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Algebraic Expressions

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Algebra

Algebraic Expressions Worksheets

Contents

Differentiated Independent Learning Worksheets

Page 30 Page 40

Page 5 Page 60 Page 70 Page 80 Page 90 Page 100

• Collecting Like Terms• Algebraic Products• Substituting into Expressions• Expanding Algebraic Expressions• Factorising Expressions• Product of Two Brackets• Factorising Quadratics when a = 1• Factorising Quadratics when a ≠ 1

Solutions Page 11 Page 12 Page 13 Page 14 Page 15 Page 16 Page 17 Page 18

• Collecting Like Terms• Algebraic Products• Substituting into Expressions• Expanding Algebraic Expressions• Factorising Expressions• Product of Two Brackets• Factorising Quadratics when a = 1• Factorising Quadratics when a ≠ 1

Collecting Like Terms

Q1. Simplify these expressions by collecting like terms.

a) 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 b) 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 + 𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 c) 4𝑒𝑒 + 𝑒𝑒 + 2𝑎𝑎 − 𝑎𝑎

d) 4𝑓𝑓 + 5𝑤𝑤 + 3𝑓𝑓 − 𝑤𝑤 e) 5ℎ + 8𝑢𝑢 + 5 − 𝑢𝑢 f) 6𝑥𝑥 + 4 + 5𝑥𝑥 + 8

g) 2𝑤𝑤 + 6𝑏𝑏 + 3𝑤𝑤 − 4𝑏𝑏 + 2 h) 4𝑑𝑑 + 3𝑒𝑒 − 3𝑑𝑑 − 3𝑒𝑒 i) 4 + 3𝑣𝑣 − 2 + 5𝑣𝑣 + 𝑎𝑎

j) 3𝑟𝑟 + 10 − 2𝑟𝑟 − 𝑟𝑟 − 4 k) 3𝑑𝑑 + 3𝑓𝑓 − 𝑓𝑓 − 3𝑑𝑑 − 2𝑓𝑓 l) 12 + 𝑡𝑡 + 6𝑔𝑔 + 7 + 3𝑔𝑔

Q2. Expand these pairs of brackets:

a) 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 5𝑎𝑎𝑑𝑑 b) 4𝑓𝑓𝑔𝑔 + 𝑓𝑓𝑔𝑔 + 𝑓𝑓𝑔𝑔 c) 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎 + 5𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 − 2𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎

d) 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥2 e) 5𝑥𝑥2 + 4𝑟𝑟2 − 𝑥𝑥2 f) 6𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑2 + 4𝑑𝑑

g) 6𝑦𝑦2 + 10 + 3𝑔𝑔2 + 9𝑔𝑔2 + 2 h) 2𝑚𝑚2 + 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚2 + 4𝑥𝑥2 i) 𝑦𝑦2 + 3𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 + 4𝑦𝑦

j) 𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 2𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎 k) 4𝑟𝑟 + 𝑟𝑟2 + 3 + 7𝑟𝑟 + 2𝑟𝑟2 l) 4𝑡𝑡 + 3𝑡𝑡2 + 3 + 7𝑡𝑡 + 2𝑗𝑗2

Q3. In each of these pyramids the cell above is the cell of the two directly beneath it. Complete the pyramids by collecting the like terms.

Q4. Write the perimeter of each shape using a simplifying algebraic expression.

a) b)

2

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Algebraic Products

Q1. Simplify these expressions.

a) 3 × 𝑎𝑎 b) 5 × 𝑟𝑟 c) 7 × 2 × 𝑟𝑟

d) 𝑟𝑟 × 𝑤𝑤 e) ℎ × 𝑒𝑒 × 3 f) 8 × 𝑢𝑢 × 𝑖𝑖 × 2

g) 2𝑑𝑑 × 3 h) 4𝑑𝑑 × 6 i) 2 × 3𝑔𝑔 × 6

j) 2 × 𝑟𝑟 × 𝑒𝑒 k) 4 × 𝑞𝑞 × 𝑥𝑥 × 2𝑑𝑑 l) 9 × 𝑤𝑤 × 3𝑒𝑒 × 2𝑠𝑠

Q2. Simplify these expressions.

a) 𝑦𝑦 × 𝑦𝑦 b) 2𝑥𝑥 × 𝑥𝑥 c) 4 × 𝑟𝑟 × 2𝑟𝑟

d) ℎ × 𝑓𝑓 × 2ℎ × 𝑓𝑓 e) 2𝑝𝑝 × 3𝑞𝑞 f) 2𝑥𝑥𝑦𝑦 × 3𝑥𝑥𝑦𝑦

g) 𝑖𝑖 × 2𝑖𝑖 × 3𝑟𝑟 h) 8𝑚𝑚 × 𝑚𝑚 × 2𝑛𝑛 i) 6𝑔𝑔 × 2𝑓𝑓 × 𝑔𝑔 × 𝑎𝑎

j) 8𝑦𝑦 × 𝑥𝑥 × 2𝑒𝑒 × 𝑥𝑥𝑦𝑦 k) 4𝑔𝑔 × 𝑒𝑒 × 2𝑔𝑔 × 2𝑒𝑒𝑔𝑔 l) 4𝑟𝑟𝑓𝑓 × 6𝑓𝑓𝑟𝑟 × 𝑓𝑓𝑟𝑟

Q3. The top of each shape is the sum of the two expressions and the bottom is the product. Complete the missing terms in each cell. The first one has been done for you.

Q4. Investigate possible perimeters for these rectangles given their fixed area:

a) b)

3

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

2𝑑𝑑 + 6 4𝑡𝑡 + 𝑢𝑢 5𝑢𝑢 + 63

𝑑𝑑 + 𝑚𝑚

6𝑡𝑡 − 4 3𝑚𝑚 + 10 𝑢𝑢𝑚𝑚𝑡𝑡

𝑑𝑑 + 𝑡𝑡 + 1

2𝑡𝑡 − 𝑚𝑚𝑑𝑑 4𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 3𝑡𝑡 + 𝑟𝑟𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 5𝑚𝑚

𝑡𝑡

𝑢𝑢𝑡𝑡 − 11

Substituting into Expressions

Q1. Substitute these values into the following expressions:

a = 4 b = 2 c = 5 d = 8

a) 𝑎𝑎 + 12 b) 𝑏𝑏 + 5 c) 𝑎𝑎 − 4

d) 5𝑑𝑑 e) 9𝑎𝑎 f) 2𝑏𝑏 + 6

g) 𝑐𝑐5 h) 𝑑𝑑

2i) 6𝑎𝑎

4

j) 𝑑𝑑2

+ 5 k) 2𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 l) 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 2

Q2. Substitute these values into the following expressions:

𝑔𝑔 = 1 ℎ = 7 𝑥𝑥 = 9 𝑤𝑤 = 10

a) 2𝑔𝑔 + 𝑤𝑤 b) 5𝑥𝑥 − ℎ c) 𝑔𝑔𝑥𝑥 + ℎ

d) 6ℎ𝑤𝑤 e) 3𝑤𝑤 − 8𝑔𝑔 f) 2𝑔𝑔 + ℎ𝑤𝑤

g) 𝑤𝑤5𝑔𝑔 h) ℎ+𝑥𝑥

4i) 𝑥𝑥−ℎ

2

j) ℎ+3𝑤𝑤

+ 4 k) ℎ𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 l) ℎ𝑥𝑥𝑤𝑤 + 4𝑔𝑔

Q3. Use these values to match the following expressions:

𝑢𝑢 = 3 𝑡𝑡 = 6 𝑚𝑚 = 12 𝑑𝑑 = 20

Q4. Use these values to place the following expressions in ascending order.

