CAPITOLUL II

CAPITOLUL II

CERCURI REMARCABILE

2.1.CERCUL CELOR NOU PUNCTE(CERCUL LUI EULER)

Leonhard Euler (n. 15 aprilie HYPERLINK "http://ro.wikipedia.org/wiki/1707" 1707, Basel, Elveia - d. 18 septembrie HYPERLINK "http://ro.wikipedia.org/wiki/1783" 1783, Sankt Petersburg,

Rusia) a fost un matematician i fizician elveian. Leonhard Euler este considerat a fi fost fora dominant a matematicii secolului al 18-lea i unul dintre cei mai remarcabili matematicieni i savani multilaterali ai omenirii. Alturi de influen a considerabil pe care a exercitat-o asupra matematicii i matematizrii tiinelor stau att calitatea i profunzimea, ct i prolificitatea extraordinar a scrierilor sale, opera saexhausiv (dac ar fi publicat vreodat) putnd cu uurin umple 70 - 80 de volume de dimensiuni standard.n 1720,la numai 13 ani Euler intr la Universitatea din Basel, unde studiaz filosofia. Curios este ca aceast Universitate i-a refuzat mai trziu postul de profesor.n aceast perioad primete lecii de matematic de la Johann Bernoulli, care i descoperise talentul remarcabil i l convinse pe tatl su s l orienteze spre cariera matematic. n 1726 i lu doctoratul cu un subiect privitor la propagarea sunetului.n 1727 i se acord Marele Premiu al Academiei Franceze de tiine prin rezolvare problemei referitoare la dispunerea optim a catargelor unei nave. Mediul politico-social nefavorabil l oblig pe Euler s prseasc Rusia. n 1741 accept propunerea lui Frederic cel Mare al Prusiei de a veni la Academia din

Berlin. Aici va locui urmtorii 25 de ani din via, perioad foarte prolific, n care va scrie peste 380 de articole, 200 de scrisori pe teme tiinifice i va publica dou din crile sale referitoare la analiza matematic.O mare nenorocire l lovete n anul 1735: i pierde complet vederea la un ochi. n 1766 s-a rentors n Rusia, dar orbete complet. Totui, chiar i n aceast situa ie el continu s dea lucrri de o excepional valoare tiinific..Dup ntoarcerea n Rusia n 1766,lucreaz i mai ndrjit.Revistele Academiei din Petersburg nu-i mai puteau satisface productivitatea. Euler a lucrat n aproape toate ramurile matematicii printre care

geometrie, calcul, trigonometrie, algebr i teoria numerelor. El este o figur reprezentativ n istoria matematicii, iar operele sale,multe dintre ele de interes fundamental, dac ar fi tiprite ar ocupa ntre 60 si 80 volume.Numele lui Euler este asociat cu numeroase subiecte. A cercetat i a adus n atenia lumii tiinifice opera matematicianului i enciclopedistului arab Muhammed Ibn Ahmed Abu Raiham Al Biruni. Euler a introdus i a popularizat cteva conven ii de notare n numeroasele sale manuale. El a introdus no iunea de funcie i a fost primul care a notat f(x) pentru aplicarea funciei f elementului x. De asemenea, el a introdus notaia modern pentru funciile trigonometrice, litera e pentru baza logaritmului natural (cunoscut n prezent drept numrul lui Euler), litera greceasca pentru sum i litera i pentru unitatea imaginar. Folosirea literei greceti pentru raportul dintre circumferina unui cerc si diametrul su a fost de asemenea

popularizat de Euler, chiar dac ideea nu a pornit de la el. Dezvoltarea calculului a fost cea care a ini iat cercetarea n matematic n secolul 18, iar familia Bernoullis, prieteni de familie ai lui Euler, au fost

responsabili pentru progresul n acest domeniu. Datorit influenei lor, calculului a devenit obiectul de studiu principal al lui Euler.

78Chiar dac unele teorii ale lui Euler nu sunt acceptate de standardele moderne ale matematicii, ideile sale au condus la mari progrese. El este foarte cunoscut n analiza matematic pentru utilizarea frecvent aseriilor puterii: exprimarea unor funcii cu ajutorul unor sume.

Teorema2.1.1.Fie triunghiul oarecare ABC i punctul H ortocentrul su.Atunci mijloacele laturilor , picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor [AH] , [BH] , [CH] sunt nou puncte conciclice.

(fig 1)

Demonstraie :Fie : A1 mijlocul lui [BC]B1 mijlocul lui [CA]C1 mijlocul lui [AB]A2 , B2 , C2 picioarele nlimilor din A , B , CA3 - mijlocul lui [AH]B3 - mijlocul lui [BH]C3 - mijlocul lui [CH]=>A1B1C1A2 trapez isoscel deoarece : B1C1||BC B1C1||A1A2( B1C1 linie mijlocie n ABC)A1B1 1 AB (A1B1 linie mijlocie n ABC)2A2C1 1 AB (A2C1 mediana corespunztoare ipotenuzei n AA2B- dreptunghic )2=> A1B1C1A2 patrulater inscriptibil => A2 cercului circumscris A1B1C1.

79Analog => B2 , C2 se afl pe acelai cerc

A1B1A3C1-inscriptibil deoarece : A1B1 ||AB (A1B1 linie mijlocie n ABC) B1A3 || CC2 (B1A3 linie mijlocie n AHC)CC2 AB => B1A3 A1B1 => m(A1B1A3) = 90.

Analog => m(A1C1A3) = 90 =>A3 cercului circumscris A1B1C1

Analog i punctele B3 i C3 sunt situate pe acelai cerc.

Mediatoarele segmentelor A1A2 , B1B2 , C1C2 trec prin mijlocul segmentului OH , deci cercul celor nou puncte are centrul n mijlocul al lui OH i raza r9 1 R

2 Teorema2.1.2:Punctele O , G , H sunt situate pe o dreapt ( dreapta lui Euler) i HG =2GO (fig 1).

Demonstraie:

Fie AA1 median , AA1OH = {G}

AHGA1OG => conform T.F.A. AH GA 2=> G = G( centrul de greutate alOA1 GA1triunghiului)

2.2.TEOREMA LUI IEICA

Gheorghe ieica (n. 4/17 octombrie 1873, Drobeta Turnu-Severin - d. 5 februarie 1939, Bucureti), matematician i pedagog romn. Profesor la Universitatea din Bucureti i la coala Politehnic din Bucureti. Membru al Academiei Romne i al mai multor academii straine, doctor honoris causa al Universitii din Varovia.S-a ocupat n special cu studiul reelelor din spaiul cu n dimenisuni, definite printr-o ecuaie a lui Laplace. Creator al unor capitole din geometria diferenial proiectiv i afin, unde a introdus noi clase de suprafee, curbe i reele care ii poarta numele.

Prin numeroasele lucrri de matematic elementar i de popularizare a tiinei, pe care le-a publicat de-a lungul ntregii sale viei, a contribuit la ridicarea nivelului nvamntului matematic din Romnia.mpreun cu Ion Ionescu, A. Ioachimescu i V. Cristescu, a nfiinat revista Gazeta matematic, iar cu G.G. Longinescu publicaia Natura pentru rspndirea tiinelor. Cu D. Pompeiu a editat revista Mathematica.

Teorema 2.2.1 Trei cercuri congruente au un punct comun P i se mai intersecteaz dou cte dou n punctele A , B , C. Cercul circumscris triunghiului ABC este congruent cu cele trei cercuri.

Demonstraie:

ABC O1O 2O3 deoarece : O1O 2 BC pentru c O2BPO3 , O2B || PO3 , PO3O1C, PO3|| O1C ( romburi ) => O2BCO1-paralelogram i analog. O 1O 2O3 are centrul cercului circumscris n P, raza R= PO1 =PO2= PO3 .Teorema 2.2.2.(o generalizare a teoremei lui ieica): Trei cercuri de raze R1, R2 , R3 au un punct comun P i se mai intersecteaz dou cte dou n punctele A , B i C. Raza cercului circumscris ABC este R= R1 R2 R3 , unde P este puterea punctului P

| P| fa de cercul circumscris O1O 2O3 determinat de centrele cercurilor date.

ABCO3 O1O2 , raportul lor de asemnare fiind de 1 .

2

O3 O1O2 se numete triunghiul podar al punctului P fa de ABC.

Lema2.2.3: FieABC ,M unpunct din planul suiA1 , B1 , C1picioarele perpendicularelor din M pe laturileBC , CA , AB.

Atunci [A1B1C1] |M|, undeM = OM2 R2 este puterea punctului Mfade cercul[ABC]4R2

C(O,R) circumscris O1O2O3.

Demonstraie:

A1B1C1-triunghi podar ABC triunghi circumpedal A1B1C1 ABC

MAMA = MBMB = MC MC= | M|

ABMA=> AB AB MA MA AB| M|( MAB MBA )AB MBMA

MBMA MBAnalog=> BC BC |M|iCA CA | M|.

MB MC

MC MAMC-diametrul cercului circumscris A1B1C i aplicnd teorema sinusului n acelai triunghi

=> A1B1 = MC sinC MC AB(1) => 2R

MC AB

A1B1

2RMA MB MC,

AB

AB |M|2 R| M|

i analoagele.

MA MB

A1B1 B1 C1 A1C1

ABBC

CA

=>[A1B1C1] MA2 MB2 MC2

[ABC]

4R2 2 M

dar

[ABC] AB BC CA

| 3M |

=>

[ABC]

ABBC CA

MA2 MB2MC2

=>

[A1B1C1] | M|=> conform lemei 3.2.3. ,

[ABC]

4R2

[O1O2O3] |

P|, unde r raza cercului circumscris O1O2O3 =>

[O1O2O3]4r2

=>

O1O2 O2O3 O3O1

P| , r raza cercului circumscris O1O2O3.

4r

|

O1O2O2O3 O3O1

4r2

4r

Dar

O1O2 PO3

, adic relaia(1) cu alte notaii. =>

O1O2

2r

=>

PO1 PO2 PO3 . r | P| => R1 R2 R3 2r R

8r3

r

4r2

| P|

Consecine:1)Dac R1 = R2 = R3 = r atunci P este centrul cercului circumscris O1O2O3 deci

P = r2 =>R r3

r (Problema lui ieica ).

r2

2)Dac P coincide cu I (centrul cercului circumscris O1O2O3= este centrul

cercului circumscris ABC) avem : 2r IO1 IO2 IO3 . innd cont c IO1

ri

R2 OI2sin O1

sin O1 . sin O2 . sin O3 r => R2 OI2 = 2Rr (Euler).2

2224R

3)DacP coincide cu H ortocentrul O1O2O3 => 2. R HO1 HO2 HO3 ,

dar

2R2 OH2

O1H = 2 R cos O1 => OH2 = R2 ( 1 8 cosO1 cosO2 cosO3 ) , unde r i R sunt raza cerculuinscris respectiv circumscris O1O2O3.

Teorema2.2.4.(Salmon).Pe un cerc se consider punctele A , B , C i P . Cercurile de diametere PA ,PB , PC se ntlnesc dou cte dou n trei puncte coliniare.

Demonstraie:

Cele trei puncte n care se intersecteaz diametrele , PB , PC sunt picioarele perpendicularelor din P pe laturile triunghiului => teorema lui Salmon este echivalent cu teorema lui Wallace (dreapta lui Simson).

Teorema lui Salmon este o completare la limit a teoremei 3.2.2.

Fie cercurile C (O1 , R1) , C (O2 , R2) , C (O3 , R3) de diametre PA , PB , PC => PO1O2O3 patrulater inscriptibil fiind omoteticul patrulaterului PABC => puterea punctului P fa de cercul circumscris O1O2O3 este 0 => raza cercului care trece prin cele trei puncte de intersecie este infinit => cercul devine dreapta lui Simson.

84

2.3.CERCURILE LUI LEMOINE

mile Michel Hyacinthe Lemoine (n. 22 noiembrie 1840, Quimper, Frana d. 21 februarie 1912, Paris) a fost un inginer i matematician francez, profesor la cole Polytechnique. Acesta este considerat printele geometriei triunghiulare moderne i a devenit celebru prin demosntrarea existenei unui punct Lemoine n cadrul unui triunghi.

Teorema2.3.1(STEINER):Fie triunghiul oarecare ABC i AA1 , AA2 ceviene izogonale. Atunci:

A1B . A2B AB2

A1C A2C AC2Demonstraie:

A

C2B2

C

BA1A2

B1

C2Fie punctele : B1 proiecia punctului B pe AA1 C1 - proiecia punctului C pe AA1 B2 proiecia punctului B pe AA2 C1 proiecia punctului B pe AA2

A1BB1 A1CC1 ( triunghiuri dreptunghice) => A1B BB1A1C CC1A2BB2 A2CC2 ( triunghiuri dreptunghice) => A2B BB2A2C CC2Inmulind cele dou egaliti , avem :

85

A1B . A2B BB1. BB2(1)A1C A2C CC1CC2

ABB2 ACC2 ( triunghiuri dreptunghice , m(BAB2) =m(CAC1) ) =>

BB2 AB(2)CC1 AC

BAB1 CAC2 ( triunghiuri dreptunghice , m(BAB1) =m(CAC2) ) =>

BB2

AB(3)CC2 AC

Din (1) , (2) , (3) => A1B . A2B AB2 ( teorema lui Steiner ).

A1C A2C AC2

Defini ia2.3.2: Izogonala medianei se numete simedian.

Observaia2.3.3:Dac M este piciorul simedianei atunci:

BM AB2 (pentru c BN 1 )CM AC2NC

Observaia2.3.4:Simedienele sunt concurente . Punctul lor de concuren se noteaz cu K i se numete punctul lui Lemoine.

Teorema2 .3.5:Simedianele mpart antiparalelele la laturi n pri congruente.

A

Y

XMX

P

BAC

Demonstraie:

Fie XY antiparalel la BC

86AA simediana din A

AA XY = { M }

Prin X ducem o paralel la BC care intersecteaz pe AA n P i pe AC n X.

Aplicm teorema lui Menelaus n XXY , transversala fiind AMP=>

AY . PX . MX 1 ,dar AYX AXX deoarece : A unghi comun =>

AX

AXYAXX

PX MY

=>AY AX = AX2 AY AX2

AX

AX2

Dar AX2 AB2 ( din teorema lui Thales ) AB PX . => AY PX MX 1 =>

AX

AX2

AC2

AC PX

PX MY

=> MX 1 MX = MYMY

Teorema2.3.6.Antiparalela XY la latura BC este perpendicular pe raza OA a cecului circumscris ABC.

Demonstraie:Fie : AD- diametrul cercului AE-nlime, E (BC)AD , AE ceviene izogonale pentru c m(BAE)= m(CAD) = 90 - m(B).

XY antiparalel la BC , m(XYA) = m(B) => m(AFX) = 90 - m(B) + m(B)=

90.

87Teorema2.3.6(PRIMUL CERC AL LUI LEMOINE):Paralelele duse prin punctul K al lui Lemoine la laturile ABC intersecteaz laturile triunghului n ase puncte conciclice.

Demonstraie:

Fie A1 , A2 BC , B1 , B2 AC , C1 , C2 AB astfel nct B1C2 || BC , A1B2 || AB , C1A2 ||

AC => AC1KB2 paralelogram , AKC1B2={ M }

AK-simedian => C1B2-antiparalel la BC

Analog,A1C2-antiparalel la AC

B1A2-antiparalel la AB

A1B2C1C2- trapez isoscel pentru c m(AC1B2)= m(BCA)= m(BC2A1) => A1 , B2 ,C1 , C2 sunt pe acelai cerc.

C1C2A1A2 patrulater inscriptibil pentru c C1A2 || AC => m(BC2A1)= m(BA2C1) (=m(BCA)

A1A2B1C2 - patrulater inscriptibil fiind trapez isoscel => punctele A1 , A2, B1 , B2 , C1 , C2 sunt pe un cerc numit primul cerc al lui Lemoine.Fie L-mijlocul lui OK, C1B2 antiparalel , OA raz C1B2OA

LM- linie mijlocie n AKO => LM- mediatoarea segmentului C1B2

Analog , mediatoarea segmentului A1C2 trece prin L => L este centrul primului cerc al lui Lemoine.Observaia2.3.7 : Antiparalelele A2B1 , B2C1 , C2A1 sunt paralele.

88Observaia2.3.8 : A1B1C1C2A2B2 , A1B1C1C2A2B2ABC

m(A1B1C1)=m(C2A2B2)=m(C)pentru c m(A1C1)=m(B2C2) i C1A1 B2C2 i

A1B1 C2A2

Teorema2.3.9(AL DOILEA CERC AL LUI LEMOINE):Antiparalelele duse prin punctul K al lui Lemoine la laturile triunghiului ABC , intersecteaz laturile triughiului n ase puncte conciclice.

Demonstraie:

Fie A1 , A2 BC , B1 , B2 AC , C1 , C2 AB astfel nct C2B1 , A2C1 i B2A1 antiparalele la laturile BC , CA , AB.

KA1A2 isoscel pentru c m(KA1A2)=m(KA2A1)=m(BAC)=> KA1 KA2 KB1B2 isoscel pentru c m(KB1B2)=m(KB2B1)=m(ABC) => KB1 KB2 KC1C2 isoscel pentru c m(KC1C2)=m(KC2C1) = m(ACB)=> KC1 KC2 , dar

KA1 KB2 , KB1 KC2 , KC1 KA2 pentru c K punctul de intersecie al simedianelor este mijlocul celor trei segmente => A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 aparin unui cerc cu centrul n K , numit al doilea cerc al lui Lemoine.

Observaia2.3.10:Antiparalelele A1B2 B1C2 C1A2 (fiind diametre n al doilea cerc al lui Lemoine).Observaia2.3.11:A1B1C1 i A2B2C2 au laturile perpendiculare pe laturile ABC (pentru c A1B2 , C1A2 , B1C2 sunt diametre).Observaia2.3.12: A1B1C1 B2C2A2 i sunt asemenea cu CAB

89A1B1 B2C2 pentru c A1B1B2C2 paralelogram (diagonalele se njumtesc) nscris , deci este un dreptunghi.

m(C1A1B1) = m(C) = m(A2B2C2) (fiind unghiuri cu laturile perpendiculare).

Observaia2.3.13: A1A2 B1B2 C1C2 . cosA cosB cosC

n KA1A2 isoscel , m(KA1A2)=m(KA2A1)= m(BAC) =>

=>A1A2 cosA =>A1A2 2 KA1

2KA1

cosA

n KB1B2 isoscel ,m(KB1B2)=m(KB2B1)=m(ABC) =>=> B1B2 cosB =>B1B2 2KB1 .

2KB1cosB

n KC1C2 isoscel,m(KC1C2)=m(KC2C1) =m(ACB) =>=> C1C2 cosC =>C1C2 2KC1

2KC1cosC

Dar KA1 = KB1 = KC1 => A1A2 B1B2 C1C2 .

cosAcosB cosC

2.4.CERCURILE LUI TUCKER

90Teorema2.4.1.Trei antiparalele congruente intersecteaz laturile triunghiului ABC , n ase puncte conciclice.

Demonstraie:

Fie A1 , A2 BC , B1 , B2 AC , C1 , C2 AB astfel nct : A2B1 antiparalel la AB B2C1 antiparalel la BC C2A1 antiparalel la CA

i A2B1 B2C1 C2A1

B2C1C2A1- trapez isoscel , pentru c : B2C1 C2A1

m(B2C1C2) = m(A1C2C1)= 180- m(C) =>

=>B2C1C2 A1C2C1 (L.U.L.)

B2C2A1 A1C1B2 (L.U.L.) => m(C2A1B2) = m(C1B2A1) => m(C2A1B2) + m(A1C2C1) = m(A2B2C1) + m(B2C1C2) = 180.

Analog , C2A1A2B1 , A2B1B2C1 trapeze isoscele => sunt inscriptibile

C1C2A1A2 patrulater inscriptibil deoarece C2A1 antiparalel la CA => C2A1 antiparalel la C1A2 (C1A2||AC) => A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 aparin unui cerc numit cercul lui TUCKER.

Fie A0- mijlocul segmentului B2C1 , A0 AK B0 - mijlocul segmentului C2A1 , B0 BK C0 - mijlocul segmentului A2B1 , C0 CK

91A0B0 , B0C0 , C0A0 linii mijlocii n trapeze => A0B0C omotetic cu ABC , centrul omotetiei fiind K iar raportul de omotetie A0B0 k.

AB

Mediatoarea segmentului B2C1KO = { T } n AKO , A0T || AO ( AO B2C1)

=> KT KA0 A0B0 k . KO KA AB

Analog , mediatoarele segmentelor C2A1 , A2B1 trec prin acelai punct T pentru care

KT k . Deci , centrul cercului lui Tucker este semidreapta (KO. KO

Observaia2.4.2: A1B1C1 C2A2B2 i sunt asemenea cu ABC. Observaia2.4.3:Cele dou cercuri ale lui Lemoine sunt cazuri particulare de cercuri

Tucker.