Algebra-Una introducción a la Aritmética

VersinpreliminarALGEBRA

Una introduccin a la Aritmticay a la Matemtica Discreta

Ricardo Podest y Paulo Tirao

Versin Preliminar

12 de junio de 2013

Versinpreliminar

ndice general

Prlogo v

Introduccin vii

I Fundamentos 1

1. Enunciados y demostraciones 31.1. El lenguaje coloquial y el lenguaje matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Proposiciones, conectivos y tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Condicionales y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Conjuntos 302.1. Cmo definir conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. Identidades de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Partes de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Relaciones 533.1. Propiedades de una relacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Funciones 574.1. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. La composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3. Funciones y las operaciones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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NDICE GENERAL R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

4.4. Cardinalidad * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5. Producto cartesiano y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Apndice de la Parte I 665.1. Notas histricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Soluciones a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

II Nmeros y Aritmtica 67

6. Nmeros reales y su aritmtica 696.1. Conjuntos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2. Axiomas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3. Propiedades bsicas de los nmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4. El orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.5. Aritmtica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.6. Cuerpos * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7. Nmeros naturales y el principio de induccin 937.1. Nmeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2. Induccin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.3. Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.4. Sucesiones definidas por recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.5. Sumatoria y productoria * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.6. Identidades con sumas. Sumas sumables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.7. Conjuntos inductivos y buena ordenacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.8. Varit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8. Aritmtica entera 1328.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.2. El algoritmo de la divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.3. Nmeros primos y factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.4. El mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.5. El mnimo comn mltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.6. El TFA, divisores, mcd y mcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.7. Representacin decimal y desarrollos s-dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9. Aritmtica modular 161

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9.1. La congruencia de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.2. El anillo de enteros mdulo m: Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.3. Aplicaciones a la artimtica entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.4. Ecuaciones en congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.5. La funcin de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.6. Los Teoremas de Euler-Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.7. Sistemas de ecuaciones lineales en congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.8. El teorema de Lucas * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10.Nmeros complejos 18010.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.2. La conjugacin y el mdulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.Apndice de la Parte II 18211.1. Notas histricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.2. Soluciones a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

III Combinatoria 183

12.Conteo I: principios bsicos 18412.1. Principios bsicos de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.2. Ordenar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.3. Elegir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19912.5. Distribuir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20412.6. Composiciones y particiones * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20612.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

13.Nmeros combinatorios 20913.1. Nmeros combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.2. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.3. El Tringulo de Pascal e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.4. Coeficientes multinomiales * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22013.5. El Teorema de Lucas * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22013.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

14.Conteo II: tcnicas avanzadas 22114.1. Funciones y cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22114.2. El principio del palomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22314.3. El principio de inclusin-exclusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

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14.4. Contando funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22514.5. Desarreglos * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22614.6. Varit * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22614.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

15.Grafos 227

16.Apndice de la Parte III 22816.1. Notas histricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22816.2. Soluciones a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

17.Apndice 229

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Prlogo

Estas notas fueron escritas a partir de las notas de clase que oportunamente preparra-mos para dictar la materia Algebra I de la Facultad de Matemtica, Astronoma y Fsica(FaMAF) de la Universidad Nacional de Crdoba (UNC), durante el primer cuatrimestrede 2012 y el primer cuatrimestre de 2013. stas, an se encuentran en estado preliminar ydeben ser corregidas y completadas. Todos los comentarios, correcciones y sugerencias departe del lector sern bienvenidos y se agradecen desde ya.Para muchos, ste puede ser el primer curso de matemtica que toman, o al menos el

primero de lgebra. La aritmtica y algunas nociones bsicas de la matemtica discreta sonmuy adecuadas como un primer contacto con la matemtica formal. Por ejemplo, permitenintroducir de manera bastante natural las formas y modos del quehacer matemtico, laforma de escribir y enunciar en matemtica, la forma de validar los resultados a travsde demostraciones, la forma de definir objetos absatractos y construir teoras con ellos.Las presentes notas constituyen esencialmente un curso de un cuatrimestre, de ocho horas

de clase por semana, en el caso de FaMAF 4 horas de terico y 4 horas de prctico. Todoel material disponible necesita ms tiempo para ser cubierto. En un curso estndar hayque elegir que dar y que dejar de lado. No es posbile desarrollar todos los tpicos, todoslos ejemplos y discutir todos los ejercicios que se presentan.

El curso trata dos grandes temas: la aritmtica y la combinatoria. La aritmtica tratasobre distintos conjuntos numricos, sobre sus operaciones y sus propiedades. Tambinincluye un estudio ms profundo sobre sus estructuras subyacentes.La combinatoria se presenta como el arte de contar sin contar, el arte de contar inteligen-

temente. Se presentan mtodos y formas de pensar novedosas, distintas de las utilizadasen aritmtica, pero complementarias.El trabajar estas dos areas en un mismo curso da una perspectiva sobre el dinamismo de la

matemtica y como areas diferentes, con caractersitcas propias bien definidas interactuanenriquecindose mutuamente.

Los objetivos principales de este curso se pueden resumir en los siguientes 3 aspectos:

Aprender a aprender matemtica. Aprender a hacer matemtica. Aprender aritmtica y combinatoria.

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R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

El primero implica el desarrollo de la capacidad de leer definiciones y enunciados ma-temticos, de comprender como son sus objetos y cmo sus verdades se articulan entres.El segundo objetivo es de central importancia, ya que sin hacer algo de matemtica por

uno mismo difcilmente se aprenda algo. Una parte importante del hacer matemtica esuna actividad individual, que se enriquece con el intercambio de ideas con otros colegasque hacen matemtica. Es muy importante hacerse y contestarse preguntas a uno mismo,y no slo a los otros.Por ltimo, y muy importante desde lo prctico, est el aprender contenidos especficos.

En el camino que lleva a aprender estos contenidos se aprende, lentamente, a aprender y ahacer matemtica.

En estas notas conviven lo riguroso, que a veces resulta algo tedioso y se sospecha nodemasiado til, con lo prctico, listo para usar, que a veces puede dejar la sensacin defalta de fundamento o de ser algo impreciso. Ambos modos se complementan para facilitarel aprendizaje de cada tema expuesto, con todos los fundamentos y rigor necesarios perotambin desarrollando habilidades prcticas para poder usar con confianza lo aprendido.

Queremos agradecer especialmente a Ivn Angiono quin estuvo a cargo de la preparacinde los prcticos cundo nosotros dictbamos el terico de este curso.

Esperamos que stas notas les resulten tiles, y los alienten a trabajar duro y con entu-siasmo, para que puedan aprender y disfrutar de esta Introduccin al Algebra.

Ricardo y Paulo, Crdoba, 12 de junio de 2013.

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Introduccin

Esta Introduccin a la Aritmtica y a la Matemtica Discreta consta de cuatro Partes:

Parte i. Fundamentos

Parte ii. Nmeros y Aritmtica

Parte iii. Combinatoria y Grafos

Parte iv. Estructuras Algebraicas

Las segunda y tercera partes son el ncleo del curso. Los Fundamentos son comple-mentarios, estn a disposicin para aquellos que no los tengan slidamente incorporados.La ultima parte es ms avanzada y debera tratarse slo en casos especiales cundo lascondiciones del curso lo permitan.

Contenidos especficos. En Fundamentos, adems de un presentacin breve de con-juntos, relaciones y funciones, hay un captulo referido a los enunciados y a la demostracinen matemtica. Creemos que vale la pena leerlo y reflexionar sobre su contenido, ya quesin dudas ser de gran ayuda para hacer ste y cualquier otro curso de matemtica.En la segunda parte, Nmeros y Aritmtica, comenzamos discutiendo los numeros reales

y su aritmtica desde un punto de vista axiomtico sin dejar de lado lo que todos conocemossobre ellos. Hacemos varias referencias a los racionales y su aritmtica en relacin con lade los reales. Esta seccin es muy instructiva, y por ser la primera requiere un esfuerzoespecial. Continuamos con los naturales, que luego de una breve introduccin, dan pasoal principio de induccin. Una herramienta bsica fundamental en la matemtica entera ydiscreta. La aprehencin de esta herramienta lleva tiempo y requiere de mucha prctica.Esta seccin tiene muchos ejemplos y ejercicios que recomendamos enfticamente.Luego discutimos la muy rica aritmtica entera, empezando con el concepto fuindamental

de divisibilidad. Estudiamos el maximo comun divisor, el mnimo comun multiplo, losnumeros primos y la notacin decimal para enteros. Tambin hay una seccin dedicada aldesarrollo decimal de los racionales y al sistema binario y a otros sistemas de representacin.A continuacin introducimos los enteros modulares y la aritmtica modular. Este es untpico nuevo que requiere cierto grado de abstraccin. Constituye un primer ejemplo deobjetos y teora matemtica ms abstracta. Finalmente, la parte de nmeros tiene unaseccin dedicada a los complejos que adems de sus aspectos bsicos como sus operacionesy representacin grfica incluye...

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La tercera parte, Combinatoria y Grafos, es distinta de la anterior. El tema principal esel de conteo. Es decir, queremos aprender a determinar de cuantas formas puede ocurrirun suceso sin tener que hacer cada uno de los casos posibles. En otras palabras: contar sincontar. Ms que aprender una gran cantidad de resultados, conviene aprender estrategiasde conteo y desarrollar cierta habilidad para contar. Es necesario en este punto tener muyclaro el concepto de biyeccin entre dos conjuntos y tener cierta madurez para escribir demanera clara argumentos a veces sofisticados. La seccin sobre grafos no es difcil y puededesarrollarse en parte segun los requerimientos del curso o de los alumnos.

Organizacin. Cada una de las cuatro partes est organizada en Captulos y Secciones,y dentro de ellas se distinguen claramente las definiciones, los prrafos explicativos y losresultados, adems de ejemplos y ejercicios que facilitan la compresin de lo expuesto.A lo largo de las notas usaremos distintos rtulos para facilitar su lectura.

Definicin. Es una descripcin completa y precisa de un objeto o concepto mate-mtico nuevo.

Lema. Es un resultado generalmente tcnico necesario como parte de un argumentode un resultado ms importante. Generalmente, precede a una proposicin o teorema.

Proposicin. Es un resultado importante en s mismo, aunque puede referirse aalgo particular y cuyo enunciado puede requerir elementos definidos recientementeen el contexto en el que se enmarca.

Teorema. Es un resultado importante en s mismo de carcter general que mu-chas veces engloba resultados previos necesarios para su demostracin o resultadosmenores o particulares ya establecidos. Su enunciado es en general comprensible entrminos ampliamente conocidos en la teora en la que se enmarca.

Corolario. Es un resultado que se deriva directa y, en general, fcilmente de unaproposicin o teorema.

Observacin. Las observaciones son de carcter preciso y riguroso, sirven paracomplementar o completar un concepto o resultado matemtico presentado.

Nota. Bajo este ttulo aparecen comentarios de diversa ndole sobre algun aspectode lo tratado.

Nota histrica. Es una nota de carcter histrico referida a los conceptos mate-mticos tratados o a matemticos famosos relacionados con los mismos.

Notacin. Bajo este ttulo se introducen nuevas formas de denotar o nombrar ob-jetos matemticos ya definidos.

Convencin. Es un acuerdo sobre el uso o abuso de alguna notacin especfica,sobre la extensin de una definicin o concepto ya existente o sobre algn aspectopratico que simplifique el quehacer matemtico.

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Ejemplos. Un ejemplo es una instancia particular concreta relacionada con algnresultado o fenmeno estudiado. Puede ser til para entender alguna de las rozonesde la validez del mismo o para entender en qu marco o bajo que hiptesis vale.

Ejercicios. Son proposiciones para que el lector desarrolle calculando, escribiendouna prueba, mostrando un ejemplo o haciendo lo que corresponda segn el enunciadodel ejercicio. Se recomienda intentar hacerlos por uno mismo tantas veces como seanecesario. Constituyen una parte central del aprender a hacer matemtica.

Digresin. Es una nota de color que puede no ser parte de la exposicin, aunqueilustra algn aspecto interesante relacionado con la misma.

Adems hay algunas secciones marcadas con un astersco *; las hemos marcado conside-rando que es posible pasarlas por alto sin afectar el hilo principal del curso y porque enalgunos casos son adems ms difciles de entender. Sin embargo, para aquellos ms cu-riosos o con deseos de pronfundizar lo que etn aprendiendo puede resultarles instructivoleerlas y dedicarles algn tiempo a entenderlas.

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Parte I

Fundamentos

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En matemtica la nocin de verdad es absoluta. ste es un aspecto fundamental ydistintivo de la matemtica respecto de toda otra ciencia.Histricamente la lgica matemtica y los fundamentos de la matemtica son las reas

encargadas de construir el marco para desarrollar la matemtica sin contradicciones y conuna nocin de verdad inequvoca.En esta primera parte presentamos muy brevemente algunos aspectos de los fundamentos

de la matemtica que estn presentes en todo el quehacer matemtico en todas sus ramas.Por un lado presentamos algunas nociones de lgica proposicional y discutimos la im-

plicacin lgica como medio para validar los resultados en matemtica. En este marcotambin discutimos aspectos de las demostraciones en matemtica, elemento fundamentaldel quehacer matemtico.Por otro lado presentamos la teora de conjuntos bsica, algo de relaciones y los ele-

mentos bsicos sobre funciones, todos stos, objetos que se encuentran en los cimientosde la matemtica. Estos captulos, para los que ya conocen estos temas, pueden servir dereferencia para recordar, precisar o completar algun concepto o resultado que aparezacaen el desarrollo del curso.

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Captulo 1

Enunciados y demostraciones

La lgica es la anatoma del pensamiento.John Locke, filsofo ingls (1632 1704)

Una parte del quehacer de los matemticos consiste en construir ciertos objetos, losobjetos matemticos (e.g. nmeros, conjuntos, funciones, relaciones, figuras geomtricas)y reglas de juego claras para ellos, para luego descubrir y explicar los patrones que rigensu funcionamiento y estudiar sus propiedades.El hacer preguntas es una actitud muy natural en matemtica, que promueve el descu-

brimiento. Las afirmaciones matemticas, y en particular las respuestas a las preguntasque se plantean, deben ser enunciadas sin ambiguedad alguna. Es decir, estos enuncia-dos deben tener un valor de verdad bien definido, que slo puede ser verdadero o falso.El conocimiento matemtico se expresa a travs de enunciados, llamados teoremas, quedescriben las verdades de la matemtica. La manera de validar estos teoremas es el de lademostracin.En este captulo describiremos someramente algunos aspectos sobre los enunciados de

la matemtica y veremos algunos mtodos comunes de demostraciones matemticas, quesern usadas en el devenir del curso. El contenido de este captulo forma es parte de lalgica matemtica.

1.1. El lenguaje coloquial y el lenguaje matemtico

Frases como tengo 35 aos, nunca estuve en Francia, alguna vez com jabal, todosmis hermanos terminaron el secundario no generan duda sobre su significado. Todos en-tendemos lo mismo. Est claro que pude haber comido una sola vez Jabal o quiz fuerondos o cinco. Y si mis hermanos son Rafael, Diego y Marcos, est completamente claro queRafael termin, Diego termin y Marcos tambin termin.Ahora, frases como en la fiesta estaban todos los amigos de Juli y Rena o me iban

a dar oficina nueva y un aumento o ms vacaciones y cumplieron! pueden dar lugar adistintas interpretaciones. La primera frase dice que en la fiesta estaban todos los amigosen comn de las dos o que estaban todos los amigos de Juli y adems tambin estabantodos los amigos de Rena? Agus, que es amigo de Rena pero no de Juli, estaba o no? De la

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1.2 Proposiciones, conectivos y tablas de verdad R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

segunda frase, entendemos que le dieron todo, o que le dieron quiz slo ms vacaciones,o quiz oficina y un aumento, u oficina y ms vacaciones? Entendemos que en cualquiercaso le dieron oficina nueva?La manera en que est usado el lenguaje en estas frases da lugar a estas distintas inter-

pretaciones. Es posible escribirlas de otra forma para que tengan un sentido preciso, aquelque querramos trasmitir. Por ejemplo, si queremos decir que en la fiesta estaban todoslos amigos que tienen Rena y Juli en comn, no como Agus, podemos decir: en la fiestaestaban todos los amigos de Juli que tambin son amigos de Rena, estaban los que sonamigos de ambas o simplemente en la fiesta estaban todos los amigos que tienen Rena yJuli en comn. En cambio, si queremos decir que estaban todos los amigos de Juli y tam-bin todos los amigos de Rena podemos decir: estaban todos los que son amigos de Renao de Juli, estaban todos los amigos de Juli y todos los amigos de Rena o simplementeestaban todos los amigos de Juli y tambin todos los amigos de Rena. En todos los casoshicieron falta frases ms largas para ser ms claros. En el lenguaje coloquial, muchas vecespara simplificar las frases, se resigna su precisin a tal punto de resultar confusas.Los enunciados en matemtica no deben tener distintas interpretaciones. Para esto exis-

ten reglas claras y precisas para escribir los enunciados en matemtica. Por ejemplo, con-sideremos los enunciados:

Ningn impar es divisible por 2. No todos los impares son divisibles por 2.

Nadie duda de que el primer enunciado es verdadero. No hay nignn impar que sea divisiblepor 2. Ahora, es cierto que no todos los impares son divisibles por 2? Para que sea cierto,debera haber algn impar que sea divisible por 2 y otros que no? Estos dos enunciados,pueden redactarse as:

Todo nmero impar, no es divisible por 2. No todo nmero impar, es divisible por 2.

El primero se refiere a una propiedad de todo nmero impar. El enunciado es verdadero,pues todos los impares tienen esa propiedad, la de no ser divisibles por 2.El segundo se refiere a una propiedad que no tiene todo nmero impar, sino posiblemente

solo algunos nmeros impares; la de ser divisible por 2. As, la nica manera de que stesea falso, es que todos los impares sean divisibles por 2. Como esto no es as, el enunciadoes verdadero.En las segundas redaciones de los enunciados considerados estn explcitas las reglas

bsicas para escribir enunciados en matemtica. stas se refieren al uso de las conjuncionesy y o, al uso de la negacin no y al uso de los cuantificadores para todo y hay.

1.2. Proposiciones, conectivos y tablas de verdad

En lgica, una proposicin es un enunciado declarativo con un valor de verdad biendefinido, que slo puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos o ninguno de ellos.

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En general usaremos las letras p, q y r para referirnos a proposiciones de este tipo, yencerraremos entre comillas el enunciado de dicha proposicin.

Ejemplos. Los siguientes enunciados son proposiciones.

(1) p : 2+2=4 (V)

(2) q : 7 es un nmero par. (F)

(3) r : Borges escribi el libro Ficciones. (V)

Sin embargo, no son proposiciones las rdenes, preguntas y exclamaciones como hola!,fuera de aqu!, compra 5 kilos, qu bien!, vas a volver?; ni tampoco aquellos enun-ciados en que el valor de verdad puede cambiar segn quien lo interprete o cundo se lointerprete.

Ejemplos. Los siguientes enunciados no son proposiciones.

(1) Hoy es lunes.

(2) Es un da hermoso.

(3) x y > 0.

Hoy es lunes ser verdadero los das lunes mientras que ser falso el resto de los das, esdecir el valor de verdad del enunciado cambia con el tiempo, luego no es una proposicin.El segundo enunciado depende de la apreciacin personal de quien lo dice. Por ejemplo, unda lluvioso puede ser hermoso para algunos y no serlo para otros. Aqu, el valor de verdaddel enunciado cambia segn la persona. Por ltimo, xy > 0 depende de los valores de x ey. La frase no tiene sentido si x e y no son nmeros. En el caso en que x e y sean nmeros,entonces x y > 0 ser V para todos los x mayores que y y F en los dems casos. Porejemplo, si x = 3, y = 1 entonces x y > 0 es V, y si x = 1, y = 5 entonces x y > 0 es F.

1.2.1. Negacin, conjuncin y disyuncin

Al igual que en lenguaje ordinario, varias proposiciones se pueden combinar usandoconectivos lgicos para formar nuevas proposiciones y as, a partir de proposiciones simples,construir otras ms complejas. Hay tres conectivos lgicos bsicos:

la negacin: no, en smbolos ; la conjuncin: y, en smbolos ; la disyuncin: o, en smbolos .

Si p es cualquier proposicin, su negacin, denotada por

p,

que se lee no p, se define como la proposicin cuyos valores de verdad son opuestos a losde p. Es decir, p es verdadera exactamente cuando p es falsa y viceversa.

