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Revista Colombiana de Marketing
ISSN: 1657-4613
Universidad Autónoma de Bucaramanga
Colombia
Hamos, Henry; Orellana, Yaneth
Algunas aplicaciones del método de regularización de Tikhonov
Revista Colombiana de Marketing, vol. 6, núm. 8, junio, 2007, pp. 38-41
Universidad Autónoma de Bucaramanga
Bucaramanga, Colombia
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=10926793002
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Algunas aplicaciones del método de regularización de Tikhonov
Henry hamos Yaneth Orellana
Resumen
En este artículo se presenta el método de Regularización de Tikhonov para la solución de problemas mal puestos en problemas de programación lineal, problema de apro
ximación. El artículo ésta divido en dos secciones: la primera se realiza una peque-ña introducción en los métodos de regularización y la segunda se realiza algunos experimentos numéricos para medir la bondad del método de regularización
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Algunas aplicaciones del método de regularización de Tikhonov
1. Introducción
Problemas bien puestos y mal puestos
El término "problemas mal puestos" apareció en el primer cuarto del siglo XX, cuando el célebre matemático francés Jacques Hadamard (1865-1963) enunció por vez primera sus tan polémicos conceptos de "problema bien-planteado" y "problema mal-planteado o mal puesto"[l]. La solución de cualquier problema consiste en la definición del elemento z (solución del problema) dado ciertos datos de entrada, y se puede describir así Az = u, z e Z, u e U (1). Se supone que los datos de entrada son elementos de cierto espacio métrico U, y la solución z se busca en el espacio métrico Z, esto es z e Z. El problema (1) se dice que esta "bien puesto" enlaparejade espacios Zy U si se cumplen las siguientes condiciones: a). Para cada u e U la solución del problema existe. b). Para cada u e U la solución del problema es única, c). La solución del problema continuamente depende de los datos de entrada (condición de estabilidad). Los problemas que no satisfacen alguna(s) de las condiciones anteriores se denominan Problemas "mal puestos".
Método de Regularización de Tikhonov
Supóngase que se tiene el siguiente problema de programación lineal: f(x)=(c,x)^mf,xeX={xeE\-x>0,Ax<b} (2).[3]
Asumimos que f. =inf XGX / (x) > -oo. Supóngase que en lugar de los datos exactos A. b,v se conocen sus aproximaciones
A(8)={AJ8)},b (8Hb\8),...b-(8)Y ^ K c ^ . ^ y t a l q u e l c ^ - c l ^ J ^ (5)-a„ |<5„ |b'-b' |< 82,i=l,2,m,j=l,2,...n. Así que en lugar del problema (2) tenemos el siguiente problema perturbado f(x)=(c (5),*>-Mnf, x sX (8)={xel?: * ^ AS> *
Supóngase que el problema (2) no es estable. por tanto, al resolver el problema (3) podemos
llegar a resultados erróneos, esto es, la solución del problema perturbado no se aproxima a la solución del problema original (2). Así en lugar de considerar el problema (3) se plantea un nuevo problema que sea lo más parecido a (3) pero que sea estable. Los algoritmos que nos permiten pasar de un problema mal puesto a uno bien puesto se conocen como algoritmos de regularización. En 1963, casi medio siglo después de la definición de Hadamard, el matemático ruso Andrei Nikolaevich Tikhonov (1906-1993) fundamentó y formuló por primera vez un método para la solución numérica de problemas mal-puestos que él denominó "método de regularización" [3]. En los métodos de regularización de problemas extrémales mal puestos la función estabilizador juega un papel importante en la solución del problema.
La función Q(u) definida en cierto conjunto Un<=JJ se llama estabilizador del problema: /(w)^inf, u e U en la métrica^ si (a) Q (w) > 0,Vw eU. (b) El conjunto Qc= {u:ueUa, Q(u)<c} es compacto para cualquier c = const > 0, donde \J.= {u:ue\J,J(u)=J,},conJ.= mfJ(u).
La función de Tikhonov para un problema mal puesto se define como Ta 5(w)=/(w) + aQ (w), donde el parámetro a se llama parámetro de regularización.
La función de Tikhonov para el problema (3) tiene la forma rs(x)=fs(x)+a | x | 1=<c(5)+a/„,x>; [3] el objetivo es encontrar el inf en cierto conjunto w(5)={xe£":>0,^(5)-Z>(5)</m(5J
|x 17+9}. Bajo ciertas condiciones sobre los parámetros 5,9,a tiene lugar la igualdad t/ =inf xemTlx)>-*>.
El segundo problema tratado en el siguiente artículo consiste en un modelo de aproximación.
Un caso especial, de interés práctico. implica ajustar modelos de regresión lineal mediante funciones splines/(x). La idea básica de la regularización es estabilizar la solución por medio de cierta funcional auxiliar no negativa que introduce información a priori, esto es. restricciones de alisamiento sobre el mapeo de entrada-salida para así convertir el problema mal puesto en un problema bien puesto.
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REVISTA COLOMBIANA DE MARKETING
De acuerdo con la teoría de Regularización de Tikhonov, la función / se determina minimizando la funcional de costo [2]
1 ^ 2 1 T(f) = -YJ{dl-f(xl)) +-a\\Pf\f (4)
¿ ¡=i -¿ El segundo término depende de las
propiedades de suavidad de la función f(x), el operador es un operador diferencial lineal. La función f(x) denota la función que define el mundo real y es el modelo responsable de la generación de los datos (x,d), donde el vector d son los datos de entrada. Estrictamente hablando, se requiere que la función sea un miembro de un kernel de reproducción en un espacio de Hilbert, para nuestro caso con un kernel tipo función delta de Dirac. Derivando (4) obtenemos en el sentido de las distribuciones:
p*¿y-I¿(4-/)§,. =0 a ¡=1
f 11 f =0;X = {x.=(0,1)},>A =
(-i)c=G ( 1
s e a^n-i-5 l -i-5jn-i+5; ( 1
Año 6 Número 8 junio de 2007
En la figura se muestra la región de factibilidad.
La funcional de Tikhonov y el conjunto de trabajo asociado al problema original es
fs(x) = x1+a(x1+x2)^inf
xeX(S) x = (x lfx)>0:(A(S)-S1/2/2')x
1-5, -1-25,
1-5, 1- 25,
x<(¿))5 +e/2
x>0:(1-51)(x1+x2)<1+6 (1-251)(x1+x2)<1+52+6
La solución viene dadapor la fórmula:
1 ^ f(x) = — Y (d. - f(x. )G(x, x)
Esta ecuación significa que la solución f(x) que minimiza el problema de regularización es una superposición de n funciones de de Green.
2. Experimentos numéricos. El primer experimento es simplemente un ejemplo sencillo de una función en dos variables. Mostremos la forma de construir la funcional de Tikhonov. Sea [3]
f(x) = x1+0x2^inf x e X = {x = (x1 ,x2)>0:x1+x2>1,-x1-x2<-l}
Supóngase que 0<51<l,0<52<9<l,0<a<l. Entonces la función T / alcanza su ínfimo en un único punto x»(5)=(x1»(5)=0,x»2(5)=(l-9-52)(1(+251)4 y V =ax.2(5). En la figura de abajo se muestra la solución del problema para valores específicos de 5.
2. Experimento numérico II. Sea
/ ( * ) 1 + 2 5 ^ - 1 < J C < 1
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b
c ^
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se hizo una partición en el intervalo [-1,1] en forma aleatoria y se evaluó la función en estos puntos, luego se introdujo errores de medición en los datos y este vector se llamo d. En la figura se muestra los datos y la aproximación a través de splines cúbicos.
Para encontrar una aproximación mejor usamos el algoritmo de aproximación descrito arriba, por lo tanto, se definió el operador P de la siguiente forma:
Pf\\2 = ¡ 2 d /
2
Kdx¿ j (s)ds
En este caso, la función que minimiza la funcionairCO es un spiine cúbico.
Haciendo wr(d -ftxj)/a. Evaluando
1 ^ /(*) = — £ (d¡ - /(*,. )G(x, x¡)
Bibliografía
[l]Hadamard, J. (1923), Lectures on Cauchy's problem in Linear Differential Equations, Yale University Press, New Haven
[2]Tikhonov, A. N. and Arsenin, V. Y. (1977). Solutions of IlII-Posed Problems, Winston Publishers.,WashingtonD.C.
[3]Vasiliev F. P; Ivanistki A YU Linneinoe programmirovanie.Factorail. Moscow. 1999.
[4]Per Christian Hansen Regularization Tools. Versión 3.0 16-April-98.(Matlab)
a ¡=1
En el punto x = xfj = 1, 2,...n tenemos el sistema de ecuaciones algebraicas con incógnitas w;. (G + al )w = d ; donde G se denomina matriz de Green G (x, ,Xj). Se resolvió el sistema eligiendo el parámetro de regularización de acuerdo al principio generalizado del defecto para el nivel de error. En la figura 2 se muestra el spiine suavizado.
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