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1

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·cToTnf Tap leqJ8R U9!68~dxw el s3,-oOOVI~NnN]

RAZONAMIENTO DEOUCTIVO.- Se llama a aquel que .partiendode hechos o proposl

ciones Qenerales ve~dad8ras, permite lleQar a ccn-

•siguiente semestre.

'1Sin embargo, no obsta a Que esta conclusi6n SBa falsa en algún 8U~

(sta conclusi6n as verdadera, porque previamente se ha analizado

a cada estudiante, 9S decir ~ to~os los'componentes d. e8e conjunto.

EJEMPLO %.2.- O.spu's de aneliza,r108 datos de todos 108 estudiantes de Pr~

polit'cnico, concluyo: La8 edades de loe estudiantes da Prapolit'cnico da

la'Escuela Polit'cnica Nacional, fluct6an'antre los 18 y 24 ano~.

Este razonamianto es falso, pues sólo se ha analizado a una per8~

na del conjunto hombree.

\Conclusión.- Todos los hombres Bon futbolistas

EJEMPLO ~.1.- Zico BS futbolista

Se debe tener pre8ente que mientras m~8 casos particulares se anA

lize, la conclusión general tiene mayores posibilidades de ser verdadera.

S~8 pasos sana Observación, hipótesis, experimentación, inducción

o generalización, y formulaci6n de leyes.

Este tipo de razonamiento 8e utiliza en investigaciones, puee peE

~it~ formular una conclusión general llamada hip&tesis, la que d88PU~S de

demostrada se convierte en ley.

RAZO~AMIENTO INDUCTIVO.- Se llama a aquel que partiBnd~ de hechos particu­

lares, llega a una conclusi6n general.

RAZONAMIENTO.- Se llama al proceso que nos permite obtener una verdad, de

pr~miBa8 (proposiciones iniciales) verdaderas.

PRCPOSICION.- E8 un enunciado en el cual oe afirma o niega algo qua puede

ser verdadero o falso.

2

1,í

\

(

(

<.

l.,

"

f) :;¡i leo ls8 noticias antonee., estoy informado

No leo las noticias

Ccinclusi6n: No .estoy informado

g) ~i estoy 8n al cine entonces, veo películas

~JO estoy en el cine

Ccnclu516n.' No veo películas

Conclusi6nl Leo las noticias

e) ~i leo las noticias entonces, estoy informado

estoy informado

Conclusi6nl Hace frío

d) Si llueve entonces, hace frIa

LLueve

e) Algunas aves vuelan'"La gallina 88 una ave

La gallina vuela

EJEP1PLO 1.3.-

a) Toda estudiante tiene libros

Ana 85 estudiante

Ana tiene libros

b) fado hombre es honrado

Juan es hombre

Juan es honrado

A continuaci6n, hay varios ejemplos de razonamientos deductivos

q~e luego los analizaremos.

El m'todo deductivo permite comprobar si 80n verdaderes las concl~

9iones obtenidas por razonamiento inductivo.

\,sis es verdadera, la conclusi6n debe eerla tambi'n.

Toda conclusi6n depende da la veracidad de las hip&tesis, aí estas

son 'ala.s, entonces ra conclusi6n puede eerla tambi'n o no. Si la hip6te -

Clusiones particulare~ igualmente verdadoras.

3

PRINCIPIO DE CONTRADICCION.- Un ente no pueds¡ ~er y no ser al misma tiempo

b) Si leo las noticias estoy informado

leo las noticias

c.estoy informado

Leyes supremas de la 16gica

EJEMPLO %.4.- a) Todo hombre es ~ortal

Juan es hombre

Juan e9 mortal

El silogismo es la e~presi6n v~rbal de le daducci6n. se puede for­

mar 64 clasBs de silogismos, pero 8610 19 de ell~s son v&lidoe.

La expresi6n ~erbal del razonamiento es la argumentaci6n.

Las principales regrae que regulan este razonamiento. se las estu.

diar& an el capítulo de los m'todos de demostraci6n. y sa llaman reglas de

inferencia.

De estos ajemplos se puede, comprob~r que es necasario determinar 1~

yes, reglas y normas que regulen este ,tipo de razonamientos. y que permitan

conocer cuales son válidos y cual~s ne.

g) No e~ v'lido. No solamente en 108 cines se ven películas.

f) No 8S válido. Por la misma raz6n anterior.

e) No es válido. No es necesario leer las noticies para estar informado,

pues, se puede oir y ver las noticias.

c) No es válido. °e un hecho particular, no se puede sacar conclusiones.

Al admitir que las d08~p~emisas son verdaderas,d) ES ~'lido y verdadero.f ~

necesariamente se debe aceptar la ccnclusi6n como vqrdadara.

b) No Be válido. Si se parte de una propoeici6n felsa no es posible dater·

minar si la concLua í én es verdéider.ao falsa.

ANALISIS;

a) le válido y verdddero, de una proposici6n ger.eral verdadera, se obtiene

una conclusi6n particular verdadera!

4

EJE~PLO 1.8.- Si 8a afirma que a/a a 1 debe seR por elgo, y e8e algo 8e hA

ce presenta 8n la demostración de este teorama

PRINCIPIO DE RAZ,ONSUrJCl~NTE.- Todos los julcio~ son verdaderos o fals06,

por alguna 'razón.

- 5610 uno de los dos deba ser verdadero, cualquiera de ellos.

X I 8yx :;: 8

EJEMPLO ~.7.-Juan as hombre y no es hombre

verdadero (P o no P).

verdad

talso

Juan es hombre

Juan no es hombre

PRINCIPJd DEL TERCER EXCLUIDO.- Exprasa que uno de 108 Juicios determinados

an el principio de contradicci6n debe ser

2 ..2EJEPlPLO%.6.-

PRINCIPIO DE IDENTIDAD.- Todo ente 88 igual a. sí mismo

x • 8 Y X, B

EJEMPLO 1.5.- Si X = S, no pod.m~s afirmar qua:'

EJEMPLO 1.4.- Juan as hombre

Este principio n08 dice Que no popemos afirmar que:

Juan es hombre y no 98 hombre.

(P y no p).

5

METaDO DIRECTO.- Demuestra la tesis (conclusióÓ), partiendo da 188 hip6te­

eis (premiaas) dadas.

Los principales métodos de demostración que e~rvo para el estudio

de las matem&ticas 80n:

Se llama ta~b1én damostración, a¡ encadenamiento de propos~cione8

que nos permite tener otrs,llamada conclusión.

Ot,RADEF'INICIONsEs un razonamiento con el que se prueba la verdad o fale,!

dad de una proposición (tasis).

DEMOSTRACION.- Es un proceso que va de las premisae (proposiciones inicia­

les) a la conclusión.

fIIETODO.-Se llama al plan de trabeJo, y el plan defiera c!eltipo de traba­

jo.

Para estudier Matemáticas, en forma axiomática, da acuerdo al pro-

,p&sito de Bste libro, 'se dsba aceptar como verdaderos los términos defini­

dos, no definidos y los axiomas dados, mientras que para acepta'rlos teor,!

mea, éstos ~eberan sar demostrados previamente ueando métodos de demoatra­

ci6n y razonamientos válidos senaiados por la l6gic8.

1.- Un conjunto'de términos no definidos. EJEMPLO, Punt!l.

2.- Un conjunto de términos definidos, usando loe términos no definidos.

EJEMPLO, Recta.

3.- Axiomas o postulados, formulados en base a los términos no definidos y

definidos.

4.-'Un conjunto de teoremas, usando los conjuntos anteriores, t'rminoe nodefinidoe, detinidos, axiomas y postulados.

ILas matemitic8s sa basan en.

Las matamiticas usan la l&gica par~ forma~ su estructure, y por ~

110 S8 dice que Bsta ciencia tiene uniSestructu,ra16g1ca.

ESTRUCTURA LOGICA Ql ~ MATEMATICAS

6

)

,En,las p'ginas 74-80, sa tratar' con mayor amplitud y con"".,eJI

plos BStOS conceptos.

~ETODO lNDIRECTO.- Demuestra una proposici6n, poniendo de manifiesto la;

contradicciones o absurdos 8 que 8e llsgaría de no a~mitirla como verdadera.

7

, .-

!t

I

La l6gic8 eimb6lica está dividida 8n cuatro etapas:

1. Pre-historia, que 8e extiende desde Leibniz (1662) haata 1847.'

2. Período de 8001e, desde 1847 hasta la aparici6n de la obra de Schroeder

(1895)

3. Período de frega, desde 1879 hasta la apari~i6n de "Principia Mathemati

ca", de "u8s11-Whitehead en 191Q - 1913

4. Período reciente, desde la publicaCi6n de la obra MPrincipia Mathematica'

hasta la actualidad.

Con eeta innovaci6n, 88 puede representar cualquier definici6n o

teorema que pU,diereescribirse 'en algunas lInees, en·tan sólo una o dos 1ineas, adsm's S8 ~9duC8 las·ambigüedades que puede presentarss con el uso

del lenguaje comú~, y m's aún si es necesario hacer alguna traducci6n 8 o­

tro idiom3.

campo.

Se pudo verificar que la 169ica casi exprss8oo, en su totalidad en

palabras, no hacía posible una flcil aplicaci6n sobre 108 tamas matemlticos

cuyo procedimiento y desarrollo S8 quería comprobar, por ,lo que S8 introdu­

jo símbolos que representan las definiciones y reglas dadas ·por la L&gica,

cre'ndoa8 por consiguiente la L6gica simb6lica, llamada 'lógica matem'tica,

tal vez por la activa participación que tuvieron los matem~ticos en este

En el siglo XVII se introdujeron nuevos capítulos da lae matemltl

ces como, el c'lculo infinitesimal, la geometríe snalítica, y fu' menester

comprobar.si los razonamientos empleados y los teoremas demostrados er&n

correctos o no t por lo que se recurri6.a la L.6qicaque 88 la qua regula ydetermina las clases de razonamientos y si son vIlidos o no.

INTRODUCCION.- Los concepto$ anteriormente vertidos y otros como 80n, laa

regles de inferencia o razonamiento, no permiten aplicarlos

con claridad y facili~ad en las matem'tlcas.

lOGICA SIPlBOLICA 1MATEMATICAlOGICA

8

RESULTADOs Son verdaderas las oraciones a, b; es falsa la oraci6n c; no se

puede determinar si las oraciones d, e, 9 80n verdaderes o fal­

sas, f puede ser verdadero o falso, pero e~ nacesario conocer a ~ue calle8

oe refiere.

a) Cuatro m~s dos 9S igual a seisb) El Ecuador está en ludam'rlca

c) Tres menos 'dos es cuatro

d) D6nda estoy?

e) Quiln dicta clases a·domicilio'?r) Esta calle es más larga que la de allág) Camina!

EJEMPLO 1.1.- Determinar si es verdad o falso las siguientes oraciones gt~

maticalesc

Sln necesiaad de conocimientos compi1.icadoso difíciles, se pus'de

determinar sl algo que se dice o se lee 8S verdad o falsa, y se considere

que se ha hecho un razonamiento l6gico, por ejemplos

En eate capítulo estudiaremos los símbolos de uso com~n y de int~

I"S matam~tico, estos símbolos que tienenla característica de unir rarol'o.!

.ciones simples para formar otras compuestas, sus propiedades, sus valores

da verdad.

Era el anticipo de la 1'6g1casimbólica creada por 800le en el si­

glo pasado (3)

Eran los primeros elementos da su characteristica Universalls. Bu!

caba -como lo escribiría m's tarde- "un m'todo general e~ el cual todas las

verdades de la raz6n estuvieran reducidas B una especie de c41culo. Al mi~

mo tiempo sería une especie de lenguaje o de escritura univarsal pero Lnfi­

nitamente m&s diferente de todo lo que se ha propuesto nasta ahora, ya que

los símbolos, como también las palabras, guiarían a la raz6n; y los errorea,

salvo los da hecho, serían puramente de c'lculo".

NOTA: Leibniz a los.16 a~06 emprendi6 108 estudios de L~gica, haciendo 108

primtros apuntes para reformar el sistema con el que entonces la pfel'

sentaban lo~ fi1680f08 escol'sticos.

9

I

EJEMPLO 1.4.- ~ete libro es de ~eometr!a.

(sta proposici6n tiene como valor de ve~d8ds falso, o simplemente f.

VALOR DE VERDAD.- Al analizar lo qu~ dice un enunciado, se puede dsterminar

c9ai instantlneamente ai as verdad o falso; el resultado

de juzgar a Bstos enunciad~s, se lo conOC8 como "valor de verdad".

X ..2 lO 6

X',> 7

El 8a mis alto que yo

EJEPlPLO1.3 ...

adicional.

PROPOSICION ABIERTA.- Es aquella proposici~n de la que no se puede indicar

al es vardad o falso, por faltar alguna especificaci6n

La proposici6n cerrada puede ssr simple o compuesta.

r rV

V

5 • 2> 6

X = X3.2=4.'

EJEMPLO 1.2.-

PROPOSICION CERRADA.- Se llama al enunciado cuyo valor de verdad es verdad

o falso (V o r)

(

( 'PROPOSICION.-Se llama al enunciado, el mismo que puede ser verdadero o feAso (debe tener uno de los dos valores, no los dos 8 la vaz).

NOTA: De lo anterior se concluya qua. no toda oraci6n puede ser enunciado.

1 ~II

.ciados, las otras oraciones no son enunciados, pues no afirman ni niegen n.,!

da.

Del ejemplo '.1, las oraciones gramaticales a, b, c, r, son anun-

ENUNCIADO SIMPLE.- En una oDac16n gramatical, una aserci6n verbal, que afi~

ma o niega algo.

10

na l;;tee r.d luO

p A q ,ConJunclón.- "y"• •I OJQMJC 3

OPERADORES lOGICOS.-

NOTA. No es posible determinar el valor da verdad de enunciados compuestos

si no ee conoce" las propiedades de la8 operadoras.

COMPUESTA.- Se llama al enunciado compuesto que puede ser \~¡dadero o falso.

PROPOSICION

IRESULTAOO.~ Son enunciaQos compuestos 8, b, d, ei no es anunciado compuesto

c pues tiene dos oraciones que no son enunciados simples.

a) dos mIs cuatro BS igualaseis o uno mIs uno no a~ igual 8 dos

b) Quito Bstl en el Ecuador y en Europa

e) Qui~n eres? y dónde vas?

d) Si tres es igual 8 tres entonces dos no as igual a cuatro

e) Pedro es m's alto que Juan o 2 - 4 • 6, pero no ambos

EJEMPLO 1.50• Determinar cueles son enunciados compuestos

\.

, I

ENUNCIADO COI'lPUESTO.-E. la uni.!nde enurclados simples, con un aparador IS~ 91co (conectores lógicos), excepto roanla negación, \,

(no). Los conectores sonl •••••y ••• ; •••• 0 •••• ; si ••••entoncea••••' ••."siy sólo si••• ; ni •••••, .,••••,••••••D•• ~., pero no ambos.

Quito 8stl en el Ecuador, se puede substituir por p

luito estl en Sudamlhica t por q . ,Quito 8st4 en el Ecuador y en Sudam~rica se puede reemplazar por. p.'.y q....

NOTA I Todo enunciado simple S6 puede reemplazar por latr.•• (1', q, r, •~. )

Del ejemplo anterior se determina que una proposición tiene de

posibilidades, Ser verdad o ser falso.

Este libro no ~s ae G$ometr!a

IEstaproposición tiene como valor de verdadl verdad, o simplemente V.

11

RES

mis

dar

Quito est~ en el ~uador y en América

Siguiente enunciado com-EJEMPLO 1.8.- Determine el valor de verdad del

puesto

p q P A q

V V UV F F'

r V F

F' 1) 'f F

PROPIEDAD FUNDAMENTAL.- Si ambos enunciados son verdaderos, la proposici6n

compuesta es verdadera, en todo otro C8S0 es falso. EJEn

Esta propiljldad la podemos resumir as!' q eE

debe

RE5P

EJEM~

q

por 1

EJEMPJ

p'ropie

Quito

Quito

Reempl¡

a) Este libro es de 1u!mica, pero estoy estudianco L6gica matemá­

tica.

b) 2 - 3 = 5 pero 4 - 2 = 7e) Tomás es más alto qua Juan, aunque, Juan 88 mayor (en edad)que

Tomás.

d) Quito está en la Provincia de Pichincha, no Obstante, Ana 8S

guaya'quilena.

EJEMPLO 1.7.-

Se puede utilizar en vez de V mayúscula, las Siguientes palabrasl

"pero", "aunque", "sin embargo", "no obstante".

Este libro es de Química y estoy estudiando L6gica Matem'tica

l'

Se puada form.~ el enunciado compuesto

Este libro es de ~u!mica

Estoy estudiando L6gica 'Matemática

EJEMPLO 1.6.- Sean los enunciados simples

tos enunciados, uniendolos con el conector y.

Dados dos enunciados simples, S8 puede formar la conjunct6n de e~

12

p o q, p V q,,'o" •"

DISVUNCION'.-

RESPUESTA ... Ningún valor de verdad de ,p hace que q ~ p sea verdad.

Según la propieda~ fundamental .q A p es verdad si q y' p son verd.!,

deros pero, al decir que q es faleo es imposible que q ~ p sea verdao, lo

mismo que al decir que q A P B~ verdadero ea imposible que q sea falso.

q es falso.EJEMPLO 1.11.- Sea q A p verdadero, determine el valor de verdad de p, sl

) "

RESPUESTA.- q as falso

De ac~~_r.Jdgo._,al cua~ro q,ue ~repr.eselftta ..la prqpiedad )lf~'lda~ent~l ~qdebe ser falso.

¡'EJEMPLO 1.10....Sea p A q falso v: p verdad datarm'iñe el valor de verdad da~q

p q p A q\1 ? F'

De ac ..uerdo a la propaaded fundamental' de conjunci6n V y f es F',_por lo Que esta enunciado compue stc es r also. I

r r.-";: 1

es V; Fes

y3 ... 2 = 5EJEMPLO 1.9....

Este enunciado compuesto es Verdad (UJ..,

IP A qV

q

VP11

El enunciado compuesto lo denotamos por: P A q, y de acuerdo a la~ropiedad fundamental se tiene que:

~uito está en el (cuador por p, valor de verdad V

Quito está en SUdam'rica por q, valor de verdad 11-

Reemplazamos los enunciados por letras, y determinamos BU valor de vard._.

13

1I

'~

Podemos determinar que P es falso, y que q es verdad, por lo qUe

~,I )cuardo a 1a propiedad fundamental. el enunciado compuesto es terdad.

EJEMPLO 1.14.- Determinar el valor o~ verdad de s P V q.

si PILa n~ranja as un mineral.

q • El vidiio no as un metal.

valor de verdsd de 8CU8~do a la ~ropiedad fundamental es ralao.

El enunciado 6ompuBsto est' representado por p o q, (p V q), suí\

I ¡EJEMPLO '1.13.- Determina r al valor de vardad del siguiente enunciado cam-pU8St.O. 2 + :5 = 6 o 4 + 2 = 7

,.....

'1Pt 2 + 3 = 6 valor de verdad f, ....

I 4 + 2 1: 7 valor de verdad rq

vV

V

F.'

p y q

1,

~(..... p q1

~ Vr V r

r V

I(-; r, r

PROPIEDAD fUNDA~ENTAL.- Es necesario que loe dos enunciados simples seaní~\ falsos para que! el anunciado compu.sto sea falso.

ooa) 4 - 2 1: 7

. f) 3 + 2-. 5

(

8) Vivo en Quito o estudio en la Polit6cnica Nacional

b) Trabajo o estudio

e) Yo estudi~L6g1ca matam'tica o me voy al cine

d) Quito est' rodeada por volcanes o Guayaquil está en la Slerr~

ecuatoriana

""~'EJ(I'1PLO '1.12.-

Se puade unir dos anun~iad08 util¿izando la conJunciólII"o", entr¡a,

14

·'

(

(

NOTA.- A manera de sugerencia si se quiere utilizar la disyunci6n exclusiva

ss pOdría notar así p ~ q, lo que nos daría la idea de o exclus~va.

( 1 _+ 3 = 5) ! (1 + 7 :: a) ~

58a; pi 1 + 3 • 5 P es falso Fql 1 + 7 :: 8 q es varClad V

de acuerdo a la propiedad fundamental el enunc~ado compuesto es Verdad (V~.

EJEMPLO 1.16.- beterminaf al valor de verdad de:

da acuerdo a la propiedad fundamental esta enunciado compuesto e8 false (r}e8

vV

espi 4 + ? = 6

q: 2 '+ 4 :: 6

p ! qRsemplazando por símbolos queda

(2 + 4 :1 6)!(4 + 2 :: 6)

E~t8 anunciado compuesto pueee simbolizarae así.

o 2 + 4 m 6,'pero no ambos

(JEMPlO 1.15.- Determinar al valor da verdad de:

p q p ! q

V V rV r V

r IJ { V

r F' r

PROPIEDAD fUNDAMENTAL.- Si los dos enunciados 90n verdaderos, o 108 'd08 .o~

falsos, el enunciado compuesto es falso.

OISYUNCION EXCLUSIVA.- \"p o q!', paro no amb~8; p ! q

vo, 88 decir Que ambos enunciados simple~ deben ser falsos para que el anuD.

ciado compuesto sea falso (ver la propiedad fundamental de la disyunci6~)~

La conjunción "o" debe utilizares solamente en el sentido inCllu8!\

NOTA.- En muchas ocasiones lleva a un resultado ambiguo, y no a un sign~r!

cedo uniforme.

15

q es nace.ario para p

p es 8uficiente para q

y ae lea :

Si P antoncss, q

.31 P , q

P S'610 si q

ESea p y q dos anunciados, la proposici6n condicional e8 P ........ q,

CONOICIOf04AL.- Las proposiciones unidas con el conector condicional, son

importantes y muy utilizadas en Matem'tic8a.

ea una afirmaci6n absurdap-q

NOTA .- La ne9ac16n no 8~ un conector 88 eimplemente un operador 16g1co; e8

deCir-qua no une do. anunciadoa.

bida a qua niegua lo que afirma p.

a) 2 +, :5 , 5 ( 2 más 3 no e. igual a 5 )

b) Ea falao que 1- 2 .. :5 • 5

e) No 8a verdad qU8 . 2 + :5 • 5.I

.),b),c),tl valor de verdad de p 8.. V, Y al valor de es r , da-

EJEMPLO1.17.- Sea p 1 2 + :5 • 5' ; escriba la negaci6n de aste enunci.,!

do.

e,.

dEn Bate cuadro, .8~ha tomado en cuenta dos posibilidades, que

son 1_a8qua corre.ponden a una proposic16n simpla, como lo 8a p. No as!cuando 8a refiara a dos proposiciones, en lps que habrl qua considerar

cuatro posibilidad •• ( val' propiedade8 de la c~njunci6n y da la diayunci6n)

'11',

~, De todo anunciado a8 puede formar otro queo diga todo lo contra­

rio; con_tituy'ndo8e en una negaci6~; al al enunciado e. p, sa puéq. fOAmar otro enunciado que niegua ~ p ~.

, 16

RECIPROCA OEL CONDICIONAL. - La recíproca de p- -)q es q ~ P. esta scgu,!l

da ~roposici6n no necesariamente ser6 ver~ade~a

~,

8e96n la propiedad fundamental, si p es V, y Q as f, el enunciado eompue$~O

8S falso (F); los demás son verdaderos.

es

es V

rSea p: 2 + 3 + 5 = 10

q: 2 + 3 = e

El segundo enunciado compua~to es falso.

a) {I "" {I implica qu.e 2 + 2 = 4 ,b) Si 2 + 3 + 5 = 10 entonces, 2 + 3 = 8

e) 2 = .2 solamente si, 2 + 4 =-6

d) 1 = 4 impÚca que, 2 - 1 - :3

,EJEMPLO 1.18.~ Determinar cual de los siguiente enunciados compuestos es

falso.

-'

,p q p~ q

V V V

V f F'f V V

r f V1

En la siguiente tabla S8 resume las propiedades ~el eon lcional.

..

Si la premisa es falsa, no S8 puede determinar el valor de la con­

clu816n, (una premisa falsa no abliga a que. la conclusi6n sea verdadera).

fn asta caso, se considera que el condicional es verdadero, ya Ses que la

eonclusi6n sea verdadera o falsa.

Pero, si la premisa es verdadera, y la. conclusi6n "es falsa, el co.!!.

dicional 9S falso.

"verdad).

PHOPIEOAO.- Si el conQicional y la premisa son verdaderas, necesariamente•

la c"~iflu8i6n lo ser~ también. (si p es verdad entonces, .:¡ es

A la proposici6n p se le c~noce como antecr~dente, premisa o hipót!

sis, y a q se ie'llama consecuente, conclusi6n o tesis, respectivamente.

17

SOLUC

PROPIEDAD rUNDArwlEN1KL.-El enunciado compuesto es verdadero si 101 dos en ull

ciados 80n verdaderoa o fa1808.

(JEPlP

BICONDJCIONAL.- "p si, y Bolamenta si q" J P ~ q

~8t8bl.ce una doble condici6n entre dos anunciadol, que P implique

a q y que q impliaue p.

A~BAS PROPOSICIONES SON VEROAOERAS

CONTRARECIPROCA.- Si manana no a. mi'rcoles, hoy no .1 Iftarte••

CONDICIONAL.- S~ hoy 8e martas entonces

CONJU

VardadCO~TRARECIPROCA.- X , 2 ~ X2 J 4

VardadCONDICioNAl.- X2 11 4 .----) X. 2

EJErwlPlO1.20....

SOLUC)Ca contraracfproca tiene .iampra el Iftiamov81~r q.ue .1 del condic 1,2

CONTRARE·EJPROCA.- P --+ q tiane BU contrarec.{proca qUI 88 e1mboliza como

EJE"P

Si X :: 2 entoncea, X + J • 5 "erded

Si X + 3 a 5 entonces, X a 2 Verdatt

verdad ; q ~P Verdad

:5 ~ :5 2 + 5 • 7 V.rded

2 + 5 • 7 3 J 3 ral80

Verdad q --+ P raleo

Condicional

Re~!procap ___.. q

Condicional

Rec!proca

p ~ q

' ",

en el caso d. que el condicional lo sea, (p&g 36)

18

SOLUCIO~:

EJEMPLO 1.22.- Determinar el valor de verdad del siguiente enunciado com

puesto J

a) ni 2.3 1: S, ni 1+ 2 = 3

b) (1 + 2 ~ 3) ~ (3 + 6 ~ 9 )

EJE"PL'O 1.21.- Oeterminar la verdad o falsedad d~ los siguientes enuncj..:,dos

a) 2 + 4 r: 6 si, y solamente si, 4 + :5 = 7b) 2 + :3 ..8 si, y solamente si, 4 - 5, = 6

e) ( 1 + 2 1: 4) ~ (3 + :5 .. 9 )d) ( 1 ,+ 1, 1: 2 )~( 2 • 3 r: 7)'e) ( 1 • 3 .. 4)~( 1~- 3 11 - 2 )

SOLUCIONa) 2 +4 ..6 V; 4 • :5 l¡r 7 v p'~q es Vb) 2 + 3 :1: 8 r; 4 - 5 • 6 F' · p~q B8 Vt

e) I 1+2.4 r, , 3.3.9 r · es V -;

P q t p'~qd) r I 1.1=2 V; ;" I 2.3 11 7 f · 'r.........s es rt

a) .t I 1.3.4 r,; u . 1-3 lIr -2 V · ·t~u 8S f• ,

CONJUNCION NEGATJUA·.- ..ni P. ni q".; ..no'P y no q " . p ~ q,

PROPIEDAD fUNDAMENTAL .""1 El enunciado compuesto 9S va'rda~ero. si los dos

anunciados son 'als08,

p q p~q

V V V

V r· rr v rF' r V

..

p q P~ q

V V f

V F' F'

F' V F'F' r V

19

f lE"MOLe 1.24...."Hay .rcaasJC )8.$"

qua Iverd¡

CONCLUSION.- Un enunciado puede ser verdad ~ falso, por lo que el enunciado

compuesto tiene una 801a posibilidad de ser falso o verdad.

El polinomio booleano depende de sus variables, por lo ~U8 hay que conside­

rar todas las posibilidades.

:5Si depende de tres variables (p , q, r), 'n == 3. 2 .• B ; el polino ....

mio tiene B posibilidades de ser verdad o falso, por lo que se debe consi­

derar B formas de cambiar los valores de verdad de las tras variables.

en que se pueden cambiar los valores de verdad de les dos variables.

4, hay 4 forma.51 depende de dos variables, entonces n ~ 2; 22 ==

q , er

,,",aTA;Da forma general se puede determinar qU$ el nt1merode posibilidades

que puede tener un polinomio de ser verdad (V), o falso (F), en funci6n de

SUB variables eetl dado por 2n, siendo n el n6mero de variables que hay

en una proposic16n, as! tenemos que: Si un polinomio depende de una varia­

ble n = 1; i = 2, con lo aúe 88 comotueba que un enunciado tiene dos posl

bilidades, ser Verdad o raleo.

Cada variable representa un enunciado, pero se desconoce su valo~

de verdad, si en al polinomio hay dos variables se debe considerar que a~­

bas pueden ser V o F, pero tambi'" hay la posibilidad de que la una sea V

y la otra aea f, o lo contrario la una Sea f y la otra V.

sibil

El valor.de verdad de 108 polinomios estl dado por .el valor de VIB.!,

dad de cada variable y las propiedades de los operadores.

EJEMPLO 1.23.- p ~p,q,rtStt). R(p, q, s)

A los polinomios se les representa por letras may6sculas P, Q, R'··

algunas veces indicando las variables de las que dependen el polinomio.

'tian.~aLINOMIoS BODLEANoS.- Esta constituIdo por variables (p, q, r, 8, t, u) ~

nidos por conectorls.

F;

pq: 1 + 2 = J V;

f; Sl (3 + 6 F 9)

2 + 3 1: 5 V;

(1 + 2 F 3) 8S . V~ q es

r ~ s.í) pI

b) rs

20

V

V

f'

r

vV

V

V

rq

pip, q, r), es un polinomio que depende da tresvariablB8, por lo

que hay que consider,ar8 posibilidades (23 = a), de que el.polinomio suverdad o falso.

p (p, q} Se trata de un'polinomio que depende de dos variables p y

q, en consecuencia hay que co'nsiderar4 posibilidades.

• r '"

p j q o p q

V V ·V V

V r F' V

r • V V F'f' f' f' f'

p(p, q )

22 = 4 . '

f'tIOTAs p(p) indica'que S8 t~Bta da un polinomio que solo depende de .p" 2variables

Se de~conoce que enur:tciadorepresenta "p", por lo que tiene dos P,2sibiUdadas ser verdad o ser felso.

p

V

r.. J,. ..

"1 variable,

E8t~ enunciado carece d~ variables (O).

2° = 1

'tiane una sola posibi~idad, 8er verdad.

21

vrvr

fvI~ q

Desarrollaremos la tabla de verdad por el primer m'todo.

SOLUCION.- P q, es un polinomio por lo que debemos considerar todas las

posibilidade~ de ser falso o verdad; en vista de que dependa de2dos variables n = 2, ~ • 4, hay 4 formas de combinar los posibles valores

de verdad de cada variable.

EJEMPLO 1.26.- Desarrollar la tabla de vérdad deNP A ~q

Es posible desarrollar las tablas da verdad de dos formas diferen­

tes, debiendo el lector elegir cualquiera de ellas.

TABLAS DE VERDAD.- Es una form~ simple u concisa de indicar el valor de ve~

dad de un polinomio. en funci6n d~ las variables y"de 1

los conectores que las relacionen.

SOLUCION.- a) y c) son enunciados, pues no dependen,de ninguna variable,

b) 8S un polinomio, no sabemos que enunciados 80n representa­

dos por estas varia~l88, por lo que hay que considerar las 4 posibilidades

que tiene el polinomio de ser verdad o falso. d) 8S una proposici6n cerra­

da 8~mple (enunciado simple)

a} 3 .. 4 8 6 Y 8 + 7 ::11 15b) P A qc) (p ~ q ) ---¿ r; siendo pi 3 + 4 • 1; q,2.S8e

r

d) 2 + 5 1: 7 V .r S 3 + 7 ;:: 5

EJEMPLO 1.25.- Indicar de los siguientes ejemplos, cueles son enunciado••

cuales proposiciones y cualG8 polinomios.

vr 1\vr

vvrr.

rf

rr.

22

.Se desarrolla cada par'nteBis y luego se hace ~a conJunci6n entre &stos.

(r y t)(r A t)

y

A

(p o q)(p y q)

2 + 1 = -3 o 4-3111 , Y 2 = !l Y J - 2 = 1

S. simboliza los anunciados con variables

p o q. y r y t

y se deber' desarrollar en él siguiente arpen

b) Si un enunciaso compuesto 8St& dividido por "coma~ (,)", B8 debe deter­

minar al valClrde verdad de 109 enunciados que Bstán a,nteade la coma y

d8SPU'S de la misma, antes de unirlas con ls conectiva prinbipal. as!:

,a) Si lea proposiciones o polinomios unidos por conectiva. est&n encerradas

entre varioe par'nteala, hay que de8arroll~r el valor de o~erdad de 108.par'nteeis internos, de id4ntica forma que en Algebra.

ORDEN DE LOS OPERADORES.· Es necesa~io considerar un orden en el que 8e da­

ba desarrollar la tabla da verdad del polinomio,

y pera ello 88 fijan lS8 sigu1ent8s reglasa

°Ln las columnas 3 y 4, 8e niega lo que afirman las columnas 2 y 1

respectivamente, pAr Gltimo obtenemos la columna 5 realizando la conJunci&r

antre las columnas 4 y 3 (da acuerdo a la propiedad fundamental de 8ste co­

nector). El valor de verdad de la propoaici&n eat4 dadd por la ~ltim. co­

lumna (5), F', F, r, _V.

p q - p' A - qv v r v f f V

V r r v r v rr v v r f r vIl l'r r v F V V r1 ~ 4 1 5 3 2 .

23t

ti ¡

V r. f" V rf" V V r ff r V V V

,SEGUNDO METCbo

..

L

p,

.)a) [ep V q) A N (q A p) ] .--. (13 y q)

b) -13 Y q ~ p A (p y ,...q)e) p -+ q t----+....,pV q ---+ P A ,..,q

d) La naranja .asmineral o el .tomate es fruta, y la naranja &S ml

neral.

EJEMPLO 1.27.- D.terminar al orden en que debe consi~ar8rge los conectores

un los siguientes enunciados y proposiciones.

d) E

1S

Si del ejemplo anterior 88 pide desarro11at' la conjunci6n de le ptopos,!

c16n p A q Y q ---+ p , quedar' as.!:

P A [(qO ~ q) -) P ]

(q---+p)v(p A q)

El con.etor predominante 8S la disyuncitSn por lo que se pueda indicar elordan 8 seguir mediante par'ntssie.

I

d) rinalment. en el e8'.0 In que e. tenga una proposicitSn o un polinomio SlJ:l

par'ntlsls o comas, se puede indicar_cual es la conectiva predominante,

con lo que se alterarle parcialmR~te el orden indicado en el litaral e),

ejemplos.

Realizar la disyunci6n de p A q Y q -+ p

c.)

ella negaci6n es el conector m'a ·d4bil por lo que 88 deber' negar p~

mero, entes de Incontrer el velar de verdad d. los otros conectora •• ~~.ntn

lo indicado en el literal a) ver ejemplo 1.28,· 1.29 Y 1.44.

minar.

NOTA.- Los conector~B ( y , A ). tienen igual potencia, es d.cir que muchas

veces esr' nec&sério especifica~ cual es el conector que va a predo-

el

A 'r --+ 8; '39 fijar' el orden a seguir, siendo el misino qUI8¡/

Si 8e pide rlesarrollarla tab'la de verdad de la siguiente proposición

,

oc) Si no hay coma. ni par'ntssie, ~B debe desarrollar la tabla da verdad en

el siguiente orden, de acuerdo a' la potencia de 108 conectofes - p y

24

moel s8Ralado en el lit-ral' c, por lo que aste polinomio SB Donviette sns

[( ,.., p y q) A r]~ 8; tambi'n [_p y (q A r.)]- ---+ 8

Y luego se aplica lo indicado en 8~ literal a)

a) o. la misma forma anterior

La naranja BS mineral, o el tomate es fruta y la naranja 8S mineral; 8S

posible upresentar por p y (q A p)

d) El signo (,), .n09 indica que se debe desarrollar al enunciado antes da

ls comB, y luego se d~be desarrollar la disy~nci8n de estos enunciados"

Sea p~ la naranja es mineral, y ql 81 tomate es fruta; podemos represen­

tar el enunciado Bsís

L~ naranja es mineral o el to~ate es fruta, y la naranja es mineral por;

(p V q) " p

( ,... p V q) __. [p A (p V ,.., q) ]e) El bieondicional y el condicional son las conectivas más fuertes por lo

que primara se debe desarrollar la tabla de verdad para las conectiuas'

mis d~biles. Se expreaa al orden 8n qua 8a debe sRguir madiante los pa­

r'nt.sis, 'de igual forma que en el literal a).

(p___' q) ~ [( IV P Y q) ----t (p A ....,q)]5. debe dahrminar al valor de verdad de -p y de _ q, luego ( - p V q)

y (p ft _,q) despu's. ( ,_ p y q) ---+ (p A _q), se encuentra al valor di.

verdad del condicional p ----+ q, y f inalmenta !!ladasarrolla la tabla de ,fa.!:dad de estos polinomios unidos por el bicondicional

(p ~ q) ~[( "." P V q) --+ (p A -q)]

b) Hay que determinar el valor de verdad de...p y",q, luego ( _ p y q); de.!.

puh p y _q; posteriormente al valor de verdad de la conJunci6n

p A (p y ......q); y se determina encol)trandoel valor de verdad del cond,!

clonal

(p y q) A,v(q A p), finalme!lp V q; q A P; -(q A p);te S8 encuentra al valor de verdad de

[(p y q) 'A - (q A p)"] -~)o (p y q)

SOlUCION.- a) Se debe desarrollar p V q, luego q ~ p, negar este polinomib.

y ru1izar la conjunci6n con el polinomio,anterior, y por ~lti·

mo encontrar el valor da verdad, entre 'sta conJu~ci6n y p V q unidas po"el condicional.

e) La naranja es mineral, o el tomate es fruta y la naranja 8a

mineral

f) Realizar ,el condicional de la proposicilSn p ~ q ~ p

g) Determinar la disyunción de p V q ft PAr ~ q

25

SO,LUCION .... De acuerdo al orden d. los conectorls. debemos desarrollar el p.!.

rlntesis intarno,-y luego negar este polinomio.

p q - (p V ,..., q)

V V F' V V r V

V f r V V V F'f." V 11 ~ r r V

ElEJEPlPlÓ1.29.- Desarrollar la tabla di vlrda~ del polinomio

-(p V "" q)

8icit5n.

La columna 5 da 81 valor da verdad dI.la disyunci6n de esta prop~

y s. procede a dlsarrollar la tabla de verdad

P q (p A q) V (q ~ p), ..

V' V V V V V V V V\ ,

V F' V ., F' V r V V

r V f f V F' v F' r- r f, F' F' r V F' V F'

" 2 1 :3 2 5 2 4 1

p

d

YJ(q ~ p)(p A q) V

SOLUCION •• Ln el ejemplo SI da da dato que la disyunci6n 88 la conectiva mi.fUlrtl, por lo que el orden 8 seguir serl.

d[DEPlPlO1.21:1.- Encontrar -11 valor dI!verdad de la dieyunci6n, en 11 sigui.!!,

t. polinomio

p A q V q ~p ,

n

g) En lettlcaso, la conectiva dominantil 8S J.a conjunci&n pO,rlo que la ~l~

tima tabla de verdad debe ser la correspondiente 8 la disyunción de l~.

dos ~ltimD. polinomios.

p .Y [(q A (p A r»--+q]

,te 18 el condicional, por lo que el orden a seguir BS

(p +---+ q) ---+ P

r) En .1 enunciado da Istl polinomio nos indica que la conlilctivapr,ldcmina!!.

26

El resultado ~el desarrollo de eeta ~ao!e ~. verdad, consta en la

p q (p V q) A ,., ,(q --i p)

V V V \1 V r r V V V

V r V V r f r f V V.r \1 f V V V V V r f~r f r r f f r f V "

-1 2 1 5 2 6 4 2 3 1

(p . V q)EJEMPLO 1.:31 .... Desarrollar la tabla-d. verdad del

La columna 4 da los valores de verdad de eate enunciado compuesto.

p q p ~ (q V p)

\1 V V V V V V

V r V V r V V

r V r V V V rr r r V r F: r

1 2 1 4 2 :5 1,

~ ~ q V p es equivalente 8 p ~ (q V'p)

EJEMPLO 1.30.- Encontrar el valor de verdad des p~q V p. Para des~rr~

llar la tabla de- verdad necesitamos f·ijarun orden a eeguit.

por lo que recurrimos al orden da las conectivas. e~ consecuencia debemos

desarrollar la disyunci&n entra q y p, luego al condicional entre p y ,la di~

yunpi&n ante~ior.

nen las dos variables representadas por p ~ q. luego S8 desarrolla le colum, I -

na 3 negando lo que afirma q; posteriormente se obtiene la columna 4. real!

zando la disyunci&n entra p y no q, para terminar ~e desarrolla la columna

5, negando le que afirma la columna 4. El valor de verdad de este enunciA

do compuesto Bstl dado por la colu~na 5.

27

r r r v v

I : ·11 2 5 1 4 3

En las columnas 1 y 2 colocamos'laa,posibilidades (V o r ) que ti.

Es un ~

ra pol

RESPLtE

CONCLU:

potino

EJEMPL

namio

lo,

t""nt~~rltcr'~n nara datermina¡EJEMPLO "1.34.- Determinar si pi ... O ... -

1 \es falso para-todos los caS08.

, t

CONTR~OICCION.- S. puede decir que un polinomio es una contradicc~~n, sitiene 8"610F' en ...u 61tima columna, es dec! r si el polinomio

I

mada'e6lo por V.,

columna (S) esta fo~Si .,8 una tautqlogía-;dl!bidoa que s~ última

- "'."" ~.~ .•

(p I ., A q) r,(p' y q)p.

• C' q ~V V V V V V V V V-

'¡Ir ~ .. '.~. ¡j r ,1' \1 " ") F' ! 'F' • V V V F'l·

r: 'v F' r: V V r V VI! r· ,

r F' r: 'r.~ r iJ r r r, , -

..1 '2 1 4 2 5 t , 3_ 2,

E:lEMPLO1.33.- Demostrar si e8 una tau't.ología( P A q) ---+ (p y q)se d.sarrolla la tabla de verdad.

La 6ltima columna (3), ast« formada s~lo por V, por lo tanto si 8S

una tautología.

-.

p (tp y NP)

V V V rf. r. V V

1 1; 3 2

EJEMPLO 1.32.- Desarrollar la tabla de verdad y determinar ai 8S tautolo-

gía, al Siguiente polinomio (p y - p)

El polinomio del ejemplo 1.30. 8S una tautología, pues su Gltima

columna (4) est' constituído 8610 por V.

.TAUTOLOGIA.- Sa dic. que un polinomio 88 una tautología si es verdad para

cualquier ~alor (V o F). e8 decir que BU ~ltima columna de latabla de verdad estl formado s~lo por V.

~ltima columna (6)

28

..J

ti') (p ,Yq) A ,q; si q ee verdad

O.sarrollamos la tabla de verdad

ra polinomi'oe.

y , 4 + 2,. ,6, I

Es un enü~ciado v.rdadl~o. pero no ee una teutología pues 'sta se define p~

RESPUESTA.- ~

a) 2 + 3 • ~

,b

I

EJEMPLO 1.36 ... Determirar al las 8'~9Uh'"tea•.propo~icio~.e ~on I tau,to,log!as_

a) 2 t 3 = 5 '1 4 + 2 = 6

b) (p V q) A q si q es verdad

CONCLUSION.- la n8gac16n da una -tautología es una contradicci6n.i ~ I \

La neg8016n da una contradicc16n es una tautol~g!8 ••

Jl'

Al analizar la ne~aci6n de la columna 't ~. obtiene la col~mna,2.

y 'sta columna ti.ne e&lo f. 1~

n(p y -p) _'(p y -p)

.. V '1 tú,V' r

, 1 2 "..

EJEJIIPLO·1.35.- Convertir p V ..."P en liria,con1:radicciBn. En el ejemplo 1.'32

.8 ha d.mostrado que p y~p 8S una tautól~g!a se ni!9a est.

polinomio -(p VN p), y 8e desarrolla la tabla de verdad.

•I

, I I

P (p lA ..., p)If I

V V r-;- r V,F' r (r'" r V r1_,- 1h é"t~l 2 f 1

lo, e8 d.ba deearrolla~ la tabla de verdad correspond18n~e.

29

La 41tiMa col.-na ..te 'armada 8610 por r, por lo tanto .ste poli.

nomio ee cone-titwy. en WIM COft_tedioci&'.

EJEI'1PLO1.38.- Demostrar la equivalencia .l.6gicadel ejemplo anterior uti1!

zando .1 m'todo del bicondicional.

Las columnas :3 y 6. 80n les ~ltimas de la tabla d. verdad. y replr.!

~ltntan el valor d. verdad de cada una de los polinomios, S8 18s compara ta~

to en su valor ( V o F' ). como tambi'n en su orden determinlndose que so,n est

id'rtiC8S, p,r lo que sa concluye q~e 108 dos polinomios 80n lcSgicamente .~

quivalentas. t e)

..... . c- p A ...... q)

V F' V r F' V

V r V F' V rV V r F r: 11

r V r V V r

6 4 1 5 3 2

p G (p V q)

V V V V V

V F' V V F'

F' V r V V

F' r r r r-

1 2 1 3 ·2

b) Si ~l desarrollar el bicondicional entre los dos polinomios s. obti.en..·

una tautología. simbo los (=) -C·."JEMPLO1.37... Oe!llostul"QUIt' p V q~ > -(p A ......q) .)

Ell

del

Ea decir que la8 l1ltimas columnas d. sus respectivas tablae da v.,! mel

dad sean id'ntic8e.

re8) Las columnas que representan el valor d. verdad de los polinomios 80nl!

d'ntic8s, en valor y ordari.

La

lEQUIVALENCIA. LOG leA. - uos polinbmios son 1cSgicamenh equivalentes. ai:

Un polinomio aa una tautología cuando 8S verdad para todas laa p~

aibi1idadea que tienen las variables d.·eer verdad o falso.

No es una tautología debido a que se ha considerado 8610 el caso.

en qua q e. verdad.

po

.1J:

.(p q), A qV V V V vr \1 V V V

,. 3 2, 4 2

30

6,.~,b)SEGUNDO I'IETOOO.-Desarrollamos .1 bicondiclonal entra las columnas 4 yI .,

qua repr.8an~8n al valor. da verdad d. cada polinomioI(p ~ "'V q) I~I (q .~ N p) IF' F' I

Las ~l~imae columnas 4 y 6 respectivamente 80n id'nticas~ por tanto

·sstos polinomios si son 'lcSglcament•• qui·valentas. '

-(q" --) - p)

V r ,F' V

r· V r V~V V' . V 7 r.F' -V ,11 r 1I

.2 6 'S ..

v

p ,q (p '~ ,IV~, q)

~ \1 V ~'t F' r ·V

V r .. + V. V V F'.j

r. V .f. V r V.F' F' F' I~ V· V r, ~ 2 1 4 3' 2

~a) El primer:m'tcdo, gOl' comparacl&n d. laa ~ablas,d. verdad d. cada polin~

mio.

11

EJE~PLO 1.39.- Olmostrar por dos m'todos. la sigul.ntl equivalencia l&gioa.

La columna' 7., IS la ~ltima columna ~. esta tabla de vlrdad, Y ha dado,CflllO

r.sultado una tautolog!a (aiSlotiene V en 'sta column_), por 110"que qUlda

demostrado una vez 'm's que .atos polinomi~8 p V 9 y...,(...., p A -q), son 1&9i0.1mente equivalente*;

(p y q) f----+ -( - p A ..01 q)

V V V ..

V V V ,.

V V V p

F' \1 r,3 7 6

•

p y q < ) ",( '" P A "" q}, se'transforma en(p y q) .f--.-7 H( -v P A "" q) y se c!esarrolla 'la tabla de verdad d~ este P.2.

'linomio. en el ejemplo anterior ,. d.sartolliS la tabla. d. cada polirulmio.

por lo qua s. laa usa.

31

r

EJEPlP

plica'proba

.... -P!- r- r V

V F'1 :5 1

., r •

p p ~ p

V V -F' V

F' r Ii r1 1 I , 1

EJE~PLO 1.41.- Oemostrar qu.' p.~ p ( » -p

Eate

eacic$Las columnas Gltimaa ( 3 y' 7) 80n id'ntic88, por unto 1•• dos po

llnomios son equivalente ••

j• I

p q 'IJ ! qr

V I V rr.

:l- , s r,.

V V

F' V

F' F' ., ILo F' .1 2 :5

.Si s. cumpla" si ea una equivalencia 1I5'g,1ca, por cuanto lae 61ti.mas columnas <':3 y~.5), son 1dlnticas.EJEMPLO

(p , q) A I'V (p A q)

Ii 1 - "r-V~

V I V r r V ,vr ~-

V 11' I~ F' 11 V' V ir r, ,F' VI V V Vi r F' v,

1- 1 ,F' ¡, r.; '1- r. v F' F' r, ,

I, ,

1 1 4 2 7 6 1 5 2 .

do a,I.t'lla pl

e:;JEI'H

! p' y .q.-r V V V

'F' V .r F'

11 F' V V.~ V F' V r

-e .

4 1 5 2

--p q p ~ q

,

V V;

'V' 11 V V

V F' V ·1 F' F'

t: V . F' V V

r F! r 'V r

1 2 1 '3 2. l

..... p-yq~

tica

32

p ~ q

El bl00ftd1eiortal .rntl'e .atoe doI DOl~oe fti08 M dado lIIft8 ,..,to1

loofa, por.lo 'eft\o si hay equive1aRD~ 1~9ioa.

tEJE~PLO 1.40.~ Demostrar eí ee dumpl. qu.~

v v vv V I V

V V V

'4 7 I 6'

.EJE'fIIPlO1.43.- Demostrar que (p A q) ~ (p ~ q)

Para rlalizar este ejemplo, debemos cambiar el 8tm~01o de 1m.- Ip1icaci6n 10g1ca por el condicional, de8a~ro1lar la tabla d. verdad, y com-

probar si es una tautolOQ{a. B fin d. concluir si .s o no una lmp~icaci6n

(p y q,)(p A q)

Eate polinomio .a una tautología, por lo que concluImos que el 8. una impli

c8clcSn16g1e8, y podemos representarla como:

~

P q (p A q) --t (p Y q)

V \1 V V V .- V 11 11 V

-v F' V I¡I r Ir r 11 u \1 " rr v I r r v v r· V vr r f' f' r v F: r r..... I, 2 , 3 2 S 1l 4 2

Primero .e debe desarrollar la tabla de verdad

ca.

EJEI'IPLD1.-42 ... Demostrar als 1 (p A q) ~ (p -y q), l. una implicac16n 1&9i--

En el EJemplo_1e40 .e demo.tri!que (p ~ q) (c)"..,pV q, es debi­

do a eato último que .8 puede trabajar indistintamente con cualquiera de

lit,. proposiciones (primera o segunda); pB~a demostrarla .&10 el utilizara

la primera condlci6n, porque .a la más sencilla.

En eetad 1mplicacione., .e elimina la PQS~bl1idad de que la prem!

8a se. ~erdadera y la conclusi6n falea.

3. P A.,.,Q es Una ContradlcCi.cSn.

Q .ea una tautología2.""P V

ItwlPLICAClONLOGICA.- ; Un polinomio implica logicamente a o¡tro,si cu.!!!,

ple con cualquiera de laa siguiente. condicionea:p ;)Q - I si

1. P ----+ Q ee una tautología

ticss.

Si eon equ1vaL.nte&, pues su. últimas columnas ( 2.y 3) eon ld'~

33

e

•hlEl

••

p,

,

p q , t "l(p --+ q) A '(q ___. 1') ] ----+ (p ~ r)\1 V V V V V V \1 11 11 V 11 V V

V 11 F' V 11 11 F' V r r V . V F' F'

V r V V F' r r F' V V V V V 1/

11 r F' V F' r F' r V r V 1/ F' F'

F' V V ,. V V V V 11 V V r v. V

r 1/ F' , r V V r 1/ r ro V F: V rr r 11 r 11 r V r V V V r V 1/ Ir r r r V F' V r V r V F' V r.1 2 :3 1 4 2 7 2 S :3 8 1 6 :3

Para dasarrollar l. tabla d. va~d.d correspondiente a esta lay .ed!be tomar en cuanta que hay tras ,varia·blas,por 1.0 que habrl mayor cantidaa

de posibilidades de qua 18 ley ~&gica sea verdadera o fa1... En los ejem­

plos anterioree 8e coneidera aolamanta p y q. por lo que se toma en cuanta

"4 posibilidades que podía tener l~ Pfopoa1ci6n, sn .et. ca80 hay que conal,

darar 8.

I

Esta lay la podemos 8imbolizar .8!1

[(p ---+q) A (q ~ r>] ) (p---+:r)

EJEI'IPLO1.44...Demoatrar la lay l&gica qua dica, -Si p implica a q, y q 1m

plica • r, entoncea p implica a r-.

(p t---4 q);)(p A q)

Eata polinomio as una tautología, por lo tanto. (p " tt) implicalOQieamenta (p ~ q), o medianta -símbolos

• r

t 34

1&g1c8.le.. (p A q) (p q)p q ~ ~

V 11 V V 1/ V V V 11V r V r r V \1 f! F'

F' V F' F' .1/ V F' F' 1/

F' r. r F' r V F' V r1 2 , :5 2 5 1 4 2

,... p , Q

. U r V rV ~ V V

V r U rV r V , V

r V V V

V r 'U V

p . Q P ~ Q

r r r V r~ 1

r V r ' V U

r r ,r -U F'

F' U F'l'

U V

" V V V V,r. V r V V

I

,La. co.J,ullnaa 4 y S rapresentan loa valores de verdad d& P Y Q 1'1... -

pectivamen.te. par lo qua al desarrollar lo. polinomios Ji ~ Q y--P , Q.,

aoo.iaer~mo. dichos valcraa en el miamo ordan~

, \

• r t • J, .1' t ( 1 r.V V V V r ,v U F '".IJ V f' U F.' 11 r V 1( 11li 1)

V f , V f' f 'r f' r11 r U " ,r .

f' V V F'

r r U F' 11· F· U U T. _1 'r, U r r r V r ... " U

r \1 V f' r' V " f: 11 •

r F' r r 11· r r r f"

1 2 :5 1- 4 ,2 :5 5 2

En el eJémplo 1.~40.~ damo.treS la equivalencia 1&g1el dada, par lo ~U.~.hace la. sustitucionea indicads. en loa datos dal .jemplo. y •• proe.darl

a desarrollar laa tabla a de vardad, ,

E'JEI'IPLO1.45'.- De.u.atra al ~rineipio da sustituci6n p.ra la equlvslencll..

1&gie8. p ---4 Q (: > - P V Q~ "

Subatituyendo PI • 14. r. Q. t .! r(E~. 'inal d. ~lgebra 4 - IX - 78 E.P.N. 11 Ni"el)

I

PRINCIPIO DE SUSTlTUCION.- Una equivalencia a. implicacicSn 1cSgie8 entre Ii~.\a .,~ polinomios •• & mantiane a aa vad' iea' 8i .

aa subatituye por otros pOlinomios.

En la 61tima columna (oct.v.), e. h. obtenido ~n8 t.utOlágla, plrla qua podamos a~i,rlllar qua e.ta lay .s una illlpUcacicSn lcSg1e••

\

3S

I,!

a

EJEMPLI

24.-

25.-

20.-

21.-

22 ....

23.-

.Las al

lidad.

EJEMPL

18.-

19.-

11.

LEYES ~SOCIATI\lAS

3. (p Y Q) Y R (=> p y (Q y R)

4. (p A Q) A R (===> p A (Q A R)

LEYES CONMUTATIVAS

S. P V Q <=>Q yP 6. P A Q <=) Q A P

LEYES OISTRIBUTIVAS

,. p V (Q- A R) <=> (p V Q) A (p V R)B. P .A (Q V R) c=) (p A Q) V (p A R)

LEYES DE IDENTIDA0

1. P y P ( ) P

LEYES DE IOEMPOTENCIA

En este capítulo le proposicicSn y loa pol'inomlosbooleanos. tienen el

mismo significada.

P, Q, R. como y~ ae ha indicado, puede aer reemplazada por oualquier

otra propoaicl~~ ain que S8 alteren estas layee.

LEYES OEL ALGtBRA DE PROPOS ICIONES.- La.9 siguientes propoaicianB8 aon aqu.!

valencias 1.sgic.8,y a~ 18S conaidera

como.leyes. Eatas leyes le las uti~iza para simplificar preposiciones gran

des, y para adquirir habilidad.en al manejo de loa CO"Bcto~e8.

1 •

r F' r V r IJ r V rV r y r 6' r V r rl .1,. -~ 5 I ..!t.¡¡

--~ S 7 4 8 5-

36

·1¡."p\J.-8ftrh la8 columnas 6 y 8 qua.repr.eaentana ca. pollnomio,pod.! 13.-.., ao.probar que son idlnticos, por tanto eatos nuevos polinomios 80n 10- 15.-

gicamenta equivalentes, y de esta 'orma queda demostrada el principio de

·austitucitSn.

Seg6n la equiva¡encia 21

p ~ P( )HP

EJEMPLO 1.47.- Dem08trar la equ1valencia 16gicl' ( '8in uaar hl61a. de

1 •

Las siguientes propo8iciones 80n otra. equivalanc.:'.1a. 16g1ca. de gran ut,!lidad. \

20 .. - p i Q < ) (p :' Q) A N ( P ~ Q)~J

21.- P + Q ~...,P A.-;Q

22.- P-+Q ~,.,p • Q

23... Q-+ P <==>,AlQ , P24.- P++Q ~ > (P__"'Q),,(Q ---1)0 p)

25.- P A (p 'aH ~P 26.- P V (p A Q)<==>P

OTRAS ~EYES

SI ee un. equivalencia l~gi~a, por cuanto 188 columnas 1 y :3 son id'~tica.

, .

p P A VI

V V V Vr r r V

1 , :3 2

P A VI (-==:> PEJEMPLO 1.46.- 'Demo8trar la lay de Identidad

JLEVES OE"DE "OAGAN"

19.- -( P y 0)< >-vPA .....Q19.- ....(P A Q)<~-P v ....a

Lv y F' .repre8entan Tau~o¡ogí8 y Contr8dicci~n re,pectiv~mente

",.

37,:. p v f<=)f. fO :.. r v Yl4=:~VI'1 • p A r( )Ir 12. p A \11'< ~p

LEYES DEL COMPLEMENTa

13.- p V,-p(¡ > VI 14.- P J ~P<;¡ ~Ir

15.- ,_(,-v, )( '>P, 16.- -- V/~ )Ir

8) .....P b) -q e) p A q d) _p A ...... qe) p y q f) p ~q g) q -} p

SOLUCION .-.a) El ~o e.. estudianta

b) ,No ... verqad que. -'1 ellt'en clasas-e) El •a a.tud~.nt., y. •• tl an clale•

1. Sil pt 11 ee estudiante y ~I ~l eet' en clases; escriba en palabras l'

siguiente.

RESUEL TOSPROBLEMAS

q ~ .....p equivalencia 23

q ~. "'"pr-) q -+"....p lo .que queríamos demostrar

22

5

condici&n inicial

equivalencia

ley conmutativa

p -___. ,., q ( -) q 4 - P

FJEI"IPLO1.49.- Demostrar l~ equivalencia dal eJemp~o 1.28. 81n usar-~abla,

d. verdad.

(p y -q) (....r V p) condici&n inicial

(p V -q) , (p ,y ""1') ley conmutativa 5

p Y ( N,q A Nr) ley 'distributiva 7

p V ....(q .y r) ley De Morgan 18

p .., _(q V r)<=>Pt ,.,(q , r) lo qua queriam08 demostrar

(Ex. rinal E. P. ~. 19 Nivel 2-111-791

(p y,..,q)A( ....~Vp)(.-') PV -(q,r)

EJEMPLO 1.46." Sin usar tablas de vsrdad, demostrar que.\

lo que queríamos demostrar

- (p , p),., (p)

,.,P(=)~p

181

ley De !"Iorgan

ley de idempotancia

38

b) Sea pi 3.+ 4 • 6, BU valor de verdad ss F'

,tate enunciado compu.ato sa Falso

q

F'P11

SOLUCION.- a) Si pi 3 + 2 ..5 Y qa 4 • 2 • 7 podamos danotarlo comol

p- -+ q:5 + 2 ..5 II~ v.rdadero, por tanto p •• V

4 • 2 r:. 7 _UI faleo. por lo qU,e q a" F'

.)51,:5 • 2 • 5 , entonces 4 + ~ lO 7,b) 3 • 4 • 6 Y I + :5 -J 9

e) No as verdad que, "ei :5 + 6 lO 9, entoneae 4 • :5 • 9·

d) 4 + 2', 6 o 4 + 2 lO 6

3. Determinar el valor de vardad ~a los ~igulénte. enunciados •

.) p~ q

. 'c) _P A "AIo(p , q)6') ..p - q

SOLUCION

a) p ~ qd) P A ,.., q

20 Sea p: las manzanas Bon frutas y q: las lechugas son uegetolos;

tar mediante símbolo. 108 siguientes enunci~dol,

a) Ni 1•• manzanas son frutas, ni las lec~ugaa son vegetales

b) Las,menzana's son frutas o- las 'lechugas 80n· vsgetaleo, y ,no B.verdad qUB' "las manzanas son frutas, ...y las lechugas "son vege~a- jlea".

e) La. manzanas no son frutas y no es !lardad qua, -las manZ',anaalorf rutas .e laa lechugas aoa vagetales·. 'T

d) Laa ",.nzana8 eon frutas y la8 lechuga a ~o 80n vaga,talasa)'Las manzanas'son frut •• ei, y Bolamenta si. laa 1~chuga8 80n V!

gatal.a.

39

d) El no es ostudia'nta y n:)&stl' en clases

e) El es estudiante o eetl en,clases•

f) Si '1 ~s estudiante entonC8$, e~tl en clases•g) El est' en clasas i~plica q~e. 61 es estudiante

SOlUC

SOLUI

8,

5) O

y 88

sou

c16

p q _, p V q

V V r V V V.V r ro V F rF V V r V V

r r· V 11 r V f

1 2 3 1 4 , 2

SOLUCIONo- a)

b) ..-v(p ¡;V q)a) _p y. q

4) Determinar la tabla·da verdad de las siguientes proposicionesl

TA~LAS CE VERDAD

El e~unciado compuesto es verdadero

q

V

p

rvV

Se representa 8ste enunciado, con símbolos" p v q

Eate enunciado compuesto e8 Verdadero (V)

d) Sea. pI 4 ..2 I 6, su valor d. verdad 88 F

e) q' 4 ..2 • 6, SU valor de verdad es V

Esta enunciado cOlllpuestoee FALSO

e) Se. p: 3 .. 6 = 9, su valor de verdad es V

.q' 4 ..3 ...9, BU vslor de verdad e8 r

El anunciad'o S8 simboliza asl. -(p ~ q).."" (p q)V V r

.. q

·vA

rp

r

El 8nU(.c!.:;~;;)compuestu ~e denota..camal p

Sea qs S + 3 I 9, 8U valor de verdad 88 V

40

.p q (p V ,. q) A I"J .(p A q),V V \1 V V r r V V V

V F' V V F' V V V F' f

r , V F' V V V IJ r F' V

F' r r r r r V r F' r

SOlUCION.- b)

na 4.

El valor da verdad de asta proposici~n sa puedé leer e~ la colum-

..

rp q - (p ~ q)

IJ V ,j r V V V

V F' r V • V r. rr ,

V rI~ _ V - I~ ) F' V

r r r r '1 r-, .

1 2 4 , 3 2

SOLUCION.- a)

b) (p V q) A - (p A q). ,.)

5) Determine al valor da verdad dd las siguientes proposiciones.

ta columna (4) representa el valor da verdad de asta proposici&n,

y 8S diferente a la respuesta del literal.) de este problema.

p q rv (p y q)

V IJ r V V V~V r r IJ V f,r • V r ro j V IJ

r r V r F' r,.

1 2 3 1 4 2I

SOLUCION.- b)

La ~ltlma columna (4), representa el valor de verdad de la propoe!

41

eleSn.

10) 01

ca.siend

9) Ha'

7 Y l·por 1

SOLUCION.- En la tabla de verdad de Beta proposici6n, se eecribi6 las co-

lumnas 1 Y.2 correspondientes a las posibilidades de verdad o

falso de las variabl.s p y q. luego S9 nleg~ la columna 2 y Se obtiene la

columna 3 y 5. despu's 8e realtza la disyunci6n ent.e la columna 1 y 3,

cuyo valor de verdad .st' en la columna 4; se obtiene la columna 6, aplic~

da .la propiedad del condicional entre la columna 1 y 5, en la columna 7

constan los valoree de'

e) Oeterminar el valor da verdad del

la columna (7) representa el valor de verdad de esta proposici6n.

,

p q [(p y .q) A (1' ---+ ,.., q)J 1 q

V r. V V r V V V V F' V f

r F' r r r r f V V r r r

1 2 1 :5 2 6 1 5 4 2 7 2

Se conoce que ql 4 + 2 ~ 5

~- (p ~ ,.., q)] .1 q[(p V q)

J) Desarrollar la tabla de verdad da la siguiente proposici6n.

(fi).E¡ valor de verdad de esta proposici~n ee encuentra en le columna

-P. q (p .y q) A ,., (p A q)

~\( V V \1 IJ r F' V V V

11 r IJ V r V V V F' li F'

1 2 1 :5 2 6 5 1 4 2

6) Oetermine el valor de verdad de la proposici6n del ejemplo 5) b, si sa

conoce que pI Las manzanas son frutas.

La columna (6) tiene .Los v8'lol'esde v-ardedde esta proposici~n.

62 r5:5 4 I ,2 I2 I 1I,42

.p q ,., (p y q) __, (...... ,P A ...... q)

r

V V f¡'l V v· V V F' V F' r VV r ° r. V V r V r V r V f'ro v r r v v V 1 V f' r F' Vr ro v r F' r \7 V F' V v_ r1 2 4 1 J 2 8 5 1 1 6 2·

'.

A( "" p

d~ verdad, si el siguiente condicio-

SOLUCION

ca •

• 10) Demostrar qss8rrollanda la tabla

n8~ es una implic~ci~n 16910a._o,(p y q) _...

La columna :5 y ti indican al walor da verdad de .ada prDposici6n

siendo id'ntica. en orden y valoi, por lo que sí 88 una equivalencia l~gi-

- p A_ - q

r V F' r .1/,

F' V r V rV F' r: f V ,

V r V V f',

4 1 ti 5 2

..p q p J, _q

V V V r V0,

1/ r V r rr V F' , r V

F' r Fi V 'r

1 2 1 :5 ; 2

<=> N P A ,.,qp J,. q

9) Hall~r la tabla da verdad para la sigui~nt8 equivalencia l~gicas

Verdad correspondiente- al bicondicional entre las columnas 4 y 6i, f,!nalmente se aplica la propiedad de la conJunci6n negativa 80tre la col~mn~

7 y la columna 2. El valor de vordad de esta proposic16n B~t'determi~ado

por la ~ltim~ columna (a).

p q [(p t - q) ~ (p ____, ,.., q) ] !1/ V 1/ V r V r v r F' V F'

V r V IJ V F' V V V v r r, -

r v F' r F' V r F' V r V f

F' F' F' V V F' V r V v r r

1 2 1 4 :3 2 :' 7 1 6 5 2 8

43

15) 5j

SOLUC¡

13) 01di

y podl

cieSn

prine:

-

p q r [( p ·V q) A p] --+ [ (r A p) ¡ rlV V V V V IJ V V f V 11 V f V

Y V r V V V V V V r f V V F'

V f V· ·V V -F' V V L f V V V f VV r f V V f V V V r r V 'J rr " 1} " r V V F' F' V V r f F" V.

SOLUCION.- Estas ,proposiciones equivalentes ras remplaz~mos en la impli a­

c16n.1691ca, transrormandola n su vez en un condicional 9impl~,

rSi I (p V a) A p; P(p, r) lQ (p , q) (r ft p) !

12) Ut~lize el principio de ~ustituci6n, y demuestre quelQ(p, q) -) p,(p, r)

_l

p q r [(p V, q) ___., r ] ----+ (p ~ r)V V V V V V V V V V V V

T

V V r V V V r r V- V ·r r,'V r V V V r V V V' V l' V V

V F' r IJ 'V r r r V V F: rr. V l' V f V V V V r- r r Vr V r f V IJ r f V' r V F'f r V F' F.' f V V ro F. f .Vr r f f r f IJ r V f. V f

11 2 :3 1 - 4 2 5 :3 r 7 1 6 3

11) Desarrollar la tabla de verdad del

[(p V q) ___. r ] --: (p ~r)

==> c,-P A ..... q)-(p V q)

En la 61tima columna hemos obtenido una tautología', por tan to pold!,

mas expresarlo como una implicac16n 1&g1c8.

44

y desarrollamos la tabla de verdad.

14) 5Jq(p., q) . -=> P(p, r)

[(p y q) A ~] --) [(r A p) ~ 'r']

- (p V q) Y ( p A -q)

15) Simplificar la proposici6n -(p y q) V (p A ,..,q)

(14)(9)

ley del complemento

Ley de identided

Ley conmutativa (5)

Ley distributiva (7)

(~p y q) A (""q V ""p)

(,..,p V q) A (- p y,..,q).-vp y (q A ,.,q)

...,p V Ir

14) Simplificar la siguiante proposición

SOLUCION.- (p , q) ~ p condición inicial ~

.-v(p V q) A Nfl aquiv'alencia (21 )

(-p A -q) A ~ Ley de Margan' (1a)(NP A NP) A,,_q Ley conmutativa y aaociativa (6) y (4)

..,pA ""'q Ley de idempotencla .<2) ,",( P V q.) ley de Margan (1a)

,.,( - (-p) y q) ley del Complemento (15)....,(-P""";'q) equivalencia (22)

,(p y q) + p ( >,..,( ......p~q)

13) D~mo8trar la siguiente equivalencia lógica (sin usar las tablas de ver­

dad)

Q(p, q) ~>P(p, r)(p V q) A p~(r A p) t r

En la d1tima columna (7) indica el valor de verdad del condicional

y podemos observar que nay dos ,r en ésta columna, por lo que est~ proposi­

ci6n no es una implicación ló~ica y por lo tanto no ee puede aplicar el

principio de sustituci6n.

r v f r V V f F V F F r ·V F

r. F" V r r r r r V V r r r vF r r r r r r r v r r r V r.1. 2 :3 1 :3 2 4 1 7 3 5 1, 6 :3

45

.1

¡;Ior:

Slfit:

---,----------~------------

,4) Ley del complemento (13)

equivalencia del biccndic·ional y la del ccnc í-c í eneI sti:mple.• _,pI,.....2) Ley ae Morgan (19). ley distributiya (7)3) Ley conmutativl (5), ley asociativa (3), y loy de idempotencia

(1) •

SOLUCION.- En la simpliticación se han ·utilizado las siguientes leyes y a- SOL)quivalencias.

11 La equivalencia (24). la equiva~encia (22) y (23), es decir la

19)

ter:

P !

, 5U1.l

(p A q) --+ (p .... q)IV (p A q) y [( .... p V q ) A ( ,., q V, p) ]( -, p V J.Iq ) V· ( ,., p V q)] A [( .., p V .., q) V (oY q V p)]

[..,p V (Ñq V q)] A [Nq V (Np V p)](NP V VI) A (""q, VI )

VI A VIVI

17) Indicar en cada pe.o, lás leyes que se han utilizadb' an: la sig.uienté

simpli f icacieSn.

He~os obtenido üna tautolog!~ (W ). por tanto si es una imp1ica­

cieSn 169ic8.

(p A q) ____. "'(NP) A N(N q) equlvalenci'a (21)\p A q) ----lJ!' (p A q) ley del complemento (15)

N(p A q) , (p A q) equival$ncia (22).. Ley del complemento (13)

16) Sin desarrollar la tabla de verdad demuestre la implicaci6n lógica

(p A q) '> (,_,p.~,.,q)SOLUCION.- Reerrtp'lazamosel símbolo de.f'mplfcación lógica por el condicional

y aplicamos las leyes de proposiciones.I

46

(~pA ....,q) v (p A ~q) , Ley de Morgan (18)

( - q A ... p) V (Nq A p) Ley conmutativa (6).....q A ("'" p V p) Ley distributiva (a)Nq A ( VI ) Ley dal complemento (13),.,q Ley de identidad (12)

J •por tanto el enunciado 16gfc8ffienteequivalente 9S

:3 _ 2 12 Y 2 + 4 = 6, o 2 + 4 ,·6 Y 3 - 2 = 2

( _ q A P ) V· (.", p A q) < ;)( p Ve¡) A ("" e¡ V '" p )

'9) Utilizando los mismos enunciados, escriba un enunciado compuesto que

16gicamante equivalente a

2 + 4 = 6 o 3 - 2 = 2, y :3 -2 , 2 o 2+4~6·

Sear

2 + 4 = 6, q'J :3 -. 2 = 2SOLUCION.- pJ, (p , q) A (-vq y Np)

S I~PLIn CA,..OS[(p V q) A ,..,q ] y [ (p V q) A ,..,p][e-q Aq) y (Ne¡ A p) ) v- [ (....p A· p) , 1,.oAq)]

(Nq A p) V ("- p A q)

terlor.

. -p I q es la proposici6n que es implicada 16gicamente, por lo tanto

(p~q) ...... (q 1q) .-)p ! qIndique la r8z~n ppr lo que se con~ider8 la implicaci6n 16gic~

NR ~ (VI V R)

- "" R A VI

....R",(p~q)

,pI q

.R"":-'(q A,.,~)R4-+r(R-t>f') A (f' -+R)(NR Y Ir) A e ¡IV IF" V R)

Sea R: p .......q

R~(q l'e¡)R~(e¡ Yq) A",(q A q)

SULUC 1GN:'-

,aj Simplificar y encontra~ una proposici6n que-sea im~licada l6gicamente

por (p-iI'q) --.(q 1 q)

s) Ley de identidad (10)5) Ley de idempotencia~ (2)

47

•26)

25)

24) t

23)

(p A q) --. l'

V

SOLUCION

22) Si se conoce que (p A q) ~ P as verdad y l' tambi'n as, determine ellar de verdad de q

P' V ~q

q ---+ P

-( P y- q) V p

(-1' A ""q) y P

(p' V ,....p) A (p y "" q)VI A (p y Nq) .

STMPUrICAPlOS

SOLUCIONo- El enunciado compuesto ae denota p~r

(p •. q) ~ p

2-5c~2 entonces 3.2c1o·S1 3.2,.1

21) Con 108 siguientes enURaiados p. 3+2~1, ql 2-5--2,

formar un enunciado lcSgicamente equivalente SI

-qt1 enunciado pedido es 4-2~1

S IMPLlF' ICAMO.5

(.- p " .r- q) y. (1' A ,....q)

."" q A (....,p V p).- .....q A VI

SOLUCION .... Sea p: 2.2, QJ -4 ... 2 = 1

al anunciado compuesto se denota por

,., (p v q ), (1' A ""q) .

no ea verdad qua

20) Utilizando 108 mismos enunciados escriba uno que 8ea lcSgicamenta aql,Jval,entea.

48

e21) e

•t

ee

vi!.

2B) t

29) E

(p~q) ~ -(p;c-)q)

29) Encuentre el valor de verd.d de las l!Iigui~ntespropcsiciones

26) Escriba con w!mboloa y encuentre 8~ valor dae) 51 4.. 2..:6 a 4.3~6, entonces 4+31 6bl) 4.31 7 o 4. 2&:6, y 4.2~ 6 o 4.3-7 •,1 're) No ee verdad que 3 • 2 • S o 4.2.6 ~ sd) na e. verdad que. -3.2.5 o 4.2=6"

27) Deterllline'elvalor dea) 4 - 2116 o' 3 - 2 • 4:¿k 2'- 2,1 6 o 3_21 4

, b) Si 2 + 2 = 6 entonee,. s 212 y 4 -'3 : 3,e) No e8 verdad q.."sl -4 • 2 e 6" O '3 - 2 IZ 5

~ 3 - 2 = 5-j,d) Si 4 + 2 = 6 implica '3 • 2 F 5 y '3 - 2 '.J 5 imp~ica que , + , ,. 3,

entoncss 4 • 2 = 6 implica qua , + 1 :a 3}

28) Determine en que casos la prpposici6n es verdadera

3.2.5,'per6 no ambos . _

o 3+2.6, ni 4.5J 9 Y d4.2a~

e) 4.5.9 od) n1 4.5 .9

25) Escriba con símbolos los ~igulentes'enunciBdo8, conociendo que

pI 4+5. 9 q' 3+2. 5 1'1 4+2~6 J t. 3+2=6a) 4+5=9 si y salo s~, 3.2.5 o' 4+2.6

, ,.b) 3.2.5 a 4.2=6, y el 4.2_6 entonces 2.2=4

J ..anterior.

,.Je) (q V r) A

e) "" l(q V r) ,A

b) (p,q) A ~(p , q) I

d)~( q V ;) A PJ(q -'+'1')

(q V p)p]

24) Determinar el valor de ,v~rdad de las enunciados eDmpu~.tos del problema,

(p_'q).)Enu~cie-con palabra. 108 siguientes enunciados compuestos

r. 2+1=323) Sea p: 3 + 2 = 6,

PROBLEMAS NO RESUeLTOS

49

(p A q) ~ p

V V

(p Á q) falso, 1puede eer verdad o y como p es verder'~I •P A q p A q

V V V ,..1"

q deba Bar verdad o deba ser.. rRESPUESTA q • 11, r

46) Oem..

Si !

Ap.1J47) Util

2

48) [N(49) Sim~

50) Oem"

51 ) D.• m..52) Oeml¡

5;5) Oem(

54) Dame

plic55) Oemt.

56) Sim~57) Eser

45) Oaml

posici6r

44) Indj

P(p,Se e

43) Dasé

que'al

.) P:: q b) N(p V q) Y q :: ,..,(p A q)a) (p V q)'= _(p ... q)

38) Determinar al valor da verdad da

[ (p A q-) Y N (p -. q) ) A (-p A q)

an 108 .iguientes caaoa

a) P I 3 + 4 • 1 ; _ q.. I 2 + 5 •. 9b) P 112 .. 6 • 7

e) q I 9 - 3 ~ 12d) P I ~ _'1 • ~ q I 2 + 1 • 3

39) Oas8rrolla la tabla Ue verdad da,la siguiente propq.1ei&n

[ (p y q) ~r ] V· '1'

40) Oetarmine 81 aon impl~e.cion.s 169ice8 l~s siguientes PfOPo,iQion.sa

'a} (p Y q) =>-(p A q) A (p Y q)b) (p Y Nq) -> (p ... q)

41) Determina en que ca.o. es '81aa la siguiente proposiai6n

[ '" ( p V p) A NP] y. p42) Determine en que casoa es verdad la siguiente proposici6n

31) Oatermine al valor de verdad: a) el p~oblema 29 a) Si ql Esto, estudia~

do 1&g1ca matem't1ca; b) Encuentre el valor'da verdad dal problema 29l

b) Si 8e conoce qua p: El a"o tiene 36B d!.a.

32) Demuestre la siguiente equlvalencia 1691ca (u••.tablas da verded)

p V q( >(p V q) A l'I(p A q)~3) De8arrolle la tabla de v~rdad y compruebe la equivalencia 1&g1C8.

p~p == (q .....p) A. (p ... q)34) Oemua.t.r•• 1 80n logicamente ·equivalenté. laa liguiantes Pl'oPo,'.icionass

a} p!.q~!. p b) p....q:; q .... pc) p .. q == q + p d) p-+q = q ~ p

35) Encuentra al valor de verdad de [(p A q) Y'r]~(p y r}

Si .e COnOC8 qu~ 1'1 la t6rmula del agua a. H20

.36) 08sarrolla la table de verdad de la 8iguiente proposici6n

[(p y q)~(pYr)J.-.(p VI')37} Indique cual•• de l•• siguientes propo.ic~onas son equivalencia. l6~i­

cas

b) ( ... p v· ....q) ....... (p V q)a) p~(c:t V p)

e) (p ~ q)"1 (q v p)

30) Desarrolle las tablas de vardad d~1 -

a) (P .... q)~(q ....p) b) (p l~)!(q !p)

50

45) Demuestra el principio de sustituci6n en la imp1icaci6n 16gic8 ,

( ,." p~Q )=>~ .... p51 se conoce que PI (q V r)A ti 'Q: .(1' V p)A t

Aplicaciones S! ~ leyes ~ Proposiciones

47) Utilizendo las leyas de pr~posicion9s simplifique.

a) ·P...... (q V p) b) Al (q y p) A ,._.(p y' q)48) [ ... eN Py,-#q) V (p V q)] ~ [ (~p y-q) Y'_'(p,y q)]49) Simplifique [(p y 'q) A ~ V _q)] • (p , p)50) Demuestre la siguiente equivalencia 16gic9

(p. V q)~r :: (~-+1') A (q ~r)S,) D.BI1IUast-feque. ,(p~-q) • q<=)(p ......q)52) D.mueatTB .qua 88 cumpl~ (p y. q) ~ p( :> -("Vp~ q)53) Demuestre 1& 'implicaci6n 16gica'

(p y q) ~ (p++q)54) Demuestre que el aigui ents ,condlcion~l se·puadd expresar como una im-

plicaci6n 1691c8 (p A q)-+(p~q)55) Demuestre que [(q y. p)' A. (p y q)J-)(q V p)

56) Simplificar p _,. (Nq V q) A ""q V (p~q)

57) Escriba una proposici6n que sea loglcamente equivalente a:

Q(p, q)r ~p V qp( p • q ) I P A .q

45) Demuestre el principio de sustituci~n en. p(p, q) Q(p" q),

P(p, q) ~ Q(p, q)

44) Indique el valor de verdad da la propoaici6n

p(p, q, r)-+q(p, q , "1')Se conoce que P(P. q, r) I ",pAN(q A r)

Q(p, q , 1') I ....rA.f"(qV p)

Indique si da una misma tabla de verdad.¿Porqu~ ? Diga si esta pro.

poeici6n tiene al mismo valor de verdad para los dos casos a y b

51

(p___'q)~(q -+p)

43) Desarrolle la siguiente tabla de verdad (p V q).. (q .... p); considerando

qu.,:8) b}

p ~ q "1 p q

1/ V V V

V r r V

F " V r"r r r. ,F

95) Q

d

96.) O

97)' O

••92) 01

74\) o••

75) SI.

76) o••, d••

11) Da.

78) D••

79) o••80) De.

0.181) (p82) (p'83) P 1

84) S1

95) o.86) Si

87) O.88) Si

89) Si90) -D.

91) O.Si (1 - 1 IS 3 y 2 + 2 • 5) entonces (2+2.5 o 1 - 1 3)

69) Con los miamos anunciados simplifique y e.érlba otro que sea implicado

10g~c8ment •.por

(4+2=6 y 3+2=5) y (2+3.5 y '4+2-6)70) Demuestre I a) usando tablas de vardad; y'b) sin usar tablae de verdad

que P(p,q) .:>Q(p,q), sI se ·conoce ademla

P(Pt q) (:::) (p A q) ~ (p • q)Q ( p, q) <=) p ...... q.

71) Demuestre po. dos m'todoe diflrentea quet

.....[v(p ~q) A '" (q A q)1(::z¡::) p ~ q72) Demuestre utilizando dos mltodDs que:

_(p V q) A ~P <... ) .....pp ~q)I

64) Demostrar sin usar tablas de verdad que.

(,c P A' -q) h' ,.., [(p A q) A ...:.(- q A p)] <..,,- ( ,..,p ___. q)65) Utilizando los.mismos en.unciado8encuentre otro que sea logi-camen.tee­

quivalente 8

2 + 4 I 6 Y 2 + 4.~ 7 o 4 + 3 • 5 implica q~B 2 + 4,a 6

66) Utilizando estoa enunciados simplifique y •• ,cribaotro qua lea logjje.!.mente equivalente a

ni (J.2~5 el y a610 .i 3+2~5r ni 3+2~5 o 4+2.6

67) Utiliza lea mismo8 enunciados limpliflque y eacriba otro qua sea im¡::lic!

do logicamente por

4 - 2 = 3 D 2. 2 Y. ~ - 2 ~:5 o 2 ~ 2

68) Con 108 n,iamose'nunciadoaencuentra otro que aea.imp·licadologicamante •

por

62) Simplificar

63) Simplificar

60) Simplifique y diga en que casos es verdad la eig~ientB proposici6n

[.....(p, p) A ,v'pJ'Y p.

61) Simpli'iq~B y determina en que caso ee f.isa la eigulente"propoalci6n

(p ~p) ~ (q f4p)

[(p V: q) ,,.,(p • q) J ~ [<q ! p) ! (p .......q)][---(p t---f q) ---4 -q) , q

p (---7 [(q V p) A (p A q)]ss) Escriba una proposici6n que aBa logicamente equivalente as

(p i q) .l- (p A Nq)59) Simplifique y.encuentre una propoeici6n que sea implicada logicamente

por la siguiente

[ ""-{p +-+ q) ___. (p! q») A q

52

94) Qu'·.,elorae da.verdad daba taner q a1 .a conDca qua a y t ea vardad.r-At e8 f.lao '1 qy[...C e Y' t)A(1' A t)J.a v·.rded

95) Qu' valor •• d. verdad tiena, (q , p)-+q. a1 ea conGce qua l •• val.raada vardad de p '80n 'f·'f. V, 'F, q. 11. V. ~. F, _ql 11, F, V, v

96) Oatel'.1na 108 valor •• da vardad de P ........q. 81 (p -+ q) y' q •• "ardad97)' Oatanj,na loe valerae de vardad da'" [(tHa) , (8 , t) 1 81 ae conoce

92) O.te"mina lera valorea ds :verd~,d de p..'I q 8i a• ccanGc•. QUq p V (q , p)••• verdad

+ !93) O.te"1I1na 10'$ valore! de verdad da p. q y " pare. qua (p A q) y l' aaatallo ~

"'\ .

p ~>(q , p),85) O•• ue.tre .1n U•• 'I' tab.l •• de ".,rclad qua..86) ,Simplifique 'p V q) A ;_ (q A p)'87) Oa.o.tral' (p , q) .:a>....,~f,...q) ,88) Sll1plifiq~e (N P Y q) A (~q , ....p)'11) Si.pliri'qua~p" v q) y (p . v ...,q)90) Daau•• traN(p· ~~) (-=>(p ! q).91) D•• u•• trs' el principio d. auatituc1'n •• in' uaar tablaa 'da verdad

p(p, q) ~ Q(p, q)P (P. q) I ".,(p' V q)Q(p, q). ,:.,( ~ p ~q)

84) Sillp11f'ique y diga en que c."o. e. v~rdad1 ;

(p y q) y (q A p)'

,

[p '-+ (q Y.'~)J~ (p y q) ~p J74) Oe.uestra sin,u.ar tabla. d. v.rdad

[(J, y Nq) A .(,.,.q A p) ) )- (p, A q-)<=>p, A (q ......p)75) SiMplific.r ,

[(p y q)A,(.vp.v Nq)] ! (p ! q)

76) O•• ueatra lae leyas d.l Algebra de propaeiciDnae uaando tablas d. ver'da.

77) Oa.ueat"e p--+q<=>q " .......78) Oa.ueatn' p~q~}q ~ P79) Oe.ue.tra que p'~q<~~...p80) O•• ua.t". que p --+ q a:.> ....q ........"'p

Oamuestre ein uaal' ,t.bl~e ~. verdad d.l EJercicio'8, al 8381) (p ,y' . ...-q) ,f(r ,p) Ja:::>(q~l') • P

82) (p --to q) A (q "p) =-}q83) P ~q<::)q .... r

53

I

891

69

68

67.

66

65

63

b2

61

6aI

55

se5;

5E

4E

4~

4,¡4'

i3.7J a ) r; b ) V,; c ) V; d) -V.... -'~~;28) En' -tí.iIIiif~~iJ'it •••

29) _.) V, 11, V" V; b) r , v.' V, f. e) V." V, V. \1

30- ) a) V. V, V, ~; b) f, r , f, f31) a) V; 11, b) V, r

\ .34) Todae e.capto d) Ion l&Qicamente equivalente.'35) V, V, 11, V36) V, V. V, 11, V, 11,- V, r37) Ninguna ea equivalencia 1&g10: ~38) .) F', b) r , ,r, e) f. F'; d) r:39 ) r, F'. F', f. F', 'F'. r, V40) 51 ee equiv.~anci. a)

J

2S} a) P ....-t(q ,r)b) (q ,r) A(r ~.)c)"p 1 qd) -(1' V t) J,(,..pAr)

26) a) (p V ~) ~ ....q; vb}._ (p V q) A (~q y ....p) J 11e) ~p y q ; V

d) -(p Y q) ; r

de verdad de t y de s.

~l~.e.Yi!!!!

23) .)3+2.6 implica que 4+31:5 al 4+3.5,,antone•• 2.'.3y,

b) 3,2.6 .e .4.3.5, Y no aa verdad que. "3+2.6 y 4.. 3.5-e) 4+3.:5 o 2+'.3 .. y' 43=s' o 3.2.6d) N as vardad quas "4+3-5 o 2+1.3" y 3+2.6oe) No ea verdad quel "4+:5.5 o 2+1.3 y 3+2.6"

24) a} V l b} '; e) r; d} f, .}\1

9lJ~ Determine 10111 valorea de verdad de [(p \v q) A (,." t A .)] .8 eenecs~u. p ~ I!I ~9 verdad y qua t A q JS verdad

99')' p Y t es ffllao, (13 V q)~ q 8a verdad. Determina al valor da verdad

hfp v q) A ( t A • )1'09) -[1 velor de ver,dad [ct A a) Y (t , 8'>}88 F'. V, V, V determine el valor

54

62) q --+ P

63) VI

65) 2+416 ,y 2+4=7 o 4+31 S o 2+4=6

56) :3 + 2 = 5 y 4 + 2 ~ 6

67) 2 = 2\

68) 2 + 2 J 5

69) "3 + 2 = 5 Y 4 + 2 = 6

73) \1

75) p~ q

. 804 ) _ P y ct;p ,."

r V

V r ..q V

B6) .Np A q

88) ""p

89) q ._. P

48) P Lq49) P f---J q

56) -(q A p")

57) P _, q58) P ~ q ¡

59) P f--+ q

60) VII

61 ) q ~ p H7r

47) a) VI"; b) ... (p V q)

43) No da una tabla id~nticl; peee: tiene el mismo valor áe lIardad •

441) V, 11, V. V. V, r. r, V•

;f;{"¡

r

42)

41) En n1n96n caso

55

.10'1'

laneH

-'

ral

te~

F' UI

e 01

a,El'

PR

IEJ

PA

96) Si ,Q es verdad entonces P -i q puede seZ'verdad o falso, pera ,~i q ea''''''t~g, P -.. q debe·éer verdad

95) No se puede determinar, pues un mismo enunciado, no puede,ser verdad' .y falso al mi~mo tiempo

(q e », U, r , r.; q' V, r , V, v.)

94') q r V\.

o

p q .1'

V (J rV ~

j

( rf r r

93)

92) P l v ,v rq v f V

56

En ,al primer ,eJemplo (X + S :. 7 '1 Á· 8, ,R) podemc;lsdeterminar que so­l

lamente EXISTE un elemento del conjunto dado t que hace verdadera. 1.8 proposi-

citSn

Conocemos que la variable pertenece a ~n cori1unto dado, por lo que

se puede determinar para que alem~nto8 ee verdadera i. propo8ici~n abierta.

,X f;, R• 8 1+

Y f; {1 ,2,3,4,5,6}

X + 5 • 1X ... 5~ 6

EJEI'IPLO 1.52.-

F'UNCIONPROPOSIC~ON_Al...f"unc16n proposicional qe una variable X, 8e llara

a una proposici6n abierta en X, en la que se in~i­

ca sl con~nto al que pertenece.

En nuestro ej.mpl~, no conoce.oa si X puede tomar.valor •• enterbs,

racionalse o reales, o si puede tomar loe de un,conJunto como 108 aiguien

teas {1}; {"'1, 1, '1

Se desconoce ai X ~ueda tomar cualquier valor, o un e610 valdr, y~

ou'l ea al ~onjunto cuyos e~em8ntos pueden r.8~plazar a X.

..Ejt·P1P.lO 1~51.- X + S'. 1 , X .. 5:> 9

PROPOSICION ASIE.RTA.- Se llama a aq·u.llaa-enunciados, que PD*'faltar ot.rae

propiedades nabasarias par~ juzgar y dar su ~alor d.

verdad, no 8a puade determinar sl 80n verdaderos o 'aleDa •

vr r

2 + 5 & 7

3 - 2 • -1

EJEMPLO 1.S0.-

PROPOSICION CERRAOA.M Se llama al enunciado cuyo valor de verdad ee puede

determinar.

fUNCIONES PROPOSICIONALES! CUANTIf"ICAOOIES

Pues,

ta da

falee

Si X

Naga"

Ee VE

o tan

Y sub) el

Negan

lou.

SOLU(

1. DIn

EJEPlI

Negar

Negar

y + 2 .. B,

abierta.

EJEI"IPLO1.54.-

NEGACION.-Para negar una funci&n proposicional. hay que negar la propo6i

Ee evidente que su v.lo~ de v.rd.~ 8a falso, puea aolamante cumple cuandc

J( • 12.Existe un valor qua hace qua 'x - 2 • 6

( 1x) ()( - 2 11: 6)

( 'X E ft) (x - .& • 1)Lo simbolizamos

EJE~PLO 1.53.- Par. todo valor de~, X-S. 7, X ·pertenece al conjunto da

loe re81es.

Eatoe slmbolpe ( 'x. ] x) a. d8nom~nan cuantificadores, .el prim.!

ro se llama ~nivars81 y·~l segundo existencial, '.toa permiten convertir

~ func1&n 'proposicional ~ ~ propos1ci~n 8i~ele (cerrada).

Si 8e·cumplan l. pn1bllidad primara, se puede decir.

Par. todo v~lor la proposici6n es verdad_ra

y 'e puede rapre••ntar con símbolo.

( y x) p(x)

Exista al menos un valor que haca la pr0p.0sic1&nverdadera

e ]x) p(~)

Como 8e pueda observar hay la posibilidad de que ~xiata alg~n v.­

lar (slemanto) o que todos los va¡ores cumplan o hagan verdad.r~ la prop~

.1ei&n.

3 + y 11: Y + 3 l + Y 2 Y + :5

:5 + 1 21+ :5 V . :5 + 2 11: 2 + :3 V:5 + :5 = 3 + :5 1/ :5 + 4 11: 4 + :5 V:5 + 5· 'la 5 + :5 V :5 + 6 11: 6 + :5 V

El co.nJuntosoluc16n es {1, 2, :5, 4 t. 5, 6}

Del ejemplo (3 + Y ;1 Y + 3, Y E11,2,::s,4,5,6) ), se pUB~e determi­nar que TODOS los e1emantos da lata conjunto hacen verdadera ra proposl~ci6n

58

el conjunto soluci6n (verdad) tiene un 8610 elemento

{2J

ralsaPues, 81 )( = 5', todos loa.valorea qua Be <illtna Y no'.hacan que Bea dif'erer .

te de cero

( 1x) ( ,,,) ex + y I o)I ,

Negamos

2. Determine al valo.rda \lardad y luego nieguBla

( , x)' ( i» ( X + Y • O)

Ea vardad ,Si X • :5 •xi~te ~ • -3 tal que :5 ... 3' • O

PROPOSICION rALSAo tambi'"

".., ( ,1 x € 1) ( x + 5 I ·6)

, ,b) eata ,proposici&n a8 verdadera, la negamoa

Negamos .sta propoaicl&n( 1 x E R) , (x + S ~ 6)

Y au valor de verdad e8 vard.d ,

SOLUC,lON.- La primera propoBici&n ea ,.-1s.,puaa cuando x • 1'Nf_

1 +' 5 no ea mayor que 6, por lo qua se cumple para todo. los

lorea.· e. falso

,1. Determina el valor.de vardad da la8 .,tgut·.nt•• propoaiciones y lueQt

ni'gualaaa} ( 'x 8 R) (x + 5 > 6) b) (])( El) (x + 5 11 6)

~JE~PLOS' DE APLICACION.~

N ( 'x). 1:1. lx J. ...... ( ] x) ., ,)(Sea ( 'x) p(x)

Negamos - ( 'x) - p(x) equivale 11 ( 1x) ....p{~;Sea ( 1x) p(x)

Negamos - ( ] x) _p(x) que equivale a ( 'x) ....p(x)

S1 se trata de una prapasici&n simple (cerrada) que usa cuantifj

cadoras, hay que ne~ar tanto la proposici~n como el cuantificador

y + 2 lB, Y E f1, 2 t 3, 4}Negamos

59

dade:

Las l

118.

117.

1Ui.

112.

111.

110.

109.

108..

107.

106.

105.

104.

• 10::5.

102.

101.

bolS

rNe'ta1. - Si no se determina el conjunte al que pertenece' una variable, se d,!

ber' considerar en este primer tomo que pertenece al conjunto de

los n~meros Reales.

Nota 2.- El símbolo 8 indica o'significa pertenencia, si por ejemplo 8e di­

ce x 8 R, quiere decir que x puede ser reemplazado por cualquier nJ1mero R~al. x ~ 1t X puede ser reemplaZado) por cualquier número en-

tero. \

x (x ... 2 = 5 A 3x #. 6)

, VVerdad

Nagaci6n( y x) ""{'p _ q)

( Yx) N( ..... P V q~

(Yx) (p A ",q)

\1vValor de verdad

3.- Determine el valor de verdad y luego nieguelo

~ ]x)(x ojo 2 = 5-+3x = 6)

60

11 9 • x + 5 .. 2x + 6

daderss

Las siguientes funciones proposicionales convl'rtal.a en propoeicionesV.~

116. ( Wx) ex ~ x) ,

117. ( Y y) (y • 2)

11B. ( ] x) .e)( - x • "2)

ra. di x tal que x + 5 a 2

Niegue las siguientes proposiciones y dete~mine el valor de verdad

115. Todo valor da y ea m.~or que cero, al y .610 siraxlatan algunos velo

110. Existe un n6mera real qua multiplicada por toda namero raal da C8ro

1110 Hay algunos n6m.roa que son pat••

112. Hay algunos n6meroe que eon 1I11p.re.

113. Todo namaro natural 'ea mayor que cero

114. Ni existan valora. qua hacen que x 42 )C, n'1para' toda valor d. y,

109. Existe un n6~ero raal que "multiplicado par todo n6merc raal da aate

,108. Para todo nGmero real existe otro que sumada da cero'

107. La multiplica-c1&.nde da. n6meroa reale8 da otro nl1m8ro raal

,105. La aU..e de dos nGmeroa a~t8ro. noa da,otro nGmero entera

106. L. suma da dos n~meros re.¡Bs da ~tro n6mer~ 1'•• 1

103. Existe el manoe un eleme~to qu~h.c. que

104."Todo nGMero real, tiane u~ nGmero menor

2' 22) ( _ x + 4x + 4

2x ." 2

102. Pare todo valor de x 88 cumple que (x +

2101. EMistan algunos valorea de M, tale. qua x +5x-0

~crlba con a!mbolo., niegue y determine el valo~ de verdad en •

boa caaos

PROPUESTOSPROBLEMAS

61

, 62

t 20 o x ~2)"

~RESPUESTAS

101-.- ] )c,2 + 5x 6110 UX +2 I 6 , oYx, x + 5x + f.