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Versinpreliminar


Dadas dos proposiciones p y q, la conjuncin de p con q, denotada por

p q,

que se lee p y q, es una nueva proposicin que es verdadera cuando p y q son ambasverdaderas y es falsa en todo otro caso. Y la disyuncin de p con q, denotada por

p q,

que se lee p q, es una nueva proposicin que es falsa cuando p y q son ambas falsas yes verdadera en todo otro caso.La negacin en un conectivo unario, que a partir de una proposicin p construye otrap, mientras que la conjuncin y la disyuncin son conectivos binarios, ya que a partir dedos proposiciones p, q construyen una tercera p q y p q, respectivamente. Existen otrosconectivos, que veremos ms adelante.

La conjuncin y la disyuncin satisfacen dos leyes muy importantes:

Asociatividad:p (q r) = (p q) r;p (q r) = (p q) r. (1.1)

Distributividad:p (q r) = (p q) (p r);p (q r) = (p q) (p r). (1.2)

Gracias a la asociatividad podemos escribir sin ambigedad p q r y p q r sinusar parntesis.

1.2.2. Proposiciones compuestas y tablas de verdad

Una proposicin compuesta es una proposicin construida a partir de otras usando co-nectivos lgicos. El valor de verdad de un proposicin compuesta depende nicamente delos valores de verdad de sus componentes. Cada conectivo tiene una tabla de verdad queexpresa esta dependencia.Una tabla de verdad de una proposicin compuesta es una tabla en la que se listan todas

las posibles combinaciones de valores de verdad de cada una de las componentes de laproposicin y los correspondientes valores de verdad de la proposicin compuesta.Por ejemplo, la tabla de verdad de la negacin es simplemente

p pV FF V

(1.3)

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Versinpreliminar


mientras que las tablas de verdad de la conjuncin y la disyuncin estn dadas por

p q p q p qV V V VV F F VF V F VF F F F

(1.4)

Estas tablas de verdad expresan lo que representan la conjuncin y la disyuncin comooperaciones lgicas. Ambas existen tambin en el lenguaje cotiadiano con un significadomuy similar.

Nota. El lenguaje coloquial, el uso del o como disyuncin puede tener un significadoalgo distinto, ya que a veces se entiende como excluyente. Por ejemplo, si uno dice mepondr saco o campera, es claro que slo usare una prenda a la vez, y se trata de unadisyuncin excluyente. Pero si decimos de postre comer helado o panqueques, muchasveces se entiende que comer uno de los dos postres pero no ambos. Sin embargo, enmatemtica, la disyuncin es siempre inclusiva (por definicin!). Si un matemtico afirmade postre comer helado o panqueques, es posbile que coma los dos postres. Cuando hagafalta hacer considerar una disyuncin excluyente bastar con decir p q, pero no ambas.

Usando las definiciones ya vistas, podemos negar conjunciones y disyunciones, cuyastablas de verdad, usando (1.3) y (1.4), resultan

p q (p q) (p q)V V F FV F V FF V V FF F V V

(1.5)

En el siguiente ejemplo, tanto la conjuncin y como la disyuncin o, tienen el mismosentido que para la lgica proposicional.

Ejemplo. Ayer no trabaj y quera hacer algo distinto; pens en ir al cine y pens en ir acenar con amigos. Consideremos las siguientes dos situaciones:

Decid ir al cine y tambin a cenar con amigos. Decid que hara al menos una de las dos.

Para formalizar esto consideremos

p : fui al cine,q : fui a cenar ,

y consideremos las situaciones

p q : fui al cine y a cenar ,q q : fui al cine o a cenar .

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Versinpreliminar

1.3 Condicionales y equivalencia R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

Si hoy a la maana alguien me preguntara hiciste lo que queras?, las posibles respuestasseran:

En la primera situacin

- SI, fui al cine y luego a cenar con amigos.

- NO, fui al cine, pero me volv a casa luego.

- NO, no fui al cine pues llegu tarde, pero fui a cenar con amigos.

- NO, al final me qued en casa, no fui al cine ni a cenar con amigos.

Y en la segunda situacin

- SI, fui al cine y luego a cenar con amigos.

- SI, fui al cine, aunque me volv a casa luego.

- SI, no fui al cine pues llegu tarde, pero fui a cenar con amigos.

- NO, al final me qued en casa, no fui al cine ni a cenar con amigos.

Nota. Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, entonces, a priori, se podran definirtantas proposiciones nuevas y distintas como tablas de verdad distintas hay. Como p yq tienen 2 valores posibles de verdad, y estos se combinan en VV, VF, FV y FF, habr16 proposiciones compuestas P (p, q) a partir de 2 proposiciones cualesquiera p y q. stasorresponden a los valores VVVV, VVVF, VVFV, VFVV, FVVV, VVFF, VFVF, VFFV,FVVF, FVFV, FFVV, VFFF, FVFF, FFVF, FFFV y FFFF. Hemos visto 4 de ellas: pq,p q, (p q) y (p q).

1.3. Condicionales y equivalencia

Presentamos aqu otro tipo de proposiciones compuestas, las proposiciones condicionalesy bicondicionales y sus recprocas y contrarrecprocas.

1.3.1. La proposicin condicional

Dadas dos proposiciones p y q, podemos definir una nueva proposicin compuesta llamadacondicional o proposicin condicional denotada por

p q,que se lee si p entonces q. Decimos que p es el antecedente, premisa o condicin suficientey que q es el consecuente, conclusin o condicin necesaria del condicional. La tabla deverdad del condicional es, por definicin, la siguiente:

p q p qV V VV F FF V VF F V

(1.6)

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Versinpreliminar


Es decir, el condicional es falso slo cuando la premisa es verdadera y la conclusin es falsa.En el lenguaje coloquial, la proposicin condicional p q se expresa de varios modos

distintos, entre ellos:

si p, q o q si p. q cuando p, q siempre que p. p solo si q. p implica q. q se sigue de p. q a condicin de p. p es (condicin) suficiente para q. q es (condicin) necesaria para p.

No es tan comn usar la expresin q slo si p en el lenguaje coloquial como sinnimo desi p entonces q ya que puede causar confusin.

Nota. En el condicional no existe necesariamente la relacin de causa-efecto entre el an-tecedente y el consecuente. Conviene tener presente esto para no confundirse con la impli-cacin que discutiremos ms adelante. Son dos cosas distintas aunque tienen mucho quever, tanto que ya hemos dicho que el uso permite referirse al condicional p q como pimplica q.

Ejemplos. Veamos algunas instancias en el lenguaje coloquial de las 4 situaciones posibles.

(1) Antecedente y consecuente verdaderos. En el condicional si como mucho,entonces engordo hay una relacin de causa y efecto; pero en el condicional si 2 espar, entonces Gauss fue matemtico evidentemente no; ambas cosas son ciertas, perola paridad de 2 no implica la profesin de Gauss. Ambos condicionales son verdaderos.

(2) Antecedente verdadero y consecuente falso. En este caso el condicional esfalso. Podemos pensar informalmente en este caso como el de una promesa rota. Porejemplo, si un padre le dice a un hijo: si te portas bien, te comprar una golosina yluego, habindose portado bien el nio, ste no cumple con el regalo (promesa rota).El condicional es falso.

(3) Antecedente falso y consecuente verdadero. Aunque puede resultar contra-rio a la intuicin, los condicionales si 1=2, entonces 2=2 y si las manzanas son azules,los tomates son rojos son verdaderos.

(4) Antecedente y consecuente falsos. En el lenguaje coloquial se usa para enfa-tizar algo improbable: si Arjona es msico, yo soy Gardel; si tu hermano juega bienal ftbol, entonces yo soy Diego. En ambos casos el condicional es verdadero.

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1.3.2. Recproca, contraria y contrarrecproca

Dada una proposicin condicional p q, se definen tres proposiciones asociadas: larecproca, la contraria y la contrarrecproca. La recproca de p q es

q p,

que puede escribirse p q; la contraria es

p q

y la contrarrecproca esq p.

Notar que, por definicin, la contrarrecproca es la recproca de la contraria o, tambin, lacontraria de la recproca, y de ah su nombre.Sus tablas de verdad se determinan a partir de las tablas de verdad del condicional y de

la negacin; stas son:

p q p q p q q pV V V V VV F V V FF V F F VF F V V V

(1.7)

Observamos que el condicional (ver tabla (1.6)) y la contrarrecproca tienen la mismatabla de verdad, y lo mismo sucede con la contraria y la recproca. Estos son ejemplos deproposiciones equivalentes, como veremos ms adelante.

Ejemplo. Sean p : llueve y q : hace fro. Entonces el condicional p q, su recproca,contraria y contrarrecproca asociadas son:

p q : Si llueve, entonces hace fro. q p : Si hace fro, entonces llueve. p q : Si no llueve, entonces no hace fro. q p : Si no hace fro, entonces no llueve.

1.3.3. La proposicin bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, la proposicin bicondicional

p q

se define como la proposicin compuesta

(p q) (p q).

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Versinpreliminar


Es decir, es la conjuncin de un condicional con su recproco. La tabla de verdad de laproposicin bicondicional se sigue de las tablas del condicional (1.6), de la contraria (1.7)y de la conjuncin (1.4). Se tiene que

p q p q p q p qV V V V VV F F V FF V V F FF F V V V

(1.8)

De esta manera, p q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas, osea si ambas tienen el mismo valor de verdad. En el lenguaje coloquial, la proposicinbicondicional p q se expresa de varios modos distintos, entre ellos:

p si y slo si q. p es (condicin) necesaria y suficiente para q.

1.3.4. Tautologas y contradicciones *

Sea P una proposicin compuesta, obtenida a partir de las proposiciones simples p1, p2, . . . , pnusando conectivos lgicos. Diremos que P es una tautologa si P es siempre verdadera, cua-lesquiera sean los valores de verdad de p1, p2, . . . , pn. Por el contrario, si P es siempre falsapara todos los posibles valores de verdad de p1, p2, . . . , pn diremos que P es una contradic-cin. Si P no es ni una tautologa ni una contradiccin (el caso ms general), se dice queP es una contingencia. Por ejemplo, dada una proposicin p, p p es una tautologa,mientras que p p es una contradiccin, como puede verse en sus tablas de verdad:

p p p pV F VF V V

p p p pV F FF V F

1.3.5. Proposiciones equivalentes

Vimos que a partir de proposiciones dadas se pueden construir, usando los conectivoslgicos, nuevas proposiciones llamadas compuestas.Por ejemplo si p, q y r son proposiciones dadas, entonces p (q r), q (p r) y

p (q r) son todas proposiciones compuestas. Algunas proposiciones compuestas tienenun valor de verdad definido, independiente de los valores de verdad de las proposiciones quela forman. Este es el caso de las tautologas, siempre verdaderas, y de las contradicciones,siempre falsas.

Diremos que dos proposiciones compuestas son lgicamente equivalentes, o simplementeequivalentes, si tienen el mismo valor de verdad para todo los posibles valores de verdadde sus componentes. Si P y Q son equivalentes, escribimos P Q.

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Por ejemplo,(p q) p q(p q) p q. (1.9)

En efecto sus tablas de verdad son

p q (p q) p qV V F FV F V VF V V VF F V V

p q (p q) p qV V F FV F F FF V F FF F V V

A las equivalencias lgicas en (1.9) se las conoce como identidades de De Morgan.Ms adelante veremos que algo similar tambin vale en el contexto de conjuntos.

Otro ejemplo de equivalencia son las leyes asociativas y distributivas para y vistas en (1.1) y (1.2), respectivamente. Usando tablas de verdad, ahora estamos encondiciones de probar dichas leyes y lo dejamos como ejercicio para el lector.

Otro caso ms de equivalencia lgica muy importante, es la de una proposicin condi-cional cualquiera y su contrarrecproca (como mencionamos previamente). Podemoscomprobar fcilmente que

p q q p,mirando sus tablas de verdad:

p q p qV V VV F FF V VF F V

p q q pV V VV F FF V VF F V

1.3.6. Negacin de proposiciones compuestas

Es importante poder negar correctamente proposiciones construidas a partir de otras.En particular, resultar muy til saber expresar la negacin de una proposicin compuestaen trminos de las negaciones de las proposiciones que la forman.Las identidades de De Morgan (1.9) nos dicen cmo negar las proposiciones construidas

usando la conjuncin o la disyuncin. Precisamente, stas dicen, por un lado, que la nega-cin de la conjuncin de dos proposiciones es la disyuncin de las negaciones de cada unay, por otro lado, que la negacin de la disyuncin de dos proposiciones es la conjuncin delas negaciones de cada una.

Ejemplo. Si p es fui al cine y q es fui a cenar afuera, entonces p q es fui al cine y acenar afuera. Para que esta ltima afirmacin resulte falsa, debe pasar que no sea cierto

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1.4 Cuantificadores R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

que fui al cine y a cenar afuera. O sea, debe haber sucedido que no fui a uno de losdos lugares, o que no fui a ninguno. Es decir, no fui al cine o no fui a cener afuera. Estaproposicin es la disyuncin de no fui al cine con no fui a cenar afuera, tal cual indicaDe Morgan. En otras palabras,

(p q) : no fui al cine y a cenar afueraes exactamente igual a

p q : no fui al cine o no fui a cenar afuera.Ejemplo. Consideremos las proposiciones p y q siguientes:

p : 16 es impar;q : 16 es positivo.

A partir de stas, tenemos

p q : 16 es impar y positivo,p q : 16 es impar o positivo,

y sus negaciones

(p q) : 16 no es impar y positivo,(p q) : 16 no es impar o positivo.

Estas ltimas pueden ser reescritas

p q : 16 no es impar o no es positivo,p q : 16 no es impar ni es positivo.

Est claro que p es falsa y q es verdadera. De esto se sigue que p q es falsa, que p q esverdadera, que (pq) es verdadera y que (pq) es falsa. Esto debe tambin quedar clarode los enunciados de estas proposiciones compuestas tal como estn escritas ms arriba.

1.4. Cuantificadores

Los cuantificadores permiten utilizar en el lenguaje formal de manera precisa las nocionesde cantidad o frecuencia referidas a proposiciones, expresadas en el lenguaje coloquial comotodos, ninguno, alguno, hay, hay al menos uno, siempre, nunca entre otras.

1.4.1. Funciones proposicionales

Normalmente, el uso de proposiciones como las que hemos visto es insuficiente paratodos los propsitos de la matemtica. Es necesario considerar proposiciones en dondesus trminos puedan ser variables. stas son las llamadas funciones proposicionales. Estoes, familias de proposiciones de la forma P (x) P (x, y), donde x e y son variables, quetoman sus valores en un determinado conjunto llamado dominio. Por ejemplo, la funcinP (x) con dominio X determina una proposicin P (x0) por cada x0 en X. En general,se pueden considerar funciones proposicionales P (x1, x2, . . . , xn) en n-variables x1, . . . , xn,con dominios X1, . . . , Xn respectivamente, para cualquier nmero natural n.

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Versinpreliminar


Ejemplo. Sean x e y nmeros enteros. Cosideremos las siguientes funciones proposicio-nales.

P (x) : x+ 1 es impar;Q(x) : 2x+ 1 es impar;

R(x, y) : x+ y es impar.(1.10)

Por ejemplo, si x = 1 entonces x+ 1 = 2 es par y por lo tanto P (1) : 2 es impar es F.En cambio, si x = 2 entonces x + 1 = 3 es impar y P (2) : 3 es impar es V. En generaltenemos que P (2k) es V y P (2k + 1) es F para todo k N.Es claro que el dominio de las variables x e y en las funciones proposicionales P (x),

Q(x) y R(x, y) es el conjunto de nmeros enteros; esto est dicho al principio. A veces, eluniverso de las variables se indica en la misma proposicin; por ejemplo podemos reescribir

P (x) : x+ 1 es impar y x es entero;P (x) : x+ 1 es impar, x Z;

P (x) : x+ 1 es impar, para x Z.

1.4.2. Proposiciones cuantificadas

Las funciones proposicionales no son, en general, proposiciones ya que pueden no tener unvalor de verdad definido, sino que ste depende de la variable. Las funciones proposicionalespueden ser cuantificadas; una vez cuantificadas se convierten en proposiciones con un valorde verdad definido.Informalmente, en el lenguaje ordinario usamos expresiones de la forma siempre, a

veces, nunca, toda vez que, siempre que, uno, varios, muchos, todos, ninguno,alguno, existe, hay, etc, para cuantificar expresiones. Decimos, por ejemplo, nuncagano la quiniela; cada vez que la veo me largo a llorar; siempre que voy a la canchaperdemos; hay alguien que roba la birome; slo l pudo haberlo hecho. En matem-tica, slo es necesario usar dos de stas, existe y para todo, simbolizados por y ,respectivamente.Aunque en lo que sigue nos referiremos principalmente a funciones proposicionales de la

forma P (x) o P (x, y), todo lo que digamos es tambin vlido para funciones proposicionalesms generales (con ms variables).

Dada una funcin proposicional P (x), una particularizacin de sta es la proposicinP (c), que resulta de P (x) sustituyendo x por el valor c, donde c es uno de los posiblesvalores que puede tomar x. Definimos ahora los cuantificadores.

El cuantificador existencial de P (x), es la proposicin

xP (x),

que se lee existe un elemento x que cumple P (x) o, ms corto existe x tal que P (x),que es verdadera si hay por lo menos una particularizacin de P (x) verdadera. O sea,si existe al menos un c en el dominio de x tal que P (c) es verdadera.

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Versinpreliminar


El cuantificador universal de P (x), es la proposicin

x P (x),

que se lee para todo x se cumple P (x), o para todo x, P (x) por simpleza, que esverdadera si toda particularizacin de P (x) es verdadera, es decir si P (c) es verdaderapara todo c en el dominio de x.

Tambin se usa el cuantificador existencial nico de P (x), que es la proposicin

!x P (x),

que se lee existe un nico x tal que P (x), que es verdadera si hay exactamente unaparticularizacin verdadera de P (x). Es decir, si existe un c en el dominio de x tal queP (c) es verdadera y c es el nico con esa propiedad.

Ejemplos. Consideremos algunas funciones proposicionales construidas a partir de lasfunciones proposicionales P (x), Q(x) y R(x, y) en (1.10), usando los cuantificadores. Re-cordemos que x, y son nmeros enteros.

(1) Por ejemplo:

x P (x) : para todo x, x+ 1 es impar.x P (x) : existe al menos un x tal que x+ 1 es impar.x Q(x) : para todo x, 2x+ 1 es impar.x Q(x) : existe al menos un x tal que 2x+ 1 es impar.

(2) O por ejemplo:

x y R(x, y) : existen al menos un x y un y tales que x+ y es impar.x y R(x, y) : para todo x, existe al menos un y tal que x+ y es impar.x y R(x, y) : existe un x tal que para todo y, x+ y es impar.x y R(x, y) : x+ y es impar para todo x e y.

1.4.3. Negacin de proposiciones cuantificadas

Es importante saber negar correctamente proposiciones con cuantificadores. Las nega-ciones de los cuantificadores existencial y universal son las siguientes.

(x P (x)) x P (x)(x P (x)) x P (x)

Es comn omitir los parntesis de arriba. Repitamos estas negaciones, pero ahora usandoel lenguaje comn.

x P (x): no es cierto que exista al menos un x tal que P (x) que es lo mismo quedecir que para ningn x, se cumple P (x) o para todo x, no se cumple P (x).

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x P (x): no es cierto que para todo x, P (x) es verdadera que es lo mismo quedecir que para algn x, no vale P (x) o existe al menos un x para el cual P (x) novale.

Por ltimo veamos cmo es la negacin del cuantificador existencial nico. Para que no secumpla que existe un nico x tal que vale P (x) pueden pasar dos cosas: no existe ningnx que satisfaga P (x), o existen ms de un x que satisface P (x). En smbolos, tenemos

!x P (x) (x P (x)) (x, y, x 6= y, P (x) P (y)).Ejemplos. Estudiemos ahora las proposiciones de los ejemplos anteriores, determinandosi son verdaderas o falsas y enunciando correctamente sus negaciones.

(1) Sea P (x) : x + 1 es impar y Q(x) : 2x + 1 es impar, donde x toma valores en losnmeros enteros.

x P (x) : para todo x, x+ 1 es impar. Esta proposicin es falsa, pues 1+1 espar. Es decir, si c = 1, la particularizacin P (c): c + 1 es impar es falsa. Cabeaclarar que, en este caso, hay otras particularizaciones de P (x) tambin falsas,por ejemplo con c = 3, c = 5 o c = 157 y tambin hay paricularizaciones que sonverdaderas, como con c = 2, c = 4 o c = 156. Slo basta encontrar un c que fallepara mostrar la falsedad de la proposicin.

x P (x) : existe al menos un x tal que x + 1 es par. Esta proposicin esverdadera, pues 1+1 es par. sta, que es la negacin de la anterior, es verdaderapor la misma razn que la anterior es falsa.

x P (x) : existe al menos un x tal que x + 1 es impar . Esta proposicin esverdadera, pues 2+1 es impar; es decir si c = 2 la particularizacin P (c) esverdadera. Como en el caso anterior, en ste, hay muchos enteros que la hacenverdadera, como por ejemplo 4, 6 y 128 entre otros.

x P (x) : no existe ningn x tal que x+ 1 es par. Esta proposicin es falsa,pues 1+1 es par.

(2) Sea Q(x) : 2x+ 1 es impar, donde x se mueve en los enteros.

x Q(x) : para todo x, 2x + 1 es impar. Esta proposicin es verdadera, yaque 2x+ 1 dividido 2 nunca es entero.

x Q(x) : existe x tal que 2x + 1 es par. Esta proposcin es falsa, ya quecomo dijimos antes 2x+ 1 nunca es par.

x Q(x) : existe al menos un x tal que 2x + 1 es impar. Esta proposicin esverdadera, ya que si c = 0, 2c+ 1 = 1 es impar.

x Q(x) : no existe ningn x tal que 2x+ 1 es impar; o dicho de otra manera,para todo x, 2x+ 1 es par. Esta proposicin es falsa, ya que como observamosantes 2x+ 1 nunca es par.

Dada una funcin proposicional de dos variables P (x, y), la expresin xy P (x, y) es unaabreviatura de x(y P (x, y)). Lo mismo sucede con el cuantificador existencial. Adems,

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Versinpreliminar


cuando los cuantificadores son los mismos, no hay diferencia en el orden en que aparecenx e y; y se puede abreviar, todava ms, usando x, y, en lugar de xy. De este modotenemos

xy P (x, y) x, y P (x, y) y, xP (x, y) yxP (x, y),xy P (x, y) x, y P (x, y) y, xP (x, y) yxP (x, y).

Es muy til pensar que x(yP (x, y)) es igual a la proposicin xQ(x, y), donde Q(x, y)es la proposicin cuantificada y P (x, y), i.e.

x(y P (x, y) Q(x,y)

) = xQ(x, y).

De esta manera resulta muy fcil negar la proposicin xyP (x, y). Simplemente, apli-camos lo que ya sabemos por pasos y tenemos

(xy P (x, y)) x(yP (x, y)) xQ(x, y) xQ(x, y) x(y P (x, y)) xy (P (x, y)).

En general, para varias variables, iterando este proceso se tiene que la proposicin

{x1 xmy1 ym P (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)}equivale a esta otra

x1 xmy1 ym {P (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)}.Sin embargo, como veremos en los ejemplos siguientes, cuando los cuantificadores son

distintos, el orden de estos no puede intercambiarse, i.e.

xy P (x, y) 6 yxP (x, y),xy P (x, y) 6 yxP (x, y).

En general, a partir de la funcin proposicional P (x, y), hay 6 proposiones cuantificadasdistintas que se pueden obtener:

xy P (x, y)xy P (x, y)yxP (x, y)xy P (x, y)yxP (x, y)xy P (x, y)

Sin embargo, si el enunciado es simtrico en x e y, es decir los roles de x e y pueden serintercambiados sin cambiar el enunciado, entonces

xy P (x, y) yxP (x, y)xy P (x, y) yxP (x, y)

Esto sucede en el siguiente ejemplo.

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Versinpreliminar


Ejemplo. Sea R(x, y) : x+ y es impar con x e y nmeros enteros.

x y R(x, y) : existen al menos un x y un y tales que x + y es impar. Estaproposicin es verdadera, ya que 1 + 2 = 3 es impar. Es decir, la particularizacinR(1, 2) es verdadera. Est claro que hay muchos pares x, y tales que su suma x + yes impar, aunque tambin hay muchos otros pares cuya suma es par. Por ejemplo,R(2m, 2n+ 1) y R(2m+ 1, 2n) son verdaderas para todo m,n enteros.

(x y R(x, y)): no existe ningn par x, y tales que x+ y es impar. Esto equivalea equivale a x y R(x, y) o sea, la suma x+ y de cualquier par de enteros x, y espar. Esta proposicin es falsa, ya que por ejemplo 0+0 = 0 es par, es decir R(0, 0)es un particularizacin falsa. Nuevamente hay muchos otros pares x, y cuya suma espar.

x y R(x, y) : para todo x, existe al menos un y tal que x + y es impar. Estaproposicin es verdadera, pues dado x cualquiera si y = x + 1, entonces x + y =x + x + 1 = 2x + 1 que es impar. Notamos que el y que proponemos depende de x,es decir si cambiamos x, cambia y. Adems notamos que el y que elegimos no es lanica eleccin posible; por ejemplo si y = x+ 3, o y = 3x+ 1 la suma x+ y tambines impar.

(x y R(x, y)) : equivale a xy negR(x, y), o sea existe al menos un x, tal quepara todo y, la suma x + y es par. Esta proposicin es falsa. Cualquiera sea x, siy = x + 1, x + y = 2x + 1 es impar, luego es imposible encontrar un x tal que alsumarle cualquier nmero el resultado sea impar.

x y R(x, y) : existe un x, tal que para todo y, x + y es impar. Esta proposicines falsa, pues para que x+ y sea impar, x e y deben tener distinta paridad, es decirx es par e y impar o viceversa. Luego, no puede existir un x de la forma buscada.

(x y R(x, y)) : para todo x, no existe un y, tal que x+y es impar (xyR(x, y)).Esta proposicin es verdadera. Dado x, sea y = x+ 1. Luego x+ y = 2x+ 1 quees impar cualquiera sea x.

x y R(x, y) : para todo x e y, x+ y es impar. Esta proposicin es falsa, ya que1 + 1 es par.

(x y R(x, y)) : existen x e y, tales que x+ y es par. Esta proposicin es clara-mente verdadera; es muy fcil exhibir pares de enteros cuya suma es par.

Nota. Terminamos esta seccin con un comentario sobre como justificar un enunciadocuantificado. Por simplicidad, supongamos que tenemos una funcin proposicional de unasla variable P (x).Supongamos primero que tenemos la proposicin xP (x). Entonces, si sta es veradera,

deberemos demostrar dicha proposicin, o sea, dar un argumento que muestre que paraun x arbitrario, P (x) es V; mientras que si sta es falsa, bastar dar un contraejemplo, estoes, exhibir un c en el dominio de P tal que P (c) es F.Ahora, supongamos que tenemos la proposicin xP (x). Si esta proposicin es verdadera,

bastar con exhibir un ejemplo, esto es, un c tal que P (c) es V; mientras que si resultafalsa entonces habr que demostrar que para P (x) es falsa cualquiera sea x.

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1.5 Demostraciones R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

Podemos resumir lo antes dicho en este cuadro:

V FxP (x) demostracin contraejemploxP (x) ejemplo demostracin

1.5. Demostraciones

Los resultados o verdades de la matemtica, los teoremas, se validan con demostracioneso pruebas.Una prueba o demostracin es una sucesin finita de proposiciones verdaderas, que co-

mienza con una que se asume verdadera, la hiptesis, tal que la verdad de cada una de ellasse deduce lgicamente de la verdad de la anterior, por medio de argumentos vlidos. stosdeben ser correctos, simples, claros y convincentes. El ltimo enunciado en la cadena recibeel nombre de tesis. El paso de una proposicin p a la siguiente q en una demostracin eslo que se denomina implicacin de p a q:

p q,que se lee:

p implica (lgicamente) q, q se sigue (lgicamente) de p, q es consecuencia (lgica) de p, q es implicada por p.

1.5.1. Implicacin

La implicacin es uno de los conceptos fundamentales de la lgica. Es la relacin entreenunciados, que es verdadera cuando uno de ellos se sigue lgicamente de los otros. Argu-mentos lgicos vlidos son aquellos en los que las conlcusiones se siguen lgicamente (i.e.son consecuencias) de las premisas.Observamos que la implicacin p q y el condicional p q no son lo mismo, aunque

guardan alguna relacin. Es por esto que muchas veces se confunde una con otra. Unaprimera diferencia que podemos remarcar es que la implicacin p q no es una proposicincompuesta de p y q en el sentido de la seccin anterior, cmo si lo es el condicional p q.La relacin entre y es sofisticada y no es nuestro objeto de estudio. Sin embargo

queremos discutir brevemente sobre la implicacin y el condicional, pues lo aprendido en elmarco formal sobre el condicional p q resulta til como marco para comprender mejorla implicacin p q.El hecho bsico y fundamental de la implicacin es que a partir de una proposicin

verdadera p, por medio de argumentos lgicos vlidos (razonamientos) slo se obtienennuevas proposiciones verdaderas q. Esto hace que podemos pensar que la veracidad de laimplicacin p q indica que la verdad de q se deduce lgicamente de la verdad de p. As, si

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p es verdadera y q se deduce lgicamente de p, concluimos que q es tambin verdadera. Estose conoce como modus ponens y es uno de los ms elementales mtodos de deduccin dela lgica. Este es el mtodo de validacin que usamos en matemtica:

Modus ponens: Para validar una proposicin, debemos mostrar que se siguelgicamente de otra(s) cuya veracidad ya fue(ron) establecida(s) previamente.

modus ponens

p p q qV V V

Notamos que sto coicide con el primer rengln de la tabla de verdad del condicional p q.

p q p qV V V

En otras palabras: si partimos de algo verdadero y argumentamos correctamente, obtene-mos nuevas verdades. De esto se sigue que si partimos de algo verdadero y argumentandoobtenemos algo falso, los argumentos no son correctos. (Ya que de ser correctos la con-clusin es verdadera.) Notamos que esto es el segundo rengln de la tabla de verdad delcondicional.

p q p qV F F

Los dos ltimos renglones de la tabla de verdad del condicional p q

p q p qF V VF F V

expresan que a partir de una proposicin falsa es posible, por medio de razonamientoslgicos correctos, deducir tanto cosas falsas como verdaderas. Por ejemplo, si partimos dela proposicin (falsa) 1 = 2, multiplicando ambos miembros de la igualdad por un mismonmero obtenemos una nueva igualdad entre nmeros. As multiplicando por 2, obtenemosque 2 = 4 (falso) y multiplicando por 0, obtenemos que 0 = 0 (verdadero).Asociadas al condicional p q vimos otras varias proposiciones: recproca, contraria y

contrarrecproca. stas mismas existen para la implicacin p q, a saber:

Implicacin recproca: q p. Implicacin contraria: p q. Implicacin contrarrecproca: q p.

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La implicacin p q y su contrarrecproca resultan equivalentes, y esta equivalencia daun mtodo de demostracin muy til, como veremos.Por ltimo, y de manera anloga al bicondicional p q, existe la doble implicacin o

equivalenciap q,

que se lee

p si y slo si q; p implica y es implicada por q; p es (condicin) necesaria y suficiente para q; p y q son equivalentes.

1.5.2. Tipos de demostraciones

Recordemos que un teorema es un enunciado verdadero para el cual existe una demos-tracin. Existen tres tipos generales de demostracin: directa, indirecta y por el ab-surdo; stas materializan diferentes estrategias lgicas. Veamos en qu consisten y porqufuncionan estas tcnicas en el caso de un enunciado de la forma

p q,que es la forma ms comn en que suelen presentarse los resultados en matemtica. Aqup es la hiptesis o premisa y q es la tesis o conclusin.

Demostracin directa: se asume que p es verdadera y de algn modo (usando otrosteoremas por ejemplo) se llega a que q es verdadera en un nmero finito de pasos.

Por qu funciona? Aqu, lo que se usa es la regla de inferencia, llamada modusponens, que asegura que si P es verdadera y P Q es verdadera, entonces Q esverdadera. Supongamos que tenemos una cadena de implicaciones

p p1, p1 p2, . . . , pn1 pn, pn q.Luego, por modus ponens, como p es verdadera por hiptesis y p1 es consecuenciapor medio de argumentos vlidos de p, p1 es verdadera; luego, de la misma forma sesigue que p2 es verdadera y as sucesivamente hasta concluir que q es verdadera.

Demostracin indirecta o contrarrecproca: aqu, en lugar de probar la implicacinp q, se prueba su contrarrecproca q p. O sea, suponiendo que q es falsa hayque (de)mostrar que p tambin es falsa.

Por qu funciona? Porque, como ya vimos, una implicacin y su contrarrecprocason equivalentes.

Demostracin por el absurdo: en general, si queremos probar que una proposicin res verdadera, suponemos que es falsa y deducimos la falsedad de algo que es ver-dadero. Esto es lo que se llama un absurdo o contradiccin, lo cual es inaceptableen matemtica. Esta contradiccin proviene de suponer que r es falso, por lo cualconcluimos que r es verdadero.

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Las demostraciones por el absurdo y las indirectas comparten la misma esencia. Lasindirectas o contrarrecprocas, son casos particulares de demostraciones por el absurdo.Como dijimos, una prueba indirecta de p q, asume que q, lo que queremos mostrar quees verdadero, es falso, y a partir de esto conlcuimos que p es falso, siendo que lo habamosasumido verdadero. Esto es un absurdo o contradiccin.Saber cundo utilizar una u otra tcnica es parte del arte de hacer matemtica. Por

ejemplo, en una prueba larga es usual encontrar varios de estos tipos de demostracin endistintas etapas de la misma.

A continuacin ilustramos estos mtodos mostrando algunos teoremas, del tipo que en-contraremos ms adelante, con sus correspondientes demostraciones.

Ejemplos.

(1) Teorema. La suma de dos enteros pares es par.Demostracin directa. Sean x e y enteros pares. Luego x = 2m, y = 2n paraciertos enteros m,n. Entonces x+y = 2m+2n = 2(m+n), y como m+n es un entero,x+ y es un entero par. Notar que el enunciado del teorema se puede poner en la forma p q as: si x e yson pares, entonces x+ y es par; y de la forma p q as: x, y enteros implican x+ yentero.

(2) Teorema. Si n es entero y n2 es par, entonces n es par.Demostracin indirecta. Supongamos que n es impar, o sea n = 2k+1 para algnentero k. Luego n2 = (2k+1)2 = 4k2+4k+1 = 4(k(k+1)+1 es impar. Hemos probadoque n impar n2 impar. Por equivalencia con la contrarrecproca, probamos quen2 par n par. Nota. El enunciado n entero par n2 par se prueba directamente. Si n = 2k con kentero, entonces n2 = 4k2 = 2(2k2) es par. Si quisiramos probar la recproca n2 par n par, al proceder como antes nos trabamos. En efecto, si n2 = 2k, k Z, entoncesn = 2k es entero, pero no hay forma de saber si es par o impar.

(3) Teorema. El nmero real

2 es irracional.Demostracin por el absurdo. Supongamos que

2 fuera racional. Entonces

2 = mn con m,n enteros. Elevando al cuadrado, tenemos que 2m2 = n2. Por el

teorema fundamental de la aritmtica (TFA) que veremos ms adelante, todo enterose factoriza como producto de nmeros primos de nica manera (salvo el orden de losfactores). Ahora, el primo 2 aparece en la factorizacin de 2m2 y luego debe apareceren la de n2. Como la factorizacin de n2 es la de n duplicada y lo mismo ocurre conla factirizacin de m2, vemos que en el miembro de la derecha, n2, el 2 aparece unnmero par de veces, mientras que en el miembro de la izquierda, 2m2, aparece unnmero impar de veces. Esto contradice la unicidad del TFA. Por lo tanto,

2 es

irracional.

Adems de los tipos de demostracin descriptos, segn la estrategia lgica adoptada,tambin podemos distinguir tipos de demostraciones segn cmo se llevan adelante; estotiene que ver con la naturaleza de lo que se quiere demostrar. Entre las ms frecuentesestn:

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Constructiva: Se demuestra la existencia de un objeto matemtico construynlo, paraexhibirlo explcitamente.

No-constructiva / existencial : Se demuestra la existencia de un objeto matemticosin construirlo ni ser capaz de exhibirlo.

Exhaustiva: Se consideran todos los casos posibles que pueden ocurrir en una deter-minada situacin de inters y se los prueba uno por uno.

Inductiva: Sirve para probar proposiciones con una variable natural de la forman P (n) y la herramienta es el principio de induccin que veremos ms adelante.

Ejemplos.

(1) Teorema. Dados 2 nmeros reales a < b, existe un c tal que a < c < b.

Demostracin constructiva. Sea

c = a+b2

(el punto medio del segmento ab). Como a < b tenemos a = a+a2 2, no existen enteros x, y, z distintos de cero tales que

xn + yn = zn.

Este fue planteado por Fermat en 1637. El crey tener una demostracin, ya que en elmargen de su copia del libro de Diofanto escribi

he descubierto una prueba realmente maravillosa de esto, pero este margen esdemasiado angosto para contenerla.

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Desde entonces, los ms insignes matemticos intentaron resolverlo sin suerte. De hecho,fue una de las conjeturas mas famosas, hasta que en 1995, Andrew Wiles logr por findemostralo, usando matemtica muy avanzada.

Todos conocen el teorema de Pitgoras dado un tringulo rectngulo, la suma de loscuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa. En particular, el teoremadice que existen soluciones enteras a la ecuacin

x2 + y2 = z2.

Una de ellas est dada por la terna (3, 4, 5) y otra por (5, 12, 13). En realidad, existeninfinitas ternas que la satisfacen, llamadas ternas pitagricas. stas estn dadas por

x = m2 n2, y = 2mn, z = m2 + n2

dondem y n son enteros arbitrarios (chequear!). El teorema de Fermat dice que el teoremade Pitgoras no puede ser generlizado a potencias mayores que 2.

Existen muchsimas otras conjeturas en la actualidad, en todas las reas de la matem-tica, esperando ser resueltas. Una de las ms famosas, problema por el cual hay un premiode u$s 1.000.000 para quien lo resuelva, es la llamada Hiptesis de Riemann. Sin embargo,esta es demasiado complicada para enunciarla aqu.

Los ejemplos. Un ejemplo es una instancia verdadera de una proposicin ms general.Sirven para empezar a entender un enunciado que puede ser muy complicado, por ejemplo siest planteado con demasiada generalidad. Hasta aqu, ya hemos dado numerosos ejemplosde ejemplos.

Los contraejemplos. Un contraejemplo es una instancia falsa de una proposicin msgeneral. O sea, un ejemplo en donde se muestra que tal enunciado resulta falso. Por ejemplo,si quisieramos demostrar que la conjetura de Goldbach es falsa, slo bastara exhibir uncontraejemplo, es decir un nmero par > 2 que no pueda ser escrito como suma de ningnpar de nmeros primos.

Ejemplos. Veamos 2 ejemplos instructivos para ver como razonar y proceder.

(1) Consideremos la funcin cuadrtica

p(n) = n2 n+ 41

y evalumosla en los naturales. Vemos que p(1) = 41 es primo, p(2) = 43 es primo yp(3) = 47 tambin lo es. Si seguimos, vemos p(4) = 53, p(5) = 61 y p(6) = 71 sonprimos. Bueno, esto se pone interesante. Podemos conjeturar si ser cierto que p(n) esprimo para todo n. La respuesta es NO, un contraejemplo est dado por n = 42, yaque p(42) = 1805 no es primo. Curiosamente, p(n) es primo para 1 n 41. Estepolinomio fue encontrado por Euler.

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1.6 Ejercicios R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

(2) Consideremos los nmerosFn = 2

2n + 1

para n 0. Observemos que F0 = 3, F1 = 22 + 1 = 5, F2 = 24 + 1 = 17, F3 =28 + 1 = 257 son todos primos. Con mas esfuerzo calculamos F4 = 216 + 1 = 65.536 ychequeamos que es primo. Ser cierto que Fn es siempre primo? Esto fue conjeturadopor Fermat y por eso estos nmeros reciben el nombre de nmeros de Fermat . Elsiguiente es F5 = 232 + 1 = 4.294.967.297. Es primo? De manera muy ingeniosa,Euler demostr (no es difcil) que F5 = 641 6.700.417 tirando por tierra la conjetura.De todas formas, aun no se sabe si existen infinitos primos de Fermat, es decir infinitosn tal que Fn sean primos.

1.6. Ejercicios

Fragmento de una digresin [en Notas de lgebra I, Captulo 0, de Gentile] a propsitode la lgica proposicional:

En este curso de lgebra (y en generalen matemtica) se hacen afirmaciones, seenuncian propiedades, se definen cosas, sehacen demostraciones, se dan ejemplos ycontraejemplos. Es claro que para quenuestra labor tenga un desarrollo feliz de-bemos lograr que todas las formulacionesse hagan con la mxima precisin.Es pues altamente deseable poseer un len-guaje que nos permita efectuar nuestrasafirmaciones sin ambigedades, con cla-ridad y tambin economa.Puede ser til un ejemplo para fijar ideas.Tomemos el juego de ajedrez. El lectorque estudie un poco de matemtica, no-tar que el esquema de juego del ajedrez

es bastante anlogo al esquema de traba-jo en Matemtica. Tablero y fichas co-rresponde a tener entes matemticos (porejemplo, puntos, rectas, conjuntos num-ricos, funciones, matrices, etc.) y las re-glas de movimiento corresponden a reglasvlidas de razonamiento. Mover las piezascorresponde a hacer matemticas (esen-cialmente: probar teoremas).

Pero adems, los ajedrecistas poseen unaforma de escribir sus partidas: 1. P4R,P4R; 2. C3AD, C3AR; 3. P4A, P3D;. . . Esta situacin es ideal. En matemti-ca es muchsimo ms complicado lograr unlenguaje realmente til y prctico [...]

Ejercicio 1.1. Indique cules de los siguientes enunciados son una proposicin; para aque-llos que lo son, determinar su valor de verdad.

(a) 7416 es un nmero par.

(b) Todos los profesores son buenos.

(c) x > 5.

(d) Hay al menos 3 nmeros impares.

(e) Crdoba tiene ms habitantes que Rosa-rio.

Ejercicio 1.2. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q dadas a continua-cin. Adems, enunciar y determinar el valor de verdad de p q, p q, (p q), (p) qy (p q).

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(a) p: Todos los cuadrilteros son cuadrados.

q: Existen tringulos no equilteros.

(b) p: Todos los nmeros enteros pares son positivos.

q: Los nmeros impares son primos.

Ejercicio 1.3. Para cada una de las siguientes funciones proposicionales escribir el cuantifi-cador existencial, el cuantificador universal y el cuantificador existencial nico. Determinarel valor de verdad de cada uno de ellos sobre el conjunto Z. Justificar.

(a) P (x) : x(x+ 1) es par.

(b) P (x) : x(x+ 1) es mltiplo de 3.

(c) P (x) : x2 = 1.

(d) P (x) : x+ 5 = 5.

Ejercicio 1.4. Para cada una de las siguientes funciones proposicionales en dos variablesescribir las distintas combinaciones de cuantificadores existencial y universal. Determinarel valor de verdad de cada uno de ellos sobre el conjunto N para la primera, y sobre Z parala segunda. Justificar.

(a) P (x, n) : xn = 1. (b) P (x, y) : x+ y = 0.

Ejercicio 1.5. Probar, dando un contraejemplo, que las siguientes proposiciones son falsas.

(a) Los nmeros primos son impares.

(b) x N, x2 10x+ 24 0.(c) Todo subconjunto de N es finito.

(d) Toda recta del plano pasa por el origen.

Nota: En el ejercicio anterior el contraejemplo es un buen recurso para probar la novalidez de los enunciados pues dichas proposiciones involucran el cuantificador universal.

Ejercicio 1.6. Indique cules de los siguientes enunciados son proposiciones. Para aquellasque sean proposiciones determinar su valor de verdad. En caso contrario completarlas, dealguna manera, para que resulten proposiciones.

(a) Todos los nmeros que son divisibles por4 son divisibles por 2.

(b) x > 0.

(c) Existe un nmero par divisible por 3.

(d) Existe una solucin de x2 = 2.

Ejercicio 1.7. Para cada una de las funciones proposicionales dadas en el Ejercicio1.3 escribir la negacin de sus cuantificadores existencial, universal y existencial nico.Determinar el valor de verdad de cada uno de ellos sobre el conjunto Z. Justificar.

Ejercicio 1.8. Para las proposiciones p y q dadas a continuacin determinar su valor deverdad. Adems, enunciar y determinar el valor de verdad de pq, pq, (pq), (p)qy (p q).(a) p: 18 es divisible por 3.

q: No hay mltiplos de 7 entre 22 y 27.

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(b) p: Todo nmero entero menor que 8 no es divisible por 11.

q: El profesor del terico es ms joven que todos los profesores del prctico.

Ejercicio 1.9. Probar las siguientes afirmaciones usando el mtodo de prueba indicado.

(i) (Prueba directa) Para cada n Z, n es impar n es impar.(ii) (Contrarrecproco) Para todo n Z, n3 + n2 + n es impar n es impar.(iii) (Por contradiccin o absurdo) Si m, n son enteros tales que m2 +m = 3n, entonces

n es par.

Ejercicio 1.10. Consideremos las siguientes proposiciones condicionales:

(a) Si n es par y mayor que 2, entonces n no es primo.

(b) Si x > 2 x < 2, entonces x2 > 4.

Para cada una de ellas, escribir las proposiciones recproca, contraria y contrarrecproca,como as tambin la proposicin bicondicional. Determinar el valor de verdad de todasellas.

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Captulo 2

Conjuntos

Nadie podr expulsarnos del paraso que Cantor cre para nosotrosDavid Hilbert, matemtico alemn (1862 1943)

Los conjuntos estn en los cimientos de la matemtica toda. Resulta imprescindible paratodo estudiante de matemtica conocer los aspectos bsicos de la teora de conjuntos.En esta seccin presentamos algunos conceptos elementales de sta. Cabe destacar que

la teora de conjuntos es muy sofisticada y bien podra llevar uno o dos cursos completosaprender algo de ella. Basta hojear algunos de los libros especficos [H] para convercersede ello.En esta presentacin recurrimos a la idea intuitiva de conjunto que la mayora tenemos

para evitar dar una definicin totalmente rigurosa en un marco axiomtico puro. Nosconcentraremos en mostrar qu podemos hacer con ellos.

Un conjunto es una coleccin bien definida de objetos. La nocin principal de la teora deconjuntos es la de pertenencia. Si x es un elemento del conjunto A, decimos que x pertenecea A y escribimos

x Ay, en cambio, si x no es un elemento del conjunto A decimos que x no pertenece a A yescribimos

x 6 A.Dos conjuntos A y B son iguales,

A = B,

si tienen los mismos elementos; es decir, si todo elemento de A pertenece a B y todoelemento de B pertence a A. Los conjuntos A y B son distintos,

A 6= B,si algn elemento de A no pertence a B o si algn elemento de B no pertenece a A.Si A y B son conjuntos y todo elemento de A pertence a B decimos que A es un

subconjunto de B o que A est incluido o contenido en B. En este caso escrbimos

A B B A.

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Notemos que siempre vale A A y adems que si A es un subconjunto de B y B es unsubconjunto de C entonces A es un subconjunto de C, o sea

A B y B C A C.

Si A est contenido en B y A 6= B, decimos que A est contenido propiamente en B. (Aveces se escribe A ( B para enfatizar esto.)Se sigue que dos conjuntos son iguales si uno es subconjunto del otro y viceversa. As,

en la prctica para mostrar que dos conjuntos A y B son iguales muchas veces se pruebaque A B y que B A.En smbolos,

A B x A, x B x A x B,A 6 B x A, x 6 B x 6 B, x A,A = B A B y B A x A x B.

(2.1)

Si dos conjuntos A y B no tienen ningn elemento en comn, se dice que son disjuntos.

Los siguientes ejemplos sirven para aclarar los conceptos y definiciones dadas.

Ejemplos.

(1) Sean L el conjunto de letras del alfabeto, V el conjunto de vocales y C el conjunto deconsonantes. Luego V ( L y C ( L, es decir V y C son subconjuntos propios de L.Adems, V y C son disjuntos.

(2) Sea A el conjunto formado por los nmeros 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48 y B el conjunto de losnmeros de la forma n2 1 con 1 n 7. Es claro que ambos conjuntos son iguales.

Conjunto universal y conjunto vaco

En la teora de conjuntos existen dos conjuntos distinguidos, el conjunto vaco y elconjunto universal. El conjunto vaco es el conjunto que no tiene elementos y es denotadopor . ste est contenido en todo otro conjunto.En general, es de utilidad fijar de antemano el universo de objetos con que se quiere

trabajar. Por ejemplo, en aritmtica interesan principalmente los nmeros naturales yenteros, mientras que en anlisis interesan ms los nmeros reales y complejos. El conjuntouniversal, usualmente denotado U , es el conjunto ms grande en una discusin, y todoslos dems conjuntos considerados sern subconjuntos de ste. Muchas veces este universoest tcitamente dado, o se sobreentiende del contexto en el que se est trabajando. Otrasveces es necesario indicarlo. Por ejemplo, el conjunto de los nmeros pares es {2, 4, 6, 8, . . .}en los naturales, mientras que resulta {. . . ,6,4,2, 0, 2, 4, 6, . . .} si estamos trabajandocon los nmeros enteros.Todo conjunto A est contenido en el conjunto universal y contiene al vaco, o sea

A U .

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2.1 Cmo definir conjuntos R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

Nota. Una manera de justificar que el vaco es subconjunto de todo otro conjunto A esla siguiente. Para que esto no sea cierto, debera haber un conjunto A que no contiene alvaco, es decir 6 A. Ahora, para que esto sea posible, debera haber un elemento de que no pertenece a A. Como es imposible hallar un tal elemento, no hay un tal conjuntoA y A para todo A.

2.1. Cmo definir conjuntos

Para definir conjuntos debemos de una manera u otra especificar qu objetos lo forman.Existen bsicamente dos formas distintas de hacerlo.

Por extensin o definidos explcitamente: el conjunto se define listando o descri-biendo explcitamente cada uno de sus elementos.

Por comprensin o definidos implcitamente: el conjunto de define por una o variaspropiedades, quedando el conjunto determinado por aquellos objetos que tienen osatisfacen las propiedades listadas.

A un conjunto definido explcitamente se lo denota en general listando sus elementosentre llaves. Por ejemplo, el conjnuto A formado por los elementos a1, a2, . . . , an se escribe

A = {a1, a2, . . . , an}.

A veces resulta conveniente usar puntos suspensivos para denotar elementos que se sobre-entiende estn en el conjunto. As, por ejemplo, el conjunto D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}de dgitos puede escribirse sin lugar a dudas D = {0, 1, 2, . . . , 8, 9}. Es an mas comnusar esto para conjuntos infinitos, por ejemplo los naturales N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, ya quede otro modo sera imposible listar todos sus elementos.

Un conjunto definido por comprensin se denota en general usando llaves { } y la pro-piedad definidora P . Por ejemplo, si B es el conjunto de todos los elementos x que cumplenla propiedad P (x) se escribe

B = {x U : P (x)}y se lee B es el conjunto de los x tal que P (x). En general, puede haber varias propiedadesP1, . . . , Pn definidoras de un conjunto. En este caso

B = {x U : P1(x), P2(x), . . . , Pn(x)}.

Cuando el universo U est sobreentendido, simplemente se escribe

B = {x : P (x)} o B = {x : P1(x), P2(x), . . . , Pn(x)}.

Ejemplos. Sea A = {a, b, c, . . . , z} el conjunto de todas las letras del alfabeto romano y = {, , , . . . , } las del alfabeto griego.

(1) a A, a 6 y 6 A, .(2) A y son disjuntos.

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(3) Notemos que a es un elemento de A, a A, mientras que el conjunto formado por a,{a}, es un subconjunto de A, {a} A.

(4) Si V = {a, e, i, o, u} es el conjunto de vocales y C el de consonantes, tenemos que V yC son disjuntos. El conjunto D = {a, e, o} de vocales fuertes es un subconjunto propiode V .

(5) El conjunto de letras de la palabra matemtica B = {a, c, e,m, t} tiene 5 elementos.B tiene elementos en comn con V y tambin con C, por lo tanto no es disjunto conellos. Sin embargo, tampoco es un subconjunto de ninguno de ellos.

(6) Los conjuntos {p, q, r, s} y {t, u, v} son distintos y disjuntos.(7) {p, q, r, s, t} 6= {s, t, u, v}, pero no son disjuntos.(8) Los conjuntos {p, q, r, s, t, u, v} y {s, t, u, v} son distintos y el segundo es subconjunto

del primero.

Ejemplo. En general, en el curso nos interesarn los conjuntos de nmeros. Por ejemploel conjunto de nmeros naturales, enteros y racionales, respectivamente denotados por

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .},Z = {. . . ,3,2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .},Q = {ab : a, b Z, b 6= 0}.

Pero tambin nos interesarn los nmeros pares {2k : k Z} e impares {2k + 1 : k Z};los mltiplos de 7, {7k : k Z}; los que tienen resto r al dividir por q, {qk + r : k Z},etc. De vital importancia resultarn los nmeros primos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .}.Ejemplos.

(1) Los conjuntos A = {p, , 10} y B = {1, , f,} estn dados explcitamente.(2) El conjunto B = {los alumnos de este curso} est dado implcitamente.(3) Los conjuntos C = {alumnos de este curso con DNI terminado en 3} y D = {nmeros

enteros mayores que 5 que no son mltiplos de 3} estn dados implcitamente a partirde universos indicados explcitamente. En el primer caso los todos los alumnos de estecurso y en el segundo los nmeros enteros mayores que 5.

(4) Dado U = {todos los alumnos de este curso}, los conjuntos B = {miden ms de 1, 71metros} y C = {cumplen aos en marzo} estn dados implcitamente.

(5) Sea U = Z, el conjunto de todos los nmeros enteros. El conjunto A = {1, 0, 1} estdado explcitamente, mientras que B = {z : z > 0} y D = {z : tales que su resto en ladivisin por 3 es 1} estn dados implcitamente.

Las propiedades que se usen para definir conjuntos deben tener un valor de verdaddefinido, no ambiguo, para los objetos del universo elegido. ste debe depender solamentedel objeto. Por ejemplo, si el universo es el de todos los nmeros naturales, la propiedadde ser par tiene un valor de verdad definido para cada nmero. El 4 es par y el 7 no espar. Veamos ejemplos de lo que no consideraremos como conjuntos.

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Ejemplos. Ahora mostramos que cosas no queremos considerar como conjuntos.

(1) Tanto la coleccin de la mujeres bonitas, como la de buenos gobernantes o deartistas exitosos no son conjuntos en el sentido matemtico.

(2) Consideremos todos los nmeros naturales que al escribirlos en castellano ocupan me-nos de un rengln. La propiedad de ocupar menos de un rengln al ser escrito encastellano no tiene un valor de verdad definido, pues la longitud de dicha escrituradepende del tamao del rengln y de la persona que escriba, adems del nmero en s.Luego, esta propiedad no puede ser usada para definir implcitamente un conjunto denmeros naturales.

Hemos presentado algunos aspectos bsicos sobre cmo definir conjuntos. En el trabajocotidiano con conjuntos aparecern diversas formas ms o menos flexibles de definir con-juntos que resultan muy prcticas y por ello son muy difundidas. Es bueno aceptar stasy otra formas que pudieran surgir siempre y cuando no tengan ninguna ambigedad y nodejen dudas respecto a los elementos que forman el conjunto que se quiere definir. Porejemplo, es comn el uso de puntos suspensivos ... en algunas definiciones.

Queremos destacar que un mismo conjunto admite mltiples formas de ser presentadoo descripto, como ya vimos en algunos ejemplos. En particular, cuando se listan explcita-mente los elementos de un conjunto, el orden en que aparacen es irrelevante.

Ejemplos.

(1) El conjunto vaco dado por extensin es = { } y por comprensin por = {x : x 6=x}.

(2) V = {vocales del espaol} = {a, e, i, o, u} = {e, o, u, i, a}.(3) L = {letras del alfabeto} = {a, b, c, . . . , x, y, z}.(4) Los nmeros pares P = {2, 4, 6, 8, 10, . . . } por comprensin

P = {2m : m N} = {n N : n = 2k para algn k N}.

Observacin. Una forma alternativa de definir conjuntos, aceptada y muy usada, es aque-lla en la que los elementos del mismo se construyen por medio de una frmula. Loselementos n del conjunto

C = {n : n = 2m2 +m 1,m N},

se construyen por medio de la frmula n = 2m2 +m 1, con m recorriendo los naturales.Es posible entonces (comenzar a) listarlos: 2, 9, 20, 35, etc. Se dice que el conjunto C estdado paramtricamente, donde m es el parmetro.

Nota. (Explcito versus implcito).

(i) Si un conjunto A est dado explcitamente, resulta fcil exhibir alguno de sus ele-mentos, para esto basta tomar uno de los listados. An en el caso en que A est dado

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Versinpreliminar


paramtricamente, para exhibir un elemento basta tomar un valor cualquiera permititdopara el parmetro y exhibir el correspondiente elemento de A. Por ejemplo, si C = {n =2m2 +m 1, con m N} tomamos m = 1 y exhibimos el elemento n = 2 + 1 1 = 2 deA.

Por otro lado, si un conjunto A est dado explcitamente, puede no ser fcil decidir siun cierto elemento del universo pertenece o no a A. Por ejemplo, decidir si un nmerodado est en el conjunto A = {nmeros de libreta de todos los alumnos de la Universidad}puede requerir comparar el nmero dado con cada uno de los elementos de A.

(ii) Si un conjunto B est dado implcitamente, resulta en principio fcil decidir si unelemento del universo pertenece o no a B, ya que para esto slo hay que verificar que elelemento elegido tiene las propiedades que definen a B. Est claro que la dificultad deesta verificacin depende de las propiedades en s. Por ejemplo, si tomamos el conjunto denmeros que tienen resto 1 al dividir por 3,

B = {n : n = 3k + 1, k N},

para decidir si el 50 o el 100 pertenecen a B debemos dividirlos por 3 y mirar su resto.Como 50 = 3 16 + 2 y 100 = 3 33 + 1 se sigue que 50 6 B y 100 B.En cambio, puede no ser fcil exihibir algn elemento de B, pues para esto hay que

encontrar algn elemento del universo que tenga todas las propiedades que definen a B.Por ejemplo,

R = {p N : p primo y p > 22013}.

Paradojas*

Finalmente, como ya hemos mencionado, insistimos en que no cualquier propiedad oproposicin es aceptable para definir un conjunto. Esto sucede por ejemplo si quisieramosconsiderar el conjunto formado por todos los conjuntos que no se tienen a s mismos comouno de sus elementos. Supongamos que definimos

M = {X : X 6 X}.

Veamos si la nocin de pertenencia es clara en este caso. Suponiendo que M fuera unconjunto, veamos si M pertenece o no a M .

Si M M entonces M 6M !! Si M 6M entonces M M !!

En ambos casos se llega a una contradiccin. Este fenmeno fue observado por BertrandRussell y es llamado una paradoja. Con una definicin formal de conjunto (que no dare-mos!) la paradoja queda zanjada.

Una versin en forma de cuento de la paradoja de Russell es la conocida como la paradojadel barbero. El rey de una lejana comarca se dio cuenta de la falta de barberos en su regin,y orden que los barberos slo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo pors mismas. Cierto da el rey llam a un barbero para afeitarse y ste le cont su problema:

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Versinpreliminar

2.2 Operaciones con conjuntos R. Podest P. Tirao, 12/06/2013

En mi pueblo soy el nico barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, que soyyo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por m mismo, por lo tanto no deberaafeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algn barbero debera afeitarme,pero yo soy el nico barbero de all! Al rey le gust la argumentacin del barbero y lorecompens.

2.2. Operaciones con conjuntos

Hasta aqu hemos discutido cmo definir conjuntos. Ahora describiremos algunas cosasque podemos hacer con ellos. En particular, mostraremos cmo construir nuevos conjuntosa partir de otros dados, por medio de algunas operaciones simples. Son estas operacioneslas que hacen de los conjuntos una herramienta til en matemtica. No slo permitenconstruir estructuras sino tambin permiten describir estructuras complicadas en trminosde otras ms simples.

Diagramas de Venn. Los diagramas de Venn permiten representar grficamente con-juntos genricos sin importar la naturaleza de sus elementos. Esta representacin resultatil para entender algunos aspectos bsicos de la teora de conjuntos, como son las opera-ciones con conjuntos y algunas identidades de conjuntos.No daremos ninguna definicin formal de diagrama de Venn, simplemente los presenta-

mos de manera informal apelando al sentido comn de los lectores. Para nuestros fines,basta pensar que a cada conjunto lo representamos como un crculo u valo

Los siguientes diagrams de Venn representan a dos conjuntos abstractos A y B (no vacos)en un mismo universo, mostrando distintas situaciones posibles segn los elementos quecompartan y los que no.

(1) Los conjuntos A y B

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Algebra-Una introducción a la Aritmética