Allgemeine Relativitätstheorie

Allgemeine RelativitätstheorieEine anschauliche Einführung in die Grundlagen

Allgemeine Relativitätstheorie

Wegelemente

y

x

ds

dx

dy

invariant bei Drehungen

ds2=dx2dy 2

euklidischer Raum: Minkowski-Raum:

c t

x

ds

dx

c d t ds2=c2dt 2−dx2

invariant bei Lorentz-Transformationen

3-dimensional:

ds2=dx 2dy 2dz2

ds2=dx dy dz 1 0 00 1 00 0 1dx

dydz

ds2=gab dx adx b

Euklidische Metrik

4-dimensional:

ds2=c2 dt2−dx 2−dy 2−dz2

ds2=c dt dx dy dz 1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

c dtdxdydz

ds2=dxdx

Minkowski-Metrik

Allgemeine Relativitätstheorie

Beschleunigte Bezugssysteme

Beispiel: rotierendes Bezugssystem

In beschleunigten Bezugssystemen ist das Wegelement von komplizierterer Formals in einem Inertialsystem.

Die Metrikkoeffizienten sind im allgemeinen Funktionen der Koordinaten:

ds2 = gab(x,y,z,t) dxadxb

x

x'yy'

ω t

x=x ' cos t ' −y ' sin t ' y=x ' sin t ' y ' cos t ' z=z 't=t '

Wegelement im rotierenden System:

ds2=c2−2 x ' 2y ' 2dt ' 22 y ' dx ' dt '−2 x ' dy ' dt '−dx ' 2−dy ' 2−dz ' 2

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Inertialsystem:

experimenteller Befund: schwere Masse und träge Masse sind gleich

Masse:

Bezugssystem, in dem das 1. Newton'sche Gesetz (Trägheitsprinzip) gilt.

Beobachtungen in Raumschiffen und Raumstationen zeigen:In einem Gravitationsfeld frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme.

Allgemeine Relativitätstheorie

ÄquivalenzprinzipDie Vorgänge in beschleunigten Bezugssystemen und in Gravitationsfeldern sind einander äquivalent.Durch Messungen innerhalb eines Labors kann man nicht unterscheiden,ob sich dieses in einem Gravitationsfeld befindet oder aus einer anderenUrsache konstant beschleunigt wird.

Gleichwertige Formulierung:In Lokalen Inertialsystemen („Satellitenlabor“) gelten die bekannten Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie ohne Gravitation.

Allgemeine Relativitätstheorie

Allgemeine Relativitätstheorie

φ dφ

θ r

r sin(θ)

dθ

r sin(θ) dφ

r dθds

z.B. Kugelfläche

ds2=r 2 d 2r 2 sin2d 2

ds2=d d r 2 00 r 2 sin2d

d

Linienelement im Gravitationsfeld

Analogie:ebene Fläche gekrümmte Fläche

ohne Gravitation/Beschleunigung: flache Raumzeit, Minkowski-Metrik

ds2=dxdx

mit Gravitation/Beschleunigung: gekrümmte Raumzeit, kompliziertere Metrik

ds2=gx dx dx

u = 0u = 1

u = 2

v = 0v = 1

v = 2

r

s

x=ur v s

z.B. Ebeneim Raum

ds2=du2

dv 2

ds2=du dv 1 0

0 1dudv

Allgemeine Relativitätstheorie

Feldgleichungen

Newton: Einstein:

Grundsatz:

● beschrieben durch Potential ● Kraft ~ Änderung des Potentials

● Ursache der Gravitation ~ Masse

lokale Formulierung::● Quellstärke der Gravitation = Quellstärke der Potentialänderung ~ Dichte

Grundsatz:

● Ursache der Gravitation ~ Energie- und Impulsfluss ● beschrieben durch Metrikkoeffizienten ● Gravitation entspricht Krümmung der Raumzeit

lokale Formulierung::● Krümmung = Änderung der Metrikkoeffizienten ~ Energie- und Impulsfluss

r =4G⋅r G=−8Gc4 ⋅T

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Lineare Näherung in schwachen Feldern

ds2=c2dt 21

2c2 −d x 21−

2c2

Oberfläche von M /kg r /km 2| |/c2

Erde 5,97⋅1024 6,37⋅106 1,4⋅10−9

Sonne 1,99⋅1030 6,96⋅105 4,2⋅10−6

Weißer Zwerg 1,99⋅1030 104 3,0⋅10−4

Neutronenstern 1,99⋅1030 10 3,0⋅10−1

r =−G M

rNewton'sches Gravitationspotential

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∞

z.B. Sonne

RS

ruhende Uhr ruhende Uhr

Verhalten von Uhren

c2d 2=c2d t 212c2

dt= d

12c2

dt≈ d

1c2

dt≈d ⋅1− c2 d

In der Umgebung schwerer Massen ist der Gang von Uhren im Vergleich zu einer im Unendlichen ruhenden Uhr um den Faktor (1 – φ/c2) verlangsamt.

ds2=c2dt 21

2c2 ds2

=c2d 2

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Verhalten von Maßstäben

∞

z.B. Sonne

RS

ruhender Maßstab ruhender Maßstab

ds2=d 2 ds2=d x21−2c2

d 2=d x 21−2c2

dx= d

1−2c2

dx≈ d

1−c2

dx≈d⋅1 c2 d

Maßstäbe, die von ∞ in die Umgebung schwerer Massen gebracht werden, schrumpfen im Vergleich zu den bei ∞ befindlichen Maßstäben um den Faktor (1 + φ/c2).

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Gravitationsrotverschiebung

Beispiel: Von der Oberfläche eines Sterns (A) wird Licht der Frequenz fA ausgesandt.Am Ort B wird dieses Licht mit einer Frequenz fB empfangen.

Voraussage der ART: f A−f B

f A=B−A

A=r B−r A

c2

Bestätigung durch Messungen an der Sonne und an Quasaren

B A

Rotverschiebung

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Erste terrestrische Messung: Pound/Rebka/Snider (1962/65)

Gravitationsrotverschiebung (2)

f A−f B

f A=g h

c2 =9,81m/s2⋅22,5m3⋅108m /s

=2,45⋅10−15

h=22,5m

wurde experimentell bestätigt

homogenes Gravitationsfeld:

y =g y h − 0=g h

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LichtablenkungVoraussage der ART: Lichtstrahlen erfahren im Gravitationsfeld eine Ablenkung.

Erste Beobachtungen: Lichtstrahlen von Sternen, die den Rand der Sonne streifen (sichtbar bei Sonnenfinsternissen)

vorausgesagter Ablenkungswinkel: =1,75 ' ' experimentell bestätigt

weitere experimentelle Bestätigungen durch Messungen an Quasaren

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Periheldrehung

Die Newton'sche Gravitationstheorie sagt für die Bahnkurven von Planeten Ellipsen voraus.

In der ART ergibt sich eine kleine Abweichung von der geschlossenen Ellipsenbahn,die als Drehung der Ellipse beschrieben werden kann.

Experimentell wird sie als Winkeländerung ∆ϕ des sonnennächsten Bahnpunkts, desPerihels, beobachtet.

Beispiel Merkur:

Die ART ergibt ∆ϕ = 43'' pro Erdjahrhundert,

in Übereinstimmung mit experimentellen Daten.

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RadarechoverzögerungEin von der Erde ausgesandtes Radarsignal kann von einem anderen Planeten reflektiertund auf der Erde wieder empfangen werden.Passiert der Radarstrahl dabei das Gravitationsfeld der Sonne, so trifft das Echo zeitlichverzögert ein.Diese Änderung der Laufzeit kann experimentell beobachtet werden.

Beispiel: Erde - Mars

ART:

t=2⋅2⋅G⋅MS

c3 ⋅lnaE⋅aM

RS2 =220s

Messung:

Allgemeine Relativitätstheorie

Wo wird die ART benötigt?● Korrekturen/Erweiterungen der Newton'schen Gravitationstheorie

● Erklärung von Gravitationslinsen

● Voraussage von Gravitationswellen

● Theorie des Sternaufbaus und der Sternentwicklung

● Beschreibung von Schwarzen Löchern / Quasaren

● Kosmologie: Aufstellen von Weltmodellen, welche die zeitliche Entwicklung der Materieverteilung und des Gravitationsfeldes des Kosmos beschreiben