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cour algebe fsjes abat agdal
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Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
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����� وا� اا�! �ط
Filière de Science Économiques et de Gestion
Semestre d’étude : S3
Module M10 : Méthodes Quantitatives II Matière : Mathématiques II
Mathématiques II
Annales :
2004-2005 à 2007-2008 & 2009-2010 Sujets d'examens dont certains sont avec correction
Salma DASSERSalma DASSERSalma DASSERSalma DASSER
Dernière mise à jour Juin 2010
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
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Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S3 Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II
Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels
I- LCI et LCE
II- Structure d’espace vectoriel réel
III- Sous espaces vectoriels
IV- Combinaison linéaire - Système générateur
V- Système libre - système lié
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VII- Base d’un espace vectoriel
VIII- Espace vectoriel de dimension fini
Chapitre 2 : applications linéaires
I- Définitions et généralités
II- Opérations sur les applications linéaires
III- Image et image réciproque
IV- Noyau et image d’une application linéaire
V- Applications linéaires injectives et surjectives
VI- Rang d’une application linéaire
Chapitre 3 : Matrices
I- Généralités (définition, matrices particulières)
II- Matrices carrées
1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire
2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique
III- Opérations sur les matrices
1. Addition, Multiplication, Puissance
2. Propriétés de l’ensemble des matrices
3. Matrice inversible
IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V- Matrice associée à un système de vecteurs
VI- Matrice d’une application linéaire
VII- Changement de base
Chapitre 4 : déterminants
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
II- Propriétés des déterminants
III- Inversion d’une matrice par la méthode des
cofacteurs
IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application
linéaire
Chapitre 5 : systèmes linéaires
I- Généralités (définition, écriture, rang)
II- Résolution d’un système linéaire triangulaire
III- Résolution d’un système linéaire de Cramer
1. Par l’inversion de la matrice du système
2. Par la méthode de Cramer
IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer
1. Système avec second membre
2. Cas particulier d’un système homogène
Objectif du cours Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul
matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires.
Pré-reqcuis recommandé� Calcul dans � � Notions élémentaires sur les ensembles
Mode d’évaluation� Contrôle final (2h) � contrôle de rattrapage (1h30)
Déroulement du cours� Cours magistraux (25h) � Travaux dirigés (15h)
Support du cours� Polycopié du cours � Séries d’exercices corrigés
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Année académique : 2004-2005
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[1]
Année académique : 2004-2005
Session : Automne-hiver
Contrôle Contrôle Contrôle Contrôle continucontinucontinucontinu .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2222
Contrôle finalContrôle finalContrôle finalContrôle final ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10101010
Contrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapage ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 12121212
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
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CONTROLE CONTINU Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2004-2005
Sections : C & D
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[2]
Exercice 1 : (2 points)
On considère l’application linéaire f définie de 3IR vers
2IR par :
)..,.()),,((:),,( 3 zeyxezyexzyxfIRzyx mmm ++++=∈∀ , IRm∈
A-t-on { })0,0,0()( =fKer ?
Exercice 2 : (3 points) Soit ),( ∗G un groupe et f un endomorphisme de ),( ∗G .
Montrer que l’ensemble { }xxfGxH =∈= )(/ est un sous groupe de ),( ∗G .
Exercice 3 : (4 points)
Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V et 2V définis par :
{ }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV et { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 3
2
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels 1V et 2V . 1,5 pts
2) Déterminer 21 VV ∩ . A-t-on 3
21 IRVV =⊕ ? 2,5 pts
Exercice 4 : (11 points) (Les parties I et II peuvent être traitées séparément)
I) Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,1,1(1 =v , ),1,1(2 av = et ),,1(3 aav = .
Discuter suivant le paramètre IRa∈ :
1) La dépendance des vecteurs 321, vetvv . 3 pts
2) Le rang du système { }321 ,, vvvS = . 2 pts
II) On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :
),,()),,((:),,( 3 mzmyxmzyxzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ , ( IRm∈ )
1) Pour 1=m , déterminer une base de )( fKer et en déduire le rang de f . 1,5 pts
2) Pour 1−=m , déterminer une base de fIm et en déduire le rang de f . 1,5 pts
3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre IRm∈ , l’application f est-elle bijective ? 3 pts
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[3]
Exercice 1
Enoncé :
On considère l’application linéaire f définie de 3IR vers
2IR par :
)..,.()),,((:),,( 3 zeyxezyexzyxfIRzyx mmm ++++=∈∀ , IRm∈
A-t-on { })0,0,0()( =fKer ?
Solution :
On suppose que { })0,0,0()( =fKer .
� Si { })0,0,0()( =fKer , alors f est injective (car une application linéaire f de E vers F est
injective ssi { }EfKer 0)( = ).
� f est injective implique que 23 dimdim IRIR ≤ ( car si une application linéaire f de E vers
F est injective alors FE dimdim ≤ ).
� Ce qui absurde car on sait que )2dim)3(dim 23 =>= IRIR
Ou bien :
)(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf
ssi )0,0,0()..,.( =++++ zeyxezyex mmm
ssi
=++=++
0..
0.
2
1
zeyxe
zyex
e
emm
m
ssi
=+−=−
−−
0)).(1(
0).1(
.
.2
2
12
21
zxe
ye
eee
eeem
m
m
m
� Si )0(0)1( 2 ≠≠− me m alors
)(),,( fKerzyx ∈ ssi
=+=
0)(
0
zx
y
ssi IRzzzzyx ∈= ),,0,(),,(
ssi )1,0,1.(),,( −= zzyx
ssi )1,0,1.(),,/()(! −=∈=∃ αα zyxIRz
D’où >−=< )1,0,1()( fKer et alors { })0,0,0()( ≠fKer
� Si )0(0)1( 2 ==− me m alors
)(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf
ssi )0,0,0(),( =++++ zyxzyx
ssi 0=++ zyx
ssi zyx −−=
ssi IRzyzyzyzyx ∈−−= ,),,,(),,(
ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,( −+−= zyzyx
ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,/()(),(! −+−=∈==∃ βαβα zyxIRzy
D’où >−−=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer et alors { })0,0,0()( ≠fKer
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[4]
Exercice 2
Enoncé :
Soit ),( ∗G un groupe et f un endomorphisme de ),( ∗G .
Montrer que l’ensemble { }xxfGxH =∈= )(/ est un sous groupe de ),( ∗G .
Solution :
Montrons que { }xxfGxH =∈= )(/ est un sous groupe de ),( ∗G .
� Ο/≠H : He∈ ( eétant l’élément neutre de ),( ∗G ) car :
� eef =)( ( f est un endomorphisme ⇒ eef =)( )
� :Hx∈∀ Hx∈' ( 'x étant le symétrique de x dans le groupe ),( ∗G ) car :
� ))'(()'( xfxf = ( f est un endomorphisme ⇒ ))'(()'( xfxf = )
� ⇒ ')'( xxf = ( xxfHx =⇒∈ )( )
� :, Hyx ∈∀ Hyx ∈+ car :
� )()()( yfxfyxf +=+ ( f est un endomorphisme)
� ⇒ yxyxf +=+ )( ( yyfetxxfHyx ==⇒∈ )()(, )
{ }xxfGxH =∈= )(/ est alors un sous groupe de ),( ∗G .
Exercice 3
Enoncé :
Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V et 2V définis par :
{ }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV et { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 3
2
Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels 1V et 2V .
Déterminer 21 VV ∩ . A-t-on 3
21 IRVV =⊕ ?
Solution :
1) Déterminons une base de { }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV et { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 3
2
a. { }0/),,( 31 =++∈= zyxIRzyxV
)1,1,0.()1,0,1.(),,/()(),(!
)1,1,0.()1,0,1.(),,(
,),,,(),,(
0:),,( 1
−+−=∈==∃⇔−+−=⇔
∈−−=⇔−−=⇔
=++∈∀
βαβα zyxIRyx
yxzyx
IRyxyxyxzyx
yxz
zyxVzyx
{ })1,1,0(),1,0,1( −− est alors une base de 1V .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[5]
Remarque : Cette base n’est pas unique. On peut en trouver d’autres :
Par exemple :
)1,0,1.()0,1,1.(),,/()(),(!
)1,0,1.()0,1,1.(),,(
,),,,(),,(
0:),,( 1
−+−=∈==∃⇔−+−=⇔
∈−−=⇔−−=⇔
=++∈∀
βαβα zyxIRzy
zyzyx
IRzyzyzyzyx
zyx
zyxVzyx
{ })1,0,1(),0,1,1( −− est alors une autre base de 1V .
b. { }zyxIRzyxV ==∈= /),,( 32
)1,1,1.(),,/()(!
)1,1,1.(),,(
),,,(),,(
:),,( 2
αα =∈=∃⇔=⇔
∈=⇔==∈∀
zyxIRx
xzyx
IRxxxxzyx
zyxVzyx
{ })1,1,1( est alors une base de 2V .
2)
a. Déterminons 21 VV ∩
)0,0,0(),,(
0
0
),,(),,(),,( 2121
=⇔===⇔
===++⇔∈∈⇔∩∈
zyx
zyx
zyxetzyx
VzyxetVzyxVVzyx
On en conclut que { })0,0,0(21 =∩VV
b. Vérifions si 3
21 IRVV =⊕ .
� ),,(),,(),,/(),,(),,(!:),,( 2221112222111133
21 zyxzyxzyxVzyxetVzyxIRzyxIRVV +=∈∈∃∈∀⇔=⊕
� Or { })1,1,0(),1,0,1( 21 −=−= uu est une base de 1V ,
� ce qui implique que : 2211111211111 ),,/(,!),,( uuzyxIRVzyx αααα +=∈∃∈∀
� et { })1,1,1(3 =u est une base de 2V ,
� ce qui implique que : 3322232222 ),,/(!),,( uzyxIRVzyx αα =∈∃∈∀
� On en déduit alors que :
33221132133
21 ...),,/(,,!:),,( uuuzyxIRIRzyxIRVV αααααα ++=∈∃∈∀⇔=⊕
3321 de base uneest ),,( IRuuu⇔
� Il suffit alors de vérifier que { }321 ,, uuu est une base de 3IR .
� { }321 ,, uuu est une base de 3IR ssi { }321 ,, uuu est un système libre
(car { } 3dim,, Ordre 3321 == IRuuu )
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[6]
� { }321 ,, uuu est un système libre ssi 0)0,0,0(... 321332211 ===⇒=++ αααααα uuu
� )0,0,0(... 332211 =++ uuu ααα )0,0,0()1,1,1.()1,1,0.()1,0,1.( 321 =+−+−⇒ ααα
� )0,0,0(),,( 3213231 =+−−++⇒ ααααααα
�
=−==−=
=++⇒
=+−−=+=+
⇒
0
0
03
0
0
0
32
31
3
2
1
321
321
32
31
3
2
1
αααα
α
ααααααα
e
e
eee
e
e
e
0321 ===⇒ ααα
� { }321 ,, uuu est alors un système libre donc une base de 3IR et
321 IRVV =⊕ .
Exercice 4
Enoncé :
I) Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,1,1(1 =v , ),1,1(2 av = et ),,1(3 aav = .
Discuter suivant le paramètre IRa∈ :
1) La dépendance des vecteurs 321, vetvv .
2) Le rang du système { }321 ,, vvvS = .
On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :
),,()),,((:),,( 3 mzmyxmzyxzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ , ( IRm∈ )
1) Pour 1=m , déterminer une base de )( fKer et en déduire le rang de f .
2) Pour 1−=m , déterminer une base de fIm et en déduire le rang de f .
3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre IRm∈ , l’application f est-elle bijective ?
Solution :
I) )1,1,1(1 =v , ),1,1(2 av = et ),,1(3 aav = .
1) Discutons la dépendance des vecteurs 321, vetvv , suivant le paramètre IRa∈ .
� { }321 ,, vvv est un système libre ssi 0)0,0,0(... 321332211 ===⇒=++ αααααα vvv
� )0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα )0,0,0(),,1.(),1,1.()1,1,1.( 321 =++⇒ aaa ααα
)0,0,0(),,( 321321321 =++++++⇒ ααααααααα aaa
=++=++=++
⇒
0
0
0
321
321
321
3
2
1
ααααααααα
aa
a
e
e
e
=−=−=++
−−⇒
0)1(
0)1(
0
2
3
321
32
21
1
ααααα
a
a
ee
ee
e
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
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[7]
� Si )1(0)1( ≠≠− aa alors
)0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα
===++
⇒
0
0
0
2
3
321
ααααα
0321 ===⇒ ααα
{ }321 ,, vvv est alors un système libre.
� Si )1(0)1( ==− aa alors
)0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα
∈∈=++
⇒
IR
IR
2
3
321 0
ααααα
0321 =++⇒ ααα
� { }321 ,, vvv est alors un système lié car ( 321 vvv == )
)0,0,0(.../)0,0,0()1,0,1(),,( 332211321 =++≠−=∃ vvv αααααα
2) Discutons le rang du système { }321 ,, vvvS = , suivant le paramètre IRa∈ : 3)(1 ≤≤ Srg
� Si )1(0)1( ≠≠− aa alors { }321 ,, vvvS = est un système libre et 3)( =Srg
� Si )1(0)1( ==− aa alors { }111 ,, vvvS = et 1)( =Srg
II) ),,()),,((:),,( 3 mzmyxmzyxzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ , ( IRm∈ )
1) Pour 1=m ),,()),,(( zyxzyxzyxzyxf ++++++=
� )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf
ssi )0,0,0(),,( =++++++ zyxzyxzyx
ssi 0=++ zyx
ssi zyx −−=
ssi IRzyzyzyzyx ∈−−= ,),,,(),,(
ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,( −+−= zyzyx
ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,/()(),(! −+−=∈==∃ βαβα zyxIRzy
� { })1,0,1(),0,1,1( −− est alors une base de )( fKer et 2)(dim =fKer
� On sait que 3dim)(dim)( IRfKerfrg =+ 1)( =⇒ frg
Remarque : 1)( VfKer = (cf. Exercice 3) et alors >−−=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer .
2) Pour 1−=m ),,()),,(( zyxzyxzyxzyxf −−−+++=
� On sait que si { }321 ,, eee est une base de 3IR alors >=< )(),(),()Im( 321 efefeff et
{ })(),(),()Im(dim 321 efefefrgf = .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[8]
� Pour déterminer une base de )Im( f , il suffit alors d’extraire du système { })(),(),( 321 efefef un
système libre d’ordre égal au { })(),(),( 321 efefefrg
� On considère la base canonique { }321 ,, eee de 3IR :
−−=−=
=
)1,1,1()(
)1,1,1()(
)1,1,1()(
3
2
1
ef
ef
ef
� On commence par déterminer le { })(),(),( 321 efefefrg : { } 3)(),(),(1 321 ≤≤ efefefrg
� { } 3)(),(),( 321 =efefefrg ssi { })(),(),( 321 efefef est un système libre
� { })(),(),( 321 efefef est un système libre ssi
0)0,0,0()(.)(.)(. 321332211 ===⇒=++ αααααα efefef
� )0,0,0()(.)(.)(. 332211 =++ efefef ααα )0,0,0()1,1,1.()1,1,1.()1,1,1.( 321 =−−+−+⇒ ααα
)0,0,0(),,( 321321321 =−−−+++⇒ ααααααααα
=−−=−+=++
⇒
0
0
0
321
321
321
3
2
1
ααααααααα
e
e
e
===++
−−⇒
02
02
0
2
3
321
32
21
1
ααααα
ee
ee
e
� )0,0,0(... 332211 =++ vvv ααα 0321 ===⇒ ααα
� { })(),(),( 321 efefef est alors un système libre et { } 3)(),(),( 321 =efefefrg
� { })(),(),( 321 efefef est alors une base de )Im( f et 3)Im(dim =f . D’où 3)Im( IRf =
Remarque : { } { }321321 ,,)(),(),( vvvefefef = , avec 1−=a
Comme )1( ≠a alors { }321 ,, vvvS = est un système libre et 3)( =Srg (cf. I- 2))
3) Déterminons les valeurs du paramètre IRm∈ pour lesquelles l’application f est bijective.
� On sait qu’une application linéaire définie d’un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F de
même dimension est bijective ssi elle injective ssi elle est surjective.
� Pour montrer que l’endomorphisme f est bijectif, il suffit alors de montrer qu’il est injectif ou
surjectif.
� f est injective ssi { })0,0,0()( =fKer .
� Pour montrer que f est injective, il suffit alors de déterminer le noyau de f suivant les valeurs
du paramètre IRm∈ .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle continu
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[9]
� )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0()),,(( =zyxf
ssi )0,0,0(),,( =++++++ mzmyxmzyxzyx
ssi
=++=++=++
0
0
0
3
2
1
mzmyx
mzyx
zyx
e
e
e
ssi
=−=−=++
−−
0)1(
0)1(
0
32
21
1
ym
zm
zyx
ee
ee
e
� Si )1(0)1( ≠≠− mm alors
)(),,( fKerzyx ∈ ssi
===++
0
0
0
y
z
zyx
ssi 0=== zyx
D’où { })0,0,0()( =fKer
� Si )1(0)1( ==− mm alors >−−=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer (cf. 1))
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اا�! �ط
CONTROLE FINAL Durée : 2h
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2004-2005
Sections : C & D
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[10]
Exercice 1 : (2 points)
Soit E l’ensemble des matrices M de )3(MMMM qui ont la forme suivante :
++
+=
bacb
ccac
bcba
M , IRcba ∈,,
1) Montrer que toute matrice M de E peut s’écrire sous la forme cKbJaIM ++= , où les matrices I ,
J et K sont à déterminer. 0,5 pt
2) En déduire que E est un sous espace vectoriel de )3(MMMM dont on donnera une base. 1 pt
3) La matrice
−−−
−
111
111
111
est-elle dans E ? 0,5 pt
Exercice 2 : (3 points)
On considère les vecteurs )1,0,0,1(1 =u , )0,1,1,0(2 =u , )0,1,1,0(3 −=u et )1,0,0,1(4 −=u .
1) Montrer que { }4321 ,,,' uuuuB = est une base de 4IR . 1 pt
2) On considère l’endomorphisme f de 4IR défini par :
),,,(),,,(:),,,( 4 xtyzzytxtzyxfIRtzyx ++−−=∈∀
a. Que représente la matrice 'BBP pour f , B étant la base canonique de 4IR ? 1pt
b. En déduire que ),/()','/( BBfMBBfM = . 1 pt
Exercice 3 : (5 points)
On considère le système linéaire
−=−+−−−=+++−=++−
3)3(32
2)1(2
122)1(
)(
mzmyx
mzymx
mzyxm
S , IRm∈
1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )(S est-il de Cramer ? 3 pts
2) Le résoudre pour 3=m . 2 pts
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[11]
Exercice 4 : (10 points)
I) On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :
),,()),,((:),,( 3 zmymxmzymxmzmyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ ( IRm∈ )
1) Discuter, selon le paramètre m , le rang de f . 3 pts
2) Pour 2/1−=m , déterminer une base de )( fKer et une base de fIm . 2 pts
II) Dans 3IR , on considère les vecteurs )2,,2(1 aaav −= , )2,2,(2 aaav −= et ),2,2(3 aaav = , IRa∈ .
1) Montrer que si 0≠a alors { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 1,5 pt
2) On prend 3/1=a
a. Calculer 2
')( BBP , B étant la base canonique de 3IR . 1 pt
b. En déduire BBP ' . 0,5 pt
III) On prend 1=m et 3/1=a .
1) Ecrire ),/( BBfM . 0,5 pt
2) Déterminer ),'/( BBfM , )',/( BBfM et )','/( BBfM . 1,5 pts
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
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CONTROLE DE RATTRAPAGE Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2004-2005
Sections : C & D
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[12]
Exercice 1 : (2 points)
Montrer que : 02
2
2
=cbcac
bcbab
caba
et 3)(
22
22
22
cba
baccc
bacbb
aacba
++=−−
−−−−
Exercice 2 : (3 points)
On considère le système linéaire
=++=+−=++−
522
122
122
)(
zyx
zyx
zyx
S
1) Ecrire le système )(S sous sa forme matricielle bXA =. 0,5 pt
2) Calculer 2A et en déduire
1−A . 1 pt
3) En déduire la solution du système )(S . 0,5 pt
4) Résoudre le système )(S par la méthode des déterminants de Cramer. 1 pt
Exercice 3 : (5 points)
Dans 4IR , on considère les sous ensembles 1V et 2V définis par :
{ }0/),,,( 41 =−=−∈= tzyxIRtzyxV et { }mzytxIRtzyxV =−=−∈= /),,,( 4
2 ,( IRm∈ )
1) Vérifier que 1V est un sous espace vectoriel de 4IR et en donner une base. 1 pt
2) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , 2V est-il un sous espace vectoriel de4IR ? 1 pt
3) Pour 0=m
a. Trouver une base de 2V . 1 pt
b. A-t-on 4
21 IRVV =⊕ ? 2 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle de rattrapage
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2004
[13]
Exercice 4 : (10 points)
1) Dans 3IR muni de sa base canonique { }321 ,, eeeB = , on considère les vecteurs :
3211' eeee ++= , 22' ee = et 33' ee =
a. Vérifier que { }321 ',','' eeeB = est une base de 3IR . 1 pt
b. Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pts
2) On considère l’endomorphisme f de 3IR défini par :
),,()),,((:),,( 3 bzaycxazcybxczbyaxzyxfIRzyx ++++++=∈∀ ( *,, IRcba ∈ )
a. Ecrire ),/( BBfM . 0,5 pt
b. Déterminer )','/( BBfM . 1 pt
3) On prend ba =
a. Calculer 'detA , )','/(' BBfMA = 0,5 pt
b. En déduire Adet , ),/( BBfMA = 0,5 pt
c. Retrouver Adet par un calcul direct du déterminant. 1 pt
4) On prend ba = et ac 2−=
a. Déterminer le rang de f . 1 pt
b. f est-il un automorphisme ? 0,5 pt
5) On prend 2/1−== ba et 1=c
a. Déterminer une base de )( fKer et une base de fIm . 2 pts
b. En déduire le rang de f . 0,5 pt
[S1, Module M4, Matière : Instruments d’analyse économique] Année académique : 2005-2006
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2005
[14]
Année académique : 2005-2006
Session : Automne-hiver
Contrôle finalContrôle finalContrôle finalContrôle final ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 15151515
Contrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapage ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 17171717
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CONTROLE FINAL Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2005-2006
Sections : A & B
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
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[15]
Exercice 1Exercice 1Exercice 1Exercice 1 : (2: (2: (2: (2 points)points)points)points) L'ensemble
+=+∈
= cbdaM
dc
baE /)2( est-il un sous espace vectoriel de )2(M ?
(Si oui, on donnera une base et la dimension de E ) Exercice 2Exercice 2Exercice 2Exercice 2 : (3 points): (3 points): (3 points): (3 points) Sur
3IR , on définit l’endomorphisme f par :
),,()),,(()(:),,( 3 zzxzyzyxfXfIRzyxX +−+−==∈=∀
1) On considère les ensembles 1V et 2V définis par :
{ }XXfIRXV =∈= )(/31 et { }XXfIRXV −=∈= )(/3
2
a. Montrer que 1V et 2V sont deux sous espaces vectoriels de 3IR . 1 pt
b. Déterminer une base de 1V et une base de 2V . 1 pt
c. A-t-on 3
21 IRVV =⊕ ? 1 pt
2) On considère dans 3IR les vecteurs :
)1,2,1( aau −−= , )1,1,2( −−= aav et )0,,( aaw = , IRa∈
a. Vérifier que IRa∈∀ : 1Vu∈ , 1Vv∈ et 2Vw∈ . 0,5 pt
b. Pour quelles valeurs du paramètre IRa∈ , { }wvu ,, est-elle une base de 3IR ? 1 pt
3) On prend 1=a
a. Vérifier que { }wvu ,, est une base de 3IR . 0,5 pt
b. Ecrire les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pt
c. En déduire les matrices ),'/( 3 BBidMIR
et )',/( 3 BBidMIR
. 0,5 pt
d. Déterminer la matrice )','/( BBfM . 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2005
[16]
Exercice Exercice Exercice Exercice 3333 : (10 points): (10 points): (10 points): (10 points) N.B. Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.
I) Dans )4(M , on considère la matrice
+=
mm
mm
m
mm
A
00
1)1(20
001
210
, IRm∈
1) Montrer que 2)1)(2(det mmmA +−= . 2,5 pts
2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre IRm∈ . 1 pt
II) On considère l’application linéaire f définie de 4IR vers
4IR par :
),)22(,,2()),,,((:),,,( 4 mtmxtmzymmyxmtzmxtzyxfIRtzyx +++++++=∈∀
1) Ecrire la matrices ),/( BBfM . 0,5 pt
2) On prend 1−=m
a. Donner une base de )Im( f et une base de )( fKer . 2 pts
b. En déduire le rang de f . 0,5 pt
III) On considère le système linéaire
−=+=+++
−=+=++
1
22
1
2
)(
mmtmx
mtmzymy
mmyx
mmtzmx
S
1) Ecrire le système )(S sous la forme matricielle bXA =. . 0,5 pt
2) On prend 1=m
a. Vérifier que le système est de Cramer. 1 pt
b. Résoudre le système )(S . 2 pts
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer)
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CONTROLE DE RATTRAPAGE Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2005-2006
Sections : A & B
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2005
[17]
Exercice 1 : (4 points)
1) L'ensemble
+=+∈
= cbdaM
dc
baE /)2(1 est-il un sous espace vectoriel de )2(M ?
(Si oui, on donnera une base et la dimension de 1E ) 2 pts
2) Même question pour
=∈
= bcadM
dc
baE /)2(2 2 pts
Exercice 2 : (16 points) N.B. Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.
I) Dans )3(M , on considère la matrice
=mm
m
m
A
1
11
11
, IRm∈
1) Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si { }1,1−∉m . 1,5 pts
2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre IRm∈ . 1,5 pts
II) On considère l’application linéaire f définie de 3IR vers
3IR par :
),,()),,((:),,( 3 mzymxzmyxmzyxzyxfIRzyx ++++++=∈∀
1) Calculer l’image de la base canonique B de 3IR par f . 0,5 pt
2) En déduire une base de )Im( f selon les valeurs du paramètre m . 2 pts
3) Déterminer le noyau de f , selon les valeurs du paramètre m . 2 pts
4) En déduire le rang de f , selon les valeurs du paramètre m . 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle de rattrapage
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2005
[18]
III) On prend 1−=m
1) Donner une base de )( fKer et une base de )Im( f . 1 pt
2) A-t-on 3)Im()( IRffKer =⊕ ? 1 pt
3) En déduire une base 'B de 3IR . 0,5 pt
4) Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pts
5) Donner les matrices ),/( BBfM et )','/( BBfM . 1 pt
IV) On considère le système linéaire
+=+++=+++=++
1
1
1
)(
mmzymx
mzmyx
mmzyx
S
1) Ecrire le système )(S sous la forme matricielle bXA =. . 0,5 pt
2) On prend 2=m
3) Vérifier que le système est de Cramer. 0,5 pt
4) Résoudre le système )(S . 1,5 pts
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer)
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Année académique : 2006-2007
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2006
[19]
Année académique : 2006-2007
Session : Automne-hiver
Contrôle finalContrôle finalContrôle finalContrôle final ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 22220000
Contrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapage ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 22222222
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CONTROLE FINAL Durée : 2h
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2006-2007
Sections : A & B
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2006
[20]
Les parties I, II, III, IV et V peuvent être traitées indépendamment.
I) Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V et 2V suivants :
{ }02,0/),,( 31 =+−=+−∈= zyxzyxIRzyxV et )1,1,1(),2,2,1(),1,1,1(2 −−−−=V
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus. 1 pt
2) A-t-on 3
21 IRVV =⊕ ? 2 pts
II) Dans )3(M , on donne la matrice
=001
011
111
M
1) Montrer que la matrice M est inversible. 0,5 pt
2) Calculer sa matrice inverse 1−M . 1 pt
3) Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,1,1(1 =v , )0,1,1(2 =v et )0,0,1(3 =v .
a. Que représente la matrice M pour le système { }321 ,, vvv ? 0,5 pt
b. En déduire que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 0,5 pt
c. Déduire des questions précédentes les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base
canonique de 3IR . 0,5 pt
III) Dans )3(M , on donne la matrice
−−−+−=mm
mmmC
102
1122
102
, IRm∈
1) Montrer que la matrice C est inversible si et seulement si { }1,0−∉m . 1 pt
2) Discuter le rang de la matrice C selon les valeurs du paramètre m . 2 pts
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2006
[21]
IV) On considère le système linéaire
+=+−=−+++=++
12
0)1(
)1(
)(
mzyx
zmymx
mmzmyx
S
1) Pour quelle(s) du paramètre m , le système )(S est-il de Cramer? 1,5 pts
2) On prend 1=m
a. Vérifier que le système )(S est de Cramer. 0,5 pt
b. Résoudre le système )(S . 1,5 pt
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer)
3) On prend 1−=m .
a. Quel est le rang du système )(S ? 0,5 pt
b. Résoudre le système )(S . 1 pt
V) Dans )3(M , on considère la matrice
−−−+−=mm
mmmC
102
1122
102
, IRm∈
� Soit f l'endomorphisme dont la matrice relativement à la base { }321 ,,' vvvB = est égale à C :
)','/( BBfMC = . ( 'B est la base du II)3)b. : )1,1,1(1 =v , )0,1,1(2 =v et )0,0,1(3 =v ).
1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f . 1 pt
(Sans écrire l'expression analytique de f ).
2) Donner les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR . 1 pt
3) En déduire que
−−==
211
11
11
),/( mm
m
ABBfM , 1 pt
( A est la matrice du système )(S du IV).
4) Déterminer le rang de la matrice A suivant le paramètre m . 1 pt
5) Pour 1−=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f . 2 pts
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CONTROLE DE RATTRAPAGE Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2006-2007
Sections : A & B
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2006
[22]
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.
I) Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :
{ }0332,02,022/),,( 31 =−−−=++=++−∈= zyxzyxzyxIRzyxV ,
)3,1,2(),2,2,1(2 −−−=V et )1,1,3(3 −=V
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus. 1,5 pts
2) A-t-on
a. 331 IRVV =⊕ ? 1 pt
b. 3
32 IRVV =⊕ (On peut remarquer que 323 VVV =∩ )? 1,5pt
c. 321 IRVV =⊕ ? 2 pts
II) Sur 3IR , on définit l’endomorphisme f par :
( )zmyxzymxzyxmzyxfIRzyx )3(32,)1(2,22)1()),,((:),,( 3 −+−−+++++−=∈∀
1) Dans3IR , on considère les vecteurs )1,1,0(1 −=v , )2,2,1(2 −=v et )1,3,4(3 −=v .
a. Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 0,5 pt
b. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfMC = . 2 pts
c. Discuter le rang de la matrice C selon les valeurs du paramètre m . 1 pt
d. En déduire le rang de f , suivant le paramètre m . 0,5 pt
2) Pour 0=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f . 2 pts
III) Dans )3(M , on donne la matrice
−−−+
−=
332
112
221
m
m
m
A , IRm∈
1) Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si { }2,1,0∉m . 1,5 pt
2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre m . 2 pts
3) Comparer )(Arg et )(Crg , pour IRm∈ ?, avec )','/( BBfMC = (voir II)2)c.). 0,5 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2006
[23]
IV) On considère le système linéaire
=−+−−−=+++
=++−
bzmyx
bzymx
bzyxm
S
)3(32
)1(2
22)1(
)(
1) On prend 1−=m et 2=b .
a. Vérifier que le système )(S est de Cramer. 0,5 pt
b. Résoudre le système )(S . 1,5 pt
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer)
2) On prend 0=b .
a. Pour quelle(s) du paramètre m , le système )(S est-il de Cramer? 0,5 pt
b. On prend 0=m .
i. Quel est le rang du système )(S . 0,5 pt
ii. Résoudre le système )(S . 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Année académique : 2007-2008
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
[24]
Année académique : 2007-2008
Session : Automne-hiver
Contrôle finalContrôle finalContrôle finalContrôle final ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 25252525
Contrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapage ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 35353535
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
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CONTROLE FINAL Durée : 2h
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2007-2008
Sections : A & B
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Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
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[25]
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.
Partie I (3 points)
♦ Dans )3(M , on donne la matrice
−−−
−−=
m
m
m
Am
111
111
111
, IRm∈
1) Calculer le rang des matrices 2A ( 2=m ) et 1−A ( 1−=m ). 2 pts
2) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m . 1 pt
Partie II (6 points)
♦ On considère le système linéaire
−=−++−−=+−+−=−+−
)2()1(
)2()1(
)2()1(
)(
mmzmyx
mmzymx
mmzyxm
Sm
1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ? 1,5 pt
2) Résoudre le système )( mS pour :
a. 0=m 1,5 pt
b. 1=m 1,5 pt
c. 1−=m 1,5 pt
(Utiliser uniquement la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la
résolution de tout système de Cramer)
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
[26]
Partie III (3 points)
♦ Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :
( ){ }02et 02,02/,, 31 =++−=++=−+∈= zyxzyxzyxIRzyxV
( ){ }02,02/,, 32 =++=−+∈= zyxzyxIRzyxV et ( ){ }02/,, 3
3 =−+∈= zyxIRzyxV
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus. 1,5 pts
2) A-t-on 3
21 IRVV =⊕ ? 3
31 IRVV =⊕ ? 1,5 pts
Partie IV (8 points)
♦ Soit f l'endomorphisme de 3IR dont la matrice relativement à la base canonique B de
3IR est donnée
par :
−−−
−−==
m
m
m
ABBfM m
111
111
111
),/(
1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f . 1,5 pts
2) Pour 1−=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f . 2 pts
3) Dans 3IR , on donne les vecteurs )1,1,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v et )1,1,0(3 =v .
a. Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR . 0,5 pt
b. Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' . 1,5 pt
4) On prend 0=m .
a. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfM . 1,5 pts
b. Retrouver )','/( BBfM par la formule de changement de base. 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
[27]
Partie 1
Enoncé :
Dans )3(M , on donne la matrice
−−−
−−=
m
m
m
Am
111
111
111
, IRm∈
1) Calculer le rang des matrices 2A ( 2=m ) et 1−A ( 1−=m ).
2) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m .
Solution :
1) Calcul du rang de mA pour
a. 1−=m :
−
−=−
211
121
112
1A , 3)(1 1 ≤≤ −Arg
La méthode "matricielle":
� 3)( 1 =−Arg ssi la matrice 1−A est inversible. On calcule alors son déterminant :
� 0
211
121
112
det 1 =−
−=−A puisque 312 LLL += ou 312 CCC +=
� Donc 3)( 1 <−Arg
� On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 1−A :
� La matrice
21
12 est une matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la
matrice 1−A ( )0(321
12det ≠=
).
� Donc 2)( 1 =−Arg .
b. 2=m :
−−−
−−=
111
111
111
2A , 3)(1 2 ≤≤ Arg
La méthode "vectorielle":
� On considère le système S formé de vecteurs lignes de la matrice 2A : )()( 2 SrgArg =
� { }wvuS ,,= , avec )1,1,1( −−=u , )1,1,1( −=v et )1,1,1( −−=w .
� 3)( =Srg ssi le système S est libre :
� Puisque )1,1,1( −−== wu alors le système { }wvuS ,,= n’est pas libre
� Donc 2)(1 ≤≤ Srg .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
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[28]
� On cherche parmi les vecteurs du système S , 2 vecteurs linéairement indépendants :
� Les systèmes d’ordre 2 extraits du système S sont : { }vu, , { }wu, et { }wv, :
� vu −= alors le système { }vu, n’est pas libre
� wu = alors le système { }wu, n’est pas libre
� vw −= alors le système { }wv, n’est pas libre
� Donc 1)( =Srg
� Donc 1)( 2 =Arg .
2) La matrice mA est inversible ssi 0
111
111
111
det ≠−−
−−−
=m
m
m
Am :
� Calcul du mAdet :
�
110
111
111
)2(
220
111
111
111
111
111
233 m
m
m
mm
m
m
LLL
m
m
m
−−−
−=−−
−−−
+→−−
−−−
� Or m
mLm
m
CCCm
m
−−
−−−
−→−−−
1
21suivant
100
11
121
110
111
111
3322
� Et 22)1(1
21 2 −−=−−=−
−mmmm
m
m:
=−=
⇒
+=
−=⇒=∆
2
1
291
291
92
1
2
1
m
m
m
mm
� Donc 2)2)(1(det −+−= mmAm
� )2(ou )1(0det =−=⇔= mmAm
� Donc La matrice mA est alors inversible ssi )2(et )1( ≠−≠ mm
Partie 2
Enoncé :
On considère le système linéaire
−=−++−−=+−+−=−+−
)2()1(
)2()1(
)2()1(
)(
mmzmyx
mmzymx
mmzyxm
Sm
1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ?
2) Résoudre le système )( mS pour :
a. 0=m
b. 1=m
c. 1−=m
(Utiliser uniquement la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de
Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
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[29]
Solution :
1) Les valeurs du paramètre mpour lesquelles le système )( mS est de Cramer :
� Le système )( mS s’écrit sous la forme matricielle suivante bXAm =. , avec
−−−
−−=
m
m
m
Am
111
111
111
,
=z
y
x
X et
−−−
=)2(
)2(
)2(
mm
mm
mm
bm
� La matrice du système )( mS est égale à la matrice
−−−
−−=
m
m
m
Am
111
111
111
� Le système )( mS est de Cramer ssi sa matrice mA est inversible.
� mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m (d’après I)
� Donc Le système )( mS est de Cramer ssi { }1,2−∉m .
2) Résolutions du système )( mS pour 0=m , 1=m et 2=m :
a. 0=m :
=++−=++=−+
0
0
0
)( 0
zyx
zyx
zyx
S
� Le système )( 0S est de Cramer car { }1,20 −∉ .
� )( 0S est un système de Cramer homogène.
� )0,0,0( est alors l’unique solution du système )( 0S .
b. 1=m :
=+−=+=−
1
1
1
)( 1
yx
zx
zy
S
� Le système )( 1S est de Cramer car { }1,21 −∉ .
� Résolution du système )( 1S par la méthode des déterminants de Cramer :
�
=1
1
1
1b et
−
−=
011
101
110
1A : 2det 1 −==∆ A car 2)2)(1(det −+−= mmAm
� 1
011
101
111
−=−
=∆x , 3
011
111
110
−=−
−=∆ y et 1
111
101
110
−=−
=∆z
� )21
,23
,21
( est alors l’unique solution du système )( 1S
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
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[30]
c. 1−=m :
−=++−−=++−=−+
−
32
32
32
)( 1
zyx
zyx
zyx
S
� ),,( zyx est alors solution du système )( 1−S ssi
=−+−=++−=−+
− 02
32
32
)3()2(
)2((
)1(
zyx
zyx
zyx
.
� D’où l’impossibilité de résoudre le système )( 1−S : 32 −=−+ zyx et 02 =−+ zyx
� La solution du système )( 1−S est alors égal à φ .
Partie 3
Enoncé :
Dans 3IR , on considère les sous espaces vectoriels 1V , 2V et 3V suivants :
( ){ }02et 02,02/,, 31 =++−=++=−+∈= zyxzyxzyxIRzyxV
( ){ }02,02/,, 32 =++=−+∈= zyxzyxIRzyxV et ( ){ }02/,, 3
3 =−+∈= zyxIRzyxV
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus.
2) A-t-on 3
21 IRVV =⊕ ? 331 IRVV =⊕ ?
Solution :
1) Cherchons une base de chacun des sous espaces vectoriels.
� ( ){ }0202,02/,, 31 =++−=++=−+∈= zyxetzyxzyxIRzyxV
� 1),,( VzyxX ∈= ssi
=++−=++=−+
02
02
02
)3(
)2(
)1(
zyx
zyx
zyx
ssi
=++−=−=+
−+
02
033
033
)3(
)3()1(
)2()1(
zyx
zx
yx
ssi
∈=
−=
IRx
xz
xy
� Donc 1),,( VzyxX ∈= ssi )1,1,1(),,(),,( −=−= xxxxzyx , IRx∈ .
� { })1,1,1( − est alors une base de 1V , 1dim 1 =V et >−=< )1,1,1(1V .
� ( ){ }02,02/,, 32 =++=−+∈= zyxzyxIRzyxV
� 2),,( VzyxX ∈= ssi ),,( zyx est solution du système linéaire
=++=−+
02
02
zyx
zyx
� ),,( zyx est solution du système linéaire
=++=−+
02
02
zyx
zyx ssi ),,( zyx est solution du
système linéaire
=++−=++=−+
02
02
02
zyx
zyx
zyx
car ( ) ( )zyxzyxzyx −+−++=++− 222
� Donc 12 VV =
� { })1,1,1( − est alors une base de 2V , 1dim 2 =V et >−=< )1,1,1(2V .
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[31]
� ( ){ }02/,, 33 =−+∈= zyxIRzyxV
� 2),,( VzyxX ∈= ssi 02 =−+ zyx ssi yxz += 2 , ( )IRyx ∈,
� 2),,( VzyxX ∈= ssi )1,1,0.()2,0,1.()2,,(),,( yxyxyxzyx +=+= , ( )IRyx ∈,
� { })1,1,0(),2,0,1( est alors une base de 3V , 2dim 3 =V et >=< )1,1,0(),2,0,1(3V .
2)
� 321 IRVV =⊕ ?
� >−=<= )1,1,1(12 VV et 1dimdim 22 == VV
� 321 IRVV ≠⊕ car
321 dimdimdim IRVV ≠+ ou bien { })0,0,0(2121 ≠==∩ VVVV
� 331 IRVV =⊕ ?
� 31 VV ⊆ car 31 ),,(02
02
02
02
),,( Vzyxzyx
zyx
zyx
zyx
Vzyx ∈⇒=−+⇒
=++−=++=−+
⇒∈
� Donc 131 VVV =∩
� Donc 3
21 IRVV ≠⊕ car { })0,0,0(31 ≠∩VV même si 331 dimdimdim IRVV =+
Partie 4
Enoncé :
Soit f l'endomorphisme de 3IR dont la matrice relativement à la base canonique B de
3IR est
donnée par :
−−−
−−==
m
m
m
ABBfM m
111
111
111
),/(
1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f .
2) Pour 1−=m , donner une base de )Im( f et une base de )ker(f .
3) Dans 3IR , on donne les vecteurs )1,1,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v et )1,1,0(3 =v .
4) Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR .
5) Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' .
6) On prend 0=m .
a. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfM .
b. Retrouver )','/( BBfM par la formule de changement de base.
Solution :
♦ Soit f l'endomorphisme de 3IR dont la matrice relativement à la base canonique B de
3IR est
donnée par :
−−−
−−==
m
m
m
ABBfM m
111
111
111
),/(
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
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[32]
1) Le rang de f , suivant le paramètre m :
� mABBfM =),/( , donc )()( mArgfrg = .
� Or, (d’après I)
� la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,2−∉m , donc 3)( =mArg si { }1,2−∉m
� 2)( 1 =−Arg et 1)( 2 =Arg
� Donc
� Si { }1,2−∉m alors 3)( =frg
� Si 1−=m alors 2)( =frg
� Si 2=m alors 1)( =frg
2) 1−=m :
−
−== −
211
121
112
),/( 1ABBfM et )2,2,2(),,( zyxzyxzyxzyxf ++−++−+=
� Déterminons une base de )Im( f :
� )(),(),()Im( 321 efefeff = , { }321 ,, eeeB = étant la base canonique de 3IR .
�
−====
−==
)2,1,1()(
)1,2,1()(
)1,1,2()(
33
22
11
efu
efu
efu
: >=< 321 ,,Im uuuf
� On pose { }321 ,, uuuS = : )dim(Im)( fSrg =
� Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
� 3)( <Srg car le système { }321 ,, uuuS = n’est pas libre : 321 uuu −=
� { }21,uu est libre, donc 2)( =Srg
� ou bien 2)()( 1 == −ArgSrg (d’après I) , donc 2)( =Srg
� { })1,2,1(),1,1,2( − est alors une base de fIm : 2)dim(Im =f
� Déterminons une base de )( fKer : { })0,0,0(),,(/),,()( 3 =∈= zyxfIRzyxfKer
� ( ){ }0202,02/,,)( 3 =++−=++=−+∈= zyxetzyxzyxIRzyxfKer
� Donc 1)( VfKer =
� { })1,1,1( − est alors une base de )ker(f , 1)(dim =fKer et >−=< )1,1,1()ker(f .
3) Dans 3IR , on donne les vecteurs )1,1,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v et )1,1,0(3 =v .
a. Vérifier que { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR .
� { }321 ,,' vvvB = est une base de 3IR ssi )/'( BBM est inversible
�
−=101
111
011
)/'( BBM : 312
11suivant
101
012
011
101
111
011
3322 =−
−−→− LLLL
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
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[33]
� Donc { }321 ,,' vvvB = est une base de
3IR .
b. Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' .
� )/'(' BBMPBB = , donc
−=101
111
011
'BBP
� ( ) 1''
−= BBBB PP . Calculons ( ) 1'
−BBP :
� 3det ' =BBP
�
−−
−=
−+
−−+
−+−
−+
−−+
=211
111
121
11
11
11
01
11
01
01
11
11
01
10
01
01
11
11
11
10
11
)( 'BBPC
�
−−
−=
211
112
111
)( 'BBt PC
� ( ) ( )
−−
−=⇒= −−
211
112
111
.31
)(det
1 1''
'
1' BBBB
t
BBBB PPC
PP
� Donc
−
−
−
=
32
31
31
31
31
32
31
31
31
'BBP
4) On prend 0=m :
−
−==
111
111
111
),/( 0ABBfM
a. Déterminer par un calcul direct )','/( BBfM .
� )1,1,1(1 −=v , )0,1,1(2 =v et )1,1,0(3 =v
� ⇒
====
−=−−=⇒
===
33
22
11
33
22
11
.2)2,2,0()(
.2)0,2,2()(
)1,1,1()(
).,/()(
).,/()(
).,/()(
vvf
vvf
vvf
vBBfMvf
vBBfMvf
vBBfMvf
−=
200
020
001
)','/( BBfM
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle final
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[34]
b. Retrouver )','/( BBfM par la formule de changement de base.
� .).,/(.)','/( '' BBBB PBBfMPBBfM =
�
−
−=
111
111
111
),/( BBfM ,
−=101
111
011
'BBP ,
−
−
−
=
3
2
3
1
3
131
31
32
31
31
31
'BBP
� Donc
−=
200
020
001
)','/( BBfM
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
� ا����� � ���� اآ�ال – ����� آ��� ا����م ا�������� وا�����د�� وا�
اا�! �ط
CONTROLE DE RATTRAPAGE Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2007-2008
Sections : A & B
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
[35]
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.
Partie I (4 points)
♦ Dans )3(M , on donne la matrice
−=
mm
mm
mm
Am
1
1
1
, IRm∈
1) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,0,1−∉m . 2 pts
2) Discuter le rang de la matrice mA selon les valeurs du paramètre m . 2 pts
Partie II (4 points)
♦ Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,,1(1 mv = , ),1,(2 mmv = et ),,(3 mmmv −= , IRm∈ .
1) Pour quelles valeurs du paramètre m , { }321 ,, vvv est-elle une base de 3IR ? 1 pt
2) Discuter le rang du système { }321 ,, vvv suivant le paramètre m . 1,5 pts
3) On prend 2=m . ( { }321 ,,' vvvB = est alors une base de 3IR ).
Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR . 1,5 pts
Partie III (8 points)
♦ Soit mf l'endomorphisme de 3IR défini par : ),,()),,(( mzmyxmzymxmzmyxzyxfm ++++−+=
1) Déterminer, suivant le paramètre m , une base de )Im( mf . 1,5 pt
2) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de mf . 1 pt
3) On prend 2=m .
a. Vérifier que { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR . 0,5 pt
b. Donner les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR . 1 pt
c. En déduire que ),/()','/( 22 BBfMBBfM = . 1 pt
4) On prend 1−=m .
a. Donner une base de )Im( 1−f et une base de )ker( 1−f . 2 pts
b. Vérifier que 3
11 )ker()Im( IRff =⊕ −− . 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle de rattrapage
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[36]
Partie IV (4 points)
♦ On considère le système linéaire
+=+++=+++=−+
1
1
1
)(
mmzmyx
mmzymx
mmzmyx
Sm
1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ? 1 pt
2) Résoudre le système )( mS pour :
a. 2=m 1,5 pt
b. 1−=m 1,5 pt (Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle de rattrapage
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[37]
Partie 1
Enoncé :
Dans )3(M , on donne la matrice
−=
mm
mm
mm
Am
1
1
1
, IRm∈
1) Montrer que la matrice mA est inversible si et seulement si { }1,0,1−∉m .
2) Discuter le rang de la matrice mA selon les valeurs du paramètre m .
Solution :
1) La matrice mA est inversible ssi 0
1
1
1
det ≠−
=mm
mm
mm
Am :
� Calcul de
mm
mm
mm
1
1
1 − :
11
11
11
.
1
1
1
m
m
m
m
mm
mm
mm −=
−
o or
01
011
11
)1(2
022
011
11
,
11
11
11
133122
m
m
m
m
mm
m
LLLLLL
m
m
m −+=++
−+→+→
−
o et mm
C
m
m
−=−−
11
11).1(suivant
01
011
11
3
o Donc )1)(1(2
1
1
1
mmm
mm
mm
mm
−+=−
� Solution de l’équation 0
111
111
111
=−−
−−−
m
m
m
:
o )1(ou )0(ou )1(0
1
1
1
==−=⇔=−
mmm
mm
mm
mm
� La matrice mA est alors inversible ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle de rattrapage
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[38]
2) le rang de la matrice mA selon les valeurs du paramètre IRm∈ : 3)(1 ≤≤ mArg
� 3)( =mArg ssi la matrice mA est inversible.
� Donc 3)( =mArg ssi 0≠m , 1≠m et 1−≠m
� Pour 1−=m :
−−−−
−=−
111
111
111
1A , 3)(1 1 ≤≤ −Arg
o 3)( 1 =−Arg ssi la matrice 1−A est inversible.
o Donc 3)( 1 <−Arg car 0det 1 =−A .
o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 1−A :
�
−11
11 est une matrice inversible de )2(M extraite de 1−A : 2
11
11det −=
−
o Donc 2)( 1 =−Arg .
� Pour 0=m :
=001
010
001
0A , 3)(1 0 ≤≤ Arg
o 3)( 0 =Arg ssi la matrice 0A est inversible.
o Donc 3)( 0 <Arg car 0det 0 =A .
o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 0A :
�
10
01 est une matrice inversible de )2(M extraite de 0A : 1
10
01det =
o Donc 2)( 0 =Arg .
� Pour 1=m :
−=
111
111
111
1A , 3)(1 1 ≤≤ Arg
o 3)( 1 =Arg ssi la matrice 1A est inversible.
o Donc 3)( 1 <Arg car 0det 1 =A .
o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice 1A :
�
−11
11 est une matrice inversible de )2(M extraite de 1A : 2
11
11det =
−
o Donc 2)( 1 =Arg .
� Résumé :
o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)( =mArg
o Si 0=m ou 1=m ou 1−=m alors 2)( =mArg
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle de rattrapage
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[39]
Partie 2
Enoncé :
Dans 3IR , on considère les vecteurs )1,,1(1 mv = , ),1,(2 mmv = et ),,(3 mmmv −= , IRm∈ .
1) Pour quelles valeurs du paramètre m , { }321 ,, vvv est-elle une base de 3IR ?
2) Discuter le rang du système { }321 ,, vvv suivant le paramètre m .
3) On prend 2=m . ( { }321 ,,' vvvB = est alors une base de 3IR ).
4) Déterminer les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR .
Solution :
� { }321 ,, vvvS = , avec )1,,1(1 mv = , ),1,(2 mmv = et ),,(3 mmmv −=
1) Cherchons les valeurs de IRm∈ pour lesquelles { }321 ,, vvv est une base de 3IR .
� { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR si et seulement si BSM /)( est inversible, B étant la base
canonique de 3IR :
� mABSM =/)(
� Donc { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR si et seulement si mA est inversible.
� Or la matrice mA est inversible ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm (D’après I)
� Donc le système { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm
2) Discutons )(Srg suivant les valeurs du paramètre IRm∈ : 3)(1 ≤≤ Srg
� ( ))/()( BSMrgSrg = : mABSM =/)(
� Donc )()( mArgSrg =
� Or : (D’après I)
o 3)( =mArg si 0≠m , 1≠m et 1−≠m
o 2)( =mArg si 0=m ou 1=m ou 1−=m
� Donc
o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)( =Srg
o Si 0=m ou 1=m ou 1−=m alors 2)( =Srg
3) On prend 2=m : )1,2,1(1 =v , )2,1,2(2 =v et )2,2,2(3 −=v
� )/'(' BBMPBB = , donc
−=
221
212
221
'BBP
� 2' APBB = , donc ( ) ( ) 12
1''
−− == APP BBBB .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle de rattrapage
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[40]
� Calculons ( ) 1'
−BBP :
o 12)21)(21(22detdet 2' −=−+×== APBB
o
−−−
−−=
+−
−−
+
−−
+−
−
+−+
=366
048
322
12
21
22
21
21
22
21
21
21
21
22
22
21
12
21
22
22
21
)( 'BBPC
o
−−−
−−=
303
642
682
)( 'BBt PC : ( ) ( )
−−−
−−−=⇒= −−
303
642
682
.121
)(det
1 1''
'
1' BBBB
t
BBBB PPC
PP
o Donc
−
−
−
=
41
041
21
31
61
21
32
61
'BBP
Partie 3
Enoncé :
Soit mf l'endomorphisme de 3IR défini par :
),,()),,(( mzmyxmzymxmzmyxzyxfm ++++−+=
1) Déterminer, suivant le paramètre m , une base de )Im( mf .
2) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de mf .
3) On prend 2=m .
a. Vérifier que { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR .
b. Donner les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR .
c. En déduire que ),/()','/( 22 BBfMBBfM = .
4) On prend 1−=m .
a. Donner une base de )Im( 1−f et une base de )ker( 1−f .
b. Vérifier que 3
11 )ker()Im( IRff =⊕ −− .
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[41]
Solution : ),,()),,(( mzmyxmzymxmzmyxzyxfm ++++−+=
1) Une base de )Im( mf , suivant le paramètre m :
� )(),(),()Im( 321 efefeff mmmm = , { }321 ,, eeeB = étant la base canonique de 3IR .
� { })(),(),())dim(Im( 321 efefefrgf mmmm =
�
=−===
==
33
22
11
),,()(
),1,()(
)1,,1()(
vmmmef
vmmef
vmef
m
m
m
Donc : )())dim(Im( Srgfm = , avec { }321 ,, vvvS =
� Or : (D’après II) o 3)( =Srg si 0≠m , 1≠m et 1−≠m
o 2)( =Srg si 0=m ou 1=m ou 1−=m
� Donc
o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)dim(Im =mf et 3Im IRfm =
o Si 0=m alors 2)dim(Im 0 =f : )1,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )0,0,0(3 −=v
� { }21,vv est une base de )Im( 0f .
o Si 1=m alors 2)dim(Im 1 =f : )1,1,1(1 =v , )1,1,1(2 =v et )1,1,1(3 −=v
� { }31,vv est une base de )Im( 1f .
o Si 1−=m alors 2)dim(Im 1 =−f : )1,1,1(1 −=v , )1,1,1(2 −−=v et )1,1,1(3 −−=v
� { }31,vv est une base de )Im( 1−f .
2) Le rang de f , suivant le paramètre m :
� mm ffrg Im)( =
� Donc :
o Si 0≠m , 1≠m et 1−≠m alors 3)( =mfrg
o Si 0=m ou 1=m ou 1−=m alors 2)( =mfrg
3) 2=m :
a. { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR .
� { }321 ,,' vvvB = , avec 2=m
� Or le système { }321 ,, vvvS = est une base de 3IR ssi )1(et )0( ),1( ≠≠−≠ mmm
� Donc { })2,2,2(),2,1,2(),1,2,1(' −=B est une base de 3IR .
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[42]
b. Les matrices de passage 'BBP et BBP ' , B étant la base canonique de 3IR .
� )/'(' BBMPBB = , donc
−=
221
212
221
'BBP
� Donc, (D’après II) :
−
−
−
=
41
041
21
31
61
21
32
61
'BBP
c. ),/()','/( 22 BBfMBBfM = ?
� '2'2 ).,/(.)','/( BBBB PBBfMPBBfM = :
� Or 2' APBB = et 22 ),/( ABBfM = car mm A
mm
mm
mm
BBfM =
−=
1
1
1
),/(
� Donc ),/()','/( 22 BBfMBBfM = car ( ) mmmmBBBB AAAAPBBfMP == − ..).,/(. 1'2'
4) 1−=m : ),,()),,((1 zyxzyxzyxzyxf −−−+−+−=−
a. Une base de )Im( 1−f et une base de )ker( 1−f .
� Une base de )Im( 1−f :
o { })1,1,1(),1,1,1( −−− est une base de )Im( 1−f . (D’après 1) )
� )ker( 1−f :
o { })0,0,0(),,(/),,()( 13
1 =∈= −− zyxfIRzyxfKer
o )(),,( 1−∈ fKerzyx ssi )0,0,0(),,( =−−−+−+− zyxzyxzyx
o )(),,( 1−∈ fKerzyx ssi
=−−=−+−
=+−
0
0
0
zyx
zyx
zyx
ssi
=−−=+−
0
0
zyx
zyx
� or
=−−=+−
0
0
)2(
)1(
zyx
zyx ssi
∈==
−+
IRxz
xy,
0)2()1(
)2()1(
o Donc )(),,( 1−∈ fKerzyx ssi )0,1,1.()0,,(),,( xxxzyx == , IRx∈
o Donc )0,1,1()( 1 =−fKer , 1)(dim 1 =−fKer
o { })0,1,1( est alors une base de )ker( 1−f .
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[43]
b. 311 )ker()Im( IRff =⊕ −− .
� Pour vérifier que 3
11 )ker()Im( IRff =⊕ −− , il suffit de vérifier que la réunion d’une base de
)ker( 1−f et une base de )Im( 1−f , est une base de 3IR :
� { })0,1,1( est alors une base de )ker( 1−f
� { })1,1,1(),1,1,1( −−− est une base de )Im( 1−f
� Vérifions que { })0,1,1(),1,1,1(),1,1,1( −−−=S est une base de 3IR :
o
−−−=
011
111
111
)/( BSM : S est une base de 3IR si et seulement si ( ) 0)/(det ≠BSM
o Calcul du ( ))/(det BSM :
� 411
22suivant
011
022
111
011
111
111
3122 =−−−
−−−−→
−−− CLLL
o { })0,1,1(),1,1,1(),1,1,1( −−−=S est alors une base de 3IR .
� Donc 3
11 )ker()Im( IRff =⊕ −−
Partie 4
Enoncé :
On considère le système linéaire
+=+++=+++=−+
1
1
1
)(
mmzmyx
mmzymx
mmzmyx
Sm
1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système )( mS est-il de Cramer ?
2) Résoudre le système )( mS pour :
a. 2=m
b. 1−=m
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)
Solution :
1) Les valeurs du paramètre mpour lesquelles le système )( mS est de Cramer :
� Le système )( mS s’écrit sous la forme matricielle suivante bXAm =. , avec
−=
mm
mm
mm
Am
1
1
1
,
=z
y
x
X et
+++
=1
1
)1
m
m
m
bm
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[44]
� La matrice du système )( mS est égale à la matrice
−=
mm
mm
mm
Am
1
1
1
� Le système )( mS est de Cramer ssi sa matrice mA est inversible.
� mA est inversible si et seulement si { }1,0,1−∉m : )1)(1(2det mmmAm −+= (d’après I)
� Donc Le système )( mS est de Cramer ssi { }1,0,1−∉m .
2) Résolutions du système )( mS pour 2=m et 1−=m :
� 2=m :
=++=++=−+
322
322
322
)( 2
zyx
zyx
zyx
S
o Le système )( 2S est de Cramer car { }1,0,12 −∉ .
o Résolution du système )( 2S par la méthode des déterminants de Cramer :
=3
3
3
2b et
−=
221
212
221
2A
� 12det 2 −==∆ A car )1)(1(2det mmmAm −+=
� 12
223
213
223
−=−
=∆x , 12
231
232
231
−=−
=∆ y et 0
321
312
321
==∆ z
o )0,1,1( est alors l’unique solution du système )( 2S
� 1−=m :
=−−=−+−
=+−
−
0
0
0
)( 1
zyx
zyx
zyx
S
o ),,( zyx est alors solution de )( 1−S ssi )(),,( 1−∈ fKerzyx , (d’après III-4)
o Or )0,1,1()( 1 =−fKer , (d’après III-4)
o Donc La solution du système )( 1−S est égal au sous espace vectoriel >< )0,1,1(
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Année académique : 2009-2010
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2009
[45]
Année académique : 2009-2010
Session : Automne-hiver
Contrôle finalContrôle finalContrôle finalContrôle final ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 44446666
Contrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapageContrôle de rattrapage ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 55553333
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
� ا����� � ���� اآ�ال – ���آ��� ا����م ا�������� وا�����د�� �� وا�
اا�! �ط
CONTROLE FINAL Durée : 2h
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2009-2010
Sections : A, B & C
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
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[46]
Les cinq parties peuvent être traitées indépendamment
1) On munit �� de sa base canonique �� � ���, ��, ���.
Partie 1 : (3 points) 2) On considère les trois sous espaces vectoriels de �� : �� � (1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�#, �� � �1, !1,1�; �!1,1, !1�#
�� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0 �
1) Déterminer une base du sous espace vectoriel �� . Comparer �� et ��. 1.5 pt 2) Déterminer une base de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��. Comparer �� et ��. 1.5 pt
Partie 2 : (3 points)
3) On considère la matrice )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , - , , ' �.
1) Montrer que la matrice ) est non inversible ssi , � !1 ou , � 2. 1.5 pt 2) Discuter le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre ,. 1.5 pt
Partie 3 : (3 points) 4) On considère les vecteurs de ��: .� � �,, 1, !1� , .� � �1, ,, 1� et .� � �!1,1, ,�, , ' �.
1) Que représente la matrice )* pour le système / � �.�, .�, .�� ? 1 pt 2) Discuter le rang du système / selon les valeurs du paramètre ,. 2 pts
Partie 4 : (4 points)
5) On considère le système linéaire : /* 0,$ ( % ! & � , ! 1$ ( ,% ( & � , ! 1!$ ( % ( ,& � 1 ! ,1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ? 1 pt 2) Pour , � 1, résoudre �/��. 1 pt 3) Pour , � 0, résoudre �/2�. 2 pts
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Contrôle final
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[47]
Partie 5 : (7 points) 6) On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4($, %, &) ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ! &, $ ( ,% ( &, !$ ( % ( ,&�
1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ���, �� étant la base canonique de ��. 0.5 pt 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il surjectif ? 1 pt 3) Pour , � 2, déterminer une base de >�?�3�� et en déduire ?@�3��. 1.5 pt
4) Pour , � 1, déterminer une base de A,�3�� et en déduire >�?�3��. 1.5 pt 5) Vérifier que � � ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est une base de ��. 0.5 pt 6) Pour , � 0, déterminer la matrice 5�3B/ �, �� par un calcul direct. 1 pt 7) Retrouver 5�3B/ �, �� en utilisant la formule de changement de bases. 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôl final
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[48]
Partie 1
Enoncé :
� On considère les trois sous espaces vectoriels de �� :
1) �� � (1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�#, �� � �1, !1,1�; �!1,1, !1�#
2) �� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0 �
3) Déterminer une base du sous espace vectoriel �� . Comparer �� et ��.
4) Déterminer une base de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��. Comparer �� et ��.
Solution :
1) �� � �1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�# :
� dim �� � ?@�/� , avec / � ��1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1��.
� On vérifie que le système ��1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�� est libre.
� Donc dim �� � ?@�/� � 3 et ��1,1, !1�; �1,1,1�; �!1,1,1�� est alors une base de ��.
� �� est alors un sous espace vectoriel de ��, de même dimension.
� Donc �� � ��
2)
�� � �1, !1,1�; �!1,1, !1�# :
� dim �� � ?@�/� , avec / � ��1, !1,1�; �!1,1, !1��.
� On vérifie que le système ��1, !1,1�; �!1,1, !1�� est lié.
� ��1, !1,1�� est un système libre extrait de /, donc ?@�/� � 1
� Donc dim �� � 1 : ��1, !1,1�� est alors une base de �� et �� � �1, !1,1�#.
�� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0� :
� �$, %, &� ' �� ssi 0 2$ ( % ! & � 0$ ( 2% ( & � 0!$ ( % ( 2& � 01 �
�1��2��3� 02$ ( % ! & � 0$ ( 2% ( & � 0!$ ( % ( 2& � 01 D �1� ( �2��2��1� ! �3� 02$ ( % ! & � 03$ ( 3% � 03$ ! 3& � 0 1 D E% � !$& � $$ ' � 1 � Une base de �� est alors donnée par ��1, !1,1��
� Donc �� � �1, !1,1�# � ��
Partie 2
Enoncé :
� On considère la matrice )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , - , , ' �.
1) Montrer que la matrice ) est non inversible ssi , � !1 ou , � 2.
2) Discuter le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre ,.
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[49]
Solution : )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , -
1) la matrice ) est non inversible ssi det�)� � 0 :
� F , 1 !11 , 1!1 1 , F �GHIGHJGK F , 1 !10 , ( 1 , ( 1!1 1 , F � �, ( 1� F , 1 !10 1 1!1 1 , F
� F , 1 !10 1 1!1 1 , F �LHILHMLK F , 2 !10 0 1!1 1 ! , , F � ! N , 2!1 1 ! ,N � !,�1 ! ,� ! 2 � ,� !, ! 2
� Donc F , 1 !11 , 1!1 1 , F � �, ( 1���, ! 2�
� La matrice ) est alors non inversible ssi : , � !1 ou , � 2.
2) le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre , :
� Si , O !1 et , O 2 alors la matrice ) est inversible, donc ?@�)� � 3.
� Si , � !1 alors )M� � +!1 1 !11 !1 1!1 1 !1- : det�)M�� � 0 et tous les déterminants d’ordre 2
extraits de la matrice )M� sont nuls, donc ?@�)M�� � 1.
� Si , � 2 alors )� � + 2 1 !11 2 1!1 1 2 - : det�)�� � 0 et N2 11 2N est un déterminant d’ordre 2 non
nul extrait de la matrice )�, donc ?@�)�� � 2.
Partie 3
Enoncé :
� On considère les vecteurs de ��: .� � �,, 1, !1� , .� � �1, ,, 1� et .� � �!1,1, ,�, , ' �.
1) Que représente la matrice )* pour le système / � �.�, .�, .�� ?
2) Discuter le rang du système / selon les valeurs du paramètre ,.
Solution :
7) .� � (,, 1, !1� , .� � �1, ,, 1� et .� � �!1,1, ,�
1) / � �.�, .�, .�� : )* � 5�//���
2) ?@�/� � ?@P5�//���Q � ?@�)*�, donc, d’après la partie 2 :
� Si , O !1 et , O 2 alors ?@�/� � 3.
� Si , � !1 alors ?@�/� � 1.
� Si , � 2 alors ?@�/� � 2.
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[50]
Partie 4
Enoncé :
� On considère le système linéaire : /* 0,$ ( % ! & � , ! 1$ ( ,% ( & � , ! 1!$ ( % ( ,& � 1 ! ,1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ?
2) Pour , � 1, résoudre �/��.
3) Pour , � 0, résoudre �/2�.
Solution : /* 0,$ ( % ! & � , ! 1$ ( ,% ( & � , ! 1!$ ( % ( ,& � 1 ! ,1
1) le système /* est de Cramer ssi sa matrice est inversible :
� le système /* s’écrit sous la forme matricielle : )*. R � S ,
avec )* � + , 1 !11 , 1!1 1 , -, R � T$%&U et S � V, ! 1, ! 11 ! ,W
� le système /* est de Cramer ssi La matrice )* est inversible.
� le système /* est alors de Cramer ssi , O !1 et , O 2, d’après la partie 2.
2) Pour , � 1 : /� 0$ ( % ! & � 0$ ( % ( & � 0!$ ( % ( & � 01 ou encore )�. T$%&U � V000W : système linéaire homogène
� /� est un système de cramer, d’après (1), son unique solution est alors donnée par T$%&U � V000W.
3) Pour , � 0 : /B 0% ! & � !1$ ( & � !1!$ ( % � 11 ou encore )B. T$%&U � V!1!11 W, avec )B � + 0 1 !11 0 1!1 1 0 -
� det )B � !2 : det )* � �, ( 1���, ! 2�, d’après partie 2.
� On se propose de résoudre /B par la méthode des déterminants de Cramer :
o ∆Y� F!1 1 !1!1 0 11 1 0 F � 3 Z $ � ∆[\]^ _` � ! ��
o ∆a� F 0 !1 !11 !1 1!1 1 0 F � 1 Z % � ∆b\]^ _` � ! ��
o ∆c� F 0 1 !11 0 !1!1 1 1 F � !1 Z & � ∆d\]^ _` � ��
� l’unique solution du système /B est alors donnée par : T$%&U �efg! ��! ��( ��hi
j.
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[51]
Partie 5
Enoncé :
� On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4($, %, &) ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ! &, $ ( ,% ( &, !$ ( % ( ,&�
1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ���, �� étant la base canonique de ��. 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il surjectif ?
3) Pour , � 2, déterminer une base de >�?�3�� et en déduire ?@�3��.
4) Pour , � 1, déterminer une base de A,�3�� et en déduire >�?�3��.
5) Vérifier que � � ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est une base de ��.
6) Pour , � 0, déterminer la matrice 5�3B/ �, �� par un calcul direct.
7) Retrouver 5�3B/ �, �� en utilisant la formule de changement de bases.
Solution : 3*�$, %, &� � �,$ ( % ! &, $ ( ,% ( &, !$ ( % ( ,&�
1) 5�3*/ �� , ��� � + , 1 !11 , 1!1 1 , -
2) 3* est surjectif ssi 3* est bijectif ssi 5�3*/ �� , ��� est inversible :
� 5�3*/ �� , ��� � + , 1 !11 , 1!1 1 , - � )*
� la matrice )* est inversible ssi , O !1 et , O 2, d’après la partie 2.
� 3* est alors surjectif ssi , O !1 et , O 2
3) Pour m � 2 : 3��$, %, &� � �2$ ( % ! &, $ ( 2% ( &, !$ ( % ( 2&�
Ker�f�� : � Ker�f�� � ��$, %, &� ' ��/ 3��$, %, &� � �0,0,0��
� Donc : Ker�f�� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ! & � 0, $ ( 2% ( & � 0, !$ ( % ( 2& � 0 �
� On remarque alors que Ker�f�� � ��, voir partie 1.
� Or �� � �1, !1,1�# et une base de �� est donnée par ��1, !1,1��, d’après partie 1.
� Donc Ker�f�� � �1, !1,1�# et ��1, !1,1�� est une base de Ker�f��. ?@�3�� :
� ?@�3�� � dim �� ! dim ker f� , donc ?@�3�� � 2
4) Pour m � 1, : déterminer une base de Im�f�� et en déduire Ker�f��.
Im�f�� :
� Im�f�� � 3�����, 3�����, 3�����# � Comme 5�3�/ �� , ��� � + 1 1 !11 1 1!1 1 1 -, donc : p3����� � �1,1, !1�3����� � �1,1,1�3����� � �!1,1,1� 1 � On a alors : Im�f�� � �1,1, !1�, �1,1,1�, �!1,1,1�# � On remarque alors que Im�3�� � ��, voir partie 1.
� Or �� � ��, d’après partie 1.
� Donc Im�f�� � ��
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôl final
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[52]
Ker�f�� :
� Puisque Im�3�� � ��, l’endomorphisme 3� est surjectif, donc injectif, d’où Ker�3�� � �0,0,0�.
� ou bien : dim ker 3� � dim �� ! dim A,�3��, donc dim ker f� � 0 et alors Ker�3�� � �0,0,0�.
5) B � ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est une base de �� :
� On vérifie que le système ��1,1,0�, �1, !1,1�, �0,1,1�� est libre.
� α��1,1,0� ( α��1, !1,1� ( α��0,1,1� � �0,0,0� Z α� � α� � α� � 0 :
0α� ( α� � 0α� ! α� ( α� � 0α� ( α� � 0 1 Z 0α� � !α�α� ! α� ( α� � 0α� � !α� 1 Z 0α� � !α�α� � 0α� � !α� 1 Z α� � α� � α� � 0
� ou bien 5�B/Bs� � +1 1 01 !1 10 1 1- est inversible : det 5�B/Bs� � !3
6) Pour , � 0 :
� p3B�1,1,0� � �1,1,0�3B�1, !1,1� � �!2,2, !2� � �!2�.3B�0,1,1� � �0,1,1� 1 �1, !1,1� Z 5�3B/ B, B� � +1 0 00 !2 00 0 1-
7) 5�fB/ B, B� � tuvw x 5�3B/ �� , ��� x tvwv :
� 5�3B/ �� , ��� � )B , donc 5�3B/ ��, ��� � + 0 1 !11 0 1!1 1 0 -
� tvwv � 5�B/Bs�, donc tvwv � P � +1 1 01 !1 10 1 1-
� tuvw � ztvwv{M�, donc tuvw � tM� :
� det t � !3
� Calcul de tM� par la méthode des cofacteurs :
o |�t� �}~~~~�( N!1 11 1N ! N1 10 1N ( N1 !10 1 N! N1 01 1N ( N1 00 1N ! N1 10 1N( N 1 0!1 1N ! N1 01 1N ( N1 11 !1N���
��� � +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2-
o P|�t�Q� � +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2- , donc : tM� � M�� +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2-
� On a alors : 5�fB/ B, B� � M�� +!2 !1 1!1 1 !11 !1 !2- x + 0 1 !11 0 1!1 1 0 - x +1 1 01 !1 10 1 1-
� On retrouve, tout calcul fait : 5�3B/ B, B� � +1 0 00 !2 00 0 1-
Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
� ا����� � ���� اآ�ال – ����� آ��� ا����م ا�������� وا�����د�� وا�
اا�! �ط
CONTROLE DE RATTRAPAGE Durée : 1h30
Filière : Sciences Economiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 10 (Méthodes Quantitatives II) Matière : Mathématiques II Session : Automne – hiver, 2009-2010
Sections : A, B & C
Professeure : Salma DASSER
Les documents et les portables ne sont pas autorisés. La calculatrice est à usage strictement personnel. Toute réponse doit être justifiée. La présentation de la copie est notée sur 2 points.
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[53]
Les quatre parties peuvent être traitées indépendamment
� On munit �� de sa base canonique �� � ���, ��, ���.
Partie 1 : (4 points)
� On considère la matrice )* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�- .
1) Montrer que det )* � ,�, ( 1��, ! 1��. 2 pts
2) Discuter le rang de la matrice )* selon les valeurs du paramètre ,. 2 pts
Partie 2 : (5 points)
� On considère le système linéaire : /* �,$ ( % ( ,& � 0$ ( ,% ( & � �� �, ( 2��*M�,$ ( % ( ,�& � 0 1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ? 1 pt 2) Pour , � 2, résoudre �/��. 2 pts
3) Pour , � !2, résoudre �/M��. 1 pt
Partie 3 : (3 points) � On considère les deux sous espaces vectoriels de �� : �� � �!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�#, V� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ( 2& � 0, $ ( 2% ( & � 0,2$ ( % ( 4& � 0 �
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��.
Partie 4 : (8 points) � On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4�$, %, &� ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ( ,&, $ ( ,% ( &, ,$ ( % ( ,�&�
1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ���, �� étant la base canonique de ��. 0.5 pt 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il injectif ? 1 pt 3) Pour , � 2, déterminer >�?�3�� et en déduire A,�3��. 1.5 pt 4) Pour , � !1, déterminer une base de A,�3M�� et une base de >�?�3M��. 2 pts
5) On considère les vecteurs : .� � �� , .� � �� ( �� ( �� et .� � ��
a. Vérifier que � � �.�, .�, .�� est une base de ��. 0.5 pt b. Déterminer les matrices de passages : tvwv et tvvw . 1.5 pt
c. Pour , � 1, déterminer la matrice 5�3�/ �, ��. 1 pt
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Correction du contrôle de rattrapage
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Partie 1
Enoncé :
� On considère la matrice )* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�- .
1) Montrer que det )* � ,�, ( 1��, ! 1��.
2) Discuter le rang de la matrice )* selon les valeurs du paramètre ,.
Solution : )* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�-
1)
� det )* � F, 1 ,1 , 1, 1 ,�F �G�IG�MGH F, ! 1 1 ! , , ! 11 , 1, 1 ,� F � �, ! 1� F 1 !1 11 , 1, 1 ,�F
� F 1 !1 11 , 1, 1 ,�F �LKILKML� F 1 !1 01 , 0, 1 ,� ! ,F � �,� ! ,� N1 !11 , N � ,�, ! 1��, ( 1�
� Donc det )* � ,�, ( 1��, ! 1��
2) le rang de la matrice ) selon les valeurs du paramètre , :
� la matrice ) est inversible ssi det )* O 0 ssi , O 0 , , O !1 et , O 1.
� Si , O 0 , , O !1 et , O 1 alors la matrice ) est inversible, donc ?@�)� � 3.
� Si , � 0 alors )B � +� � 0� � 10 1 0- : det�)B� � 0 et N0 11 0N est un déterminant d’ordre 2 non nul
extrait de la matrice )B, donc ?@�)B� � 2.
� Si , � !1 alors )M� � +!1 1 !11 !� �!1 � � - : det�)M�� � 0 et N!1 11 1N est un déterminant
d’ordre 2 non nul extrait de la matrice )M�, donc ?@�)M�� � 2.
� Si , � 1 alors )� � +1 1 11 1 11 1 1- : det�)�� � 0 et tous les déterminants d’ordre 2 extraits de la
matrice )� sont nuls, donc ?@�)�� � 1.
Partie 2
Enoncé :
� On considère le système linéaire : /* p,$ ( % ( ,& � 0$ ( ,% ( & � �� �, ( 2��*M�,$ ( % ( ,�& � 0 1 1) Pour quelles valeurs du paramètre ,, le système /* est-il de Cramer ?
2) Pour , � 2, résoudre �/��.
3) Pour , � !2, résoudre �/M��.
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Solution : /* pmx ( y ( mz � 0x ( my ( z � �� �m ( 2�e�M�mx ( y ( m�z � 0 1
1) le système /* est de Cramer ssi sa matrice est inversible :
� le système /* s’écrit sous la forme matricielle : )*. R � S , avec
)* � +, 1 ,1 , 1, 1 ,�-, R � T$%&U et S � � 0�� �m ( 2�e�M�0 �
� le système /* est de Cramer ssi la matrice )* est inversible
� le système /* est alors de Cramer ssi Si , O 0 , , O !1 et , O 1 , d’après la partie 1.
2) Pour , � 2 : /� 02x ( y ( 2z � 0x ( 2y ( z � 22x ( y ( 4z � 01 ou encore )�. T$%&U � V020W, avec )� � +2 1 21 2 12 1 4-
� det )� � 6 : det )* � ,�, ( 1��, ! 1��, d’après partie 1.
� On se propose de résoudre /� par la méthode des déterminants de Cramer :
o ∆Y� F0 1 22 2 10 1 4F � !4 Z $ � ∆[\]^ _H � ! ��
o ∆a� F2 0 21 2 12 0 4F � 8 Z % � ∆b\]^ _H � ��
o ∆c� F2 1 01 2 22 1 0F � 0 Z & � ∆d\]^ _H � 0
� l’unique solution du système /� est alors donnée par : T$%&U � �! ����0 �.
3) Pour , � !2 : /� 0!2x ( y ! 2z � 0x ! 2y ( z � 0!2x ( y ( 4z � 01 ou encore )M�. T$%&U � V000W : système linéaire homogène
� /M� est un système de cramer, d’après (1),
� son unique solution est alors donnée par T$%&U � V000W.
Partie 3
Enoncé :
� On considère les deux sous espaces vectoriels de �� : �� � �!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�#, V� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ( 2& � 0, $ ( 2% ( & � 0,2$ ( % ( 4& � 0 �
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous espaces vectoriel �� et ��.
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Solution :
� �� � (!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�# :
� dim V� � rg�S� , avec S � ��!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1��.
� On vérifie que le système ��!1,1, !1�; �1, !1,1�; �!1,1,1�� est lié.
� Le système ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� extrait de S est libre, donc rg�S� � 2.
� ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� est alors une base de V� et dim V� � 2 : V� � �!1,1, !1�; �1, !1,1�#
� �� � ��$, %, &� ' ��/ 2$ ( % ( 2& � 0, $ ( 2% ( & � 0,2$ ( % ( 4& � 0 � :
� �$, %, &� ' �� ssi 02$ ( % ( 2& � 0$ ( 2% ( & � 02$ ( % ( 4& � 01 ssi �$, %, &� est solution du système p,$ ( % ( ,& � 0$ ( ,% ( & � 0,$ ( % ( ,�& � 01 � Or ce système est de Cramer car sa matrice )� � +2 1 21 2 12 1 4- est inversible, d’après partie 1.
� Son unique solution est alors �$, %, &� � �0,0,0�.
� Donc �� � ��0,0,0� et dim �� � 0 , �� n’admet pas de bases.
Partie 4
Enoncé :
� On considère l’endomorphisme 3* de �� défini par : 4�$, %, &� ' ��: 3*�$, %, &� � �,$ ( % ( ,&, $ ( ,% ( &, ,$ ( % ( ,�&�
1) Ecrire la matrice 5�3*/ �� , ���, �� étant la base canonique de ��. 2) Pour quelles valeurs du paramètre ,, l’endomorphisme 3* est-il injectif ?
3) Pour , � 2, déterminer >�?�3�� et en déduire A,�3��.
4) Pour , � !1, déterminer une base de A,�3M�� et une base de >�?�3M��.
5) On considère les vecteurs : .� � �� , .� � �� ( �� ( �� et .� � ��
a. Vérifier que B � �u�, u�, u�� est une base de ��.
b. Déterminer les matrices de passages : Pu�u et Puu�.
c. Pour m � 1, déterminer la matrice 5�f�/ B, B�.
Solution : 3*�$, %, &� � �,$ ( % ( ,&, $ ( ,% ( &, ,$ ( % ( ,�&�
1) 5�3*/ �� , ��� � +m 1 m1 m 1m 1 m�-
2) 3* est injectif ssi 3* est bijectif ssi 5�3*/ �� , ��� est inversible :
� 5�3*/ �� , ��� � +m 1 m1 m 1m 1 m�- � )*
� la matrice )* est inversible ssi , O 0 , , O !1 et , O 1 , d’après la partie 1.
� 3* est alors surjectif ssi , O 0 , , O !1 et , O 1 .
3) Pour m � 2 : 3��$, %, &� � �2$ ( % ( 2&, $ ( 2% ( &, 2$ ( % ( 4&�
� Ker�f�� : Ker�f�� � ��0,0,0�� car 3� est injectif, d’après (1).
� A,�3�� : A,�3�� � �� car 3� est injectif ssi 3� est surjectif ssi A,�3�� � ��
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4) m � !1, : 3M��$, %, &� � �!$ ( % ! &, $ ! % ( &, !$ ( % ( &�
Im�fM�� :
� Im�fM�� � 3M�����, 3M�����, 3M�����#
� Comme 5�3M�/ �� , ��� � +!1 1 !11 !1 1!1 1 1 -, donc : p3M����� � �!1,1, !1�3M����� � �1, !1,1�3M����� � �!1,1,1� 1 � On a alors : Im�fM�� � �!1,1, !1�, �1, !1,1�, �!1,1,1�#
� On remarque alors que : Im�3M�� � ��, voir partie 3.
� Or �� � �!1,1, !1�; �1, !1,1�# : ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� est une base de ��, d’après partie 3.
� Donc Im�fM�� � �!1,1, !1�; �1, !1,1�# et ��!1,1, !1�; �1, !1,1�� est une base de Im�fM��.
Ker�fM�� :
� �$, %, &� ' Ker�fM�� ssi 3M��$, %, &� � �0,0,0�
� �$, %, &� ' �� ssi 0!$ ( % ! & � 0$ ! % ( & � 0!$ ( % ( & � 01 �
�1��2��3� 0!$ ( % ! & � 0$ ! % ( & � 0!$ ( % ( & � 01 D �1� ( �3��2��2� ( �3� 0!2$ ( 2% � 03$ ( 3% � 0& � 0 1 D E% � $& � 0$ ' �1 � Une base de Ker�fM�� est alors donnée par ��1,1,0��
� Donc Ker�fM�� � �1,1,0�#
5) u� � e� , u� � e� ( e� ( e� et u� � e�
a. � � �.�, .�, .�� est une base de �� :
� Le système �.�, .�, .�� est libre car 5�B/Bs� � +0 1 10 1 01 1 0- est inversible : det 5�B/Bs� � 1
b. les matrices de passages Pu�u et Puu� : Pu�u � 5�B/Bs� et Pu�u � 5�B/Bs�
� Pu�u : Pu�u � +0 1 10 1 01 1 0-
� Puu� : Pu�u � +0 !1 10 1 01 !1 0- car � �.� � �� Z �� � .�.� � �� Z �� � .� 1 �� .� � �� ( �� ( �� Z �� � !.� ( .� ! .�
c. 5�f�/ B, B� � tuvw x 5�3�/ �� , ��� x tvwv : 5�3�/ ��, ��� � )�
� 5�3�/ �� , ��� � +1 1 11 1 11 1 1- . On trouve alors, après calcul, que : 5�3B/ B, B� � +0 0 01 3 10 0 0-
� Remarque : p3�.�� � 3���� � �� ( �� ( �� � .�3�.�� � 3��� ( �� ( ��� � 3���� ( 3���� ( 3���� � 3� �� ( �� ( ��� � 33�.�� � 3���� � �� ( �� ( �� � .�1 .