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INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · ALGORITHMIK
Algorithmen fur Routenplanung8. Vorlesung, Sommersemester 2017
Ben Strasser | 29. Mai 2014
KIT – Universitat des Landes Baden-Wurttemberg undnationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Exkurs
Heute:keine RoutenplanungWomit sind die gesehenen Algorithmen verwandt?
Nachste Woche:Wieder Routenplanung
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 2 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Große quadratische Gleichungssysteme Losen hat vieleAnwendungenSchnelles Losen ist wichtigAlgorithmus von Gauß in O(n3) wobei n die Anzahl der Variablenist
Oft zu langsam
Oft sind Gleichungssysteme dunnbesetztd. h. viele Koeffizienten sind 0
Idee: Speichere 0-Koeffizienten nicht abAber: Wie 0-Koeffizienten wahrend des Losens erhalten?
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 3 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Ziel: Obere Dreiecksmatrix per Gauselimination1 −1 1 1 11 1 0 0 −21 0 −1 −1 0−1 0 −1 −2 0
1 −1 0 0 1
4 Nullen im oberen Dreieck
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 4 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Ziel: Obere Dreiecksmatrix per Gauselimination1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 1 −2 −2 −10 −1 0 −1 10 0 −1 −1 0
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 4 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Ziel: Obere Dreiecksmatrix per Gauselimination1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 0 − 3
2 − 32
12
0 0 − 12 − 3
2 − 12
0 0 −1 −1 0
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 4 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Ziel: Obere Dreiecksmatrix per Gauselimination1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 0 − 3
2 − 32
12
0 0 0 −1 − 23
0 0 0 0 − 13
Keine Nullen ubrig→ :(
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 4 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Idee: Spalten und Zeilen umsortieren1 −1 1 1 11 1 0 0 −21 0 −1 −1 0−1 0 −1 −2 0
1 −1 0 0 1
Alle 4 Nullen erhalten→ :)
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 5 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Idee: Spalten und Zeilen umsortieren1 −1 0 0 1−2 1 0 0 1
0 0 −1 −1 10 0 −1 −2 −11 −1 1 1 1
Alle 4 Nullen erhalten→ :)
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 5 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Idee: Spalten und Zeilen umsortieren1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 −1 −2 −10 0 1 1 0
Alle 4 Nullen erhalten→ :)
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 5 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Idee: Spalten und Zeilen umsortieren1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 0 −1 −20 0 0 0 1
Alle 4 Nullen erhalten→ :)
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 5 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Idee: Spalten und Zeilen umsortieren1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 0 −1 −20 0 0 0 1
Alle 4 Nullen erhalten→ :)
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 5 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Warum funktioniert das?
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 6 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 1 1 11 1 0 0 −21 0 −1 −1 0−1 0 −1 −2 0
1 −1 0 0 1
0
1
2
3
4
Variablenelimination↔ KnotenkontraktionJeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 1 −2 −2 −10 −1 0 −1 10 0 −1 −1 0
1
2
3
4Variablenelimination↔ Knotenkontraktion
Jeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 0 − 3
2 − 32
12
0 0 − 12 − 3
2 − 12
0 0 −1 −1 0
2
3
4Variablenelimination↔ Knotenkontraktion
Jeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 0 − 3
2 − 32
12
0 0 0 −1 − 23
0 0 0 0 − 13
3
4Variablenelimination↔ Knotenkontraktion
Jeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 1 1 10 2 −1 −1 −30 0 − 3
2 − 32
12
0 0 0 −1 − 23
0 0 0 0 − 13
4
Variablenelimination↔ KnotenkontraktionJeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 0 0 1−2 1 0 0 1
0 0 −1 −1 10 0 −1 −2 −11 −1 1 1 1
4
1
2
3
0Variablenelimination↔ Knotenkontraktion
Jeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 −1 −2 −10 0 1 1 0
4
1
2
3
Variablenelimination↔ KnotenkontraktionJeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 −1 −2 −10 0 1 1 0
4
2
3
Variablenelimination↔ KnotenkontraktionJeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 0 −1 −20 0 0 0 1
4
3
Variablenelimination↔ KnotenkontraktionJeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Jeder Eintrag der nicht Null ist entspricht einer Kante.
1 −1 0 0 10 −1 0 0 30 0 −1 −1 10 0 0 −1 −20 0 0 0 1
4
Variablenelimination↔ KnotenkontraktionJeder Shortcut zerstort eine Null
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 7 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Dunnbesetzte Gleichungssysteme
Wenig Kanten im CCH-Graph↔ viele 0-Koeffizienten in MatrixWie hangt dies genau zusammen?
