Analisa Data StatistikChap 6: Distribusi Probabilitas Kontinu

Agoes Soehianie, Ph.D

Daftar Isi

DIstribusi Uniform Kontinu Distribusi Normal Hubungan Distribusi Normal dan Binomial Distribusi Gamma dan Exponential Distribusi Chi-Squared

Distribusi Uniform Kontinu

Fungsi rapat probabilitas dari distribusi variabel random X yang bersifat uniform dan kontinu dalam interval [A,B] diberikan oleh:

lainnya

BxAABBAxf

0)(

1),;(

f(x)

1/(B-A)

A B x

Mean atau rata-rata:

Variansinya:2

BA

12

22 AB

Contoh.

Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tsb untuk rapat singkat maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tsb, maka distribusinya uniform.

a) Turunkan fungsi rapat probabilitasnya

b) Berapa probabilitasnya sebuah rapat di ruang tsb akan berlangsung paling lama 3 jam?

c) Berapakah lama rata-rata rapat di ruang tsb?

Jawab:

a) B = 4 dan A=0, maka (B-A) = 4 dan fungsi rapat probabilitasnya adalah: f(x) = ¼ untuk 0≤x ≤4 dan f(x)=0 untuk x di luar itu.

b) Probabilitas lama rapat kurang dari 3 jam: P(x<3)

3

0

3

0

4/34

1)4,0;()3( dxdxxfxP

Distribusi Normal

22

)(2

1

2

1),;(

x

exn

Distribusi probabilitas yg terpenting dalam statistik adalah distribusi normal atau Gaussian.

Fungsi rapat probabilitas variabel random X dengan mean μ dan variansi σ2 yang memiliki distribusi normal adalah:

n(x)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-6 -4 -2 0 2 4 6

xμ

σ

Distribusi Normal : Sifat

Contoh variabel random yg memiliki distribusi normal misalnya:

distribusi error dalam pengukuran

pengukuran dalam meteorologi

pengukuran curah hujan

sebagai pendekatan bagi distribusi binomial

dan distribusi hipergeometrik, dan lainnya

Sifat-Sifat Distribusi Normal:

1. Rata-ratanya (mean) μ dan standard deviasinya = σ

2. Mode (maximum) terjadi di x=μ

3. Bentuknya simetrik thd x=μ

4. Titik belok tepat di x=μ±σ

5. Kurva mendekati nol secara asimptotis semakin x jauh dari x=μ

6. Total luasnya = 1

Distribusi Normal : Sifat

Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.

12

μ1 = μ2 σ1 > σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 = σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 < σ2

Luas di Bawah Kurva dan Probabilitas

P(x1<x<x2) = probabilitas variabel random x memiliki nilai antara x1 dan x2

P(x1<x<x2) = luas di bawah kurva normal antara x=x1 dan x=x2

x1 μ x2

Oleh karena perhitungan integral normal tsb sulit, maka disusunlah tabel nilai rapat probabilitas. Akan tetapi karena nilai rapat probabilitasnya tergantung pada μ dan σ maka sangatlah tidak mungkin mentabelkan untuk semua nilai μ dan σ

Kurva DIstribusi Normal Standard

Distribusi normal standard adalah distribusi normal dengan mean μ=0 dan standard deviasi σ=1.

Transformasi memetakan distribusi normal menjadi

distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1.

Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya, artinya:

x

z

Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2

Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2

=

Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ.

Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif saja!

Tabel Distribusi Normal Standard Kumulatif

Z-3.4

-3.3

-3.2

-3.1

-3.0

Contoh: Hitung Luas

Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :

a) Di sebelah kanan z=1.84

b) Antara z=-1.97 s/d z=0.86

Jawab.

Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).

a) P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329

b) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97) = 0.8051 – 0.0244 = 0.7807

Contoh: Cari z

Carilah nilai z=k di distribusi normal standard sehingga

a) P(Z>k) = 0.3015

b) P(k<z<-0.18) =0.4197

Jawab:

a) P(Z>k) = 0.3015 berarti P(Z<k) = 1- P(z>k) = 1 – 0.3015 = 0.6985

Dari tabel terbaca luas ke kiri = 0.6985 adalah untuk z=0.52.

b) P(k<z<-0.18) = P(z<-0.18) – P(z<k) = 0.4197

= 0.4286 – P(z<k) = 0.4197

Jadi P(z<k) = 0.4286- 0.4197 = 0.0089

Dari tabel z = -2.37

Contoh: Luas di bawah kurva normal non standard

Contoh.

