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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA

Volumen 20

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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA. VOLUMEN 20

Editor: Cecilia Rita Crespo Crespo / Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa Editores Asociados: Patricia Lestn, Teresa Cristina Ochoviet, Carlos Oropeza Legorreta

Diseo de portada: Patricia Snchez Aguilar

Derechos reservados. Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente. ISBN 978970 - 9971 - 13 - 2

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Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa (CLAME) www.clame.org.mx

Consejo Directivo (2004-2008) Gustavo Martnez Sierra Germn Beita Joaqun Padovani Juan Ral Delgado Rub Edison de Faria Gisela Montiel Espinosa Cecilia Crespo Crespo Presidente Secretario Tesorero Vocal Caribe Vocal Centroamrica Vocal Norteamrica Vocal Sudamrica [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

Consejo Consultivo Egbert Agard Ricardo Cantoral Fernando Cajas Guadalupe de Castillo Evarista Matas Rosa Mara Farfn Teresita Peralta

Comisin de admisin Gabriela Buenda Eugenio Carlos Sandra Castillo

Comisin de Promocin Acadmica Javier Lezama Yolanda Serres Leonora Daz Moreno Mayra Castillo Uldarico Malaspina

Comit Internacional de Relme Leonora Daz Moreno Gustavo Bermdez Olga Prez Gonzlez Hugo Parra

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Comit Cientfico de Evaluacin

Agard, Egbert Alans, Juan Antonio Arcos, Ismael Ardila, Analida vila Godoy, Ramiro Bermdez, Gustavo Beyer, Walter Blanco, Hayde Blanco, Ramn Buenda Abalos, Gabriela Cabaas Snchez, Mara Guadalupe Cadoche, Lilian Camacho, Alberto Campistrous, Luis Cantoral, Ricardo Carlos Rodrguez, Eugenio Carrasco, Eduardo Carrillo, Hugo Castaeda, Apolo Castillo, Sandra Cordero Osorio, Francisco Crespo Crespo, Cecilia Cribeiro Daz, Josefina Cruz, Cipriano Dalcn, Mario De Faria, Edison Daz Moreno, Leonora Dolores, Crislogo Engler, Adriana Espinoza, Lorena Espinoza, Pedro Farfn, Rosa Mara Gaita Ipaguirre, Rosa Cecilia Garbin, Sabrina Grijalva, Agustn Gutirrez Alvarez, Milagros Homilka, Liliana Ibarra Olmos, Silvia Lara Galo, Claudia

Lestn, Patricia Lezama, Javier Mntica, Ana Mara Marcolini Bernardi, Josefina Marta Martnez Sierra, Gustavo Minger Allec, Luz Mara Miranda Montoya, Eduardo Molfino, Vernica Molina, Juan Gabriel Montiel Espinsa, Gisela Muoz, Germn Ochoviet, Teresa Cristina Ojeda Salazar, Ana Mara Okta, Asuman Olave, Mnica Oropeza Legorreta, Carlos Ortega del Rincn, Toms Osorio Abrego, Hctor Parra, Hugo Prez Gonzlez, Olga Lidia Prez, Mara del Carmen Piceno Rivera, Juan Carlos Ponteville, Christiane Resndiz, Evelia Rizo Cabrera, Celia Rosas Mendoza, Alejandro Ruiz, Blanca Salat, Ramn Snchez Aguilar, Mario Sardella, Oscar Scaglia, Sara Serres, Yolanda Sierra, Modesto Tejada de Castillo, Guadalupe Testa Rodrguez, Yacir Valero, Socorro Velzquez Bustamante, Santiago Ziga, Leopoldo

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Tabla de contenidos

CATEGORA 1: Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las matemticas Conflictos cognitivos que emergen en la resolucin de problemas relativos al lmite No Miranda Valle, Catalina Navarro Sandoval, Elika Sugey Maldonado Meja Dificultades en la interpretacin geomtrica de algunos conceptos en lgebra lineal Carlos Oropeza L., Javier Lezama A. Las secuencias didcticas con enfoque constructivista: El caso de la funcin valor absoluto Mara Guadalupe Ordaz Arjona Desarrollo de la dimensin emocional y cambio en el auto-concepto matemtico a travs de resolucin de problemas Jos Daniel Martnez Gonzlez La enseanza de la funcin cuadrtica en el bachillerato. Resultados de un proyecto de desarrollo docente Silvia Elena Ibarra Olmos; Lorena Fernndez Sesma Resolucin de problemas antiguos que involucran al Teorema de Pitgoras Mario Dalcn, Mnica Olave Un informe sobre el significado personal logrado en el tema intervalos de confianza por alumnos de una facultad de ciencias veterinarias Teresita E.Tern, Mercedes Anido de Lpez Algunas inconsistencias en el sistema axiomtico deductivo de los Elementos de Euclides y sus implicaciones en el aprendizaje de la geometra Marco Antonio Morales Salmern, Santiago Ramiro Velzquez Bustamante Visin absolutista del principio de identidad en el currculo escolar de matemticas Andrea L. Lpez Pineda, Beatriz Moreno Carrillo Cuatro instrumentos de conocimiento que comparten un aire de familia: particulargeneral, representacin, metfora y contexto Vicen Font

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El conocimiento de los estilos de aprendizaje como estrategia para un aprendizaje autnomo Ana Mara Craveri, Mara del Carmen Spengler La importancia de la visualizacin geomtrica como estrategia de anlisis Hctor E.Rubio Scola, Roberto Lpez, Mercedes Anido El uso de computadora y can para el desarrollo del entendimiento matemtico de fracciones en 4 de primaria Iliana Miriam Lpez Jarqun, Simn Mochn Cohen La argumentacin y enseanza del teorema fundamental del clculo en profesores de bachillerato Juan Carlos Ponce Campuzano Una ingeniera didctica como estrategia de diseo de unidades curriculares Ileana Pluss Dificultades en el aprendizaje de matemtica. Obstculos y errores en el aprendizaje del concepto de dependencia e independencia lineal Mnica Caserio, Martha Guzmn, Ana Mara Vozzi Anlisis de los esquemas de traduccin de enunciados del lenguaje natural al lenguaje de la lgica proposicional Angelino Feliciano Morales, Jos Luis Ramrez Alcntara La centracin en problemas de probabilidad basados en el razonamiento proporcional Greivin Ramrez Arce, Esteban Ballestero Alfaro La lgica dialctica y el clculo diferencial Rafael Jimnez Martnez La enseanza de la modelacin en clase de fsica y de matemticas Ruth Rodrguez Gallegos La modelacin matemtica en la solucin de problemas con apoyo de ecuaciones diferenciales de primer orden Jorge vila Arciniega, Emma Antonia Juregui Medina, Elena Nesterova El cambio de variable: un proceso matemtico o un artificio de la matemtica? Ramn Flores Hernndez El aprendizaje del tema transformada de Laplace de funciones definidas por intervalos con apoyo del conocimiento previo sobre la funcin escaln unitario Emma Antonia Juregui Medina, Jorge vila Arciniega, Elena Dmitrievna Nesterova

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Estrategia didctica para flexibilizar el proceso de enseanza-aprendizaje de la matemtica en la universalizacin de la educacin superior Dmasa Martnez Martnez, Aida Mara Torres Alfonso, Andrs Tellera Rodrguez, Lzaro Dibut Toledo Nociones matemticas y desarrollo de procesos cognitivos de alumnos [6, 8] con percepcin auditiva diferenciada Ignacio Garnica Dovala, Hilda Eneyda Gonzlez Ortiz Ecuaciones de segundo grado: su historia Mario Dalcn, Mnica Olave Ecuaciones de primer grado: su historia Mario Dalcn, Mnica Olave Grupo de estudos curriculares de educao matemtica - GECEM Carmen Teresa Kaiber; Claudia Lisete Oliveira Groenwald Investigando e renovando a prtica escolar em matemtica Carmen Teresa Kaiber, Claudia Lisete Oliveira Groenwald La extrapolacin en ingeniera en alimentos Mara del Carmen Valderrama Bravo, Juan Alfonso Oaxaca Luna, Julio Moiss Snchez Barrera, Carlos Rondero Guerrero Medios y enseanza de estocsticos en el tercer ciclo de educacin primaria Mara Patricia Flores Marroqun Lugares geomtricos: cul es su rol en la enseanza de la demostracin en geometra? Vernica Molfino, Greisy Winicki-Landman, Javier Lezama Andaln Construccin colegiada y aplicacin de un examen criterial alineado con el currculo para evaluar a gran escala un curso de clculo diferencial Jos Alvaro Encinas Bringas, Ruth Rivera Castelln, Maximiliano De Las Fuentes Lara La construccin de la recta tangente en puntos de inflexin: Un mtodo alternativo en la articulacin de saberes Oleksandr Karelin, Carlos Rondero Guerrero, Anna Tarasenko Problemas en el desarrollo de habilidades lectomatemticas Jos Octavio Camelo Romero, Ricardo Ulloa Azpeitia Un estudio descriptivo de las interacciones en el aula. Elemento de anlisis en la reprobacin y rezago de clculo Estelita Garca, Eddie Aparicio

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Una caracterizacin de las clases de clculo en el rea de ciencias Erika Garca, Eddie Aparicio El programa de la disciplina matemtica para la carrera de ingeniera forestal en Cuba Mara del Carmen Acua Salcedo, Madeln Garfalo Novo, Ignacio Estvez Valds, Domingo Pimienta Barqun Solucin de ecuaciones de grado superior mediante estrategias de aprendizaje basado en problemas y el uso de objetos de aprendizaje Ricardo Ulloa Azpeitia, Ana Luisa Estrada Esquivel Tratamiento didctico de las funciones reales de una variable: proceso de modelacin Elsa Caridad Ramrez Garca Desarrollo y formacin de habilidades en la asignatura de estadstica en contexto de universalizacin de la enseanza Ral Bez Olazbal, Doris Prieto Valds, Irma Gonzles Jimnez, Ral Bez Prieto La resolucin de problemas y el uso de tcnicas estadsticas en el contexto de la carrera de ingeniera mecnica Ral Bez Olazbal, Doris Prieto Valds, Raul Bez Prieto, Edry Garca Cisneros La habilidad procesar datos. Consideraciones metodolgicas para su desarrollo en el noveno grado de la secundaria bsica Ricardo Snchez Casanova, Olga Lidia Prez Gonzlez, Fermn Hurtado Curbelo Pueden los estudiantes usar la funcin como medio de expresin en el lenguaje matemtico? Ramn Blanco Snchez, Alexia Nardn Anarela, Yosbel Morales Olivera Metodologa para la imparticin de tpicos de estadstica y probabilidades en la enseanza preuniversitaria en Cuba Larisa Zamora Matamoros, Isabel Alonso Berenguer Ingeniera didctica referida al concepto de fraccin Yaneth Ros Garca La representacin geomtrica desde la perspectiva de la tranferencias de registros Mara Lourdes Rodrguez Gonzlez, Louremy Ricardo Rodrguez, Cila Mola Reyes Un modelo matematico del contenido de planes de estudio universitarios Jos Manuel Ruiz Socarras, Gaspar Barreto Argilagos, Ramn Blanco Snchez viii

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Resolucin de problemas con utilizacin de conocimientos del mundo real Marger da Conceio Ventura Viana, Marcos Paulo Freitas Gomes Realidades e desafios da educao matemtica para os ticunas da comunidade do Umariau Tabatinga/Amazonas Luclida de Ftima Maia da Costa, Jos Camilo Ramos de Souza Comprensin de las ideas de covariancia, correlacin y regresin en estudiantes de nivel superior Ignacio Delgado Escobar; Ana Mara Ojeda Salazar Utilizando la estadstica como herramienta para el anlisis de la situacin sociocultural, y laboral de alumnos pertenecientes al nivel polimodal de escuelas tcnicas, de la provincia de tucumn y de sus respectivas familias Mario Avila, Ana Ibaez, Hilda Motok, Juan Carlos Prez, Graciela Abraham, Mabel Rodriguez Anido, Norma Campos, Marta Ronveaux, Carolina Garca Acciones para el desarrollo de las habilidades para el aprendizaje en estadstica una propuesta en la carrera de bibliotecologa y ciencias de la informacin Doris Prieto Valds, Ral. Bez Olazbal, Dominica Legaoa Ferr, Irma Gonzles Jimnez, Ral Bez Prieto Matemtica con literatura Irene Zapico, Silvia Tajeyan

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CATEGORA 2: El pensamiento del profesor, sus prcticas y elementos para su formacin profesional La RELME a sus veinte aos Ricardo Cantoral Principales tendencias que se revelan en los trabajos presentados en las RELME Luis Campistrous Profesores de matemticas y sus concepciones: el caso de los parmetros de la parbola Mario Snchez Aguilar Formacin de profesores. diversas concepciones que afectan el quehacer docente y competencias iniciales de profesores del nivel medio superior Rosa Mara Farfn Mrquez, Leticia Sosa Guerrero

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El clculo escolar universitario. un estudio de su problemtica en una facultad de ciencias Eddie Aparicio La motivacin y el uso de estrategias de aprendizaje en estudiantes universitarios Liliana Milevicich, Alejandro Lois Los sistemas de representacin de Z en futuros profesores de matemtica Parra S. Hugo Los docentes como evaluadores de una instancia de evaluacin docente Mercedes Anido, Hctor E. Rubio Scola La nocin de configuracin epistmica como herramienta de anlisis de textos matemticos: su uso en la formacin de profesores Vicen Font, Juan D. Godino Las matemticas bsicas: una experiencia en la Universidad Autnoma de Tamaulipas Evelia Resndiz Balderas, Ramn Llanos Portales, Jorge Loredo Osti, Griselda Hdz. C. Las explicaciones de los profesores del nivel medio superior. un estudio de la semejanza como objeto de enseanza aprendizaje Hermes Nolasco Hesiquio, Santiago R. Velzquez Bustamante Coherencias cognitivas vs matemticas en el estudio del cambio Leonora Daz Moreno Los mtodos en la enseanza de la matemtica. una experiencia en el contexto histrico-cultural de los alumnos de la carrera de educacin bsica y de educacin media Carmen Evarista Matas Prez, Lesly A.Meja R. Educacin virtual usando tecnologa de redes para la formacin a distancia, de profesores de matemticas Gamboa Hinojosa Jess, vila Godoy Ramiro Una investigacin sobre competencias docentes Mercedes Anido de Lpez, Martha Elena Guzmn

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CATEGORA 3: Consideracin de aspectos socioepistemolgicos en el anlisis y el rediseo del discurso matemtico escolar Intuicin y visualizacin: demostracin en la convergencia de sucesiones Nancy Janeth Calvillo Guevara, Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza Lo peridico en la relacin de una funcin y sus derivadas Angeles Alejandra Ordez Morales, Gabriela Buenda Abalos Estudio de lo peridico en diferentes contextos: identificacin y uso de la unidad de anlisis Rosa Isela Vzquez Camacho, Gabriela Buenda Abalos Uso de las ideas matemticas y cientficas de los incas, en la enseanza - aprendizaje de la geometra Enrique Huapaya Gmez, Csar E. Salas Valverde Cmo en el ejercicio de la prctica de modelacin de un sistema de resortes se construyen modelos multilineales? Mara Esther Magali Mendez Guevara, Jaime L. Arrieta Vera Grfica de la funcin logaritmo: una discusin entre los acercamientos escolares tradicionales y la construccin geomtrica de Agnesi (1748) Renata Ivonne Lpez Snchez, Marcela Ferrari Escol La algoritmia; una prctica social de las comunidades de ingenieros en sistemas computacionales Magdalena Rivera Abrajan, Jaime Arrieta Vera La nocin de variable. Un estado del arte Enrique Javier Gmez Otero, Crislogo Dolores Flores Clasificacin de la matematizacin de la economa desde un punto de vista socioepistemolgico Sal Ezequiel Ramos Cancino y Germn Muoz Ortega Las prcticas de modelacin de los estudiantes ante la problemtica de la contaminacin del Ro de la Sabana Arrieta Jaime, Carbajal Hctor, Daz Josu, Galicia Adriana, Landa Lorena, Mancilla Vctor, Ricardo Medina, Ernesto Miranda Usos de las grficas y sus repercusiones en el aprendizaje de la matemtica Crislogo Dolores Flores Formas bsicas de graficacin y su relacin con situaciones de movimiento Claudia Flores Estrada

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La medicin de la absorcin de luz de soluciones qumicas, una prctica social de ingenieros bioqumicos Galicia Adriana, Arrieta Jaime, Landa Lorena Una red de modelos y la construccin de los logaritmos Marcela Ferrari Escola, Rosa Maria Farfn Mrquez Sobre la vida escolar de la raz cuadrada en el nivel bsico Domingo de Guzmn Lorenzo Rosario, Maria Patricia Coln Uribe La emergencia de los logaritmos como herramienta para facilitar clculos Marisol Hernndez Snchez, Marcela Ferrari Escol El uso de las grficas en la confrontacin entre la continuidad euleriana y la estabilidad de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Fidel Morales Couoh; Francisco Cordero Osorio Categoras de uso de las grficas en ingeniera Alba Gabriela Lara Medina, Francisco Cordero Osorio El uso de las grficas en la mecnica de fluidos. El caso de la derivada Teresa Guadalupe Parra Fuentes, Francisco Cordero Osorio La construccin social de saberes matemticos. El caso del tratamiento de la informacin Santiago Ramiro Velzquez Un estudio sobre la construccin social de la nocin de promedio en un contexto probabilstica Allan Takeshi De la Cruz Oliva El reconocimiento de argumentaciones por reduccin al absurdo en escenarios acadmicos y no acadmicos Cecilia Crespo Crespo Demostraciones matemticas: un recorrido a travs de la historia desde una visin socioepistemolgica Cecilia Crespo Crespo Aspectos numricos y grficos de la derivada de orden superior Ricardo Cantoral Uriza, Mario Snchez Aguilar, Juan Gabriel Molina Zavaleta Entorno sociocultural y cultura matemtica en profesores del nivel superior de educacin. Estudio de caso en el Instituto Tecnolgico de Oaxaca. Una aproximacin socioepistemolgica. Resultados Luz Mara Minguer Allec, Javier Lezama Andaln xii

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La modelacin matemtica en el contexto de ingeniera civil a travs de la interpolacin y la prediccin Hiplito Hernndez Prez, Germn Muoz Ortega, Gabriela Buenda Abalos Sobre la construccin escolar de la funcin trigonomtrica: la transicin grados radianes reales Claudia Leticia Mndez Bello, Gustavo Martnez Sierra, Elika Sugey Maldonado Meja Anlisis socioepistemolgico de los procesos de matematizacin de la prediccin en la administracin industrial Eduardo Ortiz Hernndez, Germn Muoz Ortega La didctica y la cognicin de los ngulos negativos y mayores a 360 y sus funciones trigonomtricas: un estudio en el nivel medio superior Jorge Martnez Tecolapa, Gustavo Martnez Sierra Proporcionalidad y anticipacin, un nuevo enfoque para la didctica de la trigonometra Gisela Montiel Espinosa Las series numricas infinitas en la india en los siglos VI al XVI Alejandro Miguel Rosas Mendoza Los procesos de convencin matemtica y la inclusin de las funciones trigonomtricas en el marco del anlisis euleriano Gustavo Martnez Sierra

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CATEGORA 4: Uso de la tecnologa en el proceso de aprendizaje de las matemticas Retos y desafos ante las puertas de la tecnologa Juana Acosta Ganm El juego utilizando calculadora graficadora como medio para la enseanza de las ecuaciones paramtricas Ruth Rivera Castelln, Maximiliano De Las Fuentes Lara, Jos Alvaro Encinas Bringas

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Propuesta de una estrategia para la enseanza de tpicos de computacin a estudiantes de licenciatura en matemtica Jorge Rey Daz Silvera, Larisa Zamora Matamoros Campo de direccin. Mtodo de las isoclinas, en la solucin de ecuaciones diferenciales de primer orden Pedro Castaeda Porras, Arelys Quintero Silverio, Aura Matilde Moreno Fierro Experiencia en el uso del asistente matemtico derive, en la solucin de problemas fsicos y/o geomtricos Pedro Castaeda Porras, Arelys Quintero Silverio, Pablo R. Chvez Hernndez El ordenador como recurso didctico en la resolucin de problemas Liliana Milevicich, Alejandro Lois UNIVERSIMAT, entorno para la comprensin de la matemtica en el proceso de universalizacin de la educacin superior Andrs Tellera Rodrguez, Dmasa Martnez Martnez, Aida Mara Torres Alfonso, Angel Aljadis Daz Pea, Yuniesky Carralero Cuellar Entornos virtuales para el logro de comprensin de objetos matemticos Ada Mara Torres Alfonso, Dmasa Martnez Martnez, Andrs Tellera Rodrguez Estrategias para el aprendizaje significativo en matemtica Liliana Milevicich, Alejandro Lois Objetos para aprendizaje que integran un ambiente virtual Rafael Pantoja Rangel, Ricardo Ulloa Azpeitia Diseo de un curso en lnea de ecuaciones diferenciales y su efecto sobre el aprendizaje de los estudiantes Edgar Gilberto Aorve Solano, Elena Dmitrievna Nesterova El laboratorio de computacin para la enseanza de la matemtica. Una forma constructiva para el aprendizaje Rafael Jimnez M, Rosa Vzquez C, Milagros Gutirrez . Visualizando conceptos de la geometra moderna con el apoyo del software Cabr Mara del Pilar Rosado Ocaa La enseanza de la probabilidad y estadstica usando Statgraphics Jos Guadalupe Torres Morales, Rosario del Pilar Gibert Delgado Funciones con Derive... A distancia: categorizacin y anlisis de errores matemticos Mercedes Anido, Susana Marchisio, Patricia C, Sandra Mansilla, Marisa xiv

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Pirano, Mnica del Sastre, Ana Sadagorsky, Graciela Pavn, Erica Panella Una propuesta generadora de aprendizaje autnomo Mabel Medina, Hctor Rubio Scola, H. Mercedes Anido La comprensin del concepto de variable a travs del trabajo con la hoja electrnica de clculo Alejandro Olea Daz Impacto del uso de calculadoras avanzadas en la formacin estadstica de estudiantes de ingeniera Enrique Hugues Galindo, Maricela Armenta Castro, Gerardo Gutirrez Flores, Manuel Alfredo Urrea Bernal Interpolacin y modelado de curvas Edison De Faria Campos Dos enfoques para medir la relacin entre actitudes hacia las matemticas y aprovechamiento matemtico: La experiencia mexicana con EMAT Jos Gabriel Snchez, Sonia Ursini Pensamiento algortmico, tecnologa y aprendizaje de la matemtica numrica Eugenio Carlos Rodrguez Diseo de software para la enseanza del conteo en educacin preescolar Patricia Martnez, Marina Kriscautzky Las prcticas de modelacin virtual Csar Lpez Godoy, Marisol Jurez Caldern, Jaime L. Arrieta Vera El uso de la calculadora graficadora en la preparacin matemtica de los estudiantes para el ingreso a la universidad Esther Ansola Hazday, Eugenio Carlos Rodrguez, Pablo Gmez Fuentes, Nelson Hernndez Reyes Sistema de enseanza/aprendizaje inteligente para grafos Natalia Martnez Snchez, Gheisa Ferreira Lorenzo, Zoila Zenaida Garca Valdivia, Maikel Len Espinosa Una didctica para el tratamiento de las situaciones de aprendizaje de la geometra con un enfoque dinmico en la escuela Celia Rizo Cabrera, Luis Campistrous Prez Algunas consideraciones sobre los problemas matemticos aplicados a las asignaturas modelacin mecnica y fsica Alexia Nardn Anarela, Nereida Pupo Cintras, Mximo Montes de Oca Paredes

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Presentacin

El Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa (Alme), es publicada anualmente por el Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa (Clame), en cumplimiento de sus propsitos de posibilitar el intercambio y difusin entre colegas del rea de la matemtica educativa con la finalidad de orientar acciones en beneficio de los sistemas escolares de Amrica Latina. El Alme tiene carcter de publicacin peridica y si bien los artculos que la integran provienen de trabajos que fueron previamente expuestos en la Reunin Latinoamericana de Matemtica Educativa (Relme), son presentados en forma de artculos y sometidos posteriormente a dicha reunin, a la evaluacin rigurosa de pares especialistas en dicho campo. Esta publicacin se compone de trabajos en los que docentes e investigadores latinoamericanos de matemtica educativa exponen sus experiencias, propuestas e investigaciones, mostrando los productos de una comunidad activa de creciente profesionalizacin y fortalecimiento de esta disciplina. De esta manera, se trata de una tarea que se plantea ao tras ao el objetivo de lograr difundir mediante una publicacin de nivel acadmico, el estado del arte en materia de docencia e investigacin en el campo de la matemtica educativa en Latinoamrica. En este caso, las exposiciones tuvieron lugar durante Relme 20, llevada a cabo en Camagey (Cuba) durante 2006. El Comit Editor y Comisin Acadmica del Alme 20 estuvo formado por colegas de distintos pases latinoamericanos que colaboraron en dicha edicin. Los trabajos han sido organizados segn cuatro categoras: Categora 1: Anlisis del Currculum y Propuestas para la Enseanza de las Matemticas. Categora 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prcticas y Elementos para su Formacin. Categora 3: Consideracin de Aspectos Socioepistemolgicos en el Anlisis y Rediseo del Discurso Matemtico Escolar. Categora 4: Uso de la Tecnologa en el Proceso de Aprendizaje de las Matemticas.

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Los miembros del Comit Editor y Comisin Acadmica del Alme 20, agradecemos a todos los profesores e investigadores que enviaron sus artculos. Pusimos nuestra mayor atencin en la constitucin de este documento y nos sentimos orgullosos de haber podido participar en l prestando este servicio acadmico. Agradecemos a los rbitros por su contribucin solidaria y profesional, como asimismo y de manera especial a todos los colegas que de manera generosa y entusiasta nos regalaron su tiempo, inteligencia y creatividad para la realizacin de este proyecto.

Comisin Acadmica del Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa 2007.Mayo 2007

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CATEGORA 1: Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las matemticas

Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa Vol. 20

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Anlisis del currculum y propuestas para la enseanza de las matemticas

CONFLICTOS COGNITIVOS QUE EMERGEN EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS RELATIVOS AL LMITE No Miranda Valle, Catalina Navarro Sandoval y Elika Sugey Maldonado Meja Unidad Acadmica de Matemticas de la Universidad Autnoma de Guerrero. (Mxico) [email protected], [email protected], [email protected] de investigacin: resolucin de problemas. Nivel educativo: superior Palabras clave: conflictos cognitivos, problemas, lmiteResumen En la presente investigacin, se muestran algunos resultados sobre conflictos cognitivos que emergen en la resolucin de problemas que involucran la nocin de lmite. Con la intencin de detectar qu conflictos cognitivos emergen en el proceso o intento de resolucin de dos problemas en particular; uno de ellos es una paradoja, ste en el sentido de Northrop (2002); y el otro, un problema que involucra el concepto de lmite. La aplicacin de los problemas se desarroll con estudiantes de nivel superior de la Universidad Autnoma de Guerrero.

Antecedentes Dentro de los antecedentes se cuenta con la propuesta de Flores (2004) que sugiere emplear paradojas para provocar conflictos cognitivos en profesores de matemticas en formacin, quienes deben compartir una visin epistemolgica constructivista de la matemtica, y para lo cual se debe romper con la visin unidimensional de la misma a partir del paradigma de la reflexin en la accin. Una investigacin fue realizada por Movshovitz y Hadass (1990), quienes consideran que para la formacin de los profesores-estudiantes se deben integrar contenidos de matemticas, psicologa y pedagoga, para ello plantearon una paradoja relacionada con la demostracin de la irracionalidad del nmero 2, observando que la actitud predominante fue de desesperacin y angustia por detectar o no el error. Otra investigacin es la de Ramrez (2004) que da a conocer las distintas reacciones que provocaron algunas paradojas planteadas a profesores de matemticas y fsica, sobresaliendo su reaccin reflexiva en la que expresaron su deseo de mayor anlisis para la resolucin, creyendo que estaban mal planteadas o que haba algn error en ellas. La investigacin que combina el concepto de lmite y paradoja es la de Sacristn (2003), en la que se trabaj procesos infinitos en un ambiente de exploracin computacional con el fin de ayudar a los estudiantes a experimentar diversos contextos y construir diversas representaciones externas del concepto e interactuar con ellas. Particularmente, explor algunas sucesiones y series infinitas mediante figuras geomtricas recursivas, especficamente, la Curva de Koch que condujo a los estudiantes a una paradoja: El permetro infinito est formado por segmentos de longitud cero, al decir: la longitud de cada segmento era dada por la frmula 1 , un valor que se aproxima a cero a medida que n crece. Otra3n

investigacin que se consider es la de Hitt (2003) que muestra los obstculos de aprendizaje del lmite y continuidad de funciones, que en el caso del lmite se menciona que los obstculos estn en la palabra lmite y tiende hacia, destacando que el lmite de la funcin no es alcanzado. Por lo anterior, se plantea como problema de investigacin qu conflictos cognitivos emergen en el proceso o intento de resolucin de dos problemas relativos al concepto de lmite.

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Conflictos cognitivos La historia muestra que las paradojas del infinito promovieron reflexiones profundas en relacin a los conceptos matemticos, que llevaron a conclusiones ms satisfactorias, a definiciones ms precisas y rigurosas, resolviendo el problema causado por el infinito potencial y el infinito actual. Sin embargo, la matemtica escolar sigue enfrentando diferentes dificultades entre la intuicin y lo formal, como ejemplo se muestra la siguiente afirmacin: Una funcin constante f ( x) = k no tiene lmite. Por qu? Porque no satisface la siguiente definicin: Sea a un nmero real contenido en un intervalo abierto y sea f una funcin definida en todo el intervalo (cerrado), excepto posiblemente en a , y sea L un nmero real. Entonces lm f(x) = L significa que f ( x) puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a a (pero x a ). Ya que si se aplica la definicin se observa que hay un absurdo o una imposibilidad para responder la pregunta: a qu valor L puede acercarse una funcin constante si x se elige lo suficientemente cercano a a ? Contradicciones como esta inciden en la falta de una explicacin satisfactoria e intuitiva, lo cual constituye un conflicto cognitivo, hecho que fue obtenido o corroborado con tres estudiantes en una experiencia de clase. Las respuestas emitidas constituyeron un factor ms para proseguir la bsqueda de otros conflictos cognitivos. Entendiendo que un conflicto cognitivo es un estado de desequilibrio que surge cuando una concepcin que tiene un individuo entre en conflicto con alguna otra concepcin que lleva el mismo individuo, o bien con el ambiente externo, segn Aguilar y Oktac (2004); es decir, un conflicto cognitivo es un estado de desequilibrio psquico de un sujeto, un estado de contradicciones existentes entre las imgenes del concepto propias del estudiante y el concepto en s (el concepto cientfico). Un conflicto cognitivo es creado en forma consciente por el docente y no necesariamente es provocado por la cuestin epistemolgica del concepto. Para resolver un conflicto cognitivo es necesario tomar consciencia de su existencia, es decir, interiorizar la situacin conflictiva, que demanda una modificacin de los esquemas mentales y cambio de las imgenes del concepto. Mientras no ocurra esa interiorizacin o toma de conciencia de la existencia del conflicto no se har algo por parte del sujeto para superarlo y por tanto, no se produce la equilibracin y el aprendizaje. Sin embargo, Duit y Treagust (1998) sealan que los conflictos cognitivos no necesariamente producen cambios conceptuales o desarrollo cognitivo, pues existen ciertos factores o causas que inhiben ese cambio o desarrollo, entre ellos son: a) Los estudiantes son, frecuentemente, incapaces de comprender la nueva teora porque sus concepciones previas proporcionan una interpretacin esquemtica; b) Las nuevas concepciones no resultan inteligibles y plausibles para los estudiantes; c) Los estudiantes son incapaces de comprender los nuevos puntos de vista porque no poseen suficientes conocimientos previos; d) Sin una cierta cantidad de conocimientos previos, los argumentos a favor de las nuevas concepciones no pueden ser comprendidas; e) Los estudiantes comprenden una nueva teora, pero no creen en ella. Finalmente, los conflictos cognitivos se clasifican (por Duit y Treagust) en tres clases primarias: 1) Conflictos entre predicciones de los estudiantes y el resultado del experimento; 2) Conflictos entre las ideas de los estudiantes y las de los profesores; 3) conflictos entre las ideas de los estudiantes.4xa


Descripcin de los problemas Previo al desarrollo de la investigacin se realiz un estudio del concepto de lmite, para tener mayor conocimiento sobre el tema, en tres aspectos: epistemolgico, didctico y cognitivo. En el aspecto epistemolgico se encontr, entre otros, que Zenn de Elea (495-435 a. C.) con sus paradojas evoc el concepto de lmite; DAlembert (1717-1783) llamaba a una cantidad el lmite de una segunda cantidad variable, si la segunda puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada (sin dejar nunca a coincidir con ella) (Boyer, 2001). Weierstrass (1815-1897), fue quien formaliz el concepto mediante la definicin conocida actualmente como psilon-delta, . Dentro de este aspecto Corn (1991) seala los obstculos epistemolgicos siguientes: El fracaso de la unin entre geometra y aritmtica, tal como ocurre en el caso del clculo del rea del crculo; la nocin de lo infinitamente grande e infinitamente pequeo; el aspecto metafsico de la nocin de lmite; y el lmite es alcanzado o no? Dentro del aspecto didctico se encontr que el concepto, presenta dificultades u obstculos debido a su naturaleza, al currculo y a los mtodos de enseanza del profesor (D Amore, 2005). En la revisin de planes y programas de estudio del nivel medio superior de esta universidad, se encontr que para las preparatorias se tiene el libro de texto: Matemticas V (Calculo Diferencial), donde se expone una de las paradojas de Zenn (Fernndez, 2005; Hitt, 2003); mientras que en la licenciatura no se expone ninguna para formar el concepto de lmite y su definicin, sino solamente en el tratamiento de las series infinitas de dos textos bibliogrficos. En el aspecto cognitivo Sierpinska (1985, citado en Cantoral, et al, 2000) presenta obstculos de aprendizaje, tales como: la persona rehsa admitir que el paso al lmite es una operacin matemtica, la dificultad de eliminar el problema del infinito al tomar tantos trminos como sean necesarios, se fija ms la atencin en funciones montonas, y se usa ms el lenguaje natural que smbolos usuales en el paso al lmite. Como resultado del anterior anlisis se eligieron dos problemas con caractersticas geomtricas que involucran el concepto de lmite mediante procesos infinitos y la situacin lmite. Los estudiantes que participaron en esta investigacin son de nivel superior de esta Unidad Acadmica, mismos que ya haban cursado Clculo Diferencial e Integral I y Geometra Euclidiana. Los problemas fueron planteados a manera de proposicin con sus respectivas de figuras geomtricas y son los siguientes: 1. No existe ningn polgono regular inscrito en un crculo, o circunscrito al mismo, de n3, n N , lados cuya rea sea igual al del crculo, i.e., r2. 2. Las semicircunferencias, cuyos dimetros son los n3 lados del polgono regular inscrito tienen como lmite a la circunferencia que circunscribe a ese polgono, o sea, 2 r. El primer problema es una afirmacin verdadera, pues no se indica que n tiende al infinito y cuando se indica esa operacin entonces se dice que el rea del crculo es el lmite del rea de polgonos regulares inscritos y circunscritos. El segundo es una afirmacin falsa, ya que es una paradoja en el sentido de Northrop (2002), donde tanto la observacin (mirada) como la intuicin fallan. Los dimetros de las semicircunferencias son polgonos regulares inscritos, Pn, en la circunferencia cuyo lmite es

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ella misma; mientras que la longitud de las n-semicircunferencias es C n =

Pn2

, y al pasar al

lmite se tiene, lm C n = lm Pn = ( 2 r ) = 2 r .n n

2

2

La solucin de los dos problemas exige el dominio de conceptos de geometra y trigonometra, tales como: el ngulo central de un crculo; razones trigonomtricas; frmula del rea de un tringulo, la frmula de la circunferencia C = 2 r como lmite del permetro de un polgono regular inscrito de n lados, Pn , cuando n tiende al infinito, es decir, lm Pn = 2 r ; y la razn de la circunferencia con respecto a su radio es la misma cualquieran

que sea el tamao de la circunferencia, i. e. , c = .2r

En ambos casos, en un primer momento se les indic emitir un juicio, en forma individual e intuitiva, diciendo si la afirmacin era falsa o verdadera. En un segundo momento se organiz a los estudiantes en equipos de tres integrantes para que discutieran sus respuestas anteriores y posteriormente mostraran las respuestas a la que llegaran en equipo.

Resultados

En la resolucin del primer problema participaron trece estudiantes, de los cuales siete respondieron que la afirmacin era verdadera, es decir, n no puede tender a + , pues n es un nmero natural; seis respondieron que era falsa, interpretando el rea del crculo como lmite de reas de los polgonos regulares inscritos y circunscritos, ignorando que el nmero de lados de dichos polgonos es n3, donde n N , o sea, dieron el paso al lmite: n tiende a + , por lo que, las respuestas fueron intuitivas en el sentido de Fischbein (1978, 1987). En el segundo momento, discutieron sus respuestas individuales, de donde surgi una propuesta de solucin, de todos y cada uno de los equipos, entre las cuales se muestra la siguiente:

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Donde se observa que la frase tiende a lo manejan como aproximacin, el lmite no se alcanza, tal como lo defini DAlembert, y efectivamente, no operan adecuadamente con el lmite. Su idea entra en conflicto con la idea matemtica que consiste en mostrar claramente que su respuesta es nlr correcta. Adems, al calcular el lmite del rea A = cuando n + el rea es infinita. 2 Otros, insistieron en que el lmite es r 2 sin poder mostrarlo, y slo el equipo cuatro pudo mostrar este resultado. En la resolucin del segundo participaron doce estudiantes, de los cuales once respondieron que la afirmacin era verdadera, pues es fija la idea: la respuesta intuitiva debe coincidir siempre con la respuesta formal o matemtica. Tomaron la idea de solucin del equipo cuatro que mostr la respuesta matemtica en el problema anterior. A continuacin mostramos una realizacin:

Como se observa, se obtuvo la contradiccin de 2 = y creen que hay un error en la suposicin, y pese a ello se generaliz y se obtuvo n = 2 . Pero la mayora, simplemente dio una respuesta puramente intuitiva, que en este caso no coincide con la matemtica. Este es c otro conflicto encontrado, por no tener en cuenta que = siempre es la misma cualquiera 2r que sea el tamao de la circunferencia.

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Conclusiones

Las conclusiones son resultado de todo el trabajo realizado, entre ellas, son: la enseanza tradicional procede a introducir el concepto de lmite mediante funciones y sucesiones montonas, generalmente; no introduce el concepto de lmite mediante problemas de carcter geomtrico; tampoco emplea paradojas relativas al concepto, por considerarlas como exclusivas de la comunidad matemtica; si un estudiante no logra resolver el problema planteado, sea paradoja o no, tiene dos opciones en su proceder posterior, por lo menos: a) ser ms consciente de sus disposiciones de los conocimientos matemticos y de sus limitaciones, por lo que para eliminarlas necesitar investigar y estudiar con detenimiento ciertos aspectos. b) bloquearse y fortalecer la idea de que la matemtica es difcil, por lo que hay que renunciar a ella o resignarse a aceptar su existencia como teora. Sin ms nimo de profundizacin o de investigacin. Por lo que se sugiere incorporar las paradojas en el sistema de enseanza, pues son un medio de construccin o reconstruccin del conocimiento, segn muestra la historia.

Referencias bibliogrficas Aguilar, P. y Okta A. (2004). Generacin del conflicto cognitivo a travs de una actividad de criptografa que involucra operaciones binarias. Relime 7(2), 117-143. Boyer, C. (2001). Historia de la matemtica. Madrid, Espaa: Alianza Editorial. Cantoral, R. et al. (2000). Desarrollo del Pensamiento matemtico. Mxico: Trillas. D Amore, B. (2005). Bases filosficas, pedaggicas, epistemolgicas y conceptuales de la Didctica de la Matemtica. Mxico: Clame-Revert. Fernndez, J. et al. (2005). Matemticas V. Clculo Diferencial. Libro de texto de bachillerato. Guerrero: UAG-Gobierno del Estado. Fischbein, E. (1978). Intuition in Mathematics Education, Osnabrcker Schriftenzr Mathematik 1, 148-176. Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics. An educational approach. Netherlands: Klumer Academic Publishers. Flores, P. (2004). Paradojas matemticas para la formacin de profesores (Mathematical paradoxes for teachers education). Revista sobre la enseanza y aprendizaje de las matemticas, SUMA No. 31. P. 27. Hitt, F. (2003). El concepto de infinito: obstculo en el aprendizaje de lmite y continuidad de funciones. En E. Filloy (Ed.), Matemtica Educativa: Aspectos de la investigacin actual (pp. 91111). Mxico: Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados-FCE. Northrop, E. (2002). Paradojas matemticas. Mxico: Limusa. Ramrez, J. (2004). Los profesores ante problemas paradjicos: una invitacin a la reflexin. En Resmenes de la 18 Reunin Latinoamericana de Matemtica Educativa. Tuxtla Gutirrez, Chiapas, Mxico. 2004. Sacristn, A. (2003). Dificultades y paradojas del infinito: experiencias en un ambiente de exploracin computacional. En E. Filloy (Ed.), Matemtica Educativa: Aspectos de la investigacin actual (pp.262-279). Mxico: Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados-FCE.

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DIFICULTADES EN LA INTERPRETACIN GEOMTRICA DE ALGUNOS CONCEPTOS EN LGEBRA LINEAL Carlos Oropeza L., Javier Lezama A. UNAM, CICATA-I.P.N. (Mxico) [email protected], [email protected] de investigacin: pensamiento matemtico avanzado, Nivel educativo: superior Palabras clave: dependencia lineal, independencia lineal, representaciones geomtricasResumen En esta exploracin se reportan algunas dificultades relacionadas con la interpretacin geomtrica de los polinomios de segundo grado en el concepto de dependencia e independencia lineal. La naturaleza abstracta de la asignatura de lgebra Lineal, provoca dificultades en el entendimiento de los conceptos que sta aborda y como una cuestin importante ligada a la percepcin espacial que no slo se reduce a la geometra, se trata de la visualizacin en matemticas. En este trabajo se presenta propuesta una alternativa para que los estudiantes puedan hacer uso de las representaciones geomtricas con la intencin de aportar ciertos rasgos de claridad en el entendimiento del concepto referido, una vez que se acepte usar el isomorfismo para representar las funciones polinomiales de orden n como una representacin de vectores en el espacio Rn +1

.

Introduccin

La Matemtica Educativa se ha ocupado del aprendizaje matemtico y de los procesos de enseanza en el nivel universitario por ms de 30 aos. Ha intentado mejorar nuestra comprensin de las dificultades que los alumnos encuentran al aprender matemticas y las disfunciones del sistema didctico; tambin ha intentado encontrar vas que permitan superar tales dificultades. La enseanza y aprendizaje del lgebra lineal en las carreras ingeniera presentan mltiples dificultades, razn por la cual se han promovido reflexiones profundas en torno a la bsqueda de presentaciones diferentes del tema en cuestin. Es comn que en la enseanza convencional del lgebra lineal, la mayor parte de conceptos se presentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayora de los casos) conexin con conocimientos previos ni argumentos geomtricos o fsicos que motiven la definicin presentada. Los problemas asociados se resuelven usando la definicin formal junto con argumentos derivados de la lgica. Esto hace que muchos estudiantes perciban que la materia es demasiado abstracta y que los contenidos son objetos que no tienen relacin con algo que se pueda aplicar en la realidad. Los orgenes tericos del estudio, sobre los que se basa este documento, consisten en la comprensin de que una reforma educativa referente a la enseanza de las matemticas no puede tener lugar en ausencia de una nocin de los procesos de pensamiento del alumno. Aunado a la reconocida complejidad intrnseca de las matemticas, aparece la dimensin cognoscitiva de la didctica que es particularmente relevante (Balacheff, 1990). Entre los problemas relativos al aprendizaje del lgebra lineal, estn las diferentes representaciones que puede tener un mismo objeto como por ejemplo el cero que puede representar un vector, un escalar o un espacio vectorial, y que los libros de texto hacen uso indistinto de estas diferentes formas de interpretacin; y para las cuales no resulta muy claro para un estudiante que se trata del mismo objeto. O bien, como seala Sierpinska (1996) el alumno se encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de vectores, una geomtrica con una definicin formal y otra enteramente formal para espacios vectoriales generales.

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Una posicin pragmtica a seguir podra ser la de que no se usen varias representaciones de un objeto matemtico, pero, como lo seala Duval (1993): las diferentes representaciones semiticas de un objeto matemtico son absolutamente necesarias. En efecto, los objetos matemticos no son directamente accesibles por la percepcin, o por la experiencia intuitiva inmediata como son los objetos comnmente llamados reales o fsicos (pg.38). Las representaciones semiticas juegan un papel fundamental en la actividad matemtica. Continuando con estas ideas, tenemos en consecuencia que la aprensin de los objetos matemticos y obliga a la interaccin de diferentes representaciones semiticas. Hemos dividido el presente trabajo en dos partes, la primera relativa a las dificultades que hay en la articulacin de diferentes sistemas semiticos de representacin del concepto de funcin. La segunda trata sobre errores en el uso de tales sistemas y repercusiones en la enseanza, a travs de anlisis de casos. En lo que sigue utilizaremos el sistema semitico de representacin en el sentido que lo utiliza Duval. Suponemos que el aprendizaje no es visto como aislado en un vaci cognoscitivo, sino dentro de un contexto sociocultural (Vygotsky, 1962); por lo tanto, en una visin constructivista del pensamiento (Von Glasersfeld, 1987) la cognicin del que aprende, mientras sea personal y de inters individual, es tambin vista enfticamente como que tiene lugar en un ambiente de aprendizaje. Una figura geomtrica, un enunciado en lengua natural, una formula algebraica, una grafica son representaciones semiticas que pertenecen a sistemas semiticos diferentes. Generalmente, se considera a las representaciones semiticas como un simple medio de exteriorizacin de las representaciones mentales para fines de comunicacin, es decir, para volverlas visibles o accesibles a otros. Ahora bien, este punto de vista es engaoso. Las representaciones no solamente son necesarias para fines de comunicacin, si no que son igualmente esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento. A partir de lo dicho anteriormente nos proponemos explorar: El uso de las representaciones geomtricas con la intencin de que los estudiantes puedan incorporarlas en la comprensin del tema en estudio. La nocin que tienen los estudiantes del concepto de dependencia e independencia lineal de los polinomios de segundo grado expresados como espacios vectoriales.

Contenido de la experiencia

Definicin: Un conjunto de vectores {v1, v2,.....,vk} de un espacio vectorial V es LINEALMENTE DEPENDIENTE si existen escalares c1, c2....,ck, al menos uno de los cuales no sea 0, tales que: c1v1 + c2v2+.....+ ckvk = 0 Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice que es LINEALMENTE INDEPENDIENTE. (Grossman, 2005). Por otra parte, centramos nuestra atencin en el hecho de que se puede establecer un isomorfismo, entre el conjunto de polinomios Pn con el espacio vectorial R n +1 , este hecho requiri de estudio en cuanto a la definicin formal de esta idea. A continuacin se muestran las conclusiones del establecimiento de dicha idea:n+1 Como f : ax 2 + bx + c [a, b, c ] es lineal y biyectiva, se deduce que f : Pn R esn +1 isomorfa y entonces se dice que los espacios vectoriales P n y R son isomorfos.

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Tomando como fundamento la consideracin anterior se construy una experiencia en la cual el punto central consiste en manipular una serie de polinomios de segundo grado, parte de la puesta en escena de la actividad puede apreciarse en las siguientes dos figuras. En la primera de ellas, se puede apreciar que el grupo de estudiantes reportan una tendencia por relacionar los puntos de interseccin entre las parbolas analizadas y el concepto de dependencia e independencia lineal de las mismas. Tambin se puede apreciar que esta idea los conduce a plantear otros sistemas distintos, en donde en particular este equipo de estudiantes hace la propuesta de un conjunto de polinomios que los conduce en su solucin a una inconsistencia a la cual no pudieron darle una interpretacin en su significado.

Figura 1

En la segunda figura, podemos apreciar como el grupo de estudiantes (del mismo equipo), inicia una extensin de su idea inicial que proponen como interpretacin geomtrica de los polinomios de segundo grado, misma que tiene que ver con las intersecciones de las parbolas que grafican. Cabe precisar que se mantienen en esa idea hasta la parte de retroalimentacin de la actividad, a pesar de que en su reporte (figura 2) se encuentran indicios del rompimiento de esta idea tal como se puede observar en la ltima de la grficas que dibujan y que justamente se alcanza en el momento de la exposicin del material por parte de los equipos.

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Figura 2

El diseo de las actividades ha experimentado ciertas modificaciones, tal es el caso de la utilizacin del software matemtico usado como instrumento verificador de resultados. Una pequea muestra de ello se presenta a continuacin. Los siguientes ejemplos han sido resueltos con la ayuda de las libreras de Maple versin 9.5. Se tienen dos polinomios x 2 2 x 3 y x 2 + 6 x 9 en los cuales se debe determinar si son linealmente dependientes o independientes. >restart:with(linalg): 1 0 0 a:=: Sintaxis de Maple 0 1 0 sol:=: 0 0 0 gaussjord(); En el resultado obtenido se observa que el conjunto de polinomios son linealmente independientes, ya que en la solucin del sistema de ecuaciones los escalares son igual a cero. En su grfica correspondiente se puede apreciar que a pesar de que las parbolas comparten una raz son linealmente independientes. >plot({x^2-2*x-3,-x^2+6*x-9},x=-4..7);

Ahora se presenta un segundo ejemplo analizado, en el cual se hace uso del isomorfismo. La actividad consiste en estudiar tres polinomios de segundo grado linealmente dependientes: 2x+x, x-4x, 8x-7x.

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8 2 1 A := 1 4 7 0 0 0

b := [0, 0, 0]

25 soluciones = _t1 , 7

6 _t1 , _ t1 7

Estableciendo los polinomios de estudio -2x+x, x-4x, 8x-7x como vectores, se tiene: V1:=; 0 0 0 V2:=; V1 = 1 V2 = 4 V3 = 7 V3:=; 2 1 8 0 0 0 0 De la ecuacin de la forma general obtenemos que: c1 1 + c2 4 + c3 7 = 0 2 1 0 8 25 6 c1 = c2 = 7 7 Resolviendo el sistema de ecuaciones: c =03

Como podemos observar los vectores se encuentran contenidos en un plano y por tanto en R 3 son linealmente dependientes. Tambin podemos observar, que los resultados obtenidos son los mismos, es decir, que en este apartado puede ayudar a identificar la equivalencia que se establece al hacer uso de un anlisis polinomial con respecto a usar un anlisis vectorial en tercera dimensin.

Conclusiones

Algunas de las reflexiones que nos ha proporcionado la puesta en escena de las actividades mostradas son las siguientes: La mayora de los equipos participantes aceptan con naturalidad y con poca dificultad trabajar en el ambiente geomtrico ya que segn sus comentarios, afirman que el manejo grfico de las parbolas lo han utilizado en varios cursos previos a la experiencia.

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La actividad provoca el rompimiento de la idea inicial de los estudiantes en relacin al concepto de la dependencia e independencia lineal de los polinomios de segundo grado, la cual interpretan como interseccin o no de las races en las graficas de las parbolas que se analizan. El uso de la representacin como vectores libres en el plano tridimensional de los polinomios de segundo grado (en algunos grupos de trabajo), provoca conflicto para interpretar la dependencia e independencia lineal; esto se debe a la poca prctica que algunos estudiantes tienen en el manejo de representaciones en tres dimensiones. Sin embargo, para los equipos que s cuentan con experiencia suficiente para graficar vectores en tercera dimensin, este hecho les permite trabajar con menor dificultad. Hacer uso del isomorfismo entre los polinomios de segundo grado y los vectores en el espacio R 3 , podra proporcionar una estrategia que favorezca el entendimiento del concepto de la dependencia e independencia lineal. El reconocimiento de utilizar el software matemtico como un instrumento verificador de resultados tanto analticos como geomtricos, slo provoca en algunos grupos de estudiantes la inquietud por extender su estudio a un mayor nmero de ejemplos.

Referencias bibliograficas Balacheff, N. (1990). Perspectivas futuras para la investigacion en la psicologa de la educacin en matemticas. En el Grupo Internacional Kilpatrick J., Nesher P., para la psicologa de la educacin en matemticas. Matemticas y Cognicin: Una sntesis de investigacion por le Grupo Internacional para la psicologa de la educacin en matemticas. Captulo 7, pgs.135-148. Cambridge University Press, Reino Unido. Duval, R. (1988). Graphiques et equations: I Articulation de deux registres. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 1, pgs. 235-253. Grossman, S. (1996). lgebra Lineal. D.F., Mxico: Mc Graw-Hill. Piaget J. (1968). La formation du symbole chez I enfant. Nauchtel, Delachaux & Niestl. Sierpinska, A. (1996). Problems related to the design of the teaching and learning process in linear algebra. Research Conference in Collegiate Mathematics Education, Central Michigan University. Vigotsky, L. (1962). Thought and Lenguaje (Traduccin de Hanfmann y Vakar). Cambridge: M.I.T. Press. Von Glasersfeld, E. (1987). Aprendizaje como una actividad constructiva. C. Janvier (Ed.) Problemas en la representacin de la enseanza y aprendizaje de las matemticas, EUA: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers.

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LAS SECUENCIAS DIDCTICAS CON ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA: EL CASO DE LA FUNCIN VALOR ABSOLUTO Mara Guadalupe Ordaz Arjona Universidad Autnoma de Yucatn (Mxico) [email protected] de investigacin: grfica y funciones. Nivel educativo: superior Palabras clave: secuencia didctica, constructivismo, funcin, valor absoluto

Resumen El presente escrito reporta los resultados de una investigacin desarrollada en la Facultad de Matemticas de la Universidad Autnoma de Yucatn (UADY) con el propsito de valorar la utilidad del uso de una secuencia didctica basada en un enfoque constructivista, para conducir a los alumnos a la construccin del concepto de funcin valor absoluto.

Introduccin

Tradicionalmente, se ha considerado que el xito en la enseanza de las matemticas depende de un profesor ejemplar, suponiendo que el aprendizaje de los alumnos depende nicamente de la atencin que presten a la exposicin del profesor, del dominio que ste tenga del contenido del curso, as como de sus habilidades docentes. Cantoral et al (2000) sealan que una creencia ampliamente difundida respecto a la relacin entre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas supone una relacin de transferencia simple de la enseanza hacia el aprendizaje, el alumno graba lo que se le comunica por medio de la enseanza, pero las investigaciones contemporneas demuestran lo inexacto de este punto de vista y hacen evidente que los alumnos construyen regularmente conocimientos que no forman parte del discurso de la enseanza y resultan con frecuencia inadecuados e incluso errneos desde el punto de vista matemtico. Hoy en da emergen concepciones que consideran la actividad matemtica en un sentido ms amplio, segn las cuales, toda actividad humana depende de una enorme variedad de restricciones de naturaleza cultural, histrica e institucional. Factores como la motivacin, la afectividad, la imaginacin, la comunicacin, los aspectos lingsticos o de representacin desempean un papel fundamental en la conformacin de las ideas matemticas entre los estudiantes. Desde esta perspectiva nuestra forma de aprender matemticas es el resultado de construcciones sucesivas, cuyo objetivo es garantizar el xito de nuestra actuacin ante una cierta situacin. Esta visin rompe con el esquema clsico de enseanza, segn el cual el maestro ensea y el alumno aprende. El papel del profesor en esta perspectiva es mucho ms activo; sobre l recae mucho ms la responsabilidad del diseo y coordinacin de las situaciones de aprendizaje; ensear debe ahora consistir en crear las condiciones que produzcan la apropiacin del conocimiento por parte de los estudiantes, mientras que para el estudiante, aprender debe implicar involucrarse en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la disponibilidad de un conocimiento.

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La problemtica

El actual plan de estudios de las escuelas preparatorias de la Universidad Autnoma de Yucatn, propone el uso de un nuevo paradigma bajo el cual, el estudiante de matemticas debe construir nuevos conocimientos a partir de otros previos, y que dichos conocimientos sean significativos y no slo memorsticos. Sin embargo, al entrar en marcha dicho plan de estudios, los profesores se encuentran con la falta de las herramientas adecuadas para conducir a sus alumnos a lograr este objetivo. Es as que nuestro nfasis est en el diseo de actividades adecuadas para favorecer el aprendizaje significativo de los estudiantes, mediante acciones que le permitan analizar, conjeturar, construir su propio conocimiento. Por otra parte, si abordamos la problemtica de la enseanza de la matemtica y particularmente del concepto de funcin, tenemos que es un de los ms difciles tanto para ensear como para aprender y que su enseanza tiende a sobrevalorar los procedimientos analticos y la algoritmizacin, dejando de lado los argumentos visuales (Cantoral, Montiel 2001). La problemtica que se aborda en esta investigacin tiene su origen en situaciones de preclculo y clculo, propiamente en el nivel medio superior y superior. En la enseanza en ambos niveles, la nocin de funcin valor absoluto resulta esencial para las definiciones de conceptos fundamentales referentes al clculo diferencial e integral. Sin embargo, la mayora de las veces en su estudio, nicamente se enumeran las propiedades de ste, sin preocuparse por el uso de situaciones de enseanza que permitan la asimilacin del concepto por parte de los estudiantes y an alumnos que han ingresado a una licenciatura del rea de matemticas, muestran no haber comprendido el concepto de funcin valor absoluto, lo cual en un principio pareciera no ser un problema, pero que a la larga se ve reflejado en Clculo que es una de las asignaturas con mayor ndice de reprobacin, an a nivel superior, como lo reportan vila y Aparicio (2006), ya que al pedir evaluar3

x + 2 dx , a estudiantes que han

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cursado tres cursos de clculo de nivel superior, cometen errores de tipo conceptual, entre los cuales se encuentran aquellos relacionados con el concepto de valor absoluto, por ejemplo:

Consideraciones metodolgicas

Nuestra investigacin se bas en el empleo de la metodologa de la investigacin cualitativa y entre las actividades desarrolladas, destacamos:

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Una prueba diagnstica denominada test precurso, aplicada a 20 estudiantes y cuyo objetivo era determinar si los estudiantes tenan los requisitos previos principalmente de lgebra, adems de explorar sobre sus conocimientos en relacin al concepto de funcin valor absoluto y los errores cometidos por los alumnos que se deban a la falta de comprensin de dicho concepto. Con base en la prueba diagnstica que da muestra de los mismos errores reportados en (Aparicio, vila 2006), se dise una secuencia didctica, entendiendo sta como un conjunto de actividades ordenadas, estructuradas y articuladas con grados crecientes de complejidad para la consecucin de ciertos objetivos. Las secuencias deben estar diseadas de manera tal que permitan al estudiante tener acercamientos iniciales al contenido y avanzar paulatinamente a niveles ms amplios de comprensin y generalizacin. La secuencia didctica elaborada en este trabajo pretende llevar al alumno a construir la definicin de funcin valor absoluto, as como propiciar que transite libremente por los registros de representacin grfico y analtico, con nfasis en el anlisis de las grficas, se consideraron tanto para el diseo como en la implementacin de la secuencia aspectos constructivistas como son: partir del nivel de desarrollo del alumno, posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por si solos y procurar que los alumnos modifiquen sus esquemas de conocimiento; teniendo en cuenta adems, que en la perspectiva constructivista, es la actividad del sujeto lo que resulta primordial; no hay objeto de enseanza sino objeto de aprendizaje (Moreno, 1992). La secuencia didctica consta de seis actividades diseadas mediante preguntas que permitan al alumno conjeturar ideas relacionadas con el concepto de funcin valor absoluto. La esencia para la realizacin de dicha secuencia fue el anlisis de las rectas y = x c y y = ( x c ) y la interseccin de las mismas. Dichos anlisis se hace con el apoyo del software graphmatica, que permiti visualizar el comportamiento de las grficas de las funciones, se consider el uso del mismo, sabiendo que la tecnologa es un medio entre el estudiante y desarrollo de pensamientos matemticos y tiene la capacidad de ofrecernos medios alternativos de expresin matemtica (Moreno, 1992). En la implementacin de la secuencia didctica intervinieron tres aspectos: la puesta en escena de la secuencia, los estudiantes que participaron en la misma y la dinmica que se utiliz para llevar a efecto la secuencia. A continuacin se explica en que consisti cada uno de estos elementos. La puesta en escena de la secuencia tuvo lugar en la ciudad de Mrida, en las instalaciones de la Facultad de Matemticas de la Universidad Autnoma de Yucatn, en una sala de cmputo, equipada con computadoras para cada alumno y una para el profesor, 2 videocmaras, videoproyector, aire acondicionado, etc. Participaron seis estudiantes los cules eran recin egresados de bachillerato y admitidos a la Facultad de Matemticas para cursar las carreras de Licenciatura en Enseanza de las Matemticas, Actuara y Ciencias de la Computacin, stos conformaron dos equipos de trabajo, uno de ellos era aquellos estudiantes que en el test precurso no respondieron correctamente ninguna cuestin del apartado correspondiente a la funcin valor absoluto y que al entrevistarnos decan no haberlo abordado en el bachillerato, los otros tres estudiantes, reconocan haberlo visto en bachillerato, y que al entrevistarlos a pesar de haber respondido correctamente al menos dos reactivos no supieron dar una justificacin aceptable al porqu de su respuesta. La secuencia didctica se abord mediante un taller con duracin de 4 sesiones de una hora treinta minutos cada una, en cada sesin del mismo, los estudiantes fueron quienes trabajaron la mayor parte del tiempo, la resolucin de cada actividad constaba de dos etapas, en la17


primera los estudiantes la abordaban individualmente y en la segunda en equipo. A cada estudiante se le proporcion hojas de trabajo que corresponden a las actividades de que consta la secuencia, los estudiantes respondieron a los cuestionamientos que se les haca en cada actividad apoyndose en el software graficador, posteriormente se trabaj la actividad en equipo, se les pidi que discutan sus resultados de cada actividad y llegaron a una conclusin plasmando sus resultados en una hoja de trabajo por equipo. Despus de la resolucin individual y la discusin en equipo, se llev a cabo la discusin del desarrollo de la misma con todo el grupo integrando los resultados para despus formalizar la idea o concepto objeto de estudio. Despus de cierto nmero de actividades, se le propondr al alumno otra en la cul deber generalizar la definicin de valor absoluto funciones de la forma y = x c donde c es un nmero real cualquiera, esta actividad con el propsito de llevarlos al desequilibrio, posteriormente se les proporciona una actividad en la que pueden confrontar las respuestas dadas en la actividad anterior, as como ver diferentes casos que le permitan la acomodacin y finalmente se les pide generalizar, no slo a funciones de la forma y = x c sino y = ax c cuando a 1 . Una vez concluido el taller, se les aplic una prueba denominada test postcurso el cual tena como propsito evaluar el avance de los estudiantes despus de cursar el taller, as como valorar el impacto de la secuencia didctica con enfoque constructivista.

Resultados

Los resultados del test postcurso muestran que hubo una mejora del 95 % respecto a los resultados obtenidos en el test precurso en lo que respecta al concepto de funcin valor absoluto, sin embargo, esto no es suficiente para dar una conclusin, por lo cual, una vez efectuada la puesta en escena, se procedi al anlisis de los datos: las actividades efectuadas por los estudiantes, los videos, grabaciones y notas. Para dar lectura a los datos se acudi al anlisis a priori, para tratar lo hipottico, y al anlisis a posteriori, para tratar lo que realmente hicieron los estudiantes, y finalmente se confrontaron ambos anlisis. Como ejemplo, mostraremos las respuestas de uno de los estudiantes en donde se muestra su avance al resolver cada una de las actividades:Actividad 1 Actividad 2

Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5 Despus de analizar diversos casos particulares correctamente, no da respuesta alguna. Sin embargo como equipo responden correctamente:

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Actividad 6

Al igual que en el ejemplo anterior, la investigacin muestra gran avance en cada uno de los estudiantes, tanto para los que no haban abordado dicho concepto en bachillerato como los que si reconocan haberlo abordado y recordaban la definicin. Como lo seala la teora de Asimilacin de Ausubel, el alumno aprende significativamente cuando es capaz de relacionar las nuevas ideas con algn aspecto esencial de su estructura cognitiva, al respecto, nos pudimos percatar, que varios de los problemas presentados por los alumnos, son debidos a la falta de comprensin del concepto de funcin, lo cual no se consider como requisito en el test precurso, pero que consideramos es de suma importancia para comprender el caso particular de la funcin valor absoluto. Se pudo observar que hubo aprendizaje significativo por parte del alumno, pues aunque al final de la actividad an presenta algunas dificultades para definir la funcin, al interactuar con el software y las grficas de las funciones, el alumno logra atribuir significado a lo que est realizando, pudiendo transitar por ms de un registro de representacin del concepto en cuestin, adems de que logra observar las transformaciones que sufre la funcin f ( x ) = x cuando es afectado por un parmetro, en este caso c, esto es, al considerar f ( x ) = x c . Nos pudimos percatar que las respuestas dadas por el alumno al resolver la actividad individualmente, varan notablemente respecto a las presentadas despus de discutir con sus compaeros, el desarrollo alcanzado por el alumno individualmente, lo que cada alumno fue capaz hacer solo, puede compararse con el desarrollo potencial del mismo, observando que aquello que no fue capaz de hacer por si mismo, le fue posible hacerlo con ayuda de sus compaeros, lo cual mostr su desarrollo potencial. En general, podemos decir que se logr que los alumnos discutan, reflexionen, conjeturen, as como convenir en una respuesta, muestran cierto progreso a medida que se van enfrentando a las actividades, logran generalizar la definicin para cualquier valor real, recurren a las grficas antes de dar una respuesta, lo cual muestra que se logr cierto avance respecto a que no sea lo algebraico quien domine. Sin embargo, los alumnos siguen presentando problemas que aparentemente son de notacin pero que se deben entre otras cosas a problemas ms importantes como son los debidos al dominio del concepto de funcin, a pesar de dar respuestas correctas, sus argumentaciones muestran que es necesario hacer un anlisis ms profundo de los factores que lo llevan a cometer los errores, no slo en el concepto de funcin sino en otros conceptos propios del Clculo, adems de que al hacer la confrontacin entre el anlisis a priori y el a posteriori, concluimos entre otras cosas que la secuencia debe ser rediseada en base a un anlisis de los factores que influyen en los estudiantes y los llevan a cometer esos errores conceptuales, pero que en s, las secuencias didcticas sin son una herramienta til, tanto para profesores como para estudiantes en lo referente al logro de aprendizajes significativos y a la construccin del conocimiento por parte de los estudiantes.

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Referencias bibliogrficas Aparicio, E., vila, E. (2006). Un estudio de las dificultades que presentan estudiantes en el rea de clculo. En Memorias del V Encuentro de Investigacin Educativa. Mrida, Yucatn, Mxico. Cantoral, R., Farfn, R., Cordero, F., Alans J., Rodrguez, R. y Garza, A. (2000). Desarrollo del pensamiento matemtico. Mxico: Trillas. Cantoral, R., Montiel, G. (2001). Funciones: Visualizacin y Pensamiento Matemtico. Mxico: Prentice-Hall. Moreno, L. (1992). Fundamentacin cognitiva del currculo de matemticas. Madrid, Espaa: Sntesis.

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DESARROLLO DE LA DIMENSIN EMOCIONAL Y CAMBIO EN EL AUTOCONCEPTO MATEMTICO A TRAVS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS Jos Daniel Martnez Gonzlez [email protected] de investigacin: factores afectivos. Nivel educativo: bsico Palabras clave: dominio afectivo, resolucin de problemas, auto-concepto y rendimiento matemtico

Resumen Esta investigacin tiene como inters central dilucidar si alumnos de secundaria pueden lograr, mediante el trabajo en un taller extracurricular de resolucin de problemas, competencias emocionales como la toma de conciencia y control de sus emociones, que les permita cambiar de manera positiva su auto-concepto matemtico. La informacin obtenida del trabajo experimental an se encuentra en proceso de anlisis, sin embargo, los resultados preliminares muestran que el gusto y el nivel de auto-confianza como descriptores del auto-concepto matemtico son buenos predictores del rendimiento matemtico.

Introduccin

Este documento muestra el anlisis de los resultados de la aplicacin del primer instrumento metodolgico en la investigacin que se lleva a cabo con estudiantes de tercer grado de educacin media bsica. El estudio se realiza en el marco de un taller extracurricular de resolucin de problemas, y pretende afirmar que los sujetos que logran desarrollar competencias emocionales como la autoconciencia y el autocontrol de sus emociones; cambian de manera positiva su auto-concepto matemtico. Las preguntas de investigacin son las siguientes: Qu reas de competencia emocional desarrollan los estudiantes a travs del trabajo en el club de resolucin de problemas? El desarrollo de competencias emocionales genera en los estudiantes cambios significativos acerca de su auto-concepto como resolutores de problemas y como estudiantes de matemticas?

Marco Terico

En la resolucin de problemas interviene una gama de aspectos cognitivos y metacognitivos. Estos aspectos son los ms estudiados en el mbito de la investigacin en Matemtica Educativa, pero no son los nicos susceptibles de estudio; se estn dejando de lado los aspectos afectivos. Posiblemente esto se deba a la idea de que las matemticas son algo puramente intelectual, donde el comportamiento relativo a las emociones no juega un papel esencial (Gmez-Chacn, 2003). En los procesos metacognitivos que se desarrollan para resolver un problema, un estudiante resiste ciertas emociones. Entonces, los aspectos afectivos y en particular las emociones juegan un papel esencial en la resolucin de un problema, sin embargo, poco se han estudiado de manera sistemtica aspectos sicolgicos que relacionan a las matemticas con los alumnos como las actitudes, las creencias, las emociones, los valores, el estilo atribucional, apreciaciones, gustos, preferencias, sentimientos, temperamento y estilo de aprendizaje (Snchez, 2005).

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El desarrollo del meta-afecto, como la toma de conciencia que el sujeto hace de sus propias emociones (observar, identificar y nombrar emociones), constituye la habilidad fundamental que da paso al control, la organizacin y utilizacin inteligente de esos impulsos (GmezChacn, 2003). La adquisicin de estas competencias (desarrollo de la dimensin emocional) le permitir al sujeto superar los bloqueos cognitivos en la resolucin de un problema que le provocan reacciones emocionales desfavorables (interaccin afecto-cognicin). Por otra parte, las creencias relacionadas con el auto-concepto, la auto-confianza y el gusto son una de las componentes de conocimiento subjetivo implcito del individuo (basado en la experiencia) sobre las matemticas y su enseanza y aprendizaje, tienen una fuerte estabilidad y estn compuestas por elementos afectivos, evaluativos y sociales. Estas creencias en relacin con las matemticas tienen una marcada componente afectiva en los estudiantes y se consideran un predictor del rendimiento matemtico (Bermejo, 1996; Gmez-Chacn, 1997). As, el entrenamiento en la resolucin de problemas que pone atencin en los aspectos afectivos y en la interaccin afecto-cognicin, puede constituirse como un plan emergente con el propsito de elevar el nivel de auto-concepto matemtico de los estudiantes. En cuanto a la relacin entre la dimensin afectiva y emocional y la influencia que sta ejerce en el aprendizaje de las matemticas, fundamentalmente en la resolucin de problemas, Guerrero y Blanco (Blanco, Gil & Guerrero, 2005) han diseado un programa psicopedaggico para la intervencin en los trastornos emocionales en la enseanza y aprendizaje de las matemticas, inspirado en el modelo de resolucin de problemas de Polya (2000), partiendo de la hiptesis de que las creencias, las actitudes, los pensamientos y las emociones explican una gran parte del resultado y rendimiento en matemticas, siendo sus principales objetivos resolver problemas de matemticas, adiestrar al alumno en el afrontamiento de situaciones de ansiedad y manejar emociones. A partir de esta revisin, considero que tanto los aspectos afectivos como los cognitivos y sobre todo, la regulacin de la interaccin de ambos, son factores de xito en el desempeo escolar en matemticas. Adems, el desarrollo de la dimensin emocional de los alumnos influye en su sistema de creencias. A la vez, stas inciden directamente en el autoconcepto que los alumnos tienen como resolutores de problemas y como estudiantes de matemticas. La investigacin se llevar a cabo a partir de esta perspectiva terica.

Aspectos metodolgicos

La investigacin se llev a cabo con 10 estudiantes de 3er grado (14-15 aos) del turno vespertino de una secundaria tcnica (educacin media bsica) en el estado de Jalisco, Mxico. Tuvo una duracin de 12 sesiones de dos horas cada una. Se realiz en el marco de un taller extracurricular de resolucin de problemas, en el que los alumnos asistieron tres veces por semana antes de su entrada normal a clases. La metodologa es de corte cualitativo. Los instrumentos utilizados fueron: cuestionario inicial; entrevista y observacin participante durante el trabajo experimental y cuestionario final, tal como se muestra en el siguiente esquema:Observacin participante y DURANTE ELTRABAJO EXPERIMENTAL 12 Sesiones de enseanza ENTREVISTA ENTREVISTA ENTREVISTA Sesin 3 Sesin 6 Sesin 10

CUESTIONARIO INICIAL

CUESTIONARIO FINAL

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Cuestionario inicial. Permiti medir el nivel de Auto-concepto matemtico de los alumnos antes del trabajo experimental. Se aplic a un grupo de 27 estudiantes de 3er grado de secundaria, con el propsito primordial de seleccionar a 10 sujetos susceptibles de estudio. Esta seleccin se hizo a travs de la categorizacin de los sujetos segn la relacin: Autoconcepto Matemtico (ACM) Rendimiento Matemtico (RM). Esta categorizacin ACM RM es posible de la siguiente manera; en cuanto al auto-concepto matemtico que tienen los sujetos, el cuestionario permiti catalogarlos en uno de los niveles bajo, regular y alto. As mismo, los estudiantes se catalogaron de acuerdo a los promedios de calificacin en matemticas como altos, regulares o bajos en el nivel de rendimiento matemtico. As, considerando el binomio ACM RM, los sujetos se ubicaron en una de las siguientes categoras: BB, BR, BA, RB, RR, RA, AB, AR y AA. (p. ej. BA significa que el estudiante result Bajo en ACM y Alto en RM ) Este cuestionario se bas en la Escala Actitudes hacia las Matemticas y Matemticas y Matemticas Enseadas con Computadora (AMMEC), que Ursini et al. (2004) elabor y valid para la identificacin de gnero y actitudes hacia las matemticas enseadas con computadora. Esta escala se divide en sub-escalas, de las cuales se tomaron dos para formar el Cuestionario ACM; una referida al Gusto por las matemticas, que consta de 11 preguntas y otra, de 6 preguntas, relacionadas a la Auto-confianza y auto-eficacia en matemticas. Entrevista. Los diez sujetos seleccionados fueron entrevistados y video-grabados en tres ocasiones a lo largo del trabajo experimental, en la tercera, la sexta y la dcima sesiones. Las entrevistas tuvieron una doble funcionalidad: como recolector de datos identificando, constatando y especificando los cambios y la evolucin de los procesos meta-afectivos desarrollados por los sujetos; y como parte del mismo proceso de autoconciencia y utilizacin de las emociones a travs de la reconstruccin de los procesos de solucin. De manera cualitativa, las entrevistas complementaron la instruccin afectiva en el taller. Las entrevistas se basaron en la reconstruccin del proceso de solucin de los problemas, considerando los cambios cognitivos aparentes para identificar a travs de ellos las reacciones emocionales del sujeto. Observaciones. La triangulacin de observaciones durante las sesiones de enseanza signific otro instrumento que permiti interpretar cualitativamente los resultados de las entrevistas y del cuestionario. Cuestionario Final. En la sesin final se aplic nuevamente el Cuestionario ACM con el propsito de contrastar los resultados respecto del Auto-concepto matemtico de los sujetos antes y despus del trabajo experimental.

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Anlisis de resultados

A continuacin se muestra la categorizacin Auto-concepto Matemtico (ACM) Rendimiento Matemtico (RM) de los 27 estudiantes a partir de la aplicacin inicial del cuestionario ACM:CATEGORA ACM SUJETO G AA T K L J O Q U P C H V R I Z B S A F E N Y M X W D ACM A A A A A A A R A R A R R R R R R B R B B B B R B B B RM RM R A A A A A R A R A R R R A R R R A B A R R R B A B B AR AA AA AA AA AA AR RA AR RA AR RR RR RA RR RR RR BA RB BA BR BR BR RB BA BB BB

La tabla anterior permite ver que 10 alumnos (casi 2 de cada 5) se ubican entre las primeras cuatro categoras ACM RM: BB, BR, BA y RB. En las categoras RR, RA, AR y AA, que en general pueden considerarse de regulares a altas, se ubican los dems sujetos. En cada categora RR, RA y AA se ubican 4 sujetos y ningn estudiante aparece en la categora AB. A partir de la aplicacin del cuestionario, se seleccionaron los diez alumnos ubicados en las categoras BB, BR, BA y RB, los cuales se presentan en la tabla de abajo, indicando la categora ACM RM, y el resultado de cada sub-escala.SUJETO W-JORGE D-BRUNO E-IVN N-EDGAR Y-ROSARIO F-RAQUEL S-JOSUE X-ANDREA M-NGELA A-JESSICA ACM RM BB BB BR BR BR BA BA BA RB RB ACM B B B B B B B B R R GUSTO B B R R B B R B R R AUTO CONFIANZA B B B B R R B B R R

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La categora BB, se eligi por que rene los niveles ms bajos en ambos aspectos. BR, BA y RB, se eligieron precisamente por la contrariedad que suponen los niveles en ambos aspectos. Se dejaron de lado AA y RR porque aunque con el cuestionario final podra verificarse un aumento o disminucin en el nivel de Auto-concepto matemtico, el hecho de que en casi todos los casos, las sub-escalas se correspondan con el rendimiento matemtico (p. ej. AA result A en las dos sub-escalas), nos remite a la idea original de que el gusto y el nivel de auto-confianza en matemticas son buenos predictores del rendimiento matemtico. Por ltimo, RA y AR no se estudiaron porque, aunque no siempre se corresponden las subescalas en el nivel de auto-concepto, y no obstante que ste tampoco se corresponde con el nivel de rendimiento matemtico, lo cierto es que los sujetos de esas categoras, se ubicaron cerca de los lmites de las categoras RR o AA en ambos casos.

Referencias bibliogrficas Bermejo V., (1996). Ensear a comprender las matemticas. En J. Beltrn y C. Genovard (Eds.), Psicologa de la Instruccin 1. Madrid: Sntesis. 256279. Blanco, L. J. & Gil, N. & Guerrero, E. (2005). El dominio afectivo en el aprendizaje de las Matemticas. Una revisin de sus descriptores bsicos. Unin, Revista Iberoamericana de Educacin Matemtica, Junio, 2, 1532. Gmez-Chacn I. (1997). Procesos de aprendizaje en Matemticas con poblaciones de fracaso escolar en contextos de exclusin social. Las influencias afectivas en el conocimiento de las Matemticas. Tesis Doctoral sin publicar, Universidad Complutense de Madrid, Espaa. Gmez-Chacn I. (2003). La tarea intelectual en matemticas. Afecto, meta-afecto y los sistemas de creencias. Boletn de la Asociacin Matemtica Venezolana, X (2), 225247. Polya G. (2000). Cmo plantear y resolver problemas. Vigsimo cuarta reimpresin de la primera edicin en espaol (1965). Traduccin al espaol a cargo de Julin Zagazagoitia, Editorial Trillas, Mxico, de la segunda edicin en ingls: How to solve it publicado por Achor Books, USA. Snchez, J. (2005). Estilo atribucional en el xito de la comprensin de conceptos matemticos: un estudio longitudinal en estudiantes de la carrera de Psicologa. Tesis Doctoral sin publicar. Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del IPN, Mxico. Orendain M., Snchez, G. & Ursini, S. (2004). Validacin y confiabilidad de una escala de Actitudes hacia las Matemticas y hacia las matemticas Enseadas con Computadora. Educacin Matemtica, Diciembre, vol. 16, nm. 3, 5978.

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LA ENSEANZA DE LA FUNCIN CUADRTICA EN EL BACHILLERATO. RESULTADOS DE UN PROYECTO DE DESARROLLO DOCENTE Silvia Elena Ibarra Olmos; Lorena Fernndez Sesma Universidad de Sonora. (Mxico) [email protected]; [email protected] de investigacin: pensamiento algebraico. Nivel educativo: medio Palabras clave: registros de representacin semitica

Resumen Se presenta un reporte sobre el diseo, experimentacin y evaluacin de una secuencia de actividades didcticas para la enseanza de la funcin cuadrtica en el primer ao del bachillerato. Tomando como marco terico los sistemas de representacin semitica de Raymond Duval, las actividades se disearon con el objetivo de promover en los estudiantes los reconocimientos, tratamientos y conversiones del objeto matemtico seleccionado en los registros de representacin grfico, tabular y algebraico, empleando como mediador el lenguaje materno. La puesta en escena se trabaj bajo una estrategia de enseanza que promoviera en el alumno un constante conflicto cognitivo que lo indujera al razonamiento, anlisis y solucin de situaciones problemticas.

Antecedentes

Recientes evaluaciones en el mbito nacional e internacional muestran que la educacin matemtica en nuestro pas no est alcanzando sus metas. Como ejemplo de lo anterior tenemos los resultados publicados por el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE), respecto a la prueba de matemticas aplicada el 2004 en secundaria. Se encontr que un 51.1% de los alumnos no alcanzan a dominar satisfactoriamente los conocimientos y habilidades bsicos que establecen los programas oficiales (Velasco 2006). Para dicha prueba, se definieron seis habilidades medibles relacionadas con la resolucin de problemas: operar, medir, comunicar, imaginar, generalizar e inferir. La prueba fue de opcin mltiple, y se aplic un mismo examen a los tres grados de secundaria, ya que expertos del INEE consideraron que en los tres grados se imparten aspectos comunes de la disciplina (Martnez, 2004). En otra publicacin del INEE, respecto a los resultados del Programa para la Evaluacin Internacional de Estudiantes (PISA, por sus siglas en ingls) , aplicada el ao 2003 a estudiantes de 15 aos en 41 pases, se encontr que Mxico ocup el lugar nmero 35 en la evaluacin de matemticas (Martnez, 2003). En vista de lo anterior, consideramos que es necesario que se convierta en meta de investigacin en matemtica educativa la bsqueda de alternativas de enseanza que propicien que nuestros estudiantes alcancen aprendizajes significativos, adems de romper con los viejos paradigmas que sealan a la matemtica como la disciplina ms difcil y atemorizante que se ensea en las escuelas. Por otro lado, consideramos que el desarrollo que Matemtica Educativa tiene en el mundo, y particularmente en Mxico, nos permite encontrar resultados potentes y atractivos, susceptibles de enriquecer el trabajo docente, como es el caso de la teora de las representaciones semiticas. Ubicando esta situacin en el nivel educativo en el cual desarrollamos nuestra actividad profesional, decidimos desarrollar una propuesta de desarrollo docente que ofreciera una alternativa de enseanza para la clase de matemticas en el bachillerato. El objeto matemtico

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seleccionado fue el de las funciones cuadrticas, escogido por diversas razones; entre ellas est el de su amplia utilizacin en otras ramas del conocimiento.Marco terico

Establecemos que las estrategias de enseanza para las matemticas deben estar diseadas con el propsito de promover en el estudiante un constante conflicto cognitivo que lo induzca al razonamiento, anlisis y reflexin de situaciones, as como a la bsqueda y aplicacin de estrategias que lo ayuden a solucionar situaciones problemticas. La capacidad de tomar decisiones propias por parte del estudiante, y saber interpretar correctamente el significado de las soluciones obtenidas, debe ser otro objetivo en el diseo de estrategias de enseanza. Segn las teoras de Raymond Duval (Duval, 1993), para cada objeto es posible definir distintos sistemas de signos y reglas que lo simbolizan y facilitan su comprensin y aprendizaje. Dichos sistemas se constituyen como representaciones semiticas del objeto, donde un conjunto de signos se identifican las como unidades significantes del sistema, mientras que las reglas que lo rigen ordenan las asociaciones entre que pueden realizarse los signos. Sin embargo, Duval puntualiza que no se debe confundir el objeto con sus representaciones, ya que esto a la larga puede convertirse en un obstculo cognitivo para quienes lo estudian. Por el contrario, el saber diferenciar entre el objeto y sus representaciones se constituye como un punto estratgico para el aprendizaje, ya que las representaciones son necesarias tanto para fines de comunicacin de los objetos, como para la actividad cognitiva del pensamiento que lleva a la compresin de los mismos. Es decir, los procesos de la Semiosis (aprehensin o produccin de una representacin semitica) y de la Noesis (aprehensin o construccin conceptual de un objeto) son inseparables. Por otro lado, toda representacin semitica es parcialmente cognitiva respecto a lo que representa, por lo que la coordinacin de varios registros de representacin resulta fundamental para una asimilacin conceptual d

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