Embed Size (px)
Citation preview
Educación secundaria para persoas adultas
Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial
Módulo 3 Unidade didáctica 2 Xeometría
Páxina 2 de 59
Índice
1. Introdución ................................................................................................................. 3
1.1 Descrición da unidade didáctica ...................................................................................... 3 1.2 Coñecementos previos .................................................................................................... 3 1.3 Criterios de avaliación ..................................................................................................... 3
2. Secuencia de contidos e actividades ...................................................................... 4
2.1 Teorema de Pitágoras ..................................................................................................... 4 2.2 Xeometría no plano ......................................................................................................... 5
2.2.1 Perímetros e áreas de polígonos ....................................................................................................................... 5 2.2.2 Lonxitude e área de figuras circulares ............................................................................................................... 8 2.2.3 Perímetros e áreas de figuras planas en xeral ................................................................................................. 10
2.3 Xeometría do espazo .................................................................................................... 11 2.3.1 Poliedros regulares .......................................................................................................................................... 12 2.3.2 Prismas ............................................................................................................................................................ 14 2.3.3 Pirámides ......................................................................................................................................................... 17 2.3.4 Corpos de revolución ....................................................................................................................................... 22
2.4 Teorema de Tales. Aplicacións ..................................................................................... 29 2.4.1 Teorema de Tales ............................................................................................................................................ 29 2.4.2 Relación entre áreas e volumes de figuras semellantes .................................................................................. 34 2.4.3 Mapas e escalas .............................................................................................................................................. 36
2.5 Coordenadas xeográficas. Lonxitude e latitude ............................................................ 37 2.5.1 Coordenadas xeográficas ................................................................................................................................ 37 2.5.2 Lonxitude e latitude .......................................................................................................................................... 38 2.5.3 Fusos horarios .................................................................................................................................................. 38
3. Actividades finais .................................................................................................... 40
4. Solucionario ............................................................................................................. 48
4.1 Solucións das actividades propostas ............................................................................ 48 4.2 Solucións das actividades finais .................................................................................... 52
5. Glosario .................................................................................................................... 56
6. Bibliografía e recursos ........................................................................................... 58
7. Anexo. Licenza de recursos ................................................................................... 59
Páxina 3 de 59
1. Introdución
1.1 Descrición da unidade didáctica Nesta unidade veremos como calcular os perímetros e as áreas de todos os
polígonos e figuras circulares planas tanto illadas como mesturadas unhas coas
outras. Estudaremos tamén as áreas e volumes de figuras tridimensionais (poliedros,
prismas, pirámides e corpos de revolución).
Seguiremos co teorema de Tales e as súas aplicacións para o cálculo indirecto de
lonxitudes e superficies e nos planos e escalas.
Finalizaremos a unidade co estudo das coordenadas xeográficas.
1.2 Coñecementos previos Para traballar con esta unidade é necesario recordar os conceptos xeométricos
estudados nos módulos anteriores, en especial:
A clasificación, elementos e características das figuras planas.
A clasificación, nomenclatura, elementos e características dos poliedros e figuras
de revolución.
Os conceptos de figuras semellantes, razón de semellanza e escala.
O teorema de Pitágoras
A resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita.
A resolución de sistemas de ecuacións lineais.
1.3 Criterios de avaliación Recoñecer e describir os elementos e as propiedades características das figuras
planas, os corpos xeométricos elementais e as súas configuracións xeométricas,
incluíndo o cálculo de lonxitudes, áreas e volumes.
Utilizar o teorema de Tales e as fórmulas usuais para realizar medidas indirectas
de elementos inaccesibles e para obter medidas de lonxitudes de exemplos
tomados da vida real.
Interpretar o sentido das coordenadas xeográficas e a súa aplicación na
localización de puntos.
Páxina 4 de 59
2. Secuencia de contidos e actividades
2.1 Teorema de Pitágoras
Aínda que o teorema de Pitágoras non é un contido desta unidade, incluímolo aquí
debido á importancia que vai ter a utilización deste teorema na resolución das
actividades.
Nun triángulo rectángulo o lado de maior lonxitude chámase hipotenusa, e os outros
dous, de menor lonxitude e perpendiculares entre si, catetos. En xeral chamaremos a
á hipotenusa e b e c aos catetos.
O teorema de Pitágoras afirma o seguinte: a2 = b2 + c2. Isto quere dicir que a área
dun cadrado construído sobre a hipotenusa é igual ás áreas dos cadrados construídos
sobre os catetos. Esta relación é certa só se o triángulo é rectángulo.
INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividade resolta
Determine se o seguinte triángulo é un triángulo rectángulo ou non o é.
Si é rectángulo, xa que:
52 = 42 + 32
25 = 25
5 m 4m
3 m
Páxina 5 de 59
2.2 Xeometría no plano
2.2.1 Perímetros e áreas de polígonos
Xa vimos no módulo I a definición de polígono, a súa clasificación así como a forma
de calcular a súa área e o seu perímetro. Na seguinte táboa temos un resumo de todo
isto.
Nome Figura Perímetro Área
Triángulo
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝑨 =𝒃 · 𝒉𝟐
Cadrado
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔= 𝟒 ∙ 𝒍 𝑨 = 𝒍 · 𝒍
Rectángulo
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔= 𝟐𝒃 + 𝟐𝒉 𝑨 = 𝒃 · 𝒉
Romboide
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝑨 = 𝒃 · 𝒉
Rombo
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 = = 𝟒 ∙ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍 𝒅𝒍 𝒍𝒔𝒅𝒍 𝑨 =
𝑫 · 𝒅𝟐
Trapecio
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝑨 =(𝑩 + 𝒃) · 𝒉
𝟐
Polígonos regulares
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 = = 𝒍ú𝒔𝒍𝒎𝒍 𝒅𝒍 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 ∙ 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍 𝒅𝒍 𝒍𝒔𝒅𝒍 𝑨 =
𝑷 · 𝒔𝟐
Polígonos irregulares
𝑷 = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔 𝒅𝒍𝒔 𝒍𝒔𝒅𝒍𝒔
Descompoñémolos en calquera das figuras
anteriores, xeralmente triángulos, e sumamos as áreas de cada un
deles.
Páxina 6 de 59
Actividades resoltas
Calcule a área e o perímetro da seguinte figura:
Á𝑟𝑟𝑟 = 𝑏𝑟𝑏𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = 7 ∙ 3 = 21 𝑚2
𝑃𝑟𝑟í𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚 = 𝑏𝑎𝑚𝑟 𝑑𝑟 𝑎𝑚𝑏 𝑎𝑟𝑑𝑚𝑏 = = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 7 = 10 + 14 = 24 𝑚
Calcule a área da seguinte figura:
A área do triángulo da esquerda é:
𝐴1 =3 · 6
2 = 9 𝑚2
A área do triángulo da dereita é:
𝐴2 =5 · 6
2 = 15 𝑚2
A área total é:
𝐴𝑇 = 9 + 15 = 24 𝑚2
Calcule a área e o perímetro dun hexágono regular de 6 metros de lado.
O perímetro é:
𝑃 = 6 ∙ 6 = 36 𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚𝑏
A área é:
𝐴 =𝑃𝑟𝑟í𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚 · 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟
2
Para o cálculo da apotema (que chamaremos a) precisamos aplicar o teorema de Pitágoras a este caso e temos que:
62 = 32 + 𝑟2 ⇒ 36 − 9 = 𝑟2 ⇒ 𝑟 = √27 = 5,196 𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚𝑏
Así, a área é
𝐴 =36 · 5,196
2 = 93,528 𝑚2
7 metros
3 metros 5 metros
6 metros
3 metros
5 metros
6 metros
6 me-tros
3 metros
Páxina 7 de 59
Actividades propostas
S1. As diagonais dun rombo miden 15 cm e 22 cm. Calcule a súa área.
S2. Calcule a área e o perímetro dun triángulo rectángulo e isósceles de cateto 10m.
S3. O perímetro dun triángulo isósceles mide 60 cm e o lado desigual 15 cm. Canto
miden cada un dos outros lados?
S4. Un atleta adestra nunha pista rectangular de 42 m de longo por 18 m de largo.
Cantos metros levará percorrido cando teña dadas 20 voltas á pista?
S5. Calcule a área dos seguintes polígonos regulares utilizando a fórmula axeitada.
S6. Calcule a área da seguinte figura por descomposición en figuras simples.
Observe que para obter as medidas que faltan debe sumar ou restar algunhas
das medidas que se indican.
S7. Calcule a área da parte coloreada da seguinte figura.
18 m
54 m
Páxina 8 de 59
2.2.2 Lonxitude e área de figuras circulares
Xa vimos no módulo I outras figuras planas como o círculo e as formas que derivan
del. Tamén vimos a forma de calcular a súa área e o seu perímetro. Na seguinte
táboa temos un resumo de todo isto.
Nome Figura Perímetro Área
Círculo
𝑷 = 𝟐𝟐𝒎 𝑨 = 𝟐 · 𝒎𝟐
Sector circular
𝑷 = 𝟐𝒎 + 𝟐𝟐𝒎 ·𝒔𝟑𝟑𝟑 𝑨 = 𝟐𝒎𝟐 ·
𝒔𝟑𝟑𝟑
Segmento circular
𝑷 = 𝑨𝑩 + 𝟐𝟐𝒎 ·𝒔𝟑𝟑𝟑 𝑨 = 𝑨𝒔𝒍𝒔𝒍𝒍𝒎 𝒔𝒍𝒎𝒔𝒍𝒔𝒎 − 𝑨𝒍𝒎𝒍á𝒍𝒏𝒔𝒍𝒍 𝑶𝑨𝑩
Coroa circular
𝑷 = 𝟐𝟐(𝑹 + 𝒎) 𝑨 = 𝟐�𝑹𝟐 − 𝒎𝟐�
Trapecio circular
𝑷 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍 𝒔𝒎𝒔𝒍 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒎𝒍𝒍𝒎
+
+𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒔𝒅𝒍 𝒔𝒎𝒔𝒍 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒎𝒍𝒍𝒎 + +𝟐 ∙ (𝑹 − 𝒎)
º360)( 22
.rRxxnA
o
circtrapecio−
=p
Actividades resoltas
Calcule a lonxitude do arco dunha circunferencia de raio 8 metros e que abarca un
ángulo de 72º.
O arco dunha circunferencia ten por lonxitude 𝑳 = 𝟐𝟐𝒎 · 𝒔𝟑𝟑𝟑
, sendo r o raio da circunferencia e a a amplitude do ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, 𝑟 = 8 metros e 𝑟 = 72ᵒ, temos que:
𝑳 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟖 · 𝟕𝟐𝟑𝟑𝟑
= 𝟏𝟑,𝟑𝟎 metros
A lonxitude do arco dunha circunferencia de raio 10 cm é de 12 cm. Calcule o ángulo
que abarca o dito arco.
Aplicamos a expresión da actividade anterior L = 2πr · a360
, sendo r o raio da circunferencia e a a amplitude do ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, r = 10 cm e L = 12 cm, temos que:
12 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 10 ·𝑟
360⇒
12 ∙ 3602 ∙ 𝜋 ∙ 10
= 𝑟 ⇒ 𝑟 = 68,75ᵒ
R
r nº
Páxina 9 de 59
Calcule a área do sector circular dunha circunferencia de raio 8 metros e que abarca
un ángulo de 72º.
A área dun sector circular é 𝑨 = 𝟐𝒎𝟐 · 𝒔
𝟑𝟑𝟑, sendo r o raio da circunferencia e a a
amplitude do ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, 𝑟 = 8 metros e 𝑟 = 72ᵒ, temos que:
𝑨 = 𝟐 ∙ 𝟖𝟐 · 𝟕𝟐𝟑𝟑𝟑
= 𝟒𝟑,𝟐𝟏 m2
Dada a seguinte figura, calcule a área da rexión sombreada sabendo que a lonxitude
da corda é de 12,94 metros.
A área dun segmento circular é 𝑨 = 𝑨𝒔𝒍𝒔𝒍𝒍𝒎 𝒔𝒍𝒎𝒔𝒍𝒔𝒎 − 𝑨𝒍𝒎𝒍á𝒍𝒏𝒔𝒍𝒍 . A área do sector circular é 𝑨 = 𝟐𝒎𝟐 · 𝒔
𝟑𝟑𝟑 sendo r o raio da circunferencia e a
a amplitude do ángulo que abarca o arco. Polo tanto, como neste caso, 𝑟 = 8 metros e 𝑟 = 108ᵒ, temos que:
𝑨 = 𝟐 ∙ 𝟖𝟐 · 𝟏𝟑𝟖𝟑𝟑𝟑
= 𝟑𝟑,𝟑𝟐 m2
Para calcular a área do triángulo temos que calcular a súa altura para o que utilizaremos o teorema de Pitágoras. Así, a altura é:
𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟2 = 82 − 6,472 ⇒ 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = 4,71 metros Así a área do triángulo é:
𝐴𝑡𝑡𝑡á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 12,94∙4,712
= 30,47 metros A área da zona sombreada é 60,32 − 30,47 = 29,85 m2
Actividades propostas
S8. Calcule o perímetro dos seguintes sectores circulares cos datos que se indican:
𝑟 = 45ᵒ 𝑟 = 8 𝑐𝑚
𝑟 = 105ᵒ 𝑟 = 10 𝑚
S9. Calcule a área dos sectores circulares da actividade anterior.
S10. Se a área dun sector circular correspondente a un círculo de 10 cm de raio é de
62,83 cm2, cal é a amplitude do ángulo?
S11. Calcule o perímetro e a área dos seguintes segmentos circulares cos datos que
se indican:
𝑟 = 45ᵒ 𝑟 = 8 𝑐𝑚 𝐴𝐴���� = 6,12 𝑐𝑚
𝑟 = 105ᵒ 𝑟 = 10 𝑚 𝐴𝐴���� = 15,87 𝑚
8 m. 108º
8 m.
72º
Páxina 10 de 59
S12. Calcule o perímetro e a área das seguintes coroas circulares cos datos que se
indican:
𝑅 = 9 𝑐𝑚 𝑟 = 8 𝑐𝑚
𝑅 = 15 𝑚 𝑟 = 10 𝑚
2.2.3 Perímetros e áreas de figuras planas en xeral
Moitas veces non é posible calcular a área dunha figura porque non se corresponde
con ningunha figura elemental das estudadas ata agora. Nese caso cómpre
descompoñela en figuras simples e calcular a área de cada unha por separado.
Vexamos algúns exemplos de descomposición de figuras complexas en figuras
simples:
Outro procedemento consiste en descompor por triangulación a figura dada. Neste
caso a dificultade está en coñecer as medidas de cada triángulo en que se
descompón a figura.
Actividades resoltas
Calcule a área da seguinte figura:
Esta figura está composta por un rectángulo e por media coroa circular.
Área do rectángulo:
Á𝑟𝑟𝑟𝑡𝑟𝑟𝑡á𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 12 ∙ 5 = 60 𝑚2 Área da media coroa circular:
Á𝑟𝑟𝑟𝑚𝑟𝑚𝑡𝑚 𝑟𝑛𝑡𝑛𝑚 =𝜋 ∙ (2,52 − 1,22)
2= 7,56 𝑚2
Así, a área total é: Á𝑟𝑟𝑟𝑡𝑛𝑡𝑚𝑛 = 60 + 7,56 = 67,56 𝑚2
12 m
2,5 m
1,2 m
Páxina 11 de 59
Calcule a área da seguinte figura:
Esta figura está composta por un cadrado e dúas figuras iguais que son dous sectores circulares. Área do cadrado:
Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚𝑡𝑚𝑚𝑛 = 52 = 25 𝑐𝑚2 Área do sector circular:
Á𝑟𝑟𝑟𝑠𝑟𝑟𝑡𝑛𝑡 𝑟𝑡𝑡𝑟𝑛𝑛𝑚𝑡 =𝜋 ∙ 52 ∙ 270
360= 58,9 𝑐𝑚2
Así, a área total é: Á𝑟𝑟𝑟𝑡𝑛𝑡𝑚𝑛 = 25 + 2 ∙ 58,9 = 142,8 𝑐𝑚2
Actividades propostas
S13. Calcule a área das seguintes figuras:
S14. Calcule a área das seguintes figuras:
2.3 Xeometría do espazo Os corpos xeométricos divídense en poliedros (poliedros regulares, prismas e
pirámides) e corpos de revolución (cilindros, esferas e conos).
5 cm
Páxina 12 de 59
Os poliedros son figuras tridimensionais limitadas por varios planos en forma de
polígonos. Os elementos principais dun poliedro son:
Caras: son os polígonos que limitan o poliedro.
Arestas: son os segmentos comúns a dúas caras.
Vértice: é o punto do poliedro onde se xuntan tres ou máis arestas.
O número de caras, vértices e arestas está relacionado mediante a fórmula de Euler.
A fórmula de Euler indica que se cumpre que:
caras + vértices = arestas + 2
2.3.1 Poliedros regulares
Un poliedro regular é aquel cuxas caras son polígonos regulares iguais e en cada un
dos seus vértices converxe o mesmo numero de caras.
Debido a que as súas caras son polígonos regulares e en cada vértice deben coincidir
polo menos tres caras, as caras dos poliedros regulares só poden ser triángulos
equiláteros, cadrados ou pentágonos regulares.
Nome Definición Figura e desenvolvemento plano
Tetraedro Formado por catro caras que son triángulos equiláteros.
Cubo ou hexaedro Formado por seis caras que son cadrados.
Octaedro Formado por oito caras que son triángulos equiláteros.
Dodecaedro Formado por doce caras que son pentágonos regulares.
Icosaedro Formado por vinte caras que son triángulos equiláteros.
Páxina 13 de 59
Áreas dos poliedros regulares. Como se pode ver nos desenvolvementos da táboa
anterior, as caras de cada un deles son iguais, polo que a superficie do poliedro se
calcula multiplicando a superficie dunha cada polo número de caras do poliedro.
Tamén hai outra forma de calcular a superficie dos poliedros regulares en función da
lonxitude da aresta, que chamaremos “a”. Así temos:
Nome Superficie Volume
Tetraedro 𝑟2√3 √2
12 𝑟3
Cubo ou hexaedro 6𝑟2 𝑟3
Octaedro 2𝑟2√3 √2
3 𝑟3
Dodecaedro 3𝑟2�25 + 10√5
15 + 7√54 𝑟3
Icosaedro 5𝑟2√3 5�3 + √5�
12 𝑟3
Actividade proposta
S15. Complete a táboa e comprobe que para os cinco poliedros regulares se cumpre
a fórmula de Euler: caras + vértices = arestas + 2
Nome Caras Vértices Arestas C + V=A + 2
Tetraedro 4 4 6 4+4=6+2
Páxina 14 de 59
2.3.2 Prismas
Un prisma é un poliedro limitado por dous polígonos iguais e paralelos entre si (que
forman as bases) e as caras laterais (que son paralelogramos).
A altura do prisma e a distancia entre as bases.
Un prisma é recto se as caras laterais son perpendiculares ás bases. Neste caso
as caras laterais son rectángulos.
Cando as caras laterais non son perpendiculares ás bases, dise que o prisma é oblicuo.
Un prisma ten tantas caras laterais como lados teñen os polígonos que forman as bases.
Se as bases tamén son paralelogramos, os prismas chámanse paralelepípedos.
Prismas rectos. Teñen nas bases polígonos regulares (prismas regulares)
Prismas oblicuos. As caras laterais non son perpendiculares ás bases
En función de que o tipo de polígono que forma as bases do prisma sexa un triangulo,
un cadrado, un pentágono etcétera, denomínanse prismas triangulares, prismas
cuadrangulares, prismas pentagonais, prismas hexagonais etcétera.
Área ou superficie dun prisma
Para calcular a superficie dun prisma recto podemos razoar a partir do seu
desenvolvemento plano:
Área total = área lateral + 2 · área da base
Área lateral: AL é a suma das áreas das súas caras laterais (área lateral =
perímetro da base · altura (h))
Área da base: é a área do polígono correspondente.
No caso dun prisma oblicuo o cálculo da área é máis complicado e podes velo na
segunda ligazón web do final do tema.
Páxina 15 de 59
Actividade resolta
Calcule a área total do seguinte prisma de lado da base 4 metros, altura 10 metros e
apotema 4,15 metros.
Trátase dun prisma recto heptagonal.
1º Calculamos a área lateral:
𝐴𝒍𝒔𝒍𝒍𝒎𝒔𝒍= perímetro da base · altura =
= (4 m · 7)· 10 cm = 280 m2
2º Calculamos a área da base:
𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 =𝑃𝑟𝑟í𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚 𝑑𝑟 𝑏𝑟𝑏𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟
2 =28 ∙ 4,15
2= 58,1 𝑚2
3º Calculamos a área total: Á𝑟𝑟𝑟𝑡𝑛𝑡𝑚𝑛 = Á𝑟𝑟𝑟𝑛𝑚𝑡𝑟𝑡𝑚𝑛 + 2 ∙ Á𝑟𝑟𝑟𝑏𝑚𝑠𝑟 =
= 280 + 2 ∙ 58,1 = 396,2 𝑚2
Volume dun prisma
O volume dun prisma calquera, recto ou oblicuo, é o produto da área da base pola
altura.
Así, se a altura é h e a área da base AB, o volume é:
𝑉𝑝𝑡𝑡𝑠𝑚𝑚 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ
Actividade resolta
Calcule o volume do seguinte prisma de lado da base 4 metros, altura 10 metros e
apotema 4,15 metros.
1º Calculamos a área da base:
𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 =𝑎𝑟𝑟í𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚 𝑑𝑟 𝑏𝑟𝑏𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟
2 =28 ∙ 4,15
2= 58,1 𝑚2
2º Calculamos o volume:
𝑉 = 𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = 58,1 ∙ 10 = 581 𝑚3
Páxina 16 de 59
Actividades propostas
S16. Calcule a superficie dun ortoedro de dimensións 12, 4 e 8 cm.
S17. Calcule o volume dun cubo de 11 dm de aresta.
S18. Calcule a superficie dun prisma hexagonal de lado da base 15 cm e 0,5 m de
altura.
S19. As bases dun prisma recto son rombos de diagonais 8 cm e 6 cm. A altura do
prisma é 10 cm. Calcule o seu volume.
S20. A altura dun prisma recto é de 20 cm. As súas bases son trapecios isósceles
cuxas bases miden 11 cm e 16 cm, e a altura da base é de 12 cm. Calcule a
área total do prisma.
S21. Calcule o volume dun prisma de base hexagonal de 10 cm de altura e de 3 cm
de lado da base.
S22. Un prisma cuadrangular ten unha altura de 5 cm e a aresta da súa base mide 3
cm. Calcule a súa área total.
S23. Calcule o volume dun prisma triangular de 6 cm de altura se a base é un
triángulo equilátero de 8 cm de lado.
S24. Calcule a superficie e o volume do seguinte corpo xeométrico:
S25. Calcule a superficie e o volume do seguinte corpo xeométrico:
Páxina 17 de 59
2.3.3 Pirámides
Unha pirámide é un poliedro que ten por base un polígono calquera e por caras
laterais triángulos cun vértice común, que se chama vértice da pirámide.
A altura da pirámide é a distancia entre o vértice e o plano da base.
Unha pirámide é recta se a altura é perpendicular á base.
Cando a altura non é perpendicular á base, dise que a pirámide é oblicua.
As caras laterais dunha pirámide son sempre triángulos.
Unha pirámide ten tantas caras laterais como lados ten a base.
Unha pirámide é regular se a súa base é un polígono regular.
Nunha pirámide regular recta todas a arestas laterais son iguais e as caras laterais
son triángulos isósceles. As alturas dos triángulos chámanse apotema da
pirámide.
PIRÁMIDE RECTA DE BASE PENTAGONAL
En función de que o tipo de polígono que forma a base da pirámide sexa un triangulo,
un cadrado, un pentágono etcétera, denomínanse pirámides triangulares, pirámides
cuadrangulares, pirámides pentagonais, pirámides hexagonais etcétera.
Área ou superficie dunha pirámide
Para calcular a superficie dunha pirámide regular recta podemos razoar a partir do
seu desenvolvemento plano:
Páxina 18 de 59
Área total = área lateral + área da base
Área lateral: AL é a suma das áreas das súas caras laterais que son triángulos
iguais (área lateral = perímetro da base · altura (h)/2).
Área da base: é a área do polígono correspondente.
No caso dunha pirámide non regular haberá que calcular a área lateral triángulo a
triángulo e despois sumalas.
Actividade resolta
Calcule a área total da seguinte pirámide de lado da base 4 metros, altura 10 metros e
apotema da base 4,15 metros.
Trátase dunha pirámide recta heptagonal.
1º Calculamos o apotema da pirámide mediante o teorema de Pitágoras
𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟2 = 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟2 + 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟 𝑏𝑟𝑏𝑟2
𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟2 = 102 + 4,152 = 117,2225 ⇒ 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟 = 10,83 𝑚
2º Calculamos a área lateral:
𝐴𝑛𝑚𝑡𝑟𝑡𝑚𝑛 = 𝑝𝑟𝑡í𝑚𝑟𝑡𝑡𝑛 𝑚𝑚 𝑏𝑚𝑠𝑟∙𝑚𝑝𝑛𝑡𝑟𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑝𝑡𝑡á𝑚𝑡𝑚𝑟2
= 7∙4∙10,832
=151,62 𝑚2
3º Calculamos a área da base:
𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 =𝑃𝑟𝑟í𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚 𝑑𝑟 𝑏𝑟𝑏𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟
2=
7 ∙ 4 ∙ 4,152
= 58,1 𝑚2
4º Calculamos a área total:
Á𝑟𝑟𝑟𝑡𝑛𝑡𝑚𝑛 = Á𝑟𝑟𝑟𝑛𝑚𝑡𝑟𝑡𝑚𝑛 + Á𝑟𝑟𝑟𝑏𝑚𝑠𝑟 = 151,62 + 58,1 = 209,72 𝑚2
Volume dunha pirámide
O volume dunha pirámide calquera, recta ou oblicua, é o produto da área da base
pola altura, dividido por 3.
Así, se a altura é h e a área da base AB, o volume é:
𝑉𝑝𝑡𝑡á𝑚𝑡𝑚𝑟 =𝐴𝐵 ∙ ℎ
3
Páxina 19 de 59
Actividade resolta
Calcule o volume da seguinte pirámide de lado da base 4 metros, altura 10 metros e
apotema da base 4,15 metros.
1º Calculamos a área da base:
𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 =𝑎𝑟𝑟í𝑚𝑟𝑎𝑟𝑚 𝑑𝑟 𝑏𝑟𝑏𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑟𝑚𝑟
2 =28 ∙ 4,15
2 = 58,1 𝑚2
2º Calculamos o volume:
𝑉 =𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟
3=
58,1 ∙ 103 = 193,67 𝑚3
Troncos de pirámide
Un tronco de pirámide é unha pirámide á que se lle corta a parte do vértice cun corte
paralelo á base.
Para calcular o seu volume temos que fixarnos na seguinte figura:
Na figura da esquerda temos un tronco de pirámide completado ata unha pirámide.
Podemos distinguir dúas pirámides.
Unha grande desde a base inferior ata o vértice.
Unha pequena desde a base do medio ata o vértice.
O volume do tronco de pirámide é o volume da pirámide grande menos o volume da pirámide pequena.
Para calcular o volume só temos que calcular a altura da pirámide pequena.
Para calcular a súa área temos que considerar que agora temos dúas bases e que as
caras laterais son trapecios isósceles.
Vexamos todo isto cun exemplo.
h
h
Páxina 20 de 59
Actividade resolta
Un tronco de pirámide ten as súas bases regulares e heptagonais. A inferior ten lados
de 7 cm e a súa apotema mide 7,27 cm. Os lados da cara superior miden 3 cm e o
seu apotema 3,11 cm. Se ten 2 cm de altura, calcule a súa superficie e o seu volume.
1º Se completamos o tronco de pirámide ata ter unha pirámide completa obtemos o triángulo da parte inferior da figura. 2º Calculamos H: Na figura inferior temos dous triángulos semellantes. O de lados H, A, 3’11 e o de lados 2+H, a+A, 7’27.
Polo tanto 2 + 𝐻𝐻 =
7,273,11 ⇒ 3,11 ∙ (2 + 𝐻) = 7,27 ∙ 𝐻 ⇒
⇒ 6,22 + 3,11 ∙ 𝐻 = 7,27 ∙ 𝐻 ⇒ 6,22 = 4,16 ∙ 𝐻 ⇒ 𝐻 = 1,5 𝑐𝑚 3º Calculamos A e a:
Polo teorema de Pitágoras aplicado ao triángulo pequeno temos que 𝐴2 = 𝐻2 + 3,112 ⇒ 𝐴2 = 1,52 + 3,112 = 11,92
Así 𝐴 = √11,92 = 3,45 𝑐𝑚 que é o apotema da pirámide pequena (a que non está)
Agora aplicamos o teorema de Pitágoras ao triángulo grande e temos que: (𝐴 + 𝑟)2 = (𝐻 + 2)2 + 7,272 ⇒ (𝐴 + 𝑟)2 = 3,52 + 7,272 = 65,10
Así 𝐴 + 𝑟 = �65,10 = 8,07 𝑐𝑚 que é a xeratriz da pirámide sen truncar. A altura das caras laterais da pirámide truncada é
𝑟 = 8,07 − 3,45 = 4,62 𝑐𝑚. 4º Calculamos o volume do tronco da pirámide
𝑉 = 𝑉𝑛𝑡𝑚𝑛𝑚𝑟 − 𝑉𝑟𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚 =7 ∙ 7 ∙ 7,27
2 ∙ 3,53 −
7 ∙ 3 ∙ 3,112 ∙ 1,5
3= 191,47 𝑐𝑚3
5º Calculamos a superficie. Superficie inferior
7 ∙ 7 ∙ 7,272
= 178,12 𝑐𝑚2
Superficie superior 7 ∙ 3 ∙ 3,11
2 = 32,66 𝑐𝑚2
Superficie lateral
7 ∙ �7 + 3
2 ∙ 4,62� = 161,7 𝑐𝑚2
Superficie total = 178,12 + 32,66 + 161,7 = 372,48 𝑚2
Páxina 21 de 59
Actividades propostas
S26. Calcule a área total dunha pirámide cuadrangular de apotema 6 cm e 4 cm de
lado do cadrado da base.
S27. Calcule o volume dunha pirámide que ten de base un cadrado de 10 cm e unha
altura de 12 cm.
S28. Calcule a área total dunha pirámide de base hexagonal que ten 6 cm de altura e
3 cm de lado da base. Terá que utilizar o teorema de Pitágoras para o cálculo
do apotema da base e do apotema da pirámide.
S29. Calcule o volume dunha pirámide hexagonal regular, que ten unha base de lado
30 cm, un apotema do hexágono de 26 cm e a altura da pirámide é 26 cm.
S30. Calcule a área total dunha pirámide pentagonal de 9 cm de altura, cuxo polígono
da base é regular con 6 cm de lado e un apotema de 4,13 cm.
S31. Calcule o volume dunha pirámide de base pentagonal de 14 cm de lado, 9,63
cm de apotema da base e 60 cm de apotema lateral.
S32. Unha pirámide ten por base un hexágono cuxos lados miden 10 m e o apotema
8,66 m. O apotema lateral da pirámide é de 44 m. Calcule a área total.
S33. Unha pirámide regular ten por base un cadrado de 8 cm de lado e a súa altura é
de 10 cm. Calcule o seu volume.
S34. Calcule a superficie dunha pirámide regular de 80 cm de altura e de base
hexagonal e lado da base 30 cm.
S35. Calcule a área total dunha pirámide hexagonal de 13 cm de altura que ten como
raio da base 6 cm.
S36. A maior das tres pirámides que hai en Gizeh (Exipto) é a de Keops. A súa base
é un cadrado que mide 230 m de lado, e súa altura é de 147 m. Calcule o
volume da pirámide.
Páxina 22 de 59
2.3.4 Corpos de revolución
Cando xiramos unha figura plana arredor dun eixe obtemos un corpo de revolución.
Os tres corpos de revolución máis importantes, e que imos estudar, son o cilindro, o
cono e a esfera.
Cilindro
Un cilindro recto é un corpo xeométrico xerado a partir dun rectángulo que xira
arredor dun dos seus lados.
As bases dun cilindro recto son círculos.
A distancia entre as bases chámase altura.
A xeratriz do cilindro corresponde á lonxitude do lado oposto ao eixe, é dicir,
coincide coa altura.
Área dun cilindro
Ao cortar un cilindro recto pola súa xeratriz obtemos o seu desenvolvemento no plano
e apréciase que a parede lateral do cilindro é un rectángulo de base igual ao
perímetro do círculo, 2 · 𝜋 · 𝑟, e a súa altura, h, é a do cilindro.
Área Lateral = 2πr · h Área Total = Área Lateral + Área das dúas bases
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟 · ℎ + 2𝜋𝑟2
Páxina 23 de 59
Actividade resolta
Calcule a área total dun cilindro de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura.
𝐴𝑛 = 2 · 𝜋 · 3 · 5 = 94,25 𝑑𝑚2
𝐴𝑡𝑛𝑡 = 94,25 + 2 · 𝜋 · 32 = 150,80 𝑑𝑚2
Volume dun cilindro
O volume dun cilindro calcúlase igual que o volume do prisma.
Así, se a altura é h e a área da base AB , o volume é:
𝑉𝑟𝑡𝑛𝑡𝑛𝑚𝑡𝑛 = 𝐴𝐵 ∙ ℎ
Actividade resolta
Calcule o volume dun cilindro de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura.
1º Calculamos a área da base: 𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 28,27 𝑑𝑚2
2º Calculamos o volume: 𝑉 = 𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = 28,27 ∙ 5 = 141,35 𝑑𝑚3
Cono
Facendo xirar un triángulo rectángulo arredor dun dos catetos, obtense un cono recto.
A base dun cono recto é un círculo.
A altura é a distancia do vértice á base.
A xeratriz do cono é a lonxitude da hipotenusa do triángulo.
Páxina 24 de 59
Área dun cono
Ao cortar un cono recto pola súa xeratriz obtemos o seu desenvolvemento no plano
Así, pódese apreciar que a superficie lateral dun cono recto é un sector circular de
raio x e a porción de círculo que ten este sector podémola calcular do seguinte xeito:
𝑎𝑚𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑐𝑙𝑟𝑐𝑎𝑙𝑐𝑟𝑟𝑟𝑙𝑐𝑙𝑟𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑙𝑐𝑙𝑟 𝑑𝑚 𝑐í𝑟𝑐𝑎𝑎𝑚 =
𝑎𝑚𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑑𝑟 𝑑𝑚 𝑟𝑟𝑐𝑚𝑏𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑙𝑐𝑙𝑟 𝑑𝑚 𝑏𝑟𝑐𝑎𝑚𝑟
2𝜋𝑙𝜋𝑙2 =
2𝜋𝑟𝐴 ⇒ 𝐴 =
2𝜋𝑟 · 𝜋𝑙2
2𝜋𝑙 = 𝜋𝑟𝑙
Polo tanto:
Área lateral = 𝜋𝑟𝑙
Área total = 𝜋𝑟𝑙 + 𝜋𝑟2
Actividade resolta
Calcule a área total dun cono de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura.
1º Calculamos a lonxitude da xeratriz utilizando o teorema de Pitágoras:
𝑙2 = �52 + 32 = √34 = 5,83 𝑑𝑚
2º Calculamos a superficie lateral:
𝐴𝑛 = 𝜋 · 3 · 5,83 = 54,95 𝑑𝑚2
3º Calculamos a superficie total:
𝐴𝑡𝑛𝑡 = 54,95 + 𝜋 · 32 = 83,22 𝑑𝑚2
Volume dun cono
O volume dun cono calcúlase igual que o volume da pirámide.
Así, se a altura é h e a área da base é AB, o volume é:
𝑉𝑟𝑛𝑛𝑛 =𝐴𝐵 ∙ ℎ
3
Páxina 25 de 59
Actividade resolta
Calcule o volume dun cono de 3 dm de raio da base e 5 dm de altura.
1º Calculamos a área da base: 𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 28,27 𝑑𝑚2
2º Calculamos o volume:
𝑉 =𝐴𝐵𝑚𝑠𝑟 ∙ 𝑟𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟
3=
28,27 ∙ 53 = 47,12 𝑑𝑚3
Tronco de cono
Un tronco de cono é un cono ao que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo
á base.
Para calcular o seu volume temos que fixarnos na seguinte figura:
Na figura da esquerda temos un tronco de cono completado ata un cono.
Podemos distinguir dous conos.
Un grande coa base de raio R e altura h + H. Un pequeno coa base de raio r e altura H.
O volume do tronco de cono é o volume do cono grande menos o volume do cono pequeno.
Para calcular o volume só temos que calcular H. Isto farémolo na seguinte actividade resolta.
r
R
Páxina 26 de 59
Para calcular a súa área temos que fixarnos na seguinte figura:
Na figura da esquerda temos o desenvolvemento plano dun tronco de cono. A superficie do tronco de cono está formada por:.
Un círculo de raio R. Un círculo de raio r. A superficie lateral que é un trapecio circular.
Esta superficie é a superficie lateral do cono grande, do que falabamos na figura anterior, menos a superficie lateral do cono pequeno.
A superficie do tronco de cono é a suma destas tres superficies.
A superficie lateral dun cono vén dada pola expresión πrx, sendo x a xeratriz dos conos. Polo tanto o único problema é calcular canto mide a xeratriz destes conos.
Actividade resolta
Calcule o volume e a superficie dun tronco de cono con raios R=5 metros e r=2
metros e que ten unha altura h=3 metros.
1º Se completamos o tronco de cono ata ter un cono completo obtemos o triángulo da parte inferior da figura. 2º Calculamos H: Na figura inferior temos dous triángulos semellantes. O de lados H, X, r e o de lados h + H, x + X, R.
Polo tanto 𝐻 + ℎ𝐻 =
𝑅𝑟 ⇒
𝐻 + 3𝐻 =
52 ⇒
⇒ 2 ∙ (𝐻 + 3) = 5 ∙ 𝐻 ⇒ 2 ∙ 𝐻 + 6 = 5𝐻 ∙⇒ 6 = 3 ∙ 𝐻 ⇒ 𝐻 = 2
Polo tanto H=2 metros. 3º Calculamos X e x:
Polo teorema de Pitágoras aplicado ao triángulo pequeno temos que 𝑋2 = 𝐻2 + 𝑟2 ⇒ 𝑋2 = 22 + 22 = 8
Así 𝑋 = √8 = 2,83 𝑚, que é a xeratriz do cono pequeno (o que non está)
Agora aplicamos o teorema de Pitágoras ao triángulo grande e temos que: (𝑋 + 𝑙)2 = (𝐻 + ℎ)2 + 𝑅2 ⇒ (𝑋 + 𝑙)2 = 52 + 52 = 50
Así 𝑋 + 𝑙 = √50 = 7,07 𝑚 que é a xeratriz do cono sen truncar. 4º Calculamos o volume do tronco de cono
𝑉 = 𝑉𝑛𝑡𝑚𝑛𝑚𝑟 − 𝑉𝑟𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚𝑛 =𝜋 ∙ 52 ∙ 5
3 −𝜋 ∙ 22 ∙ 2
3 = 122,52 𝑚3
5º Calculamos a superficie. Superficie superior = 𝜋 ∙ 22 = 12,57 𝑚2 Superficie inferior = 𝜋 ∙ 52 = 78,54 𝑚2 Superficie lateral = Superficie lateral enteira – Superficie lateral cortada = 𝜋 ∙ 5 ∙ 7,07 − 𝜋 ∙ 2 ∙ 2,83 = 93,27 𝑚2 Superficie total = 12,57 + 78,54 + 93,27 = 184,38 𝑚2
Páxina 27 de 59
Esfera
As esferas son corpos de revolución que se xeran ao facer xirar un semicírculo
arredor do seu diámetro. A esfera queda determinada polo seu raio R.
Área dunha esfera
Para calcular a superficie dunha esfera, imaxinemos a esta envolta nun cilindro que
se axusta a ela completamente.
Pois resulta que a área da esfera é igual que a área lateral dese cilindro.
𝑨𝑛𝑚𝑡𝑟𝑡𝑚𝑛 𝑚𝑛 𝑟𝑡𝑛𝑡𝑛𝑚𝑡𝑛 = 2𝜋𝑅 · 2𝑅 = 4𝜋𝑅2
Polo tanto a superficie dunha esfera de raio R é:
𝐀 = 4π𝑅2
Volume dunha esfera
Para calcular o volume dunha esfera, imaxinémola outra vez envolta nun cilindro que
se axusta a ela completamente.
Páxina 28 de 59
Pois resulta que o volume da esfera é igual aos dous terzos do volume dese cilindro.
Xa que o raio da base do cilindro é o mesmo que o da esfera, R, e a altura do cilindro
é 2R, entón o volume do cilindro será:
𝑽 𝑟𝑡𝑛𝑡𝑛𝑚𝑡𝑛 = 𝐴𝑏𝑚𝑠𝑟 · 𝐴𝑎𝑎𝑎𝑟𝑟 = 𝜋𝑅2 · 2𝑅 = 2𝜋𝑅3
Entón o volume dunha esfera de raio R é:
𝐕 =23 · Vcilindro =
43πR3
Actividade resolta
Calcule a superficie e o volume dunha esfera de raio 2 metros.
1º Calculamos a superficie: 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 22 = 50,27 𝑚2
2º Calculamos o volume: 𝑉 = 43∙ 𝜋 ∙ 𝑟3 = 4
3∙ 𝜋 ∙ 23 = 33,51 𝑚3
Actividades propostas
S37. Indique a cantidade de chapa que se necesita para construír un depósito
cilíndrico pechado de 60 cm de raio de base e 1,8 m de altura.
S38. As latas de refrescos teñen a forma cilíndrica de 12 cm de altura e 6 cm de
diámetro. Calcule o volume de refresco que cabe nel.
S39. Calcule o volume dun cono de 11 cm de altura e 4 cm de raio.
S40. Calcule a superficie total dun tronco de madeira con forma de cilindro recto, de 3
cm de altura e diámetro da base 30 cm.
S41. Determine a área total dun cono de 5 cm de raio e 20 cm de xeratriz.
S42. Calcule a superficie esférica dun balón que ten 20 cm de diámetro.
S43. Unha cúpula semiesférica dun edificio ten 10 m de diámetro e unha altura de 5
m. Calcule a súa superficie.
Páxina 29 de 59
S44. A pantalla dunha lámpada de pé ten forma de tronco de cono sen ter ningunha
das bases.
O diámetro da base superior é de 19 cm e o da inferior ten 46 cm. A xeratriz do
tronco de cono mide 23 cm. Calcule a superficie da pantalla.
S45. Unha papeleira ten forma de tronco de pirámide de base cadrada coas
dimensións que aparecen na figura. Calcule volume da papeleira.
2.4 Teorema de Tales. Aplicacións
2.4.1 Teorema de Tales
Figuras semellantes
Dúas figuras son semellantes cando teñen a mesma forma pero diferente tamaño,
por exemplo un cadro e a súa reprodución ou un debuxo ou figura e a súa copia
reducida na fotocopiadora. Así o podemos observar nas figuras seguintes:
Cando dúas figuras son semellantes, a razón entre os lados homólogos é unha
Páxina 30 de 59
constante que se denomina razón de semellanza. Así na figura anterior podemos dicir:
𝒔𝒔´
= 𝒃𝒃´
= 𝒔𝒔´
= 𝒅𝒅´
= 𝒍𝒍´
= 𝒇𝒇´
= 𝒎 (razón de semellanza)
Cando dous polígonos son semellantes, dáse entre os seus lados unha relación de
proporcionalidade: o cociente entre lados homólogos ten o mesmo valor e recibe o
nome de razón de semellanza. Dise tamén que os lados son proporcionais.
En xeral, para que dous polígonos sexan semellantes teñen que ter os lados
proporcionais e os ángulos iguais. Polo tanto para decidir se dous polígonos son
semellantes é necesario comprobar que todos os ángulos correspondentes son iguais
e que todos os lados correspondentes son proporcionais coa mesma razón de
semellanza.
Para que dous polígonos sexan semellantes non abonda con que os seus lados
sexan proporcionais.
Actividade resolta
Indique se as seguintes figuras son semellantes ou non o son.
Claramente non son semellantes por non ter a mesma forma, é dicir os ángulos de ambas as figuras non son iguais.
É importante decatarse de que neste exercicio os lados si que son proporcionais xa que: 104 =
83,2 =
31,2 =
62,4 =
2,51 = 2,5
Actividade proposta
S46. Indique cales das seguintes figuras son necesariamente sempre semellantes:
Todos os cadrados. Todos os paralelogramos.
Todos os triángulos equiláteros. Todos os rectángulos.
Todos os triángulos rectángulos. Todos os triángulos isósceles.
Todos os pentágonos regulares. Todos os rombos.
Todos os hexágonos. Todos os hexágonos regulares
Páxina 31 de 59
Triángulos semellantes
Como calquera outra figura, dous triángulos son semellantes cando teñen todos os
seus ángulos correspondentes iguais e ademais os lados correspondentes son
proporcionais.
Pero para comprobar se dous triángulos son semellantes non é necesario comprobar
todo iso.
Para que dous triángulos sexan semellantes tense que cumprir algunha das tres
condicións seguintes:
Todos os ángulos correspondentes dos triángulos son iguais.
�̂� = 𝐴′�
𝐴� = 𝐴′�
�̂� = 𝐶′�
Todos os lados correspondentes dos triángulos son proporcionais.
𝐴𝐴𝐴′𝐴′
=𝐴𝐶𝐴′𝐶′
=𝐶𝐴𝐶′𝐴′
Dous lados correspondentes son proporcionais e o ángulo que forman é o mesmo
en ambos os triángulos.
𝐴𝐴𝐴′𝐴′
=𝐴𝐶𝐴′𝐶′
𝐴� = 𝐴′�
Páxina 32 de 59
Actividade resolta
Calcule a lonxitude do lado A’B’, sabendo que 𝐴� = 92ᵒ, 𝐴� = 47ᵒ, 𝐴′� = 92ᵒ, 𝐴′� = 47ᵒ, a
lonxitude do lado AB é de 10 cm, a do lado BC de 25 cm e a do lado B’C’ de 5 cm.
1º Os triángulos son semellantes pois ao ter dous ángulos iguais o terceiro tamén o é (lembre que a suma dos ángulos dun triángulo é de 180ᵒ).
2º Como nos dan as lonxitudes de dous lados correspondentes (un de cada triángulo), podemos calcular a razón de semellanza:
𝑟 =𝐴′𝐶′𝐴𝐶 =
525 =
15 = 0,2
3º Agora calculamos a lonxitude do lado A’B’.
0,2 =𝐴′𝐴′𝐴𝐴 =
𝐴′𝐴′10 ⇒ 0,2 × 10 = 𝐴′𝐴′ ⇒ 𝐴′𝐴′ = 2 𝑐𝑚
Actividade resolta
Podemos calcular a altura dunha árbore medindo a lonxitude da súa sombra e
comparándoa coa lonxitude da sombra dun obxecto coñecido.
Aplicando as relacións de proporcionalidade entre os lados de triángulos semellantes, neste caso os triángulos AB´C´ e ABC, calculamos:
𝑙1
= 6
1,5
𝑙 =6 ∙ 11,5 , 𝑙 = 4𝑚
Así calculamos que a altura da árbore é de 4 metros.
Páxina 33 de 59
Actividade proposta
S47. Calcule a altura do edificio.
S48. Calcule a altura do edificio.
Teorema de Tales
Cando dúas ou máis rectas paralelas son cortadas por dúas rectas transversais, os
segmentos das rectas transversais son proporcionais.
𝐴𝐴𝐴′𝐴′
=𝐴𝐶𝐴′𝐶′
=𝐴𝐶𝐴′𝐶′
Isto é unha xeneralización das condicións de semellanza de triángulos pois, como
podemos ver na figura seguinte, se prolongamos as transversais ata que se cortan
obtemos triángulos semellantes xa que todos eles teñen os mesmos ángulos.
Páxina 34 de 59
Actividade proposta
S49. As rectas a, b e c son paralelas. Calcule a lonxitude de x.
2.4.2 Relación entre áreas e volumes de figuras semellantes
Este é un rectángulo de dimensións 1 cm x 2 cm,
que ten unha área de 2 cm2.
Un rectángulo semellante a el con razón de semellanza 𝑟 = 2 é:
que ten unha área de 8 cm2. A área do novo rectángulo é 4 veces maior ca a do
rectángulo orixinal. Resulta que 4 é o cadrado da razón de semellanza 𝑟2 = 22 = 4.
Outro rectángulo semellante ao primeiro pero con razón de semellanza 𝑟 = 3 é:
que ten unha área de 18 cm2. A área do novo rectángulo é 9 veces maior ca a do
rectángulo orixinal. Resulta que 9 é o cadrado da razón de semellanza 𝑟2 = 32 = 9.
Páxina 35 de 59
Estas relacións podémolas xeneralizar para calquera razón de semellanza: Cando unha figura plana é transformada noutra semellante cunha razón de semellanza
r, a área da nova figura é a área da figura orixinal multiplicada por 𝒎𝟐.
Este é un paralelepípedo de dimensións 1 cm x 1 cm x 2 cm,
que ten un volume de 2 cm3.
Un paralelepípedo semellante a el con razón de semellanza 𝑟 = 2 é:
que ten un volume de 16 cm3. O volume do novo paralelepípedo é 8 veces maior ca a
do paralelepípedo orixinal. Resulta que 8 é o cubo da razón de semellanza
𝑟3 = 23 = 8.
Esta relación podémola xeneralizar para calquera razón de semellanza: Cando unha figura é transformada noutra semellante cunha razón de semellanza r, o volume
da nova figura é o volume da figura orixinal multiplicada por 𝒎𝟑.
Actividade resolta
As áreas de dous rectángulos semellantes son de 1 m2 e 1 cm2 respectivamente. Cal
é a razón de semellanza?
O primeiro que debemos facer é poñer as superficies nas mesmas unidades. Imos expresalas en cm2.
1 m2 = 10000 cm2
Así, a razón entre as superficies é: 10000
1 = 10000
Pero a razón entre as áreas é 𝑟2 polo que:
𝑟2 = 10000 ⇒ 𝑟 = √10000 = 100
Así o primeiro dos rectángulos é 100 veces maior ca o segundo.
Páxina 36 de 59
Actividades propostas
S50. As alturas de dous cilindros semellantes están en relación 4:5. Calcule a
relación entre os volumes dos cilindros.
S51. Un produto para a limpeza dos baños véndese en dous tamaños: normal e
familiar. O normal contén 500 ml e o familiar contén 750 ml. Os envases de
ambos os tamaños son semellantes. Se a altura do envase normal é de 12 cm,
cal é a altura do envase familiar?
S52. Mercamos un coche de xoguete que está feito a escala a partir dun coche real.
A lonxitude do coche de xoguete é 50 veces máis pequena ca a lonxitude do
coche real. Calcule a relación entre o volume do coche real e o volume do
xoguete.
2.4.3 Mapas e escalas
Os planos dunha casa ou os mapas dun lugar son semellantes á realidade. Neles,
ademais da distribución de lugares, importan os tamaños e as distancias, por iso
levan unha escala.
A escala é o cociente entre cada lonxitude da reprodución, sexa plano ou mapa, e
a correspondente lonxitude na realidade. É dicir, é a razón de semellanza entre a
reprodución e a realidade.
A escala utiliza o cm como unidade de referencia e exprésase en comparación á
unidade. Por exemplo 1:2000 quere dicir que 1 cm no plano ou mapa equivale a 2000
cm na realidade ou o que é o mesmo 1 cm no mapa equivale a 20 metros na realidade.
Actividades resoltas
Esta fotografía do retablo da igrexa da Virxe da Antiga de Monforte de Lemos está a
escala 1:150 . Cal é a altura do retablo na realidade se na foto mide 5 cm?
Xa que a fotografía e o retablo na realidade son figuras semellantes, aplicamos a igualdade de razóns de semellanza:
1150
=5𝑙
𝑙 = 150 · 5 = 750 𝑐𝑚
750 cm =7,5 metros é a altura do retablo
Páxina 37 de 59
A distancia en liña recta entre A Coruña e Ferrol son 19,13 km, no mapa a distancia en li-
ña recta entre estas dúas cidades é de 3,826 cm. A que escala está debuxado o mapa?
19,13 km=1913000 cm 3,826
1913000=
1𝑙
𝑙 =1913000 · 1
3,826 = 500000 O mapa está a unha escala 1:500000
Actividades propostas
S53. Temos un plano dunha casa. No plano o longo dun dormitorio é de 4 cm. Na
realidade, o longo dese dormitorio é de 3 metros. Cal é a escala do plano?
Cantos metros mide o corredor na realidade se no plano mide 7 cm?
S54. Un mapa está a escala 1:500000. A cantos quilómetros estarán dúas cidades
que no mapa están separadas 12,5 cm?
2.5 Coordenadas xeográficas. Lonxitude e latitude
2.5.1 Coordenadas xeográficas
Nos mapas sinálanse liñas imaxinarias que axudan a localizar puntos na superficie
terrestre. Son as coordenadas xeográficas.
Nestas liñas imaxinarias temos:
Ecuador: liña imaxinaria que divide a Terra en dous hemisferios: o hemisferio norte
e o hemisferio sur.
Paralelos: circunferencias imaxinarias paralelas ao ecuador. Hai uns paralelos con
nome propio: trópico de Cáncer, ao norte, e trópico de Capricornio, ao sur.
Preto dos polos sitúanse o círculo polar ártico e o círculo polar antártico.
Meridianos: circunferencias imaxinarias que cruzan os polos. O de referencia é o
meridiano 0º ou meridiano de Greenwich, a partir do cal se ordenan os demais ao
leste e ao oeste.
Ao ser a Terra esférica, ten 360º de circunferencia. A cada meridiano e a cada
paralelo correspóndelle un grao.
Os meridianos van desde o 180º ao leste e 180º ao oeste partindo en ambos os casos
do meridiano de Greenwich.
Os paralelos van desde o 90º norte ao 90º sur, partindo en ambos os casos desde o
ecuador cara ao polos.
Páxina 38 de 59
2.5.2 Lonxitude e latitude
Os meridianos e os paralelos permítennos situar con precisión calquera punto da
superficie terrestre mediante a lonxitude e a latitude:
Lonxitude: é a distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o meridiano
0º ou de Greenwich e un punto calquera da superficie terrestre. Os meridianos
situados ao oeste de Greenwich teñen lonxitude oeste. Os situados ao leste de
Greenwich, lonxitude leste.
Latitude: é a distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o ecuador e
un punto calquera da superficie terrestre. Os lugares situados no hemisferio norte
teñen latitude norte. Os do hemisferio sur, latitude sur.
As coordenadas xeográficas de Santiago de Compostela son: Latitude: 42°52′49″ N;
Lonxitude: 8°32′44″ O.
2.5.3 Fusos horarios
Un día é o tempo que tarda a Terra en dar unha volta completa sobre si mesma. Un
día ten 24 horas. Como unha circunferencia completa ten 360º, nunha hora a Terra
“móvese” sobre si mesma 15º pois:
36024
= 15ᵒ
Se tomamos como punto de referencia o meridiano 0º ou de Greenwich podemos
saber o día e a hora en calquera parte da Terra, valéndonos dos fusos horarios. O
fuso horario é cada unha das 24 partes en que se dividiu a esfera terrestre polo
ecuador para sinalar a variación horaria. O valor de cada fuso é de 15º e corresponde
a unha hora.
Se viaxamos cara ao leste, adiantaremos unha hora por cada fuso horario. En
cambio, se imos cara ao oeste, atrasamos unha hora, xa que o movemento de
rotación da Terra vai de oeste a leste.
Páxina 39 de 59
Fusos horarios
Na liña do cambio de data, os que veñen do oeste retrasan un día no calendario. Os
que proceden do leste adiántano.
Actividade resolta
Nun barco percorremos, seguindo sempre o mesmo paralelo, desde a lonxitude 100º
L ata 40º O. Cantos fusos horarios visitamos incluíndo o de saída e o de chegada?
Cal é a diferenza horaria entre os puntos de saída e de chegada?
Como 10015 = 6,67
desde o meridiano de Greenwich ata o punto de saída hai 6 fusos horarios completos e parte dun sétimo fuso.
Do mesmo xeito, como 4015
= 2,67
desde o meridiano de Greenwich ata o punto de chegada hai 2 fusos horarios completos e parte dun terceiro fuso.
Polo tanto saímos dun fuso horario, percorremos oito fusos completos e chegamos ao fuso horario de destino. En total 10 fusos horarios diferentes.
Como facemos nove cambios de fuso horario, hai 9 horas de diferenza e como viaxamos cara ao oeste, no fuso horario de chegada son 9 horas máis tarde ca no fuso de partida.
Actividades propostas
S55. Cal é a diferenza horaria entre un punto con coordenadas xeográficas 39°54′26″
N e 116°23′50″ L e outro coas coordenadas 40°42′51″ N e 74°00′21″ O?
S56. Cal é a diferenza horaria entre un punto con coordenadas xeográficas 58°18′06″
N; 134°25′10″ O e outro coas coordenadas 41°17′11″ S; 174°46′32″ L?
Páxina 40 de 59
3. Actividades finais S57. Calcule a área coloreada da seguinte figura:
S58. Calcule a área coloreada da seguinte figura:
S59. Canto mide o bordo dunha piscina da forma e dimensións indicadas na figura?
S60. Calcule a área das seguintes figuras circulares:
a) Coroa circular de raios 5,7 cm e 23 mm.
b) Sector circular de 8 cm de raio e 72º de ángulo.
c) Segmento circular de 90º de amplitude nunha circunferencia de 10 cm de
raio, 14,14 cm de corda e 5 cm de distancia do centro á corda.
d) Trapecio circular de 35º 24’ na coroa circular do apartado a) deste
exercicio.
15 m
2 m
11 m 10 m
10 m
10 m
1 m
4 m
Páxina 41 de 59
S61. Unha circunferencia mide 15 cm. Calcule o raio e a área do círculo.
S62. A área dun círculo é de 114 cm2. Calcule a lonxitude da circunferencia.
S63. Calcule a área e o perímetro dun semicírculo de raio 5 metros.
S64. Calcule o perímetro dos seguintes sectores circulares cos datos que se indican:
𝑟 = 235ᵒ 𝑟 = 3 𝑐𝑚
𝑟 = 60ᵒ 𝑟 = 15 𝑘𝑚
𝑟 = 330ᵒ 𝑟 = 50 𝑚
S65. Calcule a área dos sectores circulares da actividade anterior.
S66. Se o perímetro dun sector circular correspondente a un círculo de 10 cm de raio
é de 32,57 cm, cal é a amplitude do ángulo?
S67. Calcule o perímetro e a área dos seguintes segmentos circulares cos datos que
se indican:
𝑟 = 170ᵒ 𝑟 = 3 𝑐𝑚 𝐴𝐴���� = 5,98 𝑐𝑚
𝑟 = 60ᵒ 𝑟 = 15 𝑘𝑚
S68. Calcule o perímetro e a área das seguintes coroas circulares cos datos que se
indican:
𝑅 = 17 𝑐𝑚 𝑟 = 3 𝑐𝑚
𝑅 = 60 𝑘𝑚 𝑟 = 15 𝑘𝑚
S69. Calcule o perímetro da seguinte figura.
Páxina 42 de 59
S70. Calcule a área e o perímetro da figura:
S71. Calcule a área e o perímetro da seguinte figura.
S72. Cal é a superficie dunha pista de atletismo con oito rúas de 122 cm de ancho
cada unha delas, sabendo que cada recta mide 100 metros e a corda interior
das curvas tamén mide 100 metros. O centro de xiro da curva é o marcado na
figura.
Páxina 43 de 59
S73. Calcule a área e o perímetro da figura:
S74. Calcule a área e o perímetro da figura:
S75. Calcule a superficie e o volume dun tetraedro que ten unha aresta de 2 metros.
S76. Calcule a superficie e o volume dun cubo que ten por caras cadrados de área 9
m2.
S77. Calcule a superficie e o volume dun octaedro que ten unha aresta de 5
centímetros.
S78. Calcule a superficie e o volume dun dodecaedro que ten unha aresta de 1
metro.
S79. Calcule a superficie e o volume dun icosaedro que ten unha aresta de 4
centímetros.
S80. Calcule o volume dun ortoedro de dimensións 12, 4 e 8 cm.
S81. Calcule a superficie dun cubo de 11 dm de aresta.
S82. Calcule o volume dun prisma hexagonal de lado da base 15 cm e 0,5 m de
altura.
Páxina 44 de 59
S83. As bases dun prisma recto son rombos de diagonais 8 cm e 6 cm. A altura do
prisma é 10 cm. Calcule a área total.
S84. A altura dun prisma recto é de 20 cm. As súas bases son trapecios cuxas bases
miden 11 cm e 16 cm, e a altura 12 cm. Calcule o seu volume.
S85. Calcule a superficie dun prisma de base hexagonal de 10 cm de altura e de 3
cm de lado da base.
S86. Un prisma cuadrangular ten unha altura de 5 cm e a aresta da súa base mide 3
cm. Calcule o seu volume.
S87. Calcule a superficie total dun prisma triangular de 6 cm de altura se a base é un
triángulo equilátero de 8 cm de lado.
S88. Unha piscina ten 10 m de longo, 6 m de largo e 2 m de profundidade. Canto
teremos que gastar se a queremos pintar e a pintura custa a 11 € o metro
cadrado?
S89. Unha piscina ten 10 m de longo, 6 m de largo e 2 m de profundidade. Canto
tempo tardará en encherse se a billa bota 25 litros de auga por minuto?
S90. Calcule o volume dunha pirámide cuadrangular de apotema 6 cm e 4 cm de lado
do cadrado da base. Lembre que terá que aplicar o teorema de Pitágoras para o
cálculo da altura.
S91. Calcule a área total dunha pirámide que ten de base un cadrado de 10 cm e
unha altura de 12 cm. Lembre que o primeiro é calcular a altura dun dos seus
triángulos laterais (apotema da pirámide) aplicando o teorema de Pitágoras.
S92. Calcule o volume dunha pirámide de base hexagonal que ten 6 cm de altura e 3
cm de lado da base.
S93. Calcule a superficie total dunha pirámide hexagonal regular, que ten base de
lado 30 cm e un apotema do hexágono de 26 cm, e a altura da pirámide é 26
cm.
S94. Calcule o volume dunha pirámide pentagonal de 9 cm de altura, cuxo polígono
da base é regular con 6 cm de lado e un apotema de 4,13 cm.
S95. Calcule a área dunha pirámide de base pentagonal de 14 cm de lado, 9,63 cm
de apotema da base e 60 cm de apotema lateral.
Páxina 45 de 59
S96. Unha pirámide ten por base un hexágono cuxos lados miden 10 m e o apotema
8,66 m. O apotema lateral da pirámide é de 44 m. Calcule o seu volume.
S97. Unha pirámide regular ten por base un cadrado de 8 cm de lado e a súa altura é
de 10 cm. Calcule a súa superficie total.
S98. Calcule o volume dunha pirámide regular de 80 cm de altura e de base
hexagonal e lado da base 30 cm.
S99. Unha pirámide ten a base cadrada. Sábese que a súa área total é de 1248 cm2
e a súa área lateral 992 cm2. Calcule o que miden os lados da base da pirámide.
S100. Calcule o volume dunha pirámide hexagonal de 13 cm de altura que ten como
raio da base 6 cm.
S101. A maior das tres pirámides que hai en Gizeh (Exipto) é a de Keops. A súa base
é un cadrado que mide 230 m de lado, e súa altura é de 147 m. Calcule a área
lateral total da pirámide.
S102. Un balón ten forma de esfera cun raio de 14 cm. Inflámolo ata que ten un
diámetro de 29 cm. Canto aumentou o seu volume?
S103. Calcule a superficie e o volume da seguinte figura:
S104. Un trofeo dun campionato de baloncesto ten unha base cilíndrica de 10 cm de
raio e 7 cm de altura. Ten enriba un tronco de cono de 3 cm de altura e raios 10
cm e 5 cm. Na parte superior ten un balón esférico de 4 cm de raio. Calcule o
volume do trofeo.
Páxina 46 de 59
S105. Dentro dunha circunferencia de raio 6 metros construímos un triángulo
equilátero inscrito nela. A altura do triángulo é 1,5 veces o raio da
circunferencia. Facemos xirar a figura sobre o eixe vermello obtendo unha
esfera cun cono dentro dela. Calcule o volume do espazo que está dentro da
esfera e fóra do cono. (NOTA: Para calcular o raio da base do cono debe utilizar
o teorema de Pitágoras).
S106. Temos un cilindro de raio 10 cm e cunha altura de 25 cm cheo de auga. Dentro
del introducimos un prisma hexagonal, de base regular, recto e macizo, que
encaixa de forma exacta dentro do cilindro. Ao introducilo no cilindro, parte da
auga que contén o cilindro é desaloxada. Calcule o volume de auga que queda
dentro do cilindro unha vez que rematamos de introducir o prisma.
S107. Un tronco de pirámide ten como bases hexágonos regulares. Unha das bases
ten un lado de 10 cm e a outra de 3 cm. A súa altura é de 14 cm. Calcule a súa
superficie e o seu volume.
S108. As bases dun tronco de cono teñen un diámetro de 14 cm e 4 cm. A altura do
tronco de cono é de 20 cm. Calcule a súa superficie e o seu volume.
S109. Indique cales das seguintes figuras son necesariamente sempre semellantes:
Todos os cubos. Todos os paralelepípedos.
Todos os prismas. Todas as pirámides.
Todos os icosaedros. Todas as esferas.
Todos os dodecaedros. Todos os cilindros.
Todos os conos. Todos os tetraedros.
S110. Calcule a altura dunha torre que proxecta unha sombra de 25 m sabendo que á
mesma hora un pau de 2 m de lonxitude proxecta unha sombra de 1,25 m.
Páxina 47 de 59
S111. Pedro quere saber a altura dun poste e aproveita para conseguilo unha poza
que hai nas proximidades, na que Pedro pode conseguir ver o extremo do
poste. A altura de Pedro é de 1,75 m. Para resolver o problema ten que
comezar por localizar dous triángulos semellantes e establecer a relación entre
os seus lados.
S112. As rectas a e b son paralelas. Podemos asegurar, a partir das medidas do
debuxo, que a recta c tamén é paralela ás rectas a e b?
S113. Unha fábrica de chocolates fabrica bombóns que envasa en caixas de dous
tamaños: tamaño normal e tamaño grande. As caixas de ambos os tamaños son
semellantes. A caixa normal ten como base un sector circular de raio 15 cm e un
ángulo de 60º. A súa altura é de 4 cm. Sabendo que o volume da caixa grande é
o dobre do volume da caixa normal, calcule a altura da caixa grande.
S114. Dúas latas cilíndricas de refresco de cola da marca “Refrescola” son
semellantes. A pequena contén 33 cl de refresco e a outra contén medio litro de
refresco. Calcule a razón que existe entre as superficies das bases de ambas as
latas.
S115. Hai algún tempo definíase o metro como “a dezmillonésima parte de cuadrante
de meridiano terrestre”. Segundo esa definición canto mide un meridiano? Cal é
o raio da Terra?
S116. Utilizando o teorema de Pitágoras, calcule o raio do paralelo 45º e a súa
lonxitude, utilizando como raio da Terra 6371 km.
S117. Utilizando como raio da Terra 6371 km, e supoñendo que a Terra é unha esfera
perfecta, calcule a superficie e o volume da Terra.
Páxina 48 de 59
4. Solucionario
4.1 Solucións das actividades propostas
S1. 165 cm2
S2. Área = 50 m2, Perímetro = 34,14 m
S3. 22,5 cm
S4. 2 400 metros.
S5. 432 mm2 e 520 mm2 respectivamente.
S6. 12,5 + 10,5 + 5 + 2,5 = 30,5 m2
S7. 841,86 m2 (usouse unha aproximación do apotema de dúas cifras decimais).
S8.
22,28 cm 38,33 m
S9.
25,13 cm2 91,63 m2
S10. 72º
S11.
P=12,40 cm A=25,13-22,61=2,52 cm2 P=34,20 m A=91,58-48,32=43,26 m2
S12.
P=106,81 cm A=53,41 cm2 P=157,08 m A=392,70 m2
S13.
285,62 m2. 55,93 cm2
Páxina 49 de 59
S14.
114,27 m2. 19,27 m2
S15.
Nome Caras Vértices Arestas C + V=A + 2
Tetraedro 4 4 6 4+4=6+2
Cubo ou Hexaedro 6 8 12 6 + 8 = 12 + 2
Octaedro 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2
Dodecaedro 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2
Icosaedro 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2
S16. 352 cm2
S17. 1331 dm3
S18. 5669,1 cm2
S19. 240 cm3
S20. 1354,4 cm2
S21. 234 cm3
S22. 78 cm2
S23. 166,32 cm3
S24. S=22680 cm2 V=234000 cm3
Páxina 50 de 59
S25. S=12800 cm2 V=96000 cm3
S26. 64 cm2
S27. 400 cm3
S28. 82,23 cm2
S29. 20280 cm3
S30. 210,49 cm2
S31. 6653,37 cm3
S32. 919,8 m2
S33. 213,33 cm3
S34. 9908.1 cm2
S35. 345,6 cm2
S36. 2592100 m3
S37. 9,05 m2
S38. 339,29 cm3
S39. 184,21 cm3
S40. 1696,46 cm2
S41. 392,5 cm2
S42. 1256,64 cm2
S43. 157,08 m2
S44. 2348,54 cm2
Páxina 51 de 59
S45. 36460,76 cm3
S46.
Si Non Si Non Non
Non Si Non Non Si
S47. 27 m
S48. 17,25 m
S49. 2,8 cm
S50. 64/125
S51. 13,74 cm
S52. 125000
S53. Escala 1:75. O corredor mide 5,25 metros.
S54. 62,5 quilómetros.
S55. 12 horas máis tarde no de chegada.
S56. 20 horas máis tarde no de saída.
Páxina 52 de 59
4.2 Solucións das actividades finais
S57. 128 m2
S58. 48 m2
S59. 51,376 m
S60.
85,408 cm2 40,192 cm2 43,15 cm2 8,398 cm2
S61. Raio = 2,39 cm. Área = 17,94 cm2
S62. 37,85 cm
S63. Área = 39,27 m2, Perímetro = 25,71 m
S64.
18,30 cm 45,71 km 387,98 m
S65.
18,46 cm2 117,81 km2 7199,48 m2
S66. 72º
S67.
P=14,88 cm A=13,35-0,78=12,57 cm2 P=21,71 km A=117,81-97,43=20,38 km2
S68.
P=125,66 cm A=879,65 cm2 P=471,24 km A=10602,88 km2
S69. 20,8 metros.
S70. P = 1850 cm, A = 75085 cm2
Páxina 53 de 59
S71. P = 18 + 12 ∙ √2 = 34,97 m, A = 40 m2
S72. 8383,65 m2
S73. P = 34,34 m, A = 69,88 m2
S74. P = 32,08 m, A = 40,39 m2
S75. S = 6,93 m2, V = 0,94 m3
S76. S = 54 m2, V = 27 m3
S77. S = 86,6 cm2, V = 58,93 cm3
S78. S = 20,65 m2, V = 7,66 m3
S79. S = 138,56 cm2, V = 139,63 cm3
S80. 384 cm3
S81. 726 dm2
S82. 29228,36 cm3
S83. 248 cm2
S84. 3240 cm3
S85. 226,8 cm2
S86. 45 cm3
S87. 137,69 cm2
S88. 1364 €
S89. 80 horas
S90. 30,17 cm3
Páxina 54 de 59
S91. 360 cm2
S92. 46,77 cm3
S93. 5649,26 cm2
S94. 185,85 cm3
S95. 2437,05 cm2
S96. 3735,87 m3
S97. 236,33 cm2
S98. 62353,83 cm3
S99. 16 cm
S100. 405,3 cm3
S101. 85853,8 m2
S102. 1276,01 cm3
S103. S=121,14 cm2, V=92,15 cm3
S104. 3016,98 cm3
S105. 752,1 m3
S106. 1358,79 cm3
S107. Superficie = 878,04 cm2; Volume = 1685,2 cm3
S108. Superficie = 901,23 cm2; Volume = 1656,67 cm3
S109.
Si Non Non Non Si
Si Si Non Non Si
Páxina 55 de 59
S110. 40 metros.
S111. 4,67 metros.
S112. Se se cumpren as condicións de proporcionalidade que establece o teorema de
Tales, podemos concluír que as rectas a, b e c son paralelas.
cmcm
cmcm
36,3
24,2
=
6,3234,2 ×=×
2,72,7 =
S113. 5,04 cm
S114. 1,32
S115. Meridiano = 40000000 m. = 40000 km. Raio = 6366,2 km
S116. Raio paralelo 45º = 4504,98 km. Lonxitude paralelo 45º = 28305,62 km
S117. Sup. = 510 064 472 km2; Vol. = 1 083 206 916 846 km3
Páxina 56 de 59
5. Glosario
A
Área Superficie dunha figura plana.
Aresta Segmento común a dúas caras dun poliedro
Apotema dun polígono regular Distancia entre o centro do polígono e o punto medio de calquera dos seus lados.
Apotema dunha pirámide Altura da cara lateral dunha pirámide.
C
Cara Cada un dos polígonos que limita un poliedro.
Cateto Lado que nun triángulo rectángulo forma parte do ángulo recto.
Cilindro Corpo xeométrico xerado a partir dun rectángulo que xira arredor dun dos seus lados.
Cono Corpo xeométrico xerado a partir dun triángulo rectángulo que xira arredor dun dos seus catetos.
Corpo de revolución Corpo tridimensional obtido xirando unha figura plana ao redor dun eixe.
Cubo (ou hexaedro) Políedro regular formado por seis caras que son cadrados.
D Dodecaedro Poliedro regular formado por doce caras que son pentágonos regulares.
E Escala Cociente entre cada lonxitude da reprodución, sexa plano ou mapa, e a
correspondente lonxitude na realidade.
Esfera Corpo de revolución que se xera ao facer xirar un semicírculo arredor do seu diámetro.
F Fuso horario Cada unha das 24 partes en que se dividiu a esfera terrestre polo ecuador para sinalar a variación horaria.
H Hexaedro (ou cubo) Políedro regular formado por seis caras que son cadrados.
Hipotenusa Lado que nun triángulo rectángulo non forma parte do ángulo recto.
I Icosaedro Poliedro regular formado por vinte caras que son triángulos equiláteros.
L Latitude Distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o ecuador e un punto calquera
da superficie terrestre.
Lonxitude Distancia, medida en graos, minutos e segundos, entre o meridiano 0º ou de Greenwich e un punto calquera da superficie terrestre.
M Meridiano Circunferencias imaxinarias sobre a superficie terrestre que cruzan os polos.
O Octaedro Poliedro regular formado por oito caras que son triángulos equiláteros
Ortoedro Paralelepípedo recto.
P
Paralelepípedo Prisma no que as bases son paralelogramos.
Paralelo Circunferencias imaxinarias na superficie terrestre que son paralelas ao ecuador.
Perímetro Lonxitude total das liñas que limitan unha superficie plana pechada.
Pirámide Poliedro que ten por base un polígono calquera e por caras laterais triángulos cun vértice común
Poliedro Figura tridimensional limitada por varios planos en forma de polígonos.
Poliedro regular Poliedro cuxas caras son polígonos regulares iguais e en cada un dos seus vértices converxe o mesmo numero de caras.
Prisma Poliedro limitado por dous polígonos iguais e paralelos entre si, que forman as bases, e as caras laterais que son paralelogramos.
Páxina 57 de 59
R Razón de semellanza Razón entre os lados homólogos de dúas figuras semellantes.
S Semellantes As figuras son semellantes cando teñen a mesma forma pero diferente tamaño.
T
Teorema de Pitágoras
Teorema que indica que nun triángulo rectángulo a suma dos cadrados dos catetos é igual ao cadrado da hipotenusa.
Tetraedro Polígono regular formado por catro caras que son triángulos equiláteros.
Tronco de cono Cono ao que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo á base.
Tronco de pirámide Pirámide á que se lle corta a parte do vértice cun corte paralelo á base.
V Vértice Punto dun poliedro no que se xuntan tres ou máis arestas.
X Xeratriz dun cilindro Lonxitude do lado oposto ao eixe.
Xeratriz dun cono Lonxitude da hipotenusa do triángulo que xira.
Páxina 58 de 59
6. Bibliografía e recursos Bibliografía
Libros para a educación secundaria a distancia de adultos. Ámbito tecnolóxico-
matemático, Consellería de Educación e Ordenación Universitaria.
Matemáticas ESO 1, Ed. Anaya, 2016.
Matemáticas ESO 2, Ed. Anaya, 2016.
Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas ESO 3, Ed. Anaya, 2016.
Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas ESO 3, Ed. Anaya, 2016.
Matemáticas enseñanzas académicas ESO 3, Ed. Santillana.
Matemáticas enseñanzas aplicadas ESO 3, Ed. Santillana.
Ligazóns de Internet
Nestas ligazóns pode atopar trucos e información que pode consultar para mellorar a
súa práctica.
http://www.mathwords.com/p/platonic_solids.htm
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Semejanza_po
ligonos/index_Semejan.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Poliedros_regulares_d3/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Cuerpos_d3/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Globo_terraqueo_d3/index.htm
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Triangulos_semejantes/index.htm
http://www.vitutor.com/geo/eso/sActividades.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_
A_problemas_geometricos/impresos/4quincena8.pdf
https://matesenelinsti.files.wordpress.com/2012/06/c3a1reas-y-volc3bamenes.pdf
http://www.colexioabrente.com/descargas/mate/3eso/3eso3.3boletinareasyvolumenes.pdf
https://www.matematicasonline.es/terceroeso/mat3eso12.html
Páxina 59 de 59
7. Anexo. Licenza de recursos Licenzas de recursos utilizadas nesta unidade didáctica
RECURSO (1) DATOS DO RECURSO (1) RECURSO (2) DATOS DO RECURSO (2)
RECURSO 1
Procedencia: www.google.es
RECURSO 2
Procedencia: www.google.es
RECURSO 3
Procedencia: www.google.es
RECURSO 4
Procedencia: www.google.es
