Algorithmoi Notes2005 6 (Aristoteleio Panepisthmio

8/7/2019 Algorithmoi Notes2005 6 (Aristoteleio Panepisthmio

http://slidepdf.com/reader/full/algorithmoi-notes2005-6-aristoteleio-panepisthmio 1/19

Í Ô Ó Ð Ó × Ø Ë Ù × Ø Ñ Ø Ð Ö Ñ Ó

º Æ Ø Ð Ô Ó Ù Ð Ó

Ì Ñ Ñ À Ð Ø Ö Ó Ð Û Ò Å Õ Ò ô Ò Å Õ Ò ô Ò Í Ô Ó Ð Ó × Ø ô Ò

Ö × Ø Ó Ø Ð Ó È Ò Ô × Ø Ñ Ó Â × × Ð Ó Ò

Æ Ó Ñ Ö Ó ¾ ¼ ¼



È Ö Õ Ñ Ò

½ Ç Ð Ö Ñ Ó Ø Õ Ö Ø Ö × Ø Ø Ó Ù ¾

½ º ½ Ì Ò Ó Ð Ö Ñ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

½ º ¾ É Ö Ø Ö × Ø Ø Û Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿

½ º ¿ Ç Ö Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ º Í Ô Ó Ð Ó × Ø È Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ º º ½ Ì Ü Ñ Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ º º ¾ Ê Ù Ñ Ü × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ º º ¿ Å Õ Ö × Ñ Ö Ö Õ Ø Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ð Ó Ö Ñ Û Ò º º º

½ º º Ë Ö × Ø Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ð Ó Ö Ñ Û Ò º º º º º º º º º º

½ º º À Ð × Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò

P º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ º º À Ð × Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò N P º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

½ º º À Ð × Ø Û Ò N P ¹ Ó Ñ Ô Ð Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼

½ º º Ë Õ Ð Ô Ö Ø Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼

¾ Ò Ù Ñ Ò Ó Ð Ö Ñ Ó ½ ¾

¾ º ½ Ö × Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

¾ º ½ º ½ Ç Ö × Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

¾ º ½ º ¾ Ö × Ñ × Ø Ó Ù Ñ Ö × Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

¾ º ½ º ¿ Ì Ü Ò Ñ × Ñ Ö × Ð Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿

¾ º ¾ Ù Ò Ñ Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø × Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

¾ º ¾ º ½ Ç Ö × Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

¾ º ¾ º ¾ Ì Ó Ô Ö Ð Ñ Õ Û × Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

¾ º ¿ ³ Ô Ð × Ø Ó Ð Ö Ñ Ó ´ Ö Ý Ð Ó Ö Ø Ñ × µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

¾ º ¿ º ½ Ç Ö × Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

¾ º ¿ º ¾ Ð Ø × Ø Ø Ó Ô Ó Ø × Ö Õ Û Ò × Ñ Ò Ø Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º ½

½



Ã Ð Ó ½

Ç Ð Ö Ñ Ó Ø Õ Ö Ø Ö × Ø

Ø Ó Ù

½ º ½ Ì Ò Ó Ð Ö Ñ Ó

³ Ò Ð Ö Ñ Ó Ò Ñ × Ù Ò Ø Ô Ó Ù Ô Ö Ö Ñ × Ù Ö Ñ Ò × Ô Ð Ù × Ò

Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º

× Ø Ó Ñ ¸ Ô Ö Ñ ¸ Ø Ó Ô Ö Ð Ñ Ø Ò Ö × Ø Ó Ù Ñ × Ø Ó Ù Ñ Ø Ü Ò Ô Ö ¹

Ñ Ø ô Ò Ö Ñ ô Ò º À Ø Ð × Ø Ó Ù Ô Ö Ø Û Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ô Ö Õ Ø Ð × Ø Ó Ù Ò Ð Û Ô Ö Ó Ð ¹

Ñ Ø Ó Ò Ó Ò

× 1Ô Ò Ô Ö Õ Ø Ó Ù Ò Ö Ñ Ó

Ð Ö Ñ Ó ½ º Ö × Ø Ó Ù Ñ × Ø Ó Ù Ò Ö Ñ ô Ò

½

function max(A,n)

max_val:=A(1)

for i=2:n

if (max_val < A(i))

then max_val:=A(i)

endif

end

return max_val

Ò Ò Ö Ó Ò Ò × Õ Ó Ð × Ó Ù Ñ Ø × Ô Ó Ù Ô Ö Ö Ø Ô Ò Ò Ð Ö Ñ Ó

Ô Ö Ô Ò Ò Ö Ø Ò ô × Ø Ø Ð × ³ ³ Ø Ó Ù Ò Ó × Ø Ò Ô Ð Ù × Ø Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Õ Ó Ù

½

Ø Ò Ô Ö Ö Ø Û Ò Ñ Ø Û Ò Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Õ Ö × Ñ Ó Ô Ó Ø Ô Ö Ô Ò Û Ñ Ý Ù Ó Ð ô × × Ñ × Õ Ø Ô Ö Ó Ò

Ö Ñ Ò º Ë Ø Ò Ô Ö Ü Ó Ô Ó Ô Ó Ø Ð ô × × Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø × Ñ Ó Ñ Ô Ó Ö Ò Ø Ò Ò Ø Ø × Ø × º

¾



Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ò Ü Ö Ø Ø Ô Ø × Ø Ó Ø Ø Ñ Ø Û Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ò Ø Ó Ù º Ô Ö Ñ ¸ Ó Ð

Ñ Ô Ó Ö Ò Ð Õ Ø Ó Ô Ö Ô Ò Û Ð Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ô Ù Ñ Ø Ð × Ò Ü Ö Ø Ø ´ µ Ø Ó Ù

Ô Ð Ó Ù Ò ´ µ Ø Û Ò × Ù Ö Ñ Ò Û Ò Ø Ñ ô Ò

(

)

= 1 Ò º Ï × Ø × Ó Ò Ô Ø Ö Ô Ø Ò

Ð Ö Ñ Ó Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ð Ô Ö Ó × Ó Ö × Ñ Ò × Ù Ò º Ô Ö Ñ Ó Ô Ö Ø Û

Ð Ö Ñ Ó ´ ¾ µ Ð Ò Ø Ó Ô Ö Ð Ñ Ö × Ø Ó Ù Ñ × Ø Ó Ù Ù Ô Ø × Ù Ò

(

) 0

Ð Ö Ñ Ó ¾ º Ö × Ø Ó Ù Ñ × Ø Ó Ù Ò Ñ Ö Ò Ø ô Ò Ö Ñ ô Ò

function max(A,n)

max_val:=0

for i=1:n

if (max_val < A(i))

then max_val:=A(i)

endif

end

return max_val

Ç Ð Ö Ñ Ó Ô Ö Õ Ó Ù Ò Ñ Ø Ô Ó Ù Ø Ô Ö Ô Ø Û × Ò Ø × Ø Ó Õ Ó Ò × Ô Ö Ü ¸ Ô Ö Ó × Ô Ð ×

× Ø Ò Ñ Ò Ñ ¸ Ð Õ Ó Ù Ð Ö Û Ò × Ù Ò ô Ò ´ Ô º Õ º × Ù Ö × µ º Ð Ô º

½ º ¾ É Ö Ø Ö × Ø Ø Û Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò

Ó Ò Ø Ó Ò × Ù Ö Ñ Ò Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ø × Ù Ò Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ¸ Ø Ô Ö Ó Ø Ñ × Ò

Ð Ó Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ¸ Ô Ó Ù Ò Ô Ö Ó × Ó Ö Þ Ø Ò Ô Ð Ù × Ø Ó Ù Ò Ø Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ó Ø Ó Ñ Ò Ó º Ë Ø

× Ø × Ù Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ¬ Ò Ö Ñ × Ø Ñ Ø Ó Ò Ö Ó × Õ × º À × Õ ×

Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ò Ø × Ñ Ò Ó Ø × Ô Ó Ù Ñ Û Ù Ô Ó Ó Ø Ô Ñ Ñ Ø

Ö Ð Ô Ó Ù Ô Ø Ö Ô Ó Ù Ò Ø Ð Ø × Ø Ó Ô Ó × Ø º

Ì Ù Ô Ö Û Ø Ñ Ø Ô Ó Ù Ò Ø Ñ Ø Û Ô Þ Ó Ò Ø × Ø ¯ × Ø × Õ × Ò

½ º Í Ô Ö Õ Ð Ö Ñ Ó Ô Ó Ù Ô Ð Ø Ó Ó × Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ

¾ º Ç Ð Ö Ñ Ó Ô Ó Ù × Õ × Ø Ð Ò Ó Ö Ø Ó Ó × Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Ï Ò Ø Ô Ö Ñ ¸ Ó

Ð Ö Ñ Ó ´ ¾ µ Ò Ò Ó Ö × Ø Ò Ô Ö Ô Ø Û × Ô Ó Ù Ø Ó Ô Ö Ð Ñ Ö × Ø Ó Ù Ñ × Ø Ó Ù

Ô Ù Ñ Ò Ð Ý Ø Ó Ù Ö Ò Ø Ó Ö Ñ Ó º

¿ º È Ó Ø Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø × Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Å Ô Ó Ö Ó Ñ Ò Ø Ó ´ Ô Ö Ó µ Ù Ô Ó Ð Ó × Ó Ù Ñ Ô Ö Ò

Ø Ð × Ó Ù Ñ Ø Ó Ò Ð Ö Ñ Ó

¿



º Í Ô Ö Õ Ô Ö Ø Õ Ö × Ñ Ó Ð Ö Ñ Ó Ô Ó Ù Ô Ð Ø Ó Ó × Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Í Ô Ö Õ Ð

Ð Ö Ñ Ó Ø Ó Ù Ó Ô Ó Ó Ù Ø Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø × Ø Ó Ò Ñ Ò Ù Ü Ò Ö Ñ Ø Ø Ò Ñ Ð ô Ò

Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó

º Å Ø Ü Ó Ó Ö ô Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ô Ó Ù × Õ × Ø Ò Ò Ð Ò Ó Ù Ò Ø Ó Ó × Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Ô Ó

Õ Ø Ó Ñ Ö Ø Ö Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø × Ø Ó

³ Ç × Ó Ò Ó Ö × Ø Ó Ö ô Ø Ñ ´ ½ µ Ô Ò Ø × Ò Ò Ô Ò Ø Ø Ø º Å Ô Ó Ö Ø Ò Ô Ö Ó Ð Ñ ¹

Ø × Ø Ø × Õ Ø Ò Þ Ø ô Ò Ø Ô Ó Ø Ø Ñ Ô Ö Ü Ð Ó Ö Ñ Ô Ð Ù × Ñ Ø Ø º Ë Ø

× Ù Ò Õ ¬ Ö Ù Ò × Ó Ù Ñ Ø Ò Ô Ò Ø × × Ø Ö Û Ø Ñ Ø ´ ¾ µ ¹ ´ µ º

½ º ¿ Ç Ö Ø Ø

³ Ò Ð Ö Ñ Ó Ò Ó Ö Ø Ò Û Ô Ó Ø Ð × Ñ Ø Ø Ð × Ø Ó Ù Ô Ö Õ Ø Ò Ó Ö Ô Ò Ø ×

× Ò Ó × Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Ò Ü Ö Ø Ø Ø Û Ò × Ù Ö Ñ Ò Û Ò Ø Ñ ô Ò Ø Û Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ò Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º

Í Ô Ö Õ Ó Ù Ò Ó Ù Ö Û Ø Ö Ô Ó Ø Ó Ò Ð Õ Ó Ø Ó Ö Ø Ø

½ º Ô Ü Ñ Ñ Ñ Ø Ö Ð ´ × Ù Ò Û Ñ Ø Ñ Ñ Ø Ô Û µ

¾ º Ó Ð Õ Ó Ø Ô Ò Ø × × Ò × Ø Ø × Ø × Ñ Ò Ø Ô Ð Ó Ò Ð Ð Ø ô Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Û Ò

Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º

Ë Ô Ö Ô Ø Û × Ñ Ó Ö Ø Ø Ô Ó Ò Ø Ñ Ø Ò Ò Ö × × Ø Û Ò Ò Ø Ô Ö Ñ ¹

Ø Ó º

È Ö Ñ ½ º ½ º Ô Ü Ø Ó Ö Ø Ø Ñ Ñ Ñ Ø Ô Û

³ × Ø Û Ø Ð Õ Ø Ó Ö Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ ½ µ º

Ò

= 1Ó Ð Ö Ñ Ó Ò Ó Ö Ø Ø Ñ Ñ Ü Ú Ð

=

(1) Ò Ô Ö Ó Ò ô Ñ × Ø º

³ × Ø Û Ø Ó Ð Ö Ñ Ó Ò Ó Ö Ò

= º Ö Ò Ü Ó Ù Ñ Ø Ò Ó Ö

Ò

=

+ 1º ´ Ò Ø Ó Ô Ø Õ Ó Ù Ñ Ø Ø × Ñ Û Ò Ñ Ø Ò Ñ Ó Ó Ø Ñ Ñ Ø Ô Û × Ù Ò Ó Ù Ñ

Ø Ò Ó Ö ¯ Ù × Ò 1µ º À Ö Ñ Ó Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù × Ò Ò Ô Ò × Ø × Û Ò

(

+ 1) × 1Ñ Ø Ô Ø Ð × Ø Ó Ù Ó Ö Ð Ó Ó Ô

− 1¯ Ó Ö × Ó Ù Ò Ñ Ñ Ø Ò Ó Ð Ó Ð Ö Û × Ø Ó Ù

Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ó × Ò Ù Ø Ò Õ Ö Ñ Ó × Ø × Ô Ò × Ø × Û Ò

× 1Ñ × Ø Ó Õ Ø Ù Ø × Ñ

Ô Ö Ó Ø Ô Ö ô Ø × Ø Ó Õ Ø Ó Ù º Ë Ù Ò Ô ô Ñ Õ Ö Ù Ø Ø Ó Ñ Ñ Ø Ð Ø Ñ Ü Ú Ð Ô Ö Õ

Ø Ñ × Ø Ø Ñ Ø Ó Ù º Ñ × Ø × Ó Ù Ö Ó Ù Ø Ó Ñ Ò Ó Ù Ø Ù Ô Ó × Ñ Ø Ó Ð Ö Ñ Ó Ò

Ó Ö Ò

= º Ó Ò Ó Ñ × Ó Ù Ñ Ù Ø Ø Ò Ø Ñ Å Î Ä

º Ò Ô Ó Ñ Ò Û Å Î Ä

(

) =

(

) ∀

= 1 º Ë Ø Ò Ø Ð Ù Ø Ø Ð × Ø Ó Ù Ó Ö Ð Ó Ó Ô × Ø Ò Ñ Ø Ð Ø Ñ Ü Ú Ð Ò Ø Ø Ø Ñ

Ñ Ü

(Å Î Ä

(

+ 1)) Ð Ø Ó Ñ × Ø Ó Ñ Ø Ü Ø Ø Ö Õ Ó Ù × Ø Ñ Ø Ø Ó Ù Ø Ð Ù Ø Ó Ù



× Ø Ó Õ Ó Ù Ø Ó Ù Ô Ò ¹ Ø Ó Ù Ñ Ò Ó Ù Ð × Ø Ó Õ Ó Ù Ô Ó Ù Ô Ö Ð Ñ Ò Ø × Ø Ó Ò Ð Ð Õ × Ø Ó º

Ï Ô Ó Ø Ð × Ñ Ø Ð Ø Ñ Ø Ñ Ü Ú Ð Ò Å Î Ä

+1

(

) ∀

= 1

+ 1¸ Ð

Ô Ù Ñ Ø º

½ º Í Ô Ó Ð Ó × Ø È Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

Ï Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø ´ Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ó Ñ Ô Ð Ü Ø Ý µ Ò Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ó Ö Þ Ø Ó Ö Ñ

Ø Û Ò × Ø Ó Õ Û ô Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ô Ò Ô Ó Ù Ô Ö Ñ Ø Ó Ô Ó Ó Ò Ø Ø Ø Ò Ø Ð × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ø Ò

Ô Ð Ù × Ø Ó Ù Ò Ø × Ø Ó Õ Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º Ï × Ø Ó Õ ô Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ô Ó Ö Ó Ò Ò ¬ Û Ö Ó Ò Ó