102.- y.:X, ( 2 )2 2+ 4x + 4 V)( + • )C

] )(, ( 2 )2 , 2+ 4x + 4 F:x + x

103.- ]x, 2 • 2 Vx

Y)C , 2 J 2 ,rx

104.- Ya E: R, 'lb E: R. -b <a V

]a E: R, yb E: R. b ~a r105.- Ya., b E: 1. ]e E: 1., a + b • e V

]a, b ~ 1, ye E: 10, a + b .; e r'1

106.... 'a, .b E: R, ] e E: R., a + b 11 e V, e I

] a, b E: R, Y e E: R., a + b F"

107.- ,y" ·b E: R, ]e E: R. a, • b 1;: e V

] a, 'b E: R, Ye E: R. a • b , e F•108.... Ya E: R, ]b E: R. a + b ..O V

] a E: Rt Yb E: Ro a .. b f O f

109.- 'a E: R, lb E: R • a • b • 8 V

]a E: R, Yb E: R 8 • b , a r..110.... 'a E: ·R, ] b E: R 8 • b • O V

]a E: R. 'b E R 8 • b ,O r

,',.... ]a E: 1 • • 2p p E: 1 y

y. E: 1 8 ,2p P E: 1 F'

11"12.- ]b E: 1 • • 2p + 1 P E: 1 y'

Yb E: 1 a , 2p + 1 . P E' 1 F!

,'3.... 'e E 1+ e .:::..O-] e E 1+ c~ O

'14.- ( Y x) )C , x, ( ] y) y ... 2 ,5.( ] x) )(• x V ( Y y) y + 2 • 5

~'5.~ ( Y y) y> O ~ ( ] x) (x + 5 • 2) ..

135. NO

13S. NO.140. NO

133. NO 134. SI

136. NO .137. SI

139. NO 139. SI

141. S~~.U. Na •• puada cDnc~ui~

'43. Pa8ad al an.144. 110 Y •• 8'bad~

145. x + 2 • 3

146. Esta trabajando,'47. No·e. puada conc1uil

148. Na 88 pueda concluir149. No c••inar' da nacha

7~74

...

22.- - 5

21.-. 5

b=OO-eb.=s3

r -2,0 [e • O

]0'.)

. 20.-

I-bl-. - bl-bl • OI-bl • b

lel • -cIcl • O[e] • e

19...

1B.- I-al -••

221

r

/ r

116.-( ] x) (x • x), V

117.-( ] y) (y ~ 2) V,

11'S.,,{'x) (x - x , 2) V

119.-( ] x) x + 5 .2x + 6

1~O.-( 'x)(]y) x .21'

-.-

( ] y)

conc lus

E: JEMPL(

IIBl'I

1. Si I

p

T

Q'

EJEI'IPLI

P

conclu

oonclu

nalas

conel"

concl~

verdadEJEMPLO 1.56.- Si hay tengo tiempo, ver' t.leviei&n

verdad_pconclueit!",

varda_

verdad

p __"Q

-O

.....Q, se de'be ecapta r como verdadero ;J Pdadero p ~ Q, y

lay de Infer8r:tc1a(!'IodusTallando lt'Dllens).--Si ae acepta como "el'

Verdadconcluei&n

Verdad

Verdad

1:1) SI )(e 5 antancas' )(. O • 5

)( !Ir ,'5

Verdadconcluei6'n Manana ea mi'rcola.

Verdad

Verdad

51 hoy ea Martas. manana es mi'1'c01e8

hoyes martes

EJEMPLO 1.55.- .) Sea p, hoyes martasJ QI manan. a. ml'rcoles

Acepta~oa como verdad -~~ Q, y P

'Qconclue.16n

ea verdad

es verdad

es verdad

p ~ Q

p

Ley de infer.nc1a (~odus Pon.ndo Ponen.).- 51 P Y P __. Q ee 8ce~

tan como verdadero.s,Q nao.asariamente debe serlo (se d"be aoaptar que Q

ea verdadel'o)

La. regla. de inferencia regulan los tipo. d. razonamiento., y ••r

indicar'n a continuacidn la8 de mayor tisoan la. ~8tem'tic.a.

Se considera que loe argumento. 80n v'lidoa ·.i'81 condicional ••

una tautOlogía, y ai 'al condicional ee una tautología loe argumentos .on

v'lidoa.

En ~ demo~tracione8 matem'tlca. ee utilizan una a.r1. da a1'gu­

ment~8. par ello ee neceeerA determinar cu.l~. eon v'11doe o no.

INrERENCIA

64

\

\EJHIPlO 10580- Si llueve. hace frío P ~ Q verdad

IHace frío ti verdad

conclu!SicSñ Ll&lave .p 11

verdad.1. Si P.~ ti y Q son verdaderos, no ee puede c0r:tcl'uir qú'e P sea tambi'n

Razonamientos no vllidos.- Las siguientes .aen algunas formas propo

81clon81es. q~9 traen cons~go falaos razonam1~ntos.' "

S~ 11~.vg~hace frío-p ~'S

EJEMPLO1.57.­

P --+ Q

Q.~ TI

T ~ S

conclusicSn

p ---. Q, ~ Q

Q ~R... I

R ~S

S --+ T

~TP L

/

.Si llueve, 'haca fríoS1 11_VII, d ci"alo astar' cubiertoSi el r.ielo est' cubierto.~ no ap81'eCe el sol

hace' f,río...,

Si no aparece el sol,

,1 •

De forma ganar81 88 puede expresar qua' •, I •~

\ ..

..Si eon verdadBro~ los cond1clo

~ tambl'n deber' serlo

<;

Regla de la cadena d. -inferanci•••-I

na les P ---+ Q, 'Q ,---+ R. al condicional P --+. \

P ~ Qsso{

Q' __,. R

concluaicSn P __. R

No tango dineroconclusicSn

~ ;

'51 tango dinero, comprar' 'La- bicicleta

No comprar' la bicicleta

verdadHoy no tango tiempoconclusi&n

verdadNo veo tela~i.i&n

65

RAZONA

conclu

5. 51 IHoy:

canclue

SOLUCJO

'erenci~

SOLUCIOfl

concluail

Ellas noUt. ~

Eetoy inf'al'madocpnclueltSn

Si leo la. notici.~f estay informado

Leg l •• noticia.

Oatar.inar 81 108 siguientes razonamientos .on v'lidoe o no, y si

son verdadero. o faleaa.

PROBLEMAS RESUELTOS

Este razonamiento no ee vllido, pues no 8. condici~n'nacesari.que

para ver películas 88 deba ir al cine.

No veo películasconclusi6n

51 voy al cine, veo película·.

No voy 8'1 cineEJEMPLO 1.60 ...

Este razonamiento no as vllidO, pUB' ya hemoa dicho que no 8S CCj

dici~n necesaria qUB me atropelle ,un carro para quedar herido.

??No qued' ,heridoconcluai6n

Si me 8trapell~ un carro, q~8dar' herido

No me atropell~ un carroEJEMPLO 1.59 ...

Q seaNP son verd.defos, no se puede concluir que2, Si P ~ Q ytambi~n.

Este razonamiento no es vllido pues, para quedar herido no .~ co~

dici~n neceseria, ser atropellado por un carro. Una peraona puede resu~

tar h~r!d8 a causa di m~ltiples accidentes.

??concluai~n

,Estoy herido

verdad

verdad

Si me atropalla un' carro,quedar' herido

No se puede obligadamante aacar aata concluli6n, pues, al llover

no 8a condici~n necesaria para qU8 hag. frío.

66

No Ju~ail '~tbolconcluai!Sn

E,ta razonamiento ea valido y verdadero,

5. 51 hoy .8 Domingo, Jugar'"f~tbol

Hoy:nD as Domingo

4. Si leo eeta libro en~oncea. ·aprendar'

No aprendo

No leo aet•.libro

SOLUCION R ~S

""'s..conclusi&'n ""R

Eate razonamianto 8a vl11do y verdadero, puee cumple le leyde i~

'ereneia ~odue Ponando Panana.

QconclusilSn

. ,SOLUCIONo- Simbolizamos Batas proposi~iones

p ~ Qp

f t

51 x + 2 E 6 entonces

x + 2,. (;

Esta conclusi6n es 'verdadera pues. e8 condicil5nsuficiente que e.!

tudie para aprender.

Aprendoconclusi&n

51 estudio, aprendo

estudio

Eeta conclusi&n es v~rdader8, pues, es condici6n su~iciante que leo

las n~tipiaa, para estar 1nformado.

..RAZONA~I[NT05 VALIOOS.- ~e siguiente l~y p.rmite que se pueda juzgar si un

....,."nAmiRnt.n..-.,,&, ." ... '" ...... '" ,...,..n Al'", ... Avita

67

SCLUCIO

conclue

y - Q) y, Q,... p. y (N Q V • Q)

-P y VIVI

tanto, ai •• un razonamiento ,,'lidoPor

l< - p , .~) A p] _,. 'Q

,~P A ..... p) y (P A 'Q)}--) Q{Ir Y' (P A Q)]-+ Q

(p A Q) ._. Q

( "" P

El razonam'ian'tO_.J8v'~ldoEJEI'IPLO

Si as verdad esta afirMeoi&n(P-tQ) A P'='>Q

Se aplica la ley dal ~azonamientc ,,'lido

conclusi6n Q

SOk..uCION.-

EJEMPLO 1. 62.... Determine 511

p ---. Q

Q

co!"clusiSn Pt. un razonamiento "atUdo No es u

~odus Ponando Pones,es un r.zonaml~Q ~p.ridad SI

EJE~PLO 1061.- Demostrar que la ley

te ,,'Hdo.

~P _.

[c - p~ V (,...,(Q ,. Ir.Q ~ p

Un razonamiento as ,,'Iido81,e1 condicional entre la conJunci6n de 188 pr!

misas y la cbnclusi6n, .8 una tautología.

el aprenderse de memoria todas las reglas de inferencia.

68

sft razonamiento es vtlido si la ccnJunc!&n d. lae premisas implica 5CLUCION

lcgicamente la conclueiSn.

, '

tJEI'1PLO 1.64.-

No es una ,autolog!a, al razonamiento no es ullido.

(p " -~.,Q A P Q--4V 11' V ' V V V V,V U r 11 V f f

•r V 11 r r V V

f f r r r V f'•... "

SOLUCIONo-

Ea un razonamiento v'lidoI

conclusiiSn, Q

¡ .. EJEMPLO1.63.- Determina ,."

P " Q,p

Q ~ p

V V V,.: 11 ... V

V F' rr V r

la!!,

Q ~ P

~P ___. Q) A 'Q 1~ ~[( - p y Q.) A Q] --+ P

~ V (¡o.;~ A If>]-4P-l".! (e¡ ,- Ir) ~.p

:-

:.

69

Determina eH

No 8a una tautolog!. por lo qua el razonamiento dado, no e~ v&lidoT

..,Q ~p t por concepto de condicional no ~8 'una tautología, para mayor el,!ridad, se desarrolla 'la- tabla de verdad ,de Q'......¡ P o!

~

,SOLUCIONo- Se debe desarrollar el condicional. si ee tautolog!a, el razo.

namiento as v'lid9o

conel

cene.

137.

cone

conc

135..

ecnc

133,

con·

Determine si los siguientes razonamientos son v'lidos o no.

PROPUESTOSPROBLEfY:AS

Si as'tautolo;ía,el reionamiento hecho es v&lido.

te? v a) A - p] ___. QIl V V r r 'V v vv v r f r v l' v r

!' r v v v v r v vr r r v v r v r

10

Oetp v' Q

,.,p 131,

cDnclusicSn Q

conEs un razonamiento vIUdo

132

[ep " '1) A ,.,p j ~Q

No tengo relojconclu'ÚSn

Tengo reloj, o no .a que hora esNo 8B que hora ea

138.

No tengo dineraconclud6n

Juego P6kér, o no tengo dineroNo Juego p&ker

137.

No ganarl dineroconclusi6n

S1 trabajo, ganar' dineroNo trabajo

136.

Comprf una C88aconcluei&n

Si compro una caaa, no 'pagar',arriandoNo p~go arriendo

135.

No Juego rútbolccncluai6n

Si juego fútbol. bajar' da pesoNo baj' ~e peso

134.

No bajar' da pesoconcluai6n

Si juego fútbol, bajar' de paso~No Juego fútbol

Tomé un refrescoI

eonclusi&n

INo tomo ~n refresco o calmare mi 8edCalml mi 8ed

132.

'No ir' al fútbolconclust6n

Si voy,al cine, nc iE' al fútbolVoy al cine

'310

Determine si los siguientes razonamientos 80n v&lidoa o nc.

71

El e." en au o'icln. y .at' trabaJane.El e.t' .n .u atlelna'

•

S1 'heyno ••• 'bado, no d••ean.ar'

~i '1 ••tudi., pa••r' d. an.El ••'udi.

Si hoy e. d••ing., JUla~ "'bolHoy AQ •• ,d~in90

..le no •• pa"

x •• par, ~ x2 •• par

x2 no •• par

O.Dnclual&n

14'.

con,clu.l'n

145.

c.nclu.l&n

'44.

c.ncluailn

canclua1'n

'42.

Indique qua conclu.~.sndebe .eguir • laa ,pra.l•••.dad.a. p.ra que,el razo­n••l.nto ••a v'lido

conalu.1Sn. x no •• un nG••ro real po.itivo

x e. n~•• ro real p••1ti.e

Si tengo reloj. no .e .tr....r'

Si tengo reloj. ..bra que ho~a e.Si ae que hora ••• no .e .tra.ar'

72

conclu.tcSA

139.

RESPUESTAS

121. NO 122. NO 123. NO124. NO 125. SI 1.26. SI127. NO 1280 SI 129. NO'130. SI 131. SI 13Z.-NO

"\

conclu.i6n

,1-51. Si aa parro, tiene cuatl'ó patas

Tiene cuatro pataa

concluai6n

), 152. ",p V Q

#vQ

concllrJai&n

153. T ~S

-s"':-

conclua16n

, ¡ J.Si me :prestan un autom6vil, voy de paseo

C!'Si voy de pasao, me divertir'

Eatoy caneado

INo caminar' de noche o no estoy cansado

R

Q

51 tengo libroa, estudiar'

Si tenga libros, har' el deber

73

rema pe

METOCO

5

en loa

E

CONClUS

5·1

51

Si

51

74

'33. NO 134. SI 135. NO

136. NO 131•. SI 138. NO

139. NO 139. SI '40. NO

141. SI142. No •8 puede concluir

NOTA ...

1f3. Pasar' el ano

144. No y es s'badD METODO'45. )C + 2'.-3I

146. Esta .trabaJande

147. No .e puede concluirEJEMPLO

148. No .e puede cDncluir S

149. Na call11nar'de nDche

150. Si lilepr••tan un autom'vl1, lDedivertir' O

'51. No 8a pua~8 concluir Si."152. ",p Si153. -T

+f

METODO IN)JAECTO._ Hay dos ·formas de damostrar ·las pE'opoaicionas dadas por

eate m'todo.

Si no aa p08jbla o 88 difícil demostrar una prop08ici6n dada o un t8~

fema por al ~'todo Oiract~ •• a deba r.cutr!r al siguienta m'todo.

En .1 capítulo 5, c~n.tan una 8arla de damostraciones de teoram~.,

en lo. que sa U8a al m'todo directo.

" Si a as pa~ .y b 8a pS'ranten'cas, a ..b e8 par

y queda 'demoe~rado que I

a + b e8 pa.rCONClUS ION..&-

Si a + b a 2p entonce8~ 2 divide a ..a + b"

sl ~ divid~ a ..a + b" , a + b 88 pá~

Si a + b • 2(m + n), t a • b • 2p, P es entaro

Si a y b .on parea. 2 drvlde a M· a y b"J

Si 2 divide a " a y b", a a 2m y b & 2n (m y n 80n

EÍnteros)

P~Q

a y b eon númerqa parea i PDemoetraci6n I

~, a. b 8a p~r ¡ se simbolfza as!Ps a B8 par y b 88 parSi

EJE~PlO 1.65.- Demostrar N Si a 8S par y b as par, a +. b 88 par"

METODO DIRECTO .- A partir de-las pre~isa8 ,dadas, se de6uce una conclu8i6n

verdadera.

NOTA.- Para comprender 108 ejemplos da 10& m'todo8 de demostraci6n, 8erecom:'endalesr .al capítulo C:lIartc.

METOOOS ~ DE~OSTHACI0N

lIardad.P~P1

P1_'" P2r:.

P2__....P~

P3__"P4

P4-+PS

PS_"'Q

Si a • 2m y b ~ 2n , a + b • 2(m + n)

75

fi, antone •• , fi' allun na••ra irr.oional51 x •

(-JEI'IPLD1.67.-/2 e. un n,a•• ra i'uacional. Pede.o •• xpr••• r eata prDp08~

eteSn en for•• de condicional.

•El .lguiente •• un eJa.plo da d••o.tracteSn que n•• 11.varl a pla!!.

t.ar una p.ropo.ici'n contradictoria.

, "eR CONTRAOICCION O REDUCC'ION iL ABSURDO.- Can.ra'. an aupen.r que la ca!!.

~ clu.l'" (t.at.) •• tal•• le1aondic1enel e. 'al••). '1 uaand ••• te. condici.n~ ••• d••arr.lla la de.os'.,.

traer'", la 'que,no. 118,,,ar'a concluir una prap••icieSn,cantradictor.is o

ab.urda, p.r., .1 r.vis.r al·proc •••• a co.pro~ar' que el procadi.iento ea

carreato, por le qua a. conCluir' qua al .1'1'01' qua, no. llev' a ••• tipa de,canclutl'n tu' el auponar qu~ la concluat6n dada an .1 condici.n.l ara tal

.a, por lo qua ha,br' que .c.ptarla calla verd.dera y ta.bi"n el condicional •

a •• t.par

,a • 2•. +, 1••••• nt.f.a2.• (2. + 1)2a2 • ..2 + ~. ~ 1

a2 • 2(2.2 + 2.) + 12a • 2p + 1. p •• ,.Rtera2a a. tapar

. '

Ca .1••a de.o.trac1~n .a puada r.al1zar, .in eacriblr co.a,pr.p'~.!

ciene. cendiclenale ••

·51 .1 cuadrada de un n~•• ro a.Can••cu.nt ••ent. h•• a. a•••• tr.d. qu •••~.~.n\.no ••• 1 n~.ar ••• par·

77

2 2 2 2+ 2.) + 1Si a • '.. + 4. + 1, a • 2(2•

Sl 2 2 (2.2 + 2.) + 1,2

11 2p +'1, p •• .nteraa 11 a2 .:.. 2ji • 11 2p + 1 '1 p •• ·.nt.r., a •• i.p.r

CONCLUSIONI .1'a .a 1.par, 2 i.para e.

VEROAD~ es un númaro irracional

tata concluai6n 88 contradice" con le aupo.ici6n inicial de que a

y b son primoa, á8t~ndo bien todo el proceso, al único error 88 ancúantra

en supon~r que la concluai6n era ralaa, por lo que ~ebamoa re~ti,tcar y decir qU8t '

CONCLUSION.-"!. y.J!. son antaros, par •• , por lo Que,.!l2,!.!u!., primo••

Si b es par; entonces bOa.2r, r al'entaro

b e8 par

1. ~El siguiente ejemplo es"una damostraci6n da una proposición. que 2.

al admitirla como ralsa, n06 conduce a una proposici6n absurda.

p (,

, 2"b ell parSi b2 11 2p2, entonca.

Si b2 ea par, ento~c~s

2 2 '2 2Si 4p 11 2b ~",entoncea b • ,~p

51' 2 2b?• 2a 1: 8 es par

51 2a e8 par, e B~ par

~i a ee par, ento~ces a a 2P, p ea antaro

Si a a 2p, entoncea (2'p)2 11 2· b2

Si (2p)~2 . ,

4p 2· 211 2b entonces • 2b·

51 2

INOI

Se desarrolla el procesa, partiendo de 'ata úl~ima,propolici6n~ ea un ~úmero racional

as un namero racional, Vi • alb, ~ y A !2U núme~ primos entre !l.a alb, 2 c,a2/b2

"2 2 2 2=r' a lb t a .' 2b

Si flSi :fl

En .ti!,

oia.no

UERCAO~ es un número racional

POR TANTO

en

El

rAlSO

V2' ; Q I -O" e8 un número irracional

Suponemos que la conclusion es 'ala8

f2 e8 un número irracional

p s x =

78

1. Pea) daba axi.tir

2. Pea) ~ pea + 1~ daba 8ar verdad

p (x)

~DnsldBr.8. qua aa va a dem08trar una r&rmula.• uns propolici&"

INOUCCION MATE~ATICA.- Ea otro _'todo de damoatracl&n ~UB S8 basa an 106 ~guiantB8 axiomss.

En la. doa aiguiente. capítul08 da las n~.er08 r.ala. como un campo, 8. u­t~l1zan eatO·8m'tod08~

~Si. x ~ O , 1/x 1,0

Hamo8 obtenid.~una propo8ici6n ab8urda, 88 decir que la conclu8i'"no e. 'al••, alno mi_ bien verda_ara, y como con8eCuenci. 16gica el condi-

I

~ional tambi'" e. v~rdadaro. quedando de.~8trado que e8 verdad qua.

o 11: 1·

x. 1/x • , •t. ....0 • 1

\

He.ae aceptada que ••rverdad que 1/x • O, por lo Que ree.plaza_oaIn la ~lti.a prapo81ci&n

Si

partimol de la sandici&n dada

x ~ O

x ~ O, x (1/x) • 1

VERDAD1/x • O

,Se Con8idera qua el condiclona~ e~ 'a~Bo. es decir qu.~la conq¡u~

111n ·e. 'al.a, par ~a qua.

Si.x ~ O, 1/x ~ O."

EJE~PLO 1.68.- Demostrara

79

Axior

p(n)

Axim

• + (n"")r• + (8+1') + (a+2r) • (8+31') ..

EJE~PLO 1.70.- Demostrar qua

2 • n ... 2n + 2" 22 3n .. 2n t

2

1 2 ..3 .. 4 .. 5•••••.• + n ft'n+1} hipote8is aceptad. CDRlO verf. 11 2dadara

1 2 ..3 .. .. .. 5 ••••••••• n .. n + 1 n 'n. 1l + n • 1+ 11 2

(n.1-) (n., + 1 )2

n(n,'l2

2.- P(n) -4 p(" .. 1) • deba S8r verdad

Pn 1 2 :5 4 5 6 •.••••••• n :n,n+~ )+ .. .. + + ..

• 2 l.

Pn 1 1 2 ~ • 4 5 6 n + (n.1) 'a+3 HD·21• + • + .. + •••• + 11 2

Si exiata Pea)

3{3.1)1I62

·n(,. • 1)2

si sa sUllla1, 2, 3

1.- Pea)deba existir•

1 .. 2 .. :5 + 5 . 1) '.n·en ..2

lIIero da aleaento8 que sa aUllan.

EJeI'lPLD1-.69.- Oallo.trar qua la SUllla da 108 n n~lIIarosnaturala. (an forlaa

.rdenada y consecutiva) a.ta dado por n("+1) , n 88 al n§2

80

"Axioma 2 .- P(PJ) ~ P(n.1} dabssar verdad

Se parte de P(n}

(8+ ~) (8+2r) ... (8+3r) I(a+ (n-1 ) r) n(2a + ~n~1 ~r ¿a + .. + • • • • • • •• + • 2

8 .. (8+ r) + (8+2r) + <-a+3r) + ••••• .. (8+(n-1)r) • (a.n1') •n(2a +~n .. 1)r) (a .. A,.)2 •

r n (2a+ (n-1 )1')+ ( •• nr)

2

(n ...1)r) + 2a + 2nr2

ian 22a + 2n1'+ .n l' .. n1' +

2 ,2an

nr (n. 1 ) •+2

-;

(n+1 )(28 + nr)p (n. 1 ) 9S verdad2

P ( n ) ---;. (p (n+ 1 ) es verdad.En consecuencia queda demostrada la fó¡;,mula o igualdad dada.

P (n. 1 ) . a... ( a+ r) + (8+ 2r) + (a. 3 l') + •••• .. (a. (n -1 ) r) • (8+ n r ) a:

Cn+1) (2a+n1')2

n(2a. (n-1)1')2=

Exista .I

a + (8+t) + (8+2r) .. (a+3r) + (a+ (n-1 )r)P(n)

según la f61'mula

2 [ 2a·. (2-1)d2 . 1: 2a:4' r

2a'" + ra • ( a + r)

Pea) existan = 2'

Axioma 1 .f't,

81

EJEfIIPLI

SOLUCJI

EJEPlPLI

SOLUCII

ElEfIIPLI

al'n. t

ceda a:

SOLUClC

SOLUCU

EJEfIIPLC

todos'

SOLUCIC

EJEM~LO 2.5.- Le. el siguiente canj~ntOt y datermina si a~t' definido por

compraftai'" o por .xten8i~n

A = ~ a,b.c,d •• ~

BiF-INICIDN.- Un conjunta .e puade definir de dos fDr~a.,a), Indicand,. todaa y cada uno d. 111. elementos que son !parta

dal canju~t., y .e le conoce COIROI Conjunto por extensión o par t.bulación.

b) Par comprana16nl Ea .tra for~e da daf~nir un canjunto. en

'.ta .a daba indicar .610 18s'propiedades que daben tener las aleman,tosp.!

re que forman pa~te del conjunta.

la preferible qua na ae usa la. letra. (p,q.I',a,t J p,o,a,S,T),para qua no S8 confunda con les proposiciones o anunclad~. en L'gica.

.,b.c,d •••••••••• y;z.cula••

-NO;'fACION.-" la. c.onjuntoa d,e l•• repreaenta por:cualquiera de laa litre. »

lIIayOacula•• -_

A.B.C,D •••••••••

A 108 .l••anto8-d. l;osconjunto. •• lllsdenota por letra. min~.!

EJE~PLO 2.4.- La. letras del.alfabeta.

,-

EJEMPLO 2.3.- La' nOmara. -3,-2.-1.0,1.2,3,4.

EJEMPLO 2.2.- Uas parroquia. de la capital dal Ecuad.r.

EJtMPLO 2.1.-· L•• ciudadas capitales de provincias del Ecuador.

CONJUNTO.- Intuitivamente •• canaldara ~ua al conjunto es una reunt6n, una

col.ccl6n da obJato. bian dafinido., 8stOS objeto •• e llaman .­

lamenta. del conjunto. .

2CONlUNTOS.i<"TECRIA

,A 11 J: .•••.• -8, ..4 • -~ • O • ,2.4.6, B,1O. ~ • '•••••••• ~SOLUCION ...

,EJE~PLO 2.9.- Danetor al conjunto definido por cGmpransi'n an .1 eje.ple

2.8, en,un conjunta ·da,tnido por axtanaicSn•.

SOLUCION.- El conjunta _ e.tf dada por lea al•••ntOD x, tala. qua x ••ann~••ro8 pare.. Eate conjunto a.t' definido par cDmpra••i'n.

"1

t {EJEfIIPLO2.B.- R.alizar el ajll'clcie,antel'ior .1 ea cen.ca al sigUIente ·coD,

Junte. '

.,. J x/x e. pal'~

, .11'n, debida a qua en el conjunta .a indica una propiedad que daba cu.pl!r

Cid. eh.anta par. fen.ar pOl'ta de ~,.",

SOLUCION.- El conjunta e 1St' dedo par l.e ele.~nto8 x. talaa que x .aan·

letra. dal _lf.bete. Eata canjunta a.tl definida par compran-

EJEfIIPLO2.7•• Lea al aiguiente conjunta y determine

extanai'n o par compran.i&n.

~ • Jx/x 80n latras del .ltabatal

SOLUCION.- El conjunta B a.t'· for.ada par la8 al~.an~D. 1,2,3,4,5,6,7; e~

ta conjunto eett,'definido par ·~~tanat¡on.

SOLUCIO~- El conJuntCl A.lstl 'er.ad. por laa al••antos a.b,c,d,a; este

conjunta a.ta dafinid. par axtanai'n por cuanta en '1 CDnatan

todos 118 alamento ••

83

,EJEfIIPLO 2.10.- El conJunt. B qua e.d detinida por. t.bulacUn e.cribirlo. "

por Q~.pr....Lfn.B ~ t.,b,C.dt· •••• ·•••• ·•••• ~.ytZ i.

SOL UC10

CJEMPlO

nota po

PERTer·;

EJEMPILn

4 si es elementorV

U no AS elementoSi "1 1: O

y ro 2

F'V

rV

8 = (y/y + 2 = 4 , Y E H pares POSitiVOS)

y + 2 z 4 V y €. N pares positivos

(JEI"IPlO2.~?-

x+2=4 A x e I par

S1 x = 4r r V

4 no es elemento de A

en conaecLfencia

F1 na es .remento de A

Si )(= 1 rX f.' 1 pa rAx.. 2 .. 4

por l~ que 2 9S elamento del c,onJunto A.I

Si al conju"!tll da Númer·os Paras se fep rasanta por I par

x ~ Números IIlU9S t.ambién es verdad

V A V

V

A :: ('x/x + 2 ,=x+2::4

Si x = 2 la proposición x+2=4 es verdtdera y

.J

f'Númsros paresl-

4 Y XE:JEMOLO

propiedades).

qus hacen verdaderas las prop~9icioneB dadas (SU", .lEFINICION DE CONJUNTOo- Un conjunto osta fbrmado par todos los elemento6

N~ .- "ay algunos conjuntos muy &~ten90s. por lo que no se e8cric~n (al

definirlos por axtensi6n} tódos BUS elementos, sin embarga intui·

ti lIament. conocemos qua elefllentca faltan. y se sigue -cons í d'!Nj·do que el

conjunto esta definidQ por extensi6n.

B = l x/x sean latra~ del alfabeto ~

84

a ¡,:. e a pert!3neCf~ a eb t e b :J f;r t en ec e a ee ~

,...e pertenoce a ,..:. ..

d S e d p.e r ten 17e e :z e~ ~ e o pe r ~,E'tila:;~; í.

..

.SOlUCION.~ Lo~ elementos a,b,c,d,e forman parte asl c~nJunto. por tarlto

{

le pertenecen.

c:JEMPLO 20140- Determine la ralación de pertenencia en el .S~gui>31Ite cor.ju.D,te

, .

P[AT[NENCIA.~ Todos 109 elementos que forman parte de un conJ~nto, ~~ jl­

C~ q.úe le parter.ocen, y dicha relaci,sn ce perter'd3l1cia se d~nota por el símbolo E ~

e, = (1, 3 , 5 ;7 , 9, 11 ,1'3 •••••••. )

finalmente tenemos que los elementos del conjuntü e 80n

x sea impar posi tLvo

"1 V , es elemento2 r 2 no es Alemento3 V :) 8S elemento

e ., t x/x s aa impar posi ~ivo J

B = ~ ,2,4,6,8,"0,"2 •••••...•. t,

un óefini'tive f:! BstaréS formado por 1,09 elementos que pertenecen alI·t_.e" ,... ~, r;- I t !i<"

~ conjunto do n~meros enteras pares pasi~jvoH.1,lA;

85

Y :: 4 r V ,rllJ 4 si 8. elemon t·.,

y .. 6 f U 11 6 si ¡.S elemanto

y ~ 8 f , V V si es eleme'"l~o

11

d

mn

s

C = ~ •••••••••• -~,-6,-4,-2 )

Este conjunto tambi~n ~s inEinito, porque nb CQnoc~mos todo

E.J'::~PLO2.18 ...

B = { 2, 4 f 6 , 8 , 1O., • • • • • • •• ~.

podeMOs ~bSBrvar Que es imposible contar todos los elBm~ntos de esta con­

Junto,po~ lo Que se trata de un conjunto ipfinito.

por 9xtensi6n

EJEMPLO 2.17.- 8 a=.~ x/x sea ¡Jar y positivoEste conjunto esta definido pnr comprensitSn, lo deffnimo8

EJE~PLO 2.16.- los siguiente~ conjuntos.Bon finltos

CONJUNTO rl~ITO.- Es aquel que tiene un n~mero determinado de elementos,\

no importa que el conjunto Bea muy extar~o; ~i se PUB-,de terminar el pro~eB·o liecontar a todos" los el~mentos ·(por cuall.juier1111...todo) se considera finito, ~n ceso co~trario se lo considera lnfinito.

