CO'lgre$OInvestigación

Un'isla Mexicall(l de FisiCfl 34 No, 3(1988) 37S-39.{

Algunos aspectos de los cuasicristalesF. Mcjía Lira

Instituto de Física "Manuel Sandot'a/ \Tallm'lll:'1,Universid(ld Autónoma de San Luis Potosí, 78000 San LlIú: Potosi, SLP

(recibido el 20 de enero de 1988; aceptado el 23 (le mayo de H.J88)

Resumen. Se presenta una visión general de algunos aspectos de loscuasicristales. Después de describir bre .•..emente los diferentes modelospropuestos para los sólidos icosaedrales y scilalar de qué manera losresultados experimentales deciden en favor de la existencia del estadocuasicristalino, se describen los emhaldosados de Penrose y la cadenade Fibonacci. Se discuten bre .•..emente algunos resultados obtenidos paralas propiedades electrónicas de ciertos modelos de cuasicristales de unay dos dimensiones. En el caso de dos dimensiones se enfatiza el efectode las condiciones de frontera impuestas cuando sólo se considera unaporción del cuasicrista1. En el caso monodimensional se presenta unaforma de diseiíar, siguiendo la secuencia de los números de Fibonacci,una familia de aproximaciones sucesivas al cuasicristaJ.

PACS: 61.50.Em, 61.55.lIg

1. Introducción

La noción de cuasicristal apareció como algo indispensable para la descripción defases sólidas con simetría orientacional pero carentes de la habitual simetría trans-lacional en t.. medio cristalino.

El primer reporte de una fase cuasicristalina fue publicado en 1984 por Shecht-man, Blech, Cahn y Gra.tias [1]. Se refiere a una fase sólida de la aleación Al,86i\ln.14cuyo patrón de difracción de electrones, con puntos bien definidos, muestra simetríaicosaedral. Por una parte, la definición de los puntos significa ulla estructura alta-mente ordenada, como la de un cristal; por otra, el orden icosaedral -con sus ejesde simetría pentagonal- es imposible para los cristales tradicionales.

En breve apareció el primer modelo [2]' propuesto por Steinhardt y sus colabora-dores [2], basado en una generalización de los mosaicos de remase [3-5], con simetríaicosaedral y con patrones de difracción semejantes a los obtenidos en la referencia 1.La rápida respuesta del grupo de Steinhardt [2] se debe principalmente a que desdehace tiempo ha venido investigando la posibilidad de que la simetría icosaedral estépresente (con alcance infinito) como estado de equilibrio de algún sistema [6J. Enparticular, había encontrado 17-9] que los líquidos superenfriados muestran un gradosorpresivament.e alto (pero de alcance finito) de orden orientacional icosaedral antesde la transición a vidrio.

376 F. Mejia Lira

FIGURA 1. Mosaico de remose producido COIl d algoritmo de !\Iackay con dardos y cometas comofiguras básicas.

El modelo cuasicristalino de Steinhardt [2] fue el resultado de construir yana.lizar el análogo tridimensional de los embaldosados de Penrose (Figs. 1 y 2). Variosaños antes, Mackay (lO,11] había estudi, :lo el patrón de difracción de un embaldo-si:Ldopenrosiano con simetría pentagonal, y había desarrollado un algoritmo paragenerar una cuasimalla bidimensional. Se construyó un empacamiento icosaedral entres dimensiones con dos celdas unitarias romboédricas (Fig. 3) 1 análogas a los mo-saicos romboedrales de Pemose. El sistema así construido tiene orden orientacionaly orden translacional cuasiperiódico, ambos de la.rgoalcance [9,12].

El orden cuasiperiódico significaba que la función que describe la densidad de losátomos situados en los puntos de la cuasimalla es cuasiperiódica (13),entendiéndosepor función cuasiperiódica aquella que se expresa como una suma de funcionesperiódicas dos (al menos) de cuyos periodos t.ienen una razón que es un númeroirracional.

Varios grupos [14-19] han desarrollado cuasimallas usando diversos métodosbasados en el hecho de que una estructura cuasiperiódica puede considerarse siemprecomo un corte en un sistema periódico de dimensión mayor [20].Esto ya se había uti-lizado en el caso de cristales incollmensurados [21,22) (en los que la densidad es cua-siperiódica al menos en una de las direcciones cristalinas tradicionales). Por ejemplo,el embaldosado de Peorose se obtiene como una proyección de una malla hiperClíbicasimple de cinco dimensiones [23,24] Y la cuasired icosaedral de una proyección de

Algunos a.'1]Kclosde los cllo.'1jcrisiaies 3ii

FIGURA 2. Mosaico de Penrose producido con el algoritlllo de Mackay COIl rombos como figurash<isicas.

una malla hipercübica simple de seis dimensiones. Es claro ahora [9,25,26] que sepueden construir cuasimallas con simetrías arbitrarias, aunque casi todo el trabajose ha orientado a las cuasimallas icosaedrales.

En este trabajo se revisan brevemente algunos aspectos de los cuasicristales. Losdiferentes modelos propuestos para los sólidos icosaedrales se describen someramenteen la sección 2. Ahí se discuten suscintamente las pruebas experimentales que hablanen favor del modelo cuasicristalino. La sección 3 se refiere a los embaldosados dePenrase (dos dimensiones; las generalizaciones a mayores dimensiones se denominanempacamientos dc Penrose) que no sólo tienen importancia como punto de partidapara la generalización a dimensioncs más altas sino que hay la posibilidad de queaparezcan en la naturaleza [26]. Particularmente la fase T del aluminio-manganesose caracteriza por tener periodicidad simple ('Il ulla dirección y cuasi periodicidaddccagonal en los planos perpendiculares [27,28). En esta sección se revisa tambiénun enfoque para calcular las propiedades electrónicas de cristales bidimensionalesconstruidos con átomos colocados eH los vértice:-;de los unidades hásicas de Peorose.Se discll te SOlitllJ<'lltcla manera de obtener la densidad de estados electrónicos para elcaso en que la dill<tlllicaelectrónica puede describirse por medio de un hamiltonianode amarre fuertc. Los sistcmas cuasiperiódicos cn una dimellsión se discuten en lasecci()1I.1. Se prC'sta especial atención a la cadena de Fihonarci que se encuentrapreselltc ('11 los modelos cuasirrist¡llillos de los sólidos icosa('í1ralcsy ('11 los cmbaldo~

378 F. Mejía Lira

FIGURA 3. Celdas unitarias utilizadas para producir el empacamiento icosaedral cllasirristalino.Aquí T es la razón áurea (figura. reproducida de la Hef. 9).

sados de Penrose. Se discute también un.modelo (fii1ito) para calculor la densidadelectrónica de la cadena de Fibonacci. La sección 5 recoge las conclusiones.

2. Cuasicristales: un nuevo estado de la materia condensada

Si los cuasicristalcs no son el lÍnico modelo para las aleaciones que, como la"shechtmanita" [29], muestran simetría icosaedral, sí se les ha considerado el modelomás radical y a la luz de las pruebas experimentales aparece como clmás viable: unnuevo estado de la materia sólida. Steinhanlt PO] ha revisado los diferentes modelosexistentes y las pruebas que permiten discriminar entre ellos.

Cronológicamente, el primer modelo fue el de ¡¡vidrio icoso,edra}" [1]' que suponeque los átomos quedan inmovili7,odos CH un arreglo denso y azaroso en el que losenlaces entre átomos vecinos (o entre cúmulos de átomos) están orientados a lolargo de ejes de simetría icosaedral [31~331.Las posiciones ocupadas por los átomosno muestran orden a. largo alcance, pero el orden orient. ...lcional icosaedrol de largoalcance está presente.

Otra clase de modelos considera las formación de múltiples macias producidasal empacar pequeñas unidades cristalinas cn arreglos icosacdrales (3.1]. Una posibi-lidad más son los modelos de gran celda unitaria que consisten en grandes cúmulosatómicos con simetría icosacdral que se empacan formando un sistema periódico.

Los modelos pueden separarse ell dos clases: a) los que utilizan unidades crista-linas tradicionales (modelo de macIas illúltiplcs y lIlodelos de gro.n celda unitaria) y

Algullos aspectos de los clUlsicri .••(a/cs 379

h) los que preconizan el orden orientacional de largo alcance (clIasicrislales y modelode vidrio icosaedral).

Los estudios experimentales realizados en aleacion<..>s icosaedrales descartan almodelo de macias múltiples: ninguna microscopía, ni la espedroscopía Mossbauer,han encontrado seIial alguna de pcquC'llas unidades cristalinas, y aunque hay distor-siones menores ('11 los pi('():" del patrón de difracción, son muy distintas de las queocasionéníc\ la presencia de Illlíltiplcs madéls.

Los modelos de gran celda unitaria r('<¡uieren tantos <itomos en la celda que real.mente vienen a ser indistinguibles dcllllodclo ('uasicristalino. Con nimulos atómicosy celdas unitarias suficientcmente gralJ(les siclllpl'f' S(' plIcde obtener una mallarccípro(:a que dé las posiciones de los picos dentro de tél pr('cisi6n cxperimental.Sin f'll1bargo, las ccldas unitétrias deberían contener CÚ11Iulos de más de 15 000átomos [301.

Las aleaciones icosaedrales producidas en el laboratorio pr('scntan ensancha-mientos en los picos del pétlrón de difracción, sciJal de d(':"ordcll con respecto alorden cuasicristCllino. Es necesario tenc!' en cuenta las tc'llsiollcS microscópicas quese presentan durant.e la ~olidificación produciendo pC<J!l<'llaSdistorsioncs al azar <¡UCintroducen desorden con el consecuente cnsanchamiento de los picos [:30,35-37]. Losestudios teóricos recientes [:J8] de estas dist.orsiones comparan los cnsanchamiclltoscétlculados en el modelo de los cuasicristales y en elmodclo de vidrio icosaedral conlos obtenidos cxperimcllt<llmentc. El acucrdo decide en fa,-or de los cuasicristales_

Hay un argumento más en favor de la presencia oc los cuasicristales en lanaturaleza. Además de las muy estudiadas 11,1,5,28,39---1:1] aleaciones de AI-J\ln,hay en la actualidad mucilos otros sólidos icosaedrales entre los que cabe destacarAIGLi3Cu [4.1] y GaJ\1g:uZn3_0 [45] porque pueden crecerse por métodos com'cn-cionales y son establcs (no cristalizan al subir la temperatlll'a). Se tiene un sistemaestable, <¡ue responde al modelo cuasicristalino, frente al modelo de vidrio icosaedralquc pred('ciría \lna fase lejos del equilibrio.

La evidencia en favor del modelo de cuasicristales se ha acumulado de talman('raque no puede negarse la presencia de est.e nuevo estado de la mat.eria condensadaen la naturaleza. Sin embargo, todavía ('S neccsario determinar el decorado de lacuasi malla., esto es, la posición detallada de Jos átomos. Se ha mostrado [26] quesi se decora un hi¡wrtllaila, y itl('go Sf' proyecta (en dos o tres dimensiones) paraproducir lIn cua.sicristal, el rcsultado no (-'s cquivalentc a decorar directamente unacuasimalla de la misma forllla producida C01l el algoritmo de 1\Iacka.y.

EH el estudio tc6rico de otras propi¡'d<tdes (dect.rónicas, térmicas, mecánicas,ete.), frccuclltemellte ('s lIecesario <lproxilllar el cua ..<.:icristal por medio de un sist.emafinito: lIlla porción del cuasicristal. Estos SiS!('I1l<lSse (-ollsideran indistinguibles delcuasicristal cOlTespondi('I1t.e a exn'j>ciólI de las condiciones de front('ra que se im-pongalJ. Para la, imposici{'ll de estas cOIHlicioll('s de frontera cOllvielw tOlllClr ('ncuenta el punto d(~ vista de '111(' !lila fase clIasinist.alillil es la illterpolacióll clltre dosfases cristalinas. de lllallt'l'a illI<íloga a la forma eu que' un mím('ro irracional ('s unaintcrpolarióu entre dos J\limeros rilcion<l]es [lG].

380 F. Mejía Lirn

FIGURA 4. Semilla utilizada como punto de partida para generar mediante un proceso deflacionarioel mosaico de la figura 1.

3. Los mosaicos de Penrose

Los mosaicos de Penrose fueron un" solución al problema de la existencia deun conjunto finilo de formas de baldosas que cubrieran el plano sólo de maneraaperiódica [3, 4]. Los conjuntos de formas de Penrosc son pa,res de figuras. Las formasde un par de Penrose pueden variar, pero los pares más intf"'csanles son: a) dardosy cometas (Figs. 1,4 Y 6) Y b) rombos gruesos y rombos angostos (f'igs. 2, 5 Y 7).Marlin Gardner dedicó un artículo en Seientifie ..1mcrican [.5]a las propiedades deambos tipos de pares, principalmente al de dardos y comet.as.

La forma en que se generau los dardos y cometas aparece ilustrada en la figura 6.Se parte de un rombo con ángulos de 72 y lOS grados. Sobre la diagonal mayor sebusca el punto que la corta en dos segmentos cuyas longitudes guardan la razónáurea (1+V5)/2, y luego se trazan dos seglnentos a partir de él a l<'lsrestantes arislas.Una vez producidas las unidades básicas (dardo y comela) se puedell construir otrasformas de baldosas con propiedadc-s silllil<'lres.

El par más común para l<'l,generación de cllasimallas (los puntos de la mallason los vértices de las baldosas) es el dI' los dos rombos. Todos los lados tienen lamisma longitud. El rombo grueso tiene cíngulos de 72 y lOS grados y el angosto de36 y de 144 grados. El algoritmo de l\la,ckay se ilustra en la figura 7 pa.ra el caso delos rombos. Consiste en una deflación iterativa de UU<'l,semilla dada (Fig. 5) eH la

A/YIIIlOS (fs¡)(;cios de los cU(lsicristales 381

fIGURA 5. Semilla utilizada para generar mediante un proceso deflacionario el m05aico de lafigura 2.

que se hacen las divisiones definidas en la figura 7, donde resulta un nuevo mosaicode Penrose con unidades básicas de área menor [47]. La figura 2 se obtuvo pordeflaciones sucesivas a partir de la semilla de la figura 5 [47]. De manera similar, lafigura 1, de dardos y cometas, se obtuvo por un proceso deflacionario de la semillade la figura 4 [47].

Las propiedades electrónicas de cuasicristales construidos con base en los em-baldosados de Pemose sc empczaron a estudiar hasta después de la aparición de105 sólidos icosaedrales. Inicialmente se pensaba [48] que la dcnsidad de estadoselectrónicos mostraba una singularidad de van Hove. Posteriormente se ha mos-trado [49-51] que hay un estado localizado en el centro de la banda y se ha obte-nido [.j2]la función de onda para el estado base electrónico en mosaicos de Pemoseque tienen una transformación de autosimilaridad. Cabe mencionar que la autosimi-laridad no es una propiedad de todos los cuasicristales. También se ha estudiado lainfluencia que tiene el entorno local sobre la estructura electrónica de una cuasiredde Penrase [531.

Como se mencionó en la sección 2, la influencia de las condiciones de frontera alconsiderar cuasicristales finitos es determinante. Una posibilidad para estudiar estainfluencia aunque sea en un aspecto restringido es utilizar el método cúmulo másred de Eethe (MCRE) en el que se trata de tomar exactamente la topología localmediante un cúmulo dado y luego se simula el resto del sistema mediante una reJ de

382 F. Mejía Liro

ep,J.. _ I+ ¡,rs-'1"'- 2

FIGURA 6. Generación de las figuras básicas dardo y cometa a partir de un rombo.

FIGURA 7. Forma en que se dividen los rombos básicos para producir figuras del mosaico defla-donado (algoritmo de Mackay).

Hethe [54]. Este método se ha utilizado extensamente en el estudio de propiedadeselectrónicas [55],magnéticas [56] y vibl'aciollales [57]de sistemas sólidos.

