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solucion algunos ejercicios de kolman
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proyecto bimestral
proyecto bimestrallgebra Lineal
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ContenidoIndice1Taller 12Taller 27Deber 112Deber 219Deber 325Taller 333Deber 434Taller 446Deber 547Taller 548Deber 651Bibliografa56
Taller 1
Resuelva el sistema lineal dado por medio del mtodo de eliminacin
1. (1)(2)
Reemplazamos x Sol.
2. (1)(2)(3)
Reemplazo (-1)
(-3) (2)
(4) (-7)Sol.
3.
Reemplazo (-2)
Sol. t= nmero real
4.
ReemplazamosSol.5
5. Dado el sistema Lineal
a) Determinar el valor de t para que el sistema tenga una solucin.Tiene una solucin
b) Determine el valor de t para que el sistema no tenga solucin.No tiene solucinc) Cuntos valores diferentes de t pueden seleccionarse en la parte b.
6. Resuelva el sistema lineal sin utilizar mtodo de eliminacin.
DespejoReemplazoReemplazo
3(2)+5(1)-2z=11-2z=11-11Sol7. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de protena, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Por su parte cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protena 3 unidades de grasa y dos unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de protena, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos. Cuntas onzas de cada tipo de alimento debe utilizarse?Nombremos la cantidad de alimentos A, B y C de la siguiente manera:
Ahora las siguientes ecuaciones:
Representan la cantidad deprotenas, grasa y carbohidratos respectivamente que contiene la dieta.Tenemos entonces el sistema:
Multiplicando la primeraecuacinpor -1 ysumndolaa la segunda se tiene:Multiplicando la segundaecuacinpor -2 , la tercera por 3 y sumando se tiene:Ahoratenemos el sistema:
Multiplicando la quintaecuacinpor -1 ysumndolaa la cuarta:Al despejarobtenemos:
Ahora se despejade la cuartaecuaciny seremplazael valor de:
De esta manera la cantidad de onzas de cada alimento A, B y C son:
8. Una herencia de $24,000 se dividi en tres fideicomisos; el segundo fideicomiso recibi el doble del primero. Los tres fideicomisos pagan una tasa de inters de 9, 10 y 6% anual, respectivamente; al final del primer ao, el rendimiento total fue de $2,210. Cunto se invirti en cada fideicomiso?
Taller 2
9. Sean:
A= (2x3)B= (3x1)C=
1. Cules son los valores de a11, a22, a23?
a11= -3 a22= -5 a23=4
1. Cules son los valores de b11, b31?
b11= 4b31= 5
1. Cules son los valores de c13, c31, c33?
c13 = 2 c31= 6 c33= -1
10. Si =
Determine a, b, c, d1. 1. 1. 1.
1. y 4)Reemplazo a en 1)
1. y 3)Reemplazo a en 2)
11. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indica en cada caso
A= B=C= D=
E= F= O=
1. 3D + 2F
3D =2F=
3D + 2F =
1. 3(2A) y 6A
2A = 3(2A)=
6A =
1. 3A + 2A y 5A
3A =2A =
3A + 2A =
5A =
1. 2(D+F) y 2D + 2F
D + F = 2(D+F) =
2D = 2F = 2D+2F =
1. (2+3)D y 2D+3D
(2+3)D = 5D =
2D= 3D= 2D + 3D=
1. 3 (B + D)
B=D= no se pueden sumar porque su tamao no es igual
12. De ser posible, calcule:
1. AT y (AT)T
A= AT = (AT)T=
1. (C + E)T y CT+ ET
C+E = (C + E)T=
CT =ET = CT+ ET=
1. (2D +3F)T
2D= 3F = 2D + 3F =
(2D +3F)T =
1. D DT
D= DT= D DT =
1. (2 A)T + B
2A = (2A)T =
B=(2A)T + B =
1. (3D 2F )T
3D= 2F =
3D 2F = (3D 2F) T =
13. La matriz es una combinacin lineal de las matrices y .
Justifique su respuesta
= +
+ = 14. Sea
A = I3 =
Deber 1
15. En los ejercicios 1 y 2 calcule a.b
1. a= (1x2)b= (2x1)
a . b= a . b=
1. a= (1x2)b= (2x1)
a . b= a . b=
1. a= (1x3)b= (3x1)
a . b= a . b= 1. a= (1x3)b= (3x1)
a . b= a . b=
16. Sean a= (1x3)b= (3x1) . Si a . b =17, determine x.
a . b= a . b=
17. Sea w= (2x1) . Calcule w .w
w= (2x1) w= (2x1)
No se puede realizar la multiplicacin
18. Determine todos los valores de x tales que v .v = 1, donde:v= (3x1)No se puede realizar la multiplicacin por tener diferente nmero de columnas que de filas
19. De ser posible calcule:
1. AB
A= (2x3)B=(3x2)
A . B = A . B =
1. BA
B=(3x2)A= (2x3)
B. A =
B. A =
1. CB + D
C =(3x3)B=(3x2)D=
C. B =(3x2) + D= (2x2)
No se puede sumar no tienen el mismo nmero de filas y columnas
1. AB + DF
A= (2x3)B=(3x2)D= (2x2)
F= (2x2)
AB= (2x2)+ DF=(2x2)
AB + DF =(2x2)
1. BA + FD
BA= (3x3)+FD= (2x2)
No se puede sumar no tienen el mismo nmero de filas y columnas
20. Sean A=(3x2) y B= (2x3). Calcule las siguientes entradas de AB
AB= (3x3)
1. La entrada (1,2) =41. La entrada (2,3) =131. La entrada (3,1) =31. La entrada (3,3) =12
21. Si I2= (2x2) y D= (2x2), calcule DI2 e I2D
DI2 = (2x2)I2D =
22. Sean:
A= (2x2) y B=(2x2)
Demostrar que AB BA
AB= (2x2) BA=(2x2)
23. Considere el siguiente sistema lineal.
1. Determine la matriz de coeficientes
A =
1. Escriba el sistema lineal en forma matricial
A = =
1. Determine la matriz aumentada
A=
24. Costos de produccin. Un fabricante de muebles produce sillas y mesas que deben pasar por un proceso de armado y uno de acabado. Los tiempos necesarios para estos procesos estn dados (en horas) por la matriz.Proceso de armadoProceso de acabado
22Silla
34Mesa
A=
El fabricante tiene una planta en Salt Lake City y otra en Chicago. Las tarifas por hora de cada proceso estn dados (en dlares) por matriz.
Salt Lake CityChicago
910Proceso de armado
1012Proceso de acabado
B=
Qu interpretacin puede dar el fabricante a las entradas del producto de matrices AB?
AB=
Esta matriz representa los costos de produccin de armado y acabado de las sillas y las mesas en cada ciudad.
ProtenasGrasaCarbohidratos
202020Adultos
102030Nios
25. (Medicina) Un proyecto de investigacin nutricional tiene como base de estudio a adultos y nios de ambos sexos. La composicin de los participantes est dada por la matriz.
A=
El nmero de gramos diarios de protenas, grasa y carbohidratos que consume cada nio y adulto est dado por la matriz.AdultosNios
80120Hombres
100200Mujeres
B=
AB=
En esta matriz se muestra los consumos de totales en adultos y nios
1. Cuntos gramos de protenas ingiere diariamente todos los hombres (nios y adultos)?68001. Cuntos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres (nias y adultas)?10000
Deber 2
Demostrar:
A = (3x3)B = (3x3)C = (3x3)
26. (A.B)C=A(B.C)
A.B . C = A (B.C)
(A.B)C = A(B.C)
27. A(B-C)=AB-AC
A. (B- C) = AB AC
A(B-C) =(AB)-(AC)
28. (AB)T=BT AT
(AB) = BT.AT
(AB)T = BT AT
AT BTAT.BT
AT BTAT BT BT AT
29. En los ejercicios 8 y 9, sean
A= (2x3)B=(3x2) C= (3x3)
D= (2x2)E= (3x3)F= (2x2)30. De ser posible, calcule:
1. (AB)T
A= (2x3)B=(3x2)
AB= (2x2)
(AB)T= (2x2)
1. BT.AT
A= (2x3)B=(3x2)
AT=(3x2)BT= (2x3)
BT.AT= (2x2)
1. AT.BT
AT=(3x2)BT= (2x3)
AT. BT=(3x3)
1. BBTT
BTT= BBBTT=B.B
B=(3x2) B=(3x2)
No se puede multiplicar, el nmero de columnas es diferente al nmero de columnas.
1. BT.B
B=(3x2) BT.B= (2x2)
31. De ser posible calcule:
1. (3C 2E)T.B
3C = (3x3)2E = (3x3)B=(3x2)
3C 2E=(3x3)(3C 2E)T= (3x3)
(3C 2E)T.B=(3x2)
1. AT(D+F)
AT= (3x2)D= (2x2)F= (2x2)
D + F=(2x2)
AT(D+F)= (3x2)
1. BTC + A
BT= (2x3)C= (3x3)A= (2x3)BTC = (2x3)BTC + A =(2x3)
1. (2E) AT
2E = (3x3)AT= (3x2)
(2E) AT=AT= (3x2)
1. (BT+A) C
BT= (2x3) A= (2x3) C= (3x3)
BT+A= (2x3)
(BT+A) C = (2x3)
32. Si A= (2x2)B= (2x2)Demuestre que AB = 0AB = (2x2)AB = (2x2)
33. SiA= (2x2)B= (2x2)C= (2x2)Demuestre que AB = ACAB = (2x2)AC= (2x2) AB = AC
34. Si A= (2x2)Demuestre que A2 = I2A2 = A.A = (2x2) (2x2) =(2x2)I2 = (2x2) A2 = I2
35. Sea A= (2x2). Determine:1. A2+3A
A2 = A.A = (2x2)3A = (2x2)
A2+3A= (2x2)1. 2A3+3A2+4A+5I2
A= (2x2)I2= (2x2)
2A3= (2x2) 3A2=(2x2)(2x2)
5I2=(2x2)
2A3+3A2+4A+5I2=(2x2)
36. Determine una constante k, tal que (k.A)T(k.A) =1, donde
A= Hay ms de un valor de k qu se puede utilizar?
AT =(1x3)(k.A)T= (1x3)
kA= (3x1)
(k.A)T(k.A)=
(k.A)T(k.A)= =1
; S hay ms de una solucinDeber 3
Resolver por el mtodo de eliminacin Gauss Jordn37.
R3 1/4R3R 1/2R2
R3 3/2R2 R3R2 2/3R2 R3
R2 6/13R24/13R3
R3 R2+R3
R1 R1 - R3
*
*
*
38.
R1 1/2R1
R2 R2+2R1R3 4R2+R3
R2 1/7R2R3 3R2 - R3
x1= 0 x2= 0 x3= 0 Solucin trivial
39.
R1 R3
R1 1/6 R1
R2 R1 - 2R2
R2 -1/6 R2 R3 3R3 - R2
R1 R1 - R2
El sistema no tiene solucin.
40.
R1 1/3 R1
R4 R4 + 2R3R3 3R2 - 5R3R2 5R3 - 3R2
R2 1/3R4 + R1
R2 1/3R4 + R1
Solucin trivial
41.
R1 R1
R3 2 R3 + R1R2 - 1/6 R2
x1= 0 x2= 0 Solucin trivial42.
R1 R2
R1 -1/2 R1
R2 R2 5R1
R2 2 R2
R1 R1 + R2
Solucin trivial43. Determinar que el siguiente sistema de ecuaciones Homogneo sin trivialesa)
R1 R2
R2 R2 R1
R2 R3
R3 3R2+R3
R3 1/6 R3
R1 R1 - 2R2
R2 R2 R3
R1 R1 + 2R3
x1= 0 x2= 0 x3= 0 Solucin trivial
b)
R1 5R1 3 R2
R2 3R2 5 R1
R1 1/8 R1
R2 R2 +R1
Solucin trivial. Varias soluciones
c)
R4 R4 + 2R3R3 R3 R2R2 R3 - R2
R4 3R3 - 2R4R3 R3 R2R2 R2 R3
R4 1/3R4
R1 R1 + 2R4
Solucin trivial. Varias soluciones
Determine el polinomio que interpola estos puntos
44. ;
(1,3)(2,4)(3,7)
R2 9R2 4R3R3 4R3 9R2
R2 -1/2R2
R3 6R2 +R1R1 -1R2 +R1
R3 -3/2R3 +R1R1 1/2R3+R1
Taller 3
45. Hallar D-1
D =
R1 R1
R2 3R1 R2R3 2R1 R3
R2 2R2
R3 R3R1 R1 R2
R1 R1 7 R3R3 11 R3 + R2
D-1 =
La matriz D es no singular.
Deber 4
46. Demuestre que (2x2) es no singular
A=(2x2)
Como el Det A 0, la matriz es no singular.
47. Demuestre que (2x2) es singular
A=(2x2)Como el det A = 0, la matriz es singular.
48. La matriz siguiente es singular o no singular
B=(2x2)
Como el det A 0, la matriz es no singular.
49. La matriz siguiente es singular o no singular
A= R3 R3 - 2R1R2 R2 - 3R1
A= R2 R2 R3 2R3 R2
A= R1 R1 2 R2
A=
A . A-1= , la matriz A es singular.
En los ejercicios del 5 al 10, determine la inversa de las matrices dadas, si esto es posible
50.
1. A=
A= R2 R2 + 2 R1
A= R1 4R1 R2
R1 R1
A= R1 1/12 R2
A=
A-1=
1. B=
B= R2 R1 R2
B= R3 R3 R2
B= R1 R1 2 R2
B= R1 R1 R3
B= R2 R2 R3
B=
B-1=
1.
C=
C= R4 R4 R1R3 R3 R1R2 R2 - R1
C= R4 R4 2R2R3 R3 + 2 R2R1 R1 R2
C= R2 3R2 - 2 R3R4 R4 + 2R3R1 R1 + R3
R1 R1 - 2R4
C= R2 R2 + R4R3 R3 - 2R4
C= R3 -1/3 R3R2 1/3 R2
C=
C-1 =
1. A=
A= R2 R2 - 2 R1
A=
La matriz A no es invertible.
1. B=
B= R3 R3 R1
R2 R2
B= R1 R1 R2
B= R2 R2 3/2 R3
B=
B-1=
1.
C=
R2 R2 + R3
C= R4 R4 R1R3 3R2 + 2R3
C= R4 R4 R1R1 R1 R4R3 R3
R1 R1 R4
C= R4 R4 R1R3 R3
C= R4 -2/5 R4
C= R3 R3 -1/2 R4
C= R3 R3 -1/2 R4
C-1=
51. 1. A=
A= R2 R2 - 2 R1
A= R2 - R2
A= R2 R1 - 3R2
A=
A-1=
1.
B = R2 R2 - R3
B= R4 R4 5R1R3 R2 - R3
R1 R1 R2
B= R4 R4 4R3R3 R2 - R3
B=
B-1 B no es invertible.
1. C=
R2 R2 R1
C= R3 R3 R1
R1 R1 2R2
C= R3 R3 3R2
C= R3 -1/2R3
C= R2 R2 - R3 R1 R1 + R3
C=
C-1=
52. 1. A=
A= R2 R2 R1
A= R3 R2 R3R1 R1 R2
A= R2 R2 2 R3
A=
A-1=
1. B=
B= R3 R3 R1R2 R2 R1
B= R3 R3 R2R1 R1 2R2
B= R2 R3 + R2R1 R1 4R3
B=
B-1=
1.
C=
C= R2 R1 R2
C= R3 R2 R3R1 R1 2R2
C=
C-1 la matriz C no es invertible
53.
A =
R2 R1 + R2
A= R3 R3 - 2R1R4 R4 3R1
R2 R2 + R3
A= R3 5 R3 + 4R2R4 R4 +R2
R1 R1 - 2 R2
A= R3 1/11 R3
A= R4 R3 - R4
A=
A-1 la matriz A no es invertible
Taller 4Calcular el determinante de las siguientes matrices54.
A = Propiedad mA, triangular superior det (A) = a11*a22*a33..*amm
55.
B = Propiedad det (B) = b11*b22*b33..*bmm
56.
C = Propiedad det (C) = c11*c22*c33..*cmm
57.
D=
Deber 5Encontrar la determinante de las siguientes matrices
58. det (I3 D) D=
(I3 D)= -
(I3 D)= -
(I3 D)=
det (I3 D)=
det (I3 D)=
det (I3 D)=
det (I3 D)=
det (I3 D)=
59. det
det =
det =
det =
det =
Taller 5
Resolver por cofactores.60.
A = (4x4)
61. A = (4x4)
62. C = (4x4)
63. D = (4x4)
Deber 6En los ejercicios 3,4y 5 encontrar el determinante mediante cofactores64. a)A=
b)
A=
c)A=
65. a)
A=
b)A=
c)A=
66. b)
A=
b)A=
c)A=
67. En el ejercicio demuestre si las matrices son No singulares mediante el teorema 2 dado en clasea)A=
b)A=
c)A=
BibliografaBernard Kolman. (2006). Algebra lineal. Mxico: Pearson.
55