CONJUNTOS fINITOS ~ INfINITOS

."'6 ~ 83 € 8; 4 ~ B 5 E B

SGLUCION.- El conjunto de este conjunto est' dado por comprensi~n, y podA

~os determinar que todos los elementos d~ben S@f n~m~ros 1.pa~

rrs, a partir de esta propiedad podemo~ determinar si, los eleme~tos dadol

pertenecen o no a este conj~nto ••

~E....fMPLO 2.'5~- Determine si los si!)uientG!J elemEntos 2,1,3,4,5,6, perten.!

can al 5iguj~nte conjunto

.8 .. (x/x soa impa~t·

86

A '"~ a,b,c,d,e,f, •.••••••·.y,z8 :11: t1,2,3,4,5.6, ••••••• l'ooo.aooC ~ ~1 , 2 J J .4, 5,6, ••••••• , 00 )

J

O :; t ·x/x sea un número natural., y menor que 10.000

El c~.)njunto. A tiene 27 elementos: Al conjunto O tiene 9999 element·o8, 88" , S;

te último conjunto ss pxtenso. pero ·ss fin·i'ta.

EJEMPLO 2.20.- Determina la ralecidn que existe entre las conjuntos A y E

A • t 1 .2',3 t B .'(1,4,2,6,3)r:. ,

Loa elementos 1.2 Y 3 del conjunto A, tambi'n estan en el conjunto 8, pe:

lo tanto A 89 subconjunto de B • A E. B.

Af"B

, SUBCONJU~T05.- SI todos lOe elementos de un conjunto A 80n elementos de u

conj.unt'o8, diremos que A ea un ,subconJ.unto,de a, la Que p'

de~os rapresentar .ediante el símbolo & ~ (st. conca~to mediante'sI.bole

ae'8~cribe así, ,...,-

,2,.4 ' 'A imparx )1( 8a.

2 . 11 f r 2 elementono ea

-2 V . r r -2 no 8S elemento

,1 r f IJ 1 no 8S elementor, 1 r .~~.'-. ... '

ninguno de,estoo elementos 8S impar,. por tanto eate 'conjunto no' tiene a18'

~Bntos y 8S un conjunto vacío.

x = -2 son loa n6meros que multiplicados por aí mismos da~ 4, p~rrX :1: 2 ;

-,impares.

SOLUCIONo- El conjunto f est& formaDO por los elementos x, tales que multj

plicadDB por .í miam'o 8ean l'gual a 4. y adem~s "que,88an n~inero8. .

t'

•• ~ D t x/x2 • 4 Y x aea impar t- ,cio.

EJEMPLO 2.19.- Lea al Siguiente conjunto y Determine si es un conjunto, ".1

I

CONJUNTO VAtIO.- Es un .conJunto que no tiene elamento~ y se represent. pot

-

BUS elementos.

81

stJ

y

S(

"l'

pl

j\

B

s

ID

EJE~PLO 2.240- Dados 108 co~juntos

·A • B f--+ Y x€ A . , x € B A , x E B t X € A

o tambi'nA.B~A~ByBE,;,A

IGUALDAD DE CONJUNTOS .... 008 conjuntos son igua'les,si todos 108 elementosde Uf) conjunto pertenecen a otro 'Y vice\lersa,o

tambi'n al los dQs conjuntos son subconjuntos entre sí. Con símbolos:

EJEMPljJ2.23.- 51 ss con.idef8 el conjunto A • r 8 } • y el conjunto vacío

B, se establece la relaci6n entre astos de la siguiente m!

nera.e g_ A

Nota.- 1) Del ejemplo anterior 8e pUBd~ acotar ques si hay por lo menos un

elemento de un conjunto que no perten~c8 ~ambi6n al otro, no habr'

relaci6n de subconjunto antre 'atoa.2) El conjunto vacia se considera subconjunto de todo conjunto.

pero el conjunto E no tiene el elemento 1, Que tiene al co·njuntoF:, 1 ~ E

Y 1 E' F'; por lo gue el conjunto·f no es subconjunto de E; F' i [.

6~F'y6EE2 E'F' Y 2 E E; 4 E' F' '1 4 E [

SOLUCIONo- Los elemantos 2,4,6 ~8rtenecBn al conjunto F y [.

J determina la relaci6n

EJEMPLO 2.22.- Dados los sigu"ientesconjuntos

E = {xix 8ea par). y F' = f2,4,6,1que existe entre Bstos conjuntos. '

SOLUCION.- a,b;c pertenec"n al conjunto A y B por lo que A es subconjunto

de B. A ~ B.

B ': ~ a,d,b,c,e tA • t a,b,c }

EJEMPLO 2.21.- Determins le felaci6n entro los siguientes conjun~o8

88

SUBCONJUNTO PROPI~o- A es subconjunto propio da B, (A e a) si A ss Bubcon

ae #. O

y por consiguientee • o F'

.,según la propiedad del bicoñdi~ional (p~q) a1 q .es fa180, p deba 8erlo,para que .~!I prop~aicicSncompuesta, (pH q) Be~ verdad, por lo 'q~8

F'

0., g leIJ ;

e ~ D

F'

C • O

SOLUCION.-

EJE~PlO 2.25.~Determinar si 80n iguala8 los co~Juntoa

'C' • ~2,:5 ~5 , 4 t ~ t. y I O. {.4 , 5 , :5 • 2 i, ,1

• • verdad, 8e concluye quaA~8yB~A'A • a

por l~ qua siando

A • B ~ A E B A B e AIJ V

11seg6n la propiedad del bicondicional (p~q) , sl q e8 verdad necasaria..

mente·p e8·verdad

A = BDa otra forma. se~ún el concepto

A • B ~ A e" a A a e AA es subconjunto da a, por tanto , VB as'subconjunto de A', por lo que 11

-SDLUCION.- Es evidente qua todos los alementos de A pertenecen 8 8 Y que

los de 'sta tambi'n pertenecen a A, por tanto

A .~ 1,2,3,4 t y B = ( 2,3,4,1 lDetermina 1.8 relacicSnque a)_tistaeAtre e1,l080

89

50LUC

EJEMP

ce queas!:

A Y B

COMPAR

H e

d) H 'º'

e) E eEs I

b) e tNrn~

que

a) a e

SOLUC 1(

A

C

E

H

a)b)e)q)

EJEMPLO 2.28.- Determinar la re1acitSn da Bupe1conJun:to entra 108 siguien ..

tes co"Junt-os

SUPERCONJUNTO •• Si A es subeon~unto de S,entonees, 8e puede decir qua B ae

suparconjunto de B~

SOLUCION.';. )

A e .8 y B e A. por t.anto

A 1: Sademis

A f. a pero A ti: a •

EJEMPLO 2.27.- Determinar que clase de Bubconjuntas son A--y S

A =-\d,c,f.-' 8 =IC,f',dl

ralsoA e B8 ~ A_

P8ro~ no todo 8ubcon)unto as s~bconjunto propiO ~

verdadA ~ BA e B

Nota.- Toda subconjunto propio ee-un 8~bconJunto. as decir

A 1:, a",b, e , 8 =1 a. d. e,.btA e B .f-+ A f B A A ~ B

\1 vV'

ConclusicSn.-

A e B

EJE~PLO 2.26.- Deter~inar si A es subconjunto propia de 8

Yx ~A,

A .h B

x t AI

X e a A. ). x e B,

A A J B

junto de B y A es diferente de a, ~ si todos 108 elementos de A pertenecen

a B y existe 8196n o algunos elementos de 8 que no pertenecen a A.

'Mediante ~mbo~os:

90

\.

SOLUCION.- Podemos ~etBrmlnar qúe el conJu~to A es subconjunto de 8, pues

EJEMPI.G ~t2' •• oa~,Q. los conJuntQ8 A =11 ,2f4~~~ 1 ~ p =12,9,4,3,11'dei~rmin8r él Bstos conjuntos 80n comparables.

'. '

I

A Y B 80n comparables....A e B o a-e A- . -~

\COt-lPA~RACION'OE:CON:JUNTOS. - Dos c;:on'Junt08son compcireblas,si cualquiera da

I • • I •

all08 8S SUbconlun~o d,¡ otro., . \A Y a 80n comparables, si y B~lo si A f. B o B & Aa y si AJ.B y B 1A, 8a di

ca que Batos conjuntos no 80n comparables. Esta concepto lo simbolizamosas.(;

H 88 8~perconJunto de 1 , ~ tamb!'n ! B8 suparconJunto de H...

d) "H .s; ! porque H = 1, por t~nto

HJIQI:JH

. "[8 decir qua. r::J E

r ~s superconJ~nto de E '

c) E e r

b) C t o y o t. eNihg6n conjunto BS subconjunto del otro por.l~ que no se ,puede ind'c.rque uno de ello, s.a superconJu~to del otro.~

a) B e A por ténto podamos ~firmar qua

A as 8uperconjunto ne S

A J e

a) A .. 11,2,3f ;'S =( 1, ~ I...b) 'C = Ie,b 1 I O eJ a ,"c, d J.j

e) [ ~ 15•61" Ji' ='5,6,7'd.) . H s; ta,b,cl .¡ =1 a, b, c I

SOLUCION.-

91"

EJEMPLO 2.33.- DBtermine si el aiguiante cQ""JuntoC. e8 una familia de ce!!,

l juntos

C. (a, (b,C~ ,~d.an

El conjunto A esta for~adD por los elementos conjuntos; por lo

tanto A 88 constituya en una familia de conjuntas o an un conjunto da con­

juntos.

~5) ~6,~)'

HS}·t6•7t.! •SOLUCION.-

EJEMPLO 2.32.- rormar un conjunto~ que tenga como elementos 8 los &iguiAn­

tes conjuntos

,Si todos 108 elementos 80n conjuntos, ea le conoce como un conjun-

to de conjunt06 o familia de conju~tos, y 8e le denot~ por letr~s subraya-

das.

En este conjunto A hay tres el,mento8, 108 elemeQtoB 5,9, y

adem4s el elemento co~junto formado por 6 y 7.

EJEMPLO 2.31._..

CDNJU"TO DE CONJUNTOS.- Hay ocasiones en que u~ conjunto puede se~ eleme~

to de otro con)un~o.

SOLUC ION.- Estos con'juntosno'80n comparables, pue~ e t D Y D $. c.

EJEMPLO 2.30.- Determinar si los siguientes conjuntos son comp~rables

SOLUC

EJEM~

m1meldo nc

a poI

SOLUI

EJEM

to u

dara

CONJ

lo a

SOlU\conjuntos A Y B son comparables.

todos 108 elementos de A pertenecen a B, por lo qua S~ concluye que estos

1t ~. sstos son ele-, y'SOlUCION.- Podemos forma~ dos_subcQnjuntos:

...mentos del conjunto potencia

EJEMPLO 2.35.- formar todos 108 subconjuntos ~osibles de, .,

CONJUNTO POTENClA .,"': (st& fOJ;mado'por todos 108 subconjuntos qua se pueden

·ormar con 108 -elementos de un conjunto.

u .. ~ x/x sea .Rea~ t

En el ~rimer toma de esta libro', trataremos 8610 del conjunto de

n~meros reales, por lo que ~sta ser' el conjunto Universo, siempre y cua~do no s~ diga lO,cont~~rio h

,U = ~" 2,3 ',4, ~, 6, 7,8.9,10,1 2,13,1 4,1.5,1 6',17

todo depende d~l tipo de ijercicio que ae e8~a realiz~ndo.

u lO {2,3,4~5,6,7,'B,9,'O,12}o podemos con~iderar tamql,énel siguiente conjunto Uni'verso

SOL~CION.- El conjunto UnivRrso estar' dado por

A .. ~ 2,3,4,5 t Ee ,:r( 2',3,B,9,,10.1? t ..

EJEMPLO 2.34. - Si consideramos los 1conjunt08

derando.

CONJUNTO UNIVERSO.- Esta fo;-mado al me'nos por todos' los elementos que pe,!.•

tenece" a ot·ros conjuntos dados o Por tanto el conju,!lto universo debe ser' euperconjuntó da cualquier conjunto que se este cons1,

lo ,eso_

"-SOLUCION.- El conjunto e no puede ser considerado como una familia de con

- Juntos, debido a 4ue tiene por lo menos un elemento (a) que no

93

rI~

1

Et

SOL'UCION...Ejemplo 2.31 aea A. ~. \al Gonjunto potanci·. as 2nA • Ha,~

EJEMPLO 2.38.- Expresar med~.nta símbolo8 108 conjuntos potencia da 108 !jamp¡os 2.31,2.32, 2.33

Nota.- Para deducir la f~r.ula 2n he_os Impleado el m'todo de r.zDnamie~c

induc'tivo.

nA[1 n6mafo da elementos dal conjunto potencia BSt' dsdo por 2 •

aiendo n el n6mero de elementos del conJuntb A.

De esto, podemos deducir qua"el n6,.ra da sL~conjunto8 8st'; dedol

por la f~rmula 2n• siendo n el n6mero de alemantos del é~~Junto, sl al n~

mero de elemento~ da un conJun~c as 4. al n6mefo da BubconJ~nto8 Ber'

24 • 16. Los.conjuntos pote~c18 108 podamo8 ai.bolizar por 2~A.

El conjunto tiene 2 elementos, 108 sUbconJu~tQ8 80n 4.

I j

OBSERVACIONo- De los ejemplos anteriores tenemoa qu~ sl: El conjunte

1 elamentO. loe subconjuntos son 2.

s

EJE

DU

talal

SOl,;

'4,5,6 ,t4,6t;t516~:

{4,S t. (4,6}!

Eltl'lPLO2.37.- F'ormar a~' conjunto potencia del conJunto

lDS 8u·b·c~njunto~acn t 4,5,6 t ; t~~~i ;~~\ ;,~ 5 t ; (6 ~; y el conjunta potencia ee ~ l4-,S,6 )\5~6r,t4\ t5),"t't, pi

CON

EJEII

Los subconjuntos son ta•b)el conjunto' potlJncii es 1 t a,b) .. ~ a t

EJEMPLO ~ Obtener el co~junto potencie de {a,~t

94

,.EJEMPlO 2••30.- Rapre.ante&" .edian(e lo. dh~r.III•• da ~·.nn. 108 eiguient ••

conjunto.

4

32

1A

SOLUCION.-

tJE~PLO 2.42.- Rapreaantar al siguiente conjunto

A • t 1.2.:5.4 t. lIIadiaOnt.diag ra.•••-da Vann

OIAGRA~AS OE VENN-EULER.-· Los diagramaa no. permiten representar a cual.~quiar conjunta, utilizanao 'igura. gaom'tricaa.

;•

• I

A Y 8 eon intafs-aaantas'.

A y C son ~o intefsaasntaa.

B y C son no inters8cantas •

SOLUCION.- Loa conJuntóa A y B ~on inters~cante8, P9rque tiane un ale.en·

to cam6n lb). Los conjunto¡ B y C son no intaraacant8s. puea·,to qua na tienen ni un 8610 ele.anto com6n, lo mismo 8a puede afirmar da

lo. canJ.Mftt08A....y C. .

cantes o no.

A.II t B,b,c·1 B = t b.ep i

, .~CONJUNTOS T~TERSECANTES.- Daa conjuntos aan inter.aaanta8' sl tianen elf

m.81'1toB cOllune'e.-

EJt~PLO 2.40.- Sea e 11 t'4,S.6) ,'81 conjunto potencia 8.• Il ". s •6 f • ¡'4. 5 1 ; ¡ 4~6 f • ¡ 5.6 !; l4 f • I 5 1• j 6 I,;"}

, el conjunto potencia 8S~

•B • t a ,b l·IÍ~ ,. lI,b l

EJE~P~O 2.39.- Sea

2nB

9S

11

SOLUCION.-

A ,= (.1,2,3e a ~ 6,7,8,5

EJEMPLO 2.45.- Repressntar los siguientes conJ.untcaslIediante diagramas 11neales.

O,IAGRAI'IAS LINEALES.· .. S. diferencia de los anteriores, en q.ue sstos diagr,!, .•a8, lJtilizanlíneas en lugar de figuras geom'tricaa;

y ademls 9610 sirve para representar la relac16n de 8ubco"Juntos.

B Y e acn no intarsecantes

A Y e 80n no interssoantea

:\

A Y B son,intarsecantes

SollJ

soi.ucrca, -

EJEMPLO 2.44.- Utilizando lcs,diagramas de Venn-t'ulBr. represente los con

juntos del ejemplo 2.41

1.-

SOle

E al

e 11

B a·

f.

~.SOLUcION.-

, EJE

B 11 { b,C,a.r}A • { a,d,b,c t

96

Con,Juntos por COlllprensiónA

a) A 11 ~x/x 8ea .voc'al) (b) B '" .~x/x 888 par y P08~ ti VD ie) C • ~x/x a8a una da las nueve primer,as letr88 del alfabeto

d) O 1: ( x/x ,. x+2 _ ,_ 2 ~ )(~'. l

,Solucl&n.- Conjunto. por 'extensión D t8bu......c:i6n

a) A =.(a,a.i.o,u ~

b) B "', { 2, 4 , ~ '_B,~ O, 1 2. • • • • • ):

e) C·. ~a,b,c,d,8,f,g,tl.,ii 'd) o ~{4,6,S}

lamentos

a) a,a,i,o,uI

b).·2,.,6,B,1D,12 .. n \c) a,b,c,d,e,f,g,h,l

e) 4,6,5

1.- E8cribir con~~nto8 por Bxten8i6~ y compr~n816n, dado 108 stgulantsB •

'\

\,;

CA/\~Bs o ~_~

E

PROBLEMAS RESUELTOS ~

1

SOLUCION..-

l·

A ""~o,P,q,.r,B,_t,utp,'q,r,i,j,k) _.

e 11 t 8.,b,C.d ••••••••• x,y,zf .. I

B'II (8"'9,h,id,k t J [)...= ~

E ar i,J,k l

conjuntos

'EJ(~PLO 2.4&.- Utilizando diagra~a8 lineaia8~ re~rB89~ts los siguiints8~ .

97

_I

4.- [

-1,5 no ea elemanto da ,ata co.,­

Juntr

f

x e N

x ...1.5 ,

x • -1,~A x.. 2 • 0.5

"

NI N~.8roe antaroa poaitivos o ,natu­rale8. x + ~ • 0,5

.) e • Ixl JC € N

b) 8 • r xl x €. JI

Solucl&n.-a)

A x+ 2.0,5 l, x+ 2.0,5}

3.- ,Oeter.ina loa elaMantoa da los siguientes conjuntos

I 9 la por lo qua 1 • la

0~"l'v.c~6n".. Ert ~l canJunio 1 no ·valve.aa a r"l.til' 108 alelllanto.t '1,"pu•• na ee n.~.earl0.

11. ~.,I.t,u,d,l,.,ntt.~_ \ ' I • \.a••,t,U.d,i,.,nl.

Todo. lo. ale.antoe del conjunto la, pertenacen al conjunto I por lo qua

1, Q IJ adem'e todos loe e1.~antoe del ,conJunto 1 partenecen fllconjunto; . ... ...

J., por tanto J ~1., d. ar.ue-rdo. la iQ.ualdad da conjunto. (val' p'g. ~7),.at08 conjunto. eon iguale ••

.etudf·nte. -

. ,. t.,8, t ~.·u,d ,a. n, i t

e) ~l conjunto J~a le p'_labf8

por ,.~tanalcS'1, .

b) [1 conjunto t1 .ed d,.do por alamanto8 x, talas qua )( 888n n6118ro. p,-1

,ea ""g,Uvoepor Ipct.na16n " • 1 •• ; •••.• ~8,.~.-4,-2~

r - J a,b,c,d, ••!•.~..~ x'YtZ}queda

.' ,Saluci6n.- .) EJ conJun~o f a_t' d~~o por loa 81a~8nto~ x~ ~81Bs q~8~ .1..... ,

una letra del al'ftheto. Deflni.nd~.1 co~JuntD por extena16n

, ,

2...Los s1gu.18nt •• conjuntos f:18Un definidos poJ:'cOlllprBn~16n, enunci.,la., ,

qan pahbr •• y defina al conjurito por tabulaoi6n

letra dDl 81fab~to~"

.)r, • tI" a8fl una

8 b)~) H. xIx aa8 paf y npqativo ~

Q) ~ • \ xIx !les una letra de la palabra a,tud~ante)

,', , r

D t, 1 -3, 1 • 1

= ........ -J¡; - ; " T' 2fi"'""

.'i ;3;4 ••••••• \fJ

R es conjwnio de números Realea

fV

1. f •y = 3¡ \1

D =l ~/ y t: R .. l-2, 1

r ry :: ~

rry .. -2

2 4 O 4 6Y = Y + ..2 4 2Y :; y ::

y = !.'~

211 O -+ (y+4 6 A y N)Y -4 = E'" '

V V •

Vy .. 2

~ "' , -1,5; 1; 2; 3; 4; 5; • •~• • • • ,.;._ Definir por extanoipn 131 conjunt,Q'

D .. t ~ / y2 - 4 "' O _. (y+4=6 A y E N) I

-1 ~5 es .etemento de B

1 es elemento Os B

1 es elemento de 8¡ ..

2 es e~emento de 8

0,5 no es el Blllento de 8

lb) xEN

x - 1,5 F'

x = 1 Vt

x '" ~ V

X = 0,5 F'

••••

1 no es elemento

99, ,

~. F'

r

e ~l 1'v x t ~ :;0,5-Vv

fv

fv

r'f

1,

f a 1

e) Vacío. Pues no tiene elementos el CONjunto c. b) ei ~.

d) No e8 vacio. El conjunto O es un conjun.tode conjuntos.

B.- Determinar 108 subconjuntos de A m\ 1,2,31 e) Loe 9tos O

denlig

a)

10 ... S.ea

7.- Detarminar cualas de 108 siguientes conjuntos son vacios.

a) = , x/x ~ x i ,A

bl B = { x/x + 4 = .~c) C =t }d) O =( - \

Solución.- a) Vacío. No hay "i~g~nque sea diferan~e de si mismo.

b) No es vacio, pues ~l conJunto'B, astéffanado por el elemento 0, que a8, ' el l1nico que cumple la condición x+4=4

loa·podemElscontar.

e) r inito. Tenemos pleno conocimiento de que hay un n6mero determina do di

habitantes, no importa que el n6mero ~otal de elementos de aste ~onju".

tp sea demasiado grande o s~a difícil oont8rlo~.

d) Infinito.

i

a) A :1 (2,4, ti , B,10,1 2,1,4. • • • • • • • • • •• l. " ,b) ~ = l2,4,6,8,10f~2,14 ••••••••••••••••••• 1001000.ooole) e = (x/x sea un habitante d~ la tiBrr~ ~

d) O = ~ x/x aaa impar}

Soluci6n.- a) .Jnfinito. No e8 posible contar todoe 8US elementos.

b) Finito. AunquB~est8 conjunto tiene una gran cantidad da elementos

(501000 .•000)" e8 fin.i!to,pues conocamos su 6ltimo y su primer t'rmlno,

toa.

6.- De 108 siguientes 'conjuntos indique cuale8 son infinitos y cua18s fi~

e) Jneorrac~a. Un elemento nu~ca puede ser subconjunto de 8U conjunto·.

d) Correcta. Un elemento nunca es igual a au conjunto.

soluci61b) Corre

e) Corre

A BUj:!

) relso

elama

) ralsa

r) Corre

guieng.) Corre

h) Corra

i) Falso

elelQs

j) ralso

.El elemento a.p~rtBn8ea al conjunto A, pues ror~SolucicSn.-a) C~rreeta.

parte de '1-.

o ~ta) A e Bt) O !;; A

b) Correcta. Por la misma razcSnindicada en el numeral a), ~ 8a elemento Junt

da A. A =

9.- Ind.f

SolucicSnd) 8 ¡. Ae) e e A8) • 8 A; b) e 8 A

Jndlcar .cuales de las siguient~85'.-Dado al conjunto A = ~ a,b,c,d,e ~

afirmaciones 80n correctas

1'00

SolucicSn.~a) Lo'sconjuntos B,C,D'y E'so,niguales a X, puss cumpLen que

J. c: A.b) ~l ~nico conjunto que es subconjunto de E. ee E, y adem's E e S, por

tanto el conjunto X deber' aer igual a E.

o) Los conjuntos C,O~ y E aon 8~bcanjunto8 propios d~l conjunto B, de es­

tos C y O BOO superóonJuntoB de O; por lo ~ue e1 conJ~nto X puede ser

igual a e o o.

.h) Correcto. ,El elemento b pertenece ~l conjunt.oC.1) f~18o. Un".lemento no puede ser 8ubconJunto ~e ,u~ conJunto;, entre al

.lament~ y su co~juntD s~lo hay relaci6n de ~*rt8nencia.

j) ralso. Po~ la fazcSnexpuesta en el nU"8ral (1)

10." ~ean A D rX,y,z,~.v ~ I B, 11 ~,)(,y.zJ'; e 11' (z,y,Z,1 ;,'N11: \ )(I~'Z lo .. ~ YJ'z ,11 ;, E e ,l z I Determinar' cuales de estos conjuntos pu.!'

den ser igualas a un conjunto desoonocido x para qu~ 8~ cumplan las

siguientes sfirmaciones •

• ) X e A ; b) X s E y i. e B ; c) X ca y X :> o ; d)' X if. B

SolucicSn.-á) ralao. Puaa,'todoS 108 Jelemantos de ~ no aat'~ en B

b) Correcto. rGdoa loa elementos de 8 est'n en A.

o) Correcto. 8 e A (.8 '~s subconJunto' propio da A), 8S lo miamq qua (A.:> a)A 8uperconJunto da Bo

) felso. Hay un elamento (e) que est' en B y no esta en C; además hay un, .

elemento (d) que estl en tino est~ en B.

falso. No tienen elemantos comunas; scn conjunto. no lntersecantes.

r) Correcto. Todos los elementos da O ,atln en A. D c.A, y por con8i~

Qui~nte ee puede expresar ta.bi'"-como O ~ A.~ Correcto. El elemento. sst' an A •

9.- Indicar cuales afir~8ciones 80n correctas o no, si S8 conocln los co~

juntos

SolucicSn.- A3 =!' 1,3 i; A6 = { 2 }

A2 1: f 1 ,2l; AS • t 1 f

A8 = t . t 11: 11

A1Q f1, 2, 3iA4.·f 2,3 IA7a r 3 I

101

8S

a

A 1: ~ a, b , c, d , e, r "g i {b, e, e 1"i

8,d,b \B 11: ; e .,o ~I;',gf .

a) A e B • b) Be: A . c) 'A...;ll B d) e '" C e) O e e, ,n,!. r) o !; A g) a E A h) b E e ; i) b ~ B J) b e e

Soluci~n.- a y. b .on ta.l11a8 de conJuntos, pues todo. SUB .i••antos I.conjuntos. El conjunto E no •• LlnconJunto d. conjuntos, PI'

tlene un al••anta (s) qua no ee conjunto. El conjunta e tampoab lo el

qua, no tlane elamantoa.

13.- Indique de 108 li9uient.~, cuale. Ion t8al11 •• da conJuntos o conJ

to da conjuntos.

a")H.,b l ' ie , d· \\

.b) B· t - le' .-& a .._

d)E.~. ,~b}.tatci\

I

1

•

Una vez d.t.r.inad.~ todoa loa conJunt08 por tabulaai~n. pDd••~

8rirlla1'qua ];08 conjuntos A,B,J: Y D son 19uale •• al conjunto E •• dife~

ta da 108 da.'a puea,t € E y. t 'i# A, t d a, t t e, t ~ D.

e = ~"r,o.c,a \•

Soluci6n.- Neceaitamos d••arrollar 108 conJuntQs A y e ~or tabulaei~n

,•

,d

12.- Datar.inl d..A • {x/x eea

8 • ("~.o.e,ae • (xIx .aa una letra ,d.' la.palabr.

o lE If,o,r,r,a,a,e,e JE • ~,o~t,a,~~a.r,.l f I ti

•lo. 81gul.nt •• , cu'l.a con'junto. aan iguale.

¡

una l.tra d. la palabra carro"Ia

•

I

tl conjunto d, do a. ~gual a'nin;uno d. lo. otroe conjuntó ••

ca

d) •.Los conjútitos A Y N' cumplen que X ~ a, por lo que al conJunto ....)(pua­

d. ser igUal a A DaN.

11 ... Oeterlllin. cualn conJuntos,80n 19ualfil.5

A = ~-4j2,."3,,1,S \ ';'S = ~ l,2,S,' 'C zt~2,4,".3,115 ~

O = ~S, 4 , J , '\ , 2 , 1 , 5 );

Sol~~l~n.- boa conjuntos A, e y o 80n 1;081.a, no lmpozta el ordan 9 qua

8. repitan dos o m&. vaces culquiera de 108 elemantoa de un

:t~¡',to "(ver p,g. -81).

i02

Soluci'n.- a) Be A. Todoa 10. ela••nto. da B partanecan t••b1'n • A por

la oua ~ y B .on co.parabl •• a lntar ••e8'taa.

b) e e A, .n cona.ouaneia e y A .on oOIlp&'abla•• in'al'.aQenta••

o) A t D y o 4 A. 001' lo qua A y o .an no co.parab1a. V no 1ntar.acanta ••

d) A"fl E Y r f A, paro 1.1.n_" un .1 ..... \0 e.dn (d), .n .onaaC"afta18 ~.y E80n no ca.p.r.~le •• lntar••d.nt.~ •

•)·r e A, por t.nto a.toe conJuntoa .on cOMp.rable. e inter ••c.nt•••

t) el:' B, Dar lo qua asto. conjuntos .on ".pe,rabla. ~ intar ••canta ••

g) e y E eon no co.parable •• inter ••e.nt.a,. 'Pu•• e It E y E fj e" pero ti,!

nen un al••anto' eo•• (:0),.h) O ~ r y r rt 01 ningGn'a1a ••nt.o partanac. a ••boa conJunta., per 'anio

a) • • {.,b,C,d }, ~ • ~b,c,d ~ , C.(c,d~J O • {~hh~¡ E.' d,g,hl Jr ·-ld l , l. t.,b,.~,O,dl)' L ··l c,d,b t

." A •••• S ; b) A•••• C • e) .A•••••• O ; d) ·A••••.••• E , .)A•••.••• rI

r) B•••• C I .)C.~••E I h).D •••••• r I ,1) E•••••••E • j) 1••••••A

k) e••••l J 1) 8•••• 1

,,., ... ·t:íe"8 101.•~ .... MeM.. 1n4túncla ~...á..~,,:t&iftYo.·."·"~.t

.aeante., co.parabla. o no co.parable ••

a) Esta conJun,o no tiana .la.,ntoe 2° • 1 J ea puad~ ~bt.nar 1 .ubea~Jun­

tó.

a) El conjunto A tiana 4'ala ...ntoa por lo ques 24 • 16. .a puad. 1'01'•• ,1' 16SLbeonjuntoe.

b), 0,

23 1'or.a~,

El conjunto B tiane tr•• alallantoa • 8 I .a puadan 8 subCDn-

juntos·.

e) El conjunto e tiana 5 ala.antoa 25 • 32 •.a. puada obtaner 32 aubCDn-

jUt'lto••

d) Eata conjunta r ti.na 2' torllar.

1 al••arito • 2' I ~a posibla 2 lubeonjuJl

toa.

14.- Indiqua cuantos aubconjunto8 ae pueda 1'01'••·1' da'c/u de loa tiguis;,-

tI. conjuntoa

a) A - (a,b,c,d' ',b) B. na;b ~ , c,d ie) e. 1~.2.3,4,5 I J d) r - ~_~ J. a) t -l. ISolu016n.- El n6.aro da subconJuntos' que aa puada formar da un conjunto .j

t' dado por 2" (val"p'g. 93)

103

pua., p

Ion

njun-

ere,QI

08

que

n

23.

22,

21.

19.a)b)e)Not

d)Daf

20.

,18.,.) I

g)

,b) B c: e

A Y E son no comparables e inters8cantes} ,

17.- Representar mediante d,iagraarasde Venn a) A C: B ;e) A c: B c: e

I

, d)A Y O eon no comparables y no inter88cantea

b)A Y B .on comparable. e 1nter.ecantes '

Soluci6n.-

16.- Representar mediante diagr~ma. da Venn, las relaciones que hay entre

108 conjuntos del problema 15, literales a), c~ y d).

o y r Bon no comparables y no intersecantes.

1) E Y r son comparables a interaecantea. Pues r f.Ej) 1 Y A 80n no comparables a intarsecante.. Debido a que ~"A, Y A 11,

paro tienen como elementos comunelf B y. b. f,

k) 1 y e 80n no comparables y no lntersecantee. No tienen elementos com~,nes, ,c y d 8st'" como elementos en C" y en 1 tenemos cama a~amento:·.~'tfI'i

conjunto 'ormado por los elementos c y d. 1 l e y c.1 1 "1) Por lo Que 1 y B son comparable..e;intersecantaa.

104

24.-, N • t y / Y E' e A ( y ~ B, , Y e o) ~-e 11 ~ a ,:b , e , d , •. l B • {C",9.h t ' O • ~a.b,h,i.J

25.- 1'1 ii ~1/x /z • 2)(+ 3 A z e El; E • ~1;2;3;015;1,,5I

r • _~a,b,c,d,e,'; e O.

