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Análise Combinatória. Alice Ahlert Vanessa Paula Reginatto Bernadete adaptado por José Camilo Chaves. ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento. Exemplo I - PowerPoint PPT Presentation
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ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.
Exemplo I
João e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as seguintes regras:I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou três em qualquer ordem.II - em caso de empate, o vencedor será declarado através sorteio.O número de resultados possíveis nesta competição é:
Árvore de possibilidades
1 jogo
V_P
V_A
2 jogo
V_PV_P V_P
V_P
V_AV_AV_A
3 jogo 4 jogo 5 jogo
V_A
Legenda
V_P vitória Paula
V_A vitória Ana
1 jogo 2 jogo
V_A
V_P
3 jogo
V_A
V_P
V_A
V_P
4 jogo 5 jogo
V_A
V_P
ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA
Exemplo II
Uma Pessoa quer pintar os 4 cômodos de uma casa, com as cores vermelho e amarelo. Quantas são as possibilidades de pintar esses quatros cômodos.
Desenhando as possibilidades do Exemplo II
1ª possibilidade 2ª possibilidade 3ª possibilidade 4ª possibilidade
5ª possibilidade 6ª possibilidade 7ª possibilidade 8ª possibilidade
9ª possibilidade 10ª possibilidade 11ª possibilidade 12ª possibilidade
13ª possibilidade 14ª possibilidade 15ª possibilidade 16ª possibilidade
ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número
de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.
Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem.
Princípio fundamental da contagem Princípio fundamental da contagem
.Se um acontecimento A pode ocorrer de “m” maneiras diferentes, um acontecimento B pode ocorrer de “n” maneiras diferentes e um acontecimento C pode ocorrer de “p” maneiras diferentes, o número total de ocorrência desses acontecimento e representado por: m . n. p
O mesmo se aplica a mais de 3 ocorrências
Exemplo 1Exemplo 1 Carlos tem 2 calças diferentes e 3 camisas Carlos tem 2 calças diferentes e 3 camisas
diferentes.De quantas maneiras diferentes diferentes.De quantas maneiras diferentes você pode se vestir usando uma calça e você pode se vestir usando uma calça e uma camisa?uma camisa?
Resolvendo o problema através da árvore das Resolvendo o problema através da árvore das possibilidades(método direto)possibilidades(método direto)
Escolha da calça Escolha da camisa
3 possibilidades
3 possibilidades
Total de possibilidades 6
Resolvendo o problema da escolha das calças Resolvendo o problema da escolha das calças e das camisas através do princípio e das camisas através do princípio multiplicativo ( método indireto)multiplicativo ( método indireto)
Escolha da calça
2 possibilidades
Escolha da camisa
3 possibilidades
Total de possibilidades ( 2 . 3) = 6
Exemplo 2 Exemplo 2 Em uma escola, haverá um torneio de futsal do qual Em uma escola, haverá um torneio de futsal do qual
tomarão partes 3 classes. Apenas as duas primeiras tomarão partes 3 classes. Apenas as duas primeiras colocadas(1º e 2º lugar) participarão dos jogos colocadas(1º e 2º lugar) participarão dos jogos regionais. Determine quantas possibilidades existem regionais. Determine quantas possibilidades existem para essa classificaçãopara essa classificação
Time 1A Time 2B Time 3A
Desenhando as possibilidades do exemplo 2Desenhando as possibilidades do exemplo 2
Time 1A
Time 2B
Time 3A
1º lugar 2º lugar
Time 1A
Time 2B
Time 3A
Time 2B
Time 2B
Time 1A
Time 1A
Time 3A
Time 3A
Utilizando o princípio multiplicativo para Utilizando o princípio multiplicativo para resolver esse problemaresolver esse problema
1º lugar 2º lugar
Time 1A
Time 2B
Time 2B ou Time 3A
Time 3A
3 possibilidades x 2 possibilidades = 6
Time 1A ou Time 3A
Time 2B ou Time 1A
Há 3 linhas de ônibus ligando as cidades A e B , e 2 linhas Há 3 linhas de ônibus ligando as cidades A e B , e 2 linhas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A até C, passando por Bpode-se ir de A até C, passando por B
3 possibilidades x 2 possibilidades = 6
Para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 2 tipos de teclados, e 2 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças utilizamos o princípio multiplicativo:
Teclados Monitores CPU
2 x 3 x 2 = 12
Combinação SimplesCombinação Simples
Combinação simplesCombinação simples é o tipo de é o tipo de agrupamento em a mudança da ordem agrupamento em a mudança da ordem de um grupo não diferente um grupo de um grupo não diferente um grupo do outro pela ordem ou pela natureza do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. dos elementos componentes.
Cn,p = n! / p!.(n-p)!
Exemplo Exemplo Carlos quer presentear sua namorada, Carlos quer presentear sua namorada, com dois presentes entre três que ele com dois presentes entre três que ele comprou. Quantas são as possibilidades comprou. Quantas são as possibilidades da escolha dos presentes para sua da escolha dos presentes para sua namoradanamorada
Observamos que nessa situação proposta, se a namorada de Carlos receber de presente um livro e depois um celular e a mesma situação que ela receber um celular e depois um livro. A ordem de receber o presente não altera o grupo
Escolhendo o 1º Presente Escolhendo o 2º Presente
Livro, Bombom
Livro, Celular
Bombom, Celular
Carlos tem três possibilidades de escolha para presentear sua namorada
FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:
No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta Aplicar a fórmula: No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta Aplicar a fórmula: CCnn,p = ,p = nn! /p!.(! /p!.(nn-p)!-p)!
O número de combinações de O número de combinações de n elementosn elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de de n elementosn elementos tomados p a p divididos por p!, isto é: tomados p a p divididos por p!, isto é:
C C nn, p = , p = nn ! ! p! .( n – p)!p! .( n – p)!
C C 33, 2, 2 = 33 ! ! = . 3. 2. 1. 3. 2. 1
2! (3– 2) !2! (3– 2) ! 2! 1!2! 1!
CC 33 2 2 = 6 6 = 3 => = 3 => C3,2 = 3 2.1
n= n= elementos distintos, quantidades de elementos distintos, quantidades de coisas coisas ex: 3 presentes (livro, bombom, celular)ex: 3 presentes (livro, bombom, celular)
p= agrupamentos possíveis dois presentesp= agrupamentos possíveis dois presentesex: duplas ou tomados dois a dois.ex: duplas ou tomados dois a dois.
Quantas diagonais tem um hexágono Regular (figura de 6 lados)
9 diagonais
Utilizando fórmula da combinação temos:
C C nn, p = , p = nn ! !
p! .( n – p)!p! .( n – p)!
C C 66, 2 = , 2 = 66! !
2! .( 2! .( 66 – 2)! – 2)!
C C 66, 2 =720, 2 =720
2 .242 .24
=15-6 =9
PERMUTAÇÃO SIMPLESPERMUTAÇÃO SIMPLES
Permutações simples de Permutações simples de nn elementos distintos são os elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os agrupamentos formados com todos os nn elementos e que elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
PPn n = n! = n!
Num consultório estão três pessoas para ser Num consultório estão três pessoas para ser atendidas por ordem de chegada. atendidas por ordem de chegada. Quantas são as possibilidades dessas três Quantas são as possibilidades dessas três pessoas serem atendidaspessoas serem atendidas
Desenhando as possibilidades pela ordem Desenhando as possibilidades pela ordem de chegadade chegada
1° a chegar 2° a chegar 3° a chegar
Utilizando o princípio multiplicativo pela Utilizando o princípio multiplicativo pela ordem de chegadaordem de chegada
1° a chegar 2° a chegar 3° a chegar
3 x 2 x 1 = 6
EXEMPLO 2 EXEMPLO 2
– – Quantos são os anagramas da palavra Quantos são os anagramas da palavra BBOOLLAA??
BBOOLLA A BBOOAALL BBLLOOA A BBLLAAOO B BAALLO O BBAAOOLL
OOBBAALL OOBBLLA A OOLLBBA A OOLLAABB OOAABBLL OOAALLBB
LLOOBBA A LLOOAABB LLBBAAOO LLBBOOA A LLAABBOO LLAAOOBB
AABBLLOO A ABBOOLL A ALLOOBB A ALLBBOO A AOOLLBB A AOOBBLL
P P 44 = 4! = 24 permutações ou anagramas= 4! = 24 permutações ou anagramas
ARRANJOS SIMPLESARRANJOS SIMPLES
Arranjos simplesArranjos simples é o tipo de é o tipo de agrupamento em que um grupo é agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.natureza dos elementos componentes.
An,p = n! /(n-p)!
Um ladrão esquecido pretende arrombar um cofre, mas esqueceu a combinação da senha. Ele sabe que a senha é formada por três números diferentes, entre os números 3,4,7,9 Após quantas tentativas ele poderá abrir o cofre?
1º número 2º número 3º número
4 x 3 x 2 = 24
Utilizando a fórmula do arranjo simples temos
A4,3 = 4! /(4-3)!
An,p = n! /(n-p)!
A4,3 = 24 /1
A4,3 = 24 possibilidades de abrir o cofre
Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma dos, usando os algarismos (elementos) 2, podem ser forma dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?3, 4 e 5?
Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:
* pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)
Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12
Idéia do trabalho:Idéia do trabalho:Alice AhlertAlice AhlertVanessa Paula ReginattoVanessa Paula ReginattoBernadeteBernadete
Estudantes do curso de Estudantes do curso de Ciências ExatasCiências Exatas – – UNIVATESUNIVATES Lajeado - RSLajeado - RSAdaptado por José Camilo Chaves em 01/09/2007Adaptado por José Camilo Chaves em 01/09/2007Prof. de Matemática da E.T.E João Gomes de AraújoProf. de Matemática da E.T.E João Gomes de AraújoPindamonhangaba-SPPindamonhangaba-SP