Upload
lamkien
View
231
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Pertemuan ke-3
Persamaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection)
AnalisaAnalisa TerapanTerapan: : MetodeMetode NumerikNumerik
Persamaan Non-Linier: Metode ½ Interval (Bisection)
27 September 2012
1Dr.Eng. Agus S. Muntohar -
Department of Civil Engineering
MetodeMetode Bisection Bisection –– DasarDasar
Teorema:Teorema: Suatu persamaan f(x)=0, dimana f(x) adalah fungsi kontinyu real, memiliki akar-akar antara xl dan xu bila f(xl) f(xu) < 0.
f(x)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
2
Gambar 1 Setidaknya satu akar persamaan berada diantara dua titik bilafungsi real, kontinyu, dan berbeda tanda.
xxu
xl
MetodeMetode Bisection Bisection –– DasarDasar
f(x)
GambarGambar 22 JikaJika fungsifungsi f(x) f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda antaraantara duadua titiktitik, , akarakar--akarakarpersamaanpersamaan f(x) = 0 f(x) = 0 masihmasih beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
3
xxuxl
MetodeMetode Bisection Bisection –– DasarDasar
f(x) f(x)
GambarGambar 3 3 BilaBila fungsifungsi f(x) f(x) tidaktidak berubahberubah tandatanda diantaradiantara duadua titiktitik, , akarakar--akarakar persamaanpersamaan f(x) = 0 f(x) = 0 tidaktidak beradaberada diantaradiantara duadua titiktitik
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
4
( )xf ( ) 0=xf
xxuxl x
xuxl
MetodeMetode Bisection Bisection –– DasarDasar
f(x)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
5
Gambar 4 Bila fungsi f(x) berubah tanda diantara dua titik, lebih dari satu akar persamaan f(x) = 0 berada diantara dua titik
x
xu
xl
AlgoritmaAlgoritma metodemetode BisectionBisection
PersamaanPersamaan NonNon--Linier: Linier: MetodeMetode BisectionBisection
LangkahLangkah 11
f(x)
PilihPilih xxℓℓ
dandan xxuu sebagaisebagai duadua akarakar perkiraanperkiraan sehinggasehingga f(xf(xℓℓ) )
f(f(xxuu) < 0, ) < 0, atauatau f(x) f(x) tandatanda yang yang berbedaberbeda antaraantara xxℓℓ
dandan xxuu..SepertiSeperti padapada GambarGambar 11--1.1.
xℓ
xu x
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
7
Gambar 1-1
f(x)
LangkahLangkah 22
PerkirakanPerkirakan akarakar xxmm daridari persamaanpersamaan f(x)f(x) == 00 sebagaisebagai titiktitiktengahtengah (mid(mid point)point) antaraantara xx
ℓℓandand xxuu yaituyaitu
xx
m = xuℓ +
xℓ
xu x
xm
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
8
xm = uℓ
2
Gambar 5 Perkiraan xm
LangkahLangkah 33
PeriksaPeriksa kondisikondisi berikutberikut::
a)a) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) < 0, ) < 0, makamaka akarakar beradaberada diantaradiantara xxℓℓ
dandan
xx ; ; dandan xx = x= x ; ; xx = = xx ..xxmm; ; dandan xxℓℓ
= x= xℓℓ
; ; xxuu = = xxmm..
b)b) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) > 0, ) > 0, makamaka akarakar persamaanpersamaan beradaberadadiantaradiantara xxmm dandan xxuu; ; dandan xx
ℓℓ= = xxmm; ; xxuu = = xxuu..
c)c) BilaBila f(xf(xll) f() f(xxmm) = 0; ) = 0; makamaka akarakar persamaanpersamaan adalahadalah xxmm. .
HentikanHentikan algoritmaalgoritma bilabila benarbenar..
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
9
LangkahLangkah 44
xx
m = xuℓ +
2
Hitung nilai perkiraan baru untuk akar persamaan:
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
10
100×−
=∈new
m
old
m
new
ax
xxm
nilai perkiraan baru akarnew
mx =
nilai perkiraan akar sebelumnyaold
mx =
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif
dimana,
LangkahLangkah 55
Yes
Ke Langkah 2 gunakamnilai perkiraan baru
Bandingkan nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif|εa| dengan toleransi kesalahan yang ditetapkan |εs|
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
11
Is ?
Yes
No
nilai perkiraan baruatas dan bawah
“Stop“ algoritma
sa >∈∈
Jumlah iterasi perlu dicek bila melebihi jumlah iterasimaksimum yang diijinkan. Bila kondisi ini tercapai, algoritma perlu dihentikan penghitungannya.
Contoh1Contoh1
SuatuSuatu bola bola terapungterapung sepertiseperti GambarGambar 6 6 memilikimemiliki beratberatjenisjenis 0.6 0.6 dandan jarijari--jarijari 5.5 cm. 5.5 cm. TentukanTentukan kedalamankedalaman bola bola yang yang terendamterendam dalamdalam air!air!
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
12
Gambar 6 Diagram bola terapung
Contoh1 (Cont.)Contoh1 (Cont.)
KedalamanKedalaman bola yang bola yang terendamterendam air air xx dinyatakandinyatakan dengandenganpersamaanpersamaan berikutberikut
010993.3165.0 423=×+−
−xx
a) a) GunakanGunakan metodemetode bisection bisection untukuntuk menentukanmenentukan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan kedalamankedalaman bola yang bola yang terendamterendam air air xx. . LakukanLakukan tigatiga kali kali iterasiiterasi untukuntuk memperkirakanmemperkirakan akarakar--akarakarpersamaanpersamaan terebutterebut. .
b) b) TentukanTentukan nilainilai absolutabsolut daridari kesalahankesalahan perkiraanperkiraan relatifrelatifpadapada masingmasing--masingmasing iterasiiterasi, , dandan jumlahjumlah digit digit pentingnyapentingnya. .
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
13
ContohContoh 1 (Cont.)1 (Cont.)
SecaraSecara fisikfisik, , bagianbagian bola yang bola yang terendamterendam air air memilikimemilikikedalamankedalaman antaraantara xx = 0 = 0 dandan xx = 2= 2RR, ,
dengandengan RR = = jarijari--jarijari bola,bola,
yaituyaituyaituyaitu
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
14
( )
11.00
055.020
20
≤≤
≤≤
≤≤
x
x
Rx
Gambar 6 Diagram bola terapung
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
Fun
gsi
f(x
)
Untuk membantupemahaman tentangbagaimana metode ini
Contoh1 (Cont. ) Contoh1 (Cont. ) –– SolusiSolusi
Penyelesaian:
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Fun
gsi
f(x
)
x (m)
f(x)
bagaimana metode inidigunakan untuk mencariakar-akar persamaan, ditampilkan grafik fungsif(x), dimana
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
15
( ) 423 1099331650 -.x.xxf ×+−= Gambar 7 Grafik dari fungsi f(x)
Contoh1 (Cont.) Contoh1 (Cont.) –– SolusiSolusi
Asumsikan nilai awal terendah dan teratas
11.0
00.0
=
=
ux
xℓ
Cek bila fungsi f(x) berubah tanda antara xℓ
and xu .
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
16
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 4423
4423
10662.210993.311.0165.011.011.0
10993.310993.30165.000
−−
−−
×−=×+−==
×=×+−==
fxf
fxf
u
l
Maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010662.210993.311.00 44<×−×==
−−ffxfxf ul
Jadi, terdapat sediikitnya satu akar persamaan berada diantara xℓ
and xu,
yaitu antara 0 dan 0.11
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
Fun
gsi
f(x
)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
17
Gambar 8 Grafik yang menunjukkan fungsi beribah tandadiantara batas awal xl dan xu
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Fun
gsi
f(x
)
x (m)
f(x) xl xu
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
055.02
11.00
2=
+=
+= u
m
xxx ℓ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010655.610993.3055.00
10655.610993.3055.0165.0055.0055.0
54
5423
>××==
×=×+−==
−−
−−
ffxfxf
fxf m
Nilai perkiraan akar persamaan
Iterasi 1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
18
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010655.610993.3055.00 54>××==
−−ffxfxf ml
Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara0.055 dan 0.11. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan
Pada titik ini, nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| belum
bisa dihitung karena belum diperoleh nilai perkiraan sebelumnya
11.0 ,055.0 == ul xx
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
Fun
gsi
f(x
)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
19
Gambar 9 Perkiraan akar persamaan Iterasi 1
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Fun
gsi
f(x
)
x (m)
f(x) xl xu xm,1
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
0825.02
11.0055.0
2=
+=
+= u
m
xxx ℓ
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )10622.110993.30825.0165.00825.00825.0 4423
×−=×+−==−−fxf m
Nilai perkiraan akar persamaan
Iterasi 2
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
20
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) 010655.610622.1)0825.0(055.0
10622.110993.30825.0165.00825.00825.0
54<××−==
×−=×+−==
−−ffxfxf
fxf
ml
m
Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara0.055 dan 0.0825. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan
0825.0 ,055.0 == ul xx
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
Fu
ng
si f
(x)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
21
Gambar 10 Perkiraan akar persamaan Iterasi 2
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Fu
ng
si f
(x)
x (m)
f(x) xl xu xm,2
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-2
( ) ( )
( )
2 1
2
100m m
a
m
x x
x
−∈ = ×
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
22
( )2
0.0825 0.055100
0.0825
33.333%
m
−= ×
=
Jumlah digit penting akar persamaan xm = 0.0825 belum memberikanhasil yang tepat karena nilai |εa| > 5%.
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
06875.02
0825.0055.0
2=
+=
+= u
m
xxx ℓ
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )10563.510993.306875.0165.006875.006875.0 5423
×−=×+−==−−
fxf m
Nilai perkiraan akar persamaan
Iterasi 3
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
23
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 010563.510655.606875.0055.0
10563.510993.306875.0165.006875.006875.0
55<×−×==
−−ffxfxf
fxf
ml
m
Maka, akar-akar persamaan berada diantara xm dan xu, yaitu, antara0.055 and 0.06875. Jadi, nilai baru terendah dan teratas dari akar-akarpersamaan
06875.0 ,055.0 == ul xx
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
Fu
ng
si f
(x)
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
24
Gambar 11 Perkiraan akar persamaan Iterasi 3
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
0.0001
-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Fu
ng
si f
(x)
x (m)
f(x) xl xu xm,3
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| pada Iterasi ke-3
( ) ( )
( )
3 2
3
100m m
a
m
x x
x
−∈ = ×
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
25
( )3
0.06875 0.0825100
0.06875
20%
m
−= ×
=
Jumlah digit penting belum memberikan hasil yang benar karena |εa|
masih > 5%.Iterasi berikutnya dilakukan dan disajikan pada Tabel 1.
Iteration xℓ xu xm ∈a % f(xm)
1
2
0.00000
0.055
0.11
0.11
0.055
0.0825
----------
33.33
6.655×10−5
−1.622×10−4
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
Table 1 Akar persamaan dari fungsi f(x)=0 dengan 10 iterasimenggunakan Metode Bisection
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.055
0.055
0.055
0.06188
0.06188
0.06188
0.06188
0.0623
0.0623
0.11
0.0825
0.06875
0.06875
0.06531
0.06359
0.06273
0.06273
0.06252
0.0825
0.06875
0.06188
0.06531
0.06359
0.06273
0.0623
0.06252
0.06241
33.33
20.00
11.11
5.263
2.702
1.370
0.6897
0.3436
0.1721
−1.622×10−4
−5.563×10−5
4.484×10−6
−2.593×10−5
−1.0804×10−5
−3.176×10−6
6.497×10−7
−1.265×10−6
−3.0768×10−7
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
26
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Ak
ar
pe
rsa
ma
an
, X
m
xm
10
100
Ke
sala
ha
n p
erk
ira
an
re
lati
f (%
)
|ea|
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
27
0
0.01
0.02
0.03
0 2 4 6 8 10
Ak
ar
pe
rsa
ma
an
, X
m
Iterasi ke-n
xm
0.1
1
0 2 4 6 8 10
Ke
sala
ha
n p
erk
ira
an
re
lati
f (%
)
Iterasi ke-n
|ea|
ContohContoh 1 (Cont.) 1 (Cont.) –– SolusiSolusi
Jumlah digit penting yang memberikan hasil benar dihitung sebagainilai terbanyak m yaitu :
105.01721.0
105.0
2
2
×≤
×≤∈
−
−
m
m
a
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
28
( )
( ) 463.23442.0log2
23442.0log
103442.0
105.01721.0
2
=−≤
−≤
≤
×≤
−
m
m
m
Jadi, m = 2
Jumlah digit terakhir dari akar persamaan 0.06241 pada iterasi ke-10 adalah 2.
•• SelaluSelalu konvergenkonvergen..
•• AkarAkar persamaanpersamaan berkurangberkurang padapada setiapsetiap
iterasiiterasi..
KelebihanKelebihan MetodeMetode BisectionBisection
iterasiiterasi..
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
29
KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection
� Mencapai konvergen relatif lama
� Bila nilai perkiraan akar awal terlaludekat dengan nilai akarnya, konverge
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
30
dekat dengan nilai akarnya, konvergedicapai lebih lama.
•• BilaBila fungsifungsi f(x) f(x) sedemikiansedemikian ruparupa sehinggasehinggahanyahanya menyentuhmenyentuh sumbusumbu x, x, makamaka tidaktidakdiperolehdiperoleh nilainilai perkiraanperkiraan terendahterendah dandan tertinggitertinggi..
KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
31
f(x)
x
( ) 2xxf =
KekuranganKekurangan MetodeMetode BisectionBisection
� Fungsi berubah tanda, tetapi tidakmemiliki akar-akar persamaan.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering
32
f(x)
x
( )x
xf1
=