Captulo 3

Introduo ao Controle Digital

Aplicao de computadores na automao industrial

Monitorao:O computador limita-se a fazer aquisio de dados,

coletando informaes das variveis do processo, emitindo relatrios e indicando a presena de alguma situao anormal (funo de alarme)

Controle de Sinal de Referncia (Set-Point):O ajuste dos pontos de referncia comumente feito

por algum algoritmo computacional que visa a otimizao de algum funcional relacionado com a qualidade do produto.

A tarefa de controle feita analogicamente.

Controle Digital Direto:O computador controla os processos diretamente. A

grande vantagem deste mtodo que os algoritmos de controle podem ser alterados sem necessidade de qualquer mudana a nvel de hardware.

Anlise de Sistemas de Tempo Discreto no Plano ZSistemas de Tempo Contnuo:Todos os sinais neles presentes so sinais de tempo

contnuo, ou seja, os sinais so definidos em um intervalo contnuo de tempo.

A anlise feita utilizando: Equaes diferenciais e Transformada de Laplace.

Sistemas de Tempo Discreto:Os sinais de entrada e sada so sinais de tempo

discreto ( sinais em que a varivel independente toma valores discretos, constituindo uma seqncia de nmeros reais).

A anlise feita utilizando: Equaes a diferenas e transformada Z.

Exemplo de Equao a Diferenas:Considere o sistema composto de uma conta bancria em que a verificao do saldo pk no ms k feita logo aps alguma alterao (saque ou depsito) uk efetuada nesse ms. Chamando rk a taxa de rendimento no ms k.

O que interessa so os valores das variveis em cada passo .Se os rendimentos e alteraes s fossem computados quando os rendimentos atingissem uma taxa fixa, o saldo do passo k seria agora descrito pela equao:

Em sistemas discretos o tempo perde o significado.

Sinais de Tempo Discreto

Os sinais sero representados por seqncias numricas.

No correto pensar em xk valendo zero para k no inteiro, xk s definida para k inteiro.

a) Seqncia Amostra Unitria.

Exemplos de Seqncias

Desempenha o mesmo papel em sistemas de tempo discreto que a funo impulso unitrio em sistemas contnuos.

b) Seqncia Degrau Unitrio.

Obtenha: uk = f(k) e k = f(uk)

c) Seqncia Qualquer.

A seqncia xk pode ser vista como a soma das seqncias k-i ponderadas pelos fatores xi

Resposta ao Impulso de Sistemas Discretos

Um sistema pode ser definido matematicamente como uma transformao (operador) que mapeia uma seqncia de entrada xk em uma seqncia de sada yk

A sada yk correspondente a uma entrada tipo impulso discreto denominada resposta ao impulso, e denotado por:

Um sistema dito invariante no tempo quando a resposta a um impulso atrasado de n passos, corresponde a resposta ao impulso atrasada de n passos, ou seja,

Sistemas Discretos Lineares Invariantes no Tempo

o sistema que obedece o princpio da superposio: se y1k e y2k so as respostas s entradas x1k e x2k , ento

Para constantes arbitrrias a e b.

Como:

Pode-se escrever

Se o sistema linear, resulta:

Supondo Invarincia no tempo

Fazendo mudana de varivel k-n=i

A resposta de qualquer sistema discreto linear invariante no tempo a uma entrada pode ser obtida se to somente conhecermos a resposta ao impulso desse sistema.

Exemplo 1: Determine a equao a diferenas

relativa ao sistema cuja resposta ao impulso da forma:

Onde un a seqncia degrau unitrio.

Soluo:

O que resulta na equao a diferenas

Exemplo 2:

Determine a resposta ao impulso do sistema dado pela equao a diferenas:

Soluo: Para xn = n (seqncia impulso unitrio), e supondo causalidade, ou seja, a resposta ao impulso, hk, nula parak < 0, tem-se:

Ou

A Transformada Z

A transformada Z desempenha para os sistemas discretos um papel anlogo ao da Transformada de Laplace para os sistemas de tempo contnuo.

Equaes a diferenas so transformadas em equaes algbricas pelo uso da Transformada Z.

Na Transformada Z trabalharemos apenas com seqncias unilaterais direita:

Define-se Transformada Z de uma seqncia unilateral a direita xk como:

Onde z uma varivel complexa.

Linearidade da Transformada Z

Para constantes reais a e b.

a) Seqncia Amostra Unitria.

Exemplos:

b) Seqncia Degrau Unitrio.

c) Seqncia Exponencial.

Funo de transferncia Discreta

Para sist. discr. sin. inv. no tempo com entrada xn

Funo de transferncia Discreta

Seja yD(z) a resposta do sistema a entrada degrau

Operao de Atraso

Da definio da Transformada Z

De modo semelhante

Resoluo de Equaes a Diferenas

Resoluo por recursoConsidere o sistema discreto descrito por:

Com as condies iniciais:

Supondo causalidade temos:

Que resulta recursivamente:

Resoluo por Transformada Z

Assim,

Equao a diferenas genrica para sistema linear

Em termos do polinmio z, H(z) pode ser escrita como:

A ordem no do sistema, dada pelo grau do denominador de H(z), vale

O grau do numerador em z sempre menor ou igual que o grau do denominador. Se isto no ocorrer estaremos diante de sistemas no causais.

Exemplo:

A Transformada Z Inversa

Seja o sistema G(z) sujeito a entrada xk degrau unitrio, ou seja

A Transformada Z da sada yk ser ento

a) Mtodo da Recorrncia Temporal.

b) Mtodo da Expanso em Fraes Parciais

paralelo ao mtodo da expanso em fraes parciais, expande-se Y(z)/z

A vantagem a obteno de resultados no recursivos. Determina de forma imediata valores das seqncias mesmo para valores grandes de k.

c) Mtodo da Expanso em Sries de Potncias.

Resulta da prpria definio de Transformada Z.

Expande-se Y(z) em sries de potncia de z-1, os valores de yksero dados pelos coeficientes de cada termo.

onde:

Estabilidade de Sistemas Discretos

Um sistema discreto linear invariante no tempo estvel se o mdulo de todos os plos de sua funo de transferncia esto dentro do circulo de raio unitrio com centro na origem do plano z.

Transformao Bilinear

Aplicando transformao bilinear ao denominador de H(z)

Exemplo: Determine se o sistema abaixo estvel.

Aplicando o Critrio de Routh-Hurwitz

H(z) tem plos: z1=0.5, z2=-0.5 e z3=-0.4 todos estveis, confirmando o resultado acima.

Teoremas de Limites Temporais.

a) Teorema do valor Inicial: Se a seqncia xk tem transformada Z tal que X(z) e lim X(z) qdo z--> existe, ento:

b) Teorema do valor Final: Se a seqncia xk tem transformada Z X(z) e X(z) estvel, ento:

Constantes de Erro Estacionrio

Usando o Teorema do Valor Final, o erro de regime estacionrio para a entrada X(z) ser dado por:

a) Entrada Degrau

A a amplitude do degrau.

Definindo-se Constante de Erro de Posio:

b) Entrada Rampa

A inclinao da rampa e T o intervalo entre amostras

Definindo-se Constante de Erro de Velocidade:

Se denominarmos Sistema Tipo K quando tivermos a funo de transferncia de malha aberta G(z)H(z) com k plos em z = 1, ento temos: