Algoritmu teorija

3 skyrius Algoritmq teorija

~ i a m e skyriuje nagrinesirne vienq algoritmiSkai apskaiEiuojamujy funkczjy formalizmq - rekursyvirtsias funkcijas. V i s ~ Siarne skyriuje nagrinejamuu funkcijq apibreiimq bei reiksmiq aibe yra viena ir t a pati natdraliqjy skaitiy aibe N = {0,1,2, ...). Rekursyviyjq funkcijq aibe sutampa su Turing maSinomis apskaiEiuojamqju funkciju aibe. D.Hilbert suformulavo reikalavimus, kuriuos turi tenkinti algoritmiskai apskaiEiuojamos funkcijos. Remdamasis jo darbais 1931 m. ~ . ~ o d e l pirmasis apraSe rekursyviujq funkcijq klasg. Veliau, 1936 m. A.Church, pritaikgs kitas idejas, aprde ta, pd iq rekursyviqjq funkcijq k l w .

3.1 Intuityvioji algoritmo sarnprata

XX amiiaus pradiioje atsirado poreikis tiksliai apibrititi sqvoka, efektyvi procedcra (algoritmas). Pradeta manyti, kad kai kurios problemos nera iSsprendiiamos. Bet kaip tai jrodyti? Kaip igsiaiskinti, kad tam tikrai problemai spresti nera algoritmo? Tam nepakanka plaEiai vartojamos in- tuityvios algoritmo sanipratos: @

Seka griefty komandy (instrukcijy), pagal kurias atliekamos operaci- jos, 1eidiianCios spresti rnatematikos ar Eogikos uidavinizcs.

Reikia tureti matematihi tikslia, algoritmo s8vok;l. Ji turetq apiben- drinti intuityviai suprantamq algoritmq savybes.

Pateiksime plaEiai iinoma, Euklido algoritmo pavyzdi. Tarkime, yra du natiiralieji skaiEiai a1 > a2 > 0. Raskime didiiausiaji bendraji jq da-

1 likh. Algoritmas toks:

Dalijame a1 iS a2. Jei liekana as = 0, tai a2 yra didiiausias bendrasis daliklis. Jei a3 # 0 , tai atliekame kitq veiksmq.

Dalijame a2 iS as. Jei liekana a4 = 0, tai a3 ir yra didiiausias bendrasis daliklis. Jei a4 # 0, tai atliekame kitq veiksmq.

Dalijame as iS a4 ir t . t

Kadangi a1 _> a2 > a3 > ..., tai po baigtinio skaiEiaus iingsniu rasime didiiausislji bendrqji a1 ir a2 dalikli.

Pagrindines savybes, kurias tenkina iinomq algoritmq pavyzdiiai yra tokios:

1. Disk~etumas. Veiksmai iidestyti tam tikra seka. Viena, j~ atlike, pereiname prie kito. Veiksmai dar vadinami algoritmo iingsniais.

2. Determinuotumas. Atlike veiksma, iinome (nurodyta) ka, toliau daryti.

3. 2ingsniy elementarumas. Algoritmo veiksmq sekq galima suskaidyti i labai paprastus, elementarius, paprastai apraSomus ir lengvai jvykdomus iingsnius.

4. MasiSkumas. Algoritmai taikomi tam tikrai aibei. Pavyzdiiui, apraSytasis Euklido algoritmas taikomas bet kuriems natilraliesiems skaiEiams a1 L a2 > 0.

IS kur gi kilo iodis algoritmas? Tai sulotynintas arabq (kai kurie Saltiniai nurodo, persq) matematiko A1 Chorezmi (ca 783-850) vardas. Jis isgarsejo savo knyga, kurioje ap rde veiksmus su skaieiais, perimtais iS Indijos. Naujoji pozicine skaiEiavimo sistema greitai paplito pasaulyje, o jo knyga tap0 daugelio zmoniy parankine knyga. Knygoje buvo daug taisykliq rinkiniq, kuriuos taikant po baigtinio iingsniq skaitiaus gaunamas rezultatas.

Algoritmo sqvoka buvo tikslinama dviem btidais:

1) kuriama idealizuota (matematine) skaitiavimo maSina,

2) apraioma algoritmigkai apskaitiuojamq funkcijq aibe.

Po daugelio metq - 1934-1936 m. ir viena, ir kita kryptimi dirbantiq mokslininkq gauta daug skirtingq algoritmo s%vokos patikslinimu. Pirmo-

sios krypties iinomiausiais darbais tap0 A.Turingo ir E.Posto apraSytosios maiinos. A.Turing laikomas informatikos mokslo tevu. Sukurtaja, maSina, pasiiile vadinti elektroniniu kompiuteriu. Antrojo pasaulinio karo metu tokia m&ina jis pasinaudojo iSSifruodamas vokieEiq naudota, povandenini- uose laivuose koda, Enigma. Savo gyvenima 1954 m. A.Turing baige nusinuodydamas kalio cianidu. Paskutiniais gyvenimo metais jis dirbo ManEesterio universitete. Intuityviai algoritmiikai apskai?iuojama funkcija suprantama taip: iinodarnas funkcijos y = f (x) argument0 reikime moku apskaiEiuoti funkcijos reiksme. Pavyzdiiui, akivaizdu, kad funkcija y = n2 algoritmigkai apskaieiuojama. 0 ar algoritmiSkai apskaieiuojama Si funkcija, neaisku:

1, jei sekoje .rr = 3,14 ... sut inkama greta stovintys lygiai f (n) = n septynetai (77 ... 7 )

0, k i tu a tve ju

Buvo sukurta daug metodq algoritmiSkai apskaiEiuojamy funkcijq klasei nusakyti. ~inomiausios yra K.Godelio, ).Church0 bei S.Kleene aprGyto- sios funkcijy klases. A.Church jas pavadino rekursyviosiomis funkcijomis.

A.Churcho teze. Algoritmiikai apskaitiuojamy funkcijy aibe sutampa su rekursyviw.y funkcijy aibe.

~i teze buvo paskelbta 1936 metais. Teze vadinarna todel, kad tai tvirtinimas, kuriuo, A.Churcho nuomone, reiketq tiketi, bet irodyti negalima. Negalima jrodyti dviejp aibiq lygybes, nes, viena vertu, tai matemat ih i tiksli rekirsyviqjq funkcijq klask, kita vertus - intuityvi, netiksli, skirtingy imoniq skirtingai suprantama algoritmiSkai apskaiEiuojamq funkcijq klase.

Kodel tikima A.Churcho teze? Pagrindiniai argumentai yra du:

1. Visq pasiiilytq, skirtingomis idejomis aprdytq algoritmiskai a p skaiEiuojamq funkcijq klases sutampa ne tik tarpusavyje, bet ir su ideal- izuotq skaiciavimo mdinq apskaiEiuojamomis funkcijq klasemis,

2. Nera iinomas joks intuityviai apskaiEiuojamos funkcijos pavyzdys, kuris nebiitq rekursyvioji funkcija.

r

/

3.2 Turingo maginos

3.1 apibri?iimas. %ring0 maginu vadinarne ketverta < Q, C , 6, F >, kuriame:

Q = {QO,QI, ...,q k) (k 2 0 ) yra baigtine maginos biiseny aibi; go - pradine bGsena; F C Q - galutiniq biisenq aibe,

C - baigtint aibe, vadinama Turing0 maginos abecele. T a p kiekvienos maSinos ~bec l lds simboliq yra i r tuSEios lqsteles simbolis b ,

d - perijimy funkcija, kurios apibri2imo aibe yra Q x C, o reik3m~s priklauso aibei Q x C x { K , N , D).

Turingo mSinos geometrine interpretacija yra tokia. MaSinq sudaro begaline i abi puses juosta, kuri suskirstyta i lqsteles. MaSina turi skaitymo galvutg, kuri kiekvienu laiko momentu yra ties viena kuria nors l~stele. MSinos darbas diskretus. Pradeda kaikuriuo tai pradiniu momentu to. lvykdo viena, komanda, (tai vadiname maSinos iingsniu), kitu laiko m e mentu tl jvykdo dar viena, komanda, ir t.t. Kiekvienu laiko momentu kiekvienoje maSinos lqsteleje yra vienas kuris nors aibes C elementas. Lqstele vadinama tuSEia, jei joje ira5ytas simbolis b. Geometrine interpretacija:

Duotuoju momentu maSina yra biisenoje Q i , o skaitymo galvute ties l%stele, kurioje iraSytas simbo!.js ai (+b& C elementas).

Turingo maSinos komanda vadinsime reiSkini pavidalo 6(q,, a j ) = (q:, a { , X), Eia X E { K , DIN}, a j , a l E C, q i , q k 6 Q. Komandos kairisja puse vad- inam* reiSkinys 6(qi, a j ) . Perbjimq funkcija yra baigtine komand~ seka. Kai 6 yra vienarei6me funkcija, t.y. kokia bebiitq pora (q i ,a j ) (qi E Q, aj E C), tarp komandq atsiras ne daugiau kaip viena, kurios kairiaja puse yra S(q,, a j ) , Turingo m&ina vadinama determinuotqja.

Pradiniu laiko momentu juostoje yra jraSytas kuris nors abbcelb C' = C - {b} iodis. MaSina pradeda darb% btidama biisenoje qo, skaitymo galvute yra ties pirmaja iS kairb netu5Eia l&stele:

Tarkime laiko momentu ti (i = 0,1 ,2 , ...) skaitymo galvute yra ties

52

lqstele, kurioje iraSytas a i k s C elementas a, maliina yra busenoje qj. Tuomet ji per vienq laiko taktq (iingsni) atlieka toki darbq:

a ieSko komandos prasidedaneios 6(qj, a) . Jei tokios nera, tai sakoma, kad maSina patenka i pozicijq be iseities. Tuomet ji baigia darbq,

tarkime komandy tarpe yra 6(qj, a) = (q,, c, X). Tuomet ji jq ivykdo, t.y. pereina i biisena, q,, elementq a nuvalo ir vietoje jo iraSo elementq c, bei pasislenka viena lqstele i deSine (jei X = D), h i r e (jei X = K) arba pasilieka ties t a patia lqstele (jei X = N). Jei q, E F , tai maliina baigia darbq ir sustoja. Juostoje esantis iodis vadinamas maSinos darbo rezultatu.

Tarkime pradiniais duomenimis yra iodis a1 az.. .a,, galvute ties pirmqja iS lair& netuSEia lqstele bei maSina yra bilsenoje go. MaSina dirba sutinka- mai su perejimq funkcija 6. Galimi atvejai:

maiina po baigtinio i i ngsn i~ skaiEiaus patenka i pozicijq be iSeities arba dirba be gal0 ilgai. Abiem atvejais sakysime, kad maliinos darbo rezultatas neapibreitas (maSina neapibrkita) su pradiniais dhomenimis ala2. ..a,,

maiina po baigtinio iingsniq skaiEiaus patenka i viena, iS galutiniq biisenq ir juostoje yra aibes C' iodis blb z...b,. Sakysime, kad maSina apibrkBta ir jos darbo rezultatu su pradiniais duomenimis alaz .. .a, yra bl b2 ... b,.

Tarkime duota Turingo maliina T =< Q,C,G,F >. Sakysime, kad mGina Tapskaieiuoja funkcijq y = f (x), jei galima rasti to& funkcijos ar- g u m e n t ~ bei reiksmiq kodavimq (paiymekime ji cod) abeceles C' iodiiais, kad koks bebMq xo, jei f (so) apibreita ir yo = f (xo), tai maSina Tsu pradiniais duomenimis cod(xo) (pradiniu laiko momentu maSina visada yra biisenoje qo,'o galvute ties pirma netuSEia lqstele) po baigtinio iingsniq skaiEiaus pereina i kuriq nors galutine biisenq ir maSinos darbo rezultatu yra wd(yo). Atveju, kai f (xo) neapibreita, maSina Ttaip pat neapibreita.

Rasti Turingo maSina, apskaiEiuojanEia, funkcija, f (x) reiskia rasti toki ketvertq T =< Q, C,6, F > ir funkcijos argumentq bei reikSmiy kodavimq, kad T apskaitiuotq funkcijq y = f (x).

Pavyzdys. Rasti Turingo maSinq apskaiEiuojan6q funkcijq y = n+ 1, (n E N ) .

Abecele C = {0,1, b). Natiiraliuosius skaiEius koduosime dvejetainiais , skaiEiais. Perejimq funkcija 6:

Panagrinesime por3 Turingo maSinq variantq.

Daugiajuostbs Turingo maSinos. mjuoste (m 2 3) Turingo mdina, tai ketvertas < Q, C,6, F > . Q, C, F apibreiiarnos taip pat kaip ir vienajuosEiq mdinq atveju. 6 - perejimq funkcija, kurios apibreiimo aibe Q x Em, o reikSmes priklauso aibei Q x Cm x {K, D, NIm. mjuoste Turingo mdina, sudaro rn begaliniq i abi puses juostq, suskirstytq i lrlsteles. Pirmoji juosta vadinama jijimo juosta. Joje uiraSomi pradiniai duomenys. Paskutinioji juosta vadinama iiejimo juosta. Joje uiraSomas maSinos darbo rezultatas. Likusios m-2 juostos vadinamos darbinemis. Veiksmai su duomenimis atliekam? darbinese juostose. Mdinoje yra m skaitymo galvuEiq, kiekvienai juostai po viena,. Kiekvienu laiko momentu visos galvutes biina vienoje ir toje patioje biisenoje.

Pavyzdys. Duota abkcele C = (0, 1, b}. Rasime 3-juostq Turingo mdins, apskaiEiuojanEis, funkcija, f (x) = x*, t.y. funkcijq, kuri pradinius duomenis x perrdo iS kit0 galo. Pavyzdiiui, jei x =10110, tai a* =01101.

Nedeterminuotosios Turingo maSinos. Nagrinejame vienajuo,stes maSinas. Aibes Q, C, F apibreiiamos taip pat kaip ir vienajuosEiq aeterminuotqj~ maSinq atveju. Bet 6 yra daugia- reiksme funkcija apibreita aibeje Q x C. Jos reikSmiq aibe kaip ir deter- minuotosios atveju yra Q x C x {K, D, N ) . Taigi, tarp komandq gali bfiti ir tokios, k u r i ~ lygybi~ kairiosios puses sutampa. Pavyzdiiui,

Todel su taii paEiais pradiniais duomenimis galima gauti skirtingus rezultatus, prih nusomai nuo to, kuria, komanda, ivykdeme. Pavyzdiiui, galima rasti nec4%~terminuotaja, Turingo mdina, su abecele C = {0,1, b), apskaiEiuojanEiq f~~nkcija,:

oo, jei x prasideda vienetu .x , jei x pras;deda nul iu

f (x) = 20, jei x prasideda vienetu x l , jei x prasideda nuliu

PanaSiai apibreZiamos ir da~igiajuostes nedeterminuotosios Turingo maSinos.

3.3 Baigtiniai automatai

3.2 apibr8Zimas. Baigtiniais automatais vadinamos vienajuostts de- tenninuotosios Turing0 maiinos < Q, C, 6, F >, kuriy komandos atrodo Sitazp

MaSina baigia darbq bada ir tiktai tada, kai sutinka pirmq tuSEiq lqstele. Be to, kokie bebiity qi E Q i r a E C', atsiras komanda, kurios kairioji puse yra 6(qi, a) .

Jei Turingo maSina yra baigtinis automatas, tai pradiniai duomenys maSinos darbo metu nekinta. Periiiirimas iodis iS kaires i ddine. Gali

keistis tik biisenos. Sutikus pirma, tugEia, lastele, ms ina baigia darbq. Galimi du atvejai: maSina patenka i galuting biisena, arba i pozicija, be ikeities. Taigi, baigtinis automatas yra greitas pradiniq duomenq (abecelk C iodiiq) ruSiavimo algoritmas. Periiiirejes vienus iodiius automatas patenka i galutine biisena, ( t ~ iodiiu aibk vadinama baigtinio automato kalba), o periiiirejgs likusius iodiius, automatas patenka i pozicija, be igeities.

Dainiausiai baigtiniai automatai niisakomi pora < G, F >, Eia G - orientuotas grafas, F - galutiniq virSiiniq aibe. Grafas G nusakomas tokiu biidu. Grafo virgiinemis yra biisenq aibe Q. VirSiine paiymeta go vadinama pradine virgiine. IS kiekvienos virSiines igeina po vienq ir tq pati skaiEiq lankq, o biitent, tiek lankq, kiek yra aibeje Ct raidiiu. IS virSiines qi lankas veda i virSiine qj tada ir tiktai tada, kai komandq tarpe yra S(q,, a) = (q j , a, D). ~ i u o atveju lankas iymimas raide a. Jei yra ne vienas lankas vedantis iS qi i q j (tarkime jie paiymeti bl, ..., b,), tai, patogumo delei, pavyzdiiuose bye8ime tik viena, l a n k ir iymesime ji bl , ..., b,. Abeceles C' iodis al ... a, priklauso baigtinio automato kalbai tada ir tiktai tada, jei, pradejq kelia, virljiinejq 90, ir perejje v lankus, atitinkancius iodiio raides, patenkame i galutine virsiine (bfisenq).

Nagrinksime aibes,kurios gali bMi baigtiniq automatq kalbomis. Tarkime C t = (0 , l ) . ~ o d i s 10 yra baigtinio automato kalba:

Kai kada patogu grafus vaizduoti ir lentele. Pavyzdiio grafo lentele:

Atkreipiame demesi, kad nors eidami keliu 101 pereiname galuting virSiing, iodis 101 nepriklauso apraSytojo automato kalbai, nes kelias baigiasi virljfineje 93, kuri nera galutine.

Nepriklausomai nuo to, kokia yra abecele C' ir jos iodis w, visada galima rasti baigtini automatq, kurio kalba yra iodis w. Dar daugiau, kokia bebiitq abecele C' ir baigtine jos iodiiy aibe A, galima rasti baigtini automat%, kurio kalba yra a i k A. Automatas randamas panaSiai kaip kad aukSEiau aprsytame pavyzdyje, Taigi, baigtini! aibi! y r a baigtinio au-

tomato kalba.

Paiymekime C* visq galimq abeceles C' iodiiq aibe. Tarkime A C C* yra kurio nors baigtinio automato =< G, F > kalba. Tuomet papildinys A = C*-A yra baigtinio automato < G, F' >, Eia F' = Q-F kalba.

Nagrinejame du baigtinius automatus \El =< G1,Fl > ir \E2 =< G2, F2 >, kuriq abecelemis yra viena ir ta pati aibe. Tarkime jq kalbomis yra atitinkamai Al ir A2. Parodysime, kad Al n A2 bei A1 U A2 yra irgi baigtiniq automatu kalbos. Tuo tikslu visq pirma apibrltSime dviejq grafq GI, GZ Dekarto sandaugil. Grafo GI x G2 virSiinemis yra visos galimos poros (qi, qj). c i a qi yra GI virsiine, o qj - G2 virSiine. Taigi, jei pirmajame grafe yra rn virsiiniq, antrajame n virSiiniq, tai grafe, kuris yra jq Dekarto sandauga, bus rn x n virSiiniq. IS virsiines (qi, qj) eina lankas, pajymetas kuriuo nors bendros abeceles simboliu a, i virSiing (qk, ql) tada i,r tiktai tada, kai pirmajame grafe yra paiymetas a ir einantis iS qi i q k , o antrajame - lankas paiymetas taip pat a ir einantis iS qj i ql.

Baigtinio automato < GI x G2, F' > ((qi, qj) E F' tada ir tiktai tada, kai qi E Fl ir qj E F2) kalba yra Al n A2. Baigtinio automato < G1 x G2,F1' > ((qi,qj) E Ff' tada ir tiktai tada, kai qi E FI arba qj E Fz) kalba yra A1 U A2.

Pavyzdys. Nagrinejame du baigtinius automatus su bendra abecele c = (0 , l ) . a) Baigtinio automato =< Gf,F ' > kalbai (iymkime ja, raide A) priklauso visi tie C iodiiai, kuriuose vienetukq skaiEius dalosi iS dviejq. Pavyzdiiui, 010101100 bei 000 priklauso aibei A, o 1011011 - ne. b) Baigtinio automato \E2 =< G",Ff' > kalbai (iymbime ja, raide B) priklauso visi tie C iodiiai, kuriuose nuliukq skaiEius dalosi iS trijq. Pavyzdiiui, 1000 bei 1111 priklauso aibei B, o 11011 - ne.

Baigtinis automat as (kilpoms kryptie. nenurodome, nes tai savaime aiSku, jos ieina bei iSeina iS tos paEios virSiines):

Baigtinis automatas Q2:

F" = {go}. Baigtiniq automatq ir Q2 kalbq sankirta nusakoma automatu < G' x GI1, FI >, o sajunga - automatu < G' x GI1, Fz >. cia Fl = {(go, go)), F2 = {(Qo~Qo), (QO,QI), (qo,qz), (q l ,q~) ) , 0 G' x G" yra grafas:

1 1 (q11q0) ( ~ 1 1 ~ 1 ) ( ~ 1 7 ~ 2 ) (QO,QO) (q01q1) (q01q2) I

Taigi, jau iSsiaiBkinome, kad: 1) baigtine iodiiq aibe yra baigtinio automato kalba, 2) baigtinio automato kalbos papildinys irgi yra baigtinio automato kalba, 3) dviejq baigtiniq automatq kalbq sankirta bei sajunga yra irgi baigtinio automato kalba.

Dar keletas operacijq, neisvedanEiq iS baigtiniq automatq kalbq. 4) Dviejy baigtiniy automaty kalby konkatenacija yra irgi baigtinio automato kalba. Dviejq tos-paEios abeceles kalbq A, B konkatenacija vadiname iodiiq aibq {UV)U E A, v E B). 5 ) Baigtinio automato kalbos iteracija y m irgi baigtinio automato kalba. Kalbos A iteracija vadiname iodiiq aibe { u l...ukJui E A; i = 1,2, ..., k ; k 2 2). 6 ) Baigtinio automato kalbos atspindys y m irgi baigtinio automato kalba. Kalbos A atspindiiu vadiname abeceles C iodiiq aibe { a l...a,lai E C; i = 1 ,2 ,..., n;a,a,-l ... a1 E A).

Nagrinesime tik daugiajuostes Turingo m6inas M =< Q, C, 6, F >, tenk- inanEias sqlyga,, kad su bet kuriais pradiniais duomenimis (C iodiiais) po baigtisio iingsniq skaiEiaus maSina pereina i galutine biisena, arba patenk. i pozicija, be iSeities (t.y. ji visada baigia darbrl). ApraSysime tokiq m6inq sudetingumq. Laikas ir atmintis yra pagrindiniai sudetingumo kriterijai. i(v) iymime iodiio v ilgi. Tarkime, kad t(v) yra iingsniq, po kuriy Turingo maSina baigia darb4, kai pradiniais duomenimis yra C iodis v, skaiEius.

3.3 apibrbiimas. MaSinos M sudbtingumu laiko atgvilgiu vadiname funkczjq

&(n) = max{t(v:~li(v) = n).

Kaip matome, dorni! lies sudetingumu blogiausiu atveju, t.y. tarp visq pradiniq iodiiy ilgio n randame ta,, su kuriuo maSina dirba ilgiausiai ir t q iingsniq skaiEiq vadiname duotosios maSinos sudetingumu, kai pradiniy duomenq ilgis yra n.

PanaSiai apibreiiamas ir sudetingumas atmintie!: 3 . Tarkime s(n) yra naudojamq la,steliy skaiEius visosc. ;ose maSinos darbo metu, kai prac!'rtiais duomenimis yra

3.4 apibrbgimas. MaSinos M sudktingumu atminties at ivi lgiu vadiname funkczjq

SM (n) = m a x { s ( v ) ( i ( y ) = n),.

Turingo maSinos M =< Q, C, 6, F kalba vadinsime pradiniq duomenq (C iodiiq) aih, su kuriais po b*igtinio iingsniq skaiEiaus M patenka i galutine basena,.

3.5 apibrbiimas. Sakoma, kad azbe (problema) K ibprendZzama Turingo maSina M, jai jos kalba sutampa su K.

Aibes (problemos) K is"sprendiiamum0 sudetingumu vadiname Turingo maSinos, kurios kalba yra K, sudetinguma,. Jei maSina determinuotoji, tai kalbama apie problemos determinuotaji sudetinguma, laiko ar atminties ativilgiu, o, jei maSina nedeterminuotoji, tai apie nedeterminuotaji sudetinguma, laiko ar atminties ativilgiu.

Kai sakoma, kad problemos K sudetingumas atminties ativilgiu yra f(n) , tai t5rima omenyje, kad atsiras tokia Turingo maSina M, kurios kalba yra K ir, jei pradiniq duomenq ilgis yra n, tai M skaiEiavimo metu panaudoja ne daugiau kaip c . f (n) ( c > 0 yra kuris nors realusis skaiEius) darbiniu juostq 14steliq (t.y. SM (n) 5 c . f (n)) . f (n) yra funkcija ij: N i N. Naudojames tokia sudetingumo atminties ativilgiu samprata todel, kad teisingas tvirtinimas:

3.1 teorema. Jei problema K GsprendEiama determinuotrlja (nede- terminuotqja) daugiajuoste IZ1ringo m d i n a , kurios sudltingumas atminties atz'vilgiu yra f(n), tai, k o b bebSty realusis c > 0 atsiras Furingo maiina, kurios kalba yra K i r kurios sudetingumas atminties atZvilgiu yra c . f (n).

Kalbant apie nedeterminuotosios Turingo maSinos sudetinguma, atminties ativilgiu f (n), turima omenyje, kad kiekviename skaiEiavimo mediio

atžvilgiu

UncleSam

Note

visose darbinėse juostose

kelyje naudota atmintis nevirSija c . f (n) darbiniq juostq lqsteliq. Esant tam tikrai sqlygai, panGus rezultatas galioja ir sudetingumui laiko ativilgiu:

3.2 teorema. Jei problema K iisprendZiama determinuotqja (nede- terminuotq'a) kuria nors daugiajuoste Turingo maiina, tenkinancia sqlygas:

darbiniy juosty skaiEius yra ne maz'esnis kaip du,

sudetingumas laiko ativilgiu yra f (n) i r

f (n) lim - =oo n-cu n

tai koks bebiity realusis skaic'ius c > 0, atsiras Turingo maiina, kurios kalba yra K ir kurios suditingumas laiko at.tvzlgiu yra c . f (n).

b

Kai sakoma, kad problemos sudetingumas laiko ativilgiu yra f (n) ir f (n) tenkina apraSytajq sqlygq, tai suprantama, kad atsiras tokia Turingo maSina M, kurios kalba yra K ir, jei pradiniy duomeny ilgis lygus n, tai M baigia darbq po ne daugiau kaip c. f (n) iingsniq (t.y. T M ( ~ ) 2 c . f (n)) . Kalbant apie nedeterminuotosios Turingo maSinos sudetinguma, laiko ativilgiu f (n), turima omenyje, kad bet kuriame skaiEiavimo mediio kelyje, po ne daugiau kaip c . f (n) iingsniq mdina baigia darb$.

3.6 apibrbiimas. Problema K priklauso DTIME(f(n)) klasei, jei egzistuoja tokia daugiajuoste determinuotoji Turing0 maiina, kurios kalba yra K i r kurios sudetingumas laiko atZvilgiu yra f(n).

3.7 apibr6Zimas. Problema K priklauso DSPACE(f(n)) klasei, jei egzistuoja tokia daugiajuoste determinuotoji Furingo maiina, kurios kalba yra K i r kurios sudetingumas atminties atZvilgiu yra f(n).

\

3.8 apibrbiimas. Problema K priklauso NTIME(f(n)) klasei, jei egzistuoja tokia daugiajuostl nedetenninuotojz Turing0 maginu, kurios kalba yra K i r kurios sudetingumas laiko atZvilgiu yra f(n).

3.9 apibrbiimas. Problema K priklauso NSPACE(f(n)) klasei, jei egzistuoja tokia daugiajuoste nedeterminuotoji Furingo m d i n a , kurios kalba yra K i r kurios sudetingumas atminties a t ~ l g i u yra f(n).

ApibreSime kai kurias sudetingumo klases:

L yra problemy klase, kurios iSsprendiiamumo determinuotas sudetingumas atminties ativilgiu yra logn, t.y. L = DSPACE(logn),

NL yra problemq klase, kurios iSsprendiiamumo nedeterminuotas sudetingumas atminties ativilgiu yra log n, t.y. NL = NSPACE(1og n),

P yra problemu, klase, kurios igsprendiiamumo determinuotas sudetingumas laiko ativilgiu yra polinomas nk (k - kuris nors natiiralusis skaieius), t.y. P = DTIME(nk),

NP yra problemq klase, kurios iSvrendiiamumo nedeterminuotas sudetingumas laiko ativilgiu yra polinomas nk (k E N), t.y. N P = NTIME(nk) ,

PSPACE yra problemq klase, kurios iSsprendiiamumo determinuotas sudetingumas atminties ativilgiu yra polinomas nk (k E N), t.y. PSPACE = D s P A C E ( ~ ~ ) ,

EXP yra problemq klase, kurios iSsprendiiamumo determinuotas sudetingumas laiko ativilgiu yra 2nk (k E N), t.y. E X P = DTIME(~"~) .

Tarp igvardintyjq klasiq egzistuoja toks rySys:

Priminsime, kad vadovelyje simbolis c vartojamas tokia prasme, kad A gali biiti ir lygus B. Todel, kai reome P C N P , tai nereiskia, kad P ne- lygus NP. Tai kol kas neiinoma. Lygiai taip pat neiinoma ar lygios ir kai kurios kitos iSvardintosios klask. Yra tik irodyta, kad NL # PSPACE bei P # E X P .

3.5 Primityviai rekursyvios funkcijos

Aprdysime formaliqja, sistema,. Funkcijos, kurias galima gauti toje sistemoje, vadinsime rekusyviosiomis. Formalioji sistema sudaro bazines funkcijos ir operatoriai, kurie taikomi turimoms funkcijoms, o rezultatas - naujosios funkcijos. Visq pirma apreysime viena, rekursyviqju, funkcijq poaibi, vadinamqsias primityviai rekursyvias funkcijas.

Bazinks funkcijos: - tai konstanta 0, paskesniojo nario funkcija s(x) = x + 1 ir projekcijq funkcijos pr:(x1, ..., x,) = x, (p 2 1; 1 5 i 5 p ) .

IS baziniq funkcijq gaunamos naujos naudojantis dviem operatoriais: kompozicijos ir primityviosios rekursijos.

1. Kompozicijos operatorius. Tarkime, yra n + 1 funkcijq:

1 n f(x1, . . . ,xn))g~(xl , .--,x ~ , ) 7 . . . l ~ n ( ~ ? , . - . r ~ m , ) (3.1)

Sakome, kad funkcija f (gl(xi, ..., xk,), ..., gn(xy, ..., zk,,)) gauta iS (3.1) funkcijq panaudojus kompozicijos operatori~.

2. Primityviosios rekursijos operatorius. Tarkime, yra dvi funkcijos g(xl, ..., x,-I), h(xl, ..., x ~ + ~ ) . Viena jq yra n - 1 argumento, o antroji n + 1 argumento. Apibreiiame nauja, n argumentq funkcija, f (XI, . . ., x,) pagal tokia, shema,:

f (511 xn-110) = g(x1, 5,-1) f (511 ..-1Xn-11 Y + 1) = h(xl1 . . .>x~- I ,Y , f (~11...1 x n - 1 , ~ ) )

/

Kai n = 1, funkcija g yra konstanta. Sakysime, kad funkcija f gauta iS funkcijq g, h, panaudojus primityviosios rekursijos operatoriq. Pabreidami, kad paskutiniojo argumento reiksme nelygi nuliui, raSome y + 1. Kaip matome, funkcija apibrgta rekursyviai. Norint apskaiEiuoti funkcijos f (xl, ..., xn-1, y + 1) reiksme, iS pradiiq reikia rasti funkcijos reikSme, kai paskutiniojo argumento reikSme vienetu maiesne. Rekursija (grjiimas) primityvi. Argumento reikSme sumaiinama vienetu.

3.10 apibrkf imas. Pati haiiausia aibt, kuriai priklauso batines funkcijos ir kuri uZdara kompozicijos bei primityviosios rekursijos ativilgiu, vadinama primityviai rekursyviy funkcijy aibe (klase).

Primityviai rekursiniq funkcijq aibe iymesime PR. Primityviai rekursyvios funkcijos apibreitos su bet kuriomis argumentq reik5memis. Tokias funkcijas vadinsime visur apibrdZtomis funkcijomis.

Aibes A charakteringoji funkcija PC apibrsiama tokiu biidu:

1, jei x E A 0, jei x 4 A

3.11 apibrefimas. Nat.iiraliqjk skaiEiy poaabis vadinamas primityviai rekursyviu, jei jo charakteringoji funkcija y m primityviai rekursyvi.

PavyzdZiai:

1. Konstanta 1 priklauso PR klasei, nes ja, s(0) galima gauti iS baziniq funkcijq s(x) , 0, naudoj antis kompozicijos operatoriumi.

2. Bet kuri konstanta n priklauso PR klasei, nes s(s( ... s(0)) ...) E PR. c i a n - 1 kartq taikeme kompozicij~.

3. x + n E PR, nes s(s( ... s(x)) ...) = x + n. Kompozicijsl taikeme taip pat n - 1 kartq.

4. s(pr$(x, y,z)) E PR. Gauta iS baziniq funkcijq s(z),pr$(x, y , t ) , pritaikius kompozicijos operatoriq.

5. Parodysime, kad x + y E PR. Funkcija x + y gaunama iS pr: bei ~ ( ~ r ; ( x , y, z)) naudojantis primityviosios rekursijos operatoriumi.

Apibreiiame funkcijas sg x, sg x, bei x l y :

1, jei x > O sg x = 0, jei x = 0

1, jei x = 0 s3 x =

0, jei x > 0

x - y, jei x > y x-y = 0, jeC x <_ y

Trodymq, kad sg x, sg x bei x l y yra primityviai rekursyvios, paliekame pratyboms.

F'unkcija /x - yJ irgi primityviai rekursyvi, nes )x - yl = (xLy) + (y Lx).

3.1 lema Jei g (xl , . .. , x,) primityviai rekursyvi, tai

taip pat primityviai rekursyvi.

Todel f (XI, .. . , x,) gaunama pritaikius primityviosios rekursijos operatoriq funkcijoms g(xl, ..., x,-1,O) bei h(xl, ..., x,+I) = g(x1, ..., x,-1, s(x,)) + xn+l, kurios yra primityviai rekursyvios. Lema irodyta.

Dalijame x iS y. Sveikqa, dali iymime [x/y], o liekana, - rest(x, y). Tarkime, kad [x/O] = x, bei rest(x,O) = x. Remiantis 3.1 lema, nesunku irodyti, kad [x/y] yra primityviai rekursyvi. Tuo tikslu nagrinejame skaitiq sekq:

1 . y-x, 2 . y-x ,..., n . y-x, ..., 2 9-2.

Sveikoji dalis lygi nuliq sekoje skaitiui. Todel

Algoritmq teorijoje dainai aptinkamas funkcijos apibrizimas dalimis.

... f (XI 1 ..., ~ n ) = fs(x1, ...1xn)1 jei %(XI, ...,xn) = 0

fa+l(xl, ..., x,), likusiais atvejais

Be to, su bet kuriuo reiksmiq (XI, ..., xn) rinkiniu, tik viena iS cri gali biiti lygi nuliui.

Jei funkcijos fi (i = 1, ..., s t+ 1) bei cri (i = 1, ..., s) primityviai rekursyvios, tai ir f primityviai rekursyvi, nes teisinga lygybe:

Sqlygas cri galima pakeisti

(suprantama, ai, pi primityviai rekursyvios), nes jos redukuojamos i lygtis

3.6 Minimizavimo operatorius

Tarkime, yra n argumentq funkcija f. Apibreiiame naujq, taip pat n argumentq, funkcija, g(xl , ..., xn), kurios reikSme lygi majiausiam y, su kuriuo f ( X I , ..., ~ ~ - 1 , g) = Xn. lrodyta: jeigu f yra net primityviai rekursyvi, g gali ir nebiiti algoritmiSkai apskaitiuojama funkcija. Todel nusakydami nauja, funkcija, g, mes privalome nurodyti ir metodq kaip ieSkoti maiiausio Y:

Jei f (xl, ..., 2,-1,O) = x,, tai funkcijos g reikgml lygi 0, jei ne, tai tikriname a r f (xl, ..., 2,-1,l) = x,. Jei f (xl , .. ., xn-l, 1) = x,, tai funkczjos g reilc9me lygi 1, jei ne, tai tikriname ar f (xl, ..., xn-l,2) = x, ir t.t.

Funkcija g gali biiti ir daline, t.y. su kai kuriomis argumentq reikSmemis ji gali biiti ir neapibreita, nes, pavyzdiiui, tokio y, tenkinantio apraSytaja,

lygybg, gali ir nebiiti. TaEiau gali ir biiti toks m, kad f (XI, ... ,x,-I, m) = a,, bet, jei su kuriuo nors i < m funkcija f (XI, ..., 1,-1, i ) neapibreita, tai ir g bus neapibreita.

Sakysime, kad g gauta pritaikius minimizacijos operatoriq funkcijai f, ir iymime

g(xl1 . . . l xn) = py(f (51, ..., xn-1, Y) = 5,)- /

Naudojantis minimizavimo operatoriumi, gaunama daline skirtumo funkcija x - y = p,(y+z = x).

Funkcija f (x) = py(y - (x + 1) = 0) neapibreita su jokiu x E N, nors kiekvienam x atsiras maiiausias y. Jis lygus x + 1.

3.12 apibr88imas. Pati maiiausia aibe, kuriai priklauso bazinls funkcijos ir kuri uidara kompodcijos, primityviosios rekursijos bei minimizavimo atbilgiu, vadinama daliniq r'ekursyviqjq funkcijq aibe (klase).

F'unkcija x- y yra daline rekursyvioji, bet ji nera primityviai rekursyvi. IS 3.10 ir 3.12 apibreiimq isplaukia, kad kiekviena primityviai rekursyvi funkcija yra ir daline rekursyvioji.

3.13 apibreiimas. Visur apibrlita daline rekursyvioji funkcija vadinama bendrqja rekurdyvida funkcija.

Daliniq rekursyviyjq funkcijq a i b ~ iymesime DR, o bendryjq rekursyviyjq - BR. IS apibreiimq iSplaukia, kad P R 5 BR c DR. Veliau parodysime, kad egzistuoja bendrosios rekursyviosios funkcijos, kurios nera primityviai rekursyvios. Tokiu biidu P R c BR c DR.

3.7 Porq numeravimas

Bet kuriq dviejq skaitiyjy aibiq Dekarto sandauga skaiti, todel aibe A = {(x, y) : x, y E N} taip pat skaiti. Visas poras iSraSysime tam tikra tvarka. Jei x + y < u + v, tai (x, y) sekoje pasitaikys anksEiau negu kad (u, v). Jei x + y = u + v ir x < u, tai pora (2, y) taip pat bus randarna anksEiau. Turime tokia, porq sekq:

Kiekvienai porai priskirsime po numeri. Numeruoti pradedame nuo nulio. Jei pora yra i-toje vietoje, tai jos numeris bus i - 1. Poros (x, p)

numeriiymesimea2(x,y). Tadaaz(O,O) = 0, az(0,l) = 1, az(1,O) = 2,... Taip numeruoti poras pasiiile G.Cantor.

3.2 lema. Poros (x,y) numeris apskaiEiuojamas naudojantis funkcij'a

lrodymas. Pora (x, y) yra atkarpoje 1

(0, x + y), (1, x + y - I),..., (2, Y),..., (x + Y, 0)

Pries atkarpa, yra viena tokia pora (u,v), kad u + v = 0, dvi poros (u,v), kuriose u + v = 1 ir t.t. IS viso 1 + 2 + ... + (x + y) porq, t.y.

(5 + Y)(X + Y + 1) 2

b

Pora (x, y) yra nagrinejamosios atkarpos x + 1-oje pozicijoje. Kadangi numeravimas prasideda nuo nulio, tai

(x + Y)(X + Y + 1) + x = (x + Y ) ~ + 32 + y

a 2 (2, Y) = 2 2

Lema jrodyta.

Poros(x, y) hiriuoju nariu vadinsime x, o deginiuoju - y. Kairiojo nario funkcija, iymime IT;, o ddiniojo x:. Jos abi yra vieno argument0 funkcijos. Jei poros (x, y) numeris n, tai .rr:(n) = x, o ni(n) = y. Jos t.tlnkina tokias savybes:

Toliau nesinaudosime Siuo konkreEiu Cantoro numeravimu. Svarbu tik faktas, kad toks porq numeravimas galimas, kai crz (x, y), ni (n), .rri (n) yra primityviai rekursyvios funkcijos.

.rri (n) apskaiEiuojama tokiu biidu:

Naudojantis porq numeravimo funkcija, a p r h m a s trejetq, ketvertq ir t . t . numeravimas.Pavyzdiiui,

Taip numeruojant pirmieji penki sekos nariai yra trejetai:

Bet kurio n dedam4jq vektoriaus numeris apibreiiamas rekursija

~ n ( 2 1 , ... r xn) = a2(21, a n - 1 ( ~ 2 1 ...,xn))

Jei an(xl , ..., xn) = x, tai T;(X) = xi. Gauname, kad

. . . xn-1 = .lrb (T;($( ...( T$(x))) ...), Eia n; jeina n - 2 kartus,

2 2 2 X n = 7r2(7r2(n2( ...(T;( x))) ...), Eia 'rr: ieina n - 1 kartq.

Kadangi funkcijos a,, .rri (jos vadinamos Cantoro funkcijomis) gaunamos pritaikius kompozicijos operatoriu, primityviai rekursyvioms funkcijoms, tai ir jos paEios yra primityviai rekursyvios.

3.8 Baigtinumo problema

Nagrinekime vienajuostes determinuotqsias Turingo maSinas. Be to, tarkime, kad jos tenkina sqlygas (tokias maSinas vadinsime standartinemis):

a) kai maSina po baigtinio iingsniq skaiEiaus baigia darbq, t.y. patenka i galutine biisenq, jos skaitymo galvute turi biiti ties pirmaja (iS hires) netuSEia lqstele,

b) be tuSEios lqsteles simbolio b, abeceleje yra dar du ( 0,l). Be to, pradiniai duomenys bei rezultatai yra dvejetainiai skaiEiai,

c) galutine biisena yra tik viena.

Biisenas, kaip ir iprasta, iymime raidemis q su indeksais, perejimq funkcijq - raide b, o perejimq komandas - 6(qi, x) = (qj, x', Y) (Eia Y iymime vienq iS raidiiq K, D,N). Galuting biisenq iymime ql .

Yra iinoma, kad ir kokia biitq Turingo maSina, galima rasti jai ek- vivalenEiq, t.y. apskaiEiuojanEiq ta, pacia, funkcijq, standartine. Taigi Turingo maiinos abecele yra tokia:

- 3.3 lema Standartiniy Furingo mai iny aibd yra skaitioji.

lrodymas. Remiantis 1.5 teorema, visq galimq iodiiq aibe A* yra skaiti. Tie iodiiai, kurie yra kurios nors standartines Turing maSinos perejimq funkcija, sudaro begalini A* poaibi, kuris yra skaitus, nes bet kuris skaiEiosios aibes poaibis yra baigtinis arba skaitus. Lema jrodyta.

Tarkime, kad To, TI, T2, . .. - pilnas sa,rdas standartiniq Turingo maSinq, o cpo, cpl , cp2, . . . - vieno argument0 dalines rekursyvios funkcijos,-kurias apskaitiuoja atitinkamos Turingo maSinos, t.y. cpi iymi funkcijq, kuriq apskaieiuoja maSina Ti.

Baigtinumo problema: Ar egzistuoja algoritmas, kuriuo naudojantis, pagal bet kuriq natiiraliwq skaiCiy porq (m,n ) galima pasakyti, ar Turingo maSina Tm su pradiniais duomenimis n (t.y. juostoje pradiniu laiko momentu yra natiiralw'i n atitinkantis dvejetainis skaic'ius) baigia darbq (t.y. po bazgtinio Eingsniy skaiEiaus pereina i galutine bcsenq), ar ne?

Jei daline funkcija f(x) apibreita su x = k , tai iymime f ( k ) < m, jei ne, tai f ( k ) = oo.

Baigtinumo problema, galima apibreiti ir tokiu biidu:

A r egzistuoja dgoritmas, kuriuo galima nustatyti ar cpm(n) < co, ar cpJ+ co (m, n - bet kurie natcralieji skaic'iai)?

Aibe vadinama rekur~~vic l ja , jei jos charakteringaja funkcija yra kuri nors visur apibreita rekursyvioji funkcija. Kai kalbama apie aibes, kurias sudaro ne skaiEiai, o kitokie elementai (formulQ, funkcijos, Turingo maSinos ir kt.), tai dainiausiai uiuot sake (ne)rekursyvi aibe, sakome (ne)iSspren- d2iama aibe (klase, pmblema).

3.3 teorema. Baigtinumo pmblema neiSsprendZzama.

Irodymas. Parodysime, kad tarp visy galimy algoritmq nera tokio, kuris iSsprendiia baigtinumo problemq. Nagrinejame funkcija,

Tarkime, kad algoritmas, apie kuri kalbama baigtinumo problemoje, egzistuoja. Taigi atsiras tokia standartine Turingo mgina, kad su pradiniais duomenimis a2(x, y) po baigtinio skaiEiaus iingsniq maSina pereis

4 i galutine bosena, ir juostoje bus tik viena natuFiEia lqstele. Joje bus 1 arba 0 ir ties ja bus skaitymo galvute. 'Ibomet g(a2(x, y)) yra bendroji

- rekursyvioji funkcija ir atsiras Turingo maSina, apskaitiuojanti funkcija, $(XI:

1, jei g(az(x, x)) = 0 W(x) = { oo, jei g(az(z,z)) = 1

Ja, gauname tokiu biidu. Perejimq funkcijoje visas ql ieitis pakeiEiame qk (qk - kuri nors nauja biisena), bei papildome: 6(qki 1) = (qk, 11 D) 6(9k, b) = (4kl bl D) d(qk7 0) = (91~1, N )

Tarkime, 1 yra Turingo maSinos, apskaiEiuojanCios $, kuris nors numeris. Tuomet 1 bus ir $ numeris, t . ~ . $ = 9. AiSkinames, ar $(I) < co. IS prielaidos, kad egzistuoja algoritmas, apie kuri kalbama baigtinumo problemoje, gauname priegtara,:

1) jei $(1) < co, tai g(a2(l,E)) = 0 ir ~ ( 1 ) = oo, t.y. $(1) = co; 2) jei $(l) = oo, tai g(az(l, 1)) = 1 ir cpl(1) < oo, t.y. $(1) < oo.

Teorema irodyta.

Bendresng teorema, 1953 m. jrode H.G.Rice:

Tarkime X daliniy rekursyviw'y uieno argumento funkcijy aibe. Jei X netuSEia ir nesutampa su uisy daliniy rekursyviqjy vieno argumento funkcijy aibe, tai

yra nerekursyvi.

Remiantis Rice teorema, galima gauti daug nerekursyviq aibiq. Pavyzdiiui:

a) X sudaro visos vieno argumento tapatiai lygios nuliui primityviai rekursyvios funkcijos,

b) Xsudaro visos bendrosios rekursyviosios vieno argumento funkcijos.

NeiSsprendiiama ir tokia problema:

Ar bet kurios dvi Turingo maiinos apskaic'iuoja vienq ir tq paCzq daline rekursyviqjq funkcijq ?

3.9 Rekursyviai skaiEios aibks

Pateikiame tris skirtingus rekursyviai skaiEios aibes apibreiimus.

3.14 apibrQZimas. Sakome, kad aibe yra rekursyviai skaiti, jei ji sutampa su kurios nors dalines rekursyviosios funkcijos apibreEzmo sritimi.

3.15 apibrbZimas. NetuSEia aibe rekursyviai skaiti, jei ji sutampa sv kurios nors primityviai rekursyvios funkcijos reikSmiy aibe.

3.16 apibrkzimas. Aibl A yra rekursyviai skaiti, jei egzistuoja tokia primityviai rekursyvi funkcija f(a,x), kad lygtis f (a , x) = 0 turi sprendini x tada i r tiktai tada, kai a E A.

Visi trys apibreiimai, netuSEios aibks atveju ekvivalentiis. lrodysime tai tik keliems atvejams.

1. Tarkime aibe A rekursyviai skaiti pagal 3<15 apibreiimq, t.y. ji netuSEia ir yra tokia primityviai rekursyvi funkcija h(x), kad A = {h(O), h(l), h(2), ...). Parodysime, kad egzistuoja tokia daline rekursyvi funkcija, kurios apibreiimo sritis sutampa su A (3.14 apibreiimas). Tokia funkcija yra

Funkcija f (x) daline rekursyvi, nes gauta pritaikius .minimizavimo operatoriq primityviai rekursyviai funkcijai. Be to, jei x e A, t . ~ . x = h(i), tai a t s i r s toks j < i , kad h(j) = x. Vadinasi, f(x) apibreita. Jei x $! A, tai su bet kuriuo i funkcija h(i) # x ir f (x) neapibreita.

2. Tarkime, aibe A rekursyviai skaiti pagal 3.15 apibreiim8. Tada sutampa su primityviai rekursyvios funkcijos h(x) reikSmiq aibe, t.y. = {h(O), h(l), h(2), ...). Tuomet Jh(x) - a1 = 0 primityviai rekursyvi

(ir. skyreli Primityviai rekursyvios funkczjos) ir ji turi sprendini tada ir tiktai tada, kai a E A. Taigi, A rekursyviai skaiti pagal 3.16 apibreiimq.

f (a, x) = Ih (4 - al.

3. Tarkime, kad egzistuoja tokia primityviai rekursyvi funkcija f(a,x), kad lygtis f (a, x) = 0 turi sprendini tada ir tiktai tada, kai a E A, t.y. A rekusyviai skaiti pagal 3.16 apibreiima,. A netuSEia ir, tarkime, kad d yra kuris nors jos elements. Nagrinejame funkcija,

Ji yra primityviai rekursyvi, nes gauta pritaikius kompozicijos operatoriq primityviai rekursyvioms funkcijoms. Tarkime a € A, xo yra lygties

f (a, s o ) = 0 sprendinys ir to = a2 (a, 20). Tuomet sg f ( ~ 8 (to), n i (to)) = S?J f (a, 50) = 1, sg f (ni (to), n;(tO)) = 0 ir h(to) = ni(to) = a t.y. h(t0) E A. Tarkime, kad a $! A. Tuomet su bet kuriuo xo funkcija f (a, xo) # 0. Kad ir koks biitq to = az(a, xo) sgf (nb(to), n;(to)) = 0. Tuo tarpu sgf ( n ~ ( t o ) , n ~ ( t o ) ) = 1 su bet kuriuo to = cu2(a,xo) ir h(to) = d, t.y. h(to) E A. Taigi A rekursyviai skaiti pagal 3.15 apibreiimq.

Noredami atkreipti demesi i rekursyviq ir rekursyviai skaitiq aibiq skirtumq, pateiksime dar toki apibreiimq (palyginkite ji su 3.11 apibreiimu).

Tarkirne, kad KA(X) daline rekursyvioji funkcija, tenkinanti sqlygq

1, jei x E A ""(x)' { m, jei x $ A

Tuomet A yra rekursyviai skaiti.

Kuo skiriasi skaitiosios nuo rekursyviai skaiEiq aibiq? Tai paaiSkes veliau. Kol kas tik pastebbime, kad jei A yra skaiti if abipusigkai vien- areikSme N ir A atitikti galime nusakyti kuria nors primityviai rekursyvia funkcija h(x) (A = {h(O), h(l) , ...)), tai A taip pat ir rekursyviai skaiti (pagal 3.15 apibreiimq) . Kiekvienas natfiralid y skaiEiy aibes poaibis yra baigtinis arba skaitusis. Veliau matysime, kad egzistuoja begaliniai natiiraliyjq skaiEiq poaibiai, kurie nera rekursyviai skaitiis. Pateikiame keleta, rekursyyiai skaiEiq aibiq pavyzdiiq.

Pavyzdiiai: 1. TuBEia aibe rekursyviai skaiti, nes ji sutampa su dalinb rekursyviosios funkcijos p,(z + (x + 1) = 0) (ji s'u jokia reikSme neapibreita) apibreiimo sritimi (naudojames 3.14 apibreiimu).

2. N- = {1,2,3, ...) rekursyviai skaiti, nes sutampa su primityviai rekursyviosios funkcijos s(x) reikgmiq aibe.

3. Baigtinio skaitiaus rekursyviai skaiEiq aibiq sajunga bei sankirta yra rekursyviai skaiEios aibk.

Tarkime Al, A2, ..., A, rekursyviai skaiEios aibes. Egzistuoja (pagal 3.16 apibreiimq) tokios primityviai rekursyvios funkcijos f, (a, a ) , kad f i(a,x) = 0 turi sprendini tada ir tiktai tada, kai a E Ai. a) Sankirtos atveju konstruojame tokia, primityviai rekursyvia, funkcija,

Su reikSmemis xy , ..., x0, lygybes f (a, xf) = 0 (i = 1, ..., n) galioja tada ir tiktai tada, kai egzistuoja a E A1 n A2 n ... n A,. Tarkime, so =

an(x:, ..., 2:). Tuomet f (a, xO) = 0. b) Sajungos atveju

Ka i kurios rekursyviai skaiEiq aibiq savybks:

1. Kiekviena rekursyvi aibe yra rekursyviai skaiti. Tarkime IEA(X) yra bendroji rekursyvioji charakteringoji aibes A funkcija. Tuomet A sutarnpa su dalines rekursyvios funkcijos f (x) = K ~ ( x ) - 1 apibreiimo sritimi.

2. Baigtines aibes yra rekursyvios, kartu ir rekursyviai skaiEios. Tarkime, A = {al, ..., a,). Tuomet primityviai rekursyvi KA(X) = sg(1x- al ( . (x - az I . ... . 1x - a,\) yra aibes A charakteringoji funkcija.

3. Jei kuri nors aibe A ir jos papildinys A (iki natiiraliyjq skaiEiy aibes) rekursyviai skaiEios aibes, tai A, kaip ir A yra rekursyvi. Tarkime, A sutarnpa su primityviai rekursyvios funkcijos f (x) reikSmiq, aibe, o A - su g(x) reikgmiq aibe (remiames 3.15 apibreiimu). F'unkcija

apibreita su bet kuriuo naturaliuoju x, nes A U A = N ir todel ji yra bendroji rekursyvioji funkcija. F'unkcija A ir A charakteringosios yra Sios bendrosios rekursyviosios fundcijos: KA(X) = ~ 9 l f ( h ( x ) ) - 21, "A(%) = sg\g(h(x)) - 21.

IS. treEiosios savybes iSplaukia teorema.

3.4 teorema. Jei kuri nors rekursyviai skaiti aibl nlra rekursyvi, tai jos papildinys nera nei rekursyvi, nei rekursyviai skaiti aibe.

~i teorema matematineje logikoje labai svarbi. Formulems priskiriami numeriai ir aprdytosios sqvokos bei rezultatai taikomi formuliq aibems. Veliau matysime, kad rekursyviai skaiEios, bet nerekursyvios aibes yra tapaCiai teisingq bei tapaEiai klaidingy predikatq logikos formuliy aibes. IS 3.4 teoremos iSplaukia, kad ivykdomq predikat~ logikos formuliq aibe nera nei rekursyvi, nei rekursyviai skaiti. Tas pats galioja ir forrnuliq, kurios nera tapaEiai teisingos, aibei.

3.10 Ackermanno funkcijos

3.17 apibrkgimas. Sakysime, kad sqrySiu R(x,y), apibreitu aibeje A,

72

nusakome daling tvarlcq joje, jei sqrysis refleksyvus, tranzityvus ir anti- simetrinis, t.y. Earl ir : :.(: b21.t~ x ,y c A (R(x, y)&R(y,x)) -+ x = y.

Sslrysius, kurinis jvedama daline tvarka, iymime 5. Kai kada, patik- slindami, apie kurit 1s aibes tvarka, kalbama, iymesime < su indeksu, pavyzdiiui, < A . Tvarka, kai bc t kilrie du elementai palyginami, t.y. R(x, y) apibreitas su bet kuriais x, y iS ~lz.;rinejamosios aibes, vadinama tiesine.

3.18 apibrBf i ~nas . Tarkime aiblse A , B tvesta tiesine tvarka. Aibes vadinamos pr:Ti is (%,mime A - B), jei jos yra izomorfines kaip sut- varkytos aibk.~ aa7 Jinan~os to pnties tzpo aiblmis.

Taigi, jei A -- r tai egzistuoja ti?'ria abipusiSkai vienareiksme A , B elementq atitikti kad nesvarbu, k ~ : biitq al ,az E A, jie ir juos atitinkantys bl, b2 ::. i j tenkina sqlygas: i < A a2 ir bl 6~ ba. Fiksuo- dami kuria, nors netcSEia, aibq, galime ras i daug jai panaSiq a i b i ~ . IS visq galimq aibiq isskirsime kai kurias, daiiiiausiai matematikoje bei in- formatikoje naudojams skaitines aibes i? suteihime joms, kartu ir visoms i jas panaSioms, vardus. Tie vardai vadiz :.mi tipaw arba ordinalais. Pagrindiniq aibiq tipai:

Pakeite 5 i 2, ivedame jau kit3 t va rb , vadinanqja, dualiaa tvarkq. Jei aibes A tipas a, tai simboliu a* iymimas dualicq: !i tvarkos tipas. ApibreBime veiksmus su tipais. Tarkime, a ibk A tir ;Ira o (tvarka < A ) ,

o B tipas - p (tvarka <B).

3.19 apibreiimas. Tipy a , P suma (iymime a+P) y m tiesine tvarka 5 aibeje A U B, nusakyta tokiu bldu:

a) jeix E A, y E B, tai x z y,

b) je;! x, y E A i r x S A y, tai x 5 y ,

c ) jei r , y E B ir x y , tai x < y .

3.20 apibr8iimas. Tipy a , sandauga (Zymesime a . P) yra tiesine tvarka 5 aibeje A x B, nusakyta tokiu b d u :

a ) jei yl IB y 2 . tai (xl . ! j l ) I (x2.!/2).

b ) jei y1 = !fi 27. .r1 5.4 ~ 2 . tai ( X I , y l ) < (x2 . y2).

Tarkime aibeje A = {.co.xl,.cs. ...) tvarka yra s o < xl < x2 < .... o aibeje B = { y o . yl, y2. ...) - yo < y1 < y2 < .... Tuomet aibeje A x B yra tokia tvarka:

Nesunku xnatyti, kad a) a+O = O+cr = a , b) l+w = d. bet ~ + l f w, c) W* # W. -iya&i& d - d jf%-& ~ w ~ % u'. Apibreziame funkcijas B,,(a, x ) , kai a 2 2:

Tai didejaneios funkcijos. B,(a, x) < Bj(a , x), kai i < j. pradedant kuriuo nors xo. Jos tenkina tokias lygybes: ,

Bl (al 1) = a Bl (a , x + 1 ) = Bo(a, BI (a , x))

Prateskime jas (kai n 1 2):

Tarkime, kad B,+l(a, 0 ) = 1 , kai n 2 1. Ackerrnanno funkcijos variantu. kai a = 2, vadiname A(n, x ) = B,(2, x ) . Ivedame tiesine tvarka, tarp porq:

(0,O) < ( 0 , l ) < (0.2) < ... < ( 1 , O ) < ( 1 , l ) < (1 ,2) < ... < < ( I ? , , 0 ) < (n , 1) < (n . 2 ) < ...

Jos tipas yra w2. Funkcija A(n, x) apraSoma rekursija pagal tipa, d2 . Pastebesinle, kad reikSnlei A(n + 1 , O ) ankstesne yra A(n1. x ) su nl 5 n ir bet kuriuo x. Ackerrnann funkcija nusakoma tokion~is lygybe~nis:

A(0.x) = ~ + 2 A(1,O) = 0

A(y,O) = 1 su y 2 2 i l ( y + 1, .r + 1 ) = A(y. A ( y + 1 , x)) visienls x.q

Funkcija turi tokias savybes:

C ) A ( n , x + 1 ) > .4(rz.x) (n . x = 1.2. ...),

Funkcija h ( x ) = A(x. x ) apibreita su bet kuriomis x reikgmemis. todel ji yra bendroji rekursyvioji. Irodysi~ne, kad h ( x ) nera primityviai rekursyvi. Naudosimes rezultatu, kad vieno argument0 primityviai rekursyviy funkciju aibe gali biiti apibreita naudojantis tik vieno argumento primityviai rekur- syviomis funkcijomis. lvedame naujus sudeties bei iteracijos operatorius. Juos taikysime vieno argumento primityviai rekursyvioms funkcijoms. Rezultatas - vieno argumento primityviai rekursyvi funkcija. Pritaike sudeties operatoriy funkcijoms f ( x ) , g (x ) , gauname f ( x ) + g(x) . Tarkime g(x) E PR. Apibreiiame nauja, funkcija, f ( x ) tokiu biidu: f ( 0 ) = 0, f ( x + 1) = g( f ( x ) ) . Sakysime. kad f ( x ) gauta iS g(x) pritaikius iteracijos operatoriq ir iymime I ( g ( x ) ) .

3.5 teorema. Vieno argumento primityviai rekursyvi funkcijq aibe sutampa su aibe, kuriai priklauso bazines funkcijos s ( x ) , q 1 x ) = xl[@' ir kuri uidara sudeties, kompozicijos bei iteracijos at.tvilgiu.

.-. Sakome, kad f ( x ) maioruojama funkcija h ( x ) , jei f ( x ) < h(x ) prade-

dant kuriuo nors s o . t.y.. kai x 2 xo) . Parodysime, kad kiekviena vieno argument0 primityviai rekursyvi funkcija niaioruojama funkcija h ( x ) ir todel h ( x ) nera primityviai rekursyvi. Visy pirma jrodysime. kad ir kokia butu vieno argumento f ( x ) E PR, galinia rasti toki n, kad f ( x ) butt1 maioruojama funkcija A(n, x ) . Remiames 3.5 teorema, t.y. tariame, kad nagrinejamosios funkcijos gautos iS s ( x ) , q(.-c) pritaikius sudeties. kompozicijos bei iteracijos operatorius.

Tarkime, f ( x ) < A ( n l , x ) , g ( z ) < A(n2, x ) ir n = nl + nz. Tuomet f ( x ) < A(n. x ) ir g(x) < A(n, x ) .

f ( x ) + g(x ) < 2 . A(n. X ) < 2 . 2 A ( n . z ) < - 2A(n+1.x) < - 5 .4(n. A ( ~ L + 1 , x ) ) = A(n + 1 , x + 1 ) < A ( n + 2 , x ) .

Pan&iai giitulanlas jvertis ir iteracijos atveju. Jei f (1) < . A ( I ~ . x ) . tai

Taigi. gavome. kad ir kokia bGtq vieno argumento f ( x ) E PR ji rnazoruojanla visur apibreita funkcija h ( x ) ir todel h ( x ) nera primityviai rekursyvi. Tuo paEiu jrodenie. kad aibe P R yra g ie i tas aibes BR poaibis.

3.11 Universaliosios funkcijos

3.21 apibr8Zimas. Tarkime, A kuri nors n argumenty funkcijy sib€. Funkcija F(xo . .r1. ..., x,) vadinama aibis A unitersaliqja. jei A = {F(O,x l , .... x,), F ( l , x l . .... x,), ...). t . y . F ( i . x l . .... x,) E -4 (i = 0. 1. 2. ... ! i r nesvarbu kokia btity f ( x l . ..., z,,) E A? atsiras bent cienas toks nat.iiraluii-s i. kad f ( x l . .... .c,,) = F ( i , x l . ..., x,).

Tarkime, kad A kuri nors visur apibreita n argument4 funkcijq aibe. o F ( x o , X I , ..., x,,) - jos universalioji. Pastebkime. jei g(x1. ...! x,) = F ( x l , X I , x2, ...> x,) + 1 priklauso aibei A. tai universaliajai F atsiras t o h i. su kuriuo galioja lygybes: i

F( i , x1 . x2 , ..... c,) = F(x1 .x1 .x2 , ... ,x,) + 1 s-, F(i.i .x2, .... x,) = F(z,i .x2. ..., x,) + 1

hlatome: jei F E PR, tai ir g E PR; jei F E BR. tai ir g E BR. IS Cia isplaukia du teiginiai:

a ) v i sy n argumenty primityviai rekursywiy funkcijy aibEs uniuersali negali buti primityviai rekursyui funkcija,

b) visy n argumenty b e n d w ' y r e k u r s y v i ~ y funkcijy aibCs universali negali bUti bendroji rekursyvioji funkcija.

3.6 teorema. Visy z~ieno argumento primityziai rekursyviy funkciju aibei egaistvoju uniuersalioji bendroji rekursyvioji finkcija.

Irodymns. Remiantis 3.5 teorema visas vieno argumento prirnityviai rekursyvias funkcijas galima gauti is baziniq s ( x ) . q ( x ) taikant sudeties. kornpozicijos bei iteracijos operacijas. Funkcijoms priskirsi~rle naturaliuosius skaitius, t.y. apibreiiame funkciju, numeracija. Funkcijos f (x) rlumeri iymesirne T I ( f (s)) arha raSysirne f ,, (x) , kai jos nurrleris yra 18.

Funkcijo~rls s ( J . ) . y(z) priskiriame tokius nu~nerius: r ! ( si . r ) ) = 1. n(ci(s)) = 3.

Tarkinit. n( f (x)) = a. o I ~ ( ~ ( . c ) ) = b. Tuomet. funkcijonls. gautoms pritaikius sut1t;ties. kornpozicijos ar iteracijos operaturius. priskiriarile tok-

Pavyzdiiui, n ( I ( 2 . s ) ) = n ( I ( s + s ) ) = 8.3"" '. n(s+ I(qi = 2 . 3 . ~ ~ 3 3 .

Apibreiiarne d v i e j ~ argument11 funkcijq F ( n , x ) = f,, (1 I . t .y. F ( n . x ) lygi vieno argumento funkcijai. kurios numeris yra n.

' fa ( s ) + fb(x). jei n = 2 . 3a . sh f a ( f b ( x ) ) , jei n = 4 . 3a . jb

f ( L ( f , ,(x - l ) ) , jei n = 8 . 3". z > 0 0. jei n = 8 . 3 " . x = O

q (x ) , jei n = 3 s ( x ) , jei n = l ,

IS apibreiimo matome. kad kiekviena funkcija turi numeri. bet ne vieninteli. Pavyzdiiui. nors f ( x ) + g(x)=g(x) + f (x), beg jq numeriai. bendruoju atveju, skirtingi. Ne kiekviena, natilralqji skaiEiy atitinka kuri nor- funkcija. Pavyzdiiui. nera tokios funkcijos, kurios numeris lygus 7.13 ar-'17. Dabar galime apibrkiti vieno argumento primityviai rekursy1.i~ funkcij y universaliqia,

F r ) jei n yra kurios nors funkcijos ~lumeris D ( n . x ) =

0. prieSingu atveju

D(n. x ) - bendroji rekursyvioji funkcija. Teorema irodyta.

3.7 teorema. D(xo . a , (x l . ... x,)) yra visq n argumentu primityviai rekursyvi.~ funkcijq aibe.9 universalioji funkczja.

[rodymas. Universaliqjq paiymekime Dl"' (so. X I . .. . . s,, :. Parodysime. ji lygi D(xo. a , ( x l . .... x,,)). Viena vertus su kiekvienu fiksuotli ZO

funkcija D(xo. cr,,(xl. .... r,)) primityviai rekursyvi. Antra vertus. jei g(x1. .... x,, j yra kuri nors 71 argurrienty primityviai rekursyvi funkcija. tai tokia yra ir f ( x ) = g(.-A (.c). .... .rrfi(x)). J i vieno argumento. Todel atsiras toks llaturalusis z,,. kad f ( x ) = D(x,,: 2 ) . Skaieius xo ir yra y(z!. . ... x , , ) numeris. nes

Dabar apraSysirne daliniq rekursyvirljil funkci j~~ uuiversaliqsias. Jos taip pat yra dalinks fiinkcijos.

3.22 apibrei imas. Dalines rekursyviosios funkcljos f ( x l . .... x,) grafiku uadiname aibe -4 = { ( x l , ..., x n j y) : f ( x l . .... x,) = y ) . Slekur neapibreitos funkcijos grafikas yra tuSEia aibe.

Pavyzdiiui. funkcijos y = x2 grafikas yra aibe ( (0 .0) . ( 1 . 1 ) . (2 .4) , (3 .9) . (-1. 16). ...).

3.8 teorema. Daliniq rekursyviy n argument4 funkcijy aibei egzistuoja universalioji funkcija.

[rodymas. Bet kurios dalines rekursyvios funkcijos gafikas yra rekursyviai skaiti aibe. nes sutampa su sgl f ( x ~ , ..., x,) - yl - 1 apibreiimo sritimi. Taigi. kad ir kokia but^ daline rekursyvi funkcija f ( x l . . . . . x,), remiantis 3.16 apibreiimu galime tvirtinti, kad egzistuoja tokia primityviai rekursyvi funkcija g ( x l , ..., x,, y, z ) , kad

( x i . ..., x,. 9 ) E A tada ir tiktai tada, kai egzistuoja t o h z. kadg(x l , ..., x,,. y. z ) = 0. -

Tarkime t = a2(y . z ) . Tuomet ( x l , ..., x,, y) E A tada ir tiktai tada. kai yra toks t , kad g(x l . ..., x,, n i ( t ) , n ; ( t ) ) = 0. Paiyrnekime g ( x l , ..., x,. .;i:it)..ir;(t)) nauja funkcija F ( x l . .... x,, t ) . Kad ir kokia b i i t ~ daline rekursyvioji funkcija f ( x l , ..., x,,), atsiras tokia primityviai rekursyvi F ( x l . .....I., . t . kad

f ( X I , .... x,) = ~ k ( p t ( ~ ( x 1 , ...,xn. t ) = 0)) (3.2)

Daliniq rekursyviq n argumenty funkcijq universalioji D"" gaunama tokiu biidu:

IS tikrqjq Si funkcija su kiekvienu fiksuotu xo D"" yra dalini. rekursyvioji. Taciau. jei f (e l . .... x,,) yra kuri nors daline rekurspioji funkcija. tai egzistuoja tokia primityviai rekursyvi F(x1. .... x,.!). kuriai galioja ly- a b e (3.2). Tarkime jos numeris i. Tuomet

D ' ~ + ' ( ~ . X ~ , .... L,) = n ~ ( p t ( ~ r L + 2 ( i , x l . ..., x,,. t ) = 0 ) ).

3.23 apibrki imas. Sako~ne. kntl visur apibrrftc~ frlr!kcij,i 9 , .rl . .. . . x , ~ ) 0 yrn dalines funkcijos f ( x l , .... x,) pratesimas, jei bt t X.u/rr 1~1.5 .r?, ..., .rs,

s u kuriais f apih~@ita, galioja lygybl g(x:. .... r:) = f i J.?. .... .r: i.

Ar galinia pratesti kiekvienq daline rekursyviqjq funkcija, pratqsti. t.y. ar atsiras is bendrujtl rekursyviqj~ funkcijq tokia. kuri bus jos pratesimas? Pasirodo, kad ne visas dalines rekursyviqsias funkcijas gal- irria pratcsti.

3.9 teorema. Daliniy rek:.ursyviqjy s argumentq funkcijq universalioji D ' + ' ( X ~ , X I , .... xs) neturi pratqsimo.

[rodymas. Nagrinejame V(x) = s ? ~ " + ' ( . r . x, ..., z). Jei V(x) apibreita su kuriuo nors xo, tai jos reiksme lygi 1 arba 0. Tarkime V(x) turi pratesima, W(x). 1 ja, (vieno argumento) galima iiiireti kaip i s argu- m e n t ~ funkcija,

Atsiras toks a, kad D"+ '(a, X I , .... x,) = LV(xl). Ji visur apibreita. Imame xi = ... = x, = a. W ( x ) yra ir s g ~ ~ ~ ' ( x . x , ..., x) pratesimas. Gauname prieStara, LV(a) = sgW(a). Taigi V(x) neturi pratesimo. Tarkime, kad DSf' (xo, x l , ..., x,) turi pratesima, P(xo, x l , ..., 2,). Tuomet s ~ P ( x , X, ..., x) butq V(x) pratesimas, o tokios tarp bendrMy reJkursyviqjq funkcijq nera. Teorema irodyta.

IS.

3.10 teorema. Egzistuoja rekursyviai skaitios, bet nerekursyviosios aibls.

irodymas. Nagrinejame universaliaja, vieno argumento funkcijoms ~ ' ( x , . x?) . Funkcija V( r ) = sgD2(x, z) turi savybes:

1) V(x) daline rekursyvi,

2. V(z) neturi pratesimo.

3. I'(x) reiksmiy aibe (0.1).

Lygties V(x) = 0 sprendi~liq aibe rekursgviai skaiti, nes sutarnpa su dalines rekursyvios funkcijos p,(V(x) + z = 0) apibreiimo sritimi. Jei ji but11 rekursyvi, t.y. atsirasty tokia beridroji rekursyvioji rc(r). kad

1, jei V(x) = 0 ti(.r) = 0. priesingu atveju,

tai s3 t i( .r) bfitll I..(.c) pratcsinlas. 0 tai priestarauja aritrai furikcijos I -(.r.) savybei. Teorcilia irodyta.

3.12 Kanoninis Posto skaieiavimas

~ i a m e skyrelyje truuipai susipazinsime su amerikietiq logiko E.L.Posto 1943 m. apraiytri algor-ztmrdkaz apskazEzuo~amyly furzA.c~jl( formalizmu - kanonznzu s k a t ~ i a ~ ~ z m u .

3.24 apibr8iimas. h7anoniniu skaiCiavimu vadinsime ketuertq (-4. P. A k . T ) : Cia A, .4k. P. T - baigtinls aibes. A vadinama skait iat imo abicele. P yra skaiEiavimo kinta.mwy aibe (A n P = 8 ) Ak - abeceles .4 iodi iq aibe, vadinama skaiCiavimo aksiorny aibe, T - taisykliy aibe pavidalo

Gi.j - abecllepl iodiiai, pi,j - kintamieji.

~ o d i i a i virS briikSnio vadinami taisykles prielaidomis. o briikSnio apatioje

.*. - iSvada. Tariama. kad kintamieji, ieinantys i igvgdq. sutinkami bent vienoje prielaidoje.

Taisykle realituojantiu rinkiniu vadinarne reiSkini pavidalo

ciap' ..... p" - pilnas s%r&as kintamUjq, ieinantiu i taisykle. o B1. .... B, - kurie nors abeceles .4 iodiiai. Pakeite taisykleje visas ieitis p' iodiiais A, ( i = 1. .... s ) , gaunanle taisykles taikymq

i.ia Q. Q, ( i = 1. .... rn) - abeceles '4 iodiiai. zodiiq abecel6je .-I seka vadinarna isvedimu. jei kiekvienas jos narys yra aksiolna arba gautas is bir@je esaneill formuliq pritaikius k~iria, nors skai?iavinio taisykle. Sakorna, katl fodis B isvedamas skaiEiavinie. jei galinla rasti isvedimq.

kriris baigiasi iodiiu B.

Kallolliriis skaiciavinias idomus tuo, katl savyje apinii~ tiek Turing0 rnk~qinas, t,iek ir logi~iius sbii.iavirnus. 1 T~iringo liiaiinas ir loginius skaieiavimus galiilic iiureti kaip i atskirus kanoninitl skaii.iaviiilii a t~e jus . Galiiiitnle ir

kitoki bendresni formalq aparata rekursyviai skaiEiorns aibems apr$j-ti. Generuojami objektai nebiitinai yra skaitiai.

PavyzdZiai. 1. A = { I ) , P = { p ) , Ak = { / I ) . T = 5 .

ISvedamq skaitiavime iodiiq aibe lygi { I 1 , / 1 1 1 , ...? 1 2 " . )

2. -4 = { 1 , 0 , *). P = { p . q ) . Ak = { B ) : Eia B - kuris nors abeceles { 1 , 0 ) iodis. T susideda iS taisykliy:

Kai kada domina ne visi isvedami abecele A iodiiai, o iSvedami iodiiai abeceles A', t.y. kurio nors aibes A poaibio. Tuo atveju sakoma. kad -4' yra pagrindine skaitiavimo abecele. Jei antrajame pavyzdyje pagrindine abecele laikysime ( 1 , O ) . tai skaitiavime iSvedamas tik vienas (neskaitant aksiomos) iodis, kuris gaunamas iS B. pakeitus jame visas nuliukq jeitis vienetukais bei vienetukq ieitis nuliukais.

\ .t.

3.25 apibritZimas. Sakome, kad d u skaiEiavimai yra ekvicalentus at iv i lgiu pagrindines abeceles A. jei idredamq abiejuose skai t iar imuose ab ice les A i o d i i q aibds sutampa.

3.26 apibr6Zimas. Taisykle, kurioje bent uieno k in tamojo , jeinanElo i prielaidq. iSvadoje nera. radinsi,me c-taisykle.

3.4 lema. K o k s bebdty kanoninis skaiEiavimas Il = (A . P, Ak. T ) . gal- i m a rasti j a m ekuivalenty ativilgiv pagrindines abecelis A. kur iame nera c- taisykl iq .

Irodymas. Tarkime -4 = { a l , a?. .... a , , ) ir skaitiavimo II taisykleje GI . .... G,,/G kintamyjq p l . ..., p,. ieinaneiq i prielaidas. isvadoje G nera. Naujasis skaiEiavimas. kuriame eliminuota nagrinejamojo C-taisykle. ir kuris ekvivalentus skaiEiavimui IT ativilgiu pagrindines abeceles A. gaunamas tokiu biidu. Abecele papildoma nauju simboliu, pavyzdiiui *. 0 taisyklb keiEiama tokiomis:

Taigi. generuoda~ni tam tikrus "tarpinius" iodiius. kuriuose yra s. gauname shiEiavimq. kuriame eliminuota c-taisykle ir jis ekvivalentu. skaitiavimui n ativilgiu pagrindines abkceles .-t. Lerlia irodyta.

3.27 apibr6iimas. Kanoninis skaiEiavimas rI = (-4. P. Ak. T ) cad[- namas norntuliuoju. jei aibije Ak tlra vienas elementas. o l isos taisyk1C.j yra pavidalo

Eia G, G' - abPcPles A iodiiai.

Parodysi~ne. kaip galima niodeliuoti Turingo maiinos darba, esant fik- suotiems pradiniams duomenims. Tuo tikslu nagrinesime determinuotq standartin? Turingo masinq su vienpuse viena juosta. Tarkime. Turingo maiinos abecele A U {b). A = { a l . ..., a,). Biisenu aibe Q = {qo. q l . .... q.) Eia qo - pradine busena. Pracliniai duomenys elez ... e, - yra abeceles -4 iodiiai. Jie uiraiomi pirmose (iS kaires i desine) v lqstelese. Po baigtinio

.- . skaieiaus iingsniy Turingo maSina pereina i galutine biisensl (paiymesime ja, q,) arba dirba be galo ilgai. Jei ji baigia darbq. tai pereina i galutine biisena, qs ir skaitymo galvute yra ties pirmaja lqstele. TuSrios lasteles gali biiti tik galutinio rezultato deSineje, t.y. tuSEios lqsteles priraSo~nos tik iS degines. Skaitiavimo eigoje jq negali buti tarp abireles A i o d i i ~ ~ . Nors iS pirnlo ivilgsnio ir atrodo, kad Turingo maSina tur i tenkinti daug apribojirnq. bet yra iinoma. kad ir kokia b i i t ~ Turingo masina. galinla rasti jai ekvivalen~i~. tenkinanti3 isvardytus apribojimw.

Past,arosios darbq nlodeliuojantis normalusis kano~ii~iis skai?ia\.imi-ls gaunamas tokiu biidu. Abecele B = { a l . .... a,. go. 41. .... q, . 6 . x ) . pa- grindini: ahecele .-I c B. P = { p ) , Ak = {*qoele 2...e,). Taisykles:

Kiekvienq maSi11os komandq atitiks po taisykle. E;ornandoms pavidalo S ( q , . ~ J ) = (qU. a ~ , D) . 6 ( q L . b ) = (qu y. D) (y E A u ( 6 ) ) . d ( q , . a,) = (q lL . a , , K ) 6(q , . y ) = (q,,. z . ;Vj (y. z E A { b ) ) priskiriarne tais~-kles:

q,a,p q , * ~ J ( Z L ' L J P - - (11 !JP ( 4 ) Put q u pY(lr~* I."(lJ.I'(L~ P'l IL =

Kita teorenia priklauso logikui E.L.Poat~i.

3.11 teorema. Kad zr koks b l l t l ~ k ~ ~ l l ~ r l l l l l ~ skaiEiur~rnas S ( L pclgrirldine c~blc i le A. ycllima rasti ja7n ekoivczlentll rzorrr1al4ji at?r.ilgiri .A

3.13 Lambda skaitiavimas

Nagrinksime dar viena algoritmiskai apskaiciuojamqj~~ fu~ikcijq formal- iz~rla, - A-skaieiavimq. Ji 1930 metais apraie anierikieeiq logikas A.Chiirch Prograniavirno kalbos LISP pagrindimas re~niasi A-skaiCiavimo savyb6mis.

Ta, patj uira3q x + y gali~n laikyti: a ) skaiEiumi x + y , b) vieno argumento funkcija f (x) = x + IJ. c) vieno argumento funkcija g ( y ) = x + y. d) dviejq argumenty funkcija h(x. y) = x + y. X-skaieiavime tuos atvejus galima atskirti sintaksigkai. Jei E iymi skaieiq (t.y. atvejas a) , tai vieno argument0 funkcija f (x) bus iymima Xx.E. vieno argumento funkcija g ( y ) - Xy.E, o dviejy argumenty funkcija Xx.Xy.E.

A-skaieiavimo reiskiniais bus kai kurios baigtines aibes { A . (. ). . ,a. b, c. ..... s. y. 2 . a'. b'. c'. ..., zl , a", b", ...) elementy sekos. a, b. c, ..., a', b', c'. ..., a". b". c". ... vadinami kintamaisiais.

3.28 apibrk2imas. (A-skaieiavimo termo). 1. Kintamasis yra termas. 2. Jei El. E2 - termai. tai (E l E 2 ) irgi termas (aplikacija). 3. Jei x - kintamasis. E - termas. tai X x. E irgi termas (abstrakcija).

.?..

Taigi. XskaiCiavimo termai konstruojami naudojantis tik dvejomis op- eracijomis - aplikacija bei abstrakcija. Termy pavyzdiiai:

ISorinius skliaustus dainiausiai praleisime. Iiintamqjq jeitis (igskrus tas. kurios yra tiesiogiai sinlbolio X deSineje puseje) skirstysime i laisvqsias ir suvariytqsias.

3.29 apibrkiimas.

Jei termas E = .r. tai kintamojo x ieitis terme E yra laiszla!

Jez E = (E1E2). tnz 712SOs lazsvoszos x ~ e z t y s termuose El . E? yra I I I ~ . ~ ~ ~ o s I O ~ ~ A zr t enne E,

Jei E = Xy.E1 ir s # y. tai visas laisvosios x L.eztys terme E' y7.a /li~;(.os~orr!l.'i ir terme E. o jel .r = y , tni terme E ne.ra 1aisrQj;ly x lei t i&.

Tarki~rle terxnr Esl~tinkamas terrnas pavidalo Xx.E1. Tuomet nagrineja~n~-lo~ X.Z. ieities veikin~o srit~nii vadinamas termas El. Iiintama,ji x trrnie E vadinsi~rie laisvu. jei -la bent vieria x laisva jeitis terme E. Termas vad- inarllas uidaru, jei janle nera laisvll kintanl[\jq. Jt'i kintamojo x jeitis

terrne E nera laisva. tai ji vadiiiania suvariytqja.

PavyzdZiai. 1. Terme x((X.r.y)x) pirnioji bei tretioji z jeitys, bei y jeitis yra laisvosios. 2. Termas Ar.Xy((xy)y) yra uidaras, 3. Terme (Ax.(.cy))(Ay.(xy)) antroji .c jeitis suvariytoji. o tretioji laisva: pirnloji y ieitis laisva, o trecioji suvariyta.

Du termai vadinarni a-ekvivalentus: a ) jei El gautas iS E2 pervardijus visas kurio nors kintamojo laisvasias jeitis nauju. nejeinantiu i E2 kiritamuoju, b) jei El gautas iS E2 pakeitus kurio nors termo atrodanfio Sitaip Ax.E(, ieiti termu Ar.E;. E.: gautas iS E;, pervardijus visas laisvasias x ieitis terme E; kintamuoju 2. c i a I - naujas, neieinantis i E?. kintamasis.

Jei El a-ekvivalentus E?. o E2 a-ekvivalentus E3, tai ir El a-ekvivalentus E3. A-skaifiavime nagrinejami termai su tikslumu iki n-ekvivalentumo. Laikysime, kad termuose bet kuris kintamasis yra arba laisvasis, arba su- variytasis.

.t Pavyzdys. Terniai (Xx.s)(Ax.x) ir (Ax.x)(Xy.y) bei ((xy)(Ax.(xx)))(A.y.y I ir ((xv)(X~.(:z)))(Ay.y) yra a-ekvivalentiis.

Terriie E pakeite kintar~iqji x termu X, gauname nauja, termq E' ZYmesime E' = E [ S / z ] .

3.30 apibr8Zimas. Termas atrodantis S i ta lp (Arc.E 11- ~ladirlamas re- deksu. o E[Y/x] j o santrauka.

Tertno 9-redukcija vyksta tokiu bi~du: ieSkomas pirnlas iS kaires re- deksas ir jis pakeieiamas jo santrauka. Tai vadinama redukcijos iingsniu ir iymima simboliu D. Periiurime gauty i terma, vel iS kaires j desine ir. jei randame redeksq, keieiame ji jo santrauka. Terms vadina~nas nor- maliniu, jei neir~ianorna jo daugiau redukuoti. t.y. janie nebera redeksq. Normaline forma - tai termas. i kuri redukavome pradini.

PavyzdZiai. 1. ((~'.~.(zx))IL)LI D (Az.(z~I)) L' D UU,

2. ( A l l . / \ f.~~.((r~f)(fx)))(Xi~.Xu.~) D f.X.r.(((Xu.Xr.~'i f J ( f.l.))

D A ~.A.C.((AU.U)( f ~ ) ) D A f.,\.~.( fX).

Tennas vadinaliias nenormalizuojamu. jei jo rieirnatio~lia redukuot: 1

~~ornialinj termq. Pavyzdiiui. terlilas (Ar.(rr))(Ax.(rr)) yrn nenornial- izuojanias:

Logir1i.s konstantos nusakonios termais:

Dar du 0-redukcijos pavyzdiiai:

E f E 2 zymesime terma, El ( . . . (El (El E 2 ) ) ...). El kartojamas k kartu. .Jei k = 0. tai E t E 2 = E2.

3.31 apibrkZimas. Termas & = A f .Ax. ( f kx) vadinamas A-skaiCiaz3irno natCraliuoju skaiCiumi (Church skuitinmi).

3.32 apibrhiimas. A-skaiEiatimo termas E definuoja daline funkcijq f ( z l . ..., x,), jei kokie bebtitu natllralieji kl. ..., k,, k , iS to, kad f ( k l . .... k,) = k ziplaukia, kad ( . . . ( (Ekl)kz) . . . ) lc , -- redukuojamas i normalini term4 k . o jei f (kl : ..., k,) neapibrezta, tai ( . . . ( ( E k ~ ) k z ) . . . ) L - - nenonnalizuojamas.

Definuojamq funkcijtl pavyzdiiai. .7

1 . Konstanta 0 definuojama termu Ax.0.

(X.r.(Xf.Xy.y\)& D Xf.Xy.9 = 0.

2. Projekcijos funkcijos prk(xl . .... x,) = x, (1 5 1 5 p) definuojamos termais Ax1 .Ax2. . . . Xxp.x,

3. Paskesniojo nario funkcija s ( x ) defi~iuojama termu Xn.X f .Xx.((n f ) ( fs I I .

lrodyta. kad kiekvienq dalinq rekursyviajq funkcijq galima definuoti A-skaitiavimo ternlu.

Iiai klirios paprast,os funkcijos definuojamos ganetinai sudetingais termais. Pavyzdiiui, pirniesnio nario funkcija

0. jei n = 0 p r n l ( n ) =

k . jei n = k + l

LogirlCs operacijoa -. k. v definuojatnos termais:

1940 rn. .4.Clinrch apr&e pirmqjq tipizuoto A-skaii-iavimo versijq. Kai kuriems A-skaiPiavimo terrnarns priskirsime tipus ir nagrinesirne tik A-skaieiavimo termus su tipais. Tipizuotame skaitiavirne definuojamos tik visur apibreitosios funkcijos. Programavime. kaip ir atitinkamuose skaieiavirnu modeliuose, korektiskos programos terikina tam tikras sqlygas. Tame tarpe. programa turi baigti darbq, kai pradiniais yra reikalaujanio tip0 duomenys. Ta prasme tipizuo- tas skaieiavimas yra iingsnis i prieki kuriant modelius. kuriuose tegalima paraSyti korektigkas programas.

Tipq abecele susideda iS baziniq tipq (iymekime juos A , B, C, .. .) ir konstruktoriaus -+.

3.33 apibr6Zimas (tipo).

Bazinis tipas yra tipas,

s-. a Jei y: 6 yra tipai. tai ( y + 6 ) yra irgi tipas.

Kai termui E priskirtas tipas 6, iymime E : 6. Visq pirma priskiriami baziniai tipai kintamiesiems. Termq. kuriems jau priskirti tipai. aibq vadinsilne kontekstu (iyrnime T). Jei iS konteksto r isplaukia, kad termas E yra A tipo. tai raSome r i- E : A. Tarkime. kad kintamiesiems jau priskirti tipai. Tuonlet likusiems terniams priskiriami tipai tokiu biidu:

jei I- t- X : A ir r t- Y : ( A -+ B), t,ai terrnui (YX) priskiriamas tipas B.

jei I- t- x : -4 ir F t- Y : B, tai termui Ax.Y priskiriamas tipas (-4 - BI. Pavyzdys. Tarkime kintamasis z yra A. o f - ('4 - .-I) tipo. Tuonlet:

a ) ('4 -+ A) yra termo Xx.x tipas. b) Ax.(xx) neturi tipo. C) ( (A - A) -+ (A - A)) yra termo Af.Ax.(fx) tipas. d) ((A -+ A) -+ ( A - A)) yra ir termq Xf.Ax.(f"x) tipas.

Yra talriprus rySys tarp teigiriiq logikos formulii~ ifivedimq naturaliosios dedukcijos sistemoje ir t ip izuot~~ terniq. Curry ir Ho\\-ard irodi. kad jei ternio E tipas lygus A. tai E koristrukcija (seka ternill ~lllroc[ani.i~j h i p jis gautas) nusako formules A isvedimq riaturaliosios dedukcijos sistemoje.

3.14 Pratimai

1. Raskite deterrninliotaja, vienajuoste Turing 1ria5inq su abPcele S = (0. 1.71, apskaiEioujariEiq funkcija, (pradiniais duonlenilnis yra aheceles

a ) f ( x ) - 0.

b) y = f (x): y gaunanlas i6 .c, pakeitus jame vie1111 nietu visus viene- tlikus nuliais, o nulius vienetais.

c) x. jei iodyje x nera nulill

( I ) = { 1. priesingu atveju

f ( 5 ) = { 1: jei iodyje x yra lyginis skaiEius vienetq 0. prieSingu atveju

x. jei iodyje x pirmosios dvi raides sutampa 101. prieSingu at,veju

2. Abecele C = (0.1. *. 7). Pradiniais duomenitnis yra iodiiai pavidalo x* y, (x, y abi.ci.16~ (0.1) iodkiai). ~ o d i i o z ilgis iymirnas il(z). Rasti determinuot43 vienajuostq Turingo maSinq, apskaiEiuojanEiq funkcijq:

1. jei il(x) 2 il(y) f (x * '1 = { O , priesingu atveju

3. Raskite baigtini automata, su abecele C = (0 , l ) . kurio kalba yra:

a ) iodiiai pavidalo O m lorL (m. n 2 0) .

b) visi iodiiai. kuriuose ne nlaiiau kaip trys vienetukai.

4. Irodykite. kad futikcijos yra pririlityviai rekursyvios:

d) n! . kai 0! = 1

5. Funkciji~ g(s,. .... r,&) yra primityviai rekursyvi. Irodykite. kad funkcija f irgi priniityviai rekursyvi. kai:

6. ~ i n o ~ n a . kad TL argumeritq funkcijos f,k.h primityviai rekursyvios. Jrodykite. kad primityviai rekursyvi yra:

7. Jrodykite. kad primityviai rekursyvi yra funkcija

1, jei x dalijasi iS y diu(x, y) = 0, prieSingu atveju

8. Jrodykite. kad funkcija nd x, kurios reikSme lygi zdalikli~t (jskaitant ir vienetq) skaitiui, primityviai rekursyvi.

9. Parasykite pirn~uosius tris ketvertus pagal Cantoro nunieracijq

10. Aibe A yra rekursyvi. lrodykite. kad jos papildinys taip pat rekursyvi aibe.

11. Aibes ;ll, ..., A, yra rekursyvios. irodykite. kad j ~ \ sqjunga bei sankirta taip pat rekursyvios aibes.

12. Irodykite. kad jei f(x) E P R , tai lygties f(x) = 0 sprendini~ aibe yra rekursyvi.

13. N~istatvti kokio tip0 yra aibi. (0.0) < (0.1) < (0;2) < ... < (1,O) < (1.1) < ( 1 . 2 ) .= ...

16. Kokiq funkcija, apibr6ii;t B:{(n, n ) ?

17. irodykite. kad i; haziniy funkcij~i s(.c). q(x), naudojantis sudeties. korrlpozicijos bei iteracijos operatc~riiiis, galima gauti funkcija,:

a ) pr:(x). b ) f (x) - 0. c) sg x

18. Kam 1ygi funkcijit:

19. Raskite funkcijq, apraSyttl 17-toje uiduotyje, numerius

20. Redukuokite termus:

Skaii-iaviniu nusakonle irodomq janie formuliq aibe. Dazniausiai tai tapaEiai teisingq ar tapaEiai klaidingq formuliq aibes. SkaiCiavinlu nusakoma aibe rekursyviai skaiEioji. Skaifiavinlas - tai metodas. kuriuo irodonle. kad aibe rekursyviai skaifioji. Jei ji nera issprendiiama. tai jos papildinys nera rekursyviai skaitusis ir neegzistuoja skaifiavimo. kuriame igvedarn~l formuliq aibe biitq lygi papildiniui.

4.1 Hilberto tipo skaiEiavimas

Nagrinksime pataisyta, ir papildyt3 aksiomomis konjunkcijai be1 disjunkci- jai 1879 metais G.Frege apra5ytq skaieiavimq. Veliau bux-o sukurtn skaifiavimq ir su kitokiomis aksioniomis tai paCiai i5vedamu formuliy aibei. SkaiEiavinius nagrinejo bei gavo kai kuriuos svarbius rezultatus vokieti~! il~atematikas D.Hilbert. lprasta tokius skaiCiavimus vadinti Hilberto tip0 skaieiavimais.

Skaitiavimas (visur zemiau vadinsirne ji tezgznzq skalttat In , L nusako- nlas aksioniomis ir taisykle.

.4ksioinos ( A . Bj C - bet, kurios formules):

1.1 .4 - ( B - + A ) 1.2 (-4 + ( B -+ C)) - ((-4 -+ B ) -+ ( A -+ C ) ) 2.1 (.4&B) -+ A 2.2 (.-1&B) - B 2.3 (-4 -- R ) -+ ( ( A - C) -+ (A -+ ( B k C ) ) ) 3.1 -4 - (-4 V B) 3.2 B -+ (-4 v B ) 3.3 (-1 - C ) - ( ( B -- C ) -- ( ( A V B ) -+ C ) )

~ i o s 1.1-4.3 aksiomos vatiinanlos aksiorriy sche~noniis. Skaifiavil~le yra he galo daug aksiomy . .Jos gaunanios is aksioniy scherr~y . A. B. C keitiarne bet kokiomis formulemis.

Vienintele teiginiq skaifiavimo taisykle yra modus ponens (hIP):

'4. A - B B

Eia A ir B - bet kurios formules.

4.1 apibr8Zimas. lrodymu teiginiq skaiCiavime vadiname baigtine formuliy sekq, kurioje kiekviena formull yra arba aksioma, arba ga,uta iS pried jq e s a n t i q formuli4 pagal modus ponens taisyklq.

4.2 apibr6iima.s. Sakome. kad formu16 A irodoma teiginith skaitia- v i m e ( i y m e s i m e F A). jei galime rasti jrodymq, kurio paskutinis narys y& A.

Pavyzdys. Kad ir kokia butq formule A , teiginiq skaitiavilne irodorna forrnule A -+ A. Jos i r odmas yra seka. Aksiomq

(A -+ ((.4 - -4) - -4)) - ((-4 -+ (A + A)) - (.4 - A ) ) (4.1)

gaurlame iS 1.2 aksiom~l schernos. vietoje '4 iraSe A. vietoje B - (A -+ A) -, vietoje C - .4.

gallname is 1.1 aksioinq schernos vietoje -4 iraSe A. vietoj B - (A - A ) .

(-4 ( -4 A)) - (A - A) (4.3)

isplaukia is (4.1) ir (4 .2 ) formuliq pagal hlP taisykle.

gauliarne is 1.1 aksio~n~! schenios vietoje A iraSc .-l. vietoj B - A.

4.1 teorema. Jel formuli qr,odorna tezyzniq skaiC~a~lime. taz j~ tupaElat te~sznga.

yra tapaEiai teisingos forrnules (tuo gali~ne isitikinti sudare teisin, ~ u n l o lenteles). Bet kuri aksioma gaunama iS minety tapaeiai teisingy formuliq pakeitus p,q.r konkreeiomis formulemis ir todel yra tapaEiai teisinga ( i r . 2 skyriq). Jei formules A ir A -+ B tapaEiai teisingos. tai ir B tapaeiai teisinga. IS tikryjq, jei su kuria nors interpretacija. B klaidinga, tai su ta paEia interpretacija turetq ir A biiti klaidinga. nes pagal prielaid%, A - B yra tapaEiai teisinga, o tai prieStarauja formules .d tapaEiam teisingumui. Todel, jei kuri nors seka yra jrodymas. tai kiekvienas sekos narys (is jq ir paskutinis) yra tapaEiai teisinga formule. Teorema jrodyta.

Del paprastumo aksiomy schemas vadiname aksiomomis.

4.3 apibrkZimas. Sakome. kad tezgznzq s ka~C~uczmo akszoma yra nepnklausoma. jez 7Sbrauke jq zS sqraBo. yauname ska~Ezarirnq. kurzunlt jz netrodoma.

4.2 teorema. Visos teiyiniq skaiCiavzmo aksiomos yra nepriklanao- rnos.

Teoremos irodymq galinla rasti vadovelyje: S.Xorgela. i l latemattni logzku. TEV. 2004.

4.2 Dedukcijos teorema

Raide r iyniesinle baigtirlq formuliq sekq. kuri gali bcti ir tudi.ia.

4.4 apibrhZimas. Fo,i.rnulls B iSvedimu iS prielaidu r rladinarnt baigt"7~q forrnuliq s e k ~ B1, Bq, .... B ,,,. kurioje B, ( 1 < i 5 r r r ) yin arba aksiorrrn. n.i?~n viena i i pr.ielaidy, urba gautu iS pneS jq esclntrrr fonnuliu B,. Bk ( 1 , k < i ) puynl AlP tuisykle. i7. B,,, = B (iynlirrlci I- l- B . )

~ e n k l a s t- B reiSkia. kad B isvedarna is tu6Eio prielaid~l sgraSo. t.y. jrodorna duotame skaii.iavinie. Sqvoka irodymas vartojartia tada. kai prielaidq sqraSas tuSEias. Iiadangi savoka iSuedimas hendresne. prielaidq sqraSas juk gali biiti ir tudeias, todel sgvoka, irodymas vartojarne tik tada. kai norime pabreiti. jog prielaidq sqra5a.s tuSEias.

Pateikiame kai k u r i ; ~ i8vedimq i8 prielaidq savybes:

2. Jeigu r t- B j tai T. A I- B.

3. Jeigu I?, A, C t B. tai I?, C, A F B.

4. Jeigu r, A. A t- B. tai r, A t- B.

5. Jeigu r, A t- B ir T t- A, tai r t- B. Atskiru atveju. jei T. -4 t- B ir F A. tai r t- B.

Tarkime. kad

.-. B1. B2, .... B,-1, B

yra B isvedinias iS prielaidq r, A ir seka

yra A iSvedimas iS prielaidq r jatskiru atveju 4 jrodonla teiginiq skaieiavirne I .

Tada formules B igvedimas iS prielaidy r gaunanlas (4.5) sekoje formules il pakeitus (4.6) seka.

6. Jeigu r I- Al. T t- A2 ..... r t- A, ir A1. ..... A,, t B , tai r - B

Irodymas. Jeigu -41. ..., A,, t- B , tai pagal 2 savybe gaunalne T. .A1. .... A n - B. Pasinaudoje r t- A, ir 5 savybe, gauname T,A1 ..... A,,-1 I- B. PanGiai eiir~linuojanie ir kitas A,. Lieka K' t- B. Savybe irodyta.

7. Jeigu r t- A - B, tai r, A t- B

Irodymas. Tarkin~e. kad B1, ..., B,,-l, A - B yra forn1u1t.s .-I --. B isvedimas is prielaid~k T. Prijunge prie sekos A (kaip prielaidq) Iwi B (pagal AlP taisykle id -4 --+ B ir A ) , gaunarne isvedimq:

Savybe jrodyta.

4.3 teorema (dedukcijos). T. A t B tuda ir tiktai tada. kai r i .-I - B.

Irodymas. ,Jei T t- .-I -+ B. tai r. A t B (7 sav>-be). Reikia jrodyti: jei r, A t- B. tai T k A - B. Tarkime. kad

(Eia B, = B) yra forrnules B iSvedimas iS prielaidy T. A. Juo remdamiesi pasistengsinie gauti formules - B iSvedimq iS prielaidy T. ~ i o s sekos nari B, (1 5 i 5 rn) pakeite i A - B,. sudarome s e h

A - + Bl ,..., A-, B z,..., A - Bm. (4.8)

Be abejo. taip gauta seka (4.8) nebiitinai yra iSvedimas. t.y. kiekvienas sekos narys iiebiitinai yra aksioma arba prielaida iS T. arba gauta iS kaireje stovinfiq for~nuliq pagal hlP taisyklq. Kiekvienq (4.8) sekos nari pakeiskime tokia forrnuliy seka, kad po pakeitimq gauta seka taptq formules '4 -, B iSvedimu iS prielaidq T. .-.

Nagrineki~ne formule A -+ B,. Galimi tokie atvejai:

1 ) B, yra aksioma.

2 ) B, yra prielaida iS syraso T.

4) B, gaunarna pagal M P taisykle iS forrnuliu B,. Bk ( j . k < i).

Kiekvienq Siq atvejq panagrinesime atskirai. 1 ) A + B, pakeiskime A -+ B, irodymu: B, (aksioma). B, - (.-I - B, ) ( 1 . 1 aksioma). A -+ B, (pagal hlP taisyklq).

2 ) -4 - B, keiskirlle analogidka seka (tik Siuo atveju B, - prielaida)

Y . . 3 ) A - .4 kelikirne jos jrodylnu. kuris anksfiau buvo pateiktas ppavyzdyje.

4) is atvejis galirnas tik tada. kai i 2 3. Kadangi B, gauta pagal S I P B . " tilisyklq id BJ ir Bk. tai Bk = B, - B, (arba B, = Bk - ,. 31uo iltveju

iroclorria panwsiai). A -, B, keiskirrie tokia seka:

( A - ( B ~ -, B,)) -+ ((i14 B,) + ( A - B,)) (1.2aksiornaI

(A -+ B,) - (A - B,) (pagal hIP taisykle is pries stovineios formules ir formules A - Bk, kuri sekoje (-1.8) yra kairiau formules A -, B,, nes k < 1 ; primename, kad '4 - Bk = A - (B, -+ B1).

A - B, (pagal M P taisykle iS pries stoviriEios formules ir A + B,).

Atlike tokius keitinins, vietoje kiekvienos formules A -, B, ( i = 1. ..., m) gauname formul6s A -. B,, = A -+ B isvedimq. Pastebesime. kad daryda~ni keitimus (4.8) sekoje, naudojomes 1.1 ir 1.2 aksiomomis. Teorema irodyta.

ISvada. Jei A l . .... A, F B , tai k Al - (A2 -+ ... -+ (A, -+ B ) ...)).

Ja, jrodyti galima taikant dedukcijos teoremq n kartq.

Pavyzdys. Naudodamiesi dedukcijos teorema, jrodykime, kad formule (A -, B ) - ( ( B -- C ) + (A --, C)) isvedama teiginiq skaieiavime.

Jrodymas. Formule iivedama teiginiq skaieiavime tada ir tiktai tada. k d A -+ B k ( B + C) -, (A - C). Dar du kartus pasinaudoje dedukcijos teoremq, gauname, kad pradine formule iSvedama teiginiq skaieiavime tada ir tiktai tada. kai C iSvedania iS prielaidq A -+ B , B -+ C, A. Pas- tarosios isvedinla, nesunku rasti: -4 (prielaida) A -+ B (prielaida) B (pagal taisykle LIP) B - C (prielaida) C (pagal hlP taisyklq). Isvedimas nesinaudojant dedukcijos teorema ilgesnis ir sucletingesnis. Tiesa. neradome iivedimo pradines formules. Dedukcijos teorema vienos formules iSvedimq suvedame i kitos formules su kitokiomis prielaidomis iSvedimq hIes tik jrodeme, kad pradine formule isvedama teiginiq skaieiavime, kai egzistuoja C i9vediltias ir ji (pradines formules isvedimq), naudojantis dedukcijos teorenios jrodynio eiga bei gautuoju C isvedimu, galim rasti.

Forrnali teorija vadiriama absoliui.iai nepriestaringa, jeigli ne visos teorijos forrnules janle yra jrodonios. Fornialiq teorijy. tarp kuriy taisykliq yra ir modus ponens ir kuriose irodo~lia forniule 7'4 -+ (A - B ) (t.y. loginerns forrnaliosionis teori- joms) . neprie5taringu1n apihreiia~nas taip:

4.5 apibr6l;imas. Teorzjn uadinama nepriestaringaja, jei neeyzis- t,uoja joje tokios forrr~ul(is, kad j.i bei jos neigimas, t . y . jos abi. hrLtl4

irodomos teorijoje.

Parodysime. kad teiginiq skaitiavime jrodoma formule --A -+ ( A - B). Si formule bus irodoma tada ir tiktai tada. kai 7 A . A !- B (tai isplaukia is dedukcijos teoremos). Pateiksilne pastarosios igvedimq.

1. ( 7 B --. A) -+ ( 7 A -+ -1B) (4.1 aksioma. A pakeiteme TB. B pakeiteme A).

2. A -+ (7B -+ A) (1.1 aksioma, B pakeiteme 7 B ) .

3. A (prielaida) .

4. -B -+ -4 (pagal hlP taisykle iS 2, 3 formuliq),

5. TA -+ -7B (pagal M P taisykle iS 1, 4 formuliq).

6. -A (prielaida),

7. 7 i B (pagal WIP taisykle is 5. 6 formuliq). -7

8. -1B -+ B (4.3 aksioma, A pakeiteme B).

9. B (pagal M P taisyklq iS 7. 8 formuliy).

PrieStaringa teorija bloga tuo, kad joje jrodoma bet kuri jos formule. ir kartu toji teorija tampa nereikalinga. Taigi, jei teiginiq skaikiavime atsiras tokia formule. kuri ir kurios neigimas irodomi, tai teiginiy skaieiavime jrodoma ir bet kuri jo formule.

4.4 teorema. Teiginiy skaiFiavimas yra nepriebtar.ingas.

Jroctymas. IS 4.1 teoremos igplaukia, kad jei kuri nors formult jrodoma teiginiy skaitiavime, tai ji tapatiai teisinga. Kadangi bet kurios tapaEiai teisingos formules neigimas yra tapaEiai klaidinga formule, tai neatsiras tokios formules, kad ji bei jos neigimas btity jrodomi teiginiq skaieiavime. Teorema irodyta.

Teiginiq skaitiavinlas yra pilrias tapatiai teising~l formuliq ativigiu. t.y. bet kuri formule Firodoma teiginiq skaitiavinle tada ir tiktai tada, kai F tltpakiai teisinga. Pilnumo irodym9 galinla rasti vadovtlyje: S.Norgkla. Nuternatlnk logiku. TEV. 2004.

Kiti Hilberto tipo teiginiq skaieiavimai. Yra suk~u ta daug pilnu ir nepriedtaringy Hilberto tipo teiginiti skaitiavinit~

Visli juose isvedamq formuliq aibe yra ta pati - tapafiai teisingu for- 11111liu aibe. Pateiksime du skaifiavirnus. Abu teturi tik po vienq modus ponens taisykle. Nuo jau nagrinetojo Sie skaiEiavimai skiriasi tik aksiomq schemomis. Antrojo formulese yra tik neigimo ir implikacijos logines o p eracijos. Pirmojo skaifiavimo aksromos:

1.1 A --+ (B - A):

1.2 (A - ( B - C)) - ( ( A - B) - (A - C)).

3.1 A - (Av B).

3.2 B - ( A V B).

-3.3 (A -- C) - ( (B -- C) - ( ( A V B) - C)),

4.1 ( A - B) -+ ( (A -+ 1B) --t 1.4).

1. '4 - (B --+ A).

2. (-4- ( B - C ) ) -+ ( ( '4- B) -- ( A - + C ) ) .

3. (7B-1'4) +((1B- '4) + B).

4.3 Gentzeno skaiEiavimas

Hilberto tipo teigirlill skai?iavim~~ose sunku rasti formuliu iroclymus. Ne- daug padeda ir iSvedinlrr iS prielaidq savybes (pavyzdiiui, dedukcijo:, teorema). Net gana paprasty (pavyzdiiui, A v 1 A ; i r . 4.2 skyreli) forniuli~l irodyniai gar1 ilgi. 0 kaip jsitikinti, kad teiginiy skaifiavime k u r ~ rlors foniiule neirodo~iia? Tik prakj~is daugiau kaip penkiems deSirntnlei.iarns po G.Frege darbll apie teiginiq skaitiavimus, vokiefiq logikas G.Gentzen 1930 ni. apraSe kitokio tipo logilli skai?iavirrlq, kuris padare perversrrlq

logikoje. ISvecl~nio paieska, Iwnt jau teiginiy logikos atveju. tap0 n~echanlne (paaigkinsime tni vdiau). k'ra daug G.Gentzeno skaitiavimo variantu. Be nagrinejamojo. kuri vadiname sekvenciniu skaieiavimu G. Siame skyrelyje apr6yta.s skaiEiavinias G' ir dar vienas 6 skyriuje.

4.6 apibref imas. Sek~~enr:ija vadiname reiikini -41. .... A, t- R1. .. . . B,,, : Eia A, (i = 1. .... a ) , bei B, ( i = 1. .... m) yra fonnul6s ir n + m # 0.

Raidemis T. TI, T". A. A'. A" iymime baigtines formuliy sekas. .Jos gali biiti ir tuscios. Sekvencijoje r t- A seka r vadinama antecedentu, o A - sukcedentu.

Aksiomos: I", A. T" t A', A, A"

Taisylcles:

r l . .A. B. r" I- A r t- A A, A r t A', B. A" (& t) r'. ALB. T" I- A (t- k) r t- At, A&B, A"

rt. rfl t A', 24. A'/ r l , A, rl1 t- A/ , (7 ') . r 1 . t 1 ( ) r/, r l l + A!, -A.

Pakeite kurioje nors taisyklilje I?, I", r " , A, A', A", A, B konkretiomis formulemis, gaunanie taisykles taikymq.

Sekvencijos. esanEios taisykleje virS briiksnio arba jos taikynie virS briikSnio. vadil~a~nos prielaidomis (jq gali buti ne daugiau h i p dvi). o zemiau brCikSnio - iSvada (ji visada viena).

Pavyzdiiui, taisyklks ( V t-) igvada yra r', AV B, Tt' t A. o prielaitlornis yra r l . '4. r'' k A. T'. B, rl' t- A.

Jpi r t A yra kurios nors taisykles a t a iky~l~o ~svacla, o r' t- At, r" I- A" ( jq gali b6ti ir viena) prielaidos. tai sakonla. kacl I' t A yra

gitrita is I?' t A'. r" t A". pritaikius taisykle a.

4.7 apibrkiimas. Sekvencijos idvedirn,~~ sekvenciniame skaiCiazlime G r~arklnnme medi , kurio risose galinksf: ,~lir.f7i,i~ese (lapuose) yra aksiomos. 1ikusio.se uiricnese - formules. gautos pagal kuriq nors sekvencinio skaii'iavi- rno taisykle iS tiesiogiai vir i jy medyje esani'iy f o n u l i y , i r iaknyje esanti sek71encija Iygi pradinei.

Pavyzdiiai: 1. t A v 1 A .

Primename. kad iSvedimuose briikSniai atitinka grafo lankus (kryptis - iS apatios i virSy). o sekvencijos - virSunes. Ilgiausiame kelyje riuo Sakrlies iki virSiines aptinkamy sekvencijq skaitius, vadinamas iSvedimo aukStiu.

Taisykliy (taisykliq taikymq) (+t-). (I---.) centrzne formule vadinania (.-I + B), taisykli~i (& I-). (t- &) - A & B, taisykliq ( V F), ( t V) - A v B. bei taisykli~l (7 t). (k 1) - -A.

G.Gentzen irode. kad fonnull A tapa6iai teisinga tada i r tiktai tada. kai .sekvencija I- A iitledama skaiZiavime G.

IS Eia isplaukia. kwcl f o r~ lu l e A tapac'iai klaidinga tada i r tiktai tarln. k:az A t iSvedama sXai?iaoime G.

4.8 apibrkzimas. Sukome, kad taisykle CL apverCiama. jei jos prielaidos iivedarr~os .cekilenci~liame skuizia,uime tadu i r tiktai tadu. kai iSvedarn,cz zdilnda.

4.5 teorema. L'isos .rekvencir~io skaiCiavi,mo G taisyklts np~uerfzarr~ns.

Irodymas. Nagrini.janie t,aisyklq (t St) ir sekvencija,

r t A'. A&B, A" (4.9)

Irodysime. kad r t- A'. A&B. A" isvedama sekvenciniame shifiavime G tada ir tiktai tada, kai isvedarnos abi sekvencijos r t- A'. A. A'' ir r t- A'. B. A''. Jei jos i$vedanios, tai ir (4.9) isvedama. IBvedimo niedis y r a

- k A , 4 4 r t A', B. 6" .

I', I- A', A&B, A"

Eia

D 1 0 2

I' k A', A, A'" r t- A', B,A1'

yra sekvencijr.\ I' t A', A, A" ir r t- A', B , A" iSvedimq mediiai.

Tarkime. (4.9) isvedama. lrodysinie, kad sekvencijos r k A'. A. A" ir I' I- A'. B, A'' isvedanlos sekvenciniame skaieiavime G. Trodysinle indukcija pagal (4.9) sekvencijos Svedimo aukSti I. Indukcznl przelazda. Tarkime 1 = 0, t.y. (4.9) yra aksioma. Tuomet sekvencijos (4.9) antecedente ir sukredente yra viena ir t a pati formule F. Jei F # A&B, tai r I- A'. A, A" bei r t- A'. B. A" yra tap pat aksiomos ir kartu iSvedamos skaieiavi~ne. Jei F = A&B. t.y. r = I?'. A&B, TI'. tai jq isvedimai tokie:

r l . A. B. rl' t A. ail r l , A, B, r1' I- A', B. I".A&B,I'" t- A1?A?A'" r'. A&B, I"' t- A', B. A"'

Tarkinle tvirtinimzts teisingas. kai 1 < m. Parodysime. kad jis teisingas ir kai 1 = In. 1 atuejis. Pirmasis, is apaEios i virSq, (4.9) iSvedime taisykles taikymas yra (t &) su celltrine formule A&B, t.y. iSvedinlo lriedis yra pavidalo ( D l , Dp - iSvedimq mediiai):

r t- A', A, A" r t A', B? A" r t A', A&B, A"

2 atvejzs. Pirniojo taisykles taikynio celltrine formule nera A&B ir sekvericijos (4.9) iSvedinio iriediio aukstis lygus m. Tarkirne iavediino medis yra pavidalo

PanaGai but4 irodoma, jei (4.9) sekvencijos iSvedirne prielaidos butti lie dvi, o viena sekvencija. Abiejq iSvedimq mediiq

aukSEiai nevirSija m - 1. Todel jiems galioja indukcine prielaida: a) ril' t- A:, A&B, A;' isvedama tada ir tiktai tada, kai iSvedamos abi

sekvencijos ril' t- A', , A, A',' ir I" t- A;. B, A;'. Taigi, atsiras pastaryjq dviejq iSvedimq mediiai:

D i D; ril' t- Ai.A,AY' t- A;, B,A;'.

b) rl' t- A;, A&B, A: isvedama tada ir tiktai tada, kai iSvedamos abi sekvencijos I?" I- A;, A. A; ir ril' t- A;, B , A:. Taigi, atsiras pastarqjq dviejq iSvedimq mediiai:

Tuonlet r k A'. A. A" bei I' t Ail'. B. A" iavedimy mediiai yra:

0: Dk D; Dl ril' t A;. A, Ay t- A;, A, A; I'1 t- A',, B , A;' I"' t- Ah, B, A;

r t- A ~ . A . A ~ I r t- A!. B,

Pa1ia2iai jrodomas ir likusiqjy taisykliq apverEiamumas. Teorenla jrodyta.

PraktiSkai iSvediiiio lriedis konstruojamas iS apaEios i virSq. o taisykles - apveri?iamos. todel patogu nauclotis kitu iSvedimo apibreiimu.

4.9 apibrhfimas. Sekvenczjos iSvedzmu vadinsisne nlediio pauidalo orientnotq yrafq. li~irio ~ ~ i s o s vir.+Grks paiym6tos sekve~ncij'omis (inknis - pradine sekvenc,ij(lln) ir v.k-5 kiek:vienos v.ir.dn6s visos tiesiogiai esunCios sek,ucncijos gnritos id nclgrinejurnqjq v i r S u n ~ atitinkantlos sekt~enczjos, p.ri- tnikius k,r~riq r10,r.s ~ekl le~~rir1io sknifiavimo taisykle. Visoms medtio yalines

.rrirSCnes. t . y. lap7~s utitinknnEios sekvencijos yra aksiomos.

ISvedinias sekvericiniar~le skaiEiavime G yra mechanznzs t a prasme. kad. jei galinla rinktis. kuriq taisykle taikyti, tai galima taikyti bet kuriq is jll (isplaukia is 4.5 teorenios). Sekvencija bus iSvedama tada ir tiktai tada, kai iSvedarnos visos gautosios. Sekvencinio skaitiavimo taisyklenis bfidiriga tai. kad pritaikius kuriq nors jq gaunamos sekvencijos yra pa- prastenes, t . ~ . logirlill operacijq skaitius vienetu maiesnis. Todel, jei pradineje sekvencijoje yra 71 operac i j~ ieiEiq, tai pritaike ne daugiau h i p n kartq skaitiavimo taisykles, arba visose mediio virsiinese bus aksiomos. arba vienoje jq bus sekvencija, kuri nera aksioma ir kurioje nera loginit! operacijq ieieiq. Taigi, turirne mechanine procedzirq, kuria patikrinama. ar sekvencija isvedarna. 0 tai reiSkia, kad isvedarn~ sekvencijq aibe yra rekursyvi. Rekursyvi aibe yra ir jos papildinys.

4.10 apibrGimas. Antisekvencija vadiname reiskini A 1 , ..., A, i B1, .... B,: Cia A, ( i = 1, ..., n ) , B, ( i = 1, ..., m) yra formules i r n + m # 0.

Panagrinekime skaiEiavima, G.

a. Aksiomos: r 4 A. Sekos r, A yra tik iS loginiq kintamaq. Be to, nera to paties loginio kintarnojo, ieinanEio ir i antecedentq, ir i sukcedentq.

Taisykles:

Pavyzdys. p V q -i p k g .

Skaieiaviniq, kuris skiriasi nuo G tik tuo, kad aksioniomis yra sekvencijos pavidalo r'. p , I?'' t- A'. p, A". t.y. aksiomos antecedente ir sukcedente t~ i r i biiti vieno ir to paties logznlo kintamojo jeitys, paiyniekinie GI.

4.6 teorema. Sekvencga ihedama skaiEiavime G tada ir tiktai tada, kai ji iivedama skaitiaz~tme G'.

Irodymas. Jei kuri nors sekvencija i6vedama skaitiavime G', tai kartu ji iSvedama ir skaiEiavime G. Parodysime, kad jei kuri nors sekvencija iSvedama skaiEiavime G. tai galima rasti ir jos isvedima, skaitiavime G'. Pakanka parodyti, kad kiekviena sekvencija pavidalo r', A, I"' t A', A, A" iSvedama skaitiavime G'. Taikysime indukcijq pagal loginiq operacijq jeitiq formuleje A skaiEiq (iymkime 1(A)).

..Tarkime, kad 1(A) = 0. Tuomet A yra loginis kintamasis ir sekvencija i~vedama skaieiavime GI, nes tai yra to skaitiavimo aksioma. Tarkime, teorema teisinga su l(A) < rn. Parodysime. kad ji teisinga. kai 1(A) = m. A gali huti vieno iS pavidalq: a) B - C. b) B k C , c) B V C? d) 1 B . Sekvencija yra pavidalo T'. B --t C, r" t A'? B --+ C. A". Nagrinejame medi

rl, B + C, r1! t A', B - C, A"

Kadarlgi 1(B) < 771 ir 1(C) < m, tai galioja indukcijos prielaida ir sekvencijas r'. B, r'' I- A'. B, C, A" bei T'. C. B,r" t A', C, A", jei jos dar nera G' aksiomos, galinla pratesti iki aksiomy. PanaSiai irodorlii ir likusieji atvejai. Teorerna irodyta.

4.4 Natiiralioji dedukcija

Lerikas S.Jaskowski ir vokietis G.Gentzen 1934 m. nepriklausoniai vierlas n l ~ o kito apraik taip vatiinamqsias natiiraliosios dedukcijos sistemas. SkaiEiavimai vatli~iarni natfiraliosiomis sisternoniis. nes perejirrlai nuo prielaidq pric isvatlll geiiausiai (is v i s ~ ~ iinoniq skaitiavirntl) nlodeliuoja tiek Snekaiiiosios kal1)uh. tic3k ir rriokslinink~i vartojanius iSvediriniose (ired\ niuose)

sarnprot avimus

Nagrin(.jamasis skaieiavirnas apibendrina natiiraliqjy skaifiavimq vari- antus ir skiriasi nuu pradiniu tokio tip0 skaiCiavimy. Kaip ir sekvencini- arne skai?iavirrte. sekvencija t- F iSvedama tada ir tiktai tada, kai F tapaeiai teisinga. Atkreipiame demesi. kad sekvencijs sukcedentuose >.ra ne daugiau kaip viena forrnult;.

Aksionln: A t A

V1 ivedimas

V eliminacija r t A v B A , A t- C A'. B t- C

r, A. A, t- c

-2 eliniinacija r . 4 t r 1- A

silpninirnas r t r t - A

T t A ' r . B t . 4 '

kartojimas r . A . A , A t C

I ' ,A ,Ak C '

c i a r. A , A' yra baigtines forrnuliq sekos (gali biiti ir tuSEios), -4. B. C - formules. Taisykliq prieiaidose esaneiq sekvencijq tvarka nesvarbi.

Del patogumo isvedimo medyje aptikta, sekvencija, T.A, A t .A taip pat laikysime aksioma. nes, naudojantis tik strukturinemis taisyklemis. neminku ja, pratesti iki norimos sekvencijos A t A. Be to, naudojantis tik struktiirinemis taisyklemis, iS !?,A t A galima gauti A , r I- A, todel taikant taisykles galime nekreipti demesio i iSvados antecedente esantiq formuliq tvarkq. Pateikiame isvedimq natiiraliosios dedukcijos sistenloje pora, pavyzdzi~i:

A t r l A t A v B

- ( A V B ) t - (A V B ) B t B T ( A ~ B ) t ~ ( A ~ B ) B t A v B

-(.4V B ) , A t - (A V B ) , B t ~ ( ~ 4 V B ) t- 7.4 - ( A v B ) t -B

y ( A V B) t ~ A S ; T B

Apr&ysiine dar v ie i~ t riatfiraliosios dedukcijos sisternos variant+. J i sudaro dviejq grupiu taisykliy.

Pirmoji grupe ta isykl i~. 1. h/lodus porlens (hlP): is A ir .4 - B iSvedama B.

2. h.lodus tollens (h1T): id .4 - B ir -B iSvedama -7.4.

A - B 7B - A

3. Hipotetinis silogizmas (HS): iS A -+ B ir B + C igvedama A - C.

A - B B - C A - C

4. Disjunktyvus silogizmas (DS): iS A V B ir 7 A iSvedama B.

A V B 1 A B

5. Prijungimus (Pri): iS A iSvedama A v B.

A

A V B

6 . Skaidymas (Sk): iS A&B iSvedama A.

7. Apjungimas (Ap): iS A ir B iSvedama A&B.

8. Konst7xktyvioji dilema ( K D ) : iS ( A - B)&(C - D ) ir .4VC iSvedama

B v D A~itroj i grupe taisykli~l. Kiekvienoje taisykleje nurodysime po pora,

ekvivalentiq forniuliq. ISvedinie leidiianla iS vienos j ~ i gauti (isvesti) antrqjq.

10. Tr~un.spozici,a (Tr): A 3 B ir 7B ---t -7-4.

l l a . Korn~utaty~uumus (Kern): A V B ir B V -4

11 h. Komutatyvumas (Koni): A&B ir BStA.

12a. Asociatyvumas (As): A v ( B V C ) ir (A V B ) V C.

12b. Asociatyvumas (As): A&(B&C) ir (A& B)&C.

13a. Distributyvumas (Dist): A&(B v C) ir (A&B) V (A&C).

13b. Distributyvumas (Dist): A v (B&C) ir (A V B)&(A V C) .

14a. De Morgano desnis (Dehl): - I (A&B) ir 7 A V 1 B .

l4b. De Morgano desnis (DeM): 7 ( A v B ) ir lASi7B.

1.5. Sqlygos disnis (Sl): A -+ B ir 7 A V B.

16. Dvigubos sqlygos desnis (Dsl): A +-+ B ir (A --+ B)&(B -+ A).

17. Sukeitimas (Suk): (A&B) -+ C ir A -+ ( B --• C).

18. Absorbcijos (Abs): A --+ B ir A -+ (A&B). ,%.

19a. Prastinimas (Pr): A ir A V A.

19b Prastinimas (Pr) : A ir A&A.

Formules F iSvedimu iS formuliq Fl , . . . , F,, vadinsime baigtinq formuliq seka, GI , ..., G,, kurioje G, ( i = 1, ..., s) yra arba prielaida (duotoji formule). t . ~ . G, E { F L , .... F,). arba gauta iS kaireje jos esanEiq formuliq pagal kuria, nors taisykle.

Pavyzdys. Parodysime. kad is l p , q V T , p H q r -+ u iSx7edama u.

prielaida prielaida prielaida prielaida iS (1) pagal Dsl taisykle iS (5) pagal Sk taisyklc iS ( I ) , (6) pagal MT taisyklq iS (3), (7) pagal DS taisyklq iS (4). (8) pagal hIP taisyklt:

4.5 Disjunktq dedukcinc5 sistema

Priniinsime. kad ( t i s junkt~~ vadiname liter11 disjunkcijq. t.y formule pavidalo 1, v ... I' I,: tia I , ( i = 1. .... s ) yra literos. Disjunktus iymesime C.Co, C1 , .... TuSEia.s disjunktas iymimas siniboliu 0. ~ i o skyrelio na- grinejimo objektas - aibes? kuriy elenlentais yra disjunktai bei iS jy iavedami disjunktai. Deductio (lotynigkai) - isvedimas.

Yra tik viena iavedi~no taisykle - atkirtos taisyklk. Ji taikonia dviems disjunktams. rezultatas - vienas disjunktas. Taisykle yra labai paprasta:

Cl v p v c z , C3 v 7pvc4 Cl v cz v c3 v C4

Paaigkinsirne j8. Taisyklg (sutrumpintai iymesime jq AT) galima taikyti tik tuo atveju, kai viename disjunkty yra kurio nors loginio kintamojo (taisykleje jis paiymetas raide p) jeitis, o antrajame - jo neigimas: Kadangi A V B = B V A ir literq tvarka disjunktuose nesvarbi, tai at kirtos taisykle galima nusakyti ir taip:

pvC1. -pvC2 Cl v C2

Kai kada atkertamq litera, patiksliname ir sakome. kad tazkome atkzrtos tazsykle atAlzlgzu kzntanzojo p. Be to. tarsime, kad bet kurio loginio kintamojo ieitis bet kuriame disjunkte yra tik viena. Pavyzdiiui, pvpv~qv lq laikysime lygiu p v l q ir nagrinesime pastaraji.

4.11 apibrGimas. Salcysime, kad disjunktas C iivedamas iS disjunktq aibes S (iymesime S t C ) , jei yra tokia baigtine disjunktq seka C1. ...: C,, kurioje kiekuienas C, ( i = 1, ..., u ) arba priklauso aibei S, arba yra gautas i i kairije jo stovintiq disjunktzb pagal atkirtos taisykle. Be to. C , = C .

Nagrinejamoji igvedimo sistema dainiausiai vadinama teiginiy logikos metodu.

Pavyzdiiai. Skliaustuose nurodome, kaip gautas disjunktas. t.y. ar jis priklauso praclirlei aibei S , ar gautas pagal atkirtos taisyklq.

2 . S = {'p v q v r. ' p v ' r . 1 4 . p ) . Parodysime. kad S t- El.

Disjunkty igvedimai aprgomi ir kitokiais biidais. Paaidkinsime tai rerndamiesi antruoju pavyzdiiu.

a ) Idvedimas kaip taisykliy taikyrnq seka:

b) ISvedimas kaip orientuotas grafas.

.2.

4.12 apibr6Zimas. Fonnuliq aibC vadinama prieitaringQa, jei nesvarbu. kokia btitq interpretacija, ats,iras aibije bent viena klaidinga for- mulk.

Pagal apibreiimq. aibe S = {C1, ..., C,) priedtaringa tada ir tiktai tada. kai formule C1&C2& ... &Cs yra tapaEiai klaidinga. Atkreipianie demesi. kad tuSEias disjunktas neivykdomas.

4.7 teorema. Jei S t- C zr C nera iuykdomas, tai aibe S przeitaringa.

Irodymas. Tarkinle C1. C2. ..., C, = C yra disjunkto C idvedimas iS aibes S ir aibe S ivykdoma. Atsiras interpretacija v, su kuria visi aibes S disjunktai teisingi. ISvedimo ilgiu vadinsime formuliq, esanEiq iSvedimo sekoje, skaitiy. Taiky- darni indukcija, pagal iSvedimo ilgi s parodysime, kad su t a paEia interpretacija u ir C yra teisingas. Jei s = 1, tai C1 E S ir todel v(Cl) = t . Tarkime, kad visi disjunktai C, ( 1 < n ~ ) tenkina sa,lygq v(C,) = t . Parodvsime, kad ir v(C,,) = t . C,, yra arba aibes S elementas (tuomet yra duota, kad v(C, = t ) . arba gautas iS kaireje jo esanCiy disjunktq (paiymekime juos C,. Ck) pagal atkirtos taisyklq.

Tarkime C, = p V C:. Ck = l p V C i , ir C,,, = Cj V CL. Pagal in- tlukcijos prielaida, abu C;. Ck teisingi su interpretacija U. Galinii atvejai:

a) u(p) = t . b) u(p) = k . Atveju (a) u(CL) = t ir todel u(C,,) = t , o atveju (b) - v(C;) = t ir todel u(C,,,) = t . t.y. C,, ivykdornas su ta paEia interpretacija.

Taigi gavoine: jei S jvykdoma, tai ir C jvykdomas. Jei S t- C ir C nera jvykdomas, tai aibe S priestaringa. Teorema irodyta.

ISvada. Jei i i disjunkty aibes S iivedamas tuSCias disjunktas, tai aibe S priedtarin.ga.

Tarkinie aibes S = {C1, ..., C,,, C,,+l, ..., C,) disjunktai tenkina savybes:

a) kuris nors loginis kintamasis p ieina i C, ( i = m + 1, . . . , s ) ir neieina i Cj ( j = 1. .... m),

b) litera ~p nejeina i joki aibes S disjunkta,.

Tuomet S priestaringa tada ir tiktai tada, kai priegtaringa aibe S' = {C1, ..,C,). IS tikrqjq, jei atsirasty interpretacija u. su kuria u(C,) = t ( i = 1, ..., m ) . tai pratesus ja, (p = t ) , gausime, kad S jvykdoma. Jei nera interpretacijos. su kuria S' jvykdoma, t.y., jei S' priestaringa, tai tokia bus ir S.

Gavome tam tikra tuSEio disjunkto isvedimo paieskos taktikq: iibraukti visus tuos disjunktus, kuriuose yra loginis kintamasis. tenkinantis sqlygas (a), (b). Jei gauta +be tuSEia. tai ji jvykdoma (su p = t ) .

PanaSiai galirn elgtis ir tuo atveju! kai aibe S = {C1, ..., C,, C,+l. ..., C,) tenkina salygas:

a ) atsiras toks loginis kintamasis p, kad pries kiekvienq jo jeiti yra neigimas (yra tik l p jeitys),

b) litera ~p ieina i visas Ci (i = m + 1, ..., s) ir neieina i Cj ( j = 1, ..., ,m).

4.8 teorema. Jei disjvrzktq aibe prieitaringa. tai id S idvedamus tuSEias disjunktas.

Irodyrnas. Taikorne indukcija, pagal skirti~ig~l logiriiq kintamqjy, aptirikamq aibeje S skaitiq (iyrnirrie I ) . Pavyzdiiui. jei S = { - p V q. i p V l q . ~ ) , tai I = 2; jei S = f p . ~ p , p V q, p V q V r ) , tai 1 = 3.

Indukcijos baze ( I = 1). Tuomet S yra vie110 i8 pavidalq: a) { p ) .

1 ) ) { ~ p ) . c) {p, l p ) . Tik atveju ( c ) aibe prieStaringa ir tik Siuo atveju iSvedanlas tuSEias disju~lktas.

Nesunku matyti. kad jei aibeje S yra disjunktas pavidalo p V -p V C. tai isbrauke ji iS S, gausillie aibq. kuri priegtaringa tada ir tiktai tada, kai priegtaringa S. Tariame, kad tokiq disjunktq nagrinejamoje aibeje nera.

Tarkime: jei aibeje S yra 1 < rn skirtingq loginiq kintamqjq ir ji priestaringa, tai iS jos isvedamas tuSEias disjunktas. Parodysirne, kad jei aibeje S yra 1 = m skirtingq loginiq kintamqjy ir ji priestaringa. tai iS jos iSvedamas tuSEias disjunktas. Tarkime p yra kuris nors loginis kintamasis tenkinantis sqlygas: a ) yra aibeje S disjunktas, kuriame yra l p ieitis, bei atsiras kitas disjunktas, kuriame yra p ieitis ir nera -p ieities. Jei tokio loginio kintamojo neat- sirasty, tai aibe biitq ivykdoma.

Paiymekime Sp aibe visq tq disjunktq, kuriuose yra p jeitis (kartu jai priklauso tuo paEiu ir visi tie disjunktai, kuriuose yra i p jeitys). Suskaidome Sp i du poaibius. Aibei S; priklauso visi tie disjunktai, kuriuose pasitaiko ~p ieitys, likusieji disjunktai priklauso aibei S,f. S - S - U S : ir S;nS,f = O .

pa- p

Taikome ativilgiu p atkirtos taisykle, imdami viena, disjunktq iS S;, o kit8 iS S, f . Visq gautq tokiu biidu d is junkt~ aibe paiymekime at(Sp). Aibes at(Sp) disjunktuose nera p (kartu ir l p ) jeiEiq. Parodysime, kad aibe S jvykdoma tada ir tiktai tada. kai ivykdoma

( S -'Sp) U at(SP). (4.10)

1. Tarki~ne S ivykdoma. Tuomet visi disjunktai iS at(Spj taip pat jvykdomi, nes gauti iS jvykdoinq disjunktq, pritaikius atkirtos taisykle (iiurek 4.7 teoremos irodyrnq). S - Sp ivykdoma, kadangi yra jvykdomos aibes poaibis. Be to. abi aibes jvykdomos su viena ir t a paEia interpretacija. Taigi (4.10) jvykdorna.

2. Tarkinie aibe (4.10) ivykdoma. Vadinasi, yra interpretacija v, su kuria visi disjunktai iS (4.10) teisingi. Parodysime. kad v galima pratesti taip. t .y priskirti kintanlajam p tokia, reiksrne. kad biitq ivykdonia S,. I<artu su t a paEia interpretacija bus ivykdonla ir S. Tegul Sz = {Cf V p. C: V p, .... CL v p), 0 SF = {Cy V 7p.c; V 7 p .... ,c; V 7,). Tuome t

a) Tarkirne. egzistuoja tuks i (1 5 i < v ) . kad u(C:) = k. Tuomet u(Cil) = t ( j = 1. ..., r ) ir kintanlajam p galime priskirti reikSm9 t.

b) Sakykime. kad su visais i ( I 5 i < v ) v(C:) = t . tuomet kintama- jam p priskiria~ne reik8nle k.

Gavome, kad aibe S ivykdorna tada ir tiktai tada. kai ivykdorna (4.10). t.y. T.y. aibe S priegtaringa tada ir tiktai tada, kai prieStaringa (4.10). Aibe (4.10) gauta iS S taikant atkirtos taisykle ir jos disjunktuose aptinkamas ne daugiau kaip m - 1 loginis kintamasis. Jai galioja indukcijos prielaida. Ji prieStari11g.a tada ir tiktai tada, kai iS jos iSvedamas tuSEias disjunktas. Teorema irodyta.

Atkreipiame demesi, kad aibes { p ~ C ' 1 , ~ p v C2) ir {C, v C2) yra vienu metu abi priegtaringos, arba ne, bet (p V C l ) & ( ~ p v C2) ir C1 V C2 nera ekvivalentios formules. Pavyzdiiui, S' = {p V q. -p v r). Sf' = {q V r ) . (p V q)&(-p V T) nera ekvivalenti formulei q V T, nes su p = q = k , r = t . jq reikgmes skiriasi.

PaaiSkinsim, kaip apraSytasis metodas taigmas loginems iSvadoms nustatyti. Klausiama, ar formule F yra formuliq aibes {Fl, .... F,) logine

Z-. ikvada. Tai, kas duota, iprasta raSyti virS bruksnio, o iSvada, (tikslq. tai. kq reikia jrodyti) - iemiau briikgnio.

F yra logine iSvada tada ir tiktai tada, kai

(Fl& ... &F,) -+ F (4.11)

yra tapaEiai teisinga formule. Norime patikrinti. ar (4.11) tapaEiai teisinga formule. Tuo tikslu taikysime paneigimo metodq, t.y. tikrinsime. ar (4.11) neigimas yra tapatiai klaidinga formule.

Gilvome. katl F yra {Fl , ..., F,,) logink iSvada tada ir tiktai tada, kai {Ft . .... F,,, 7 F ) yra prieStaringa aibe, t.y. prie prielaidy aibes reikia pri- ,juligti tiksla, su neigimu. Transfornluojarne Fl. ..., F,,. -F i normaliqsias

Taigi, laikantis pnskt~itos l:~~ikyrilo s~~hitarilno, Petras privalo biiti pi~skaitoje.

QED QED (quotl erat clernoustrantlun~) (lot.) - ka, ir reikejo jrodyti.

Tam tikras privdlinlas tu8Eio disjunkto isvedimo paieSkai gaunariias. kai tiagrinejalm\jq disjunkt~l ;tihe slisideda tiktai iS Horno dis junk t~i .

4.13 apibrBZimas. Disj?~nktas I I V ... ?/ 1 , uadinamas Horno, jei Janlr vra ne daugiau kaip ,vienn neigirno jeitis

Pavyzdiiui. -p v (1 V I . . p V q V r , p V l q V s V r yra Horno disjunktai. bet ~p V -q V 1. nbra Horno tlis,junkt;ls.

Nagrinejanie tlisjuliktr\ aibc: S = {Ci. .... Ci). Uiduotis - patikririti ar S priegtaringa. Tikririame clvierrl skirtingais biidais: a) ar Ci, .... Ci I- iavedaina sekvenciniatl~e skaitiitvin~e, b) ar i.'; S iavedamas tuSEias disjunktas. Patikslinsi~rie sekvenciiii skaitiavima, bei rezoliucijq m e t o d ~ . kuriais naudosinles Sianie skyrelyjc, ir parodysime, kaip pagal iSvedini8 sekvenciniatrie skni?iavir~ie r;tritl;~rn;ts praciiriq sekvencijq atitinkarlcio tlis- .j~uikt,o isvetliu~ils.

Sekverlcinis skaiEiavinlas. tIX..slornos: l . l . l , ~ ' , - l , l " l t - .

UncleSam

Note

4.6 Skaičiavimų ryšys

UncleSam

Note

Tarkime S = {C1',...,Cs'} yra pradinė disjunktų aibė ir p1,...,pv - pilnas sąrašas loginių kintamųjų įeinančių į S

kia l , - Iiteros. Be to. t a r i i ~ ~ ~ ~ i ~ . kii(l - - I ) I ~ ~ I I S 1) (1 ) - Io~i l~ is ki1itti11iasis).

ISwedimo taisyklt.:

l1V ... vl , , . -7l1VCl. . ..'/,, b cq , , C , v ... VC',,

Eia l I V ... V l , , priklauso praclir~ei disjlirlkt~l itil)ei S, t.y. aksionla.

Pastaba. Jei bQtq iprasta atkirtos taisyklt;

p v C', -p v C" C' v C"

tai reikalavimu, kad viena prielaidq (p v C', -p V C") priklausyty pradinei disjunktq aibei, apibreiturnem nepilna, skaitiavirnq. Pavyzdiiui, iS S = { p ~ q . ~ p v q , pV ' q , ~ p V ' q ) nebfit11 igvedarnas tuSEias disjunktas, nors ji ir yra priestaringa.

J.

Tarkime, turime r I- iiveditriq sekvenciniartie skaieiavime. Parodysime kaip ji galime transformuoti i isvedimq rezoliucijq skaiEiavime. r yra sqraSas formuli~i, tarp kuriq gali bfiti ir literq. Visl~ jrl aibq paiymekirne raide P. Tada P' = {p,, . . . . .pi , , ) - pilnas sqraSas skirtin& loginill kin- tarntu11 iS P, o P" = { ~ p , , : .... -7p ,,,, ) - l ik~~sios litcros. P = P' U P" ir P' n P" = 8. Sekver~cijai I' t priskirialiic disjunkt;\ l p , , V ... V l p , , V

pj, V ... V p j , , (iymime ji 1P' V -P1'). .Ji vadiniinle sekvenczjq n t i t inkanEi~~ disjunktu. Taisykle (4 .12) transforniuojame i rezoliucijos taisyklc:

Eia 1P' V 1P'' yra sekvencija, r'. r" t iS (4.12) iltitilikantis disjunktas.

Pavyzdys . p v q. ~p v q, p v l q , -y v q I- . Nagrini.sime tik vierla, iSvedirlio Bak;). Panasiai nagrinejama, ir antroji (paiynieta iSvetlime skaiCi111ui 2 ) .

UncleSam

Note

Rezoliucijų skaičiavimas Aksiomos: C1',...,Cs' ir pi v ¬pi v C (i = 1,...,v); čia C - kuris nors disjunktas, kuriame gali būti tik literos iš sąrašo p1, ¬p1,..., pv, ¬pv

/C'

/"* Pagal isve(limo iiie(ij ko~ist , i~~rl j i , i l~~~ r(mliurij~\ inetodti pr,ldirif: rekeen- ,,&" cij+ atitinki111i.io tlis,j~i~lkto isvetlir~~q:

, // cl k s i o r r ~ i ~ n ksion~c~ p v -0. -

c~ksiorrln ~ ~ v T ~ v - ~ ' q V - ' p V - q -7p L '1.

p v 'P 'cl v 7P 2 P v q ! - -- -

' P ' ( I 0

4.7 Pratimai

1. Raskite sekvencij~\ iSvedinn~s ~l;~ttiraliosios dedukcijos sistemoje:

(?) k (:l 131 -- (Lj \d' :l].

f ) B&(C - D). (,:\ -b 13) -- (11 - ( ~ " 1 t L ) .

K ) (..I -+ B) - c. -(c \J r l j , ~ ~ +.

11) (AScBj - C, A b C t -U.

i ) A - [ B - C ) . -1 - B. .-I t c'.

j ) A - B. B - C. '-1 t C.

k) k ( 7 - 1 - B) - ( - D - A ) .

2. ]<;is];i t ts f o l . l l l l l l i l l i . < \ . ~ . ( l i ~ ~ i : ~ < t ( b i ! ! : i t ~ i ~ ~ sk;~ii.i;l\.it~~t~:

kori,junkcines formas. pakeieiame korijunkcijos operacijas kableliais ir gauliarne disjunkt~l aibe S, kuri prieataringa tada ir tiktai tada. kai F yra {Fl . .... F,,) logine isvada. Savo ruoitu. S priestaringa tada ir tiktai tada. kai iS S iSvedanias tuSEias disjunktas.

Taigi, norime nustatyti ar F yra {FL, ..., F,) logine isvada. ~ i a , prob- lem% redukuojame i tuSEio disjunkto iavedimo is tam tikros disjunkty aibes uidavini. Toki uidavinio sprendima, vadinsime logines iSvados nus- tatymu naudojantis rezoliucijq metodu.

PavyzdZiai. 1. Seknladiniais nedirbania. ~ iandien darbo diena. Vadinasi. Siandien nera sekmadienis.

Paiymekime: s - Siandien sekmadienis, n - Szandien nedarbo diena. Klausiama, ar samprotavimas:

t&singas (pagristas). t.y. ar 7 s yra { s .+ n, l n ) logine isvada. Transfor- muojame pastaraja, aibe i disjunktq aibq S = ( 1 s v n, l n , s ) . Tikriname, ar S t 0.

7 s V n, s n, l n

n

Taigi, samprotavimas teisingas.

2. Algis, Jonas ir Petras susitare del paskaitos lankymo tvarkos: a ) jei i paskaita, neateina Jonas, tai neateina ir Algis, b) jei i paskaita, ateina Jonas. tai turi ateiti ir Algis su Petru. Klausiama. ar Siomis sqlygomis privalo paskaitoje dalyvauti Petras. kai iinoma, kad joje yra Algis?

Paiymekirne: a - paskaitoje yra Algis, j - paskaitoje yra Jonas. p - paskaitoje yra Petras.

Tuomet uiduotis uiraSoma taip:

3. Taikydami dedukcijos teorcrllir tiiskite forrnnli~l i$vedirnus teiginiq skaitiavime:

8) ( A + B ) - ((Cv.4) -- (C'V U ) ) .

b) (A -+ ( B - C ) ) -- (( A&U) -- C').

C) ( A * B ) -. ((CIStrl) -. (DV B ) ) .

d ) (A -+ B ) - ( ( A k C ) --+ ( B k C ) ) .

4. Raskite 1 uidavinio sekverlcijq isvedi~nus sekvenci~iiame skaitiavime C.

5. Raskite antisekvencij~l i8vetlimus skaieiavinle c:

7. Rezoliucijq metodu patikrixlkite. ar for1111116 tapiieixi klaiclinga:

Documents

Algoritmu teorija