ANALANALYYTICKTICKÁ Á GEOMETRIA V GEOMETRIA V

ROVINE A ROVINE A PRIESTOREPRIESTORE

- myšlienku zavedenia označenia polohy daného bodu v rovine dvoma číslami, v priestore tromi číslami môžeme nájsť práve u Descarta.

- pri určovaní polohy na Zemi, je zrejmé, že

vychádzame z geografických

súradníc, prípadne

nadmorskej výšky

- Descartes rozvinul nielen súradnicovú sústavu, ale prišiel na to, že celú geometriu možno preložiť do jazyka algebry.

- teda bodom budú zodpovedať usporiadané dvojice (trojice), priamkam, ktoré sú vlastne sústavy bodov budú zodpovedať linaárne rovnice a iným krivkám či plochám, iné typy rovníc alebo sústav rovníc

René Descartes

1596-1650

„Dubito ergo cogito, cogito ergo sum“„Pochybujem teda myslím, myslím, teda som.“

- analytická geometria hovorí o tom, že svet čísel a geometria sú podobné. Niekedy nám geometria pomáha pri objasňovaní algebraickej zákonitosti, inokedy algeraicky ľahšie vyriešime zadanú úlohu.

ORIENTOVANÁ ÚSEČKA

- je úsečka AB, ktorej krajné body majú určené poradie – bod A je začiatočný bod, bod B je koncový bod úsečky. Veľkosť orientovanej úsečky nazývame veľkosť úsečky AB.

A

B

A

Ak sú A, B dva rôzne body, tak AB=BA, ale ich orientácie sú navzájom opačné.

Reálny násobok orientovanej úsečky:

1. Dané je reálne číslo k a nenulová AB . Na priamke AB zostrojíme B´, tak, že:

a) ak je k>0, leží B´na AB, ak je k<0, leží B´na opačnej polpriamke k AB.

b) AB´=k.AB2. Ak je orientovaná úsečka nulová, tak jej k-násobok je tiež nulový. AA, AA=k.AA

Dohovor:

0.AB=AA, 1.AB= AB, (-1).AB=-AB

Všetky nenulové orientované úsečky, ktoré majú ten istý smer a tú istú veľkosť, znázorňujú (reprezentujú, vyjadrujú) ten istý vektor. Vektory budeme zapisovať malými písmenami napr.v resp. v. Každú orientovanú úsečku AB, ktorá znázorňuje vektor v, budeme nazývať umiestnenie vektora v. Zápis v=AB=B-A. Vektor je posunutie.

Pr.

Pr. Určte graficky súčet orientovaných úsečiek TA+TB+TC v trojuholníku ABC (5,6,7) s ťažiskom T.

Pr. Zostrojte kocku A-H, a=5. Vyznačte v nej vektory BL = BA+BQ, Q-stred steny BCGF

v = BC+BE

u= BC + BF

z = AD - AB

SÚSTAVA SÚRADNÍC

- na priamke (jednorozmerná sústava súradníc)

- Karteziánska sústava súradníc v rovine

I. kvadrant

II. kvadrant

IV. kvadrant

V euklidovskej rovine nad poľom reálnych čísel E² ( R ) je pravouhlá karteziánska súradnicová sústava (O, x, y) daná: 1.pevne zvoleným bodom O, ktorý sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy 2. dvoma kolmými priamkami x a y so spoločným bodom O, ktoré sa nazývajú súradnicové osi. Po určení kladnej orientácie na polpriamkach so začiatkom O a jednotky dĺžky na súradnicových osiach x a y možno každému bodu M priestoru jednoznačne priradiť usporiadanú dvojicu reálnych čísel M=(xM, yM ),ktoré vyjadrujú jeho orientované vzdialenosti od súradnicových osí y a x v danom poradí, nazývané karteziánske súradnice bodu M.

I.kvadrant

II.kvadrant

III.kvadrantIV.kvadrant

- Karteziánska sústava súradníc v priestoreV euklidovskom priestore E³(R), je karteziánska pravouhlá súradnicová sústava(O,x,y,z) definovaná 1. pevne zvoleným ľubovoľným bodom O nazývaným začiatok súradnicovej sústavy2. tromi kolmými priamkami x, y a z prechádzajúcimi spoločným bodom O a nazývanými súradnicové osi, ktoré tvoria 3 súradnicové roviny π=xy, ν=xz,μ=yz.

Po určení kladnej orientácie na polpriamkach so začiatočným bodom O a jednotky dĺžky na súradnicových osiach x, y a z, môžeme ľubovoľnému bodu P priestoru jednoznačne priradiť usporiadanú trojicu reálnych čísel, ktoré nazývame karteziánske súradnice bodu v priestore. Tieto tri súradnice, čísla x, y, z určujú vzdialenosti bodu P od súradnicových rovín μ,ν a π v danom poradí.

Pravotočivá sústava súradníc: