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análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Livro Texto: Theory of Plates and Shells – Timoshenko and Woinowsky-Krieger
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Seja a placa da figura 1, carregada transversalmente.
A deformada de uma faixa de largura elementar assemelha-se a de um a viga fletida.
h = espessura da placal = largura da placax-y: plano médio da placa
A faixa de largura elementar pode ser considerada uma viga de comprimento l e seção retangular de altura h.
Assim, x-y é a superfície neutra da placa fletida.
2
2
dx
wdz
dx
dθz
dx
du yx
Fig.1
Fig.2
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Pela Lei de Hooke,
onde E é o módulo de Young e n o coeficiente de Poisson.
EEyx
x
0
EExy
y
e
xy e
Ex
x
21 ou 21
x
x
E
Logo,2
2
21 dx
wdEzx
2
2
dx
wdz
dx
dθz
dx
du yx
Fig.1
Fig.2
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
O momento resultante por unidade de comprimento na faixa de largura elementar é (figura 2):
ou
2
2
2
22
2
2
3
2
2
2
2
112
1
h
h
h
h dx
wdEhMdz
dx
wdEzMdzzMm xy
D
M
dx
wd
2
2
onde 2
3
112
EhD
é a Rigidez à Flexão da Placa, equivalente ao produto EIx para as vigas.
2
2
21 dx
wdEzx
De fato, para uma viga ( n = 0) de seção retangular e largura unitária,
12
3hI x
Fig.2
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
equivale, nas placas, à equação diferencial da LE das vigas.D
M
dx
wd
2
2
Em princípio, portanto, basta integrar esta equação para obter as flechas w.
No entanto, como os apoios da laje não se movem, surgem reações horizontais S à medida que aparecem flechas verticais na laje submetida a cargas transversais. (figura 3)
Em suma, o problema converte-se em determinar os deslocamentos e, consequentemente, os esforços, na faixa de largura elementar submetida a cargas transversais e, simultaneamente, a cargas axiais que dependem das flechas.
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Swqx
xql
M 22
2
Seja q a carga uniformemente distribuída.
O momento fletor numa seção qualquer distante x do apoio esquerdo (figura 3) é:
Assim, a equação diferencial fica:
22
2
2xlx
D
qw
D
S
dx
wd
Se , a equação ficaD
Slu
4
22 2
2
2
2
2
2
4xlx
D
qw
l
u
dx
wd
D
M
dx
wd
2
2
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
A solução geral desta equação é
Logo,
Du
ql
Du
xql
Du
xql
l
uxC
l
uxCw
4
4
2
22
2
3
21 1688
2cosh
2senh
22
2
2
2
2
4xlx
D
qw
l
u
dx
wd
Du
xql
Du
ql
l
uxC
l
u
l
uxC
l
u
dx
dw2
2
2
3
21 48
2senh
22cosh
2
Du
ql
l
uxC
l
u
l
uxC
l
u
dx
wd2
2
22
2
12
2
2
2
4
2cosh
42senh
4
e
D
M
dx
wd
2
2
2cosh e
2senh
tttt eet
eet
onde C1 e C2 são constantes de integração.
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
De fato, substituindo-se estes valores na equação diferencial, tem-se:D
M
dx
wd
2
2
2
4 22
2
2
2
xlxD
qw
l
u
dx
wd
24
4
2
22
2
3
212
2
2
2
22
2
12
2
21688
2cosh
2senh
4
4
2cosh
42senh
4
xlxD
q
Du
ql
Du
xql
Du
xql
l
uxC
l
uxC
l
u
Du
ql
l
uxC
l
u
l
uxC
l
u
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
0w
As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno (condições de apoio):
em e
u
u
Du
qlC
2senh
2cosh1
16 4
4
1
0x lx
Du
qlC
4
4
2 16 e
xlDu
xql
l
ux
l
ux
u
u
Du
qlw
2
2
4
4
81
2cosh
2senh
2senh
2cosh1
16
A solução, então, fica:
D
M
dx
wd
2
2
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Substituindo-se
xlDu
xql
l
ux
l
ux
u
u
Du
qlw
2
2
4
4
81
2cosh
2senh
2senh
2cosh1
16
uuuu 222 senh21senhcosh2cosh e
uuu cosh.senh22senh
tem-se:
xlDu
xql
ul
uxu
l
uxu
Du
qlw
2
2
4
4
81
cosh
2cosh.cosh
2senh.senh
16
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
ou
xlDu
xql
u
l
xu
Du
qlw
2
2
4
4
81
cosh
21cosh
16
Daí se conclui que w depende de u que, por sua vez depende da força S.
D
Slu
4
22
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Como determinar S?
dxdx
dwl
l2
02
1
Como
O alongamento da faixa elementar Dl provocado pela força S é a diferença entre o comprimento da linha elástica e a sua corda:
Eh
Sl
E
lll x
x
22 11
então dxdx
dw
l
EhS
l2
0212
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Substituindo-se w na expressão de S, tem-se:
Como e a equação acima fica
466
2
722
62
384
1
256
5
256
tanh
256
tanh5
12 uuu
u
u
u
D
lEhqS
2
3
112
EhD2
2
4u
l
DS
0
18
9
16
135
16
tanh27
16
tanh1358
222
2
688
2
9
l
h
q
E
uuu
u
u
u
(equação em u)
O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u pode ser determinada por tentativa e erro.
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Em suma, determinando-se a variável u, obtém-se:
22
4u
l
DS
wu
l
DxlqxSw
qxx
qlM 2
2
2 4
222
xlDu
xql
u
l
xu
Du
qlw
2
2
4
4
81
cosh
21cosh
16
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
221
4u
hl
D
h
S
2
22
2 4
8 lxmáx wul
DqlM
22
6
h
M máx
constante ao longo do comprimento da faixa
em x = l/2
D
M
dx
wd
2
2
24
4
2
4
4
4
21sech2
32321
cosh
1
16uu
Du
ql
Du
ql
uDu
qlw
lx
2
2
2
82 sech12
81
1sech2
88 u
uql
u
uqlqlM máx
Fig.3
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
22
6
h
M máx em x = l/2
2
2 sech12
8 u
uqlM máx
Obs.: À medida que u cresce em valor absoluto, o momento tende a zero (Fig. 4); se u = 0, 82qlM máx
221
4u
hl
D
h
S constante ao longo do comprimento da faixa
-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 -0.50.25 1 4 7 10 13 16 19
00.20.40.60.8
11.2
[2(1-sech(u))/u2] x u
Fig.4
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
2
22 sech12
3
h
lu
u
q e
2
2
2
1 13
l
hEu
21 máx
Substituindo-se D e Mmáx em s1 e s2, tem-se
A flecha máxima pode ser escrita como
4
242
4
4
2 5
1sech212
384
51sech2
32 u
uu
D
qluu
Du
qlw
lx
-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 -0.50.25 1 4 7 10 13 16 19
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
12{2[sech(u)-1]+u2}/(5u4)
Fig.5
(ver Fig.5)
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas biengastadas carregadas uniformemente
A solução geral desta equação é
Fig.6
0
2
22MSw
qxx
qlM
D
Mxlx
D
qw
D
S
dx
wd 022
2
2
D
M
dx
wd
2
2De acordo com a Fig. 6,
Du
lM
Du
ql
Du
xql
Du
xql
l
uxC
l
uxCw
2
20
4
4
2
22
2
3
21 41688
2cosh
2senh
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas biengastadas carregadas uniformemente
Fig.60dx
dw
D
M
dx
wd
2
2
As condições de apoio são:Du
lM
Du
ql
Du
xql
Du
xql
l
uxC
l
uxCw
2
20
4
4
2
22
2
3
21 41688
2cosh
2senh
0w em e e0x lx
em e 0x lx
Du
qlC
3
4
1 16 u
Du
qlC coth
16 3
4
2 Daí que: ,
uu
uuqlu
u
ql
u
qlM
tanh
tanh3
12coth
44 2
22
2
2
0
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas biengastadas carregadas uniformemente
Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w:
xlDu
xql
u
l
xu
uDu
qlw
2
2
3
4
81
cosh
21cosh
tanh16
D
Slu
4
22 Usando o mesmo raciocínio do caso anterior, ( e ),
tem-se dxdx
dw
l
EhS
l2
0212
4624522
62
384
1
64
1
senh256
1
tanh256
3
1 uuuuuuD
lEhqS
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas biengastadas carregadas uniformemente
Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w:
0
18
9
4
27
senh16
27
tanh16
818
222
2
68267
l
h
q
E
uuuuuu
O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u pode ser determinada por tentativa e erro.
4624522
62
384
1
64
1
senh256
1
tanh256
3
1 uuuuuuD
lEhqS
Como e a equação acima fica 2
3
112
EhD2
2
4u
l
DS
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas biengastadas carregadas uniformemente
Tensões Normais Máximas:
2
22 tanh
tanh3
2
h
l
uu
uuq e
2
2
2
1 13
l
hEu
21 máx
A flecha máxima é
u
u
u
uu
uD
ql
u
u
u
uu
Du
qlw
lx tanhsenh2
24
384tanhsenh216
2
4
42
4
4
2(ver Fig.7)
-20 -17 -14 -11 -8 -5 -2 -0.50.25 1 4 7 10 13 16 19
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
24(u2/2+u/senh(u)-u/tanh(u))/u4
Fig. 7
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente
A solução geral desta equação é
D
M
D
qxx
lD
M
D
qlw
D
S
dx
wd 02
02
2
22
D
M
dx
wd
2
2De acordo com a Fig. 8,
0
20
22MSw
qxx
l
MqlM
Du
lM
Du
ql
Du
xqlx
Du
lMql
l
uxC
l
uxCw
2
20
4
4
2
22
20
3
21 41688
22cosh
2senh
wS S x
z
0M
l
Mql 0
2
l
Mql 0
2
Fig. 8
l
análise de placasProf. Pedro Sá
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Flexão de Placas Longas Retangulares
Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente
0dx
dw
D
M
dx
wd
2
2
As condições de apoio são:
0w em e e0x lx
em 0xw
S S x
z
0M
l
Mql 0
2
l
Mql 0
2
Fig. 8
l
Du
lM
Du
ql
Du
xqlx
Du
lMql
l
uxC
l
uxCw
2
20
4
4
2
22
20
3
21 41688
22cosh
2senh