Ñ Ñ Ó Ò Û Ñ Ò Ô Ö Ü ´ Ô º Õ º ¸ Ó Ö Ô Ö Ñ Ø Ô Ö Ó × × ¸ Ó Ô Ó Ð Ð Ô Ð × × Ñ Ó ¸ º Ð Ô º µ ¸

Ó Ö Ñ Ø × Ù Ö × Ò Ø Ö Ó Ô Ó Ó Ô Ó Ø Ñ Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Õ × Ø Ö

Ñ Ø Ö × Ñ Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø × Ø Ó º

À Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ü Ö Ø Ø Ô Ø Ó Ñ Ó Ò Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó ¸ × Ù Ò Ô ô Ò

Ð Ó Ó Ò Ø Ò ¬ Û Ö Ó Ñ × Ù Ò Ö Ø × Ø Ñ Ó Ö

: N → NÔ Ó Ù × Ù Ö Ñ Ò Ó Ñ Ó Ò

Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ñ Ô × Ø Ö Ø Ó Ô Ð Ó

(Ò

)Ø Û Ò × Ø Ó Õ Û ô Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ô Ò Ô Ó Ù Ô Ø Ó Ò Ø

Ø Ò Ø Ð × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù º

È Ö Ñ ½ º ¾ º À Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ ½ µ Ò

(Ò

) =Ò

− 1 Ò × Ò

× Ø Ó Õ ô Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ¬ Û Ö × Ó Ù Ñ Ø × Ö × Ñ Ø Ü Ø Ñ Ø Ð Ø Ñ Ü Ú Ð Ò × Ø Ó Õ Ó Ù

Ø Ó Ù Ô Ò º ô Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ø Ù Ø Þ Ø Ñ Ø Ó Ô Ð Ó Ò Ø Û Ò × Ø Ó Õ Û Ò Ø Ó Ù Ô Ò

º

Ü Þ Ò Ô × Ñ Ò Ó Ù Ñ Ø Ò × Ù Ö Ñ Ò Ó Ð Ö Ñ Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

Ü Ö Ø Ø Ô Ø Ò Ô Ð Ó Ø Ó Ù Ø Ô Ó Ù Ø Û Ò × Ø Ó Õ Û ô Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ô Ò Ô Ó Ù Ô Ù Ñ Ó Ñ Ò Ñ Ø Ö ¹

× Ó Ù Ñ º ³ Ø × × Ø Ó Ô Ö Ô Ò Û Ô Ö Ñ Ò Ò Ø Ø Û Ò Ö Ñ Ø ô Ò × Ù Ö × Û Ò Ñ Ø Ö Ó × Ñ Ø

Ò × Ø Ñ Ó Ö Ñ Ü Ú Ð

:=

(

)̧ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ñ Ô Ó Ö Ò Ø Ò ¹

Ó Ö Ø º Ë Ù Ò Ô ô Ø Ò Ò Ö Ñ × Ø × Ö Ñ Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ô Ö Ô Ò Ô Ö Ó × Ó Ö Þ Ó Ù Ñ

Ø Ò Ñ Ó Ò Ñ Ø Ö × Ø º

Ë Ù Õ Ò Ò × Ó Ð Ó Ò Ø Ó Ò Ô Ö Ó × Ó Ö × Ó Ù Ñ Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ô ¹

Ó Ö Ñ Ø Û Ò Ô Ø Ó Ñ Ò Û Ò × Ø Ó Õ Û ô Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ô Ò Ü Ö Ø Ø Ô Ø Ø Ó Ñ Ò

Õ Ñ Ò Ó Ô Ø Ó Ñ Ó ¸ Ò ¸ Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º Ë Ù Ø Ø Ò Ô Ö Ô Ø Û × Ø Ó Ù Ñ × Ù Ò Û × Ø Ó Ò

Ô Ö Ó × Ó Ö × Ñ Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø × Ø Õ Ö Ø Ö Ô Ö Ô Ø Û × ́ Û Ó Ö × Ø × Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ó Ñ

Ô Ð Ü Ø Ý µ º Ï Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø × Ø Õ Ö Ø Ö Ô Ö Ô Ø Û × Ò Ò Ó Ó Ñ Ø Ó Ñ × Ø Ó Ö Ñ × Ø Ó Õ Û ô Ò

Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ô Ò Ô Ó Ù Ò Ù Ò Ø Ò Ô Ø Ó Ò Ø Ò Ó Ð Ó Ð Ö Û × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù º

¾

¾

Ò Ð Ð Ø Ñ Ô Ó Ö Ò Õ Ö × Ñ Ó Ô Ó Ô Ñ × Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ô Ó Ù Ó Ö Þ Ø Û Ò Ñ Ò Ñ Ò Ø Ñ ´ Ñ × Ø Ñ µ

Ø Ó Ù Ö Ñ Ó Ø Û Ò × Ø Ó Õ Û ô Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ ô Ò Ø Ò Ó Ð Ö Ñ Ó Ø Ð × Ø × Ò × Ø Ø × Ø Ò Ø Ô Ö Ó × Û Ô Ù Ø Ñ

Ñ Ò × Û Ò Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º



È Ö Ñ ½ º ¿ º À Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ ½ µ Û Ô Ö Ó Ø Ò × Ø

Ñ Ó Ö Ñ Ü Ú Ð

:=

(

) Ò Ò Ù Ò Ø Ò Ò Ô Ö Ó × Ó Ö × Ø Ô Ö ô º Ò Ô Ö Ñ Ø

× Ø Ó Õ Ø Ó Ù Ô Ò Ø Õ Ò Ò Ø Ó Ô Ó Ø Ñ Ò Ø ¯ Ò Ó Ù × × Ö ¸ Ø Ø ¸ Ò Ü Ö Ø Ø Û Ø Ó Ù Ò

Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ò × Ñ

1 ô Ñ Ò Ó Ñ Ò × ´ Ñ Ü Ú Ð

:=

(1)µ Ô Ö Ø Ò Ø Ð × Ø º

Ò Ø Ø Ò Ø Õ Ø × Ø Ó Õ Ø Ó Ù Ò Ò Ø Ó Ô Ó Ø Ñ Ò Ø Ü Ó Ù × × Ö Ñ Ð × Ø Ò

Ò Ó Ó Ö Ø Ñ Ø Ü Ø Ó Ù ¸ ¬ Ô Ø Ó Ò × Ù Ò Ó Ð

Û

(Ò

) =Ò Ò × º Ù Ø Ò

Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø × Ø Õ Ö Ø Ö Ô Ö Ô Ø Û × º

È Ö Ñ ½ º º Ì Ü Ò Ñ × Ò Ö Ñ ô Ò Ñ Ø Ñ Ó Ó Ø ¯ Ù × Ð

Ð Ö Ñ Ó ¿ º Ù Ð × Ó Ö Ø ³ × Ø Û Ò Ö Ñ Ó Ø Ó Ô Ó Ø Ñ Ò Ó × Ô Ò Ø Ø Ù Õ × Ö º Ç

Ô Ö Ø Û Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ó Ù Ø Ü Ò Ó Ñ Ø Ü Ó Ù × ´ Ø Ò Ö Ñ ¯ Ò Ó Ù × µ × Ö

function bubblesort(A,n)

for j=n-1:-1:1

for i=1:j

if (A(i)>A(i+1))

then %interchange A(i)<-->A(i+1)

tmp:=A(i)

A(i):=A(i+1)

A(i+1):=tmp

endif

end

end

return A

Ò Û Ñ Ó Ò Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ù Ð × Ó Ö Ø Õ Ö × Ñ Ó Ô Ó Ò × ³ ³ ×

Ñ Ø Ð Ø Ø Û Ò × Ø Ó Õ Û Ò Ø Ó Ù Ô Ò Ñ Ø Ð Ø ô Ò × × Ø Ó Õ Ø Ó Ù Ó Ù Ô Ò ¸ Ø Ø Ø Ð ×

Ø Û Ò Ø Ö ô Ò Ò Ø Ó Ð ô Ò Ñ Ø Ø Ó Ø Ò Õ × Ø Ó 3º Ë Ø Õ Ö Ø Ö Ô Ö Ô Ø Û ×

¿

Ù Ø Ó Ø Ö Ò Ø Ó Ð

Ø Ð Ó Ò Ø ¸ Ð ¯ Ó Ö º ³ Ö Ø Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø × Ø Ó ¯ Ó Ö Ô Ó Ù Ø Ð Ø