19.- Escriba en palabras y desarrolla 108 conjuntas par co.pranei6n.

a), B .. ~-3, ..2... 1.0.1.2,:,4 t .b) e = { 2,4,8,16 J ' .~) o ~.~A1,B1,C1,oi,E1,r1.: •••••••••• r1.Q"1,R1 tNota.- A1 81gnlfica, prl.er ~Iv.l·A dal curaD prapolit'cnlco.

d) [ ..r Quito; Guayaquil, ~u.nca, Ambata, Ibarra, Tulc'n •••• lDefinir por .xt.n8i~n

20.- T e t x/x e - t21.- E.I x/x 8es.una cifra del n6••ro 311345

22... A 11 i x/x e e 123.-,C ~ (x/x e-o 1.~··;D'::J r

H/.. a, b ,e,d". ;.' ,g 1O - ~ -H .

b) d t A J e) .. rt A J d) B e.Ah) e S A

re.) A::J B ; f) e 11 ea) e e A

g) o t [

18.- Escribir en palabra.

A'c Bce

@J,I

, -

• 1

lOS

55 ....

52...

51." _-l

50.-

a) Y

el A

48...

46.- 1

"36.~t

37.- r..

38,.- H

:'9 ... 1

40.- K

4' .- L:

42 ... 111

•iO, 2 , 3', 1 f- ~5 ,-4 , :5 , 8 , 9 r• ~1,9,25. .9. 81 ~

_jO,2; 0,125 I 0,5 \

-(0,4,5,6,-,,-2 ,

• {~9,-3,1 " ,1 ,1,7,7.7 \

.~,; 2; .3; +4; O,5s 1/3 0,25 \.

43.- Oado al conjunto A • ~.. {b), c, ~d,e \\ ; datar.ine 81 eon co­

rrectas 18a Blgutantaa .flr~aclonB8.,..) • e "1 b) b' A 1 e) b e \ b ,; d) ,\. , e ~.e '1; •) lb' 8 A '

r) H b He ~ I 9 >{ d,,, ) e A ah) e e, A; 1)· d f, t d, e ~

44... Indique la. d1feUftO,i.a•• ntre _ ;-( ) ;\O ); O

45.- Tiena un conJunto infinito, un subconjunto infinito? porqu'?

-,

33,_ .. B • ~ O \

34.- C ., \)11/2' ./2 t -'8 t "2'1,\

35.- O • )T I-""T' ,""

"

o.rini~ por.Co.pr.n.16n

32·,.. A ·lt ;¡;i ;i t

: 1+ " t2~_;' S" _ ~ , / __• y / (y~~. ~ 1 x-y+2) x e )C >.2,

11 l '/x+y / (y_x.2 ,.

> ~ \29.- H ~.y+ 2) x ~ 1+ ~ llC" I

• {1/(z.2.3z) ___.~Z~4~.)_: 4)] A

30.- 1 A (x ~ 1- , )( :CL

3'.- ,A• ~ b/~b _ 5r~ (b.4.6 A b ~ ,-) \ ., f • 'P,'. 2 , 3.• 4 , 5 ,6 \. ,

. U • '0,',2,:5, ••••• :.7,8 i :

26 ... P • ~ 1/w /w e a v (111 ~.p A 11' 8 e) ~_p e B B D I8 t b , e , eS ,.8-,f ~ e '" id, 8 , f ,9 , h , ~ ~;

27 ... R 11: ~ ~/w / !al ,8 B A (w ~ o A w t.C) to. e B ; B 11: t a, b,~e, d, e, f ~ C • ~ d, a.. f ,9, h, f t

, Se conoca qua O tiene do. elamento~ .

106

elallantos, que torM.n al conjuntó N,· ei Be c:onoce"q~. ', o, N ,~b ,.dlc. al ,1 N ol'. td J,H ~ {9,h.! \,

56.- Indique ló.• € N

35.- Hall.~,el coriJunto eu'l~ conjunto po~encfa 8st' dado para

,.lf4,5,.6.l ' (~.5,1, ,~.6i ;,(5,~il',4-~ • (5r,' ~6) tI J f

52.- R.praa8nt.~r lIediante al d,i.l~ema de Venn, loa- siguientes conjuntas'a} A'. f."b~e·.d.~\ • 8·'.I~~~,"í.g,k·) -: C. ~Tttg.h,1t

53.- R.prll!entar IIIldi.~t. un c;ti.g~.II~ da Venn. la. siguillnte. conJun,t08al "." .•' ,'1 .4''',3:~5,2'.6 '~ '. Y '_ t 3.,5,21. "z' ~ J 6t~',8~9 i

54.- Se ·cono,ee-108~.1gu1.nt.~ c,a~Ju~tD8 ~ ~-"{a,b~C.d.i ic • (.c_,di_8' .. "~ C.,d~' L P .1.a, l' q,d ~i d.te.r ..lnar 8i '80n ,Cal'.~.•cta8 'laa sl­gulent~e a,.i'rM~c,io!,e••a) 1 e_,B. ; b) 1 o b I e) e s 8 d) 8 .. D

51.-:51 se conoce loé cl¡)nju'1toa )( .• l~u,,,,.,.'1"z~, "y",.'(w,y.t J Z a lu;v J 1, w. ~'y,v'l,'; ·l,l.n~, i~8 ,~paci08 indicando8i son ea.parablas, na',comparable's. lnt~~s:ecant;~. o no intar •• eante., ~,a) )( '•• y , b), Y••••• ~' ,.'Z" ; 'e) z •••• ~~ .= .. d) , ,)(••••••••• 1rI

8,.II,(,a,b.e,d~,"J ',H • ~., (b. e t .•.rd 'n

I

49.- Dadol ,loe·:con.Junto8 A. 'I,a,btc,d.e,j :, 'I~ ."~ b,C" J '~C• ~ .1' ,O .• ( , , 'J E 11 (d, ~h~ ~". ,U. I'•."~.e , d • .; .s ,9,tt ~1,J ~ J, '~.t.r.i~. ~O~q~.B~n ~a18a8 la8 siguient.s e,ir.acion •• ~,

, 'a) B f.: A ; b~ 'c c. 8 ,e), D 'ct E ;' d) U.'1 [ I :'a) c~· D~

50... ·lndiq". ,q~a'OD,nJunt08Ion igua:lea• I ~. ~

.• ). 'A .' (~,t ' I b'tO 1 ., ",t~Jl~"b}, a) c. (at,_d" '~b~C lJi.' d) 'f •e) '['a((ilJ '. ,a" (b.,aH

46.- Indique ou'nto.'y cu'le. spn loa .ubc~nJunio~ de

8 • ( a,b,c,b r47.- Indiqu. qu'nt~8 ~.cu'lea ,~n lo~ aubconJunt08 da

G • (tf ~ 1," U ~,48.- Se. A .~ ".",)(,y,% L a '8;. Iy.z I " '01:•• , ~n conJu~to y que cUMpla

las siguiente. cond~cion •••a), y'c A 1 Y. A ; b) Y e A y Y ~'Ae) '.!;: -y y. 8. e y ; d) .(8 e, y A y e A) '1 8, I Y,

'"i' '

'101'

78.

76.

7!S.

14.

Ese

I71 ,ji

69.,

68.·

67.-

66.-

Sa eDate

64.· ",1qua~uale8 de los siguiente,sconjun~o•• constituyan familia 'da

conjuntos.

A .. (1,5,~ 6~~; B 11 (~1 !!" ; ,(5 ~h e • ( ~ l ; ~ • (7 ~E 11 '1. ('2}, (3~ , r5,6 1 J

63... Indique en q4e caaos sen verdaderas la8 siguientes afirmaciones

8) :e' € E ; b ) (a} €E ;~ ti) J 8,J e F ;' d ) t;}~r

58.- Forme los conjuntos A y e, si ge conoce qUBI

9 a (tt,.6,B,9, '1D, 11 r .; D. {5.4,8,9} ; ·E :1 ~,8,6,~O 111 ~ 11 ,6,' O~~ l

a} A e S A:J F. 'A :J 'E,b) e!; E~• e L,,8. e e,-E , e =1= F'

59.- Indique Que cDnJunt~ ee s~DconJunto de A e (2~4.6~ y,~a S • {7,5,6)

60.- Eecriba por compraos16n dDS'conJuntos ~~Cl08.

61.- E,a'c~lba11· conJun~o PDt'8~Ci~ del conjunto vacio.\

62~- IndiQue kas ralaciones que BX~8ten antra 108 conjuntos repr88ent~d08

an el diagr8~a de Vann.

bles•.

57.- Representar mediante ~iagfa.a8 da Varinloa conjunto~ A, B, e y o si

ee conoce que.a) ~ e BIS Y e 80n intareecantes; a y o 80n intBra8cantes; e y o 80n no

inters8cante8 y no comparablei, A ~ O son'no intereecants8, A y e 80n

no intafs8eantaeb) A Y B I B Y e ; e y o sen intersacante8 y no 80n cOlllp~'rableB. Son no

intg~qaCant8s A v e I A v o ; B Y D.e) fa 11 S' I 80n an~B rluC'antesl A y D ; A Y e, y o 'y e, tampoco 80n compar.,!

"

108

I

65.- forme un conjunto X cualquiera que cUlllp~alas siguientes condiciones

a) Xo= A y X e A . b) A y X sean co~parables'e interaecantes,791

t

e) A y X son no comparables y na intersecanta,a.

d) A Y 1- son no comparables e ~n..1!ersecan~e8.

79 ... Sea f -: ~c/2 ~ c ...:::x ~ , detel'cl!line. si .8 vardad o falso cada u'na d•• ...

las afirmaciones siguientes.. , Ia) )( E.: f br)' B f e) c e f d) 2 E.: F' .-) 2 e F'

78.- Dado e~ 6onjun~o A, ,d",ta~lIIine si as verdad o falso las siguiente~.afirmacion'ls . :rJ; }A = ( X/X+B~5 A x+ 3.0 ~

. (-3 ') ,Af ~-3,5 fa)1 5 't A b) -3. 't. A I'l c) A I .d) -3 € A e). ., , ,.

-"palabra" ~.' '~.':" 1 = ~ x/x ,sea una letra de'li,palabra

:14.- H ;:rzlz 88a la letra'a de "la ~8la~re "p~iabr~.)

75.- L -1 y/y sean las consonan'tes ae" la. palebra' c"palabratl i!2

'" "" v "1+8=8 ~76.- PI 11 { y/(y+2)

2 '11 4, f

77.- N = ~p/p A p 119 I

72.- 08t8~lIina1' lqs elama"ntoe cal cónJunto A, .e conoce que

.t E>. A; f1 ,2 ~ i A ; :3 'e A ;, __e A ; (4, 5 ~¡tA; 5 B, A J 4 € A

Eserios por e)(tens~6n los fi'191:1ientesc~nJunto8J

d,F~H, ICF.~

1 ,= (a_,c,d ~

F, S9 conoca qu~

:H"IO ~a,c, (c),

l71. ¡,. Oet81'.1Aár -las alemento& dal,"conjunto

( c. t r" _1 (c.1 € f" ;

J69.-.,Oet,r.ina1' 108 elementos dal ~onJunto B si S9 conoce que.

B 1 A , B Y A son intarsec~te~; 8 v e ~on comparables

A = (1 '.2 ~3 , 4;5 )'.; e = (,1, 3 , 2 , 8 , 9 ~' I 5. ~ B,¿f 4 € B" I . 6' ~ B."

(2,8,5,) e 870.- Oatel'mlnar los elamantos dal conjunto e si ,~8 cono~••quer

O. 1: l a, b. c , d ~ ; a'~ O ; (c, f I f O ~ e O

a) • 8e subconJunto p~opio da ú

~)'C ~8 B~bconJunto da ~ I

66... 2n~ :al{a~, (a. b ) , (b} r67.00: 2nB = H1,2,3~ ,,~,q• ~l}, f3 ~ "f1',2 J., (1,3) , ~2,3),lf)68.- 2nC = i1 , (2 ~, (1, 2 ~ , _}.

potencia 8S'

Se co.noce qua A = _(.a, b , e, d ,.e tDeterminar el .conJunto. CUYO conjunto

" ~

109

97.-

Oat

95.-

93.-

92.-

91.,

,.

88

'86 ... Grafiqu8 108 conjuntos A. B Y e, U8ando un' diagra",s linaa)A'. ~1.8 ~J B • t 1~'r c.( 8')

87.- Use un diagr ••• linaal para ,repr.~entar .1.08 ~onJunc08 si le conoce,

E e O ~" 1) e e ; H e r ; .r e D , 1 e eJ' L e 19U8•

85.- L 1; ~a~b_.c,d.e·.r.g}; .. ' ~~.i.Jtk J N' a ~ l".,n JV :11' ~ xix 8e8 Ulla _dtra del alfebeto anterior a la Itp.)

83.- A • ~1•2,.3,4 .5_ t . = t1•3,:4') J, e lit ~,1,2,3,6,8.10 ~,o .,~6,7,8.9}

84.- E iII (,lit, a ~ ; r •.( e ,b, a 'L ; H = ~d, c f 1 •. t 1',9),'V • ~a.b,a,d,.a,'f',g. 'h)

Dado 108 siguientes' """Juntos, 91'8f !quelos can un diagl.!'ama da Va.An-,Euler

o11

82.- Qua tipo de conjunto 8S D

81.- Que 'conju~to 8at' rapresentado an al diagra.a

B

80.- Datar.in. las relacionas ant.a A, B Y e, 8~ SB cano~B al s19u~ent.diagrama

110

97.- Dados los ~onjuntos

~ = {1in /x = n 1 2 • (x E I~ impar!'. A x -< Ú ).~, . 7 "O· 5 J'B .l -1 •.• - J _ ..L.::. ; _

} '13 17 9e • { y/y E A;~'j y E' B .},

Daterminar y Ju.,tifiparal valor de vardad ~e la~ propoaicionala) . Ale B y ·s c"lA'.b) e e' B f A

95.- Oaterm1ne 108 alementos de ee a{ '1/('1 z) , (y w) t \

H • fa',b!c',td, a ) "

(,a,c,d'JZ e " I W e H J • Z a

Dat~rm1n~ los el8ma~ta. da H

• o

.t e , d ) ~ .E .' ~a. 'b} e E 1E 80n ~o intaraacantas

94.- Datetmine 108 elemant~8 'da D

O .c ~ 1"[o e F' J r ~.~., b , e ,d. e ~ ;' c ~ E. 'b) Y E son intaraaca~t.8!. (d) e o, ~éI,8.~Y

93.- Determine ioa al.emantosda A y. de B 'si 'aa conoca qUEJa

.a E A ;: bE' A'; ~.E B l' ( a ,·c ~ e A ; (.a }E A ' ; C' A I a e A J )

H a 1•. c ~ ~B , {a, e f ~ B' • ~a ~ e B

; cY({a,b,cJh d.- ~'."bJ·, cJd) (~a J. i b J , rc ) ~, ; ,e) O. ~ _. D

91 • - a) ~. , .b, c , d}; b ) ~., b , c ~

92.- a) t- ~;. b)~. f ; c)'{ O J.

C~lnt08.aubconjunto~ 8a puede formar de le~ alguie~tes conjuntos:

..

1

....

Indique los elemantos que deban.tener los conjuntos, si a~ conoca aldiagrama lineal, y

a8.- Represente con un diagra.a lineal

a) X e y e Z ; b). 1 e X e y e Z

iH_

37.-

36.-

35.- ¡

28.-

26.-

25.-

1B.- a) 'El elemento e.pertenece a Ab) El elemento d no pertenece 8 Ac) El elemento e nó BtI subconjunto de Ad) El conjunto B 8S subconjunto propio de,A8) El conjunto A BS superconjuhto' da Bf) El conJunto e es igual a B

9') El conJun.,oD es diferente .(noe8 iguál) a Eh) El con,iunto e es subconjunto de A

19 .... a).E1 cen jun t.e B esto{ formado por :!'os elementos ...3, -2, -1 •. O, 1 , 2,3,4

RESPUESTAS

A e s' y B C A }A" B

101.- ~etermlnB si'es verdad ~ ~81sb la siguiente ~ropo8~clon, .

24...

23.-

22.-

vv

a) ( a. b ,.c , d ) e e A { e) ~ eb) ~ a, b , e, d ),~ CV ( e ~e ~ce

su ·valor ae veraea

I100.~Determine al aon~unto G. s~ se conoce las sigui8n~~s proposiciones y

f

990- Determina el conjunto ~,'Si se conoce las siguientes proposiciones y~u valo~ de verdad

a ) {4.?, 61 8, B A ( 1 , 2,:5 ) C-8b) (1, 2 , ~ le B76 8 J:I

e) .6 8 8 V( 3, 4 ,5~. e 8

20.·.

e =(5,6,7,8

98.- Dados los conjun~os

A =f5,6,7',a¡- ; B = (y/y;; ~o ..(5+n·)~.(OEn E- 3 A' n 8 J)~

Determine el valor de verdad def .

a.) e rt .8' A·A F B

b)I5 '. o • 5 ,1q:a v (5, ~e eC)IO,6! ~c A (6·)8A ...d)(O,9,~88 'ACC

b)

lO'

•

...1 8 e7 8 B-'~

112

33.- 8 • tc/c+S8& Ir"(l' • I iJ

;)4.- e l:II 1x/x ~ x ~, Itl ~ f; ~~11 ~ n/n' JI o,5/(Y~1) (OiCy 11&'3 I)J "35.- o A A y E ~

36.- "E I!I~ y/y sea-una cifra dal,p6l1Brp .~~?Q~~37.- r • ( z/z 8eá- una cifra qel~n6m;~ok3S9 ) f:)

2 R . I 1 ~.1. ( Á I r' 1l R7 ... -r)';' if LS~)'b' e (;~rt

., 1..é' i -: ¡.... (

R ~ ~!).;R ~(~ '1 f R -, ~ t

ti ' i 1 .1 .1 1 1,28.- S.• 11' t 29."- H ~ 11 • ¡ ;·¡'1,;"a • 10 ' t.

- • )l... ., ;t 'f t< q J''1f.30... - {t7.,6,~t4,3,2.'1.0,-1 ,-2,~3.~ ...,....... ~,

3,..- A • {,2,5,7".8., o..t 1

32.- A JI: tYIY· e; A'··~O!:- z ~ '9 A Z e 1 paraa)t f

26... .p' • J'¡,~,~·i ".;~,t ~'4; .! l.. 5' .. 3 f25.- '¡.] ... 1 -1 ; -2r

"J' ,24.... N =' ,~a, b , e , e )e JI la, b , c·~d~s . f ~

i23.- e = l a,.b"c,d, •.,f',gl"

noce los as B.e:

~ -fIII' Y T

22.- No 88 ·p"Dsib.1~ o....tlrminar .L08 eJ..emento8 del c:onj~'"tD A,~pues no "se c..e,

del Ecuador~\

ibarra~ ••••••.. ¡'t ;:J

E-: ~ x/x ':'u capital ~e 'proílincia

20."1 T re: r') iJ . ¡ 21. - E'.. ~1 ',~~4~5 ~

o .', x/x 8~a C.ur.·c d81.1at·"nival l?r8~Dli Ucn;'co E;P,.N o ,~ , ....

d)'El conJunt?E esté dado ppr los elem~n~ns QU~]fDrman Cuenca, Ambeto,

'1" ....

primer nivel da prapol!t'c(1 I ~

"

...'b) El oan:junto e eAt.1I dadn Dar los elemel1tas 2J4'~B.16•••• a8'dlcl'rque~ .je~t~ formado por.los n6mero8 'pares neturaies.e = (x/x s~:an(¡mero na·tuui par ~ r

conjunto D aatl 'dade por 108 cursos de~ .nico de la~~. Polit4cnlca Naci~n~l J

"B = (x/x a: x+2; -5 =!E x ~ 2 ~

1-13

58.-51.- a) X y Y ean comparables a interaecsntes. b) Y Y Z son ~o comparables

y no inter88cantes. e) ~ y W 8an no comparables e intersecantas. d) X

.,.111 son comparable8 e lntarae.csnte8.

50.- A y E.

49.- a) Todos ios ~lament08 da Q partenecen a A.

b) El elamento e qua partenece al conjunto C. no est4 en el c9nJunto

B.e) El subconjunto yacio 8S SUbconjunto d. cua~quier conjunto.

d) Tod08 los elementos da E perta"acen a U,.por tanto E ~ u, y en co~

secuencis U :> E.

a~ El conjunto e tiene unalemento. ~ientras que el conjunto O e. v••

cio, por lo que O a8 subconjunto de todo conjunto.

45.- SI lo tisna, pues uno da'los subconJuntos que 8e puad. datarmlnar eo!ti dado p'or al 111s1110 conjunto.

46.- 8 • (.,b,c i {a,bl , ,a, e i (b,C~'J (.a) , (b) ; ~ '? J I .~

47.- 4 '~ - . , {- U (j ) Bj~):J 54.- 8

48.- a) No·axista ; b) y ~ ~v,w ~ 55.-~4c) y • J V,III,)(~y,i) , a) y • ~ x,).',z~

56.- 1En Batas tras última. respuesta. hay otros conjuntos que cumplan y

80n igualea a Y, paro scSlo'S" ha expresado una respuesta en ceda C8- H

80. 57.-8)

53.-

52...38.- H • ( X2/X • y.5, (-4 __y~ '4) A x e 1 pares.J

39.- 1 • (1/Y / y Ir 2.3n , ( O~. n:!S.2 A n f, 1) J

/2· 240.- K lO t t x • (t-2) ,x € 1 A x <: 20

41.- u • 'p/{p 11: -3.6z V p. 1 -6z) A (z.2-'2 , z 11: 2 - 3) ~

42.- N • ( w/(w .. x , 111 .. ;) , (1:5;' x ~ 4 A)('~l)

43.- a) Correcta, b) Cotrecta; c) Correcta, d) Correcta....a) Corract.a;·f) Correcta; g) Falea ; -n) Fa18a , 1) Fa18a

44.- No ,hay 91fe1'ancla antra _ y ( lPU88 ~mbos representan un conjunta vAcio; lQ8 d08 ( _ , , }) ee diferencia del conjunto (oJ , pues 108

pri.ar08 conjuntos no tienen )ing6~ ala.anto; y lo~ trae ea diferen.

cian de,O, puea 'ata aa un alemento y 106 anteriores son conjuntos.

114

e)

b)57.­

a)

2.- N = f a,b,d,e,g,h,i ~56. - 1. - N = (a, b , d , a fHay a~ras respuestas

"d) falso.54.- a) rala'o. b) falsa. e) Vardad.

55. -~4,5,6

53...

A = (6,8,4,10,1' ib) e = ~ 5 i ; e =

I

;58.- A ~ i6,8,~,10,11

A·= j6,8,10 ,11 I

115

87.-

76.- ~-78.- e):

19.- s}no

80....e8J ..-

73... {'p, 8,1, b,r l74.- {e ~75... ~,~,1,b, r i

72.- ~o S$ p~8ible'datsrllinar el conjunto, d~bldo a que hav datos contradis

t ou os «( 4,5 i r:f:. A:. 5 € A: 4' 8, A)

71.- r :1 {a,e,

junto oadi~o.

69.- B IZ' {1',2,3,4',9,'8,9 ~

70... a) e :1 { a, b, e ib) A la8 respuestas

64.- B Y e

e) Si r tien~ un elemento •A

d) Si al ,conjunto f ti'ana com'o elemerito'al conjunto' vecio.

63.- e) Si al Blsmento e forma parte,del conjunto F

b) Si E tiene como alemanto el ~onjunto 1, e l) , I

62.- A y O 80n no comparables e i~ters8cantee

B y O 80n no comparables a intersscantes

~.A Y B son no comparables 8 in~eE88cantB8

e y o son no comparables y no lntSl'secantBs

A y:e, cOila tambi'n e y 8 80n compaUb,lsa e intar8ecant8a.

59.- ~6 ~y tambi'n ~

61.- 2° 1: ( _ l

116

Hay tallb,i;t$notras ,respuestas.

de a), hay qu~ anadirla I a ,-b, e ,d~

( c i ',d,a, ~d .,

65.- a) No existe o b) X 1: ~ b"e,d'~ e) X 1: ~ f:,g,h) 84.-.,d) X .. ~ e,f ,g" h ~Ea ~~8ibls sntcntral' otro~ conjuntos X que cumplan con las eandicia-..nBS dadas an- b), c) y d).

66.- 2nA no es conJunto po teneJ:a'.por tanto no S9 puede determinar al c0.!3:junto _pedido.

6~.- ~1,2t3~ 85.-

68.- 2nc no es conjunto potencia, 'por lo que no se puede determinar al co!!,

87.-

,(

83.-

80... e e A e B -81 • - .' ... ,'_.,.......... D' .1: Univ.reo

79.- a") r ; b) No se pueda determi-nar si es,verdad o raiso, pues no se c,!!.nace que 8~emBnto rapresdnta y , e) V ; ~) v ; a) r

",

76... ~ -2,0 ; 77.- ( ~

78.- a} V ,; b) r ;"e) r : d) V , .. ) !I

t_ 117

85.-o!;•

®©'@h, ,. i 1) ..I k m 1'0

r 1',

86.- l-is. /"'"B e

NO'

SOII

El]

101 • - fa 1so.

1 O[l. - e = ~ 8 '.I? te, e , e ~

B = ~1,2.3,~.5} (Son dos respuestas)

98...a) rb) V

e) Fd) f

99... 8 = ~ 1,.2.•.a. ~

d)

f (yx € .A) ( ])( € B) V ( y)( ~ B) ( ])( e A)f ; (y)( e 8) ( '] x e A)

10 .u - 17 e B y 1 es~elemento de e

v ~ .. ~ ~ no est' en e, si es elemento de B

97 ... 8)b)e)

95.- e ""( a,c,d i .e = ( a,e,d,e }.

96. .. a) H.. ~1 , 2, :5 ,7 J. ; b) H = ~ 1 ,2,3 t t••...•f ~ i ~1 •2,:5 ~ Ir

118

88.- a~ b) Z7 +'!' "/Ir /yxx ,1 t.

(.91 ... 8,) 16 b) 8 ; e) 2 d) 4 .~92 .... a) 2 . b) 1 ; .e) 2 . d) 8 e) .4, t

UN93.- A 11 (a,b,c, ~a ~~ B =( b,.(a~)94.- 0.2: - '/ p.

, u BA ·u 8. lx/x e A v JC E' B}

Jx/x E' A ·v x E B J • l x/x ,E' 8 V JC E A J

u.st,

NOTA1.- A Y a: 80n .ubconJunto. pr.p.1oa da. AU BA e (A U B) ~y 8. e CA U a)

A U. 8 • B U Apo,,· la qua.

a u ~ • {1, 2,,3,4,S" }CA U a) e (8. U A) Y <,a U A) s (A U a)

51 s. realiza 8 U A••• t.r~ d~do par 108 .1amos ~lellentes1\

EJEMPlO'3.,._ Raa11zar la uni'h da loa,canJuntoa A, y 8, aiendo A .{1,2,3,4} .·8 • {2,3.5,6}

Eata concepto .a ai.boUza aal A U a,. {x/x ~ A ,'x E' a.}..

UNtON.- ~a un!'n de dos conjuntos A.y B 8.t' da.a por otro oonJunto cuyoaalallentos partanecan 8 A, • B o ~ a.boaa la'un!'n sa r.pr •• enta

par ~ y sa la8 ·uni6n ••

t. pasibla r~s11zu' oparacione. ,fundaIl6.,tala. can..oonJuntoa, y 0Ja.taner otra conjunta, da una' ror ••• J..ilar~ qua la. operaciones sr! tll'tica.(su.a, r•• ts, Y)lultiplicaoi&n) cón n.s•• roa, noa da co.o ra.ultada atro "'y

3DPERACIONES ..w CONJUNTOS

119

COI

(8

PRO

SOLJ

EJE

La c. .... -- _,. .. ., UDS conjuntos A y B es al c~nJuntQ CUy08 el.!

mentas p~rtenacen a A paro no a B. Se danot-apDr A - S, Y .8 la8 A dif.'~reneta B, o" A menos B.

DIF'EREj~C lA.-

PROPIEDADES.- a) A n B • B n A. -,b) (A J} B) e ,AI tJ (A n B) e B

, e) Si'da8 conjuntos no tienan elemanto8 comunaa le inter8aR

L ~i&n Bar' un conJun.to vacio.

SOLUCION.- A 1 B = ja,dlS n A a la .d}

• S r;:,{a, d, r , g}

EJEMPLO'3.2.- O,aterlllnala intersecci-&n d'elos siguienta8.conjunto8

AnS=BnA

E A A )( € a]{'X/X'E B A'x e-AlB n A

A n B a: {x/x+</)( E' A A x E 8 i =--1.x/)( e B A )( E A } r;:

Esta operación 88 ai_baliza asís

l'

INTrRSECCION.- nLa intaraacc1~n da dos conjuntos es otro ~onJunto cuyos alA

,Mentas pertenecan 8 A Y 8 B, sa denota por A n B, y se lee -A intarsscci~n

8". Esta oparaci6n entre d08 cGnJunto8 88 nna;kla r8p'resentarcon un dia­grama de Venn.

-, {x/x s 8.' V x E A }. B UlA

A- U' B = B U A

120

'. Puada definira. ta.bi'n coao la difera~cia del conjunto Univer80 y

dal ~nto,A. El co.plemento da A, 8e denota por Al.

El'co ••le.anto da un conjunta a~ otro conjunta cuya8·al ••en­rtoa partan.cen al conjunta univ.l'a. y no pertanacen a r

"COfllPLEPlENTO.·

En '8st.Cn I (A - 8),al aiguie,!ta di.gl'a••.de Vann, representadas y

(8 - A).~.

(A a) .a la"superficie rayada E)(1' A)

• • I lm1IJ- •• la superticia rayada

a) La. conJuntas (A - 8l. A ·',n' 8. 'l" ( 8 - A)

A) e 8PROPIEDADl~.- .) A - e " 8 - A.

b) (A - 8) e A '1 (8

•i 88 cOfloc• .1.08siguiente • con-8 • /3,61

-(

1).

f

A - B • 1,2,-4.~JI~ - A, .'. ~6 J

SOLUCION.-

B ,;_ A • I x/x S 8 n x 1-- A f- "A ~ B J. 8 -~ A. I

EJE!PLO ,3.3. - Oet ed.Jne ~".- S,I'V 8 - A,. junt;oa A. / 2,3.4~51 ; '1

.. Si realiza.a8 le di,farencia de 108 conJunto8 B y A. el nuaV8 CDn",

Junto aatar' dad. par 108 .•l.-¡.nto.~qu. par,t,an!lcena 8 '1 no • A. el - A)..

A - 8 • {x/x.' € A f\ l)c "B}

121

~. Pu.de dafinil'a. ta_bi'n ao.o la dlf'.l'a~ci.dal conjunto Univarao y'El 1" Adel COII'.1tintaA. COIII) aliento da " •• e denota par '.

.El co.~le.anto da ~n conjunta ea otro conjunto cuyas al•••n-

• .rtoa pal'tlnacan al conJuñt. unl'v.r•• y na pertanecan a r ~

COl'tPLEPlENTO.·

\!),,'v -P\'p

(A a) 8a la suparf'lcle rayada a(8'- - A) 1 "m A-•• la ,auparticie rayada

U 51

(8 - A).En al 8iguianta diagra •• ~a 'Vann, 8st4n rapresentadoe (A - 8), y

l

•san .utua.ant. na intar.ecantas, a. dacir no tianan,n1n

,'Q6n .la.enta co.~n.

a) L•• conjuntas (A - B), A ,n B, y. (B - A)

A). e' 8PROPIEDAOlS.- a) A - 8 ~' B _ A

b) (A - B).C A y (B

A - B • {.2, 4, ~ fB'<- Al ." ~6J.

SOLUCIQN.-

. ,~ ~

B - A • -/ x/x 6 8 n )(' 1- A f ::tA - B J 8 '_}

EJEfJPLO .3.3.- Oatl.d"nD A ..... 8, V 8 - A•• ~, 8e cono". los Siguiente. con..

jun,;o. A. /2,3,4,51 '. y 8 1:: /3,6'1

~ 51 r••11za_a8 la dUarencia de 108 conjuntos B y A. al nueva ca",",Junta 8star( dada par 108 ala"ntoi-qua partanecen 8 B y no 8 A. (1 - A)..

J' ,-

A _ 8 • {x/x.\ e A 1\ ~ i B J..121

••

. p.rl

tin

SOLI

EJEr

EJEP.

;/

A U A' • l' ,2,3,4,5,6,7,.,9}. UA n Al. { }._

Al • {,,2,4,5,7,9~

EJEIIIPLO3.5.- Dado. lae conjunto. U y A del aJ •• plG 8n'.l'iol'"ater ..in. A b

A nA' ; U' ; (A t ) •

.' • ~'t2,,4.5.7,9fU -A • 11.2,4,5,7.,91

.' • U - •

SOLUCION.-

EJE"PLO 3.4.- O.t.r.ine A' U - Al -1 8e canace qua

U • 11,2,3.4.5,6,7,a,9} A • i3,6,a}

Al

En el aiguient. dlag~ d. Venn, •• halla rapr.sentado el com­

ple.ent. d. A.

122

PROPIEBAOES.- a) A U Al • Ub) A n A' ·- COI.

e) Al ., U- A

d) d' • - EJE

EJEI'IPLD3.B.- OalllD.tul'qua. ·S1 A a•• ubconJunto d. B, antonc •• la inte.!:

aecei'n d. A y 8 ••pr.ci ••••nt. A, •• dacir.

Cuando r.a11z ••0. la. oparacionaa ant•• d••critaa con conjunto.

cD.p.ra~la., .at•• oparacionaa tienen propiedada. a.nciUae.

S. ha d.f~nido qua .1 un conjunta •• 8ubc.nJunto da Dtr., ••to.

conjunto •• on co.parabla. (val'pIg. 90 ).

OPERACIONES ~ CONJUNTOS CO"PARABLES-'

u • i·.b,c.d,a",~,h,1.J.k.l,. } J por tanto

at• fa,b,h,l •• ~

.A n BI• ¡a,b,h ~A - S • {a,b,ht • A n B'

A - S • la,b.ht-para d.tllrMina,.A-n S', 88 deb.• det.rminar al conjunta univer ••• con .1

fin d•• n••ntrar al co.pl.llanto da S, 'por lo qua •• a_u•• qua al Univ.lllr,,,,,

•• ..tl dada p.r

J lueg •• a r8aliza la•• p.raciDnas

SOLUCION.- Sa nacaaita iMpDnarae da. conjuntos na cDmparablas a int.r.ecan

te., tala. c•••

A • I.,b,c,d~a,t,g,ht

a • tc,d,a,t,g,i,J.ktd. conjunto. A - B y A n S'

EJE~PLO 3.7.~ Ca.pruaba .a9ianta un aJa.pla qua A - B. A n B'

• A n S'

A - B 11 lx/x• ~x/x• /x/x

E A A x ~ S',

e A ~ A lx/xt A ~ A { x/x

a) (A')'. At) A - e • A n S'

123

x f A ilAplic. que x E S • x t S, 001' tanto

a t U 8 • ~]x E S • x t 8 • x :E S-}

!I ~X S S o x ~ ,8 ~

• J Íc E S • x f 8 f'x f S • S x ~ S • SI

8 U 8' • U piar t.ntp

A" U S • U

381' "'tad ••- Diagu •• da Venn

SO~UCI0N.- S8a A. {1.2.3 .... S.} J S-. {1 t~2.3t".s.6'.~1U • 11.2.3.".5.6~7.B.9.10tAl. ~6.7~e.9.1ot B • ~1.2,3.4.5.6.a~

A' U 8 • !1,.2',3." •5., 6 •.7 •8.9.110\ .. U

21• rel'Ala.-u•• o.t~r.ci&n Puntual

A'. U 8 ~ ~ x/K. fA. x E B ISi x t _A, daban'~88l'.,.,l.unt08áe 8 " qua 8.tln en .1 ca.pla.anta d. B.

EJEP'lPLO3.9.- Si A ~ 8 d'llIIuaatreque A' U 8 ~ U. utilice oanJunt-o. cuyos

~ .1•••nt08 .~ con8zcan.

Ác; B A n· 8

ral)

501.1

EJE'

A 9

A &.A ~

A &'.

A ~

otra

A' Unive

SOLUCION.- PDr definlci&n aabelAos que 8i A ~. subconJunto de S, .8 deba equ.~todD. ~o •• le.entos,de A .an ela.ento8 •• B, e. decir qua

todo. l••• l••ento. de A aun c••unes con loa de B. y por .1la al raaliz~r

la lnteraacci&n (ver dafinicl&n)al conjunta 801uci~n aa igual a A.

A ¡;;; 18 implica que A n B ~ A

•A º B Si y .610 a1 A n B • A (1) A (; S~ A n 8 • AA s: ,8 _1 a'lo si 'A U 8 • 8 (2) A .~8~ A U 8 • 8. • ~yA ~'8 ai y 8&10 sl S' ~ Ai (3) A .;;;·8 ....... a' 1.;; A'A &a 81 y '.Sla 81 A n s' .- (4) A e a +-+ A n' S'

JI _

A ba al y ••ha si A' U B " U (5) A c·a ........A' U 8 • U- ,t

EJEPlPLO 3.10 .... Simplificar (A n. a) u A.

SOLUCIDH" ... le € l" n al o .'€' A loa .li..iantas que pertenecen a A n Bpertenecen tambi'n • A por tanta (A n a) c: A y de acuerdo a 11

relsc"!&n (2)

\: fA n Al IJ A _ 11

At U 8 • Ü

A' U B asta repra ••n~.do por toda la superficie,rayada y representa al u­niverso.

I

"BfIIIB

t

rU

....!.~.U uIrr

~

I

125

a) Det•

SOLueI

tela) (A U

SOLUCU

EJEJltPLC

r.y la tr

SOLUCIO

EJEMPLO

. ,

SI '.n.llz.lIoalaa leya. de "'8. preposiciones (J:!lg. 35 ), y l •• 1.1ye. da la. cl;lnjunt'a8.podemos encontrar una analogía, pues cada propoaici&n

eata 8ubatituIda por un conjunto, par ejam~l. p Par A. q con CI adem4a lo.

.í.boloa de lQ& ~perado~a~ en cada. ley la substituya ,por un. op~raci6n da

conjunto, as! V pal'U, A pCIr . n , ,_ por • (negae1eSn por collt~leto),.Pera

realizal''al primer oJarcicio aplic-dllo:.aa.l_y•• de conjun·taa, trana'or ••-. /

1'8m08 al eJe.plo 1. ,qua tus parte del examen. final del 2-111-79, en un e_jercicio de conjunt08 'f d811,Q.tl'8r.lllo.y..,~e8_ igualdád.

teya. eon.utativaa

5) A U e • e U A 6) A g e .,e n A

Lay•• Di.tributiva.

7) A U (.c n B') • (A U e) n (A u 8la) A n (e u 8) • (A n e) u (.A n 8)'•

I!aye. d. Idantidad

9) A U ;.A 10) A u O • ~11) A n - • ; 12} A n U' • A

Leya. de:l Campll!lll'Aentll

1) A U A :a A 2') A n A .' ALaya. A8ociativa.

3) (A U e) u a • A U (e u a).) (A n, e), n B • A n ce n é)

Laa .iguiente. 80n las leyea en la8 qua ae basa esta nuave campo

del ~lg.br. ~odarna. Recomiendo que co.prueben alguna da a.tae 1eY88, ~tiliaanda diagrama. di Vann.

~

LEYES ~ ALGEaRA Q1 CONJUNTOS

126

13) A U A' .• O 14) A n A • .-'15) (At),' • A 16) U" • •17) •• • O 1a) A n at a A -. a,ley.s ,. "erg8n 1.- Da

19) (A U a)' • A' 'n 8' 20) (A n a)' = A' U - B'

SOLUCION.-

a) petermi,namo. A 'unieSnS, A U 8 ·1 ',~,3,4.5,6.,La J;" luego realizamos

e) Ce - e) n Aa) (A U B) U e •b) (A n ,8) U e

tos

..los siguientes conjun

A IZ r 1,2,3,4,5,61a -. f 3, :? ,5,7,8 Ie lO I 2,3,7 J determinar

1.- Oadoa los conJu~t.a

-'PROBLEMAS 'RESUELTOS

.le~ dal compl~manto '(t8)

con-Junte. cOlI!parablea(A n a) e (A" U 8)e n (A n a)"e-(Afta)

~ey del complemento (18)ley di8tributiva '(a)ley de 1'101'9"'"1 (20)

tJE~LO 3.12 •• Simplificar usando lae leyes de conjuntas el siguiente Cg~

.juntore - (~ n 'S)j u[e' - (A U S:)]

SOlueION.-[C n (A n atJu[é n (A ~ S)'.]e {( A n 8)· • (A 1- a1].e n[(A n 8) n (A U a>).'

ley conmuta ti va (5)ley distributiva :(7)ley de Margan (20)l.q.q.d.

.(A 'U' a') n.(A u e' l.A U (a' ne')A U (a U e)'A b (S U e)' • A ~ (e U C),I

(A U s')n'(e'UA) 11 AU.(a be)'

(A' 'u 'S')' n (C' u A) con.dicieSninic,1al

r.

SOLUCION.- E.cribamoa la equivalencia lcSgica.(pV;"q) A (~r'V'p)=P'yN(q'V r)

y la transformamos a conjuntos, sea'A por p, B en lugar de q, y c en vez ae~

....•

EJEMPLO3.11.- Transforma r la equivalencia 1cSglcadel ejemplo 1.48. en unaigualdad de conjunto. y demostrarla

127

7...

A U B e 1)( €. A O X € B I ; 8 11e lit X E' B o X s e I(A 11 B) U e =1 x t' A o )( € e o x € e I +

t\ U (8 U e) =1 x . E' B, o x E e o )(€ A ,

Todos las • ,amentos de (A Ua) u e BsUh en ~ U(8 U e) por lo que

SOLUCION.-

4. - Demuestre la ley Asociativa da conjuntos (A UB) 11 e ~ A 11(8 Il e,

AITIllf.J~&~

A n ~ = ~

SOLUCION.- La inteuBcci6n de dos conjuntos e8 sub·conjunta de cada conju.!!,to, A n B e e, y A n B e A, por tanta A n ~ f.;, adem&s B+ 6"lco

subconjunto del conjunto vacío BS ~, de aquí que

A 11a

SOLUI

5.- I

fina:clúi:

Tadol

J.

A' =,e,b,C,d,f,9,h,11 ; B - A = Ib,c,dl

=,EI,i,j~k,b,c,dt ; ancantrar los J!!igulentes conjuntosa) [( e - A) n A I ]1 U (A' U 8)

b) [(A u B)- (8- A.)] nA'e) [A ' - (B - A )J- (A ·U B)

2.- Dados

A U a ·uni6n e, obteniendo fin61mente (A U B U e ~,1.2.3,4,5,6,7,B fb) Encon~ram08 el conjunto A intersecci6n B

A n 8 =13,4,5' luego'daterminamos si últtmo con~unto A n 8 uni6n e(A n B) u e =12,3,4,5,7' . '

1e) Encontramos el conjunto B - e; y luego, (a - e) n A

B - e ='4,51 (a-e) nA 11114,51

128

SOLueION .• -

a) Se determina el conjunto diferencia A'- (a - A), Y luego encontramosel conjunto diferencia entre este conjunto y (A U B).

Af - (8 - A) =la,f,'g,-h,llA'-(B- A)-(A ua) =!e,f,g,h,ll

3.- Demoetrar que A n ~ = ~ ~.a

7.- O•• a.trar l. ley de "organ (A n's)' • ;,~U S·

,~

e - (A U 8) e- .(A, n B)

¡. tI~·e - (A n S)~--------------------~ r---------~--------~~"6.-·Utilizando diagra ••• d~ Venn, raya l. superficie ~ue rapresenta

.) e - (A U ~)

A n (S U e) • (A n S~ u (A n e)La. do. auper' icl •• rayad •• ~on id'ntic.s. P.Ol' lo qua concluIllo. qua,

• I(A n a) U (A n c)A n (s U e)

SOLU ION...

5.- "adianta diagramas de Venn-(ular, d•• uestrli 'la ley d1atl'ibutivaA n (.8 U e) '~ (A n s.) u (A 'n e )

f 1nal~.nt. ai! silbas conjuntaa son subconjuntos s'l uno del otro pad8111asconclu1'l' qua" CA U S) U e 1II A U (s U e).

(A U ,8) U e E A U (B U...e)Tados la8 al.manto. d. A U (8 U e) a.t'n en (A U a) u e, por tanta

... A ,U (a U e) s (A U a) U e,

129

SOlUeJ

,0.- Rf

a) [(1b) [C

SOlUCU

.,9.- R•

(BuCr Bne A n e

8.- En el diagr••a de Venn rapraaent. a) A n (8 U e)' J a. conDca que •••

toa conjuntos aon nD disJdnto8, n' comparables b) (8 n e) - (A n ~)

s- (A n B)'. pO.r;'consiguiente

A' • (1,5,8,7,9,10 t8' 1: ~ 1,2,3,9,10 )

A,ns.~.,6l(A n S), • ~1,2,3,5,7,8,9,10.)

A' U S' • ~1,2,3,5,7,8,9,10 \(A n 8)le (A' U al) y (A' U 81)- ,(A n 8)'. A'·U B'

b) C.n.ld.r.n~o los .le••ntoa de loa conJuntosa univereo, A y B

c.•• d•• superficie. rayadas 80n id'nticaa, por l. qua queda demosctradala

ley.

A' U S'(. A lB)'

A n B B' [[[J

9SOLUCION.- O.be~os utilizar un diagr••a d. Vann en el que a. incl~ya al

conjunto univera••

a) .ediant. diagra.as de Vann, y

b) con conjunto8 en loa que conozcan sus el,manto••

130.

,.) [A"- (8 U e) ] u .Le - (A U r;:)J • b, ~A u' a,) - cJ - CA n e)

,',SOLUCION.-

SOLUCION ... Ea p!J81bla dar alg""a. r••plI •• ,a. a.l"I'.ct ••• , IN" "•• U,.,I.t._... a ••n.1ar .ol•••nt. d•••

• ) [CA A e) U.(8 n c>] _ (A' n 8 n ~)b) [e n CA u a) ] - (A n 8' n e)

9.- R.pra.an~ ••• dient. le. oD.l'acla....n.,O•••r1.-.. 1. ,.".,••'lGl. o)'.daan el die; re.. d. ,,..n"

(8 a C)"'(A D C.)AA(lue)

e)B •• -

da la

81

auparf;

locar l

los e-11

_NOTA.-

A, na I

del COI

11 e y I

A -. B t

decir I

eatos t

ue

y

14.- DI

abtene,

...

Estos son 109 conjuntos pedidos; se puede comprobar realizando

las operaciones indicadas en los datos (A U 8), B n A, y B - A, _deb~endo

conjunto, nos indica qua s~lo'b y.d son elementos comunes, finalmente el

tercar conjunto nos da una 61ti"a condici&n que .&10 8 pueda tener el al.!mento "e", por lo q~.s

A 1: ! a,b,d }

B n A 1: ( b,d iI

A U 8 1: ~ a,b,c,e ~ J

13.- Si conocamos los siguiante~ conjuntos, dBte~minar los elementos de A

y B

12.- En un di,grama similaf al anteriG~, raye

[.11: - (8 U C}] U [C- '(A ~ B)]·SOLUCION ...