Baumzerlegung
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 8 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Baumzerlegung
BaumzerlegungenSehr breites ThemenfeldSchwer zu uberblickenSehr viel Literatur
AnwendungenRoutenplanungGleichungssysteme losenFixed Parameter Tractablilty (FPT) Algorithmen fur NP-schwereProbleme
z. B. Vertex-Cover, 3-Color, Independent SetMehr dazu spater
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 9 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Definition
Eine Baumzerlegung (B,T ) eines ungerichteten ungewichtetenGraphen (V ,E) besteht aus
Menge von BagsJeder Bag ist eine Knotenmenge
Backbone TGraph mit Bags als KnotenBei Baumzerlegung ist T ein Baum(Analog: Bei Pfadzerlegung ist T ein Pfad)
Tx ist Teilgraph von TTx wird induziert durch Bags die Knoten x enthalten
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 10 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Definition
Eine Baumzerlegung (B,T ) eines ungerichteten ungewichtetenGraphen (V ,E) besteht aus
Menge von BagsJeder Bag ist eine Knotenmenge
Backbone TGraph mit Bags als KnotenBei Baumzerlegung ist T ein Baum(Analog: Bei Pfadzerlegung ist T ein Pfad)
Tx ist Teilgraph von TTx wird induziert durch Bags die Knoten x enthalten
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 10 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Definition
Jede Baumzerlegung muss drei Bedingungen erfullenJeder Knoten ist in einem oder mehreren Bags⋃
b∈B
b = V
Jede Kante ist in einem Bag
∀{x , y} ∈ E : ∃b ∈ B : x ∈ b ∧ y ∈ b
Fur jeden Knoten x ist Tx ein Baum
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 11 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Beispiel
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
q rp ij r ik l j e i
p ch ep c
d e c
n om omp f mp f gp c b f c a b f
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 12 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Baumbreite
Breite einer Baumzerlegung ist maximale Baggroße minus 1Baumbreite tw eines Graphs ist minimale Breite einerBaumzerlegung
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 13 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Fixed Parameter Tractablity (FPT)
Problem ist FPT in der Baumbreite wenn es Algorithmus gibt mitLaufzeit:
f (tw) · p(n)
tw ist Baumbreite, n ist Knotenanzahlf beliebige Funktion die nicht von n abhangtp beliebiges Polynom
BeispielVertex-Cover in Zeit 2tw ·m losbar
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 14 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Zusammenhang zu CCH
Maximale Cliquen in CCH-Graph sind Bags einerBaumzerlegung
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 15 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Schritt 1: CCH-Graph bauen
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
Knotenordnung: k, l, a, b, d, n, j, o, m, f, g, h, e, q, r, i, p, c
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 16 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Schritt 2: Maximale Cliquen
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
q rp ij r ik l j e i
p ch ep c
d e c
n om omp f mp f gp c b f c a b f
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 17 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Zusammenhang zu CCH
TerminologieIm Baumzerlegungskontext verwendet man folgende Begriffe:
Kontrationsordnung ↔ (perfect) elimination orderCCH-Graph ↔ chordaler Supergraph
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 18 – 29. Mai 2014
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Definition Multilevel Partition
Multilevel Partition P ist Menge von ZellenJede Zelle z ist Menge von Knoten
Wir fordern:Es gibt immer eine top-level Zelle die alle Knoten enthaltZellen die sich “beruhren” sind verschachtelt
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 19 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Wann beruhren sich Zellen?
Keine Beruhrung Beruhrung Beruhrung
Zwei Zellen beruhren sich wenn sieeinen gemeinsamen Knoten haben oderes eine Kante zwischen den Zellen gibt.
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 20 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Wann beruhren sich Zellen?
WarnungZellen werden hier per Knotenseparator getrenntBei MLD ublicherweise aber per KantenschnitteKnotenseparatoren passen besser mit Baumzerlegungzusammen
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 21 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Beispiel
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
Kreise sind ZellenToplevel Zelle nicht eingezeichnet
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 22 – 29. Mai 2014
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Zellenrand
Zellenrand R einer Zelle Z sind Knoten dienicht in Z sindaber es eine Kante gibt zwischen Knoten in Z und in R
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 23 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Zusammenhang zu MultilevelPartition
ZusammenhangMultilevel Partition entspricht gewurzelter BaumzerlegungZellen entsprechen BagsKind-Eltern-Relation entspricht Treebackbone
Bag ist Vereinigung vonZellenrand und Zellohne das Innere der Kinderzellen
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 24 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Beispiel
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
p c i
e ip c
h ep c
p c
f p c
f gp c
n om omp f mp b f c a b f
j r ik l j
q rp i
p r i
d e c
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 25 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Beispiel
c d
h
q
g
p
e
i
r
j
k
l
ba
f
m
n
o
q rp ij r ik l j e i
p ch ep c
d e c
n om omp f mp f gp c b f c a b f
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 26 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Straßengraph
orange Knoten sind in einem BagBeispiel ist ein Pfad im Treebackbone von 6 Bags
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 27 – 29. Mai 2014
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Straßengraph
orange Knoten sind in einem BagBeispiel ist ein Pfad im Treebackbone von 6 Bags
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 27 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Straßengraph
orange Knoten sind in einem BagBeispiel ist ein Pfad im Treebackbone von 6 Bags
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 27 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Straßengraph
orange Knoten sind in einem BagBeispiel ist ein Pfad im Treebackbone von 6 Bags
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 27 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Straßengraph
orange Knoten sind in einem BagBeispiel ist ein Pfad im Treebackbone von 6 Bags
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 27 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Straßengraph
orange Knoten sind in einem BagBeispiel ist ein Pfad im Treebackbone von 6 Bags
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 27 – 29. Mai 2014
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Baumbreite Schranken
Graph Upper Treewidth Bound
DIMACS Colorado 87DIMACS Kalifornien & Nevada 127DIMACS Europa 449DIMACS USA 311OSM London 84OSM Baden-Wurttemberg 107OSM Deutschland 220
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 28 – 29. Mai 2014
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Vertex-Cover
Eingabe:einfacher Graph mit Knoten und Kantenungerichtet und ungewichtet
Ausgabe:Knotenmenge CFur jede Kante {x , y} muss x ∈ C oder y ∈ C oder beide sein
Zielfunktion:C soll moglichst klein sein
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 29 – 29. Mai 2014
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Vertex-Cover
Eingenschaften:klassisches NP-schweres Problemist FPT in der BaumbreiteLaufzeit 2tw ·m
Achtung: Die Baumbreite von Straßengraphen ist zu groß furFPT Algorithmen
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 30 – 29. Mai 2014
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Idee
Schritt 1: Find BaumzerlegungSchritt 2: Wahle irgendeinen Knoten als Wurzel aus
Idee:Speichere fur jeden Bag b eine Tabelle mit 2|b| ZeilenTabelle enthalt Zeile fur jede Auswahl an Knoten aus bJede Zeile enthalt fur jeden Knoten x aus b ein Bit ob x ∈ CJede Zeile enthalt Große eines kleinsten Vertex-Covers
Nicht der ganze Graph wird uberdecktNur durch von Knoten im Teilbaum von b induzierter SubgraphuberdecktZellensichtweise: Graph induziert durch innere und Randknotenuberdeckt
Falls nicht moglich, dann Große∞
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 31 – 29. Mai 2014
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Beispiel
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
Tabelle fur Bag {f ,p, c}f ∈ C p ∈ C c ∈ C Große C (nicht gespeichert)
◦ ◦ ◦ 4 a, b, g, o◦ ◦ • 3 c, a, o◦ • ◦ 3 p, m, b◦ • • 4 p, c, a, m
· · ·
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 32 – 29. Mai 2014
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Beispiel
ba c d
h
q
f g
m
n
po
e
i
r
j
k
l
Tabelle fur Bag {f ,p, c}f ∈ C p ∈ C c ∈ C Große C (nicht gespeichert)
· · ·• ◦ ◦ 4 f , b, o, g• ◦ • 3 f , c, o• • ◦ 4 f , p, n, b• • • 4 f , p, c, n
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 32 – 29. Mai 2014
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Algorithmus
Bottom-UpBerechne erst die Tabellen der BlatterDann die ZwischenknotenSchlussendlich die Tabelle der Wurzel
Tabellen der Blatter werden mit durchprobieren berechnetAndere Bags verwenden Tabellen ihrer KinderKleinste Große in Tabelle der Wurzel ist Endergebniss
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 33 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik
Literatur I
Hans L. Bodlaender.A tourist guide through treewidth.Acta Cybernetica, 11:1–21, 1993.
Hans L. Bodlaender.Treewidth: Structure and algorithms.In Proceedings of the 14th International Colloquium on Structural Information andCommunication Complexity, volume 4474 of Lecture Notes in Computer Science,pages 11–25. Springer, 2007.
Jean Blair and Barry Peyton.An introduction to chordal graphs and clique trees.In Graph Theory and Sparse Matrix Computation, volume 56 of The IMA Volumesin Mathematics and its Applications, pages 1–29. Springer, 1993.
Ben Strasser – Algorithmen fur RoutenplanungFolie 34 – 29. Mai 2014
Institut fur Theoretische InformatikLehrstuhl Algorithmik