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Este documento discute cómo encontrar la fórmula que calcula el número de diagonales de un polígono regular convexo, también indica cómo nombrar los polígonos de los cuatro lados de veinte lados.
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POLÍGONO CONVEXOStephania Susana Almeida Aguilar
Escuela Politécnica del Ejército, Curso de nivelación snnaQuito-Ecuador
[email protected]/10/2012
Abstract This paper discusses how to find the formula that calculates the number of diagonals in a convex polygon regular, also indicates how to name the polygons from all four sides to twenty sides.
Palabras clavesPolígono, convexo, diagonal, vértice.
I. INTRODUCCION Los polígonos son un tema que estudia en matemática plana, la cual nos permite saber las diferentes características, propiedades, tipos de las distintas figuras que existen. Cuando nos preguntan cuántas diagonales tiene un pentágono de cuatro lados, primero dibujamos y analizamos acto seguido respondemos. Se vuele complicado responder cuando nos preguntas cuantas diagonales tiene un polígono de treinta lados. Para responder a la pregunta tenemos que saber el algoritmo que nos permita calcular el número de diagonales; el cual es analizado de manera gráfica para mejor comprensión en el presente paper.
II. DESARROLLO DE CONTENIDOS
a) Comprender el problemaSuponer que tenemos un polígono convexo de 20 lados. ¿Cuántas diagonales existen en total? (diagonal es la recta que conecta un vértice con cualquier otro vértice del mismo polígono)
b) Concebir un plan
Datos: Polígono.- es una figura plana
compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio.
Polígono convexo.- se denomina así si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º.
Polígono convexo regular.- se denomina así si es equilátero y equiángulo a la vez.
Equiángulo.- polígono cuyos ángulos son todos iguales entre sí.
Incógnita:# de diagonales polígono (n=20)
# de lados # de diagonales Nombre de la figura
4 2 Cuadrilátero5 5 Pentágono6 9 Hexágono7 14 Heptágono8 20 Octógono9 27 Eneágono10 35 Decágono11 44 Endecágono12 54 Dodecágono13 65 Tridecágono14 77 Tetradecágono15 90 Pentadecágono16 104 Hexadecágono17 119 Heptadecágono18 135 Octodecágono19 152 Eneadecágono20 170 Icoságono
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Tridecágono
Tetradecágono
Pentadecágono
Hexadecágono
Heptadecágono
Octodecágono
Eneadecágono
Icoságono
c) Ejecución del plan
El algoritmo que nos permite calcular el número de diagonales que tienen los polígonos convexos regulares es:
n(n−3)2
A continuación demostraremos que el algoritmo si funciona.
Cuadrilátero¿de diagonales=4 (4−3 )
2
¿42=2
Pentágono
¿de diagonales=5 (5−3 )
2
¿102
=5
Hexágono
¿de diagonales=6 (6−3 )
2
¿182
=9
Heptágono
¿de diagonales=7 (7−3 )
2
¿282
=14
Octógono
¿de diagonales=8 (8−3 )
2
¿4 02
=20
Eneágono
¿de diagonales=9 ( 9−3 )
2
¿5 42
=2 7
Decágono
¿de diagonales=10 (10−3 )
2
¿702
=35
Endecágono
¿de diagonales=11 (11−3 )
2
¿882
=44
Dodecágono
¿de diagonales=12 (12−3 )
2
¿108
2=54
Tridecágono
¿de diagonales=13 (13−3 )
2
¿130
2=65
Tetradecágono
¿de diagonales=14 (14−3 )
2
¿154
2=77
Pentadecágono
¿de diagonales=15 (15−3 )
2
¿180
2=90
Hexadecágono
¿de diagonales=16 (16−3 )
2
¿208
2=104
Heptadecágono
¿de diagonales=17 (17−3 )
2
¿238
2=119
Octodecágono
¿de diagonales=18 (18−3 )
2
¿270
2=135
Eneadecágono
¿de diagonales=19 (19−3 )
2
¿304
2=152
Icoságono
¿de diagonales=20 (20−3 )
2
¿340
2=170
d) Examinar la solución obtenida Se observa en el cuadro que el # de diagonales en los diferentes polígonos hay una sucesión, primero se suma 3, después 4 y así sucesivamente. La fórmula se determinó: al número de lados del polígono se le puso n, se multiplico con n y se resto 3, esto debido a que cuando se traza diagonales el vértice del medio no se puede unir a los otros dos vértices, uno a cada lado. La fórmula se divide para 2 ya que el polígono cuadrilátero tiene dos diagonales y esa es la base de todos los demás polígonos.
III.CONCLUSIONES El único polígono que tiene el mismo
número de lados y diagonales es el pentágono.
Los polígonos que tienen lados impares, al trazar sus diagonales queda
un círculo en el centro, donde no se cruza ni pasa ninguna diagonal.
Cuando existen tres vértices juntos y se traza una diagonal desde el vértice del centro esa diagonal no debe unirse con los vértices que se encuentran a sus extremos.
IV. REFERENCIAS
1. http://es.wikipedia.org2. G. Polya (1965). Como plantear y
resolver problemas. México D.F: Universidad de Stanford 1°, 1994.