𝑟𝑟 = −1 𝑡𝑡 = 10 𝑚𝑚 = 4 𝑑𝑑 = 0.5

4

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Expanding Algebraic Expressions

Q1. Expand these pairs of brackets:

a) 3(𝑥𝑥 + 2) b) 4(𝑧𝑧 + 6) c) 6(4 + 𝑢𝑢)

d) 7(𝑥𝑥 − 4) e) 4(𝑎𝑎 + 5) f) 10(𝑎𝑎 − 1)

g) 2(5 − 𝑦𝑦) h) 8(1 + 𝑔𝑔 + ℎ) i) 3(𝑓𝑓 + 6 + 𝑟𝑟)

j) 4(2𝑒𝑒 + 5) k) 9(4 − 𝑡𝑡 + 2𝑒𝑒) l) 7(6𝑦𝑦 + 2 − 3𝑡𝑡 )

Q2. Expand these pairs of brackets:

a) 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) b) 𝑤𝑤(𝑤𝑤 − 1) c) 𝑡𝑡(3 + 𝑡𝑡)

d) 𝑔𝑔(3𝑔𝑔 + 2) e) ℎ(2𝑥𝑥 − ℎ) f) 2𝑑𝑑(5 − 6𝑟𝑟)

g) 5𝑡𝑡(2𝑡𝑡 − 5𝑟𝑟) h) 4𝑗𝑗(𝑥𝑥 + 2) i) 8𝑢𝑢(𝑥𝑥 − 5𝑢𝑢)

j) 2𝑠𝑠(4 − 𝑠𝑠 + 2𝑢𝑢) k) 5𝑏𝑏(𝑏𝑏 − 6𝑦𝑦 + 5𝑒𝑒) l) 3𝑚𝑚(ℎ + 4𝑔𝑔 + 3𝑚𝑚)

Q3. Expand and simplify each expression.

a) 3(𝑥𝑥 + 1) + 2(𝑥𝑥 + 4) b) 4(𝑔𝑔 + 3) + 3(𝑔𝑔 + 5) c) 5(𝑎𝑎 + 6) + 4(𝑎𝑎 − 2)

d) 6(𝑎𝑎 + 10) + 2(5 + 𝑎𝑎) e) 3(3 − 𝑓𝑓) − 2 (𝑓𝑓 + 4) f) 6(3𝑥𝑥 + 1) + 2(3 − 𝑥𝑥)

g) 3(4𝑦𝑦 − 8) − 2 (1 − 2𝑦𝑦) h) 4(6 − 5𝑡𝑡) − (1 + 𝑡𝑡) i) 3(𝑟𝑟 + 1) − 3(5 − 6𝑟𝑟)

Q4. Write an expression, in terms of 𝑥𝑥 for the shaded area of each shape.

5

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Factorising Expressions

Q1. Fully factorise each of these expressions:

a) 4ℎ + 12 b) 2𝑎𝑎 + 8 c) 7𝑡𝑡 − 14

d) 8𝑦𝑦 − 24 e) 12𝑔𝑔 + 6 f) 8𝑦𝑦 − 4

g) 5𝑢𝑢 + 10𝑡𝑡 + 15 h) 4𝑤𝑤 − 8𝑢𝑢 + 12𝑡𝑡 i) 6𝑡𝑡 + 3𝑏𝑏 − 9𝑖𝑖

j) 3𝑟𝑟 + 12 − 27𝑘𝑘 k) 32𝑒𝑒 − 4 l) 42𝑗𝑗 + 7𝑟𝑟

Q2. Expand these pairs of brackets:

a) 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 b) 𝑟𝑟𝑑𝑑 − 3𝑟𝑟 c) 𝑦𝑦𝑔𝑔 − 3𝑔𝑔

d) 6𝑡𝑡𝑓𝑓 + 5𝑓𝑓ℎ e) 12𝑔𝑔𝑗𝑗 + 18𝑔𝑔𝑔𝑔 f) 44𝑢𝑢ℎ + 11𝑡𝑡𝑢𝑢 + 33𝑢𝑢

g) 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 h) 4𝑎𝑎𝑓𝑓 + 8𝑓𝑓2 i) 𝑤𝑤 + 𝑤𝑤2

j) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 k) 3𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎 l) 5𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 10𝑎𝑎𝑏𝑏

Q3. Match together the equivalent expressions:

5(2𝑡𝑡2 − 5) 5𝑡𝑡2 − 25 5(3 + 5𝑡𝑡) 10𝑡𝑡2 − 25 𝑡𝑡2 + 5𝑡𝑡

5(𝑡𝑡2 − 5) 𝑡𝑡(𝑡𝑡 + 5) 2𝑡𝑡2 − 2𝑡𝑡 15 + 25𝑡𝑡 2𝑡𝑡(𝑡𝑡 − 1)

Q4. Which of the following is the correct full factorisation of 48𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 12𝑥𝑥2𝑦𝑦?

a) 12𝑥𝑥(4𝑦𝑦2 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦) b) 12𝑦𝑦(4𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥2) c) 4𝑥𝑥𝑦𝑦(12𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥) d) 12𝑥𝑥𝑦𝑦(4𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)

Q5. Fully factorise the area to determine the perimeters for each of these rectangles.

a) b)

4(5 − 2𝑥𝑥) 4𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 4(5 + 6𝑥𝑥) 4𝑥𝑥2 − 12𝑟𝑟𝑥𝑥 16𝑥𝑥2 + 20𝑥𝑥

20 + 24𝑥𝑥 4𝑥𝑥(4𝑥𝑥 + 5) 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3𝑟𝑟) 20 − 8𝑥𝑥 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1)

6

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Product of Two Brackets

Q1. Expand these pairs of brackets and simplify the result:

a) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 4) b) (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 1) c) (𝑥𝑥 + 8)(7 + 𝑥𝑥)

d) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 7) e) (𝑥𝑥 − 4)(1 + 𝑥𝑥) f) (8 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 9)

g) (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 5) h) (𝑥𝑥 + 6)(4 − 𝑥𝑥) i) (𝑥𝑥 + 4)(4− 𝑥𝑥)

j) (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1) k) (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 − 4) l) (𝑥𝑥 − 8)(𝑥𝑥 − 3)

Q2. Expand these pairs of brackets and simplify the result:

a) (2𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) b) (4𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 4) c) (5𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3)

d) (𝑥𝑥 − 8)(3𝑥𝑥 + 9) e) (𝑥𝑥 − 5)(5𝑥𝑥 + 9) f) (8 + 𝑥𝑥)(2𝑥𝑥 + 9)

g) (4𝑥𝑥 + 1)(5− 𝑥𝑥) h) (3𝑥𝑥 + 1)(6𝑥𝑥 − 5) i) (1 + 2𝑥𝑥)(5 − 6𝑥𝑥)

j) (2𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑎𝑎 − 4𝑥𝑥) k) (5𝑥𝑥 − 2𝑎𝑎)(3𝑎𝑎 − 6𝑥𝑥) l) (8𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)(3𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)

Q3. Expand these pairs of brackets and simplify the result:

a) (𝑥𝑥 + 3)2 b) (5 + 𝑥𝑥)2 c) (𝑥𝑥 − 9)2d) (3𝑥𝑥 + 1)2 e) (4 + 3𝑥𝑥)2 f) (2𝑎𝑎 − 4𝑥𝑥)2

Q4. Write the area of each shape in terms of 𝑥𝑥.

a) b)

c) d)

7

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Factorising Quadratics when a = 1

Q1. Factorise the following quadratics:

a) 𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥 + 50 b) 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 6 c) 𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥 + 56

d) 𝑥𝑥2 + 13𝑥𝑥 + 12 e) 𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥 + 40 f) 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 12

g) 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 35 h) 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 30 i) 𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 21

j) 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 15 k) 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 20 l) 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 42

m) 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 6 n) 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 − 7 o) 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 6

p) 𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 q) 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 40 r) 𝑥𝑥2 + 20𝑥𝑥 + 99

s) 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 t) 𝑥𝑥2 + 11𝑥𝑥 − 12 u) 𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 10

Q2. Expand these pairs of brackets:

a) 𝑥𝑥2 − 64 b) 𝑥𝑥2 − 9 c) 𝑥𝑥2 − 4

d) 𝑥𝑥2 − 49 e) 𝑥𝑥2 − 169 f) 𝑥𝑥2 − 81

g) 16𝑥𝑥2 − 81 h) 36𝑥𝑥2 − 4 i) 9𝑥𝑥2 − 16

Q3. Match the equivalent quadratic expressions:

Q4. Write the perimeter of these shapes in terms of 𝑥𝑥.

8

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Factorising Quadratics when a ≠ 1

Q1. Fully factorise each of these expressions:

a) 2𝑥𝑥2 + 14𝑥𝑥 + 12 b) 3𝑥𝑥2 + 16𝑥𝑥 + 5 c) 2𝑥𝑥2 + 17𝑥𝑥 + 30

d) 3𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥 + 42 e) 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 + 6 f) 5𝑥𝑥2 + 26𝑥𝑥 + 5

g) 2𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 6 h) 2𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 − 24 i) 3𝑥𝑥2 + 14𝑥𝑥 − 5

j) 2𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 16 k) 5𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 6 l) 5𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 − 9

m) 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 6 n) 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 20 o) 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 9

p) 3𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 − 8 q) 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 1 r) 3𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 − 20

Q2. Expand these pairs of brackets:

a) 4𝑥𝑥2 − 20𝑥𝑥 + 25 b) 6𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 12 c) 4𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 7

d) 6𝑥𝑥2 + 33𝑓𝑓 − 63 e) 9𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 8 f) 8𝑥𝑥2 − 22𝑥𝑥 + 15

Q3. Match together the equivalent expressions:

Q4. Write the perimeter of these rectangles in terms of 𝑥𝑥.

a) b)

9

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Collecting Like Terms Solutions

Q1.

a) 4a b) 3𝑟𝑟 + 2𝑔𝑔 c) 5𝑒𝑒 + 𝑎𝑎

d) 7𝑓𝑓 + 4𝑤𝑤 e) 5ℎ + 7𝑢𝑢 + 5 f) 11𝑥𝑥 + 12

g) 5𝑤𝑤 + 2𝑏𝑏 + 2 h) 𝑑𝑑 i) 8𝑣𝑣 + 𝑎𝑎 + 2

j) 6 k) 0 l) 9𝑔𝑔 + 𝑡𝑡 + 19

Q2.

a) 6𝑎𝑎𝑑𝑑 b) 6𝑓𝑓𝑔𝑔 c) 4𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎

d) 6𝑥𝑥2 e) 4𝑥𝑥2 + 4𝑟𝑟2 f) 5𝑑𝑑2 + 5𝑑𝑑

g) 6𝑦𝑦2 + 12 + 12𝑔𝑔2 h) 5𝑥𝑥2 i) 5𝑦𝑦2 + 5𝑦𝑦

j) 2𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎𝑏𝑏2 + 2𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎 k) 3𝑟𝑟2 + 11𝑟𝑟 + 3 l) 3𝑡𝑡2 + 3 + 11𝑡𝑡 + 2𝑗𝑗2

Q3.

Q4.

a) Perimeter = 14𝑎𝑎 + 8𝑎𝑎 + 6 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

b) Perimeter = 7𝑓𝑓 + 3 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

10

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Algebraic Products Solutions

Q1.

a) 3𝑎𝑎 b) 5𝑟𝑟 c) 14𝑟𝑟

d) 𝑟𝑟𝑤𝑤 e) 3𝑒𝑒ℎ f) 16𝑖𝑖𝑢𝑢

g) 6𝑑𝑑 h) 24𝑑𝑑 i) 36𝑔𝑔

j) 2𝑟𝑟𝑒𝑒 k) 8𝑞𝑞𝑥𝑥𝑑𝑑 l) 54𝑤𝑤𝑒𝑒𝑠𝑠

Q2.

a) 𝑦𝑦2 b) 2𝑥𝑥2 c) 8𝑟𝑟2

d) 2ℎ2𝑓𝑓2 e) 6𝑝𝑝𝑞𝑞 f) 6𝑥𝑥2𝑦𝑦2

g) 6𝑖𝑖3𝑟𝑟 h) 16𝑚𝑚2𝑛𝑛 i) 12𝑔𝑔2𝑓𝑓𝑎𝑎

j) 16𝑦𝑦2𝑥𝑥2𝑒𝑒 k) 16𝑔𝑔3𝑒𝑒2 l) 24𝑟𝑟3𝑓𝑓3

Q3.

Q4.

a) Possible perimeters include: 8a + 2b, 4a + 4b, 8b + 2a (not exhaustive)

b) Possible perimeters include: 72r2 + 2h, 36r + 4hr2, 18h + 2h2, 72 + 2r2h, 4h2 + 36 (not exhaustive)

11

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Substituting into Expressions Solutions Q1.

a) 16 b) 7 c) 1

d) 40 e) 36 f) 10

g) 1 h) 4 i) 6

j) 9 k) 14 l) 6

Q2.

a) 12 b) 38 c) 16

d) 420 e) 22 f) 65

g) 2 h) 4 i) 1

j) 5 k) 62 l) 634

Q3.

2𝑑𝑑 + 6 (46) 4𝑡𝑡 + 𝑢𝑢 (27) 5𝑢𝑢 + 63

(7) 𝑑𝑑 + 𝑚𝑚 (32) 𝑡𝑡 (6)

𝑑𝑑 + 𝑡𝑡 + 1 (27) 𝑢𝑢𝑚𝑚𝑡𝑡

(6) 3𝑚𝑚 + 10 (46) 6𝑡𝑡 − 4 (32) 𝑢𝑢𝑡𝑡 − 11 (7)

Q4.

4𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 (15) 2𝑡𝑡 − 𝑚𝑚𝑑𝑑 (18) 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 5𝑚𝑚 (25) 3𝑡𝑡 + 𝑟𝑟𝑚𝑚 (26)

12

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Expanding Algebraic Expressions Solutions

Q1.

a) 3𝑥𝑥 + 6 b) 4𝑥𝑥 + 24 c) 24 + 6𝑢𝑢

d) 7𝑥𝑥 − 28 e) 4𝑎𝑎 + 20 f) 10𝑎𝑎 − 10

g) 10 − 2𝑦𝑦 h) 8 + 8𝑔𝑔 + 8ℎ i) 3𝑓𝑓 + 18 + 3𝑟𝑟

j) 8𝑒𝑒 + 20 k) 36 − 9𝑡𝑡 + 18𝑒𝑒 l) 42𝑦𝑦 + 14 − 21𝑡𝑡

Q2.

a) 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 b) 𝑤𝑤2 − 𝑤𝑤 c) 3𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2

d) 3𝑔𝑔2 + 2𝑔𝑔 e) 2ℎ𝑥𝑥 − ℎ2 f) 10𝑑𝑑 − 12𝑑𝑑𝑟𝑟

g) 10𝑡𝑡2 − 25𝑡𝑡𝑟𝑟 h) 4𝑗𝑗𝑥𝑥 + 8𝑗𝑗 i) 8𝑢𝑢𝑥𝑥 − 40𝑢𝑢2

j) 8𝑠𝑠 − 2𝑠𝑠2+4us k) 5𝑏𝑏2 − 30𝑏𝑏𝑦𝑦 + 25𝑏𝑏𝑒𝑒 l) 3𝑚𝑚ℎ + 12𝑚𝑚𝑔𝑔 + 9𝑚𝑚2

Q3.

a) 5𝑥𝑥 + 11 b) 7𝑔𝑔 + 27 c) 9𝑎𝑎 + 22

d) 8𝑎𝑎 + 70 e) 1 − 3𝑓𝑓 f) 16𝑥𝑥 + 12

g) 14𝑦𝑦 − 26 h) 23 − 21𝑡𝑡 i) 21𝑟𝑟 − 12

Q4.

a) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎 = 6𝑥𝑥 + 26 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑢𝑢𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠 b) 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑒𝑒𝑎𝑎 = 13𝑥𝑥 + 18 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑢𝑢𝑎𝑎𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

13

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Factorising Expressions Solutions Q1.

a) 4(ℎ + 3) b) 2(𝑎𝑎 + 4) c) 7(𝑡𝑡 − 2)

d) 8(𝑦𝑦 − 3) e) 6(𝑔𝑔 + 2) f) 4(2𝑦𝑦 − 1)

g) 5(𝑢𝑢 + 2𝑡𝑡 + 3) h) 4(𝑤𝑤 − 2𝑢𝑢 + 3𝑡𝑡) i) 3(2𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 − 3𝑖𝑖)

j) 3(𝑟𝑟 + 4 − 9𝑘𝑘) k) 4(8e − 1) l) 7(6𝑗𝑗 + 𝑟𝑟)

Q2.

a) 𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) b) 𝑟𝑟(𝑑𝑑 − 3) c) 𝑔𝑔(𝑦𝑦 − 3)

d) 𝑓𝑓(6𝑡𝑡 + 5ℎ) e) 6𝑔𝑔(2𝑗𝑗 + 3𝑔𝑔) f) 11𝑢𝑢(4ℎ + 𝑡𝑡 + 3)

g) 𝑏𝑏(𝑎𝑎 + 1) h) 4𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 2𝑓𝑓) i) 𝑤𝑤(𝑤𝑤 + 1)

j) 𝑥𝑥(1 − 𝑥𝑥) k) 3c(c + 2) l) 5𝑎𝑎𝑏𝑏(𝑏𝑏 + 2)

Q3.

Q4.

a) Perimeter = 4a + 12 units

b) Perimeter = 72a + 4b units

14

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Product of Two Brackets Solutions

Q1.

a) 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 8

b) 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 5 c) 𝑥𝑥2 + 15𝑥𝑥 + 56

d) 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 21

e) 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 − 4 f) −𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 72

g) 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 5

h) −𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 24 i) 16 − 𝑥𝑥2

j) 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 2 k) 𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 24 l) 𝑥𝑥2 − 11𝑥𝑥 + 24

Q2.

a) 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 2

b) 4𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 8 c) 5𝑥𝑥2 + 17𝑥𝑥 + 6

d) 3𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥 − 72

e) 5𝑥𝑥2 − 16𝑥𝑥 − 45 f) 2𝑥𝑥2 + 25𝑥𝑥 + 72

g) −4𝑥𝑥2 + 19𝑥𝑥 + 5

h) 18𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 − 5 i) −12𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 5

j) 𝑎𝑎2 + 6𝑎𝑎𝑥𝑥 − 8𝑥𝑥2 k) −6𝑎𝑎2 + 27𝑎𝑎𝑥𝑥 − 30𝑥𝑥2 l) 𝑡𝑡2 − 11𝑡𝑡𝑥𝑥 + 24𝑥𝑥2

Q3.

a)𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 9

b) 𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 + 25 c) 𝑥𝑥2 − 18𝑥𝑥 + 81

d) 9𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 1 e) 9𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥 + 16 f) 4𝑎𝑎2 − 16𝑎𝑎𝑥𝑥 + 16𝑥𝑥2

Q4

a) 𝑥𝑥2 + 11𝑥𝑥 + 28 b) 11𝑥𝑥2 + 34𝑥𝑥 + 11

15

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Factorising Quadratics when a = 1 Solutions Q1.

a) (𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 + 5) b) (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 + 1) c) (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 + 8)

d) (𝑥𝑥 + 12)(𝑥𝑥 + 1) e) (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 + 8) f) (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 − 2)

g) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 7) h) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 6) i) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 7)

j) (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 + 3) k) (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 5) l) (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 − 6)

m) (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 + 1) n) (𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 − 1) o) (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 5)

p) (𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 1) q) (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 8) r) (𝑥𝑥 + 9)(𝑥𝑥 + 11)

s) (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 3) t) (𝑥𝑥 + 12)(𝑥𝑥 − 1) u) (𝑥𝑥 + 10)(𝑥𝑥 − 1)

Q2.

a) 𝑥𝑥 ± 8 b) 𝑥𝑥 ± 3 c) 𝑥𝑥 ± 2

d) 𝑥𝑥 ± 7 e) 𝑥𝑥 ± 13 f) 𝑥𝑥 ± 9

g) 4𝑥𝑥 ± 9 h) 6𝑥𝑥 ± 2 i) 3𝑥𝑥 ± 4

Q3.

Q4.

a) Perimeter = 4𝑥𝑥 + 26 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

b) Perimeter = 4𝑥𝑥 − 18 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

16

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

Factorising Quadratics when a ≠ 1 Solutions

Q3.

Q4.

a) Perimeter = 8𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

b) Perimeter = 10𝑥𝑥 − 2 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑖𝑖𝑡𝑡𝑠𝑠

17

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE

SAMPLE