu euclidian iAo submulime a lui V. Sse demonstreze c:i) = )(ASpA ;

ii) )()( ASpA = .


95/203

91

(Remarc: Acest exerciiu aratn particular c, dacSeste un subspaiu vectorial allui V, iar },...,,{ 21 msss este o baz a lui S, atunci

}1)(,0,/{ misvVvS i == .)

9. Pe spaiul vectorial real ]),[( llC al funciilor continue definite pe

intervalul ],[ ll cu valori reale, se consideraplicaia

R ]),[(]),[(:, llCllC , =l

ldxxgxf

lgf )()(

1, .

i) Sse probeze caceastaplicaie este un produs scalar pe ]),[( llC ;ii) Sse demonstreze cmulimea

,...cos,sin,...,2

cos,2

sin,cos,sin,2

1l

xn

l

xn

l

x

l

x

l

x

l

x

constituie un sistem ortonormat de vectori din ]),[( llC fa de produsul scalarmenionat anterior.

10. Fie Vun spaiu euclidian de dimensiune n i },...,,{ 21 mvvv , cu nm , omulime de vectori din V. Se definete determinantul

mmmm

m

m

m

vvvvvv

vvvvvv

vvvvvv

vvv

,...,,

............

,...,,

,...,,

),...,,(

21

22212

12111

21 = ,

numit determinant Gram al vectorilor },...,,{ 21 mvvv . Sse demonstreze cmulimea

vectorilor },...,,{ 21 mvvv este liniar independent dac i numai dac determinantul

),...,,( 21 mvvv este nenul.

11*. Fie V un spaiu euclidian i },...,,{ 21 nvvv o baz a lui V. Dac

},...,,{ 21 neee reprezint baza ortogonal obinut din baza },...,,{ 21 nvvv n urmaaplicrii procedeului Gram-Schmidt, sse arate c:

i) ii ve , pentru orice ni1 ;

ii) ),...,,(),...,,( 2121 nn vvveee = ;

iii)22

22

121 ...),...,,( nn vvvvvv ,

unde reprezintdeterminantul Gram definit n exerciiul anterior.


96/203

92

Capitolul V

Transformri liniare

1. Definiie. Exemple. Proprieti

Definiia 1.1: Fie V i 'V dou spaii vectoriale peste corpul K. O funcie': VVT se numete transformare liniar (aplicaie liniar sau morfism de spaii

vectoriale) dacsatisface urmtoarele condiii:1. )()()( yTxTyxT +=+ pentru orice Vyx , ;2. )()( xTxT = pentru orice Vx i V .O transformare liniar VVT : se numete endomorfism al spaiului

vectorial V.Vom nota cu )',( VVL mulimea tuturor transformrilor liniare de la V la 'V

i cu )(VEndK mulimea tuturor endomorfismelor lui V.

Obsevaie: Se verific imediat c dac ': VVT este o transformareliniaratunci '0)0( VVT = i )()( xTxT = pentru orice .Vx

Exemple 1. Fie V i V dou spaii vectoriale peste corpul K i ': VVT ,

'0)( VxT = pentru orice V.x Se arat imediat c T este o transformare liniar,

numittransformarea liniarnul.

2. Aplicaia K(K)M:Tr n , Tr(A) = urma matricei A este o transformare

liniar, deoarece Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) i )()( xTrxTr = , pentru orice

(K)MA,B n i K . n acelai timp, aplicaia K(K):Mdet n , det(A) =

determinantul matricei A nu este transformare liniar, pentru c, n general,)()()( BdetAdetBAdet ++ .

3. Aplicaiile )()(: 011 a,bCa,bCT , ')(1 ffT = i R][:0

2 a,bCT ,

=b

a

dxxffT )()(2 sunt transformri liniare, provenind din domeniul analizei

matematice.


97/203

93

4. Aplicaiile 2221 : RR ,TT , )()(1 x,-yx,yT = i )()(2 y,xx,yT = reprezint

endomorfisme ale lui 2R , provenind din domeniul geometriei analitice ( 1T reprezint

simetria fade axa Ox, iar 2T este simetria n raport cu prima bisectoare a reperuluicartezianxOy).

Propoziia 1.2: Fie V i 'V dou spaii vectoriale peste corpul K. O funcie': VVT este transformare liniardaci numai dac:

)()()( yTxTyxT +=+ (1)pentru orice Vyx , i K, .

Demonstraie: Presupunem mai nti cTeste transformare liniar. Folosindrelaiile dinDefiniia 1.1, succesiv obinem:

)()()()()( yTxTyTxTyxT +=+=+ pentru orice Vyx , i , V .

Reciproc, presupunem c T satisface relaia (1). Considernd 1== nrelaia (1), se obine )()()( yTxTyxT +=+ . Pe de altparte, dacse consider 0=

n relaia (1), obinem )()( xTxT = .

Corolar 1.3: Fie V i 'V dou spaii vectoriale peste corpul K. O funcie': VVT este transformare liniardaci numai dac:

==

=n

iii

n

iii xTxT

11

)()(

pentru orice }10{\ ,n N , Vxxx n ,...,, 21 i Kn ,...,, 21 .

Demonstraie: Se utilizeaz Propoziia 1.2 i metoda induciei matematice,dupn.

Propoziia 1.4: Fie ': VVT o transformare liniar i vectorii.,...,, 21 Vxxx n

1. Dac nxxx ,...,, 21 sunt liniar dependeni, atunci i vectorii

')(),...,(),( 21 VxTxTxT n sunt liniar dependeni.

2. Dac vectorii )(),...,(),( 21 nxTxTxT sunt liniar independeni, atunci i

vectorii nxxx ,...,, 21 sunt liniar independeni.

Demonstraie: 1. Dac nxxx ,...,, 21 sunt liniar dependeni, atunci exist

scalarii Kn

,...,,21

, nu toi nuli, astfel nct

Vnnxxx 0...

2211 =+++

Aplicnd transformarea liniarTacestei egaliti i folosind Corolarul 1.3, obinemc Vnn xTxTxT 0)(...)()( 2211 =+++ , adic )(),...,(),( 21 nxTxTxT sunt liniar

dependeni.2. Acest rezultat este de fapt negarea afirmaiei de la punctul 1.

Teorema 1.5: Fie V i V dou spaii vectoriale peste corpul K,},...,,{ 21 neeeB= o baza lui V i },...,,{ 21 nyyy o familie de vectori din spaiul 'V .


98/203

94

Atunci existi este unictransformarea liniar ': VVT astfel nct ii yeT =)(

pentru orice ni ,1= .

Demonstraie: Dac =

=n

iiiex

1

este un vector arbitrar din V, atunci definim

funcia ': VVT , =

=n

iiiyxT

1

)( ( datoritunicitii scrierii unui vector ntr-o baz

dat, funcia este bine definit). Demonstrm acum c aceast aplicaie este liniar:

considerm =

=n

iiiex

1

' un alt vector din Vi scalarii arbitrari Ka,b . Vom obine:

)'()(

)()()'(

11

1111

xbTxaTybya

ybaebaTebeaTbxaxT

n

i ii

n

i ii

ii

n

iiii

n

ii

n

iii

n

iii

+=+

=+=

+=

+=+

==

====

adicT este transformare liniar.Pentru a proba unicitatea lui T, considerm o transformare ': VVU care

satisface de asemenea egalitile ii yeU =)( , n1,i= . Fie =

=n

iiiex

1

un vector

oarecare din V. Atunci:

= = ===

=

====

=

n

i

n

i

n

iiiii

n

iiiii

n

iii xTeTeTyeUeUxU

1 1 111

)()()()( .

Din teorema precedentrezult

imediat urm

torul rezultat:

Corolarul 1.6:Doutransformri liniare de la V la 'V coincid daci numaidacele coincid pe elementele unei baze din V.

Propoziia 1.7: Fie ': VVT i ''': VVU dou transformri liniare.Atunci '': VVTU o este o transformare liniar.

Demonstraie: Considerm Vyx , i K, arbitrari. Atunci:=+=+=+=+ ))(())(())()(())(())(( yTUxTUyTxTUyxTUyxTU o

))(())(( yTUxTU oo + ,

deci conform Propoziiei 1.2 TUo este o transformare liniar.

Teorema 1.8: Fie ':, VVUT doutransformri liniare. Atunci1. aplicaia ': VVUT + , definit prin )()())(( xUxTxUT +=+ este o

transformare liniar;2. pentru orice scalar K , aplicaia ': VVT , definit prin

)())(( xTxT = este o transformare liniar.

Documents

Algebra Liniara Si Geometrie Analitica