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8/13/2019 ALGES3 Kriging y Cokriging
1/23
Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Fsicas
Dep
Xa
y Matemticas
artamento de Ingeniera de MinasLaboratorio ALGES
Cokriging
vier Emery, Sebastin Pizarro M
8/13/2019 ALGES3 Kriging y Cokriging
2/23
Xavier Emery, Sebastin Piza
0. ....................
. ...
.
. .......................
ro M
......................................................................................
......................................................................................
....................................................................................
......................................................................................
ALGES
Cokriging
2
........................
........................
......................
......................
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Xavier Emery, Sebastin Piza
Nos interesamos por mtodos
variables regionalizadas en udatos de esta(s) variable(s). E
cuales se pueden subdividir e
1) Interpoladores basados e
los polgonos (2D) o polie
del ms cercano vecino, adel espacio (mtodo de int
2) Interpoladores basados e
3) Interpoladores baricntri
estimar. Entre ellos, pode
la media mvil, o el inver
Los mtodos antes nombr
los datos cercanos en la const
particular al considerar solame ignorar la continuidad espac
precisin de la estimacin, pocometerse, al no plantearse en
El estimador de (co)kriginde funcin aleatoria para desc
de la familia de interpoladore
segn sus distancias al sitio aagrupamientos en el espacio,
ro M
de interpolacin espacial, que permiten estimar
sitio dado del espacio, a partir de un conjunto l este contexto, se han desarrollado varios inter
las siguientes categoras:
una particindel espacio. Entre ellos, destaca
dros (3D) de influencia, conocido tambin com
como los mtodos construidos en base a una terpolacin lineal o de Akima, entre otros).
funciones, tales como splines o superficies de
os, que consisten en ponderar los datos vecinos
os mencionar el interpolador de los k-ms cerc
o de la distancia.
dos poseen la ventaja de ser fciles de ejecutar
uccin del estimador. Sin embargo poseen limi
nte la configuracin geomtrica de los datos yial de la variable regionalizada. Tampoco permi
ejemplo midiendo la dispersin del error que eun contexto probabilstico.
g permite superar estas limitantes, basndose eibir la(s) variable(s) regionalizada(s) en estudi
baricntricos. La ponderacin de los datos se
estimar, las redundancias entre datos causadasla estructura de correlacin espacial de la func
ALGES
Cokriging
3
una o varias
imitado deoladores, los
el mtodo de
interpolador
iangulacin
endencia.
del sitio a
anos vecinos,
y privilegian
antes, en
itio a estimarten conocer la
s susceptible
un modelo. Forma parte
etermina
or posiblesin aleatoria.
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Xavier Emery, Sebastin Piza
Seazla variable regionalizad1... n} los sitios con datos y xde kriging se obtiene al plante
1. Restriccin de linealid
La primera restriccin consist
una combinacin lineal ponde
Luego, el problema de la inter
y el coeficiente a.
Esta restriccin se debe a la ddistribuciones de probabilida
aleatoria. La construccin de
lineales de los datos, requerirmomentos, lo cual se puede re
2. Restriccin de insesgo
En el modelo probabilstico, e
Luego el estimador no tiendeSe puede interpretar esta restren el espacio: si se calcula so
de los errores de estimacin c
que los errores sean bajos, sin
ro M
en estudio,Zla funcin aleatoria correspondieel sitio en el cual se busca estimar el valor de
ar tres restricciones:
ad
e en escribir el estimador, denotadoZ*(x0) en a
rada de los datos:
= +=n
ZaZ1
0* )()( xx
polacin queda en encontrar los ponderadores {
cisin de considerar solamente los primeros m(media y funcin de covarianza / variograma)
stimadores ms sofisticados, que no sean comb
a especificar la funcin aleatoria ms all de sualizar con mtodos de geoestadstica no lineal.
l error cometido debe tener una esperanza nula:
E[Z*(x0) Z(x0)] = 0
a sobreestimar o subestimar el valor real descon ccin, reemplazando la esperanza matemtica
re numerosas configuraciones de kriging idntimetidos se acerca a cero. La ausencia de sesgo
o solamente que su media global es aproximada
ALGES
Cokriging
4
te, {x: =. El sistema
elante, como
, = 1... n}
mentos de lase la funcin
inaciones
dos primeros
ocido.or una media
cas, la mediano garantiza
mente nula.
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Xavier Emery, Sebastin Piza
3. Restriccin de optimal
Se busca minimizar la varianz
la dispersin de dicho error:
mi
Si se calculara sobre numeros
de los errores de estimacin cequivale a la minimizacin de
Una vez planteada la metodol
estimacin. Para ello se utilizdel espacio que contiene el sit
puede considerar varias posib
La vecindad puede abarcar to
ellos (vecindad mvil). Con usemejantes a la vecindad nic
en utilizar todos los datos, au
A la vecindad mvil se le deb
1. Tamao de la vecinda
El tamao de la vecindad deb
Precisin de las estimacio
Tiempos de clculo, pocagrandes, cambios en la co
factores, se tiende a elegirnmero de datos vecinos s
ro M
idad
a del error cometido (llamada varianza de krig
imizar K2(x0) = var[Z
*(x0) Z(x0)]
s configuraciones de kriging idnticas, la varia
metidos sera la ms baja posible. Este criteriol error cuadrtico promedio.
ga a utilizar se debe considerar con qu datos
el concepto de vecindad de krigingque se refiio a estimar y los datos utilizados en la estimaci
lidades.
os los datos disponibles (vecindad nica) o sl
diseo apropiado, la vecindad mvil obtiene ry ahorra tiempo de clculo que sta gasta inne
los datos muy lejanos del sitio a estimar.
atribuir una forma y un tamao.
permitir un equilibrio entre varios factores:
es: aumenta cuando la vecindad contiene ms
confiabilidad del modelo de variograma para di tinuidad espacial de la variable regionalizada:
una vecindad de tamao limitado, luego a restrieleccionados.
ALGES
Cokriging
5
ng), que mide
za estadstica
de precisin
se realizar la
re al dominion. El usuario
o una parte de
esultadoscesariamente
atos;
stanciasebido a estos
ngir el
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Xavier Emery, Sebastin Piza
Cabe notar que no hay justific
alcance del modelo variogrfialcance no tienen correlacin
casos, estos datos intervienen
precisin, a veces de maneratamao de la vecindad es la c
alcance del variograma.
2. Forma de la vecindad
En la medida de lo posible, la
la funcin aleatoria, reveladageomtrica, se considerar un
caractersticas orientacin yanisotropa. A menudo, tambicuadrantes en 2D u octantes e
fijo de datos, con el fin de rep
la informacin que se va a co
La figura 1 presenta un ejempforma de elipse centrada en el
mximo, estn indicados.
,
ro M
acin particular para limitar el tamao de la vec
co, bajo el pretexto que los datos localizados mcon valor en el sitio a estimar. De hecho, en la
indirectamente en la estimacin de la media y
o despreciable. El factor a considerar en la elecntidad de datos disponibles en la vecindad, ms
forma de la vecindad debe tomar en cuenta la a
or el anlisis variogrfico. As, en el caso de uvecindad en forma de elipse (2D) o elipsoide
excentricidad sean idnticas a las de la elipsen, se divide esta vecindad en varios sectores (e3D), en cada uno de los cuales se trata de bus
artir de mejor manera en torno al sitio que se qu
servar.
lo de vecindad mvil en el espacio de dos dimesitio a estimar. Los datos retenidos, tres por cu
( ).
ALGES
Cokriging
6
indad al
s all de esteayora de los
ejoran la
cin delque el
isotropa de
a anisotropa3D) cuyas
(elipsoide) degeneral, enar un nmero
iere estimar,
siones, endrante al
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Xavier Emery, Sebastin Piza
Por otro lado, la figura 2 mue
dimensiones, en forma de elip
,
En caso de anisotropa ms covecindad en forma de elipse oms sofisticada (por ejemplo,
pura). Hay que buscar entonc
isovalores del mapa variogrfi
direccin y distancia geogrfi
3. Otras restricciones
Se puede agregar restriccionedistancia mnima entre dos da
sin dato, una distancia mxim
4. Validacin
Para validar los parmetros delas llamadas tcnicas de valid
opciones de vecindad y se eli
ro M
tra un ejemplo de vecindad mvil en el espacio
soide centrado en el sitio a estimar, y su divisi
( ).
mpleja que la anisotropa geomtrica, se sueleelipsoide, aunque idealmente se debera escogeuna vecindad en forma de banda en caso de ani
s una elipse que se acerca lo mejor posible a la
co, que indican el nivel de correlacin en funci
a.
adicionales en la seleccin de datos vecinos, taos seleccionados, un nmero mximo de sector
a sin ningn dato, un nmero mnimo de datos s
la vecindad (tamao, forma, nmero de datos),cin cruzada o de jack-knife: se pone a prueba
e aquella que entrega los resultados ms satisfa
ALGES
Cokriging
7
de tres
en octantes.
onservar unar una formaotropa zonal
curvas de
n de la
les como: unaes angulares
eleccionados.
se puede usarvarias
ctorios.
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Xavier Emery, Sebastin Piza
1.3.1. Hiptesis
Se supone que la variable regicual se conoce la media y la f
estacionario, suponiendo ento
covarianza entre dos datos sladelante, denotaremos mcom
1.3.2. DeterminaciPara ello se revisar una a una
1. Linealidad: Se asegura est
2. Insesgo: El valor esperado
ZE )([ 0* x
Este valor es nulo si:
En consecuencia, el estim
ro M
onalizadaz es la realizacin de una funcin alencin de covarianza. Por lo general, se trabaja
ces que la media es constante en el espacio y q
o depende del vector de separacin entre estosla media y C(h) como la funcin de covarianz
del estimador
las distintas condiciones del kriging:
a restriccin al tomar como estimador en x0
=
+=n
ZaZ1
0
* )()( xx
del error de estimacin es:
ma
ZEZEaZ
n
n
]1[
])([])([])(
1
0
1
0
+=
+=
=
= xxx
man
]1[1
=
=
dor se pone bajo la forma
mZnn
]1[)()(11
0
* =
=
+= xx
ALGES
Cokriging
8
toriaZ de laen un marco
ue la
atos. Ena.
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Xavier Emery, Sebastin Piza
de modo que el valor de la
asigna una ponderacin igdatos. Mientras menos po
uno se aleja de estos datos
compensar la falta de info
3. Optimalidad: Ahora se depuede expresar en funcin
ZZ 00* )()(var[ xx
El mnimo de esta expresilas incgnitas {, = 1...
Es un sistema lineal en elincgnitas. En escritura m
(
( 1
x
x
nC
C
M
lo que permite determinarcoeficiente aditivo apor
1.3.3. Varianza de krLa varianza del error de estim
expresa de la siguiente forma:
ro M
media aparece como si fuera un dato adicional,
al al complemento de la ponderacin acumuladeracin se da a los datos (en la prctica, esto
), ms ponderacin recibe la media. El rol de la
macin cuando los datos son escasos o alejado
e calcular la varianza del error de estimacin, lde la covarianza, de la siguiente manera:
=
= =
+=nn n
CC11 1
2 (2)(] xxx
n se obtiene anulando sus derivadas parcialesn}. Se obtiene finalmente el sistema de ecuacio
)()(,...1 01
xxxx == =
CCnn
ual el nmero de ecuaciones es igual a la cantiatricial, este sistema es:
=
)(
)(
)()
)()
0
011
1
11
xx
xx
xxx
xxx
nnnn
n
C
C
C
C
MM
L
M
L
los ponderadores de kriging {, = 1... n}, lueedio de la condicin de insesgo.
iging
acin en el sitio x0, llamada varianza de krigin
=
=n
KS C1
0
2
0
2 )()( xxx
ALGES
Cokriging
9
al cual se
a de los otroscurre cuando
media es
.
a cual se
0 )
on respecto aes:
ad de
go el
simple, se
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Xavier Emery, Sebastin Piza
donde 2= C(0) es la varianzvarianza de kriging simple es
1.4.1. Hiptesis
Se supone ahora que la variab
Z estacionaria, de la cual no s
covarianza C(h) o el variograpermite generalizar el estima
constante en el espacio: la me
sea aproximadamente constan
1.4.2. DeterminaciLas etapas del kriging dan:
1. Linealidad: Se asegura est
2. Insesgo: El valor esperado
ZE ([ 0*
x
Como se desconoce el val
ro M
a prioride la funcin aleatoriaZ. Se puede mmenor o igual a la varianza a priori:
2
0
2)( xKS
le regionalizada z es una realizacin de una fun
conoce la media m, sino que solamente la fun
a (h). El considerar el valor de la media comor a situaciones donde esta media no es riguros
dia puede variar de una regin a otra del espaci
te en cada vecindad de kriging.
del estimador
a restriccin al tomar como estimador en x0
=
+=n
ZaZ1
0
*)()( xx
del error de estimacin es:
ma
ZEZEaZ
n
n
]1[
])([])([])()
1
0
1
0
+=
+=
=
=
xxx
r de la media m, este valor esperado es nulo si:
101
== =
n
ya
ALGES
Cokriging
10
strar que la
in aleatoria
in de
desconocidomente
, siempre que
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Xavier Emery, Sebastin Piza
La igualdad sobre la suma
datos fueran iguales a una
3. Optimalidad: como en el c
ZZ 0* ()(var[ x
Se necesita minimizar estsuma de las incgnitas es
llamada multiplicador de
)]()(var[ 200* =ZZ xx
y se minimiza la funcinparciales de esta funcin
=
=
1
1
n
n
Este sistema contiene unapuede escribir en notacin
1
(
( 1
x
x
nC
CM
En trminos de variogram
ro M
de los ponderadores asegura que, en el caso en
misma constante, el valor estimado restituira e
aso del kriging simple, la varianza del error de
=
= =
+=nn n
CC11 1
2
0 (2)()] xxx
expresin bajo la condicin de insesgo, que igual a 1. Esto se logra introduciendo una incg
agrange, el cual se denotar como . Se escrib
)(2)(1
0
1 1
++ =
= =
nn n
CC xxxx
e las n+1 incgnitas 1, ... n, . Calculando lasluego anulndolas, se obtiene el sistema:
=
==+
1
...1)()( 0 nCC xxxx
incgnita y una ecuacin ms que el de krigingmatricial:
=
1
)(
)(
01
1)()
1)()
0
011
1
11
xx
xx
xxx
xxx
nnnn
n
C
C
C
CMM
L
L
MML
a, se tiene equivalentemente el siguiente sistem
ALGES
Cokriging
11
que todos los
sta constante.
stimacin es:
0 )x
pone que laita adicional
e:
]1[21
=
n
erivadas
simple. Se
:
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1
(
( 1
x
x
n
M
1.4.3. Varianza de krLa varianza del error de estimexpresa de la siguiente forma:
2
donde 2= C(0) es la varianzsiempre, la varianza de krigin
Una propiedad notable del kri
trminos de variograma, sigue
este caso, la varianza a priori
Podemos mencionar las sigui
1.5.1. Kriging con deLa media de la funcin aleato
(deriva) en la distribucin esp
kriging universal, don
kriging trigonomtrico
ro M
=
1
)(
)(
01
1)()
1)()
0
011
1
11
xx
xx
xxx
xxx
nnnn
n
MM
L
L
MM
L
iging
acin en el sitio x0, llamada varianza de krigin
=
=
=
=
n
n
O C
1
0
1
0
2
0
)(
)()(
xx
xxx
a prioride la funcin aleatoriaZ. En general,ordinario es menor o igual a la varianza a prio
en general,2
0
2)( xKO
ging ordinario es que las ecuaciones anteriores
n vlidas aun cuando este variograma no tiene
s infinita y la funcin de covarianza no existe.
ntes variantes del kriging:
riva
iaZvara en el espacio, reflejando una tendenc
acial de los valores. Se tiene los siguientes caso
e la deriva es una funcin polinomial de las co
, donde la deriva es una combinacin de funcio
ALGES
Cokriging
12
ordinario, se
ero nori:
xpresadas en
eseta: en
a sistemtica
s particulares:
rdenadas
es coseno
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Xavier Emery, Sebastin Piza
kriging con deriva extexhaustivamente cono
1.5.2. Kriging de bloPermite estimar directamente
el soporte de los datos (bloquexplotacin minera o unidade
sentido fsico, es necesario qu
El plantear las tres etapas del
difiere del sistema puntual enordinario, se tendr el siguien
=
=
1
1
n
n
con
v),(x
donde {u1, uM} son puntos
ro M
rna, donde la deriva es proporcional a una varicida.
ue
el valor promedio de la variable sobre un soporvde volumen |v|), por ejemplo, unidades selecde remediacin ambiental. Para que los clcul
e la variable estudiada sea aditiva.
riging conduce al sistema de kriging de bloque
el miembro de la derecha. Por ejemplo, en el cae sistema:
=
==
1
...1),()( nvxxx
=
M
mmv M
dv 1
)(1
)(||
1uxxxx
que discretizan el bloque de inters.
ALGES
Cokriging
13
ble externa
e mayor que
ivas des tengan un
s, que slo
so del kriging
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Xavier Emery, Sebastin Piza
El cokriging busca realizar la
tomando en cuenta su continu
modeladas a travs de sus variEsta tcnica generaliza el krig
ponderada de los datos dispon
cuando la variable de inters (variables correlacionadas con
La seleccin de datos relevant
univariable. Por ejemplo, losdatos colocalizados de una co
complementar a los datos de l
mejorar la estimacin local.
Investigaciones recientes handebera tomar en consideraci
corregionalizacin. A modo d
Si las variables son indepeno aportan informacin y
Si las variables estn en cproporcionales entre s) y
informacin. En cambio,aportan informacin en lo
En este caso, se debera ut
datos secundarios colocali
A raz de lo anterior, se puedemultivariable. Las ms comu
sitio o bloque a estimar, sin ipara los datos de la variable pventaja de esta ltima estrateg
de la variable, pero tiene el in
ecuaciones de cokriging tanta
estrategia (bsqueda de puntoen forma simultnea.
ro M
estimacin local conjunta de varias variables re
dad espacial y las relaciones de dependencias e
ogramas directos y cruzados (modelo de correg ing: se construye el estimador como una combi
ibles, sin sesgo y con varianza de error mnima.
variable primaria) est sub-muestreada con resella (covariables o variables secundarias).
es para realizar estimaciones es ms compleja
atos asociados a la variable primaria pueden apariable. Por el contrario, los datos de una cova
a variable primaria, luego proporcionar informa
mostrado que el diseo ptimo de la vecindad dn el tipo de muestreo multivariable as como el
e ejemplos, se tienen los siguientes casos partic
ndientes o espacialmente no correlacionadas, lal mejor diseo es la vecindad univariable.
rrelacin intrnseca (sus variogramas directosel muestreo es homotpico, las covariables tam
n caso de que el muestreo sea heterotpico, lassitios donde no se tiene informacin de la vari
ilizar una vecindad dislocada, que descarta so
zados con datos primarios.
considerar varias estrategias de bsqueda de daes consisten en buscar los puntos con datos m
portar a qu variables corresponden, o realizarimaria (a estimar) y otra bsqueda para las covia es el desacoplamiento de la bsqueda segn l
onveniente de que se debe realizar la bsqueda
veces como hay variables a estimar. En cambi
s con datos) permite estimar todas las variables
ALGES
Cokriging
14
ionalizadas,
ntre variables,
ionalizacin).acin lineal
Es ventajosa
ecto a otras
ue en el caso
antallar a losiable pueden
cin til para
e cokrigingmodelo de
lares:
s covariables
cruzados sonoco aportan
covariablesble primaria.
lamente los
tos en el casocercanos del
una bsquedariables. Laa naturaleza
y resolver las
, la primera
por cokriging
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15/23
Xavier Emery, Sebastin Piza
Consideremos un conjunto deZ1, ZNconjuntamente estac
cruzadas {Cij(h): i,j= 1N}en el sitio x0del espacio.
El estimador de cokriging se
en la vecindad de x0, o sea:
donde xirepresenta al -si
la vecindad de cokriging. El c
1... ni} son las incgnitas del
Se exige que el error de estim
ii 00 ZZE 0* )([ x
lo que conduce a la siguiente
=i0a
Finalmente, se busca que la v
expresa en funcin de las cov
ro M
( )
variables regionalizadas, modeladas por funcioionarias, de medias {mi: i= 1N} y covarianz
conocidas. Supongamos que se quiera estimar
lantea como una combinacin lineal de los dat
= =
+=N
i
ni
iiii
i
Za1 1
,,0
*
1 )()( 00 xx ,
o punto con dato de la i-sima variable (Zi) ubi
oeficiente aditivo ay los ponderadores {,i,i0, i
roblema de cokriging.
cin tenga una esperanza nula:
= =
=
= =
++=
+=
N
iii
n
iiii
n
iii
N
i
ni
iiii
0
i
00
0i
000
i
00
mma
ZEZEa
1 1
,,
1
,,
01
1 1
,,0
[]1[
])([])([]) xxx
ondicin:
= =
=
N
ii
i
n
iiii
n
ii
0
i
00
0i
00mm
1 1
,,
1
,, ][]1[ .
rianza del error de estimacin sea mnima. Esta
rianzas simples y cruzadas:
ALGES
Cokriging
15
es aleatoriasas directas y
a variableZi0
s disponibles
ado dentro de
= 1...N, =
varianza se
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Xavier Emery, Sebastin Piza
)([var 0* x0 ii
ZZ
La minimizacin conduce al sejemplo, por pivote de Gauss)
N
j
n
ijij Cj
0(
1 1
,,= =
La varianza del error de estim
ZCKS i2
Cabe sealar que es posible e
los mismos datos para todas lque todas las variables estn
i 1{
y denotemos:
Zel vectorN 1 cuy
mel vectorN 1 cuy
C(x x) la matriz
la matrizNNcu
Entonces, el estimador de cok
0
* )(xZ
ro M
()(2
)()](
1 10,,
1 1 1 1
,,,,0
0xx
xxx
00
i
00
i j
00
ii
N
i
ni
iiii
N
i
N
j
n n
ji
ijijii
CC
C
+
=
= =
= = = =
iguiente sistema de ecuaciones lineales, cuya re
entrega los ponderadores de cokriging:
i
i
ii
jinNiC
0...1,...1)() 0 === xxxx
acin (varianza de cokriging simple) vale:
= =
=N
i
n
i
ii
i
ii
i
CC1 1
00 )()()( 000 xx0x .
timar todas las variables en forma simultnea si
s estimaciones. Para simplificar las notaciones,uestreadas en los mismos sitios (muestreo hom
nnN i =},,... y = xx iin ,},,...1{
trmino genrico es Zi
trmino genrico es mi
Ncuyo trmino genrico es Cij(x x)
o trmino genrico es ,i,j(ponderadores de c
riging simple se escribe como
=
+n
1
)(xZ con =
=n
T
1
mm
ALGES
Cokriging
16
solucin (por
se consideran
supongamosotpico):
kriging)
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en donde los ponderadores so
(
(
1
11
xxC
xxC
n
M
Por consiguiente, basta con in
variables en el sitio x0. Sin einvertir (en comparacin con
por dos cuando se mide dos v
aumentan rpidamente al aum
Se tiene tambin la siguientetrminos diagonales correspo
los trminos no diagonales in
distintas):
CKS
En el caso de un muestreo hetvariables en algunos puntos c
removiendo las filas y colum
faltantes.
Todas las ecuaciones anterior
medias de las variables no socruzadas no slo dependen de
absolutas de los datos. Sin em
medias y las covarianzas son
Se plantean las mismas hipte
las medias m1,... mNson descoaplicacin de las etapas de lin
de ecuaciones:
ro M
soluciones del siguiente sistema matricial:
=
)(
)(
)()
)()
0
0111
xxC
xxC
xxC
xxC
nnnn
n
MM
L
MO
L
vertir una sola matriz para obtener la estimaci
bargo, se debe observar el importante tamao dl caso univariable). Por ejemplo, este tamao s
riables en los mismos sitios.As, los tiempos d
entar el nmero de variables.
atriz de varianza-covarianza de los errores deden a las varianzas de error, para cada variable
ican cun relacionados estn los errores asocia
=
=n
T
1
0000 )()()( xxCxxCx
erotpico, es decir, cuando no existe informacin datos, se adapta las ecuaciones matriciales a
as de C(x x), C(x x0) y correspondie
s pueden extenderse a modelos no estacionario
constantes en el espacio o donde las covarianzvector de separacin h, sino que tambin de la
bargo, en la prctica, resulta cuestionable asumi
erfectamente conocidas en todos los puntos del
(
sis que en el cokriging simple, salvo que ahora
nocidas y no estn vinculadas por relaciones mealidad, insesgo y optimalidad conduce al sigui
ALGES
Cokriging
17
de todas las
e la matriz amultiplica
clculo
okriging (losmientras que
os a variables
n de algunasteriores,
tes a datos
, donde las
s directas ys posiciones
r que las
espacio.
)
se supone que
temticas. Lante sistema
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18/23
Xavier Emery, Sebastin Piza
=
=
=
=
= =
1
,,
1
,,
1 1
,,
0
1
(
0
0
00
0C
i
i
j
n
ii
n
ii
N
j
n
i
ijij x
y varianza del error
00
2 (ZCKO i x
en donde 1i0,... Ni0son inc
Asimismo, se puede escribir lde covarianzas: basta con ree
los variogramas correspondie
Como en el caso del cokrigin
todas las variables, el miembrcual basta con invertir una sol
el sitio x0. En el caso de un m
escribe como:
en donde los ponderadores so
ro M
=
===+
0
0
,...1
..1,...1)()0
iiNi
NiC iiiij
xxx
0000001 1
0,, )()( ii
N
i
n
iiiiiii
i
CC = = = xx0 ,
nitas adicionales (multiplicadores de Lagrange
s ecuaciones anteriores en trminos de variogrplazar las covarianzas simples y cruzadas por
tes.
simple, si se seleccionan los mismos datos par
o de la izquierda no depende de la variable de i a matriz para obtener la estimacin de todas las
estreo homotpico, el estimador del conjunto
=
=n
1
0
* )()( xZxZ
soluciones del siguiente sistema matricial:
ALGES
Cokriging
18
.ni
.
mas en lugarl opuesto de
estimar
ters, por lovariables en
e variables se
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19/23
Xavier Emery, Sebastin Piza
I
xxC
xxC
)(
)(
1
11
n
M
donde Ies la matriz identidad
0es una matrizNN
es una matrizNN
La matriz de varianza-covaria
CKO 0( x
Nuevamente, en el caso de un
anteriores, removiendo las fil
a datos faltantes.
Una variante del cokriging oren cambiar la condicin sobre
en lugar de las condiciones tr
ro M
=
I
xxC
xxC
0I
IxxC
IxxC
)(
)(
)(
)(
0
0111
nnnn
n
MM
L
L
MMO
L
de tamaoNN
e ceros
cuyo trmino genrico es ij(multiplicadores d
nza de los errores de cokriging es:
=
+=n
T
1
000 ])([)() xxCxxC
muestreo heterotpico, se adapta las ecuacione
s y columnas de C(x x), C(x x0) y co
(
inario (llamada cokriging ordinario estandarizla suma de los ponderadores
= =
=N
i
n
ii
i
1 1
,, 10
dicionales
==
=
=
=
0
1
,,
1
,,
,...10
1
0
1
00
iiNiin
ii
n
ii
ALGES
Cokriging
19
Lagrange)
matriciales
respondientes
)
ado) consiste
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Xavier Emery, Sebastin Piza
Esta nueva condicin proporc
tradicional los ponderadores auna restriccin de insesgo sl
Es el caso de mismo atributo
contrario, se tiene que re-esca
En trminos matriciales, el coforma:
en donde los ponderadores so
)(
)(
1
11
F
xxC
xxC
T
n
M
donde Fes una matrizN 1
es una matriz 1 N
La matriz de varianza-covaria
stdCKO ( x
ro M
ona ms influencia a las covariables, puesto qu
signados a cada covariable suman cero, pero cosi todas las variables poseen la mismamedia d
edido sobre soportes distintos o con aparatos
ar cada variable en torno a una misma media.
riging ordinario estandarizado se escribe de la
=
=n
1
0
* )()( xZxZ
soluciones del sistema:
=
1
)(
)(
0
)(
)(
0
0111
xxC
xxC
F
FxxC
FxxC
nn
T
nn
n
MM
L
L
MMO
L
e unos
uyo trmino genrico es i(multiplicador de L
nza de los errores de cokriging es:
=
+=n
T
1
0000 ])([)() FxxCxxC
ALGES
Cokriging
20
e en el sistema
responde aesconocida.
