Upload
phunganh
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Skalary• Skalarem nazywać będziemy dowolną liczbę rzeczywistą,
na przykład:
• Skalary oznaczać będziemy greckimi literami α, β, λ .
−1, 0, 2,715
, 9 +3
3 5
MacierzeMacierzą A wymiaru nazywamy tablicę prostokątną skalarów postaci
i czasami krótko zapisywaną w postaci . Do elementu -tego odwołujemy się pisząc , to znaczy
m × n
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
A = (aij)(i, j) (A)ij
aij = (A)ij .
MacierzeAby podkreślić, że macierz A ma wymiar piszemy
lub krótko
m × n
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn m×n
A = (aij)m×n
Przykłady
A =−1 32 20 3
A =0 0 02 2 −35 12 7
A =
−3150
2019
A =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
A = [17 − 2 0]A =
0 00 00 00 0
A = [−2] A =
6 4 0 0 0−1 8 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
A = [0 −30 7 ]
Równość macierzyDwie macierze
są równe gdy m = p i n = q oraz
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn m×n
aij = bij,
B =
b11 b12 … b1q
b21 b22 … b2q
⋮ ⋮ ⋮bp1 bp2 … bpq
p×q
i = 1,…, m, j = 1,…, n
Zastosowanie praktyczneDzienna produkcja
Wyroby ZasobysurowcówI II
SurowceA 3 2 12
B 4 5 23
Zyski jednostkowe 11 12
Surowce Wyroby
A
B
I
IIBuble Inc.
Zastosowanie praktyczne
= I3A + 2
B
II
= 4 + 5 [3 24 5]
Macierz współczynników
Surowce Wyroby
A
B
I
IIBuble Inc.
I II
Macierze• Jeśli liczba wierszy macierzy A jest równa liczbie jej kolumn, czyli m=n,
to macierz nazywamy kwadratową.
• Jeśli macierz A ma jedną kolumnę, tzn.
to macierz A nazywamy wektorem kolumnowym.
• Jeśli macierz A ma jeden wiersz, tzn.
to macierz A nazywamy wektorem wierszowym.
A =
a1a2⋮am
,
A = [a1 a2 … an],
Macierze kwadratowe• Elementy macierzy kwadratowej
nazywamy elementami głównej przekątnej macierzy A.
• Jeżeli wszystkie pozostałe elementy macierzy A są równe 0, to macierz A nazywamy diagonalną i oznaczamy
a11, a22, …, ann
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
an1 an2 … ann
A = diag(a11, a22, …, ann) =
a11 0 … 00 a22 … 0⋮ ⋮ ⋮0 0 … ann
Macierze kwadratowe• Jeśli elementy głównej przekątnej macierzy diagonalnej A są wszystkie
równe 1, tzn.
to macierz A nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
albo I, jeśli wiadomo jakiego wymiaru jest macierz.
In = diag(1,1,…,1) =
1 0 … 00 1 … 0⋮ ⋮ ⋮0 0 … 1
,
aii = 1 dla i = 1,2,…, n,
Transpozycja (przestawienie)
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
AT =
a11 a21 … am1a12 a22 … am2⋮ ⋮ ⋮
a1n a2n … amn
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn
AT =
a11 a21 … am1a12 a22 … am2⋮ ⋮ ⋮
a1n a2n … amn
Dodawanie macierzy
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn m×n
B =
b11 b12 … b1n
b21 b22 … b2n⋮ ⋮ ⋮
bm1 bm2 … bmn m×n
A + B =
a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 … a2n + b2n⋮ ⋮ ⋮
am1 + bm1 am2 + bm2 … amn + bmn m×n
Mnożenie macierzy przez skalar
λ ⋅ A =
λa11 λa12 … λa1n
λa21 λa22 … λa2n⋮ ⋮ ⋮
λam1 λam2 … λamn m×n
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn m×n
λ ∈ ℝ
Macierz przeciwna
−A = (−1) ⋅ A =
−a11 −a12 … −a1n−a21 −a22 … −a2n
⋮ ⋮ ⋮−am1 −am2 … −amn m×n
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn m×n
Odejmowanie macierzy
A =
a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amn m×n
B =
b11 b12 … b1n
b21 b22 … b2n⋮ ⋮ ⋮
bm1 bm2 … bmn m×n
A − B = A + (−B) =
a11 − b11 a12 − b12 … a1n − b1n
a21 − b21 a22 − b22 … a2n − b2n⋮ ⋮ ⋮
am1 − bm1 am2 − bm2 … amn − bmn m×n
Mnożenie macierzy
A =
a11 a12 … a1pa21 a22 … a2p
⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amp
m×p
B =
b11 b12 … b1n
b21 b22 … b2n⋮ ⋮ ⋮
bp1 bp2 … bpnp×n
A ⋅ B =
c11 c12 … c1nc21 c22 … c2n⋮ ⋮ ⋮
cm1 cm2 … cmn m×n
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
PrzykładA = [
1 23 45 6]
3×2
B = [1 2 3 45 6 7 8]
2×4
A ⋅ B =1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 83 ⋅ 1 + 4 ⋅ 5 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 85 ⋅ 1 + 6 ⋅ 5 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 6 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 7 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 8 3×4
A ⋅ B =11 14 17 2023 30 37 4435 46 57 68 3×4
Własności działań na macierzach
• A+B = B+A,
• (A+B)+C = A+(B+C),
• 𝜆(A+B) = 𝜆A+𝜆B,
• (𝛼+𝛽)A = 𝛼A+𝛽A,
• A+(0) = (0)+A = A,
• A-A = A+(-A) = (0),
• A(B+C) = AB+AC,
• (A+B)C = AC+BC,
• (AB)C = A(BC),
• AI = IA = A.
UwagaMnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym, tzn.
A ⋅ B ≠ B ⋅ A .
A = [1 00 0], B = [0 1
0 0],
A ⋅ B = [1 00 0] [0 1
0 0] = [0 10 0],
B ⋅ A = [0 10 0] [1 0
0 0] = [0 00 0],
A ⋅ B ≠ B ⋅ A .
Zastosowanie praktyczne
[3 24 5]
Macierz współczynników
Surowce Wyroby
A
B
I
IIBuble Inc.
= I3A + 2
B
II
= 4 + 5I II
Zastosowanie praktyczne
[y1y2] = [3 2
4 5] [x1x2] {y1 = 3x1 + 2x2
y2 = 4x1 + 5x2
Y = [y1y2] X = [x1
x2] A = [3 24 5]
Y = AXKrótko:
Wyznacznik macierzy kwadratowej
Wyznacznik jest funkcją det określoną na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych o wartościach będących liczbami rzeczywistymi. Jeśli A jest macierzą kwadratową postaci
to jej wyznacznik, oznaczany przez det(A) lub |A|, jest liczbą którą zdefiniujemy w sposób rekurencyjny:
A =
a11 a12 … a1ma21 a22 … a2m⋮ ⋮ ⋮
am1 am2 … amm m×m
,
Wyznacznik macierzy kwadratowej
Jeśli m = 1, tzn.
to określamy wyznacznik jako wartość jedynego elementu tej macierzy, mianowicie
Jeśli macierz A ma wymiar m×m, przy czym m > 1, to stosujemy tzw. rozwinięcie Laplace’a względem wybranej kolumny lub wiersza. Dokładniej (np. dla wybranego pierwszego wiersza):
gdzie oznacza minor elementu
A = [a11]1×1,
|A | = a11 .
|A | = a11 ⋅ (−1)1+1M11 + a12(−1)1+2M12 + … + a1m(−1)1+mM1m,
Mij aij .
Minory
A =
a11 a12 … a1j−1 a1j a1j+1 … a1ma21 a22 … a2j−1 a2j a2j+1 … a2m
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai−11 ai−12 … ai−1j−1 ai−1j ai−1j+1 … ai−1mai1 ai2 … aij−1 aij aij+1 … aim
ai+11 ai+12 … ai+1j−1 ai+1j ai+1j+1 … ai+1m
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amj−1 amj amj+1 … amm
m×m
Mij = det
a11 a12 … a1j−1 a1j+1 … a1ma21 a22 … a2j−1 a2j+1 … a2m
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai−11 ai−12 … ai−1j−1 ai−1j+1 … ai−1mai+11 ai+12 … ai+1j−1 ai+1j+1 … ai+1m
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amj−1 amj+1 … amm
(m−1)×(m−1)
Przykład
det A = 5 −31 7
= 5 ⋅ (−1)1+1 det[7] + (−3)(−1)1+2 det[1] = 5 ⋅ 7 + 3 ⋅ 1 = 38
A = [5 −31 7 ]
M12 = det [1]Minor dla elementu -3
Wybieramy pierwszy wiersz macierzy A, względem którego stosować będziemy rozwinięcie Laplace’a
M11 = det [7]Minor dla elementu 5A = [5 −31 7 ]
A = [5 −31 7 ]
Przypadki szczególne ułatwiające obliczanie wyznaczników
A = [a11 a12a21 a22]2×2
det A =a11 a12a21 a22
= a11a22 − a21a12
+
-