Ø Ó Ü Û Ø Ö Ó Ö Ð Ó Ó Ô Ò

3 × Ù Ò Ô ô Ø Ó × Ù Ò Ó Ð × Ø Ó Ò

(Ò ) =Ò

−1 =1

3 =3

2Ò (Ò − 1) ´ ½ º ½ µ

¿

Ø Ó Ò Ð Ö Ñ Ó Ù Ð × Ó Ö Ø Õ Ö Ø Ö Ô Ö Ô Ø Û × Ò Ø Ò Ó Ô Ò Ò Ö Õ Ø Ø Ñ Ò Ó × Ü Ó Ù ×

× Ö



È Ö Ñ ½ º º Ë Ù Õ ô Ò Ù × Ó Ø Ø Ñ Ò Û Ò Ô Ò Û Ò ̧ º ³ × Ø Û Ô Ò ̧ Ñ Ó Ù Ñ

Ò Ò Ø × Ø Ó Õ Ñ × Ø Ó Õ Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ ¯ Ò Ó Ù × × Ö º Ø Ø Ô Ò Ñ Ó Ù Ñ

+Ò

Ô Ó Ù Ô Ö Õ Ø × Ø Ó Õ Ø Û Ò Ó Ö Õ ô Ò Ô × Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ ¯ Ò Ó Ù × × Ö º

Ð Ö Ñ Ó º ³ × Ø Û Ô Ò ̧ Ñ Ó Ù Ñ Ò Ò Ø × Ø Ó Õ Ñ × Ø Ó Õ Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ

¯ Ò Ó Ù × × Ö º Ç Ô Ö Ø Û Ð Ö Ñ Ó Ô Ö Ô Ò Ñ Ó Ù Ñ + Ò Ô Ó Ù Ô Ö Õ Ø × Ø Ó Õ

Ø Û Ò Ó Ö Õ ô Ò Ô × Ø Ø Ñ Ò Ø Ñ ¯ Ò Ó Ù × × Ö º

function merge(A,B,m,n)

A(m+1):=INF

B(n+1):=INF

i:=1

j:=1

for k=1:m+n

if (A(i) <= B(j))

then

C(k):=A(i)

i:=i+1

else

C(k):=B(j)

j:=j+1

endif

end

return C

Ç × Ø Ö Á Æ × Ø Ò Ö Õ Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ò Ø Ô Ö Ó × Û Ô Ñ Ô Ó Ð Ñ Ð Ø Ñ ´ Ñ Ð Ø Ö

Ô × Ø Ó Õ Ó Ø Û Ò ̧ µ º

Ò Ó Ð Ó Ò Ð Õ Ó Ö Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù º

³ Ç × Ó Ò Ó Ö × Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ò Û Ñ Ó Ò Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö ¹

¬ Ñ Ó Ù Ñ Ö Õ Ö × Ñ Ó Ô Ó Ò × ³ ³ × Ø Ó Õ Û Ò Ø Û Ò Ô Ò Û Ò × ¬ × Ø Ó Ù Ô Ò ̧

Ø Ø Ø Ð × Ø Ó Ù Ó Ö Ð Ó Ó Ô Õ × Ø Ó

1 Ö Ø Ó × Ù Ò Ó Ð × Ø Ó Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ò

(Ñ Ò

) =Ñ

+Ò º

Ë Ø Ò Ô Ö Ô Ø Û × Ù Ø Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ü Ö Ø Ø Ô Ø Ó × Ø × Ñ ̧ Ò º

³ Ø × ô Ò × Ù Ò Ö Ø × Ø Ñ Ó Ö

: N2 → N



½ º º ½ Ì Ü Ñ Ó Ù

Ü Ø Þ Ó Ò Ø Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

(Ò

) Ò Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ò × Ù Õ Ò Õ Ö × Ñ Ø Ö Ó Ò

Ô Ö Ó × Ó Ö × Ó Ù Ñ Ø Ò Ø Ü Ñ Ó Ù Ø Ô Ö Ù Ø ³ Ù Ø Ø Ò Ö Ø Ö × º

Ö Þ Ñ Ò Ó Ô Û Ò Ô × Ñ ¸ Ñ × Ù Ò Ö Ø ×

(Ò

) Ò × Ø Ò Ø Ü Ñ Ó Ù

O(

)Ø

× Ù Ò Ö Ø × (Ò )¸ Ò Ù Ü Ò Ø Ø Ó Ô Ó Ð Ø × Ó Ö Ó Ö × Ó Ù Ü Ò Ø (Ò )º

Ù × Ø Ö Ø Ö Ø Ü Ñ Ó Ù

O(

)Ñ × Ù Ò Ö Ø ×

: N → NÓ Ö Þ Ø Û Ø Ó × Ò Ó Ð Ó Ø Û Ò

× Ù Ò Ö Ø × Û Ò Ô Ó Ù Ø Ð ´ Ð Ò Ñ Ð Ø Ö Ó Ô Ó Ó Ù × Ù Ö Ñ Ò Ó Ù Ò 0 µ ¯ Ö × Ó Ò Ø Ô

Ø Ô Ò Û Ô Ò Ô Ó Ð Ð Ô Ð × Ó

(Ò

)Ø

(Ò

)̧ Ð

O(

) = {

: N → N

∃× Ø Ö Ò 0 :

(Ò

)

(Ò

) ∀Ò Ò 0}

´ ½ º ¾ µ

³ Ò × Ó Ò Ñ Ó Ò Ð Ð Ø Ó Ö × Ñ Ò Ó Ð Ó Ù Ó

O(

) = {

: N → N

∃× Ø Ö

:

(Ò

)

(Ò

) +

∀Ò

∈Æ

}´ ½ º ¿ µ

Ô Ó Ù × Ø Ö

maxÒ =1 Ò 0

{

(Ò

) −

(Ò

)}

Ô Ø Ó Ù Ô Ö Ô Ò Û Ó Ö × Ñ Ó Ò ∈ O(

)Ø Ø Ò × Ø Ò Ø Ü Ñ Ó Ù Ó Ô Ó × ¹

Ô Ó Ø × Ù Ò Ö Ø × Ù Ü Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ö Ô Ø Ò º Ë Ø Ò Ô Ö Ü Ô Ò Ø Û Õ Ò Ö Ó Ò Ò

Ö Ó Ñ Ø Ð Ø Ö Ó Ü Ó Ù × × Ù Ò Ö Ø × × Ø Ó Ô Ó Ø Ò Ø Ü Ñ Ó Ù Ò Ñ Ó Ñ Ò

º

È Ö Ñ ½ º º Ì Ü Ñ Ó Ù Ô Ó Ð Ù Û Ò Ù Ñ ô Ò × Ù Ò Ö Ø × Û Ò

À × Ù Ò Ö Ø ×

(Ò

) = 2Ò

2 + 5Ò

+ 4 ∈ O(Ò

3)º È Ö Ñ Ø ¸ Ò

3 Ó Ð Ô × Ø ô Ò Ó Ù Ñ Ø

(Ò ) (Ò ) Ó Ô Ø × Ù Ò Ò Ó Ô Ó Ø = 1 Ò 0 = 3 º È Õ Ö × Ñ Ó Ò Ñ Û Ø Ó Ó Ò

Ø

∈ O(Ò

2)º È Ö Ñ Ø ¸ Ò Ô Ð Ü Ó Ù Ñ

= 2 + 5 + 4 = 11

= 4Ñ Ô Ó Ö Ó Ñ Ó Ð Ò

Ô Ð × Ó Ù Ñ Ø

(Ò

) 11Ò

2 + 4º

À Ô × Ø Û × Ù Ø Ò Ø º Ó Ð Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ü Ø Ø Ó Ô Ó Ô Ó Ø Ô Ó Ð Ù Û Ò Ù Ñ

× Ù Ò Ö Ø × Ø Ñ Ó Ö

(Ò

) =

Ò

+

−1 Ò

−1 +

+ 1 Ò

+ 0 ∈ O(

Ò

) Ò Ó Ô Ó ô Ò Ø Ø

× Ù Ò Ø Ü × Û × ´ ½ º ¿ µ

=

=0

= 0 º

È Ö Ñ ½ º º Ì Ü Ñ Ó Ù Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ ¿ µ ́ Ù Ð × Ó Ö Ø µ Ì Ó Ù Ô Ó Ð Ó × Ø × Ø Ó Ø Ó Ù

Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ù Ø Ó Ö ´ Ð º Ô Ö Ô Ò Û µ Ò Ò