SOlUCI8N.- (e - ,A) n B

~~~r~~~nté 1l80iante las operaciones r.ecesgrias, la ~iguiente superficie

132

sotdeII

dice q~

e - (Acal¡\ seS.,

~:3,",!a (A U1le.ente

" Hema~ I

B n C·

SOLUCION.- Se~6n la der~nici~n da uni&n de conjuntos, A puede tener como

elementos a,~,d,e y B puada tena~lo8 tambi'n. En el segundo

.. ,

superficie rayada a la qua •• refiér. el conjunto, en la que si deber' co-locar 8':'& alelDe~.t08t este prDcedimient,. ae lo repita hasta ubicar todoalD8 ~lamento& d. loa conjuntos dados.

)

.NOTA.- Este ·ejercicio y ~trDS s1mi:1.area, 'sa los puade realizar gr'ficame.o.te utl1izandQ diagramas de Venn, para l0, cual se dabe ~eterminar la

C • {3,4,5,6",.7,n,,12'~Hemos determinado 108 conjuntos ·A y e, nos falta deter'YItñar B ; c' n8 =9 n C· 111 B -' e I 88 decir ~08 al.lIIsnt·o8 'q'ua tiene 8. y-no tiene e

C' n B'. a - e • ~ S, 10} , de aquí quaB == (a, .10 ) ~,

A ~ 8' a-A n B.I: (2,5,7~, ioa elementos 2,Stt p~rten!~en t8~bi'h a e, 8e

depir qua B. ~2,5,?,at"o., ••• ,,~~ (A U8) n e,. ~ 3,4,.5,6'7 t ~ pertanecenutos elem&ntos tanto a e co.e a (A U B), 108 elementos 4,5,7 pertenecen a

, , ~At, no as! al elemanto 6, par lo qua 'sta obligatoriall8nte 'deba'l" ser partadel conjunto e, adelll's A n e '=' ('3,4,5,7 ~ ; por tanto 3,4 pertenecen a A y8 ~ Y no a B PUBS A' na. (2,"5,71 cuyoa elementos serA" B. ~2,5,7,8.10!

•SOL~CION.-,~)( ~ A)., A' =·~10,~.a,11,12.13,,14} • de 8!,:!uí qua A earA

igual a .",~,~.4.,5t7~9)j tx.€ A,)( E C}I:·~3,4,5"7~,, nas -ndice que A Y" e tiene eatos mismoe slallentos, por lo qua e II:'~ 3,4,5J7~,;.}e-CA u e). ~11,12} , se96n la definici6Sn,108 elementos 11 y 12 perten.,!CBIi' a610 a e y no a.(A U 8), por tanto C. (3,4,5",7"1,121,, (A U B) ne.t3,4,5,~.7r ; da acuerdo a lo anterior astos elementDs partenecen a e y

• CA ua~, por lo que finalmenta e estar~ constituído por 108 siguientes ~le.enta ••

(x q ~ i '. ~10,6, H, 11,.12,1 :3,14 ~,; e' n B 11: (2, a, o ~

A - 8". (2,5,7} '1)( s A, )( E el .1: ~3,4,5"7,~"(A U a) h C :r: (3,4,5,6,7)

y e.

~ ~ 11t2,3,4,5,6,7~8.9f10,1,,12,13f14~·

e - (A U B) .1: (:' 1 , , 2 ~ i (A n 8) ,- (A n' 8 n, C) 1: t 2 ~

14.- D.ados los siguientes ccnjunt~B determins todos los el).ementos' de>·A·,8~

133

1

11!

A

b)

INTR!

11....

A •

1314

I

(AuB)nC

- .C-Q, U B)

En •• 'a p~.bl •• a ae di' d. data C' I 8, lo q~a dabeMDshacarubicar la auparficia ~.yad8 que repre.ente est. cDn.j",nt~ y • cantinu.cubicar su•• 1••• nt •••

134

INTRDDUCCION.~ Par. el .iguianta tipa da ,rab~e.a. hay:~u. cen.iderar e S, eu.ir lo ,Iiguiente,

a) .y". indic.1ñtlr.acci&n'EJempl. Ji.~'.y B, aa la Ml•• e qua le n ab) •• -, l'nd1'Ca unl'"

PROBLEaASIR( CONJUNTOS

-

(A u a) R' C' lay dal ca.plementa e18~[(A ,U a) n C ,] u _ Lay de identidad (9) ,[CA U a) R C.Ju (C' R e) .. (Artificia) lay d'al Co.ple.enta (14)[e' n (A.U'8»)U.(C' n e) L.y can.u~.tiva (6)c'n[CAUS)UC) lay distributiva (a)(A u .8 U C) n e' lay conMutativa (6)(A U 8 U e) - e Lay del c•• plaM~.nt. (18)(A" U, 8 U e) - c·. CA U a U e) -'C l.q.q.~.

17.- D.Moatrar qua (A U 8) - C'. (A U a P el - e

~.y d.l c•• pla.antDLay d~ Jdantidad

A n U

."(s)(13)(12)

'l!ey dietributiva:

16.- D••• ~trar que. (A n 8) U (A; n B') • A r:(A n S) U(A n SI)A .,1 (8 U S')

15.- D•• aeh'.r _,plieanda la. lay •• d. DD...~untD. quaA' - S' • 8 - AJ' - B'

;

A,' n (8 r) " Ley del pe.ple.ente ('t8),A' n S "ll..y da"l ca.pl •• anto (15)8 JI Al Ley "Con.utativa ( 6)•S .- A , Ley .del coapla.anta (1l~):--.;

'S - A·,. S - A l.q.q.d ..

....13, 14

A • t 1.2.3,4,5.7.9.t, Si'.: ( 2,5,6,:7,8,1 O Je, .: t3,4.5,6,7"",2 J

135

S~

(.

l'

S'l~ BB-,(Aue)'. (t'1g. 3)

sI1D ee-(e U A)

(f ig. 4)

t,'"

11..r:J!j

SIlo A

A - (a u e),(fig. 2,)

Hay peraonaa qua co.pran las

tr•• art!culoB

(A n a n e)(r i9. 1)

EJemple:A e e. oa la mi,mD qua A'U BI

Ejonapla:A''tI B. e B y e, significa (A: n B) U (B n e)c) Si laa personas compran Brt!c4108. llevan uno a610 da cada clase, 8S d~

cir que:~- Si una persona compra s~lo artículos At Significa que a'asta p8rs~né

le carrespDnde Un artículo." 'Si una paraona CDmpre artículos de !a D~.e A y da la claaa B, qui.~

r. decir, qua asta peraona 1t.va Un artIculoaA 't Un artículo e." Si una paraona cempre artIculos de 188 tras clas88, hay que entender

qua 'ata pareona llava Un srt!c·uloA, Un'sr.deulo a, y Un artículo e.d) 5a deb~ trazar un d!agram. da Vann que ra6na lae condicionas dadas en

r

el prabla.a, y determina clar••anta cada ,.na a la que la cdrra8p,ondar4

un valar. dacio.EjemplD.- En 108 eiguiantaa ,diagramasde Vann se encuentran superficies f.!,

yad~a. aata a.crita'la .p~raci&rid. conjuntas ~Drra8pondiante8t

y el lengueJe da conjun~G8 qu~a~ emplea en'sate tipo de problemas.

S610 8 Y e..(8 n· e) - A

(f ig. 10)

A y-eA n' e,(rige a)

5&10 A y B(A n a) - c<(rig. 9)

A Y BA ·n B

. (fig'. 6)

y CB 'n, e

(r19" 7).

Una sola clase de artículos

[A - (e u c)] u·[e '_ (A U C>] u[c - (A U Bj;(fig~ 5)

...

.)

1'81'

Dat,

.'1

d) I

b) I

c) •

b) "Articulas .on 'all•• de~ tipo A y tipo B 8"

40•A'UBUC'

Qul.~~ dacir qua al total da artículos con fallas A, B a e 80n 40.

a) ·la "brica produce 100 artículos !l•• i\Ha ...~p,8Ban'el control d. calidad

60".

SOLUCION.- Vamos a analizar las d.tos uno por uno.

El n~.aro·d. artículos que tu~ler.n una 801a fal1. de tipo ea da tipa B fue al .i81110. Culntos art~oulo. tuvieron fallae da tipo.

B y cu'ntoe artículos tuvia?on una 801a '.lla.

-12, artículo. con 'alla& de los tres tipos ~, artículas con ,alla8 d.

tipa A y t 5, Y artícula. con s610 fallas da ~ipo C ~ tipo B 2.

,1,8.- Una "'brica qua produce 1,00...rtl hora, de 10B cuala8 pas,an'al control

.decalidad 60. Las 'al¡as en al reato, fuerG~ fallas dal tipa A, tipó B Y tipa C, y ee rapar,tiarandel lIIodosiguiente., Artículoe con ''!l1a. dal .tipoA y dal tipo B 8, articulas·con s610 'allaa del tip. A

(rig. 13)A U B' U. C

perabna8 qua compran artículo.

r

n C) - a] u [(8 n C"> - A]12)

S~lo A Y a a a&l. A y C,o a610

B y C

[(Aln a)'-C]U[(A(f i9.

la8S&lo A y C.

(A n C) - a(f i9. 11)

personas qua compran dos art!cu,-

138

.) -Arttculo. con fallas del tipa A Y e 5-

oabeMo8 hacar la conaidaraci6n anterior, y óet81'.inar .'10 A Y e.(A n e) - (A n B n e) • s - 3 • 2

.J

Luog. d. ubicar 108 trae art!cui •••an A n 8 n C. dabelll88c.n.id ...., 'l

rar qu."si no h8C.~O. n1n96n ca.bi. al n~.erQ, de artío~lo. an A y B(A na),•• 1'4 igual a 11. alt.rlndo •• al d.~o acl probl••a, paro como conoce~D8 .1

valor d. A Y B. Y da lo. artículos que tienen 18s tras fallo., nos falta

detarllinal'loa art.!cula8 qua tienen,.&10 '.a dos tall•• A y B par• .LOqua

dab••D8 !!·•• tar 8 .. 3, Y quada I

CA n a) - (A n 8 n e). 5

~) A n a ne. 3Dato. (b,y a) pU8.to~an "A~.,ho diagra••

d) -Art!culos con falla. de los traa tipos 3-

e)' A - (8 U e) • 12b) A n 8 • 8

I

,~

e) -Artículos con S&lD 'allas ~.l,tipD A 12-"

139

y ••

nan •

SOLUC:

•11

a

.)CuAnt8 11:1 E

.San '

IItrel

po S'

,) ·Cu'LO iiAlpa

28 •

NOrA ...

,Un. vez ~U8 se ha determinaoo el namero de 8~ticulos Que corrOD-

pondan' a cada superficie, se puede 'contestar las preguntas

12 • 5 • 3 • 2 + 2 • X ..X = 40

24 + 2X • 402X • 40 - 2.

X • 8

un'., vaz datar.lnado cada valor (artículoa). qua carr •• ponda a oada auper ..tic", daba.os au.ar tedos lea .rt~cullla .. igualar al ntillara total que t,i,!nan '.ll.a (~O).

g) El n~.ara da artículos que tuvieron una 801a talla d. tipo e Q de tipo

B tu' al .1 ••0·"

5.&la e y 8. (8 n c)- A. 2 (Val' t19_ 10)

En aata tipa da enunciado quedan tuera 108 que tienen traa .rt!cul •• ,

par tant.·n. dabamoa hacal'nin9una clif.r.ncia,

,-) "ArtIculos cen acS1CJr a-llaa dal- tipa e y tipa B 2-.-

SOLUCION..- -En la angua.ta cultural antre 40 parao', •• , 27 aran ha.braa",. .N•• indica qua .la encua.t. ee la r .. 11z' a ha.brea y muJara.,

por l. qua daba habar 13 lIujar.a8, para completar "el grupa da 40 p.raanaa,y .a dab~ diagramar calla conjuntos no interaaeantea, canaideranda que tl~nan a'lguna. difarencias que loe caracteriza ca•• ha.bra. o ca•• IIWJar.a.

19. - En una' encua.t. cultural entra 40 pareonaa '.' 27 aran halllbra. y 20 .G­alcoa, d. ,aataa ill ti.oa 8 aran cantante8" 6 da la •• u·Jera. no eranIlCialcoa y' 22 de loa ha.brea na aran cantanta.. Daterminarl. Culínte..• uJar.a .ran m6aicoa paro no cantantaa~ E.P.N. ?7-78,Proble~a del Ex. da Suapend4n. 11 Se••• tra 1 N",~al. ,.P••.. 71-18 Y~r.bla.a de Ex. de Ingre •• E.P.N.

NOTA... Eete probla.a fue propu •• t •. en el PrJ..ar Ex•• an da ·Algebra. PrimerNival. E. Pollt'c~lca N,cianal. 20-1-18., .

,) ·Cu4nto. tuvieron un. 80la '.lla·La importante e. ~etarminar qua cada artíoulo tenoa una sala 'alla n.illporta ai a8 da tipa A. t;ipa, B o da tipo C. (\lar .I.ig. 5)

12 + 8 • 8 11 2828 a r~ícúl •.•

p. S-.

.) CuAnto8 artÍ"c'ulos t.uvieron falla8 de tipo 8

B • a + s + 3 + 2 11 18

San 1B'ártículo8 18e· que tienen talla8 de tipa 8, na imparta 8i tieneotra. 'alla •• la condici'n fundamantal 88 da QU. tangan ·fallaa del ~!,

141

!

,21."

.) A

20.- S

Respue

M08 qUi

debida

ealllplaaon MI5,

Oal nUI

d) ,El

tD3 1111

6

MMH

5 h•• bre•• on c8~tan~•••'0

En t.tal .an 13 .uJ.r •• , .1 6 Mujare. na 80n .Galbo., la. de.'•• uj.ra;(7) deban .ar ~O.1co••7 .u~er88 aon .daico ••Al igual que an el p'rr.' •• nt.rior •• 1 °22 d. loé r.•• b",. na ar8n can~tant.a, 5 d.ben ae"l., pua. 'hay 27 h••bra ••

tea·.

MuoSi~

H M

b) .y 20 .6aicD~, da .8~~8 dlti••• 8 eren c.nt.nt ••••.

quiera decir qua de l~e 40 peraon••, 20 .ran ~d8ico. (~ntr. ho.br~. y

MuJer •• )'.

""Da a.ta. dlti.D.". 8.to .ignl' ic. qua hay un 8ubconJunt!ll. lo. canta,n

ta. 'Dr••" un 8u~conJuntQ a. l••• ~8ica••

13 MH 27

142

• b) (A n el) U B I e) (A' U c-) n (8 n A).) A n B'

20.- S.e A • t1,2.3,,4,S"\ ; B. f3,4.~.7 ~ J c. (2,4,9,,0 ~U .,~ 1, 2~3,4,5,6,7.9 t10 )

O.t~r.in. la. ala••ntoe de l••• iguiente. conjuntos y grarlqual.e

!!l RESUELTOSPRgBLEflAS

Respuesta. 4 .uJer •••• n ~6slce. pero no cantante ••I

~

13 MM pUS

4 i 6eD

27H

Del nu.aral e). c,onoce.oa qua 7 ••ujarea 80n .(jalcas, dal nuaeral b') aaba­

en qua al conjuntoade l.e can·tante. a. subconjunto d.l ae lD8 IIGalcoe;

debida .'esto le. 3 .ujar •• que .on cantante. ta.bi4n .on IIGalc••, y paré

ca.plat.r al tat.l da mujer •• que ••• ad.tc.a, deba habar 4 .ujar •• queIon .~SiC08 pero no cantanta ••

d)'El tetal de eantant •• aa 8; S h•• brea 80n cantante., par. co.pistar eltotal. 3 .uJere. deben·ser cantante ••

3 .~Jarae eon cantant •••

21.- Si .e cenoca ~.s alamento. da 108 conjunta. d. A, e y B

A • (a .·b• c•d .' ~ J 8 g ~d. B• , • s ] ; e -{ b. c ,d, , •g •h ~i ~d~tar.lna gra'lea ••nt•• indique que al••anto. 'Dr••n parta da l••conjunto. .) (A U 8) n (A U e) ;

b) (A' n e) U (8 n B')e) e - (A n B)'

143

A • (.,b,e,d,f J J 8. id••",Q) le., b,e.d".g.h~i)

d.ter_ine graf1ca ••nt•• indique q~e .l••ento. '.r••n parte d. l••

conjunto. s-) (A U S) n (A U C) I

b) (A' n e) U (8 n 8')e) e - (A n 8)'

20.- S.a A • (1t 2. 3,.4t 5 l , B • {3.4.6.7 J , e • (2.4,9,10)

U • ~1,2,3,4,5,6,7,9,10)

O.t.r_ine l...•le••ntoa d. le• .iguiente. conjuntos '1 grsrique.1o.

.) A n S' I b) (A n c') U S , o) (A' U C') n (8 n A)

.l1.- Si •e eenoe• ..L•• elemento8 d. 108 conjuntos de A, C y S

PROBLE"AS. ~ RESUELTOS

4 6

27 13 MH

0.1 nu••ral e). ~onoce.o. que 7 _~Jer••• on .a.ic••, del nu.eral b) aabe­

.0. que .1 conJunte.de l•• cantan t•• e. subconjunto d.l de loa m~eico.J

debido. e.to l•• 3 .ujer•• que ••n cantante. 'allbi.'n.an 1I~.ic••• '1 para

ca.pletar el tatll d. muJ.r •• que •••• d.ie.... d.be haber 4 Mujer•• que

8an _d.tcDs perD no c.ntant •••

d) ·El t.tal d. cantan t••• a 8, S h._bre •• on cantante •• para co.pletar .1

total. 3 .uJere. deben aer cantantee.

3 MuJere. .on cantant •••

143

35...

. 32 ....

[a)31 ...

n~Q8 para represent.r (do•.fDr••• dif8r.~Utiliza ",1 ~,

tes) la's6uIHi,-;1 xc1,::'. ."

a)

30.- Represente (an dos 'or••• diferente.) ~adi.nt. l•• oparacionas neca­

••riaa la'aupert.icia rayada en 103 8iguip.~te8.d~.gr••8. d. Venn.

26.- Sj- A .a subconjunto de 8, damuBatre qua A U (8 -A) • B

27.- Si 8 aa subconjunto de e y e aa GubcenJunto da A, Simplifique lA U a)nCA U e)

Utiliza un diagraMa de Vlnn y raye la superflcia corr.ap'ondiente •los conjuntos

25.- Se. A 8ubcDnjunto d. B. 'demueatra que a' e A'

24.- oemueatra qua. al A ~ B entonce•• (A U 8) a A

Operaciones, con conjuntos camparables

A) '; d) (·a - A)·••~.(C• e) A U e, ••• B••• U ; b) A •••• _

UA·....... .Aa) A

.a) S.

23.- C~8pletar can e • ~ , o no compar8bl.~

A y cJ A y a, B y e .on no ca.par.blas a lntar8acanta.

22.- Demostrar gr'f~camsnt. la siguiente lay

A n (8 n e) • B n (A n e)

144

2B.- a) [ {A U B' n (B'U"')Jn ". Ay B a.n na .c.mparablas e i!l34.-b ) [A. - ·cA n B)'] - (A U B 1) t.r.acant.a

29.- a) [(A n e) - eJ o b) [(O n e) - A] U (A n 8 n e)A, a, e 80n lntaraecant•• y no comparables entra aí, B·y O ean 'na ir!terS8CanteS. A. e y o a.n lntaraecentes y no co.parabl.s entra a!.

/

35 ... ·

.32.~

o .A

~O

1,

, iZ e .'

I . B Il'

J;:::::::::::::: .I7 \

b)Aa)31 ....

lot5

Leyes

42.- O

B

~ X

43.- O

((B(

440· E

E

41 ....

\.

360"

146,

B e A 'c e(A, n B) u ,(A n B' ) = ~b.d,'.e,g.h.itJfS' n (A u B) .(h,1tJ~A' n e n B' .~ Ie,l}

layas de conjuntas

43, .. Oeterminal:'108 elemen-tos da .A y,de S, si se conocas~_1, 3, 2, 6, 7, 8, 9•1O t -

(A - B')'-(A n Al) f. (1,2 t4,5,3,6,7, e. 9,1 O:~B' U A • ( 7,-8,9,10,4,5 t(A U B)'- ~71!J~

losr

44..- Encuen~X'e slellantoe de A, B" e, 8i 8e conocE' que

S' U S .' ~•• b,C.dte"f ,9th

,1 X E B , X f A t· ~• l

42,"O.termin. 108 elementas de • y B, 8i- S8 conoce qua'

~ ; st - A' • ~ a)I A' n S' 11: t"g,h ~

4' ...t

.J

e

147

610- Oe1

U nU(oa(O(A

62.- En

O

B(AO'• exxDU

.'63~..Ur

b.

6

La:nl

Si

b

eJ

64.- 4p'

4!

h.h

1

nr

(A U ·s U e)' :u [ (e

51 ... [A U[(e O O) - e] r58·.-[[<A n e) u (A n D)]. (A n 8 n O)] U (ll n e n o) ~

[ (A n 8 ) U (A no) U ( e n.O) ] - [ ( 8 no) - e]59.- (A - e) u (e n O) u [ea n C) - AJ. [(A U a)- (A o c)]-[a-(AUCUO)]

60. - (e - a) U [( B o o) ." e] • [e U (8 no) J - (B n e)

n e) - A]. [ (S U e)' u (e n e) 1- 'A

•. (u - A) - [ (8 O o) - e]

55.- Oamu~8tra que'

[(A U S) U (O n A»)' U [[(A Jt 8) U (8 U A)]O[<A O,S) U (A U a)fJu[(A U a) n (8 nA)]as igual. (Al - 8) U (A' U S'),, ,

54.- Simplifique

[[(A' n O') U S] n [(Al n O')· n B rJ U [[ (B O A)' U (A U B)] O[(A U B)'U(A O 8)]]

53.- En al problb_w JO b). se daba a8cribir en lenguaje'da co~JuntG8 da das

'Dr_.s diferentes la 8up.~fici. rayada. demuestre utilizando leyes de

cenjuntD8, que afectivamenta 80n iguales.

52.- utilizanda las leyes de c~njuntos damu~.tre qua la. ~.a f~r.s8 cen lal

que sa p.uell.representar la sup_erriciefayeda del prablBma 30 .)•• en

iguales.

51.- Aplicanda las layes de conjuntas, y desarrellando solamente el miembro

da la izquierda d.~u.8tr. ques

[ A - (8 U C)] U (8 - A) • [(A U 8) - (A n 8)] - (A O e)

50.- Demuestre que:

CA t O e) u (8 n S·) 111 [. e - (A U S)] u [( B O e) - (A n s O ci]

49.~ Demuestra qua,,[A - (8 U e >] U [8 - (A U e) J • [(A U B) - e j -,[(A n B) - (A n B n

14'8

45.- Oe.ue.tre ques f(A U a)' u BJ n [S' U (A U B)] • (A - B)'I

46.- Demuestre ques A U (O - a) .z [Al o (O' u' B) r41...Demuestre qua, ' ',A U B)' U CA n S·) • P'48•• Demuestra qUBS A' U D ~ (A - B)'

,64.- 46 .atudiant.. (alu_na. y a·luanas)a.~eg.n l.a idi.llaa.qua u.a.an a-

probar an aus .atudioe qua l•• r.alizan en la E. P. N•..alu.na•• studian a~la 'r8nc'., 4 alullnos.8studian ale.'.-• ln91'.,.hay igual na.ere d.~alu.naa y alumna. qua est~dian a610 ingl'., n!hay 'alUllnf'Squa ••tudien f rane'a. nl alumna8 que estudien ala..,,,,,h.~12 .studiant•• qua tic.llg~1ntodavía nin9"",nod. los idiamaa, 10 alu,!na8 ••tudian franc'.; al nG.ero t~tal da alu.nos excede an 2 al nGm~ra da alumnas, •• pr.guntaJ~) Cu'ntG8 alu.noa astudian idiomaa

Un' curs. d. 40 .lumn•• tian. qua aprobar Ed.•r l_ic.,'y para _11. de-, .b.n .sc.oar .otr. tr•• d~PD*t.8, r~tb.l~ b'squ.t, y v.ll.y.

, .6 .lu.na. pr.fi.r.n -'lo '''.ll.y,4 Jl1u_noaallg.n ~.ll.y y B'aqu.t.E.l n6",.1'0de alu.no. ·qua.8li,gan,~'la B¿~quet .••la'Dli't4del. 108 qua.~19.n r~tb.l ~ ~8 .1 dabJe u. loa qua aligjn r~tbol y VDll.y~ N. hayning~n aiu.na ~u.·.liJa r~tbal ~ a'aquet.S. ~r.gun~ala) eu'nt•• ,alua~oa.11g.n V.lfayb) eu'nta8 alumn.s ellg.n fatbalc) eu'nta~ allgan _'l. b'.quat

8 'f e son(A n e) uo' • _e A - B • (15.9,10 IX 84,X8B~.~3,4,12)

X 8 A, X ,Bt.'1,2,,11,7.8 ~O - (A U B U e) • ~19,18,2~.21.2~ iÜ' .~ 1 ,2,3.4, •••••••••••• 23 ,

no disjuntos

(8 - A - e)

O :J eo :l B ;O ::l A ;

de'A. 8, e y o. s. aabe que'; A Y B. 8en n. diajuntos (lntera.cantes)

• A y ~ s.n di8~unto. (na int~re.cante.)• 15•6,13,16.22)

62.- Encontrar l••• le.entea

61... Oatermina le8 elemento8 da A", 8. y e. 'Ün[(A n a) u [CA n e)] • ~d,k,a•• ~U n (8' n e')' .11I,b.C.d ••• f ••••••• .J,k}(D' no)' • \••b.C.d•••'••••••••m.n,.~B n e' • ~P.g.h,i.J,k) .(a - e')' -la,b,c,d,O.h,i.J,k,l, ••n,o i(A 'U B U e)' • ~n,o~'

149

)]

u

) .

das

de

.an18&

loro

B n e)J

68

67.- ~ntre un grupa de parlDnaa convarsan sobra traa película., A, B. Y C,

. y datarminan que 4 paraonas no han vista ninQuna de las tree, la ~it8i.

e) Cama van a .arcar an la Tarjeta•

,66.- 18 .ficinl.tJs .at'n .allando una ta~J.ta da·golaza·, laa falta per

marcar .1 partido entra T. UI~ivar.itari. y D.·Q~~~•• ~••o no llagan

a un acu.~dc dlcidan raalizat una votaci'n para decidir •• por al qua.

tenge lub votos, cada..una de lataa .q'iciniata8 puaden vat·.l' po~ uno

de ~oa .quipos, p.r al empate (por amb••) o por las tras ,pDaibilidad••~. , .~

.~ ~asultadg obtenido a. -1 siguianta •• '1•• ~ D.'Quito reciba 1/4 ~.

la. voto. qua 1'.~lb.n amboa a la vaz (ampata). al T'cnlc8 .btiana 8 V!ce. al n6mero, da voto. Que las Qua ti.na .&1. al D. Quito. 5 ~flclni8.

ta~ "O B8 dacidan entra ~stG8 equipas (no.v.t.n). al tOtal da vat~~ .i- igual al n6mara d. oficini.tas qus sstan ssllando la tarjeta ·Golazo·,la pregunta •

• a) eu'n tOd vatos lag reS al T.U.

b) Cu'ntos voto. 1091'1 el D. Q.

65o~ Se haca un. ancuBsta en un aupar.arcado a 33 clientls que .a ancuen­

tra" "'''ciandaColllpUS, :.5 d. allas .no usan jab6nas.dal tipo A, ni a,peal' C. 15 u••n j.bon~•• 610 dal tioa A D .&1. ~el tipa e, las para!

ni. qua usa~ jabona. A y B .on la .itaq aa loa qua u.an jabana. B y

C y astas a.Cldan an 5 • l.a per••n•• qua usan jabon •• ~'la dal tipo

B, .y al n{;••ra d. plr~ena. qua utilizan Jabona. B·a. 3 .vacas .ayar .:

qua al'qua'usan -'lo.~.

·Na hay parsonaa qu~ u.an A, B y C••) Oe~.r.1nan qua Jab~n as al .I~ u.ada.

b) Cu4ntas paraonae uaan los jabona. A. B • eC) Cu'nts. u.an la. trae Jabona.

d) Cu'nta. utilizan A o B paro n~ 'C

a) Cu'ntaa no usan jabo.a. El

,),Cu'nta. utilizan Jabona. A y B ·pare no e9) Cu'ntaa na can.u.an J,banes A a B

b) Cu&ntaa estudiante. eligan' .'10 ingl'.

~) Cu'nta~ alumnaa na eligen al idioma que wan a estudiar

d).Cu'nta. alumnos estudian .'la alelll'"

Nota.- Hay igual n611ara d. alumno. y ~a alu.naa que estudian idiollal.

150

10o~ Se raaliz& ~na encuesta entre cDnsumido.aa da refre8c08 que di&'las

.Ia) A cu'ntas personas les gusta A y 8

b) A cu'ntaa personas no las gusta B

e) A cu&ntas personas las gusta e pero 1'\0 B. peor A

d) A cu'nt8s personas las gueta uno ••Slo de los productos

e) A culntas personas les gusta dos productos.

69.- A 11 persona. lea guata las productos-e, a 26 lea gusta 108 produc­

tos A, B • e, 20 parsonas no prefiare" productos A 8 7 pereonas ~.s

gusta B pero nQ A. e 12 persona. les gusta B, al n6mero da personas

que las gusta"C a. ig~al al de la~ peradnas qua prefieren A. [1 mi,!

m. n6merD de personas qua le8 guata A y B, e8 igual al de personas

qua no lBS gusta n1ngdn producte. Adem'a 8B conoce que no hay pers~

nas qU! les agrade 18s tres productos.

Encuentra,

68.- 5a hace una encu8sta entre 25 persona. sobra los barrios (A, B, e, Ó)en que m's les gustaría vivir, y S8 ancontr6 qua ninguna p.~aona dijo

qu. lea gustaría vivir~.n Qualquiera 'de tre~ barrios, .1 número da

per.ona. que las .gustar!a vivir en C y O 8S igual al de parsonas que

les agradaría s&lo an C y as ,elmislI\oque el de persona. que lea gu,!

tarta en A y B, Y 8a igual a la mitad da 108 -que,lea gustaría vivir

.&10 an B o C o O. y todas laa p.raQn~a 8ncuaetad.a eligiaron al'.e.

noa un barrio. 13,pareon.a eligiaron vivir an B o C.

Oaterrain",

a) A,cu'ntaa personas le8 gu~ta vivir en .1 barrio C

b) A cu'nta. peraonas le8 gusta vivir en 8610 un barrla

a) Cu'ntaa personas han visto A y B

b) Cu&nta. han visto B o e-. ~e) Cu&ntas han visto s'lo A o s~lo B o 8610 ed) Cu'ntae peraanas no han visto B

dal número da las personas que han visto s~lo B 8S igual al que han

visto C. las que han vista A y B es una tercera parte de los qua han

visto s410 "B.

7 pereonas han visto la película A y 5 han visto s610~. Laa p~rso­

nas que ven e no ven ninguna otra película •

Determines

151

-8!

..l.•

73.

lo

40

a)b)e)d)e)

al •

bol'

no

5 mti6

S8

El

da

22 personas de laa cuales 7 90n mujeres, permanecieran en sus casas;

al!conoce que,

72.- '86 peraonaa puaden eleg1r entra las siguientes di'ittreccions8,Cine,

Fútba~ y a'equat, 108 tras aspect'culoa se 11.v8~a cabo el dí. 08-

minga a dirar.nte~ haraa, por iD ~ue una peraona ~uede asistir a los·

tr8~ esp8e~'culaa. Al día siguiente 8e encuesta ~ 8ataa personas y

71.- Para concadar ,1 ·Oacar- al mejor actor de 19~B, se e'ectGa una,alas.

ci6n entre John V.ight, Robart O. Nira •.y lawrwnce Olivarl 44 perso­

nas Bst~n capaoitadas para dar BU voee, pudiéñdo hacarla por una de

ello., por lD8 dos, o consignando su voto por 40a tra8 actores. Lue-

go de la voteci'n sa encontró que: r.6 personas votaron par Vaight y Da Niro, 10 pe~8onas votaron por Oll

ver y Vaiglltt;11 número de pere.nas que vot'ardñsa'10 por Vaight" '8S

igual al de peraonae que votaron ecSlapar Oliv'lit,es .igualal n4.arl

da personas qua votaron por De Nira, y 8S iguel.~} número de perao­

ncs que votaron por Oli".r y Voight a par O-ll".rO~De Niro; 2 per.D-

peraenaa las guata 108 tras refrescos.

El n6moro de paraonaa que beben .61esCoca-e.la y renta 8S igual al

n6maro da parsonas que tamBn _'los ranta y Sprite. Se conoce ade­

m'a qua al n6.8ro de paraonaa que toman Sprlte 86 3 más que los qua

taman fanta y 3 mAa que la6 peraonas qU8 tDman Coca-Cola. 40 par8~

na8 teman btrD tipo de refrescos. Sa pregu~al

.) Cuántas personas toman Coca-Cola y Fenta é

b) Cuántas parsona8 toman 8~lo Coca-Cala oj

e) Cuántaa personas toman cualquiera da esto~treB refrescoa

d) Cu'nto8 refrascos hay qua dar a 'stas paf,pnas ~el literal e).

aiguientas rasultados,

14 personas toman Coca-Cola y Sprit••

11'per~onaa baben a610 Sprite, a 9 personas les gusta 9'10 fanta, 5

152

·na. votaron por los tras actoraa. Se pregunta: Qn ro

a) CwSntos va,tostuvo Vnight ,Ob) Cu.sntas parsonas v.taron por Voight ,qe) Indique el n~lfterototal de votos teL

d) Cu'ntea paraanea votaron a&l. por s O. Niro y .pe,r D~ivar

a) Culntaa peraonaa votaron s~lo por Ue Niro • .&161por Olivar

f) Qui6'n gan~ al "Oscar" q J

74.. 19C1.estud~ant8s van a una biblioteca en la qua hay 115 librQ8 de

Hall y Knight, BO libros de ~at8ix. y 80 l~bros da Árdura

20 estudiantes solicitan loe libr08 de Hall y Knight y Mataix.

mujeres. Encuentre

a) Determine c:u&ntaapersonas compran nO,velss

b) Determine cu'ntas personas co~pran .•61o libroé

e) Cuántos 'hombres adquieran libros y revistas

d) Culn'os hombres compran libros'y novelas pero no revistas.

Nota.- Toda persona que compre nD~.~as co.pra,libros~o hay mujeres que co,mpr~n.610'rlilv.ísta8,~ni.tampoco qua

compren libr~. y ravistas pero no ~ovela8.

En una librería sa registr6 ~Ué de a8 ~ersbna8 qua 8n~raron a ~Qmp.ar

li~rq8, no~ala~ y raviitas; la mitad estaban compuestos por ee"or~.,

saMaritas y'niMas, 17 mujeres compraron libro8, ~Bvist~s y novelas;

el n6méro dé muJeras que at1.quirieronnovelas ~ l,ibros~pero no re -,

vista~, es iQual al n6mero da mujeres q~e compraron ~61o libros; ~l. ' ,

número 'de,hombres que compraron libros y revista'spllilrono nove188,

8a 'igual al'n6meto d~ hombr~'squa ádquiaiaron nove'lasy libroa p. -

ro ro no revista's,y es al'dob'ledal n6ma,ro:da hombraa que compraron'_!~. 'lIibro8,5 ho~br88 compraron scSlo l'Bvista.,.39 perao~8s c:olJlpr~ron

revistas, da un grupo 'de 25 personas que no compraron nada, 15 sor

sa8is~ieron al fútbol y al cina1

aaitaa 9610 al f~tbol

asisten 5610 al fútbol,o 8610 al cine

asisten al f~tbol d al cina "1 .

asistieron 8 108 dos aspect'culOB

Cuántae pe'reonse

'C,,'ntaspersonas

Cuántes muj~res.

Cuántas mujeres

Cu$nt08 hombres

e)d)8)

". 1 f /1 e ;,P,b, (: flle..,:,;,..l.,. C-1.l.6)

El n6mero da personas que fueron al f~tbol y a~ cine, es ig~al al n6mero

de personas que f,uerons6.1oal f6tbol o s6io : 81 fútbol y al b'squet; y~'le 1 ~~) ~ ¿; , ,

ea igual al n6mero da,hombrs8JAue fue~ont861o al c~nB; nin96n ~ombre a8i~.,~~~\) " ((1")l=1'¡~¡;::..1.n ... ' , '

ti6 al básquet, hay ~08 Mujeres que asistierOn a 108 tres espectlculos;J: 1\ B e, s v) ~ c,/I pI = ¡':o(rr..;

5 m,ujeresfuaron al fútbol y ~,l b~squet; 10' muJf!lr8sfue~on al cine paro

no al f6tbol; el número da mujeres que asistieront 8610 al cine, es igual t,. q,J ,~(. e- (C"I.o)6-1 •al 'de m~jere8 que fueron al ci98 y al b'squet; 25 mujeres f uer'onal fút-

. (j; ;.13) s: 1.1" ttJ f..t. B:: ,C;t) ,bolo al'blequat" 9 mujeres fuaron i610'81 b~squBt, 11 mujeres fuaron 66-

, ;,;.t. o u fA. f-' ~ ~f 11... . •lo al blaquet o s610 al fútbol; aoeml. ae datermin6 que de 108 encue.t'ados,

140 80n adultos (hombrea) y B .~n niMoe.a)b)

153

79...

78.-' I

77.- Se reparta 180 pro~uctoa del tipo A, B y·C entre 125 personas de tal

manera que cada paraona le correeponde él menoa un producto. 15 paL

son,88recibieron productos aiSlodal tipo ,.y B; 35 recib'ieronA y e

'. 8 Y C; el número d. pereana. qua re~ibieron a610 A excede en 10 al

número de parsanas que recibieron .610 a~ El n~mero de peraonaa que

22-V-7~

y al básquet.,

Nivel E.P.N.

fútbo~..a) A cu4nta. hombre. lea guata ~ólD .1

b) A cu&ntos ni~os le8 guata el fútbol, 1erPrueba da Algebra

quet; • 8 n••bre. na l~s guata ninguno ~e le. daporte., d• laa cuales

2 san n1noa. • 9 hombrea les nll.tael fútbol'y 81 b'aquet.Si aa canoce qU& el nÚllerode ..9iéionadaaal fútbol Bit igual ai nG~.!ro b. aficionados al bá.quet, encuentres

16.~ Se realizo una encueeta deportiva entra 43 hombrea, De 108 cuelea 14

••n n1."081• 1)8 aataa 8 3 la8 gu.ta s.sloal,fútbol y á 4 aólo .1 b'a-

18-VlI-78E. P. N.Luraa da Verano.

15.- Para re.lizar una encuaeta .e reparte el ~ismo nú~ero de produc~oe

A, B, C. antr. 1270 con8umidar.s; lo. resultadaa d. dicha encue.ta

revelen lo a1vuiántes

200 parsonas consumen A y 8 e A y C e B y C

370 personaa con8u~en s&10 ~

El nG.er. da parsonas que,consuma a610 A aa igual al número de pere~

nas qua eenaume s'lo 'B. 30 pers.nas consu.sn los tr,. productos.,a) Cu'nto8 can.u~sn a'la A y B?.b) Cu&ntos consumen,A y,C?

e) Cu'ntoa conau.en s'l. ~?d) Cu'nto8 consuman A o 8 o amboe?

,.1' [xam"n. a. "lgebr8 ....

y Kn1vht.Neta.- Cade eetudiante ll¡va por la .an08 un libra.

30 estudiantes pidan le. 11~rg. de Hall y Knight y Ardura.

40 estudiante. solicitan loa libroe da Matsi:xy Ardure•...a) Cu&ntos estudiante. piden le. tres libro••

,b) Cu4ntos estudiantes piden ~ataix, pero nó Ardura.

e) Cu'ntoa estudiantes solicitan Hall y Knight o Atdura.

d) Cu&nto8 e.tudiante. piden Hall y Knigh' y Ardur. e Mataix y HallI

154

80~~ Oatarllllnarel conjunto que ~epr.sente el 're8 rayade

79.- En u~ grupo de 84 personas, igual n6.8ro de mujer•• que de ho.brea;

29 pereona8 .on trabajadoraa; 10 mujeres y ·6 ha_brea 80n a61e -intel!

gente.; g,mujera. 'son,.610habladora~, 8 mujerea a~lo trabajan. El

n6.er8 de per.~nas que son hablador•• e inteligentes, es iyual al no!!

••re de para.nas que 80n inteligentes '1 trabaJadoraa. 11 p,r8~nae s

aGn 8610 habladoras, 5 muJeres '1 8 hOlllbnano .an in'taligentea,ni h!,

bls'darea,'pec·r-.&1ntrabajadore.. No hey paraones que 8eariinteligen­

te.,' -habladoras '1 tr~hajadora8.

a) Cu'ntea pareonas son inteligentes '1 hablador.a-

b) Cu'nt8s per.o~aa 80n i~telig.nte8

c) Cu'ntoa ha_brea ••n a~lg trabaJadoree

Ex. Curao de Varano fila B Pr8~elit'cnicG E. P. N. 1979.

78.~De un'grupo de p8r~ona8 (4~),hay 21 hombre~. 2 90n .610 lntaligen­

tes; 8 hombres y 9 mujeres no trabajan; na son inteligentes, y ta.p~

CD aan habladore.; 'S'muJeres 80n s610 hablador••, el n~m.ro de per.~

naa q~s Bon int.llQen~ea ~ habladoras es de 241 .e conoc~ ade.'. que

no hay mujere. que trabajen. 'y qua nin96n hombre es hablador. -El no!!

.ero de.hombre. que trabaj.n '1 son iñteligente. 8. igual al nG~ero de.

aujera. qu,"son inteligente., '1 habladerae. Se preguntaa

a) Cuántas personas san inteligante••

b) Cuántos hombres 80n s610 trabajad.r.s.

c) Cuántas mujeres son hablado~aB.

Ex. Curao,~e ~erano,rila A Prepolit~cnico E. P. N. 1979

recibieron A 8e igu81 al n6mero de personas que recibieron B y e. i­gual al n~.ero de peraone. que recibieron C. Se pide.

~ e) Culntas personaa recibieron los tras tipos da productos.

b) Cu4ntaa per.onas recibieron.•~l~'productos del tipo C.

c) Culntas per80na~ recibieron productos de tipa A y B.

155

84.- A e B

U • t a,b,c,d,e,••••••••n,.,p \(A n e) e 8

e' 1: (J.k.n,D,p~8 n e ., d~e.t,g,J

A ns' .~1,,5i..8 - (A U e) ~~g.7i(A n B) U (8 n e) u (A n e) • t 2.3.4,5.6)O' • \ 1.2,3,4,5,6,9,10,11.121 , (A U e) - B • t 1,5,10 ~

A. UB • \ 1,2,3,4,5,6.',9 t ; A U o • \ 1 ,2,3,4,5.7,8 \ti - ( A ·u e u 8 U o) • l'1 , 1 2 ~(A n B n e)' • \ 1.2,:3,5.6.7,B,9.10,11~12)U. (1.2,3,4,5 •••••••••• 11.12J

82 ... (e n e) u (A n e) • ~ c.d,.,h tU a 'a,b,c,.d,.,•••••••l,.}A • la,c,d,b )

C-B·t'·9~(A U e U C)I • f 1, IR J

83.- e y A •• n na intareecant••, B y e 80n d18Jun~08, (no· irit...acant••) "\

Y S .an ne disjuntos (in~~r •• c.nt.8)(A' U.B)' • ~11),11 ,1 2,1 3. , 4',15 f -U - e • I2,~,4,5,6,1,8,9,14,15~8 - A • ( 8,9 J" n 8' • {2,3,4,5 J

81.- Determinar l.s elementos de 1.0 conjunta8 A, B Y C .i s. conoce que,

A y B; A y C; ~ y e; 80n no cD~parabl.e y nD disjuntos; O y e 8~~ ~il-juntos; A,y O .an dis~unto8. B y O 80n disjuntas.

81.-

85....

J56

..

~.

157

,.

8~... , e' nA. '/ á, h , b, i fA UB 11 a,b,c,d,8",h.i,J,k~1~C .• J f,k',d',.,J,m,g~,· '"A q ,8 = .r b',~,i t' . ,. < ".

A U"(c"·I}.A' n B_') .,{a,b,d,h,i,k,f,9.,.,,1,J·JA Ul« - A). ¡j' B.!].·t·a,b,d:,h,i,k,f,9,1II,1.J J lB - C lO f' b, e, i ,1 t. .

. U 1: ~ B,b,c.d·;,e,f"O, ••••••• ID.n f

87••: U, • ~ 1.2,3:,4,5, ••• ~••• : 15 ) " .(~ U C) no' • {,.,2,6,,10,12.141- ,B JI' (A n ~f...~.3,4.5.;f),7.a.9,12.13.15~(A 'n .8) rU'E (8."n C) Il i3,4,5', t7,~,15 i -(A' P.~B) U" (A n ~) ~ f 3,'4,6,'?,a,12 f p' , •

,e' .nc' ), al (-3,4,5,.6,7,8.9,10,'- 2,-1'3,1'4,15 ~.'"B n' c' = ~ 1., 2 , 3 , ,4 , 9 , 1 3 t ~,

88l... (A' ri 8,) U (B O' e) u (A n c~ • {~.4.~,5t[B" n (A,' u C' )r'" .!3,4,5,6,7 f(A.- c) U (8,':' e) :II,~t,2,'3,7) r '

. (e u e) nA' • ~ 7. ~" 8 ,Ju ~. ~, •2/3 .'. •••••• 9 J .. '

A n e n e_' • i 4 J

(A n e) -, 8". f d •• t .....' e' 11 (1 , m" a • b, e f i ,h •n • DtP ~

A-e ={a,b,c.l85.- (8 A) n C' • ~2,3,4~

~'X€ e ~. x . B~ a(t6,7,12,13~VX€D, x €C

A n e 1: pf x t·o t. ( 1, 2, J , 4 , 5 • 6, ?' B, 9 •1o , ,~1~141 'o y 8 son disjuntos (no intaraecant88)A U B lO: f,1,2,3,4 ,s,10,11 ,14 ~ ", ' ~X 8 B V..x 8, C 1 .: t·1 ,2,3.~~5,6.7;10,1' .12,13 ~"(8 n C')' • ~1t2,3,4,5'6,7,B~9,12t13.14 J

U :;: l ',2 , J , 4,;5, •• ~•••••••• 14 }<

b)29.- a)

b} -

y A no cDmparable8 8 inters8cantea

23.- a) A ~U

d) (9 - A).) (8 U A')

27 .... A.

2B.- a)

b) tg,h,i)

b) . A J;Y C - A· n. camparabias

21 ... 8) ~a , b , e, d , f ; g) ,; c) ,~:3~

J e) (.d,d, c) (A U e) J B 1

• intaraapantae J

20... I!I) ~1, 2, 5 )

RESPUE-STAS'

90....U • ~... b,c,d.e,f •••••• ~•• j,klA n BC\d,C)B n ec(c,rJ ~

(A n e)' n (e' u c-) 11 ( 8,d,9,h,i,j,k }A U B • (8,b,c,d,e,r,g,h tB U e • la,b,c,d,8,f,i,j~

as ... CA' n B') -:C .. (12~-'(A U 8) - e = i 2 t :3, 4.5.8 t 9~.(A U e) - B .. ~, ,2,:3,10,11i(8 u e) - A .. ~ 7,8,9.10,11i

U • ~1 ,2,3.4,5, ••••• 121

; 'd) 65C)lb) 1464.- a) 17

e) fo

8 & t 3,4,5,6,12,13,14,16,17,22}

J B • (d,e.f,g.h,i,J,k~ 1..61• - 1, • ~a, d, • ,k ,1t 111 )

e -_~a~b,e •• "t,t62.- A • ~'.2,3,4t7.8,,~,'21 I.: ,c .• (9,10,14,'5 ,17 ~

63.- a) 15 b) .. 20

114.- B U A'

t

• (A - B)'.¡ 8. (b,c,d,.J, B • ~1,2,3.4,5,6J

B 1: ~ b.~d. a, f ,9 )

410" A' U B .

~2~. A ,. ~a.b.c~d , '430- A, 1:. ~4,5~9t10t

, 44 ... A D (b,d,e,f,.Q,h,i,J te 11 ~ b",e",Q;h,i,J,k,l) ,

. ¡40 • ... (A U a,-u e)' U, ( B n e) - A , [ (B U e)' U ( B O e )] - A

" ,

38.- _.

39.... [A - (B U e) ] u [( B n e) - A)'CA U e) I u (a - e) u '(A n e)

34... (B. U o) - (A U e) J . (A U h U e u o) n (A U e)'

35.... A U ~D - a) r ; [A' n. (o' u e)j'36.-- (A - 'e) u (8 n.o) u [{B n e) - A]

[(A U e) - {A n C)]-[ 8 - (A U e U O)]

37.- [A U(8 n o) - e] r J (U - A) - [(8 n e) - e]

30.- a) (A U B U e u e) _ -(e u O) [(A - a) _ eJu[(e - B) - olb) (A n e n e) u (A n e n e) ; e o [(A o o) U (A ñ B)]

31.- a) (B_O O) U [A ,O (O - B)] i . (A n D) U (8 n-o)b) (e -o) u [(A - o) - e] u.,(a nA)

[A, _ (8 U e u O)] u (8 - D) U,(A.- 81)

32."[f(A n e) u (A,O D)]-- {A o a n-o>/u (8 n e no).', (A R a) u (A D D) U (B De)] - (a n o) - c]

33.... (C~- a) U [(e n o) - eJ \[e u (B n e)] - (B ñ e)

-159

160

88.-65._ a) e b) ~O e) O d) 20 ; .) 18 J .

f} 4 · g) 13 89.-.,660", a) 16 b) 1a e) DDbl. al T. Uni"er~iti l10

90.-670- 8) 2 b) 11 .) 14- .) 12 "158.- a) 7 b) 18

69... a) ,"S t b) 19 e) 8 j I d) 18 . .) 8,10·.... a) 13 J b) 8 e) ·58 I d) 93

71.- a) 26 f b) 26 ; e) 62 • d) 2 ; .) 16,r) \lo~ght

72.- a) 13 ; .b) 12 ; .e) 8 d) 22 .) 8

'73....8) lO b) ·10 I o) , 17 d)' Br.

74.- .)" 5 · b,) 40 , e) 1-65 ' J d)" 45'. ,

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78.- 'a) t 19 J b) 4 l' e) ._ 1'2•79... 8) 9 . ~). 34 l.: c') 1,2 "

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e)'! ,- r ('{A Ó')]80.- (e n D B') u.. (·a n iO)J . (A n B nl' 1 ,2.;,4., s]'

~(2.3,4~'6,7,9 ~81.- • A•• l B' & o :a p,á)', e ~(4,5'~'6~1:0\

82.- e = f·,r,h,g~ I B • ,.,h,i.,J,k,C,·d t83.- A • ~2,'3,4,5,6,7 ) B .= 16',7, B, 9 1 ; e •. ~10,11! .12,1 J t

A <.' ( .,b,e,~,. )1, )

84.- B • 1 a,tib, e , d , • , f' , 9 , h, ~, ~, m,e .'~ ~,.,f,g.Jtkt

850" A • ,( 1'.5,14 ) I B • t 1';l, 3,4 .s,1 o , 11) I e ~ ( 6, ~, 1o •11•12."13 }o a: P2,13.) ":: I

86.- ~ • ~a, b, d•• ,~t•hti'. J t • B '''1 b,éJ,i,k,c .•i ]

87.- A .. 't'.' 2, 3, 4 , 6 •7, 8') ~ , B .: f 3·,4,S,7,8,~9,13,15 ~, .'. = ~ 5; 6_7:, 8, l',0,12,14, 15~e

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