istintos; de lo
siguiente
grange)
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Xavier Emery, Sebastin Piza
Podemos mencionar las sigui
2.6.1. Cokriging mixSe conoce la media de alguna
2.6.2. Cokriging conLas medias de las funciones a
espacio, reflejando una tende
valores. Se tiene los siguiente
cokriging universal, d cokriging trigonomtri
cokriging con deriva evariables externas exh
2.6.3. Cokriging de bAqu, el objetivo es estimar elun bloque de soporte volumt
reemplazar los trminos de co
cokriging, por sus valores propara el cokriging ordinario tra
tendr el siguiente sistema:
I
xxC
xxC
(
(
1
11
n
M
con
v: bloque a estimar
=
M
m
nM
v1
(1
),( xCxC
{u1, uM}: puntos q
ro M
ntes variantes del cokriging:
o
variables, mientras que se desconoce la media
deriva
eatorias que representan la corregionalizacin
cia sistemtica (deriva) en la distribucin espac
casos particulares:
nde las derivas son polinomios de las coordena co, donde las derivas son combinaciones de fu
xterna, donde las derivas son proporcionales austivamente conocidas.
loque
valor promedio de una o varias variables regioico mayor que el soporte de los datos. En este
varianza que aparecen en el segundo miembro
edios cuando x0discretiza el bloque a estimar.dicional (con medias desconocidas y no relacio
=
I
xC
xC
0I
IxxC
IxxC
),(
),(
)()
)(111
v
v
nnnn
n
MM
L
L
MMO
L
mn )u
e discretizan el bloque v.
ALGES
Cokriging
21
de las otras.
aran en el
ial de los
dasciones coseno
na o varias
alizadas enaso, basta con
el sistema de
Por ejemplo,adas), se
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22/23
Xavier Emery, Sebastin Piza
2.6.4. Cokriging factEsta tcnica consiste en desco
lineal de corregionalizacin)jerarquizados en funcin de la
estos factores a partir de los d
2.6.5. Cokriging coloCuando se dispone de una codel sitio a estimar tienden a ade la covariable puede provoc
Una simplificacin consiste e
el sitio a estimar, adems de tsituacin, ni siquiera se requi
solamente su valor en el orige
Entre los distintos tipos de co
cokriging simple u ordinario ela suma de los ponderadores a
nico dato considerado de la
datos de la variable primaria
Aunque simplifica el sistemadesventajas:
Es necesario conocer la coprimaria o a proximidad i
No se toma en cuenta todala covariable, lo que puedestimacin (varianza de c
No es posible realizar unconsiste en utilizar como
los datos de la variable pri
(cokriging multi-colocaliz
ro M
rial o anlisis factorial geoestadstico
mponer las funciones aleatorias (representadas
n un conjunto defactoressin correlacin espaccantidad de informacin que contienen, luego
tos disponibles.
calizado
ariable conocida exhaustivamente, los datos ubantallar a los datos alejados. Adems, la abundar problemas numricos al resolver el sistema d
utilizar, para la estimacin, slo el dato de la c
dos los datos asociados a la variable primaria.re conocer la funcin de covarianza de la covar
, lo que reduce el esfuerzo de inferencia y mo
riging presentados anteriormente, se puede co
standarizado. El cokriging ordinario tradicional signados a la covariable sea nula, o sea, que el
ovariable sea nulo; por ende, slo se tomara e
se ignorara la covariable.
e ecuaciones, el cokriging colocalizado presen
variable en todos los sitios donde se busca esti
mediata de estos.
la informacin disponible: se olvida casi todostraducirse por una subestimacin de la precisi
kriging demasiado alta).
okriging ordinario clsico. Una solucin para eatos secundarios aquellos ubicados en los mis
maria, adems del dato colocalizado con el siti
ado).
ALGES
Cokriging
22
or un modelo
al cruzada yn estimar
cados cercancia de datos
e cokriging.
ovariable en
n estaable, sino que
elamiento.
siderar el
impone queonderador del
cuenta los
a varias
ar la variable
los valores den de la
te problemaos sitios que
a estimar
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23/23
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