(Ò

) = 3

2Ò

(Ò

− 1) = 3

2Ò

2 − 3

2Ò

∈ O(Ò

2)º

½ º º ¾ Ê Ù Ñ Ü ×

Ç Ö Þ Ó Ù Ñ Ø Ó × Ù Ò Ö Ø ×

(Ò

)

(Ò

) Õ Ó Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ù Ñ Ü × Ö Ó Ù Ñ

≈ Ø Ò

∈ O(

) Ø Ù Ø Õ Ö Ó Ò

∈ O(

)º À × Õ ×

≈ Ò × Õ × × Ó Ù Ò Ñ ´ Ð Ò Ð × Ø

≈ ¸ × Ù Ñ Ñ Ø Ö

≈

⇒

≈ Ñ Ø Ø

≈

≈

⇒

≈ µ º

Ò Ô Ø Ò Ð Ð Ñ Ö Ò

∈ O(

) Ð Ð

∈ O(

)Ø Ø Ó Ù Ñ Ü × Ø

(Ò

) Ò

Ñ Ö Ø Ö Ó Ô Ø Ó Ù Ñ Ü × Ø (Ò )º



½ º º ¿ Å Õ Ö × Ñ Ö Ö Õ Ø Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ð Ó Ö Ñ Û Ò

Ó Ð Ñ Ô Ó Ö Ò Ô Ó Õ Ø

O(Ò

) ⊂ O(Ò

log(Ò

)) ⊂ O(Ò

+1) ⊂ O(2Ò ) ⊂ O(Ò

!) ⊂ O(Ò

Ò ) ´ ½ º µ

Ë Ù Ò Ô ô Ò Ô Ö Ñ Ò Ð Ö Ñ Ó Õ Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø (Ò ) ≈ Ò log(Ò )

Ò Ô Ö Ó Ø Ñ Ø Ö Ó Ô Ò Ò Ð Ð Ó Ñ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

(Ò

) ≈ Ò

2 Ù Ø Ñ Ø × Ö Ø Ó Ù Ò

Ô Ö Ó Ø Ñ Ø Ö Ó Ô Ò Ò Ø Ö Ø Ó Ñ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

(Ò

) ≈ 2Ò

º

½ º º Ë Ö × Ø Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ð Ó Ö Ñ Û Ò

Ù Ô Ó × Ó Ù Ñ Ø Ó Ò Ð Ð Ø Ó Ð Ö Ñ Ó ´ Ô Ó Ù Ô Ð Ó Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ö Ð Ñ µ Õ Ó Ù Ò Ù Ô Ó Ð Ó × ¹

Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

(Ò

)̧

(Ò

) Ô Ó Ù Ò Ø Ó Ñ Ó Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º Ì Ø × Õ Ó Ù Ò Ó Ô Ö Ø Û

Ô Ó Ó Ø Ô Ö Ø Ö ×

½ º Ò Ó Ù Ñ Ü × Ø

(Ò

) Ò Ñ Ö Ø Ö Ó Ô Ø Ó Ù Ñ Ü × Ø

(Ò

)Ø Ø Ñ

Ö Ø Ö Ó Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ô Ð Ø Ó Ô Ö ô Ø Ó Ò Ò Ø Ø Ó Ù Ø Ö Ó Ù º

¾ º Ò

≈ Ø Ø Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ø Ó Ù Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ò Ô Ö Ñ Ö Ø Ð Ñ Ø Ü

Ø Ó Ù Ô Ð Ó Ö Ò Ø × Ø Ð Ô Ø Ó Ñ Ö Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø × Ø Ø Ó Ù Ù Ð Ó Ô Ó × º

¿ º Ç Ð Ö Ñ Ó Ñ Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ñ Ó Ö

(Ò

) =

Ò

+

−1 Ò

−1 +

+

1Ò

+

0 ∈ O(Ò

)Ó Ò Ó Ñ Þ Ó Ò Ø Ô Ó Ð Ù Û Ò Ù Ñ Ó Ð Ö Ñ Ó Ñ Ó º Å Ø Ü Ó

Ô Ó Ð Ù Û Ò Ù Ñ ô Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ô Ö Ó Ø Ñ Ø Ö Ó Ò Ù Ø Ñ Ø Ó Ñ Ö Ø Ö Ó Ñ º


P

Ò Ò Ô Ö Ð Ñ Ô Ó × Ó Ô × Ø Ð Ý Ñ Ù Ô × ´ Ò » Õ µ Ø Ø Ð Ø Ô Ö Ð Ñ

Ô × º Ô Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ô × × Ô Õ Ó Ò Ø Ð × Ô Ô Ó Ð Ù Û Ò Ù Ñ Ó Ð Ö ¹

Ñ Ó Ù Ô Ó Ø Ð Ó Ò Ø Ò Ð × ´ Ó Ó Ò µ

P º


N P

³ × Ø Û Ò Ô Ö Ð Ñ Ô × Ñ Ó Ù Ò Ø Ñ Ó Ö Ì Ó Ñ Ò × Ó Ù

A = (

(1)

(Ò

))

Ò Ó Ô Ó Ó Ò Ø × Ù Ò

C º

Ô Ö Ñ ¸ ¬ Û Ö × Ø Ø Ó Ü Ô Ö Ð Ñ Ó Ò Ø Ó Ò ¯ Ù × Ó Ö Ñ Ó Ñ Ñ Ù

Ò Ô Ö × Ø ×

=

Ò

Ò −1 1

∈ {0

1} Ð Ü Ø Ò Ù Ø Ò × Ò Ø Ó ´ Õ Ö Ó Ù

Ö Ø µ º



³ × Ø Û Ø ô Ö Ø Ò Ð Û × Ù Ò Ò Ó Ô Ó Ø Ò Ö × Ø Û Ò Ñ Ö Ø Ù Ö Ð

Ø º Ø Ó Ô Ö Ó Ó Ñ Ò Ó Ô Ö Ñ Ö Ò Ö × Ø Û Ò Ö Ó Ô Ó Ù Ò Ö Ø Ó Ò

º

Í Ô Ó × Ø Ø ô Ö Ø Ò Ô Ñ Õ Ò ¬ Ô Ö Ó Ø Ò Ò Ò Ñ Ö Ø Ù Ö

BÑ Ó Ù Ñ

Ò

´ Ô Ó Ù ∈ NÑ × Ø Ö µ Ô Ö Ó Ñ Ò Ó Ù Ò Ñ Ô Ð Ð Ü Ô Ø × Ò Ö × Ô Ó Ù

Ò Ó Ò Ô Ó Ø Ð Ñ Ö Ó Ø Ð × Ø Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º Ø Ó Ô Ö Ó Ó Ñ Ò Ó Ô Ö Ñ × Ø Û Ø

Ñ Ô Ö Ó Ø Ò Ø Ó Ö Ó

=

Ò

Ò −1 1

∈ {0

1}Ñ Ó Ù Ñ

=Ò

1 ́

= 1µ º

È Ð Ó Ò Ô Ð Ù × Ø Ó Ù Ö Õ Ó Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ô Ö Ó Ö Þ Ø × Ø Ó Ò Ð Õ Ó Ø Ó Ù Ø Ô × Ó Ó Ñ Ö Ø Ù Ö

Ù Ø Ò Ò Ø Û Ü Ô × Ø Ó º Ç Ò Ð Û Ð Õ Ó Ô Ó Ø Ð Ò Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Ñ × Ó Ó Ø Ó Ñ Ò

Ø Ó Ù Ö Õ Ó Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ø Ó Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ñ Ò Ó Ñ Ö Ø Ù Ö º Ø Ó Ô Ö Ñ Ñ Ø Ó Ò Ó Ô Ö Ð Ñ

Õ Ø Ñ Ó Ö Ð Ü Ø Ò Ó Ö Ø Ó Ò º

Ò Ø Ó ´ Ò Ó µ Ô Ö Ð Ñ Ð Õ Ó Ù Ø Ó Ù Ñ Ö Ø Ù Ö Ò × Ø Ò Ð ×

P ̧Ø Ø Ó Ö Þ Ó Ù Ñ Ô Û Ø Ó Ö Õ

Ô Ö Ð Ñ Ò × Ø Ò Ð ×

N P º

Ò Ó Ð Ó Ò Ð Õ Ø

P ⊆ N P ´ ½ º µ

È Ö Ñ Ò Û × Ø × Ó Ò Ô Ø × Ø

P ⊂ N P ´ ½ º µ

À Ø Ð Ù Ø Ô Ö Ø Ö × Ù Ô Ó Ð ô Ò Ø Ò Ü Ò Ó Ñ Ò Û Ö Þ Ó Ù Ñ Ñ × Ö Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò

Ø Ð ×

N P Ð Ð Ò Ñ Ô Ó Ö Ó Ñ Ñ Ø Ø Ò Ô Ó Ð × Ó Ù Ñ Ø Ü Ö × Ô Ó Û Ò

Ð Ø Ö Û Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ô Ð Ù × Ø Ó Ù ¬ Ø Ø Ø × × Ø Ò Ð × P º

½ º º À Ð × Ø Û Ò

N P ¹ Ó Ñ Ô Ð Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò

Ï × Ù Ò Ô Ø Ô Ö Ó Ò Ö × Ò Ó Ñ Ó Ö Þ Ø Ñ Ð ×

NPC × Ó Ð Û Ò Ô Ö Ó Ð ¹

Ñ Ø Û Ò Ñ Ø Ò Ó Ò Ó Ñ × N P ¹ Ó Ñ Ô Ð Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø º Ì Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ø Ð × Ù Ø Õ Ó Ù Ò

Ó Ø Ø

½ º Ò Ó Ù Ò × Ø Ò Ð × N P

¾ º Ò × Ø Û Ò Ô Ù Ø Ô Ó Õ ´ × Ø Ó Ñ Ð Ð Ó Ò µ Ø Ò × Ø Ò Ð ×

P Ø Ø Ù ¹

Ø Ó Ñ Ø Û ¬ Õ Ô Ó Õ Ø

N P C ⊂ P ¸ Ð Ð Ø

N P ¹ Ó Ñ Ô Ð Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ø ¬

Ø Ò Ô Ó Ð Ù Û Ò Ù Ñ Ô Ð × Ñ º

½ º º Ë Õ Ð Ô Ö Ø Ö ×

Ô Ø Ò Ô Ö Ô Ò Û × Ù Þ Ø × Ô Ö Ô Ò Õ Ò × Ø Ô Ø

N P Ô Ö Ó Ð Ñ Ø ¸ Ø

P Ò

Ø Ó Ð Ø N P ¹ Ó Ñ Ô Ð Ø Ø × Ó Ð ô Ô Ö Ó Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ø Ó Ù Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø º

½ ¼



Ô Ø Ò Ð Ð Ñ Ö Ñ Ô Ó Ö Ò Ô Ó Õ Ø Ð Ø

N P Ô Ö Ó Ð Ñ Ø ¸ Ô Ö Ð Ñ Ò Ó Ñ Ò Û Ò

Ø Û Ò N P ¹ Ó Ñ Ô Ð Ø Ô Õ Ó Ò Ø Ð Ö Ñ Ó Ù Ñ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

(Ò

) ∈ O(2Ò )º Ò Ð

Ð Ø Ö Ó Ø Ó Ô Ó Ð × Ó Ò Ñ Ó Ñ Ð Ö Ñ Ó Ù Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø º

½ ½



Ã Ð Ó ¾

Ò Ù Ñ Ò Ó Ð Ö Ñ Ó

Ò × Ù Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Ô Ð Ø Ñ Ø Õ Ö × Ü Ù Ñ Ò Û Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò ¸ Ù Ô ¹

Ö Õ Ó Ù Ò Ó Ö × Ñ Ò Ó Ó Ò Ô Ö Ø Ù Ô Û Ò Ð Ó Ö Ñ Û Ò Ñ Ó Ò Õ Ö Ø Ö × Ø × Ó Ò Ó Ö × Ø

Ñ Ó Ó Ð Ó Ø Ó Ù Ø ³ Ô Ø × Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ø Ó Ù Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø º Ë Ø × Ù Ò Õ Ô Ö Ó Ù × ¹

Ó Ò Ø Ø Ö × Ø Ø Ó Ó Ó Ò ô Ò Ø × Ø Ó Õ Ô Ö Ñ Ø Õ Ö × Ø Ó Ù Ø Ò

Ô Ð Ù × × Ù Ö Ñ Ò Û Ò Ò Û × Ø ô Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò º

¾ º ½ Ö × Ð Ù

¾ º ½ º ½ Ç Ö × Ñ

Ç Ð Ö Ñ Ó Ø Ó Ó Ò Ö × Ð Ù Ò Ó Ù Ò Ø Ð × Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ñ Ó Ù

Ò × Ø Ò Ô Ð Ù × Ó Ù Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò Ø Ó Ù Ó Ù Ø Ô Ó Ù Ñ Ó Ù

∼Ò

2´ Ø Ò Ö

⌊Ò

2⌋

⌈ Ò

2⌉µ º À × Ù Ò Ó Ð Ð × Ô Ö Ó Ô Ø Ô Ø Ó × Ù Ò Ù × Ñ Ø Û Ò Ó Ô Ñ Ö Ó Ù Ð × Û Ò º Ù Ø

Ø Ø Ø Ó Ù Ö Ö Ñ Þ Ø Ò Ö Ó Ñ

log2(Ò

)¯ Ó Ö Ñ Õ Ö Ø Ò Ø Ø Ñ × Ø Ó Ù Ö Õ Ó

Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó × × Ø Ó Õ ô Ù Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ñ Ó Ù

1º

¾ º ½ º ¾ Ö × Ñ × Ø Ó Ù Ñ Ö × Ð Ù

Ð Ö Ñ Ó º Ö × Ø Ó Ù Ñ × Ø Ó Ù Ò

= 2

Ö Ñ ô Ò Ç Ð Ó Ù Ó Ò Ö Ó Ñ Ð Ö Ñ Ó

Ù Ð Ó Ô Ó × Ø Ó × Ù Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ð Ñ Ø Ñ Ó Ó Ö × Ð Ù º

function maxdc[i,j]

if (i-j)<=1

then return max[A(i),A(j)]

else

medij=floor[(i+j)/2]

½ ¾



max1:=maxdc[i,medij]

max2:=maxdc[medij+1,j]

return max[max1,max2]

endif

Ì Ó Ô Ù Ñ Ø Ô Ó Ø Ð × Ñ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ð × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ñ Ó Ö × Ñ Ø

max_val:=maxdc[1,n]

³ Ç × Ó Ó Ø ̧ Ö Ó Ù Ò Ó Ô Ò Ù Ô Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ñ º Ò

= 2

×

Ù Ø ¬ Ô Ò Ð − 1¯ Ó Ö Û Ø Ó Ù Ó Ò Õ Õ Û Ö × Ø × Ò

2 º Ì Ø Ò Ö Ó Ñ

× ¬ Ö Õ × Ò Ô × Ø Ö º Ç Ô Ö ô Ø Ø Ñ Ô Ó Ù ¬ Ô × Ø Ö Ó Ò ¬ Ò Ø Ñ × Ø

Ô Ù º Ë Ø × Ù Ò Õ Ø Ñ × Ø Ò Ñ × × Ø Ô Ó Ø Ð × Ñ Ø Ø Û Ò

1 ¹

2 ̧

3 ¹

4 ¸ º Ð Ô º

Ù Û Ò ¸ Ó Ø Û Ü Ñ Õ Ö Ø Ð Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ø Ó × Ù Ò Ó Ð Ñ × Ø Ó º

À Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø ¸

(Ò

)̧Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ Û Ô Ö Ó Ø Ó Ò Ö Ñ × Ù Ö × Û Ò Ø

Ø Ó Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ñ Ø × Ù Ò Ö Ø ×

max[Ü Ý

]µ Ù Ô Ó Ð Ó Þ Ø Û Ü

(Ò

) =

1Ò

= 2

2

(Ò

2) + 1Ò

2´ ¾ º ½ µ

³ Ö Ò

= 2

(Ò ) = 2 (Ò 2) + 1 ´ ¾ º ¾ µ

2

(Ò

2) = 4

(Ò

4) + 2´ ¾ º ¿ µ

4

(Ò

4) = 8

(Ò

8) + 4´ ¾ º µ

· · ·´ ¾ º µ

2

−1 (2) = 2

−1´ ¾ º µ

Ç Ô Ø Ô Ö Ó × Ø Ó Ò Ø Ø Ñ Ð

(Ò

) = 1 + 2 + 4 + 2 −1 = 2 − 1 =Ò

− 1

È Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ µ × Ó Ø Ñ Ù Ø Ò Ø Ó Ù

Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ ½ µ º Ï × Ø × Ó × Ð Ð Ô Ö Ô Ø ô × Õ Ö × Ø Ñ Ó Ó Ð Ó Ö × Ð Ù

