Aljabar Linear Elementer - … · 06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks

06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer

MA1223

3 SKS

Silabus :

Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen


VII Transformasi Linear

Sub pokok Bahasan

• Definisi Transformasi Linear

• Matriks Transformasi

• Kernel dan Jangkauan

Beberapa Aplikasi Transformasi Linear

• Grafika Komputer

• Penyederhanaan Model Matematis

• dan lain lain


Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W

dinamakan transformasi linear, jika

untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

Vba , R

baT.1 bTaT

aT .2 aT


Contoh :

Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana

merupakan tranformasi linear.

Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2,

Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

y

x

yx

y

xT

,2

1

u

uu

2

2

1R

v

vv

vTuTvuT

Rumus Transformasi


Terbukti bahwa

vuT

2

1

2

1

v

v

u

uT

22

11

2211

vu

vu

vuvu

22

11

2211

vu

vu

vuvu

2

1

21

2

1

21

v

v

vv

u

u

uu

vΤuΤvuT


(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

RRu dan2

2

1

u

uu

2

1

21

u

u

uu

2

1

21

u

u

uu

2

1

21

u

u

uu

uΤα


Contoh 2 :

Misalkan T merupakan suatu transformasi

dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh

T(A) = det (A), untuk setiap A M2x2,

Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan

maka untuk setiap R berlaku

det (A) =

22

43

21

xM

aa

aaA

43

21

det

aa

aa

)det(2

4321

2 Aaaaa


Perhatikan bahwa det(A) ≠ det(A)

Jadi T bukan transformasi linier.

Contoh 3 :

Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear

b. Tentukan

ca

bacxbxaT )( 2

)1( 2xxT

2

321 xuxuuu 2

321 xvxvvv

Jawab :

a.(i) Ambil unsur sembarang P2,


Sehingga

Perhatikan bahwa

vu 2

332211 xvuxvuvu

2

332211 xvuxvuvuTvuT

3311

2211

vuvu

vuvu

3131

2121

vvuu

vvuu

31

21

31

21

vv

vv

uu

uu

2

321

2

321 xvxvvTxuxuuT


Ambil unsur sembarang P2,

dan R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2

321 xuxuuu

2

321 xuxuuTuT

31

21

uu

uu

31

21

uu

uu

31

21

uu

uu

2

321 xuxuuT


b.

Suatu transformasi linear T : V W dapat

direpresentasikan dalam bentuk :

A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh :

Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3

didefinisikan oleh :

)1( 2xxT

0

0

11

11

uAuT u untuk setiap V.

y

x

yx

y

x


Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah

Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linear

maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

y

x

y

x

yx

y

x

10

01

11

10

01

11

A


dimana

21,vv

32: RR

ii uv

222

111

uvvT

uvvT

2321222123 xxx uuvv 21 vv

12121

vvuu

Misalkan

basis bagi ruang vektor dan

merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadi

basis bagi V

maka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :

Tulis :

2R


1

0

0

,

1

1

0

,

1

1

1

321 vvv

1

3: PR

iii pvAvT

xppxp 2;1;1 321

2

1

1

dan

Contoh 3 :

Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :

Matrix transformasi

Jika


2

02;

0

11;

1

111 32 BBB xppxp

3,2,1, iii pv

201

011

111

011

001

1

111

011

001

201

011

Jawab :

Definisikan :

Karena

Maka

atau


100

010

001

111

011

001

101

011

001

110

010

001

~

110

011

001

100

010

001

~

221

010

110

011

001

201

011

221

010

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah


2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

221

010

11

1B

x

ingat bahwa

jadi

Sementara itu,

x

1

2

1

1


22 1,,1 xxxxx

2

1

0

1 xT

0

2

12xxT

0

1

2

1 2xxT

21 xxT

Contoh 4 :

Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear

dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

Gunakan

Definisi

Membangun


Jawab :

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis

bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis

sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.

1

1

1

32

321

31

kk

kkk

kk

2

3

2

21

2 111 xxkxxkxkxx


Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :

222 12101 xxTxxTxTxxT

0

1

2

0

2

1

2

0

5

4

222 112101 xxxxxTxxT

222 112101 xxxxxxx


Kernel dan Jangkauan

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear

Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W

dinamakan kernel T

notasi ker ( T ).

atau

Contoh 5 :

Trans. Linear T : P2 R2

Perhatikan bahwa

maka

0|)( uTVuTKer

ca

bacxbxaT )( 2

)1( 2xxT

0

0

11

11

)(1 2 TKerxx


Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal

transformasi merupakan unsur kernel T.

Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai

vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :

Jika T : V W adalah transformasi linear

maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :

Ambil sembarang dan Riil

)(, TKerba

)(21 2 TKerxx

01

1)21( 2

xxT


1. Karena setiap

artinya setiap

maka Ker(T) V

2. Perhatikan bahwa

artinya setiap

oleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T) V

Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya

Jadi

)(TKera

0sehingga aTVa

)(0 TKer

000 AT

)(, TKerba

Vba

000 bTaTbaT

Tba ker


karena V adalah ruang vektor

maka untuk setiap Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika T : V W adalah transformasi linear maka

Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V

Karena Ker(T ) merupakan subruang

Basis Ker(T).

VaTKera maka)(Karena 4.

)(TKera

00 aTaT


c

b

a

T

022 2

xcbaxcaba

c

b

a

T

Contoh 6 :

Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan

Jawab :

Perhatikan bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)


0

2 0

2 0

a b

a c

a b c

c

b

a

T 2

2

a b

a c

a b c

112

120

011

c

b

a

Ini memberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

112

120

011

A


~

0

0

0

112

120

011

0

0

0

110

120

011

0

0

0

2/100

2/110

2/101

~

0

0

0

100

010

001

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { }

dan nulitasnya adalah nol.


1

1

0

,

1

2

1

,

2

0

1

222 2121 xx,xx,x

Perhatikan hasil OBE

maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3


dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

Contoh 7 :

Diketahui transformasi linear T : R4 R3

didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya


Jawab :

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

d

c

b

a

2111

2100

0011

2111

2100

0011

A

Jadi


4, 0 R

d

c

b

a

vvAvT

0000

2100

0011

~

2111

2100

0011

~A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari


0vA

0, ,

21

1

0

0

0

0

1

1

tsts

d

c

b

a

d

c

b

a

21

1

0

0

,

0

0

1

1

Ker(T) = ruang solusi dari

yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2


ca

ba

c

b

a

T2

242 xxxT 222731 xxxT

xT 3

Latihan

1. Suatu transformasi T : 3 2

didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan oleh :

dan

Tentukan

Periksa apakah T merupakan transformasi linear


1

1

3

2

1T

1

2

1

5

3T

3

1T

(Untuk no. 3 – 5)

Suatu transformasi linear, T :R2R3

Yang diilustrasikan sebagai berikut :

dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T !

4. Tentukan hasil transformasi,

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !


1221

1321

1121

A

ca

ba

c

b

a

T2

7. Misalkan T : 3 2 didefinisikan oleh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)

beserta dimensinya !

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :

Documents

Aljabar Linear Elementer - … · 06/05/2014 13:56 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks