Análise de Temperaturas em uma Barra Uniforme de Aço ... · PDF fileÉ bem conhecido da engenharia de materiais que ... As equações diferenciais que governam os problemas físicos

Análise de Temperaturas em uma Barra

Uniforme de Aço-Carbono com o Método

Explícito

Jorge Corrêa de Araújo1

Rosa García Márquez2

Resumo

Nesse trabalho é desenvolvida uma solução numérica por diferenças finitas com

o método explícito para a condução de calor em regime transiente de temperatura em

uma barra de aço-carbono unidimensional com condições de Robin. A solução analítica

foi obtida formalmente pelo método de separação de variáveis. Os resultados das

simulações mostraram que a solução numérica de fácil implementação é concordante

com a solução analítica.

Palavras Chave: Método Explícito, Solução Analítica; Calor Unidimensional.

Introdução

É bem conhecido da engenharia de materiais que durante a fabricação e o

processamento dos aços laminados o tratamento térmico pode alterar as propriedades

intrínsecas destes materiais como, por exemplo, o desempenho elétrico, mecânico e de

resistência à corrosão ([3,12]). Quando uma liga de ferro com carbono é aquecida e

esfriada repentinamente, ela se torna extremamente dura e recebe o nome de aço.

Alguns tipos de aço são classificados de acordo com a concentração de carbono (baixo,

médio ou elevado teor de carbono). O aço-carbono é um aço que emana suas

propriedades físicas tais como dureza e resistência tendo por isso, diversas aplicações na

ARAÚJO, J. C.; MÁRQUEZ, R. G. Análise de temperaturas em uma barra uniforme de aço-carbono com o método explícito.

DOI: 10.21167/cqdvol22201323169664jcargm5869 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 2, n. 2, p. 58-69, dez. 2013.C.Q.D. -

indústria tais como: produção de arames, pregos, tubos, painéis de automóveis, etc.

(veja Sanderson et al. [9], Callister [3]).

As equações diferenciais que governam os problemas físicos de transferência de calor

em regime transiente ou não, têm soluções analíticas, caso existam, em geral muito

complicadas (Sanderson et. al [9], Silva Neto et al. [10], e Maliska [5]). Atualmente

devido ao bom desempenho dos computadores modernos, as soluções numéricas são

amplamente utilizadas por diversos pesquisadores em detrimento da busca pela solução

analítica.

1 Formulação do problema

Os resfriamentos forçados de ligas de aço de forma controlada permitem à predição

local da temperatura em cada ponto da amostra material de modo a garantir as

propriedades desejáveis para uso industrial.

Nesse trabalho é apresentada detalhadamente a conhecida solução analítica para o

problema da condução de calor em uma barra homogênea unidimensional com condição

de Robin (3o tipo) nas extremidades ([2,4]). Também uma solução numérica na forma

explícita usando o método das diferenças finitas ([1,8]) foi utilizada para a

representação da temperatura. Os resultados obtidos com as diferentes aproximações

ficaram em boa concordância.

Tabela 1: Propriedades da barra fina de aço-carbono

Parâmetros do Processo Notação Valores

Comprimento da barra L 0,02 m

Temperatura Inicial )(xf C0300

Temperatura ambiente TA C035

Difusividade térmica sm /108,18 26

Coeficiente de condutividade

térmica

k CmW o/9,63

Coeficiente de troca térmica h CmWo2/100

Consideraremos que as superfícies laterais da barra encontram-se isoladas. Será

admitido também que as seções retas são tão pequenas que a temperatura em cada ponto

seja uniforme. Repentinamente, as extremidades ficam sujeitas a convecção com



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coeficiente de troca térmica h com temperatura do fluido igual a temperatura ambiente,

isto é, Af TT (Fig.1).

Figura 1: Barra uniforme de aço-carbono com convecção nas extremidades

Se ),( txT representa a temperatura da barra em cada ponto x e temperatura t, a variação

da temperatura ao longo da barra em regime transiente (Boyce DiPrima [2], Davis [4],

Menzala [6]) é governada pela equação diferencial parcial dada por

),(1

),(2

2

txt

Ttx

x

T

, Lx 0 e 0t (1)

A distribuição da temperatura está sujeita as seguintes condições:

ATtThtx

Tk

),0(),0( , 0t (1a)

ATtLThtLx

Tk

),(),( , 0t (1b)

)()0,( xfxT , Lx 0 (1c)

As condições (1a) e (1b) são conhecidas como condições de Robin (3o tipo).

2 Formulação analítica

O tratamento que será aqui desenvolvido na formulação analítica é baseada no

desenvolvimento proposto por Boyce e DiPrima [2] para o mesmo problema só que

usando somente a condição de Dirichlet (1o tipo) que utiliza temperaturas pré-fixadas

nas extremidades da barra enquanto o problema proposto nesse estudo utiliza a

condição de Robin (3o tipo) que é a troca de calor por convecção nas extremidades da

barra.

T(x,t)

x=0 x=L/2 x=L



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60


As condições (1a) e (1b) não são necessariamente homogêneas, portanto uma nova

temperatura que mede o excesso da temperatura ambiente é definida por

LTtxTtx ),(),( (1d)

de modo que a equação (1) combinada com as condições de contorno (1a) e (1b)

reescrevem-se como na forma de equações homogêneas

),(1

),(2

2

txt

txx

, Lx 0 , 0t (2)

0),0(),0(

tht

xk

, 0t (2a)

0),(),(

tlhtl

xk

, 0t (2b)

Txfx )(0, , 0t (2c)

Para resolver a equação (2) será aplicado o método de separação de variáveis ([2], [6] e

[11]) que consiste em assumir que a temperatura ),( tx pode ser representada como um

produto de uma função de posição )(xW com outra função de temperatura )(t , isto é,

)()(),( txWtx (3)

Da equação (3) resultam

)()(),(2

2

2

2

txdx

Wdtx

x

(4)

)()(),( tdt

dxWtx

t

(5)

Substituindo as equações (4 e 5) na equação (2) e separando as variáveis tem-se

dt

td

tdx

xWd

xW

)(

)(

11)(

)(

12

2

(5a)

A igualdade da equação (5a) é verdadeira se ambos os lados são iguais a uma mesma

constante de separação . O sinal negativo para a constante de separação é para

assegurar o decaimento de )(t com o tempo t como será visto mais adiante. Da equação

(5a) resultam duas equações diferenciais ordinárias



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0)()(2

2

xWxdx

Wd (6)

0)()(

ttdt

d (7)

Portanto a constante está associada a um problema de autovalor de funções. A solução

da equação (7) mostra que tet2

)( com 2 . Das equações (2a e 3) tem-se

0)()()()(

txhWtdx

xdWk (8)

A solução geral da equação (6) é dada por

xcxsencxW cos)( 21 (9)

Substituindo a equação (9) na equação (8) obtém-se a equação

0)(cos)()cos( 2121 txcxsenchtxsencxck (10)

Que deve ser válida para todo x. Desde que 0)( t para todo t a equação (10) no ponto

x=0, fica da forma

021 hckc (11)

O que mostra que a constante 1c é proporcional a k

hH e 2c é proporcional a .

Novamente usando o fato de que 0)( t , a equação (8) pode ser posta na forma

)()(

xhWdx

xdWk (11a)

Usando a proporcionalidade das constantes 21 e cc as autofunções da equação (6) dadas

pela equação (9) podem ser postas na forma

xxHsenxW cos)( (12)

Logo o objetivo é determinar para a determinação de )(xX . Combinando as equações

(11a e 12) em Lx tem-se

0coscos 2 LLHsenhLsenLHk (13)

LHk

HkhLsen

cos

2

(14)

Multiplicando e dividindo o lado direito da equação (14) pelo fator k

1 resulta na

equação



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62


LH

HLsen

cos

222

(15)

A qual pode ser colocada na forma

22

2tan

H

HL

(16)

A equação (16) é transcendental, não podendo ser resolvida analiticamente. Nesse caso,

soluções numéricas podem ser obtidas dos zeros ( n ) da função

22

2tan

H

HL

n

nnn

(17)

Desde que tet2

)( segue da equação (3) que

t

nnnexWtx

)(, (18)

Onde )(xWn são as autofunções dadas pela por xxsenHxW nnnn cos)( ,

associadas aos autovalores n . Pode ser mostrado de forma direta que as funções

txn , satisfazem as equações (2-2a-2b). Logo, usando o princípio da superposição das

soluções, a solução completa tx, é dada por

)(,1

xWectx n

t

nn

(19)

Das equações (2c e 19)

)()(0,1

xWcxFx nn

(20)

A equação (12) mostra que )(xWn é uma combinação linear de senos e cossenos logo

os coeficientes nc são coeficientes de Fourier para )(xf periódica de período L2 . Isto é,

dxxWxFN

c n

L

n )()(1

0

(21)

onde TxfxF )()(

2

2)(

2

0

2 HHLdxxWN n

L

n

(22)

Substituindo as equações (21-22) na equação (19) e usando o fato de que

TT tem-se finalmente a expressão da solução analítica



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63


dxxWxFxWeHHL

TtxT n

L

n

t

n

A )()()(2

12,

01

2

2

(23)

3 Formulação numérica

O método das diferenças finitas que utilizaremos nesse estudo é dado na forma

explícita. A vantagem é a facilidade de programação e a desvantagem é que essa

formulação é condicionalmente estável, isto é, deverá existir uma relação entre as

larguras das malhas espacial e temporal. Será usado o esquema de diferenças avançadas

no tempo na primeira derivada da equação (1) e centradas na posição para a derivada

segunda da equação (1). Desse modo tem-se

t

TT

t

Tn

i

n

i

n

i

1

(24)

2

11

2

2 2

2

1

x

TTT

x

Tn

i

n

i

n

i

n

i

(25)

Substituindo as equações (24-25) na equação (1) resulta a formulação explícita

n

i

n

i

n

i

n

i rTTrrTT 11

1 )21(

(26)

onde 2x

tr

, 11 Ni . O método é condicionalmente estável se 2

1r .

A Fig.2 mostra a molécula de cálculo com diferença avançada no tempo e centrada na

posição i e avançada no tempo n.

Figura 2: Malha computacional e molécula de cálculo com formulação explícita

Para esse problema foram usadas as condições de balanço de energia proposto por

Osizik [7] nos extremos da barra sujeito as condições convectivas como

n

t

1

1

n

iT 1n

iT 1

1

n

iT

n

iT 1 n

iT n

iT 1



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A

nn xTk

hT

xk

hT 1

1

1

0

1

1, 0x (27)

LxxTk

hT

xk

hT A

n

N

n

N

,

1

1 1

1

1 (28)

4 Resultados

As simulações numéricas consideraram inicialmente a barra de aço-carbono de

comprimento L = 0,02 m subdividida em 5 e 10 subintervalos igualmente espaçados

tem-se,

No primeiro caso 004,05 Lx , 40,0t e 47.0r .

No segundo caso 002,010 Lx , 085.0t e 399.0r .

Considerando, 5649,1k

hH , 6108,18 , 300)( xf e definindo

22

2tan)(

H

HL

na equação (16), podemos observar na Fig. 3 que )( admite cinco raízes no intervalo

[0, 220]. Então considerando as aproximações iniciais 300,15010, o

3

o

2

o

1 ,

450o

4 e 600o

5 , e utilizando o método iterativo de Newton ( 810 ) (Ruggiero

et. al [8]) obtemos as raízes: 112,47724201 , 0696357,1582 , 6566114,3143 ,

5707548,4714 e 56750030,6285 .



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Figura 3. Gráfico da função no intervalo de ]700,0[ radianos para a localização

de raízes 5

1n .

Considerando os primeiros cinco termos da série na equação (23), temos a descrição da

temperatura ),( txT em cada ponto da barra.

A Fig. 4 mostra que a solução numérica com 004,05 Lx para descrever o

decaimento da temperatura na extremidade da barra não está em concordância com a

solução analítica ao longo do tempo, enquanto usando uma malha mais fina

( 002,010 Lx ) nota-se uma menor dissipação entre as soluções numérica e a

analítica.

Figura 4. Gráfico do perfil de temperaturas em 004,0x m com o tempo de 1000 s

O objetivo com esses parâmetros foi testar o progresso da solução numérica quando o

refinamento da malha foi duplicado. As comparações foram realizadas nos pontos



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4..1, ixiPi , isto é, nos pontos 5Lxi ,

54

53

52 e , LLL . Para a solução analítica a

série dada pela equação (26) utilizou 15 termos.

Na Fig. 5, pode ser notado um maior resfriamento na extremidade da barra em relação

ao meio da barra. Observa-se claramente que o perfil das curvas de temperaturas nesses

pontos confirma a distribuição na barra, onde existe uma maior temperatura. De fato,

após 20 segundos, 7987701,285)20,(4

LT , 7987701,285)20,(4

3 LT e

287622,286)20,(2

LT (oC), entretanto após 2000s (33,3 minutos) as temperaturas

nesses pontos são menos diferençadas 76304384,35)2000,()2000,(4

34

LL TT e

76453115,35)2000,(2

LT (oC), e estão próximas à temperatura ambiente, como era de

se esperar. A dissipação de calor com as condições dadas mostram que as temperaturas

decaem mais rapidamente nos extremos da barra (em forma simétrica) já que a

superfície lateral está termicamente isolada e o material é homogêneo.

Figura 5. Perfil das curvas de temperaturas ),( xT após 5, 10, 20, 40 e 55 segundos.

Observa-se que a temperatura é menor nos extremos da barra e diminui em forma

simétrica em relação ao meio da barra, onde a temperatura é levemente maior.

4 Conclusões

O problema de transferência de calor em uma barra de aço-carbono em regime

transiente com condições de Robin foi resolvido analiticamente de modo formal pelo

método de separação de variáveis. Uma solução numérica foi proposta envolvendo o



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esquema de diferenças finitas com o método explícito. Esse método, embora de fácil

programação, tem um elevado esforço computacional além de ter a desvantagem de ser

condicionalmente estável. O método numérico mostrou-se adequado para uma

comparação com os resultados obtidos com a solução analítica desenvolvida.

Os perfis de temperaturas analisados em diferentes pontos da barra mostram um

pequeno acréscimo da temperatura na região central, ),(),(22

txTtT LL para todo

[,0]2Lx e 0t . Também a simetria da distribuição de temperatura em relação a essa

região central pode ser observada.

Este trabalho pode ser aplicado a um estudo similar, ao substituir a função f(x) dada na

tabela 1, por qualquer outra função de temperatura.

Referências

[1] ARAÚJO, J.C., MÁRQUEZ, R.G. Distribuição de Temperaturas em uma Barra

Uniforme de Aço-Carbono com o Método de Crank-Nicolson. Cadernos do IME. Série

Matemática – Vol 24 (impresso)/Vol 6 (online) – Dez. 2012. Disponível em:

<http://magnum.ime.uerj.br/cadernos_mat/>

[2] BOYCE, W. E; DiPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas

de Valores de Contorno. 6a Edição. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A., (1999).

[3] CALLISTER, W. D. Ciência e Engenharia de Materiais uma Introdução. 5a edição.

LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., São Paulo, (2002).

[4] DAVIS, H. F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover Publications, Inc.

New York, (1963).

[5] MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e

Coordenadas Generalizadas. 1 Edição. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e

Científicos. Editora S.A., (1985).

[6] MENZALA, G. P., Introdução ás Equações Diferenciais Parciais. 11o Colóquio

Brasileiro de Matemática. Poços de Caldas, Impa. (1977).

[7] OZISIK, M. N. Heat Transfer A Basic Approach. MacGraw-Hill Book Company.,

(1985).



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http://magnum.ime.uerj.br/cadernos_mat/

[8] RUGGIERO M. G. E LOPES V. L. Cálculo Numérico. Aspectos teóricos e

computacionais. 3a edição. Ed. Pearson, (1996).

[9] SANDERSON, L.G., ARAÚJO J.C. et al. Simulações do resfriamento de Chapas de

aço em laminação controlada, Matéria, Vol. 9, N.1 43-54, (2004).

[10] SILVA NETO, A. J.; VASCONCELLOS, J.F.V. Uma introdução aos Métodos de

Diferenças Finitas e Volumes Finitos com Aplicações em Transferência de Calor e

Massa, LEMA, IPRJ, Nova Friburgo, RJ, (2002).

[11] www.ime.uerj.br/~calculo/LivroV/edp.pdf (Apostila de Equações Diferenciais

Parciais) (Acesso em nov. 2012).

[12] www.revistadoaco.com.br/estimativa-das-propriedades-mecanicas-de-barras-de-

aco-carbono-pela-composicao-quimica/ (Acesso em: nov. 2012).



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