Ô Ö × Ñ Ò Ø Ð Ø Û × º

¾ º ½ º ¿ Ì Ü Ò Ñ × Ñ Ö × Ð Ù

Ð Ö Ñ Ó º Ç Ð Ö Ñ Ó Ù Ø Ø Ü Ò Ó Ñ Ò Ö Ñ Ó Ô Ó Ù Ô Ö Õ Ó Ò Ø Ñ Ö Õ Ø Ù Õ × Ö

× Ø Ó Ò Ô Ò º ³ Õ Ó Ù Ñ Ø Ø Ó Ó Ô Ö Ð Ñ Ð Ò Ó Ð Ö Ñ Ó ´ ¿ µ ́ Ù Ð × Ó Ö Ø µ Ñ

Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø O(Ò

2)º

½ ¿



function sortdc[A,p,q]

if (p<q) then

r:=floor[(p+q)/2 ]

sortdc[A,p,r]

sortdc[A,r+1,q]

A(p:q):=merge[A(p:r),A(r+1:q),r-p,q-r-1]

endif

Ì Ó Ô Ù Ñ Ø Ô Ó Ø Ð × Ñ Ô Ö Ø Ñ Ø Ò Ð × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ñ Ó Ö × Ñ Ø

sortdc[A,1,n]

³ Ð Õ Ó Ó Ö Ø Ø Ô Ð Ó × Ø Ù × ¬ Ü Ø × Ó Ù Ñ Ø × Ù Ñ Ô Ö Ó Ö Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù

Ò = 2

º ³ Ç × Ó Ó Ø Ô ̧ Õ Ö Ó Ù Ò Ó Ô Ò Ù Ô Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ñ º Ò = 2

× Ù Ø ¬ Ô Ò Ð ¯ Ó Ö Û Ø Ó Ù Ó Ò Õ Õ Û Ö × Ø × Ò × Ø Ó Õ ô Ô Ò

Ñ Ó Ù

1º Ì Ø Ò Ö Ó Ñ × ¬ Ö Õ × Ò Ô × Ø Ö ´ Ø Ò ¬ Ò Ó Ô Ó Ø

× Ù Ò Ô Õ µ º À Ð × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ñ Ö ´ Ð º Ð Ö Ñ Ó ´ µ µ ¬ Ñ Ó Ù Ö × Ö Õ

Ø Ü Ò Ó Ñ Ñ Ò Ù ¸ Ñ Ø Ø Ü Ò Ó Ñ Ñ Ò Ø Ø Ö ¸ Ó Ø º Ð Ô º Ñ Õ Ö Ò Ø Ü Ò Ó Ñ Ø Ð

Ó Ð Ð Ö Ó Ó Ô Ò º

³ Ð Õ Ó Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø À Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø ¸

(Ò

)̧Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù ´ Û Ô Ö Ó

Ø Ó Ò Ö Ñ Ò × Û Ò Ù Ô Ó Ð Ó Þ Ø Ò Ö Ó Ñ Û Ü

(Ò

) =

2Ò

= 2

2

(Ò

2) + 2Ò

2Ò

2´ ¾ º µ

Ó Ô Ó Ù Ø Ó × Ø Ó

2Ñ Ó Ò Û Ò Ò

= 2

2 Ò

2Ñ Ó Ò Û Ò Ò

2Ô Ö Ó Ô Ø Ô Ø Ò Ø Ð ×

Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ñ Ö

[

] Ó Ô Ò × Ø × Û Ò

1

1× Ø Ò Ô Ö ô Ø Ô Ö Ô Ø Û × Ò

2 Ò

2× Ø

Ø Ö Ô Ö Ô Ø Û × º Å Ô Ð Ò Ø Ø × Ø × Ñ Ô Ó Ö Ó Ñ Ò Ô × Ø ô × Ó Ù Ñ Ø Ð × Ø Ü × Û ×

´ ¾ º µ Ò

(Ò

) =Ò Ð Ó

(Ò

) ∈ O(Ò Ð Ó

(Ò

))º

³ Ç Ò Ø Û Ð Ó Ô Ò × ³ Ù Ø Ø Ò Ô Ö Ô Ø Û × Ñ Ó Ó Ö × Ð Ù Ð Ø Û × Ø Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø

Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø × × Õ × Ñ Ø Ó Ò Ð Ö Ñ Ó Ù Ð × Ó Ö Ø Ô Ó Ù Õ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø O(Ò

2)º

¾ º ¾ Ù Ò Ñ Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø × Ñ

¾ º ¾ º ½ Ç Ö × Ñ

Ç Ù Ò Ñ Ô Ö Ó Ö Ñ Ñ Ø × Ñ Ò Ñ Ð Ó Ö Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó Ô Ó Ù Ñ Ó Þ Ö Ø Ñ Ø Ó

Ö × Ð Ù Ð Ð Ô Ô Ö × Ø Õ Ö × Ñ Ó Ô Ó Ò Ô Ò Ø Õ ô Ö × Ø Û Ò Ò Ñ × Û Ò

½



Ô Ó Ø Ð × Ñ Ø Û Ò Ò Ø Ù Ô Ó Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ø Û Ò Ó Ô Ó Û Ò Ô Ð Ù × Ô Ø Ø Ô Ó Ð Ð ¯ Ó Ö º

³ Ø × Ô Ó Ø Ô Ò Ø Ô Ð Ù × Ü Ò ¹ ¹ Ü Ò Ø Ó Ù Ó Ù Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó º

¾ º ¾ º ¾ Ì Ó Ô Ö Ð Ñ Õ Û × Ø º º º

È Ö Ñ ¾ º ½ º Ç Ø Ñ × Ò Ø × Ø Ñ Ô Ö Ô Ò ô × × Ø Ö Ð Ô Ø Ø Ó Ù Ù Ö ô ´ Ö

∈Æ µ º Ë Ø Ó

Ø Ñ Ó Õ × Ñ Ö Ñ Ø × Ù Ò Ó Ð Ó Ô Ð Ó Ù Ò Ñ Ò Ø × Ø Ó Õ Ü Ú 1 Ú 2 Ú

Ò

Ð Ô Ø ô Ò º

Ã Ð Ø Ò Ô Ò Ø × × Ø Ó Ö ô Ø Ñ Ò Ò × Ù Ò Ù × Ñ Ö Ñ Ø Û Ò ¸ Ô Ù Ø Ô Ó Ù Õ ¸ Ò

Ö Ó × Ñ Ö ´ Õ Ô Ó Ò Ù Ø Ø Ö Ñ Ø µ º

Ð Ö Ñ Ó º Ç Ð Ö Ñ Ó Ø × Ù Þ Ø Ó Ò Ô Ò Ë × Ø × Û Ò

(Ò

+ 1) × (Ö

+ 1)Ñ Ø Ñ

Ì Ê Í Ä Ë Ø × ô × Ø Ë

(

) =Ì Ê Í Ø Ò Ò Ù Ô Ó × Ò Ó Ð Ó Ø Û Ò Ô Ö ô Ø Û Ò Ö Ñ Ø Û Ò Õ Ö Ó × Ñ

Ö ô

Å Ø Ò Ó Ð Ó Ð Ö Û × Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Ö Ò Ð Õ Ø Ñ Ë

(Ò Ö

)º Ò Ë

(Ò Ö

) =Ì Ê Í Ø Ø

Ô Ò Ø × × Ø Ó Ö ô Ø Ñ Ò Ø Ø º

function changedp[V, r]

% Initialization

S(0,0):=TRUE

for j=1:r

S(0,j):=FALSE

end

% Main part

for i=1:n

for j=0:r

S(i,j):=S(i-1,j)

if j-V(i) >= 0 then

S(i,j):= ( S(i,j) OR S(i-1,j-V(i)) )

endif

end

end

return S(n,r)

³ Ð Õ Ó Ó Ö Ø Ø Ò Ò Ë ( ) = Ì Ê Í ¬ Ô Ö Ô × Ø Ô Ö ô Ø Ö Ñ Ø Ò Ù Ô Ö Õ

Ò ´ Ó Ô Ó Ó Ô Ó Ø µ Ù Ô Ó × Ò Ó Ð Ó Ñ Ö Ó × Ñ Ö ô º Ì Ó Ø Ó Ñ Ô Ó Ö Ò Ô Ó × × Ø Ñ × Ø

Ô Ö ô Ø

− 1 Ö Ñ Ø Û Ü

½



´ µ Ò × Ø Ô Ö ô Ø

− 1 Ö Ñ Ø Ù Ô Ö Õ × Ù Ò Ù × Ñ Ñ Ö Ó × Ñ Ø Ø × Ó Ù Ö ¬ Ù Ô Ö Õ

× Ø Ô Ö ô Ø º

´ µ Ò Ò Ø Ø × Ø Ô Ö ô Ø

− 1 Ö Ñ Ø Ò Ù Ô Ö Õ Ø Ø Ó Ó × Ù Ò Ù × Ñ ´ Ð º Ë

(

− 1

) =

Ä Ë µ Ø Ø Ñ Ò Ð Ô Ò Ô Ö Ó × Ø Ó Ù Ö Ñ Ø Ó ´ Ü Î

(

)µ Ò Ø Ó Ò Ñ Ó Ö × º

Ò × Õ Ñ Û Ø Ø Ø Ó Ó ¬ Ô Ö Ô ´ º ½ µ À Ü Î

(

)Ø Ó Ù Ö Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò Ù Ô Ö Ò Ø Ó º ´ º ¾ µ

Ç Ô Û × Ô Ó Ø × Ø Ô Ö ô Ø

− 1 Ö Ñ Ø Ò Ù Ô Ö Õ Ò Ù Ô Ó × Ò Ó Ð Ó Ô Ó Ù Ò Ö Ó × Ñ

−Î

(

)

× Ó Ò Ñ Ë

(

− 1

−Î

(

)) =Ì Ê Í º

Ç Ô Ö Ô Ò Û Ð Ö Ñ Ó Ò Ö ô Ù Ø Ó Ø Ó Ù Ð Õ Ó Ù × Ù Ò Ô ô Ò Ó Ö º Ü Þ

Ò × Ñ Û Ø

½ º Ç Ð Õ Ó Ò Ó Ò Ø Ñ Ø × Û × Ø × Ö Ð Ø Ñ Ô Ó Ù Ò Ø Ø × Ø Ó Ë

(

)Ù Ô Ó Ð Ó Þ Ø

× × Ø Ó Õ Û Ò Ø Ó Ù Ô Ò Ë Ô Ó Ù Õ Ó Ù Ò Ò Û Ö Ø Ö Ò Ñ Ö Û º

¾ º À Ö Õ Ó Ô Ó × Ø Ô Ö ô Ø Ö Ñ Ñ Ë (0 ) = 0 Ö Ø Ó Ù Ô Ò Ò × Ù Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò

Ó Ö × Ñ Ø Ó Ù Ë ô Ñ Ø Ü

0 Ö Ñ Ø Û Ò Ñ Ò Ó

0Ñ Ô Ó Ö Ò Ò Ø Ó Ö Ó × Ñ Ø Ñ ô Ò º ³ Ø ×

Ò Ö Ó Ñ Ô Ó Ù Ô Ö Ö Ô Ö Ô Ò Û Ö Ñ Þ Ø Õ Û Ö Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ø Ö Ñ Ñ Ë

(1

)

Ô Ø º

³ Ð Õ Ó Í Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø Ï Ñ Ó Ò Ù Ô Ó Ð Ó × Ø Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø ¬ Õ Ö × ¹

Ñ Ó Ô Ó × Ó Ù Ñ Ø Ò Ò × Ø Ñ × × Ø Ó Õ Ó Ø Ó Ù Ô Ò Ë º

À Ö Õ Ó Ô Ó × Õ × Ø Ó

O(Ö

)º Ã Ø Ð × Ø Ó Ù × Û Ø Ö Ó Ó Ö Ð Ó Ó Ô Õ × Ø Ó

1

2 Ò × Û Ò Ò Ð Ó Ñ Ø Ó Ô Ö × Ñ Ó Ø

−Î

(

) Ð Ò × Ø Ò Ø Ü Ñ Ó Ù

O(1)º À

Ù Ð Ó Ô Ó × Ø Ó Ù Ö

+ 1¯ Ó Ö Ð Û Ø Ó Ù × Û Ø Ö Ó Ó Ö Ð Ó Ó Ô Õ × Ø Ó O(

Ö

)º Ù Ø Ô Ò Ð Ñ Ò Ø

Ò ¯ Ó Ö Ð Û Ø Ó Ù Ü Û Ø Ö Ó Ó Ö Ð Ó Ó Ô Ö Ø Ó Ù Ö Û Ñ Ö Ó Ø Ó Ù Ð Ó Ö Ñ Ó Ù Õ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

× Ø Ò Ø Ü Ñ Ó Ù

O(Ò Ö

)º Ë Ù Ò Ô ô × Ù Ò Ó Ð Ó Ð Ö Ñ Ó Õ Ô Ó Ð Ù Ô Ð Ó Ø Ø

O(Ò Ö

)

¾ º ¿ ³ Ô Ð × Ø Ó Ð Ö Ñ Ó ´ Ö Ý Ð Ó Ö Ø Ñ × µ

¾ º ¿ º ½ Ç Ö × Ñ

Ã Ø Ø Ò Ô Ð Ù × Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó Ð Ø × Ø Ó Ô Ó ×

½

¸ Ó Ô Ð × Ø Ó Ð Ö Ñ Ó Ô Ð Ó Ù Ò Ó ¹

Õ Ò Ô Ð Ó Ñ Ö Ø Ö Û Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Û Ò Ñ Ö Ø Ö Ó ¸ × Ñ ¸ Ø Ó Ñ × Ó Ö Ó º

Ë Ù Õ Ò Ó Ô Ð × Ø Ó Ð Ö Ñ Ó Ò Ò Ó Ù Ò Ø Ð Ø × Ø Ð × ¸ Ð Ð ¯ Ó Ö Ñ Û Ø Ò Ô Ö Ó × ¹

Ó Ù Ò Ð Ð Ó Ø Ø Ò Ô Ø Ù Õ Ò Ó Ù Ò º

½

Ð Õ × Ø Ó Ô Ó × Ñ × Ù Ò Ö Ø × × Ø Ó Ù

½



¾ º ¿ º ¾ Ð Ø × Ø Ø Ó Ô Ó Ø × Ö Õ Û Ò × Ñ Ò Ø Ø Ò

³ × Ø Û Ø Ò Ô Ð Ó ¸ Ò ¸ Ö Õ Û Ò Ñ Ñ Ó

= 1 Ò Ô Ö Ø Ò Ö × Ñ Ò Ø

Ø Ò º À Ö Ò Ø Õ Û Ö Ò Ñ Ø Ü Ø Û Ò Ö Õ Û Ò º À Ò Ò Û × Ö Õ Ó Ù Ò Ø

Û Ü ´ µ Ð Ô Ö Ò ¬ × × Ø Ò Ö Õ Ø Ø Ò ¸ ´ µ Ò Ü Ò × Ø Ó × Ñ Ø Ó Ù

Ö Õ Ó Ù Â Ô Ø Ø Õ Ö Ò Ó × Ó ´ Ò Ð Ó Ó µ Ô Ö Ó Ø Ó × Ù Ò Ó Ð Ñ Ó Ø Û Ò Ô Ö Ó Ó Ñ Ò Û Ò Â − 1

Ö Õ Û Ò º Å Ø Ò Ù Ô × Ø Ð Ø Ö Õ ¬ × Ø Ó Ò Ø Ø Ð Ø × Ø × Ö Ø Ó Ô Ó Ø ×

Ø Û Ò Ò Ö Õ Û Ò × Ø Ò Ø Ò º

Ð Ö Ñ Ó º Ç Ô Ö Ø Û Ð Ö Ñ Ó Þ Ø Ò Ø Ó Ô Ó Ø × × Ñ Ø Ó Ñ Ö Ø Ö Ó ¹

¬ × Ñ Ó Ö Õ Ó º

for J=1:n

choose the shortest of the remaining files

put it on the tape

end

½



Ð Ó Ö

½

Documents

Algorithmoi Notes2005 6 (Aristoteleio Panepisthmio