Variaber X terdistribusi normal dengan mean 50 dan standard deviasi =10. Carilah probabilitas untuk menemukan X bernilai antara 45 dan 62?

Jawab.

Dalam soal ini μ = 50 dan σ=10. x1 = 45 dan x2 =62

Pertama kita mapping x ke z (melakukan normalisasi atau standardisasi):

z1 = (x1 -μ)/σ z1 = (45-50)/10 = -0.5

z2 = (x2 -μ)/σ z2 = (62-50)/10 = 1.2

Sehingga

P(45 <x< 62) = P(-0.5<z<1.2)

P(-0.5<z<1.2) = P(z<1.2) – P(z<-0.5) = 0.8849-0.3085=0.5764

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.

Contoh.

Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x0 sehingga:

a) P(x<x0) = 45%

b) P(x>x0)=14%

Jawab.

a) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z<z0) = 45% = 0.45 dari tabel z0 = -0.13

z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0 = 40 +6*(-0.13) = 39.22

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Jawab.

b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z>z0) = 14% P(z<z0) = 1- P(z>z0) = 1-0.14 = 0.86

P(z<z0) = 0.86 dari tabel z0 = 1.08

z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0 = 40 +6*(1.08) = 46.48

Contoh Penerapan Distribusi Normal

Sebuah perusahaan bolam lampu mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan:

Berumur antara 778 jam dan 834 jam Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.

μ= 800 σ=40. P(778<x<834)

x1=778 z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55

x2=834 z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85

P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85) = P(z<0.85)-P(z<-0.55)

= 0.8023 – 0.2912 = 0.5111

Contoh Penerapan Distribusi Normal

b) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

μ= 800 σ=40.

P(x< 750 atau x>900)

x1=750 z1 = (x1-μ)/σ = (750-800)/40 = -1.25

x2=900 z2 = (x2-μ)/σ = (900-800)/40 = 2.5

P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)

= P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)

= 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)

= 1 + 0.1056-0.9938 = 0.1118

Soal

Diameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki mean 3cm dengan standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya mau menerima jikalau ball bearingnya memiliki diameter 3.0±0.01cm.

a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak bisa diterima pembeli?

b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ball-bearing, berapa banyak yg harus dibuang tiap bulan karena ditolak pembeli?

Soal

Sebuah pengukur diameter bola besi dipasang secara otomatis dalam sebuah pabrik. Pengukur tsb hanya akan meloloskan diameter bola 1.50±d cm. Diketahui bahwa bola produksi pabrik tersebut memiliki diameter yg terdistribusi normal dengan rata-rata 1.50 dan standard deviasi 0.2 cm. Jikalau diinginkan bahwa 95% produksinya lolos seleksi berapakah nilai d harus ditetapkan?

Soal

Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan standard deviasi 15. a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahui distribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapat A? (b) Selanjutanya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak 25%. Berapakah batas bawah B? (c) Seandainya diinginkan yg tidak lulus paling banyak 25%, berapakah batas bawah agar siswa lulus?

Normal Approximation to Binomial

npq

npxZ

Jika X adalah variabel random dengan rata-rata μ=np dan variansi σ2=npq, maka jika n ∞ dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka bentuk distribusi variabel Z :

Distribusi Normal-Binomial

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Binom

normal

adalah distribusi normal standard. Contoh berikut ini untuk n=15, p=0.4

Contoh

Probabilitas seorang pasien sembuh dari sebuah penyakit adalah 0.4. Jika 100 orang menderita sakit tsb, berapakah probabilitasnya bahwa yg sembuh kurang dari 30 orang?

Jawab.

Ini adalah distribusi binomial, dengan n=100, p=0.4, q=1-0.4=0.6, jika x adalah jumlah orang yg sembuh, maka ingin dicari adalah:

P(x<30) = B(r=30;n=100, p=0.4).

Atau karena n besar dan p tidak terlalu kecil atau dekat 1, maka distribusi binomial akan didekati dengan distribusi normal dengan rata-rata μ=np=100*0.4=40 dan σ=√(npq)= √(100*0.4*0.6)=4.899. Hitung dulu

z = (x-μ)/σ= (30-40)/4.899 = -2.04

Berarti P(x<30) = P (z< -2.04) = 0.0207

Distribus Gamma

Definisi fungsi gamma :

0

1)( dxex x

Dengan sifat Γ(α)= (α-1) Γ(α), sehingga untuk α=n yg berupa bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!

Definisi distribusi gamma:

Variabel random X memiliki distribusi gamma dengan parameter α dan β, jika fungsi rapat probabilitasnya diberikan oleh:

lainnya

xexxf

x

0

0)(

1),;(

/1

Distribus Gamma : Ilustrasi

Distribusi Gamma

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5

x

alfa=1 beta=1

alfa=2 beta=1

alfa=4 beta=1

Tabel : Fungsi Gamma Tak Lengkap

Distribus Gamma : Ilustrasi

Perhatikan kecuali untuk α=1 dan β=1 distribusi gamma berawal dari x=0. Untuk α=1 distribusi gamma dikenal dengan nama distribusi exponensial. Secara eksplisit untuk α=1, berarti : Γ(1)=0!=1, dan distribusinya adalah:

Mean dan variansi dari distribusi gamma adalah:

μ= αβ σ2= αβ2

Sehingga untuk kasus distribusi exponensial mean dan variansinya:

μ= β σ2= β2

Β memiliki interpretasi sebagai waktu rata-rata antara 2 kejadian berturut-turut

lainnya

xexf

x

0

01

);(/

Hubungan dengan Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki satu parameter λ yg diartikan rata-rata kejadian per unit waktu atau area. Menurut distribusi Poisson bahwa tidak terjadi sesuatu (berarti x=0) selama waktu t akan diberikan oleh:

Jika didefiniskan variabel random X yang menyatakan lamanya waktu yg diperlukan untuk terjadinya peristiwa Poisson pertama kali, tentunya probabilitasnya = probabilitas tidak terjadi sesuatu selama x: P (X>x) = e-λt

Dengan distribusi kumulatifnya:

P(0≤ X ≤x) = 1 - e-λt

Turunan dari distribusi kumulatif ini = distribusi Poisson!

tt

ete

tp

!0

)();0(

0

Aplikasi Distribusi Gamma & Eksponensial

Komponen elektronik di sebuah komputer mempunyai lama waktu sebelum rusak selama T tahun. Diketahui variabel random T dapat dimodelkan dengan distribusi eksponensial dengan waktu rata-rata sebelum rusak (mean time before failure = MTBF) β=5. Sebanyak 5 komponen dipakai dalam 5 komputer berbeda, berapakah probabilitasnya bahwa setelah 8 tahun paling tidak 2 buah komponen masih baik berfungsi?

Jawab:

Probabilitas sebuah komponen masih berfungsi setelah 8 tahun diberikan oleh:

Selanjutnya, misalkan X menyatakan jumlah komponen yg masih berfungsi setelah 8 tahun.

8

5/

8

/ 2.05

11)8( dtedteTP tt

Aplikasi Distribusi Gamma & Eksponensial

Sekarang persoalan adalah distribusi binomial, dengan probabilitas “sukses” p=0.2 (berfungsi setelah 8 tahun), banyak percobaan (yaitu banyak komponen yg diuji n=5, dan yg ingin diketahui adalah sebanyak 5 “sukses”, x=5.

Jadi probabilitas bahwa setelah 8 tahun, sebanyak paling tidak 2 komponen masih berfungsi diberikan :

1

0

5

2

2627.07373.01)2.0,5;(1)2.0,5;()2(xx

xbpnxbXP

Aplikasi Distribusi Gamma & Eksponensial

Dalam studi thd tikus, dipelajari efek racun thd waktu survival-nya. Diketahui bahwa untuk dosis tertentu racun, waktu survivalnya mengikuti pola distribusi gamma dengan α=5 dan β=10 dalam satuan minggu. Berapakah probabilitasnya bahwa seekor tikus akan masih selamat (survive) tak lebih dari 60 minggu.

Jawab:

Misal X adalah variabel random yg menyatakan waktu hidup (survival time), berarti probabilitasnya bahwa X≤60 adalah:

dxexdxexXP xx

60

0

/45

60

0

/1

)5(

1

)(

1)10,5;60(

Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F:

dyey

xFx y

0

1

)();(

Aplikasi Distribusi Gamma & Eksponensial

Jadi didefinisikan x/β=y, berarti x= βy dx= βdy dan x=60 jadi y= 60/10=6 sehingga:

dyeydyeydxexXP yyx

6

0

46

0

45

6

0

/45 )5(

1)(

)5(

11

)5(

11)60(

Dengan definisi fungsi gamma tak lengkap F(x;α) jadi:

P (X≤60)= F(x=6; α=5) = 0.715

Aplikasi Distribusi Gamma & Eksponensial

Jadi didefinisikan x/β=y, berarti x= βy dx= βdy dan x=60 jadi y= 60/10=6 sehingga: