Analisis tensorial y geometra de Riemann

Nelson Merino Moncada Alfredo Perez Donoso

December 19, 2003

Abstract

El objetivo que motiva a trabajar con el calculo tensorial es conseguir

que la fsica sea independiente del sistema coordenado usado para su de-

scripcion. En otras palabras, se requiere que bajo una transformacion de

coordenadas, las ecuaciones que expresan las leyes de la fsica permanez-

can invariantes. El calculo tensorial nos permitira estudiar la geometra

de algun espacio, en particular la geometra de Riemann.

1 Introduccion

Un espacio euclidiano se caracteriza por el hecho que admite sistemas coorde-nados cartesianos que lo cubren completamente. Sin embargo, existen espaciosde naturaleza mas general, tal como una superficie curvada, la cual no permitela existencia de un unico sistema coordenado que la cubra completamente.

Iniciamos nuestro estudio generalizando el concepto primitivo de vector, de-bido al siguiente hecho:

Algunas cantidades fsicas como la velocidad y la fuerza son representadasindistintamente como vectores. Sin embargo, bajo una transformacion de co-ordenadas, sus componentes transforman de acuerdo a leyes distintas. Por lotanto, la velocidad y la fuerza son entes de distinto caracter. Esto nos llevara aintroducir el concepto de vector contravariante y de vector covariante.

Luego, se presentan algunas cantidades que para su especificacion requierenmas de un ndice, como por ejemplo la multiplicacion de las componentes dedos vectores (covariantes o contravariantes). Esto motiva a definir el conceptogeneral de tensor como un objeto cuyas componentes transforman segun unadeterminada ley de transformacion. Al introducir los conceptos de conexiony metrica, podremos hacer un estudio de las propiedades geometricas de unespacio dado. En particular, nos concentraremos en aquellos espacios que poseenuna geometra de Riemann, como por ejemplos las superficies inmersas en elespacio euclidiano tridimensional.

2 Variedades diferenciables

Definicion: Una variedad diferenciable n-dimensional es un conjunto continuode puntos M, cubierto completamente por un conjunto contable de vecindades

1

abiertas U1, ..., Un sobre los cuales pueden ser definidos sistemas coordena-dos, tales que en las intersecciones de dichas vecindades, sus correspondientessistemas estan relacionados unos a otros por transformaciones de coordenadasdiferenciables.

Una variedad puede ser concebida rusticamente como un espacio de di-mension n, analoga a una superficie n-dimensional. En general, ella no puede sercubierta completamente por un solo sistema coordenado. Curvas y superficiesen el espacio eucldeo tridimensional En representan ejemplos de variedades.

Figure 1:

Como se ve en la figura 1, sobre cada Ui esta definido un sistema coorde-nado de modo que a cada punto P Ui es posible asignar unvocamente unconjunto ordenado de numeros (x1, ..., xn) llamados coordenadas de P . Estemapeo uno a uno debe ser continuo, de modo que, cuando P se mueve en Ui, lacorrespondiente n-upla (x1, ..., xn) se mueve en un dominio D contenido en En.

Consideremos la figura 2. El conjunto M es una variedad diferenciable siadmite una construccion de modo tal que para todo punto P en la interseccionde dos abiertos, U1, U2 M , los correspondientes sistemas estan relacionadospor transformaciones de coordenadas diferenciables:

xj = xj(xi), (1)

xi = xi(xj).

Recordemos que:

xi

xjxj

xk= ik y

xj

xixi

xl= jl , (2)

2

Figure 2:

= (x1, ..., xn)

(x1, ..., xn)

(x1, ..., xn)

(x1, ..., xn)= 1. (3)

Luego, el jacobiano de la transformacion (1) no se anula sobre U1 U2.

3 Escalares, vectores y tensores

Presentaremos ahora ciertas entidades matematicas que pueden ser asociadassobre una variedad. El caso mas simple es una propiedad expresada por unnumero asociado a un punto P de la variedad, el cual por definicion no cambiabajo una transformacion de coordenadas (T.C.). Podemos pensar, por ejemplo,en un campo de temperaturas en alguna region del espacio.

Definicion:Una funcion real (xi), definida en una region de la variedadM , es llamada campo escalar si bajo una transformacion de coordenadas severifica:

(xj) = (xi). (4)

Veamos como transforma la diferencial de un campo escalar . Tenemos

= (xj), luego la diferencial del campo es d = xj

dxj .Usando la regla de la cadena y las ecuaciones (1) y (4) tenemos:

xj=

xlxl

xj, (5)

dxj =xj

xidxi. (6)

As tenemos:

d =

xjdxj =

xlxl

xjxj

xidxi =

xl

(

xl

xjxj

xi

)

dxi =

xl

(

xl

xi

)

dxi. (7)

3

De este modo obtenemos:

d =

xidxi = d. (8)

Por lo tanto la diferencial de un campo escalar es nuevamente un campoescalar.

El arreglo formado por las cantidades /xi es un objeto matematico lla-mado gradiente de , y otorga el incremento de como la suma de los produc-tos

xidxi. Esta entidad, que esta asociada a un punto y transforma segun la

ecuacion (5), es el prototipo de lo que se conoce como vector covariante.Por otro lado, el arreglo formado por las diferenciales de las coordenadas es

un ente cuya ley de transformacion para sus componentes es distinta (ecuacion6) y constituye el prototipo de lo que llamamos vector contravariante.

Definicion: Se dice que un conjunto de cantidades (A1, ..., An) son las com-ponentes de un vector covariante en un punto P de coordenadas (xi), si bajola T.C. xj = xj(xi), dichas componentes obedecen la siguiente ley de transfor-macion:

Ak =xi

xkAi. (9)

Para hallar la ley de transformacion inversa multiplicamos la ecuacion (9)por xk/xl:

xk

xlAk =

xi

xkxk

xlAi =

xk

xlAk =

ilAi =

xk

xlAk = Al. (10)

De este modo, la ley de transformacion (9) posee inversa y esta dada por:

Ak =xi

xkAi. (11)

Definicion:Se dice que un conjunto de numeros (A1, ..., An), son las com-ponentes de un vector contravariante en un punto P de coordenadas (xi), sibajo la T.C. xj = xj(xi), dichas componentes obedecen la siguiente ley de trans-formacion:

Bk =xk

xiBi. (12)

Analogamente se muestra que la ley de transformacion inversa esta dadapor:

Bk =xk

xiBi. (13)

Se debe enfatizar que estos objetos estan asociados a un punto de la variedadpero no son elementos de dicho espacio.

Previamente probamos que la diferencial de un campo escalar es un invari-ante. Pero la diferencial de dicho campo es la suma del producto de las com-ponentes de un vector covariante y uno contravariante. Por lo tanto, se infiereque en general el producto de las componentes de un vector covariante y uno

4

contravariante, AkBk, (ambos definidos en el mismo punto) es un escalar y se

le llama producto interno o producto escalar de los vectores A y B.Consideremos el producto de las componentes Ai de un vector contravariante

y las componentes Bk de un vector covariante. Veamos como transforma esteproducto bajo una T. C.:

AiBk =xi

xlAl

xm

xkBm =

xi

xlxm

xkAlBm. (14)

Las cantidades AiBk son las componentes de un ente que para ser especifi-cado completamente necesita mas de un ndice y que, bajo una transformacionde coordenadas, sus componentes transforman en forma lineal y homogeneasegun la ecuacion (14). Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion:Un conjunto de n2 cantidades T ik son las componentes de untensor de rango 2, de tipo ( 11), en un punto P , si bajo una T.C. dichas compo-nentes transforman segun la ley:

T ik =xi

xlxm

xkT lm. (15)

De aqu podemos obtener una definicion mas general de objetos que para suespecificacion requieren varios ndices.:

Definicion:Un conjunto de nr+s cantidades T i1...irk1...ks son las componentes deun tensor de rango r + s, de tipo ( rs), en un punto P si bajo una T.C. dichascomponentes transforman segun la ley:

T i1...irk1...ks =xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksT l1...lrm1...ms . (16)

Notemos que T i1...irk1...ks es un tensor de caracter mixto, contravariante de rangor y covariante de rango s. Ademas, la definicion nuevamente hace referenciaexplcita al punto P donde esta definido el tensor, debido a que las coordenadasxk del punto entran como argumento en cada una de las derivadas parciales.

Usando la ecuacion (2), se prueba que la ley de transformacion (16) poseeinversa y esta dada por:

T i1...irk1...ks =xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksT l1...lrm1...ms . (17)

Claramente los dos tipos de vectores definidos previamente son casos espe-ciales de tensores. Un vector contravariante es un tensor del tipo (10) y un vectorcovariante es un tensor del tipo (01). Un escalar es llamado tensor de rango cero.

En particular la relacion xj

xixi

xl= jl puede ser escrita en la forma:

jl =xj

xixk

xlik, (18)

lo cual muestra que la delta de Kronecker es un tensor del tipo (11). Pero (18) sereduce a jl =

jl , de modo que esta es una de las muy pocas entidades tensoriales

numericamente invariantes que es posible definir en una variedad cualquiera.

5

Verifiquemos la validez de la propiedad transitiva para los tensores. Consid-eremos, por ejemplo, el caso de un vector covariante Ai, pues el razonamiento esgeneral. Por la T.C. xi = xi(xj) se tiene (9) y por el nuevo cambio xi = xi(xj),aplicando la misma regla, resulta:

Ak =xi

xkAi =

xi

xkxj

xiAj =

xj

xkAj (19)

Es decir, verificando sucesivamente las transformaciones xi = xi(xj) y xi =xi(xj), se obtiene la misma ley que debe aplicarse para la transformacion xi =xi(xj).

Finalmente, de la ecuacion (16), se desprende que si todas las componentesde un tensor son nulas en un sistema coordenado (S.C.) entonces ellas se anulanen cualquier sistema coordenado. Esto se verifica directamente observando elcaracter lineal y homogeneo de la ley de transformacion de las componentes deun tensor.

4 Algebra tensorial sobre variedades

Consideremos ahora un tratamiento formal de los procesos algebraicos quepueden ser aplicados a tensores en un punto P fijo de la variedad M .

4.1 Adicion

Sea S i1...irk1...ks un tensor del tipo (rs) definido en el punto P . Su ley de transfor-

macion, de acuerdo con (16), es:

S i1...irk1...ks =xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksS l1...lrm1...ms , (20)

y sea el tensor T i1...irk1...ks cuya ley de transformacion esta dada por (16). La

suma de los tensores T i1...irk1...ks y Si1...ir

k1...kses dada por:12

T i1...irk1...ks + Si1...ir

k1...ks=

xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xks

(

T l1...lrm1...ms + Sl1...lr

m1...ms

)

, (21)

lo cual muestra que la suma T i1...irk1...ks +Si1...ir

k1...ksson las componentes de un tensor de

tipo (rs) en P . De (16) vemos tambien que las multiplicacion de las componentesde un tensor de tipo (rs) por un escalar conduce a un tensor del mismo tipo. Estoimplica que el conjunto de todos los tensores de tipo (rs) en el punto P de Mconstituye un espacio vectorial de dimension nr+s. En particular, el conjuntode todos los vectores contravariantes en P definen un espacio n-dimensionalllamado espacio tangente Tn(P ), mientras que el conjunto de todos los vectorescovariantes en P constituye el espacio tangente dual T n(P ) n-dimensional.

Es importante notar que la suma de tensores de distinto tipo no suministraun nuevo tensor..

6

4.2 Multiplicacion

La multiplicacion de las componentes de dos tensores de tipo (r1s1 ) y (r2s2

), definidos

en P , conduce a un tensor de tipo (r1+r2s1+s2) en P . Este proceso es llamado pro-ducto externo o directo.

Para ilustrar esto consideramos, por ejemplo, un tensor de tipo (21) y untensor de tipo (02), pues el razonamiento es general. Sus leyes de transformacionson respectivamente:

T jlm =xj

xixl

xkxp

xmT ikp , (22)

Sqr =xu

xqxv

xrSuv .

El producto de las componentes de estos dos tensores se transforma deacuerdo a:

T jlm Sqr =xj

xixl

xkxp

xmxu

xqxv

xrT ikp Suv (23)

lo cual es obviamente la ley de transformacion de las componentes de un tensorde tipo (23), V

ikpuv = T

ikp Suv .

El proceso de multiplicacion puede ser combinado con el proceso de adicionde tensores, con tal que sus respectivos tipos sean apropiados. Para estos clara-mente se satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva.

4.3 Contraccion

Dado un tensor de tipo (rs) es posible seleccionar un superndice y un subndicey reemplazarlos por dos ndices identicos. Luego, en virtud de la convencion desuma, la suma es implcita y las cantidades obtenidas constituyen las compo-nentes de un tensor de tipo (r1s1). En efecto:

T i1...i...irk1...i...ks =xi1

xl1...

xi

xl...

xir

xlrxm1

xk1...

xm

xi...

xms

xksT l1...l...lrm1...m...ms (24)

T i1...i...irk1...i...ks =

(

xi

xlxm

xi

)

xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksT l1...l...lrm1...m...ms

T i1...i...irk1...i...ks = ml

xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksT l1...l...lrm1...m...ms

T i1...i...irk1...i...ks =xi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksT l1...l...lrm1...l...ms ,

la cual es la ley de transformacion de un tensor de tipo (r1s1). Este proceso esconocido como contraccion.

Claramente, el proceso de contraccion de un tensor de tipo (11) da origen aun escalar. En particular, para el caso del delta de Kronecker tenemos:

jj = 11 + ...

nn = n. (25)

7

Ademas, es posible formar el producto de las componentes de tensores detipo arbitrario, referidos al mismo punto, y luego contraerlos (con tal que losprocesos de multiplicacion conduzcan a tensores de tipo (rs) con r 1 y s 1).

4.4 Simetrizacion

Un tensor es llamado simetrico con respecto a un par de superndices, o un parde subndices, si el intercambiarlos no afecta el valor de las componentes dedicho tensor. Si, por otro lado, este proceso afecta a cada componente multi-plicandola por 1, entonces el tensor es llamado antisimetrico en dichos ndices.Finalmente se dice que un tensor es totalmente simetrico (antisimetrico) si lo escon respecto a cualquier par de superndices o a cualquier par de subndices. Engeneral cuando hablemos de tensores simetricos (antisimetricos) nos referimos atensores totalmente simetricos (antisimetricos) salvo que se indique lo contrario.

Por ejemplo, si Aij y Bij son las componentes de tensores de tipo (02), en-

tonces Aij es un tensor simetrico si:

Aij = Aji, (26)

y Bij sera un tensor antisimetrico si

Bij = Bji. (27)

Como consecuencia inmediata de la forma de la ley de transformacion detensores, estas ecuaciones son validas en cualquier sistema coordenado.

Teorema: Todas las propiedades de simetra y de antisimetra de los ten-sores son independientes de la eleccion del sistema coordenado.

Dado un tensor de tipo (rs) con r > 1 o s > 1, podemos construr a partir dedicho tensor, un tensor simetrico y un tensor antisimetrico en cualquier par desuperndices o en cualquier par de subndices. Por ejemplo a partir del tensorAij podemos definir:

Sij :=1

2(Aij + Aji) , (28)

Tij :=1

2(Aij Aji) ,

los cuales son simetricos y antisimetricos respectivamente. El proceso que cor-responde a Sij es referido como simetrizacion.

Vemos tambien que todo tensor de tipo (rs) con r > 1 o s > 1, se puedeexpresar como suma de un tensor simetrico y uno antisimetrico en cualquier parde superndices o subndices. En el caso anterior tenemos:

Aij =1

2(Aij + Aji) +

1

2(Aij Aji) . (29)

8

4.5 Invariancia de las ecuaciones tensoriales

Hemos visto que los tensores pueden ser sumados, restados o, mas generalmente,linealmente combinados con coeficientes escalares. Podemos formar productosentre tensores y luego contraerlos con tal que los procesos de multiplicacionconduzcan a tensores de tipo (rs) con r 1 y s 1. Y todo esto es posible si ysolo si ellos se refieren al mismo punto de M .

Tambien se menciono que un importante tensor de cada tipo es el tensorcero de ese tipo. Dicho tensor es numericamente invariante debido a que su leyde transformacion es lineal y homogenea. Por ejemplo, esto tiene como con-secuencia que una ecuacion como Skl...pq... = T

kl...pq... sea independiente del sistema

coordenado, ya que esto es equivalente a afirmar que Skl...pq... T kl...pq... es el ten-sor nulo. Este hecho es el que garantiza el teorema de la invariancia de laspropiedades de simetra y antisimetra de los tensores. Obviamente si S y T sonde distinto tipo, o bien, si se refieren a puntos distintos, la ecuacion carece detodo sentido invariante.

Consideremos ahora un tensor de tipo (rs), r vectores covariantes, s vectorescontravariantes, y el siguiente producto contrado:

Skl...pq...AkBl...FpGq ... . (30)

Entonces, de acuerdo con las reglas de producto externo e interno, estamultiplicacion es un escalar.

La proposicion inversa es tambien verdadera: Supongamos que no sabemossi un arreglo de numeros S...... tiene caracter tensorial, pero sabemos que (30) esun escalar para cualquier conjunto arbitrario de vectores A...G.... Entonces S ......son las componentes de un tensor del tipo definido por sus ndices.

En efecto, para probar esto consideremos una transformacion particular yllamemos S...... a las componentes de S transformadas como si fuera un ten-sor. Llamemos S...... a cualquier conjunto de numeros que comparte con S

...... la

propiedad de hacer (30) un escalar. Es decir tenemos:

Skl...pq...AkBl...FpGq ... = Skl...pq...AkBl...F

pGq ... , (31)

Skl...pq...AkBl...FpGq ... = Skl...pq...AkBl...F

pGq ... .

Estas ecuaciones expresan que S...... y S...... dejan (30) invariante. Restandolas

obtenemos:(

Skl...pq... Skl...pq...)

AkBl...FpGq ... = 0, (32)

Skl...pq... Skl...pq... = 0,Skl...pq... = S

kl...pq... .

Es decir, usando la arbitrariedad de los vectores A...G... hemos probado queestos arreglos son iguales y por lo tanto bajo las hipotesis mencionadas S debeser un tensor.

9

5 Densidades tensoriales.

Consideremos un campo vectorial contravariante Ak y las cuatro integrales:

Akdnx, (33)

donde dnx = dx1dx2...dxn y la integral se toma sobre una region dada de M .Observamos que estas integrales no son invariantes bajo T.C. y por lo tanto noson las componentes de algun nuevo vector. Del mismo modo, consideremos laintegral de un campo escalar A:

I =

Adnx. (34)

Veamos como transforma bajo una T.C.. El elemento de volumen queda:

dnx =

xk

xj

dnx, donde

xk

xj

es el determinante jacobiano de la transformacion.

Luego:

I =

Adnx =

A

xk

xj

dnx 6=

Adnx = I . (35)

De este modo I no es invariante bajo una T.C. Pero nos interesa que laintegral I s sea un escalar. Por otra parte, sabemos que si sumamos solocantidades escalares el resultado es un escalar. En nuestro caso tenemos unaintegral en vez de una suma. Luego si Adnx es un escalar entonces I sera unescalar. Para esto la ley de transformacion de A no debe ser A = A, sino:

A =

xi

xk

A, (36)

de modo que:

I =

Adnx =

A

xi

xk

xk

xj

dnx =

Adnx = I . (37)

Ahora I es un escalar, pero A ya no lo es. Esto motiva la siguiente definicion:Definicion: Una cantidad es llamada densidad escalar o pseudoescalar

de peso p si bajo una T.C. esta obdece la ley:

=

xi

xk

p

. (38)

De lo anterior se concluye que la integral de una densidad escalar de peso 1es un escalar.

Vamos a extender la nocion de densidad a entidades de mas componentes.Definicion: Un conjunto de nr+s cantidades i1...irk1...ks son las componentes

de una densidad tensorial de peso p y tipo ( rs), en un punto P , si bajo una T.C.dichas componentes transforman segun la ley:

i1...irk1...ks =

xi

xk

pxi1

xl1...

xir

xlrxm1

xk1...

xms

xksT l1...lrm1...ms . (39)

10

No se debe inferir que la integral de las componentes de una densidad ten-sorial es un tensor, pues no lo es (salvo el caso de una densidad escalar).

Consecuencias inmediatas de la definicion de densidades tensoriales son:(i) Si todas las componentes de una densidad son nulas en un S.C., entonces

son nulas en cualquier S.C.(ii) La suma o diferencia de densidades del mismo tipo y referidas al mismo

punto es otra densidad del mismo tipo.(iii) Ecuaciones entre densidades, referidas al mismo punto son independi-

entes del S.C.(iv) El producto de una densidad tensorial por un tensor es una densidad

tensorial.(v) La contraccion de ndices puede realizarse para densidades tensoriales

de tipo (rs) con r, s 1, igual que para tensores, resultando una densidad detipo (r1s1).

Estas propiedades residen nuevamente en el caracter lineal y homogeneo dela transformacion (39).

A continuacion se presentan algunas consideraciones con respecto a las den-sidades.

(1) Sea Ti1...in un tensor tipo (0n) totalmente antisimetrico. Si denotamos

el valor numerico de T123...n por , entonces cualquier otra componente Ti1...insera de acuerdo a si la permutacion i1...in es par o impar, o bien sera nulasi se repite un ndice. Escribamos la ley de transformacion para T12...n:

T12...n =xk1

x1xk2

x2...

xkn

xnTk1...kn . (40)

Escribiendo explcitamente la suma y usando las propiedades antisimetricasde T se obtiene:

T12...n =

xk

xi

T12...n, (41)

es decir,

=

xk

xi

. (42)

Esto significa que un tensor antisimetrico de tipo (0n) puede ser consideradoalternativamente como una entidad con una sola componente, la cual es unpseudoescalar.

(2) Sea A un escalar y i1...in una entidad que en cualquier S.C. esta definidocomo A de acuerdo con el signo de la permutacion i1...in es par o impar, perocero si los ndices no son todos diferentes. Una forma de expresar que A es unescalar es:

i1...in =

xk

xi

xi1

xk1...

xin

xknk1...kn . (43)

Esto se prueba usando las propiedades de definicion del objeto . Desarrol-lando explcitamente la suma se obtiene un determinante que se cancela con el

11

del lado derecho de (43):

i1...in =

xk

xi

xk

xi

i1...in , (44)

i1...in = i1...in . (45)

Esto expresa que A es un escalar. Por lo tanto, es una densidad tensorialantisimetrica del tipo (n0 ). Es costumbre denotar el caso particular A = 1como i1...in . Esta densidad es una herramienta muy util y recibe el nombre dedensidad tensorial de Levi-Civita.

(3) Consideremos una variedad de 4 dimensiones. A partir de klmn y untensor antisimetrico de tipo (02), kl, podemos formar los siguientes productos:

1

8klmnklmn = 1234 + 2314 + 3124, (46)

1

2klmnkl = f

mn.

los que son una densidad escalar y una densidad tensorial de tipo (20), re-spectivamente. De este modo vemos que podemos obtener densidades a partirde tensores antisimetricos.

(4) Consideremos el tensor antisimetrico Aikl en una variedad de 4 dimen-siones. Entonces se puede probar que, en principio, el numero de componentesindependientes de este tensor es 4. Si formamos la siguiente densidad vectorialcontravariante:

1

6klmnAklm =

n. (47)

entonces las componentes de seran las componentes independientes de A. Porlo tanto, un tensor antisimetrico de tipo (03), Aklm, puede ser mapeado a unadensidad vectorial contravariante, n, cuya n-esima componente correspondea la componente klm del tensor, donde (k, l, m, n) es una permutacion par de(1, 2, 3, 4).

(5) A partir de un vector covariante Bk se puede formar la siguiente densidadtensorial antisimetrica de tipo (30):

klm = klmnBn. (48)

Todo esto nos lleva al siguiente teorema:Teorema: A todo tensor antisimetrico Ti1...ip de orden p n se le puede

hacer corresponder una densidad tensorial de tipo (np0 ) cuyas componentescontienen las componentes independientes del tensor. Las componentes de estan dadas por :

j1 ...jnp =1

p!j1... jnp i1...ipTi1...ip , (49)

y recibe el nombre de densidad adjunta o dual del tensor original.

12

(6) Sea gik un tensor de tipo (02) cuya ley de transformacion para sus com-

ponentes es:

gik =xl

xixm

xkglm =

xl

xiglm

xm

xk. (50)

Escribamos (49) en forma matricial:

gik = aliglm

(

aT)m

ko bien G = AGAT , (51)

con ali =xl

xi

y(

aT)m

k=

xm

xk.

Calculamos el determinante de ambos lados de la ecuacion (50) tenemos:

det G = det(A) det(G) det(AT ) (52)

det G = det(A) det(G) det(A)

det G = det 2(A) det(G). (53)

Si denotamos det(G) = g, det(G) = g y det(A) =

xi

xk

, tenemos:

g =

xi

xk

2

g. (54)

Ahora calculamos la raz cuadrada y obtenemos:

g =

xi

xk

g. (55)

Por lo tanto, concluimos que:Proposicion: (i) La raz del determinante de cualquier tensor covariante

de rango 2 es una densidad escalar de peso 1.(ii) La raz del determinante de cualquier tensor contravariante de rango 2

es una densidad escalar de peso 1.La afirmacion (ii) se prueba en forma analoga al que usamos para llegar a

(i).De este modo, si gij es un tensor y su menor lo denotamos por M

ij , entoncespodemos escribir:

gmkMlk = lmg (56)

gmkM lk

g= lm

Notemos que (56) es valido en cualquier sistema coordenado siempre queM lk sea el menor de glk en ese sistema. Ahora bien:

(*) las cantidades M lk/g estan completamente determinadas,(*) sabemos que lm es un tensor de tipo (

11) y gmk es un tensor de tipo (

02),

13

(*) la ecuacion (56) es invariante bajo transformaciones coordenadas.Por lo tanto, las cantidades M lk/g deben ser las componentes de un tensor.Teorema: Los menores normalizados de un tensor covariante de rango 2

forman un tensor contravariante de rango 2 denotado por:

glk =M lk

g. (57)

Se puede probar facilmente lo inverso, es decir, si formamos los menoresnormalizados de glk obtenemos un tensor covariante de rango 2. Mas aun, esetensor es justamente glk.

Si multiplicamos (57) por la raz del determinante de gik obtenemos obvia-mente una densidad tensorial contravariante de rango 2:

%lk =M lk

g(58)

%lk =

gglk

Una importante consideracion final tiene que ver con el producto externo. Sieste es puramente externo, es decir, no envuelve contracciones, entonces dichoproducto puede ser nulo si y solo si uno de sus factores es el tensor cero. En otraspalabras, en el algebra de tensores y densidades tensoriales no hay divisores decero.

6 Analisis tensorial

6.1 Derivada ordinaria

Salvo el caso de un escalar, la derivada de las componentes de un tensor notiene sentido invariante (independiente de las coordenadas), ya que resulta dela sustraccion de tensores referidos a puntos distintos. Aqu no importa quelos puntos sean cercanos pues precisamente en la derivada se contempla elcambio de la componente del tensor producido por un pequeno cambio de lascoordenadas.

Veamos, por ejemplo, como transforma la derivada de un vector covarianteAk y que se denota por Ak,i. La ley de transformacion de Ak es:

Ak =xl

xkAl, (59)

de modo que

Ak,i =Akxi

=xl

xkxm

xiAlxm

+2xl

xixkAl. (60)

Vemos que la derivada parcial de un campo tensorial con respecto a lascoordenadas xi se comporta como un tensor tipo (02) excepto por el segundo. La

14

ley de transformacion es lineal pero no homogenea, lo que implica que si nuestroarreglo de derivadas se anula en un S.C. entonces no se anula necesariamenteen otro.

Un resultado analogo se obtiene cuando uno procede a derivar las compo-nentes de cualquier tensor o pseudotensor. Por ejemplo, la ley de transformacionde un tensor tipo (02) es:

Ajk = jxl kx

mAlm , donde i =

xi, (61)

luego:

Ajk,i = iAjk = jxlkx

mixnnAlm +

(

ijxl kx

m + jxl ikx

m)

Alm.(62)

Hay dos terminos restantes que son combinaciones lineales de las compo-nentes no derivadas, y cuyos coeficientes son segundas derivadas de las coorde-nadas.

Vamos a considerar ahora algunas construcciones que incluyen derivadasparciales y, sin embargo, si son tensores.

(I) Sabemos que la derivada de un campo escalar, , es un vector covariante,,k. Calculamos ahora ,ki y ,ik y formemos lo que se llama rotor del gradientede :

,k = kxl l = kx

l ,l , (63)

,i = ixl ,l , (64)

,ki = kxl ix

m ,lm + ikxl ,l ,

,ik = ixl kx

m ,lm + kixl ,l = ix

m kxl ,ml + kix

l ,l ,

,ki ,ik = kxl ixm(,lm ,ml).

Notar que en la tercera lnea se intercambiaron los ndices mudos m y l. Asvemos que el rotor es un tensor tipo (02). Claramente el rotor del gradiente deun campo escalar es cero (asumimos que es de clase C 2).

(II) Del mismo modo se verifica que el rotor de un campo vectorial covariantecualquiera Ak: kAi iAk es un tensor tipo (02):

Ak = kxlAl = Ai = ixlAl, (65)

iAk = kxl ix

m mAl + ikxl Al,

kAi = ixl kx

m mAl + kixl Al,

iAk kAi = kxl ixm (mAl lAm) .

De este modo, el rotor de un vector covariante es un tensor antisimetrico detipo (02).

(III) Formemos ahora lo que llamamos divergencia cclica de un rotor:

l(iAk kAi) + i(kAl lAk) + k(lAi iAl) = 0. (66)

15

Vemos que la divergencia cclica de un rotor es nula. Veremos a contin-uacion que la divergencia cclica de cualquier tensor antisimetrico tipo (02) (porsupuesto, el rotor cuenta entre ellos) es un tensor antisimetrico tipo (03). Enefecto, sea Tik un tensor antisimetrico. Entonces:

Tik = ixl kx

mTlm. (67)

Queremos mostrar que jTik + iTkj + kTji es un tensor. Para esto cal-culemos dichos sumandos a partir de (67):

j Tik = ixl kx

m jxn nTlm +

(

j ixl kx

m + ixl j kx

m)

Tlm, (68)

iTkj = kxl jx

m ixn nTlm +

(

ikxl jx

m + kxl ijx

m)

Tlm, (69)

kTji = jxl ix

m kxn nTlm +

(

kjxl ix

m + jxl kix

m)

Tlm. (70)

Si se suman los tres terminos, se combinan adecuadamente los ndices mudosl, m y n, y se usan las propiedades de antisimetra de T , se obtiene:

j Tik + iTkj + kTji = ixl kx

m jxn (nTlm + lTmn + mTnl) (71)

lo cual prueba que la divergencia cclica de un tensor antisimetrico tipo (02)es un tensor antisimetrico tipo (03).

Debemos tener cuidado si queremos continuar. Si formamos las derivadasparciales de las componentes de un tensor antisimetrico tipo (03) y sumamos laspermutaciones cclicas, debemos inclur un signo () cuando la permutacion seaimpar.

Estos son casos en que combinaciones lineales de las primeras derivadas detensores tiene caracter tensorial. As:

-Si el gradiente de un campo escalar es nulo, entonces es constante.-Si el rotor de un vector covariante es nulo, entonces el vector es un gradiente

de alguna funcion escalar.Todo esto no es suficiente para establecer un analisis tensorial exhaustivo so-

bre una variedad. Una simple pregunta aun no tiene respuesta: Que condicioncaracteriza un campo vectorial covariante constante? Obviamente la respuestano es Ak,i = 0, pues esta ecuacion no es invariante bajo T.C.

6.2 Derivada invariante de tensores

Queremos establecer cuanto vara un tensor de un punto al siguiente. Consid-eremos nuevamente el caso de la derivada de un vector covariante:

Akxi

=xl

xkxm

xiAlxm

+2xl

xixkAl. (72)

Supongamos que tenemos razon para afirmar que Ak es constante si Ak/xi =

0. En otro S.C. esto se expresa como:

Akxi

2xl

xixkAl = 0. (73)

16

Pero, Al =xn

xlAn. Luego para expresar (73) consistentemente escribimos:

Akxi

xn

xl2xl

xixkAn = 0. (74)

Si definimos:

nki =xn

xl2xl

xixk, (75)

entonces (74) se escribe:

Akxi

nkiAn = 0, (76)

la cual expresa en un S.C. arbitrario que el arreglo de derivadas parcialesAk/x

i se anula en el S.C. original. Puesto que la T.C. xk = xk(xi) es arbi-traria, en particular puede ser la transformacion identidad. Entonces (43) nosdice que, necesariamente en el S.C. original, nki = 0. En realidad,

nki = 0 en el

S.C. original y en todos los que se relacionen con el mediante transformacioneslineales de coordenadas, ya que para estas se anulan las segundas derivadas en(42). Pero el hecho de que estos sistemas sean distinguidos, por el hecho deque los nki sean nulos, es un problema que milita contra la idea de invarianzageneral. Sin embargo, esto se supera de una manera muy simple: abandonamostal suposicion. Esto nos lleva al concepto de conexion afn.

Definicion: Llamamos conexion afn o afinidad, nki, a un arreglo de n3

funciones para las cuales:(i) Asumimos un conjunto de valores arbitrarios en un S.C. particular y(ii) Estan sujetos a una ley de transformacion que hace a la siguiente ex-

presion un tensor:44Ak,i Annki Ak;i (77)

donde Ak,i es la derivada ordinaria de Ak y Ak;i es llamado derivada in-variante de Ak con respecto a la conexion

nki.

Se debe notar que nki esta impuesta sobre nuestra variedad, y es una nuevaentidad.

Nuestra consideracion inicial es un caso particular de (i) donde elegimosnki = 0.

Inferimos que (ii) se satisface si adoptamos para nki la siguiente ley detransformacion:

nik =xn

xlxr

xixs

xklrs +

xn

xl2xl

xixk. (78)

El termino adicional es independiente de nki, depende solo de la transfor-macion de coordenadas. Esto es coherente con el hecho de que la conexion noes nula en todos los S.C. aun cuando puede serlo en algunos. Notamos que laconexion no es un tensor, puesto que (77) es lineal pero no homogenea. Ademas,es claro de (77) que la conexion es simetrica con respecto a los subndices.

Ahora bien, el hecho de que la parte no homogenea sea la misma paracualquier afinidad tiene consecuencias relevantes. Consideremos dos afinidades,

17

klm y klm, en la misma variedad. Entonces la diferencia es un tensor. En efecto,

bajo una T.C. se tiene:

nik n

ik =xn

xlxr

xixs

xklrs +

xn

xl2xl

xixk x

n

xlxr

xixs

xklrs

xn

xl2xl

xixk,

(79)

nik n

ik =xn

xlxr

xixs

xk

(

lrs lrs)

.

Luego la diferencia klm klm es un tensor.Si ahora pensamos en una conexion klm y una variacion infinitesimal de esta,

klm + klm, entonces la diferencia

klm es un tensor. De este modo concluimos

que la suma de una afinidad y un tensor es una afinidad. Veamos que sucede sisumamos dos afinidades, klm y

klm:

nik + n

ik =xn

xlxr

xixs

xklrs +

xn

xl2xl

xixk+

xn

xlxr

xixs

xklrs +

xn

xl2xl

xixk,

(80)

nik + n

ik =xn

xlxr

xixs

xk

(

lrs + lrs

)

+ 2xn

xl2xl

xixk.

Luego la suma de dos afinidades no es una afinidad. Pero si y sonnumeros tales que + = 1 entonces tenemos:

nik + n

ik = xn

xlxr

xixs

xklrs +

xn

xl2xl

xixk+

xn

xlxr

xixs

xklrs +

xn

xl2xl

xixk(81)

nik + n

ik =xn

xlxr

xixs

xk

(

lrs + lrs

)

+ xn

xl2xl

xixk+

xn

xl2xl

xixk

nik + n

ik =xn

xlxr

xixs

xk

(

lrs + lrs

)

+xn

xl2xl

xixk.

Por lo tanto, lrs + lrs es una afinidad si y solo si + = 1.

Las conexiones afn o afinidades son un tipo relevante de entidades, ademasde los tensores y densidades. La nocion de derivada invariante introducida es(76) no es un concepto absoluto sino que se refiere a una cierta afinidad, lacual debe ser indicada. Si se han introducido mas que una, entonces debemosdistinguir las derivadas tomadas con respecto a afinidades distintas.

Se extendera ahora la nocion de derivada invariante a otros tensores. Parecenatural exigir a la derivacion invariante lo siguiente:

(i) que la regla ordinaria de la derivacion de un producto se mantenga en laderivacion invariante del producto de tensores,

(ii) que la derivada invariante de un escalar sea la derivacion ordinaria.Desde la igualdad Ak =

lkAl, la regla del producto nos dice que:

Ak;m = lk;mAl +

lkAl;m, (82)

18

y puesto que (82) debe mantenerse para cualquier S.C. se debe tener que lk;m =0. Es decir, la derivada invariante del tensor delta de kronecker consideradocomo un campo debe ser cero con respecto a cualquier afinidad.

Consideremos ahora el invariante AkBk. De acuerdo con (i) y (ii) tenemos:

(

AkBk)

,i=(

AkBk)

;i, (83)

AkBk,i + Ak,iB

k = AkBk;i + Ak;iB

k = AkBk;i + (Ak,i Annki) Bk.

Por cancelacion de terminos obtenemos:

AkBk;i = AkB

k,i + AnB

knki. (84)

Si escribimos (84) intercambiando los ndices mudos n y k del ultimo termino,tenemos:

AkBk;i = AkB

k,i + AkB

nkni , (85)

Ak(

Bk;i Bk,i Bnkni)

= 0,

pero Ak es arbitrario, luego:

Bk;i = Bk,i + B

nkni. (86)

Esta ultima ecuacion expresa la derivada invariante de un vector contravari-ante donde obviamente Bk,i = B

k/xi. Para verificar que Bk;i es un tensor

miramos la ecuacion (83) donde tenamos(

AkBk)

,i= AkB

k;i + Ak;iB

k. El vec-

tor Ak es arbitrario y todos los terminos, salvo el primero del lado derecho, sonvectores. Luego Bk;i es un tensor.

Es Bk,i + Bnkin un tensor? (notar que se intercambiaron los subndices i,

n) Obviamente s, si es simetrico. Sin embargo si es antisimetrico entoncesdicha expresion tambien es un tensor, pero es la derivada invariante de Bk conrespecto a otra afinidad que resulte de intercambiar los subndices de la primera.

Para un tensor general T kl...pq... aplicamos consideraciones similares al invarinte:

T kl...pq...AlBl...FpGq , (87)

con Al, Bl, ..., Fp, Gq vectores arbitrarios. Se obtiene entonces que para la

derivada ordinaria hay terminos adicionales, uno por cada ndice de T , cadauno de los cuales consta de una contracion entre las componentes de T y .Siguiendo el modelo anterior se obtiene:53

T kl...pq...;i = Tkl...pq...,i + T

nl...pq...

kni + T

kn...pq...

lni + ... T kl...nq...npi T kl...pn...nqi ... (88)

Notar que el ndice de diferenciacion es siempre el segundo ndice covariantede y los restantes lugares son ocupados para asignar el que falta de T .

19

6.3 Transporte paralelo

Una forma interesante de introducir el concepto de derivada invariante y conexiones la siguiente. Hemos visto que la derivada ordinaria de un campo vectorialcovariante tiene problemas:

Ai,j = limdxj0

Ai(xk + dxk)Ai(xk)

dxj. (89)

Para que la definicion sea consistente debemos transportar paralelamenteAi(x

k) desde el punto de coordenadas xk hasta xk + dxk y luego realizar ladiferencia. Denotamos por Ai al cambio en las coordenadas de Ai luego detransportarlo paralelamente a lo largo de dxk, como se ve en la figura.

Figure 3:

Es de esperar que Ai sea proporcional al desplazamiento dxk y tambien a

Al. Por lo tanto suponemos:

Ai = likAldx

k. (90)

donde los lik son funciones de las coordenadas y caracterizan el desplaza-miento paralelo. Estas funciones son las componentes de lo que llamamos unaconexion.

Ahora s podemos hacer la diferencia en (89):

limdxj0

Ai(xk + dxk)Ai(xk) Ai

dxj(91)

limdxj0

Ai(xk + dxk)Ai(xk)

dxj kilAk

dxl

dxj

limdxj0

Ai(xk + dxk)Ai(xk)

dxj kijAk

Ai,j kijAk.

20

Esto nos lleva a la definicion de la derivada invariante de un vector covariantemediante la siguiente ecuacion:

Ai;j := Ai,j kijAk. (92)

Para encontrar la expresion de la derivada invariante de un vector contravari-ante, debemos determinar el transporte paralelo de este vector.

Para esto consideramos que el transporte paralelo del escalar AiBi es nulo:

(AiBi) = 0, (93)

AiBi + AiB

i = 0,

jikAjdxkBi + AiB

i = 0,

Ai(

ijkdxkBj + Bi

)

= 0.

Usando la arbitrariedad de Ai tenemos:

Bi = ijkdxkBj . (94)

Por lo tanto, la derivada invariante de un vector contravariante utilizandola idea del transporte paralelo es:

Bi; j := Bi,j +

kijAk. (95)

Para un tensor general, T kl...pq... , aplicamos consideraciones similares al escalar

T kl...pq...AkBl...FpGq ..., con Ak, Bl, ...,F

p, Gq ...,vectores arbitrarios. Lo que ahorapedimos es que la expresion que determina el desplazamiento paralelo de dichoescalar, T kl...pq..., sea nulo. Siguiendo el modelo anterior se obtiene:

T kl...pq...; i = Tkl...pq..., i + T

nl...pq...

kni + T

kn...pq...

lni + ... T kl...nq...pni T kl...pn...

qni ... . (96)

7 Torsion

Dada una conexion es posible definir el tensor de torsion.Definicion:

Se define el tensor de torsion como:

T kij := kij kji. (97)

Notemos que este transforma como tensor debido a que al hacer la diferenciade las conexiones, se anula el termino no homogeneo de la ley de transformacion.

Una interesante interpretacion geometrica de la torsion es la siguiente:

21

Figure 4:

Consideremos tres puntos P , Q , S de la variedad, infinitesimalmente cer-canos, tal que las coordenadas de P son xk , dxk1 es la diferencia de las coor-denadas de los puntos P y Q, y dxk2 es la diferencia de las coordenadas delos puntos P y S (ver figura 4). Si transportamos las diferenciales dxk1 y dx

k2 ,

ambos vectores definidos en P , de tal manera que se forme un paralelogramo,encontremos la condicion para que el paralelogramo se cierre.

(1) Desplacemos primero el vector dxk2(P ) a traves de dxk1 .As tendremos

quedxk2(Q) = dx

k2 + dx

k2 = dx

k2 kijdxi2dxj1 (98)

es el nuevo vector transportado en Q. Este nos permite definir las coorde-nadas de un nuevo punto R1, cuyas coordenadas son: xk+dxk1+dx

k2kijdxi2dxj1.

(2) Desplacemos el vector dxk1(P ) a traves de dxk2 .Ahora encontramos:

dxk1(S) = dxk1 + dx

k1 = dx

k2 kijdxi1dxj2. (99)

Este nuevo vector transportado en S nos permite definir las coordenadas deun nuevo punto R2 cuyas coordenadas son: xk + dxk2 + dx

k1 kijdxi1dxj2.

Si queremos que el paralelogramo se cierre es necesario que los puntos R1 yR2 coincidan. Igualando las coordenadas de ambos puntos, encontramos:

xk + dxk2 + dxk1 kijdxi1dxj2 = xk + dxk1 + dxk2 kijdxi2dxj1, (100)

kij kji = 0. (101)

Por lo tanto la condicion para que el paralelogramo se cierre es que la torsionsea nula, o equivalentemente que la conexion sea simetrica en sus ndices covari-antes. Notemos que esta condicion es independiente del sistema coordenadodebido a que la torsion es un tensor.

22

Figure 5:

8 Integrabilidad y Curvatura

Anteriormente definimos el transporte paralelo de un tensor desde un punto Pde coordenadas xj a un punto Q de coordenadas xj + dxj . Podemos hacer unasucesion de transportes comenzando desde un punto P de tal manera de volveral mismo punto original P, formando un circuito cerrado. La pregunta naturalque surge es si el vector transportado coincide con el vector original, es decir, siel transporte entre dos puntos es independiente de la trayectoria.

Figure 6:

Definicion:

Decimos que una conexion kij es integrable si el transporte paralelo asociadoa ella es independiente de la trayectoria.

23

Encontremos las condiciones que debe satisfacer una conexion para que seaintegrable.

Para ello, consideremos un vector contravariante Ak asociado a un punto Pde coordenadas xj . Definamos un campo vectorial tal que el vector asociado aun punto Q coincida con el vector Ak transportado desde P a Q, es decir,

Ak + dAk = Ak + Ak, (102)

como dAk = Ak

xjdxj y Ak = kijAidxj tenemos que

Ak

xj+ kijA

i = 0. (103)

Esta es la condicion que debe satisfacer un vector contravariante Ak en elcaso que kij sea integrable.

Las segundas derivadas parciales cruzadas de Ak deben ser iguales, es decir:

2Ak

xmxj=

2Ak

xjxm. (104)

De las ecuaciones (103) y (104) se obtiene la condicion:

xm(

kijAi)

xj

(

kimAi)

= 0. (105)

Esta condicion tambien se puede obtener imponiendo la condicion que Ak

sea una diferencial exacta. De esta forma, si transportamos Ak a traves deuna curva continua, obtenemos por el teorema fundamental del calculo queel transporte es independiente de la trayectoria. Apliquemos la condicion deexactitud. Como Ak = kijAidxj , entonces se debe satisfacer:

xm(

kijAi)

=

xj(

kimAi)

,

que corresponde a la ecuacion (105). Desarrollando obtenemos que

Aimkij +

kijmA

i Aijkim kimjAi = 0. (106)

Como Ak = kijAidxj es una diferencial exacta, tenemos que jAk =kijAi. Reemplazando jAk en (106) tenemos:

Aimkij Aijkim + klmlijAi kljlimAi = 0, (107)

Ai(

mkij jkim + klmlij kljlim

)

= 0. (108)

Como Ai es un vector arbitrario, la condicion de integrabilidad es:

mkij jkim + klmlij kljlim = 0. (109)

Definicion:

24

Figure 7:

Se define el tensor de curvatura como:

Rkimj := mkij jkim + klmlij kljlim. (110)

Teorema:

Una conexion es integrable si y solo si su curvatura es igual a cero.

Una interpretacion geometrica de la curvatura es la siguiente:

Consideremos cuatro puntos P, Q, R, S como en la figura (??), donde lascoordenadas de P son xk, dxk1 es la diferencial que une los puntos P y Q, dx

k2 la

diferencial que une los puntos P y S. Si consideramos una conexion simetrica,es decir con torsion nula, el paralelogramo que se obtiene al transportar lasdiferenciales es cerrado. Esto nos permite definir un circuito cerrado.

Sea Ak(P ) un vector contravariante definido en el punto P . Traslademos estevector a traves del circuito hasta volver el punto P y obtengamos la diferenciaentre el vector transportado y el vector original: Ak Ak.

(1) Transportemos Ak de P a Q:

Bk(Q) = Ak + Ak = Ak kli(xj)Aldxi1. (111)(2) Transportemos Bk de Q a R:

Ck (R) = Bk + Bk = Bk kmn(Q)Bm(dxn2 + (dxn2 )), (112)donde transportamos Bk a traves del vector dxn2 + (dx

n2 ) que corresponde a

dxk2 transportado hasta el punto Q. Como la conexion esta evaluada en el puntoQ, de coordenadas xk + dxk1 , debemos hacer una expansion en serie, es decir:

kmn(xi + dxi1) =

kmn(x

i) +kmn(x

i)

xjdxj1, (113)

25

donde despreciamos los terminos de segundo orden. Reemplazando en la ecuacion(112) y utilizando (111) obtenemos:

Ck(R) = Ak kliAldxi1 kmnAmdxn2 + kmnnrsAmdxs1dxr2 (114) jkmnAmdxj1dxn2 + kmnmli Aldxi1dxn2 .

(3) Traslademos el vector Ck(R) al punto S realizando el mismo proced-imiento anterior, pero a traves del vector (dx1 + (dx1))(R),tal que Dk(S) =Ck + Ck.

(4) Finalmente, traslademos el vector Dk hasta el punto P . As, finalmentese obtiene:

Ak Ak =(

skqr rkqs + kmsmqr kprpqs

)

Aqdxr1dxs2. (115)

Pero el termino entre parentesis corresponde a la curvatura. Por lo tantopodemos escribir:

Ak Ak = Rkrsqdxr1dxs2Aq . (116)Es decir, la diferencia entre el vector transportado y el original es propor-

cional a la curvatura.Notemos de la ecuacion (116) que Rkimj debe transformar como un tensor,

por lo tanto si la curvatura se anula en un sistema coordenado, entonces seanulara en todos los demas.

En el caso de un plano con coordenadas cartesianas, sabemos que el trans-porte no modifica el vector, es decir kij

= 0 ( utilizamos el smbolo

= paradenotar que esta igualdad es valida en un sistema coordenado paricular ). Eneste caso, segun (110), tenemos que la curvatura se anula, Rlijk = 0, por lotanto, la conexion es integrable.

En general, si existe un sistema coordenado donde kij 0 en todo punto deuna region dada, entonces la curvatura es identicamente cero Rlijk 0 en esaregion. Ademas, como la curvatura es un tensor, esta se anulara en cualquiersistema coordenado.

El contrarecproco tambien es valido. Si existe un sistema coordenado en elcual la curvatura sea distinto de cero, Rlijk 6= 0 , entonces no existira ningunsistema coordenado en el cual la conexion se anule identicamente en la regiondada.

Podemos expresar esto diciendo que la condicion necesaria y suficiente paraencontrar un sistema coordenado donde la conexion se anule identicamente kij 0, es que Rlijk 0 y T kij 0.

Al considerar la derivada covariante de un tensor se encuentra que esta, engeneral, no es independiente del orden de derivacion. Al estudiar las condicionespara que esta sea independiente del orden de derivacion encontramos que ellatambien esta relacionada con la curvatura y la torsion.

La derivada covariante de un vector contravariante es:

A = A + A. (117)

26

Consideremos la segunda derivada covariante de A :

A = A+A+A+A+AAA.(118)

Permutemos los ndices , obtenemos

A = A+A+A+A+AAA.

(119)

Haciendo la diferencia entre (118) y (119) obtenemos:

A A = RA +(

)

A . (120)

Por lo tanto, la derivada covariante es independiente del orden de derivacionsi y solo si R = 0 y T

= 0.

9 La geodesica de una conexion afn

Figure 8:

Consideremos dos puntos infinitesimalmente cercanos P (xk) y P (xk + dxk)en una variedad provista de una conexion . Como se ve en la figura (??), elvector dxk que une dichos puntos se transporta paralelamente a P resultandoel vector dxk . Con el punto P y el vector dxk podemos construir el nuevopunto P (xk + dxk + dxk) y luego transportar dxk desde P a P resultandoel vector dxk, y as sucesivamente.

De este modo, se obtiene una lnea poligonal que se aproxima a una curvaen el lmite infinitesimal, es decir, cuando dxk es realmente infinitesimal y elnumero de pasos se incrementa sin lmite. Esta curva se denomina geodesicaafn y posee la siguiente propiedad:

(*) Si Ak(xi) es un vector tangente a la curva en P y se transporta de acuerdoa la conexion al punto P , entonces el vector resultante en P tambien esparalelo a la curva.

En general, una curva es representada dando sus coordenadas como fun-ciones de un parametro continuo (en general quiere decir que en lugar de

27

podemos escoger cualquier funcion continua de ). As tenemos la curva rep-resentada por xi = xi() y Ak = dxk/d el vector que indica en cada punto ladireccion de la curva. Para que esta curva tenga la propiedad (*) se exige queel vector Ak transportado de P a P sea proporcional a Ak(P ):

Ak(xi + dxi) = MAk(xi + dxi), (121)

Ak(xi) + Ak = M[

Ak(xi) + d(

Ak)]

,

donde M es una constante de proporcionalidad, que en general depende de. Pero

d(Ak) = d(dxk

d) =

d2xk

d2d, (122)

y

Ak = klmAldxm = klmdxl

ddxm = klm

dxl

d

dxm

dd, (123)

de modo que (121) queda:

Md2xk

d2d + klm

dxl

d

dxm

dd = (1M)dx

k

d, (124)

[

Md2xk

d2+ klm

dxl

d

dxm

d

]

d = (1M)dxk

d.

Resulta natural que la diferencia entre M y la unidad debe ser del ordende d, por lo cual podemos reemplazar M por 1 en el primer termino de(124). Ademas, esta diferencia puede cambiar de un punto a otro, de modoque podemos dejar el factor 1 M dependiendo de . Para esto escribimos1M = ()d, de modo que:

[

d2xk

d2+ klm

dxl

d

dxm

d

]

d = ()ddxk

d, (125)

d2xk

d2+ klm

dxl

d

dxm

d= ()

dxk

d.

Bajo el cambio de parametro s = s(), la ecuacion (125) se transforma en:

d2xk

ds2+ klm

dxl

ds

dxm

ds=

s ss2

dxk

ds, (126)

donde s = ds/d. El segundo miembro de esta ecuacion se anula si y solosi s s = 0, es decir, si:

s =

exp

[

(u)du

]

d. (127)

28

De este modo, siempre es posible escoger un parametro tal que el segundomiembro de (127) se anule:

d2xk

ds2+ klm

dxl

ds

dxm

ds= 0. (128)

Se verifica directamente que esta ecuacion se mantiene bajo cualquier trans-formacion lineal de parametro (s = as+b, con a, b constantes). De este modo, lassoluciones de la ecuacion (128), xi = xi(s), son representaciones parametricasde las geodesicas afn.

10 Metrica

La metrica es el instrumento matematico que permite introducir el concepto dedistancia.

Definicion: Se denomina espacio metrico al espacio que cuenta con unaley para medir distancias.

Sean xk y xk+dxk las coordenadas de dos puntos infinitesimalmente cercanosen una variedad. La expresion para la distancia entre estos puntos puede sermuy general, pero se le debe exigir que sea un escalar, es decir, que su valor seaindependiente del sistema coordenado. El caso mas estudiado es el que suponeque la distancia elemental entre dichos puntos esta dada por una expresion dela forma:

ds2 gdxdx , (129)donde las g son funciones de las coordenadas x

. Ademas, por definicion, lasg son las componentes de un tensor covariante de segundo orden, simetrico yrecibe el nombre de tensor metrico. Esto asegura que ds sea efectivamenteun escalar y se denomina elemento de lnea.

A continuacion veremos que una metrica introducida sobre la variedad esuna poderosa herramienta.

Definicion: Longitud de una curva:

Definition 1 Sea C una curva en la variedad dada por xi = xi(), con i f . Definimos la longitud de la curva como el escalar

L :=

f

i

ds =

f

i

gdxdx =

f

i

gdx

d

dx

dd. (130)

Definicion: Longitud de un vector:

Definition 2 Sea A un vector contravariante definido en un punto P de lavariedad. Llamamos modulo de A al escalar:

|A|2 gAA . (131)

Obviamente en la ecuacion (131) g , A y A deben estar evaluados en el

mismo punto P .Definicion: Producto escalar:

29

Definition 3 Sean A y B dos vectores contravariantes definidos en un puntoP de la variedad. Se define el producto interno entre dichos vectores como:

A B gAB . (132)

Definicion: Angulo entre vectores:

Definition 4 Se define el angulo ^(A, B) entre los vectores A y B mediantela relacion:

cos^(A, B) :=A B|A| |B| =

gAB

gAA

gBB. (133)

Definicion: Los espacios metricos en los cuales la distancia elemental se

define por una expresion de la forma (129) con det(g) g 6= 0 se llamanespacios de Riemann.

Ademas si det(g) 6= 0 se dice que g es no-degenerada.Por ejemplo, en el espacio euclidiano n-dimensional y en coordenadas carte-

sianas la metrica es g = , de modo que:

ds2 =

dxdx, (134)

donde = 1, 2, ..., n. La longitud de una curva C esta dada por:

L =

f

i

dx

d

dx

dd, (135)

el modulo de un vector A, el producto escalar de dos vectores A y B y elangulo entre ellos estan dados por:

|A|2

AA, (136)

A B

AB,

cos^(A, B) =

AB

AA

BB

.

Ahora bien, si det(g) g 6= 0, entonces existe g(xi) un tensor con-travariante g tal que:

gg = . (137)

y recibe el nombre de metrica inversa de g .Consideremos ahora un vector contravariante A. Es posible definir un vec-

tor covariante A como:A gAv . (138)

30

Con g podemos definir un vector A como:

A gA . (139)

De este modo vemos que usando la metrica podemos mapear vectores con-travariantes (en el espacio tangente) en vectores covariantes (en el espacio cotan-gente) y viceversa.

Ademas, si usamos (138) en (139) obtenemos:

A = gA = ggA

= A = A, (140)

lo cual prueba que hay una relacion uno a uno entre vectores del espaciotangente y cotangente. En espacios en que g 6= 0 se puede hablar por tantode vectores como objetos geometricos, cada uno de los cuales puede definirsetanto por sus componentes covariantes como contravariantes. Por ejemplo, elespacio Euclidiano es un espacio de Riemann en el cual g

= , de modo quelas componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector coinciden ennumericamente en coordenadas cartesianas. De aqu que no sea necesaria taldistincion en espacios euclidianos estudiados en coordenadas cartesianas.

Figure 9:

La utilidad del tensor metrico para subir o bajar ndices tambien valepara tensores en general. Por ejemplo, a partir del tensor T podemos definirel tensor:

T = gT . (141)

10.1 La geodesica metrica

Consideremos dos puntos P y Q en una variedad provista de metrica. Se definela geodesica como la curva de longitud mnima entre P y Q.

31

Si C es una curva representada parametricamente por x = x(), entoncesC es una geodesica entre P y Q si y solo si

L =

f

i

ds (142)

es extremal, es decir, si y solo si:

L = 0. (143)

Pero (143) es equivalente a las ecuaciones de Lagrange:

L

x=

S

x d

d

(

S

(

x

)

)

= 0, (144)

donde

S =

gdx

d

dx

d. (145)

Se puede probar que (144) es equivalente a la ecuacion:

d2x

d2+ { u}

dx

d

dx

d= f()

dx

d, (146)

donde{

}

12g [g + g g] , (147)

es llamado smbolo de Christoffel de segunda especie. La funcion f , analoga ala funcion () de la ecuacion (125), siempre puede ser elegida f = 0 eligiendoun parametro s adecuado:

d2x

ds2+ { }

dx

ds

dx

ds= 0. (148)

Obvservamos que (148) tiene la misma forma que la ecuacion (128) para lageodesica afn, de donde se deduce que { } debe ser una conexion.

Por ejemplo, en el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas { }

= 0,de modo que segun (148) las geodesicas de este espacio son rectas con ecuacionesx() = xo + u

, con xo y constantes.

11 Introduccion a la geometra de Riemann

Para empezar vamos a demostrar dos importantes teoremas.Teorema: Sea Mn una variedad con una metrica g y una conexion

.

Entonces, la longitud de un vector bajo transporte paralelo es conservada si ysolo si:

g = 0. (149)

32

En efecto, sea A(x) un vector definido en P (x) y A(x + dx) el vectorque resulta de transportar A desde P a Q(x + dx), es decir:

A(Q) =(

A Adx)

P. (150)

Las longitudes de A y A son respectivamente:

|A|2 = (gAA)P , (151)

A

2=(

gAA

)

Q, (152)

perog(Q) = (g + gdx

)P

, (153)

por lo tanto:

A

2= [g + gdx

][

A Adx]

[

A Adx]

. (154)

Desarrollando el producto y despreciando los terminos de segundo orden endx, se obtiene:

A

2= gA

A gAAdx gAAdx + (g) AAdx.(155)

Igualando (151) y (155) se obtiene:

gAAdx gAAdx + (g) AAdx = 0. (156)

Intercambiando adecuadamente los ndices mudos se obtiene:

(g) AAdx gAAdx g

A

Adx = 0 (157)(

g g g

)

AAdx = 0.

Usando la arbitrariedad de A y dx obtenemos:

g g g = 0 (158)

g = 0,

lo cual demuestra el teorema.Teorema: La unica conexion que satisface:(i) T = 0 (torsion nula o equivalentemente simetrico)(ii) g = 0 (o equivalentemente que conserva la longitud de un vector

bajo transporte paralelo)es el smbolo de Christoffel:

{

}

12g [g + g g] . (159)

33

En efecto, de (ii) tenemos:

g = g g g = 0. (160)

Luego:g = g

+ g

. (161)

Escribamos las ecuaciones que se obtienen por permutacion circular de losndices , , :

g = g + g

(162)

g = g + g

. (163)

Sumando (161) a (162) y restando (163) se obtiene:

g +gg = g(

+

)

+g

(

)

+g(

)

.

(164)Usando la condicion (ii) tenemos:

g + g g = 2g, (165)

g =

1

2[g + g g] [] . (166)

Los smbolos [] se denominan smbolos de Christoffel de primera especie.Multiplicando por g, obtenemos:

=

1

2g [g + g g] , (167)

=1

2g [g + g g]

{

}

.

Esta particular conexion, se denomina smbolo de Christoffel de segundaespecie. Si suponemos que existe otra conexion 6= que satisface las hipotesisdel teorema se llega a una contradiccion, pues se obtiene que es un smbolo

de Christoffel. De este modo,{

}

es la unica conexion que satisface (i) y (ii).

Es directo verificar que la derivada covariante de la metrica con respecto a laconexion metrica (smbolo de Christoffel) es identicamente nula. Para la inversatambien se tiene g = 0. En efecto, gg = = (gg) = 0 =g = 0. Sin embargo, de la derivada covariante de la metrica con respectoa otras conexiones no podemos decir nada.

Un espacio posee geometra de Riemann si satisface:

T = 0 (168)

yg = 0. (169)

Corolario: Si en un espacio de Riemann existe un sistema coordenado en elcual las componentes de la metrica son constantes, entonces el espacio es plano,es decir tiene curvatura cero.

34

En efecto, g = cte ={

}

= 0 = R = 0. Ejemplos de estosespacios son el espacio de Minkowsky de la relatividad especial o el espacioeuclidiano.

Por supuesto el contrarrecproco es verdadero:Si R 6= 0 entonces no existe un sistema coordenado donde g = cte y

= 0.

12 Metrica y conexion inducidas

Sea MN una variedad de dimension N y sea Sn una variedad de dimensionn N tal que Sn este contenida en MN . Representaremos la subveriedadparametricamente por x = x(zi), = 1, 2, .., N , i = 1, 2, .., n. Utilizaremosletras griegas cuando los ndices corren hasta N , y letras latinas cuando losindices corren hasta R.

Si MN posee una metrica g y una conexion , deseamos encontrar la

metrica y la conexion que se induce sobre SR.

Figure 10:

12.1 Induccion de la metrica

Un elemento de lnea en MN esta dado por:

ds2 = gdxdxv . (170)

Como x = x(zi), tenemos que dx = x

zidzi. Por lo tanto, sobre SR el

elemento de lnea inducido es

ds2 = gx

zix

zjdzidzj = gijdz

idzj , (171)

35

con

gij = gx

zix

zj(172)

donde gij corresponde al tensor metrico inducido sobre SR.

12.2 Induccion de la conexion

Sea Ai un vector contravariante definido sobre SR tal que dzi = Ai. Necesita-

mos una expresion para el vector asociado a Ai sobre MN .Como dx = x

zidzi tenemos dx = x

ziAi. Esto induce un vector B en

MN

B =x

ziAi (173)

donde B corresponde al vector asociado a Ai en MN .Como tenemos una conexion definida sobre MN podemos transportar el

vector B desde el punto P de coordenadas x al punto Q de coordenadasx + dx, el cual esta dado por:

B(Q) = B Bdx. (174)

Reemplazando la ec. (173) tenemos que el vector transportado es:

B(Q) =x

ziAi

x

zix

zjAidzj . (175)

Como deseamos encontrar la conexion de SR transportemos el vector Ak

desde el punto P de coordenadas zi al punto Q de coordenadas zi + dzi con laconexion kij que deseamos encontrar.

Ai(Q) = Ai ijkAjdzK . (176)Ahora debemos proyectar el vector Bk(Q) sobre SR e igualarlo con A

i(Q).Pero vemos de la ec. (173) que no podemos obtener directamente un vectorsobre SR a partir de un vector en MN , pues aparece un factor

x

zi, el cual no

es invertible por ser una matriz no cuadrada.Por lo tanto, debemos definir algun tipo de proyeccion, de tal manera de

poder recuperar la ec. (173). Esta proyeccion nos permitira obtener un vectoren SR a partir de un vector en MN .

Dado un vector B en MN definimos su proyeccion Ai sobre SR como:

Ai = gijx

zjgB

, (177)

donde gij corresponde a la inversa de la metrica inducida.Veamos si podemos recuperar la ec. (173). Para ello multipliquemos a ambos

lados por gik

Aigik = jk

x

zjgB

. (178)

36

Reemplazando la ec. (171) tenemos:

Aigx

zix

zk=

x

zkgB

, (179)

Aix

zi= B . (180)

Donde la ec. (180) es igual a la ec. (173). Por lo tanto nuestra definicion deproyeccion satisface la condicion requerida. Notemos que para esta definicionde proyeccion es necesario utilizar la metrica. Por lo tanto, en espacios que noposeen metrica no podemos realizar este procedimiento.

Proyectemos ahora el vector B sobre SR.Si Ci corresponde a la proyeccion de B satisface:

Ci(Q) = gij(Q)x

zj(Q)g(Q)B

. (181)

Igualemos Ci con Ai

gij(zk + dzk)Aj = g(Q)

x

zi(Q)B. (182)

Expandiendo en serie g(x + dx) y x

zi(zk + dzk),encontramos:

g(x + dx) = g(x

) + gdx, (183)

x

zi(zk + dzk) =

x

zi(zk) +

2x

zjzidzj . (184)

Reemplazando en (182) y expandiendo en serie gij(zk + dzk) obtenemos:

(gij + sg

ijdzs)(Aj jlmAldzm) = (g + gdx)

(

x

zi+

2x

zjzidzj)

B,

(185)(

gijAj gijjlmAldzm + sgijAjdzs

)

=

(

gx

zi+ g

2x

zjzidzj + g

x

zidx

)

B.

(186)

Reemplazando B de (175) y multiplicando tenemos:

(

gijAj gijjlmAldzm + sgijAjdzs

)

= gx

zix

zlAl + g

2x

zjzix

zlAldzj

(187)

+ gx

zix

zlAldx g

x

zix

zmx

znAmdzn.

37

Desarrollando la expresion sg

ij , llegamos a :

sg

ij = s

(

gx

zix

zj

)

(188)

=

(

gx

zix

zjx

zs+ g

2x

zszix

zj+ g

2x

zszjx

zi

)

.

Reemplazando en (187) y reduciendo los terminos semejantes, encontramos

gijjlmA

ldzm = g2x

zszjx

ziAjdzs + g

x

zix

zmx

znAmdzn. (189)

Cambiando algunos ndices mudos y factorizando, llegamos a

gijjlmA

ldzm = gx

zi

(

2x

zmzl+

x

zlx

zm

)

Aldzm, (190)

gijjlm = g

x

zi

(

2x

zmzl+

x

zlx

zm

)

. (191)

Finalmente despejando jlm, encontramos

klm = gkig

x

zi

(

2x

zmzl+

x

zlx

zm

)

. (192)

La ecuacion anterior nos entrega la conexion inducida sobre SN .

13 Resultados de la conexion y metrica induci-das

13.1 Aplicacion a la teora de superficies

En la teora de superficies, consideramos una variedad bidimensional sumergidaen R3, por lo tanto, debemos ser capaces de encontrar la teora de superficies apartir de los resultados anteriores.

Para ello debemos considerar el hecho que la conexion de R3 en coordenadascartesianas es cero, y la metrica es la metrica euclidiana . En este caso losndices griegos toman los valores 1, 2, 3 y los ndices latinos 1, 2. Apliquemosestas condiciones primero al caso de la metrica y luego al de la conexion.

13.1.1 Primera forma fundamental

Sabemos por la ecuacion (171) que la metrica inducida es

gij = gx

uix

uj(193)

38

Utilizando la notacion vectorial, y considerando los subndices como derivadastenemos:

gij = xi xj . (194)Por lo tanto, el elemento de lnea sobre la superficie es:

I = ds2 = (xi xj) duiduj (195)

que corresponde a la primera forma fundamental de la teora de superficies.

13.1.2 Ecuaciones de Gauss

Utilicemos la ecuacion (191), en notacion vectorial toma la forma:

xi xml = (xi xj) jml. (196)

si existe N tal que xi N =0 podemos escribir la ecuacion anterior como:

xml = jmlxj + bmlN, (197)

que corresponden a las ecuaciones de Gauss de la teora de superficies.

13.2 Caractersticas de una variedad que esta contenidadentro de un espacio con geometra de Riemann

Queremos ver que sucede con la conexion inducida si MN posee una geometrade Riemann. Es decir, queremos saber si SR posee tambien una geometrade Riemann. Para ello supongamos que la conexion de MN es el smbolo deChristoffel:

=1

2g(g + g g). (198)

Reemplazando en (192), obtenemos:

klm = gkig

x

zi2x

zmzl+

1

2gkig

x

zig (g + g g)

x

zlx

zm

(199)

= gkigx

zi2x

zmzl+

1

2gki

x

zi(g + g g)

x

zlx

zm(200)

= gkix

zi

[

g2x

zmzl+

1

2(g + g g)

x

zlx

zm

]

. (201)

Si SR posee una geometra de Riemann debe satisfacer que su conexion esel smbolo de Christoffel, es decir:

klm =1

2gki(lg

mi + mg

li iglm) (202)

39

Desarrollemos esta expresion e intentemos llegar a (201). Si gij = gx

zix

zj

entonces

gmizl

=gx

x

zlx

zmx

zi+ g

2x

zlzmx

zi+ g

2x

zlzix

zm(203a)

glizm

=gx

x

zmx

zlx

zi+ g

2x

zmzlx

zi+ g

2x

zmzix

zl(203b)

glmzi

=gx

x

zix

zlx

zm+ g

2x

zizlx

zm+ g

2x

zizmx

zl(203c)

Reemplazando en (202) obtenemos:

klm = gki x

zi

[

g2x

zmzl+

1

2(g + g g)

x

zlx

zm

]

(204)

que corresponde a la ec. (201).Por lo tanto la conexion de SR es (202), que es el smbolo de Christoffel

asociado a la metrica inducida sobren SR. As, hemos demostrado el siguienteteorema.

Teorema:

Si una variedad dada posee una geometra de Riemann, entonces cualquiervariedad que este contenida en ella tambien tendra una geometra de Riemann.

Esto explica el hecho de que la conexion asociada a una superficie inmersaen R3 es el smbolo de Christoffel y que no es posible encontrar una superficieque posea otro tipo de conexion, respetando la proyeccion definida en (177)

13.3 Proyeccion sobre un vector.

Podemos definir la proyeccion de un vector en MN sobre un vector en SR de lasiguiente forma:

Si B es un vector en MN y Ci es un vector en SR, entonces la proyeccion

de B sobre Ci esta dada por:

Bip =

[

gB x

zmCm]

[

gx

zmx

zjCmCj

]Ci. (205)

Probemos que a partir de esta definicion podemos recuperar la expresion(177).

Si queremos que Bip coincida con Ci tenemos:

40

Ci[

gx

zmx

zjCmCj

]

=

[

gB x

zmCm]

Ci, (206)

gmjCmCj = gB

x

zmCm, (207)

gmjCj = gB

x

zm, (208)

Ck = gkmgB x

zm. (209)

Es decir, a partir de la proyeccion definida por (205), podemos reobtener(177).

14 Isometras (simetras de la metrica)

Figure 11:

Sean P y Q dos puntos cercanos de coordenadas x y x + dx respectiva-mente y = (x) un campo vectorial sobre una cierta variedad con metrica.Como se ve en la figura, podemos construir dos nuevos puntos R y S cuyascoordenadas estan dadas por:

R : x + (P ) (210)

S : x + dx + (Q),

donde es un parametro infinitesimal. Se dice entonces que (x) describeuna isometra de la variedad, si para puntos arbitrarios P y Q se cumple:

dl2PQ = dl2RS . (211)

41

Ahora, veremos que condicion debe satisfacer el campo para que describauna isometra. Tenemos:

dl2PQ = g(P )dxdx , (212)

dl2RS = g(R) [dx + ((Q) (P ))] [dx + ((Q) (P ))] ,

donde

g(R) = (g + g)P , (213)

(Q) =(

+ dx)

P.

Reemplazando (213) en (212), desarrollando el producto y despreciandoterminos de orden superior, obtenemos:

dl2RS = gdxdx + [gdx

dx + gdx

dx + dxdxg ] .

(214)Cambiando adecuadamente los ndices mudos, la ecuacion (214) toma la

forma:

dl2RS = gdxdx + [g

+ g + g ] dx

dx , (215)

de modo que la condicion (211) nos queda:

[g + g

+ g ] dxdx = 0. (216)

Aqu , dx y dx son infinitesimales, pero arbitrarios. Por lo tanto:

g + g

+ g = 0. (217)

Esta es una ecuacion diferencial parcial que debe satisfacer para describiruna isometra. Si esta ecuacion tiene mas de una solucion linealmente indepen-diente, entonces existe mas de una direccion de isometra, y los vectores sedenominan vectores de Killing.

15 Aplicaciones

15.1 Plano euclidiano: Metrica, curvatura, geodesicas ysimetras

En el plano euclidiano y en coordenadas cartesianas (x1 = x, x2 = y), la metrica

es g

= . Luego, de la ecuacion (147) tenemos que los smbolos de Christoffelson nulos y por lo tanto la curvatura tambien es nula.

La ecuacion de las geodesicas (148) es

d2x

d2= 0.

Por lo tanto, las geodesicas en el plano son rectas.

42

Para las simetras tenemos que la ecuacion (217) queda:

+

= 0, (218)

+

= 0.

Escribimos explcitamente estas ecuaciones:

11 + 11 = 0, (219)

12 + 2

1 = 0, (220)

22 + 2

2 = 0. (221)

De (219) y de (221) se obtiene respectivamente que 1 = 1(y) y 2 = 2(x).De este modo la ecuacion (220) toma la forma:

d2

dx+

d1

dy= 0. (222)

Usando el hecho de que x e y son coordenadas independientes, vemos queesta ecuacion se satisface si y solo si:

d1

dy= = cte, (223)

d2

dx= ,

de modo que:

1 = y + , (224)

2 = x + .

Esta solucion se puede expresar como combinacion lineal de tres solucionesindependientes:

=(

1, 2)

= (y + ,x + ) , (225) = (y,x) + (1, 0) + (0, 1) , = (1) +

(2) +

(3),

donde

(1) := (y,x) , (226)(2) := (1, 0) ,

(3) := (0, 1) .

43

Figure 12:

15.2 La esfera: Metrica inducida, curvatura, geodesicas ysimetras

Consideremos como segundo ejemplo la metrica que el espacio euclidiano tridi-mensional E3 induce sobre la esfera unitaria. Sabemos que en coordenadascartesianas la metrica de E3 es g = y la restriccion a los puntos de laesfera es:

x1 = sin cos, (227)

x2 = sin sin ,

x3 = cos ,

de modo que las coordenadas sobre la esfera son y . Usamos (172) paracalcular g:

g = x

x

=

x

x

= 1. (228)

Analogamente, se obtienen las otras componentes:

gij =

(

1 00 sin

)

, (229)

donde i, j = , . Usando (147) obtenemos que las componentes no nulasdel smbolo de Christoffel son:

{

}

= sin cos , (230){

}

={

}

= cot .

De este modo, se obtiene directamente que las ecuaciones para las geodesicassobre la esfera son:

d2

d2 sin cos

(

d

d

)2

= 0, (231)

d2

d2+ 2 cot

d

d

d

d= 0.

44

Tambien, mediante un calculo directo, encontramos que las componentes nonulas de la curvatura de la esfera son:

R = R = sin2 , (232)R = R

= 1.

A continuacion se estudiaran las simetras de la esfera. El sistema de ecua-ciones para los vectores de Killing sobre la esfera unitaria, segun (217) es:

g11 + g11

+ g11 = 0, (233)

g12 + g21

+ g12 = 0,

g22 + g22

+ g22 = 0.

Puesto que la metrica sobre la esfera es:

g =

(

1 00 sin

)

, (234)

tenemos:

g1111 + g111

1 + g11 = 0, (235)

g1121 + g221

2 + g12 = 0,

g2222 + g222

2 + g22 = 0.

Luego:

11 + 1

1 = 0, (236)

21 + sin 1

2 = 0,

2 sin 22 + 11(sin ) = 0.

La primera ecuacion nos dice que 1 = 1(), de modo que la segunda ytercera ecuacion nos queda:

21 + sin 1

2 = 0, (237)

2 sin 22 + cos 1 = 0.

Se puede verificar, reemplazando directamente en estas ecuaciones, que elsistema tiene por solucion:

=(

1, 2)

= (0, ) = (0, 1) , (238)

donde es una constante. Esta solucion representa una rotacion en la di-reccion .

45