Oscar Eduardo Gómez Candila Facultad de ingeniería. 1º C

Tema 6.- Algebra Vectorial.

Vectores en R2 y R3

Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por

|a|= 2√a12+a22

Un vector de R3 es una terna ordenada de números reales. Geométricamente a un vector de R3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido. Y se denota de la siguiente manera:

v⃗=( x , y , z )

Características de los vectores en R2 y R3.

La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que

sin ¿ a2

¿a∨¿¿ cos¿ a1

¿a∨¿¿

Suponga que se tienen los puntos P1: (x1,y1,z1) y P2: (x2,y2,z2). Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacía P2 tenemos una representación del vector

Oscar Eduardo Gómez Candila Facultad de ingeniería. 1º C

Sea v⃗=( x , y , z ). La magnitud o norma de v⃗ denotada como |v⃗|, se define como

v⃗=2√ x2+ y2+z2

Y para cualquier vector en el espacio

v⃗=( x2−x1 , y2− y1 , z2−z1 )

|v⃗|= 2√( x 2−x1 )2+( y 2− y 1 )2+(z 2−z1)2

Operaciones con los vectores.

Suma y resta.

La suma y resta se hace componente a componente.

Consideremos los vectores v⃗=(v 1 , v 2,…, vn )E Rn y w⃗=(w1 ,w2 ,…,wn )E Rn

v⃗+ w⃗=(v 1 , v2 ,…,vn )+ (w1 ,w2 ,…,wn )

v⃗−w⃗=( v1 , v 2 ,…, vn )−(w1 ,w2,…,wn )

Producto escalar de dos vectores.

Sean un vector u de Rn, y un escalar a de R1 se define el producto escalar del vector u y el escalar a como

au = (au1, au2,…,aun)

El producto escalar produce alargamientos o contracciones sobre el vector u, estos dependen del escalar que intervienes en la operación.

Producto vectorial de dos vectores.

Dados los vectores u⃗=(u1+u2+u3 ) y v⃗=(v1+v2+v3)del espacio, el producto

vectorial entre u⃗+ v⃗ se define como

U x v = (u2v3 – u2v3)i – (u1v3 – u1v3)j + (u1v2 – u1v2)K

Triple producto escalar

Sean los vectores u= (u1,u2,u3), v=(v1+v2+v3) y w=(w1+w2+w3) el triple producto escalar de los vectores u, v y w se define

Oscar Eduardo Gómez Candila Facultad de ingeniería. 1º C

(u x v) * w = u1 u2 u3v 1 v 2 v3w1 w2 w3

El triple producto escalar se define como el determinante anterior, esto quiere decir que hereda muchas de las propiedades de los determinantes, una de ellas dice que una permutación de filas o columnas implica un cambio de signo en el valor del determinante. Por esta razón, el producto escalar no es conmutativo.

Triple producto vectorial

Para los vectores a⃗ , b⃗ y c⃗, en R3 el triple producto vectorial es un vector

w⃗=a⃗ X ( b⃗ x c⃗ )

Por una parte b⃗ x c⃗ es perpendicular al plano formado por los vectores b⃗ x c⃗, y, ya que

w⃗=a⃗ X ( b⃗ x c⃗ ) es perpendicular a b⃗ x c⃗, entonces w⃗ pertenece al plano formado

por b⃗ x c⃗.

a⃗ x b⃗ x c⃗= [a2 (b1c 2−c 1b2 )−a3 (c 1b3 ) ] i+[a3 (b1c2−c1b2 )−a1 (b1c 2−c 1b2 ) ] j+¿