En el caso del modelo de Penrose de un cuasicrista! bidimensional se ha realizadoun estudio sistemático para determinar de qué manera las densidades electrónicaslocales dependen de la goomptría local y del tamaí10 del clímulo considerado exac-tamente [58]. A continuación se describe brevemente este estudio.

AlgtlnOS aspectos de los cl.lasic,;stales 383

" ..••

" ClI,o(D

11l

V V".)

plEl

-~ - 2.!l ao 2~ 5.0ENERGY / t

FIGURA8. Densidades locales úe estados electrónicos obtenidas para el sitio central con el MeRBcon diferentes clÍmulos centrales.

El modelo de cuasicristal consta de ulla fracción finita de un mosaico de Pencasecon los rombos como figuras básicas. Los átomos ocupan los vértices y los electronespueden saltar solamente siguiendo las aristas de los rombos. Con la hipótesis de queel elemento de matriz t es el mismo entre vecinos inmediatos y vale cero en los demáscasos y escogiendo el cero de la escala de energía convenientemente el hamiItonianotoma la forma:

H = - L tli}(jl, (l)

donde la suma se realiza sobre pares de vecinos inmediatos.La solución de la ecuación de Dyson lleva a los resultados qut:" aparecen en la

figura S. Se muestran los címmlos considerados y las correspondientes densidades deestados calculadas para el átomo central. La-principal característi(~a de la densidad

384 F. Mejía Lim

PCE)

1.0

Q5

-5.0 -2.5 QO

Energía/t

5D

FlOURA 9. Comparación de resultados obtenidos con el MeRn y el método de recursión (líneadiscontinua) para el sitio marcado con un círculo lleno en la figura 8.

local de estados es que el pico central crece con el cúmulo y el mínimo inmediatodecrece. Las extrapolaciones de cálculos numéricos [51) han mostrado que hay unestado localizado en E = O con un peso aproximado del 10%, situado enmediode una brecha. Aparentemente, para obtener estos resultados hay que incluir en elcúmulo mucho más sitios. Los picos que aparecen cerca de los bordes de la banda notienen significado físico'y provienen de la conexión del cúmulo con la red de Bethe.Esta es una característica que aparece en los cálculos de MeRR. En general estospicos se reducen al aumentar el tamaño del etímulo [58}.

La figura 9 incluye la densidad local de estados calculada en el sitio marcado conun círculo lleno en la figura 8. COIl línea discontinua aparece un cálculo realizadopara un sitio con el mismo número de coordinación y entorno cercano mediante elmétodo de recursión aplicado a un sistema de aproximadamente 3 000 átomos [48J.Las características de la densidad ll¡cal de estados alrededor de E = Oobtenidas enla referencia 48 ya se encucntra.n presentes en el resultado obtenido con el MCRB.

Puede Dotarse que en estc enfoque de considcri\r una muestra finita para repre-

Algunos aspectos de los cuasicnstales 385

sentar el cuasicristal la convergencia es lenta y hay que incrementar mucho el númerode sitios antes de que realmente se pueda decir que se tiene un cuasicrista1. Prevalecela ventaja de que puede hacerse un seguimiento del desarrollo de las característicaspropias del cuasicristal a medida que crece el cúmulo. A diferencia del cálculo de lareferencia 58 donde se fue construyendo el cúmulo paso a paso, agregando átomossin romper la simetría, los mosaicos para estudiar propiedades electrónicas pue-den obtenerse y crecerse rápidamente mediante el algoritmo de ~.fackay.Resultadosobtenidos por este proceso se publicarán en otra part.e [59].

4. Sistemas cuasi periódicos en una dimensión: cadenas de Fibonacci

La ecuación de Schrodinger con potenciales cuasiperiódicos (o en sistemas in-conmensurables) se ha venido estudiando [60-64] desde antes de la aparición delos sólidos icosaedrales. Desde entonces varios estudios han sido dedicados a laestructura electrónica y a la naturaleza de los eigenestados de las redes cuasicrista-Jinas en una dimensión [65-72). Muchos de estos estudios se refieren a una cadenacuasiperiódica especial: la cadena de Fibonacci.

En general, una cadena cuasiperiódica se puede generar como una proyecciónde una red rectangular de dos dimensiones. La figura 10 ilustra la generación deuna cadena por medio de la proyección de una red cuadrada. Las coordenadas dela estructura monodimensional cuasiaperiódica obtenida están dadas por: [71]

u. = nlm + g(n),donde 1m es el espaciamiento promedio,

I tan Osen O+ cosO (O 0)-1m= -sen+cos

l+tanO

y la (unción 9 es

g(x) = (cos O - senO) [F(x tan O(tanO+ 1)-1) _ 1],

(2)

(3)

que incluye la función F(z) que denota la parte fraccional de z.La cadena de Fibonacci se obtiene cuando tan O = (1 + "ff,)/2. El nombre de

cadena de Fibonacci obedece a rarones históricas. Leonardo de Pisa (Fibonacci)hizo contribuciones importantes a la matemá.tica. Entre otras cosas influyó muchopara la introducción del sistema de numeración indo-arábigo en occidente. El LiberAbad, la má.sconocida de sus obras, es en realidad un tratado sobre dicho sistemay fue publicado a comienzos del siglo XIII. El nombre de Fibonacci se encuentraligado en la actualidad a un -problema incluido en el Liber Abad:

386 F. Mejía Lira

-5

3

FIGURA 10. Proyección de una sección de una red cuadrada para..producir una cadena inconmen-surable.

l' I )1

1 : I,,

/ "-I

,/ "~1/2~ /

,I / \

I \

I I/ \

/ \

1 I / \I I \I I

I

I I \V

lE ep '"

FIGURA 11. Generación geométrica de la razón áurea.

Algunos aspectos de los cuasicrislales 387

Imaginemos, escribía Leonardo, un par de conejos adultos, macho y hembra, encerrados enun cercado donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos empiezan a procrear alos dos meses de su nacimiento, engendrando siempre un único par macho/hembra, y a partirde ese momento, cada uno de los meses siguientes, un par más de iguales características.Admitiendo que no muriese ninguno, ¿cu:intos conejos contendría el cercado al cabo de unaño? [72]

Se encuentra que el número de parejas en cada mes forma la sucesión: 1, 1,2, 3,5,8, 13,21,34,58, ... , que fue bautizada con el nomhre de "sucesión de Fibonacci"por Edouard Lucas el siglo pasado.

La sucesión de Fibonacci está fuertemente relacionada con la razón álll'ea, la quetambién es importante en la historia. La figura 11 muestra la forma para generarlageométricamente. También se le ha dado el nombre de "proporción divina", y sonmuy numerosos los tratados que se le han dedicado. Es la razón en que se divideun tramo de recta cuando la longitud del segmento mayor es a la del menor comola longitud total es a la del segmento mayor. Esta definición lleva directamente a laecuación 4J2 - ~ - 1 = O,cuya solución p" itiva es el nlllllero irracional (1 + ../5)/2.

Si la ecuación se escribe 4J = 1+ 1/</1 da lugar a la solución:

l,p=I+ 11+. 1

1+--1 + ...Una fracción continuada como:

x = al + --~---a2+----

aJ + ...

donde todas las a¡ son números enteros, se puede escribir en la forma compacta

(4 )

Una fracción continuada infinita como (4) representa-un número irracional. Lasucesión de números racionales

el = [al],

construida con porciones de la fracción continuada infinita, converge al númeroirracional correspondiente. Cada uno de los elementos de esta sucesión se denomimaun aproximante (o convergente) del número irracional dado.

Para 4J la sucesión de convergentes L'S:

1,2,3/2,5/3,8/5,13/8, ... , (5)

388 F. Mejía Lira

FIGURA12. Mosaico de Ammann, resultante de un decorado realizado sobre los rombos básicosde renrase.

obtenida al dividir cada elemento de la sucesión de Fibonacei por él inmediatoanterior. La convergencia es lenta, lo que en ocasiones se expresa diciendo [46] quela razón áurea es el número irracional más alejado de los números racionales. Estaes una razón más para escoger <p como la pendiente de la recta de la figura 10.

La cadena de Fibonacci construida a partir de la ecuación 2 se encuentra dediversas formas en los embaldosados de Pemase y en los empacamientos icosae-drales [76]. Por ejemplo, en el mosaico de Aromano (Fig. 12), un decorado de unembaldosado de Peorase, se puede ver que las líneas formadas a partir del decoradose encuentran separadas de manera análoga a los sitios de la cadena de Fibonacci.

El interés por estructuras con la naturaleza de la cadena de Fibonacci es SUfi4

Algunos aspectos de los cuasicrislales 389

z.o

L2 a '-8/13

1.0tC/t,-1.4

~ 0.8o

0.6

0.4

1.0 z.o

FIGURA 13. Densidad de estados electrónicos de una cadena infinita con periodo 21 (Nótese quesólo se incluye la mitad del espectro simétrico de energía): a) se muestra la densidadtotal de estados para el valor 1.4 de la razón tc!t¡; b) el comportamiento de bandasy brechas al variar la razón de las matrices para los enlaces corto y largo.

cientemente alto como para producir superredes con espesores que siguen el mismoorden [77, 78J.

Se ha sugerido que el espectro ciect:¡ónicode una cadena de Fibonacci consistede bandas continuas inmersas en una distribución de brechas de ancho infinitesimal.Una forma de corroborar esto es estudiar las tendencias de bandas y brechas al apr<pximar sucesivamente la cadena de Fibol1accipor cadenas periódicas cuyos periodossiguen la sucesión de los apróximantes (Ec. 5) [72]. Así, cada aproximan te da larazón del número de tramos largos al de cortos, y el arreglo detallado de los tramosdentro del periodo está dado por la ecuación 1. Cada periodo en la cadena infinita

390 F. Mejía Lira

se puede tratar como una "molécula'! y de est::\.manera resolver analíticamente, paraalgunos hamiltonianos, cadenas de periodos mayores cada vez.

Si los elementos tij de una matriz toman valores ti y te cuando átomos idénticosestán conectados por tramos largos y cortos, respectivamente, y cero en lodos losdemás casos, el hamiltoniano de enlace fuerte se puede escribir como

(6 )

donde la suma se realiza sobre pares de vecinos inmediatos.Los cálculos analíticos muestran que, efectivamente, el número de bandas y

brechas crece con el número de puntos incluidos en el periodo.L<\figura 13a muestra los resultados obtenidos para la densidad total de estados

electrónicos en el caso del aproximante 8/13 de </>-1 = (v'5 - 1)/2 Y con t,/t¡ = 1.4.La parte b de la misma figura es el comportamiento de las bandas y las brechasal variar el valor de te/ti. Hay 21 bandas (20 brechas). Para otros aproximantesse o~serva lo mismo: el número de bandas es el número de sitios incluido en elperiodo. Se observa también que al tender a cero la razón tc!t¡ se producen cincoestados localizados que corresponden a los estados de las "moléculas" con tres y condos átomos. Lo mismo, cuando te/ti crece indefinidamente se producen tres estadoslocalizados, correspondientes a una "molécula" de dos átomos y a un átomo aislado.

Las dos brechas mayores fueron obtenidas en un cálculo numérico de los espec.tros electrónicos de una cadena de Fibonacci con 5 000 átomos usando el métodode recursión 170]. Las condiciones de frontera en este último cálculo ocasionan quelos límites de las bandas no aparezcan tan bien definidos como en el cálculo de lareferencia 72. A pesar de que la sucesión de aproximantes converge lentamente ala razóu áurea, puede considerarse este L'nfoque como viable para el estudio de ladistribución de brechas y bandas al crecer sucesivamente, de acuerdo con la secuenciade aproximantes de Fihonacci, la longitud de la cadena.

5. Conclusiones

Las pruebas experimentales realizadas en sólidos icosaedrales apoyan la pre-sencia de los cuasicristales como un nuevo estado de la materia condensada. Cabeesperar que cualquier simetría pueda aparecer.

El entendimiento de las propiedades de cuasimallas bidimensionales es impor-tante tanto por el hecho de que aparecen en los cllasicristales tridimensionales comoporque hay sistemas en que aparecen cllasicristales bidimensionales combinados conotra dirección en la que hay estricta simetría translacional.

En el estudio de los cuasicristales en cualquier dimensión es necesario haceraproximaciones en las que la influcncia de las condiciones de frontera es fuerte.Por otro lado, el punto de vista de aproximar un cuasicrista! construyendo sistemaspcriódicos con fracciones de cuasi cristales parece viable. Aquí sólo se presentaron

Algunos aspectos de los cUMicristales 391

(

,«.'~ ::tl:

.ro~~ {'{..•. )-{'<??-

.rot:I

FIGURA 14. Decorado con aleación ternaria de un mosaico de Penrase: se han usado tres tamañosde esferas y se ha introducido una. relajación estatica bajo un potencial de Lennard-Jones (figura reproducida de la Ref. 12).

ejemplos con cúmulos relativamente pequeños a. fin de mostrar la forma en que elmétodo se aplica. En dos dimensiones una combinación del algoritmo de Macka.yy elMCRB permite ir a. cúmulos suficientemente grandes. La analogía con los númerosirracionales que aparecen como interpolación entre dos números racionales es dara.Los cuasicristales serían una interpolación entre dos fases cristalinas.

Aunque mucho se ha avanzado en el estudio de los cuasicristales quedan tambiénmuchas preguntas sin contestar. Entre otras cosas falta una descripción detallada delos decorados de los sólidos icosaedrales conocidos, esto es, de la colocación precisaque guardan los átomos en las celdas (como ejemplo de lo que puede resultar deun decorado, véase la Fig. 14). Los estudios realizados acerca del orden de las alea-ciones son por ende tan sólo preliminares; la estructura. misma de los cuasicri.staleshace prever especiales propiedades mecánicas, pero no hay muchos estudios en estadirección y las propiedades magnéticas ni siquiera han sido tocadas.

Agradecimientos

Este trabajo es una reelaboración del material expuesto en una sesión plenariadel XXX Congreso Nacional de Física que se verificó en Mérida. Yuc.• México, del26 al 30 de noviembre de 1987. Agradezco la invitación. que para dar esa plática

392 F. Mejia Lira

me extendió la r-.1csaDirectiva de la Sot:'iedad ~vIexicana de Física. Algunas figurasprovienen de un trabajo del Pro£. Patll Steinhanlt, le agradezco su permiso parautilizarlas. Agradezco al PraL Fran<;ois Gauticr algunas discusionc~ sohrc el ternaque me han resultado muy útiles. Este trabajo ha sido apoyado parcialmente porla Dirección General de Investigación Científica y Superación Acadómica de la Se-cretaría de Educación Pública él. través del convenio C87-08-0300, anexo <1,y por elConsejo Nacional de Ciencia y Tecnología él. través del convenio P228CCOX880lS6y los anexos 1,6 Y 7 del convenio único UASLP-DAFRHU-CONACYT.

Referencias

1. D. Shechtman, I. Dlech, D. Gratias y J.W. Caho, Phys. [{evo £ett. 53 (198.1) 1951.2. D. Levine y r.J. St£'inhardt, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 2477.3. R. Penrose, lJull. Inst. Math. AfJ]JI. 10 (1974) 266.4. R. remose, ¡\falh. /ntrfl. 2 (1979) 32.5. M. Ga.rdner, Sci. ~1m. 236 (1) (1977) 110.6. P. Chaudhari y r.J. Stcinhardt, in Amorl'llOlls Alatcriais: Modding o/ Sin/dure atuI

P"o]JHties, p. 2:19, editado por V. Vitck, Al~IE, Nueva York, EVA (1982)./. P.J. Steinhardt, D.R. Nelsoll y M. ROllchetti, Phys. Rev. Lelt. 47 (l9S1) 1297.8. P.J. Steinhardt, D.n. Ndsoll y r-.1.ROllchctti, Pltys. llet'. lJ 28 (198:1) 784.9. D. Levine y r.J. Steinhanlt, Phys. Rev. B 34 (1986) .1)96.lO. A.L. M.ck.y, Sov. l'hy'. Cry,lallOflr. 26 (19SI) 517.11. A.L. ~1ackay, l'hysica 114 A (1982) 609.12. J.E.S. Socolar y P.J. Stcinhardl, l'hy'. lIev. Ji 34 (1986) 617.13. Aquí no se hace la distinción entre fUlIciolles cuasi y cuasi periódicas. En el segundo

caso la suma de funciou('s que representa a la función cuasiperiódica contiene unnúmero infinito de términos. Véase: A.S. Bcsicovich. ,1Imo.<;t })f'f'iO(/ic fU1.,;tions(Camhridge, London, Gil, 1932); II.A. Bohr, Almost ¡¡cri()(/ic /unctions (Chclsea,~ue\-a York, EVA, 19-17)

U. r. Kramer y n. Neri, Actu Cryst. A 40 (198,1) 580.13. P. Bak, Phy!!o. Rev. Dett. 54 (1985) 1517.16. V. EIser, l'/,y'. 11",. [J 32 (198.5) 4892.1i. P. n.k. I'hy'. lIe1'. [J 32 (1985) 5764.18. ~l. Duncau y A. K.l" l'/,y'. lIev. Lel/. 54 (1985) 2688.19. R.K.P. Zia y \V.J. Dalias, J. Pltys. A 18 (1985) L;l.tl.20. 1'. U.k, I'hys. lIev. Lel/. 56 (1986) 861.21. A. Ja.lIner y T. Janss(,lI, rhys. Rev. P 15 (1977) 6-1:3.22. A. Janner y T. Ja.nss(,ll, Physica 99A (1979) --ti.n. N.G. de Bruijn, Ned. AI.:tHI. lI'ekn. I'me. A 43 (1981) 39.2,1. N.G. de Bruijll, Ned. "1.:rul. lVden. Pme. A 43 (1981) .13.25. J.E.S. Socolar, P..J. Steinhardt y n. Le\"inc, Phy8. Ilev. JJ 32 (1985) .:'j!).17.26. M.V. Jaric, j'hys. ¡kv. LJ34 (lUSG) "G~5.27. L. Uendel'sky, Pltys. HEl'. Ldt. 55 (198!)) H6.28. R. Pércz-Campos, .J.c. Pérez-Hamír('z. A. GÓlIlez, H. Ilen('ra y r-.I. .Insé-Yacalll"tl,

Scripta /lfet(lll. 20 (19Sti) 401.29. J.W. Cahn, D. Shechtma.n y D. Gratias . ./. ¡\InfeL UP,';. 1 (I9,sG) 1:1.:10. P.J. Steiuitardt (enviado a. Seiulce).:\1. D. SIH'chtman y 1. B1edl, M(/(lll. Tnlll.o;. A 16 (E):-.\5) lOO,').

:ltyulIOS aspfCtos de los cuasicris/(tils 393

32. r.w. Stephens y AJ. Goldman. P/¡y.~. Uo'. Lett. 56 (1985) 1168.33. P.W. Stephens y A.1. Goldmalt, j>hys. Nev. LeH. 57 (1986) 2331.34. L. Pauling, Phy$. Retl. Ldt. 58 (1987) 365.35. T.C. Lubensky, l.E.S. Socolar. I'.J. Stcinhardt, P.A. nancel )' P.A. Heiney, Phys.

Jiev. Lett 57 (1986) 1440.36. J.E.S. Socolar, T.C. Lubensh y JI.J. Steinhardt, Phy.'!. Ret;. lJ 34 (1986) 3345.37. r.l. Steinhardt, Prorccding.'! o/ the: Internatiol1al H'orkshop 00 QlIlJ.'!icrystals, Dcijing,

China (septiembre de lDS7) (ell pIensa).38. P.M. Horn et (11.(Resultados ~ill publi<:ar: la figura 4 de la referencia 30 resume parte

de esos resultados.)39. P. Guyot y 11. Audier, Phi . .1lag. LJ 52 (198.5) 115.40. P. Guyot, M. Audier y ~1. Lpquettc, J. Physiqtle C3.47 (1986) 389.41. Y. Ma, E.A. Stcrn y C.E. BOllldin, {,hy.'!. Ret'. Let!. 57 (1986) 1611.42. J.C. Pércz-Ramírcz, H. P(tn'l, ,\. GÓIlICZ,L. Cota-Araiza, L. Martínez y }.1. Jos(t-

Yacamán, J. Mata. Ii(.~.2 (PI;':;) I5a ..13. K.K. Mokhopadhyay. X. Thal,g;naj. K. Chattopaelhyay y S. Ranganathan,.J. ,\lale,'.

Re.<. 2 (1987) 299.44. R. Dubost, J.-11. Lan,C;.~1. T<lnaka. P. Sainforl y ~1. AlIelier, Nature 324 (1986) -18.4.5. \r. Ohashi )' F. Spa('jll'll, T<'..••••ltados sin publicar (citados en la referencia 30).tG. D. Gratias, LlJ Ralle/'f.j¡c 17 (19%) 788. La tradurción del franrés al castellano se

l"l1dicó en: D. Gratia.'i, .\lumlu Ciclltijieo 61 (1986) 878. Uno de los mejores artículosde difusión acerca del conrepto de cuasirristal. ..\d('lIlás, ('5 intl'fesante su mCIH:ión deque 11110 de los sistemas collstruidos por Pauling rorrespondf' al quinto aproximalltpde ulla secuencia de aproximant('s para un cuasi cristal dado construida por D. Graliasy J.\V. Cahn. Junto con este artículo d('st.lcan los citados en las referencias 12,25Y 26, de gran caráctE'r p£'dagógiro.

47. J.M. Cabrera Trlljillo, !Jfnsidwl local de esf(Hlo.~ electrónicos en n'des de PerH'Q8e(discusión detallada de la aplicarión del algoritmo de 11ackay tanlo al par de romhoscomo al par cometa-dardo). tesis de Maestría. Instituto de Ciencia.<;ele la UniversidadAutónoma de Puehla, 1988.

48. T.C. Choy, Phys. JI"" Ldl. 55 (1985) 2915.49 .. M. Kohmoto y B. SutllPrland, Phys. llel'. Lett. 50 (1986) 2740.50. T. Odagaki y D. Nguycu, Phys. Jlel'. 1I33 (198") 2184.51. M. Kohmoto y B. Sutherland, Phy8. lift'. B 34 (1986) 3849.52. U. Suthcrland, Phys. Jlev. B 34 (198") 390.1.53. V. Kumar y G. Athithall. [,hys. Rct!. JJ 35 (198;) 906.54. J.D. Joannopoubs y F. Yn<1urilill, P¡'ys. Rev. lJ 10 (19;-1) 5136.55. R.C. Kittler y L.M. Falicov, Phys. /lep. fJ 18 (1978) 2506.56. J.B. Salzberg, C.E.T. (;01}(;a1v('s da Silva y L.~1. Falicov, l'hy.'l. Rev. B 14 (1976)

1314.57. ILA. Barrio. F.L. Cale('IU'r y E. ~Iartillez, Phys. liev. Lett. 52 (198.1) 1786.58. F. Aguilera-Granja, F. Mpjía-Lira •. 1.1.. Morán-López y R.G. Barrera, Phys. llevo B

36 (1987) 7342.59. J.M. Cabrera- Trujillo, F. Mejía- Lira y J. L. Morá.n- Lópel (en preparación).60. B. Simo'l, Adv. Appl. Alath. 3 (Pl82) .¡(j:1(y ref('J'(,lll:ias ahí cita.das).61. S. Ostlung, R. Pandit, D. Hand y II.J. Schellnhuber, l'hys. Rev. Lett. 50 (1983) 1873.62. A. P('res, Phys. Ret'. 1127 (1983) 1).10:1-63. M. Kohmoto y Y. Dono. Phys. Ldt 102,\ (198.1) 1.1.5.64. S. Ostlund y H. l'andit, l'hys. R(I,'. IJ 29 (l as,o 1:39.1.65. R.K.P. Zia y \V.J. Dallas,.J. P"y.~. JI IR (1085) La.l1.

394 F. Mejía Lira

66. Q. Niu y F. Neri, J'hy.<. Rev. Ld/. 57 (1986) 2057.(". JI. Ma, Y. Xu, C. T,ai, J. l'hy.<. e Iv (1986) 1.823.68. M. Kohmoto y J.lL Banavar, PhY!I. Ilev. lJ 34 (1986) 563.69. C. Tang y M. Kohmoto, l'hy.<. Rev. B 34 (1986) 2041.70. A. Mookherjee y V.A. Singh, Phys. llerJ. B 34 (1986) 7,133.71. J.M. Luck y D. Petril;" J. S/al. l'hys. 42 (1986) 289.72. P. Villaseñor-Gonzále?', F. Mejía-Lira y J.r.. l\lorán-López, Sol. Stare Comm. 66

(1988) 1127; P. Vi\laselior-Gonzál('z, F. Mejía-Lira y J.L. r-.lorán.López, Memorú¡sdel VJl Congreso Nacional de Fí.<;ica (le SUl'f'rfiries (' Interfaces, p. 66, editado porArturo Morales, Sociedad ?1.1exicana de Ciencias de Superficies 'l de Vacío A.C.,México, 1987_

73. ~1. Gardner, Miscelánea Matemática, p. 156, Salvat Editores, Barcelona, Espaiia,1986.

74. C.D. Olds, Continu{'(l Fractions, Random lIou5(" 198:!.75. Mem., referencia 30, fig:ura 3.76. !dem., referencia 26.77. J. Todd, R. ?1.1artin, R. Clarke, K.M. ~lohanty y J.D. Axe, Phys. llevo Lett. 57 (1986)

l1ó7.78. l\1.W.C. Dha.rma-wardana., AJI. Ma.cDona.ld, D.J. Lockwood, J.-~1. Uariheau'y D.C.

Jloughtoll, l'hys. Rev. Lel!. 58 (1987) 1761.

Abstract. Sorne aspects of quasicrysta.ls are revised. After a brief des-cription of the propo5ed Illodels of irosahedral solids and stress ti\('fact that the experim(~llts show tha.t qua.sicrystals are a new state ofcondens~.d malter, a descriptioll is giv(,ll.of the Penrose tiles alld tlwFibona.cci chain. Some results obtained for the electronic properties ofgiven models of one. and t,vo.dimensional quasicrystals are briefly des.cribed. In the two dimensional ca.se (,Illphasis is paid lo the eHects of theboundary conditions impn<;ed when the Cjuasicrystal is approxirnated byone of its portions. In the one.dimensional case the way to gellerate ahierarchy of a.pproximatiolls to the quasicrystal following tile Fibona.cciseqllence is presented.