Analise EB TM MDF Scilab

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAU

CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

GUSTAVO GUIMARES CRUZ

ANLISE COMPARATIVA DAS TEORIAS DE EULER-

BERNOULLI E TIMOSHENKO VIA MTODO DAS

DIFERENAS FINITAS COM IMPLEMENTAO

COMPUTACIONAL EM SCILAB

TERESINA - PI

2014

GUSTAVO GUIMARES CRUZ

ANLISE COMPARATIVA DAS TEORIAS DE EULER-

BERNOULLI E TIMOSHENKO VIA MTODO DAS

DIFERENAS FINITAS COM IMPLEMENTAO


Monografia apresentada ao curso de

Engenharia Civil da Universidade

Federal do Piau, como requisito parcial

para a concluso do Bacharelado em

Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Me. Calebe Paiva

Gomes de Souza

TERESINA - PI

2014

FICHA CATALOGRFICA Universidade Federal do Piau

Biblioteca Comunitria Jornalista Carlos Castello Branco

Servio de Processamento Tcnico

C957a Cruz, Gustavo Guimares.

Anlise comparativa das teorias de Euler-Bernoulli e

Timoshenko via Mtodo das Diferenas Finitas com

implementao computacional em Scilab / Gustavo Guimares

Cruz. Teresina, 2014. 147 f. : il.

Monografia (Bacharelado em Engenharia Civil) Universidade Federal do Piau, 2014.

Orientao: Prof. Me. Calebe Paiva Gomes de Souza.

1. Viga. 2. Euler-Bernoulli - Teoria. 3. Timoshenko - Teoria.

4. Mtodo das Diferenas Finitas. 5. Scilab. I. Ttulo.

CDD 624.177 23

Monografia intitulada Anlise Comparativa das Teorias de Euler-Bernoulli e Timoshenko via

Mtodo das Diferenas Finitas com Implementao Computacional em SCILAB, de autoria de

Gustavo Guimares Cruz, apresentada ao Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal

do Piau como requisito parcial concluso do Bacharelado em Engenharia Civil.

Aprovada pela banca examinadora constituda pelos seguintes professores:

______________________________________________________________________ Prof. Me. Calebe Paiva Gomes de Souza - CT/UFPI Orientador

________________________________________________________________________________ Profa. Dra. Simone dos Santos Hoefel - CT/UFPI

________________________________________________________________________________ Prof. Me. Eduardo Martins Fontes do Rego - CT/UFPI

TERESINA, 15 de agosto de 2014

AGRADECIMENTOS

Agradeo a DEUS, em primeiro lugar, onde est comigo a todo o momento e nas horas

mais difceis, principalmente nesses ltimos meses.

Aos meus pais, Jos Manoel e Francisca Leite, que me deram o amor, educao e

humildade necessria para me tornar, pelo menos, um ser humano que respeita todas as pessoas,

mesmo aquelas que te prejudicam.

Aos meus irmos que, me deram suporte nas horas difceis, com brincadeiras.

Agradeo aos professores da UFPI que me ajudaram mesmo possuindo pouco tempo e

pela agradecer pela pacincia.

Agradeo ao meus professores que tive antes de entrar na Universidade, que me deram

apoio para que pudesse estar aqui.

Ao professor Calebe Paiva, que sempre esteve disponvel para responder, e com

pacincia, os questionamentos, alm de um grande ser humano.

Aos meus amigos de Universidade que me ajudaram nessa longa jornada: Francisco

Gomes, Isnio de Castro e Luciano Alves.

RESUMO

ANLISE COMPARATIVA DAS TEORIAS DE EULER-BERNOULLI E

TIMOSHENKO VIA MDF COM IMPLEMENTAO


Autor: Gustavo Guimares Cruz

Orientador: Calebe Paiva Gomes de Souza

Teresina-PI, agosto de 2014

A viga um dos principais elementos estruturais utilizados na Engenharia Civil, e apresenta

equaes diferenciais que rege cada caracterstica pertinente. Dentre essas caractersticas

destaca-se a deflexo, regido por teorias que se embasam na manuteno da seo da viga.

Dentre as teorias, as mais utilizadas so a de Euler-Bernoulli e de Timoshenko, sendo que a

primeira no considera os efeitos cisalhantes, enquanto a segunda adiciona os efeitos de

Poisson. A equao diferencial resultante de ambas torna possvel a utilizao de mtodos

numricos. Entre esses mtodos numricos, destaca-se o Mtodo das Diferenas Finitas,

transformando equaes do meio contnuo para o meio discreto, simplificando a aplicao. O

mtodo numrico possibilita a implementao computacional, presente nos dias atuais. Por

questes econmicas e facilidade de produo do algoritmo, o Scilab o meio interessante de

obter clculos com resultados grficos satisfatrios. Assim, na comparao entre os grficos

das teorias propostas observou-se, em relao ao mtodo numrico adotado, uma convergncia

entre os valores discreto e analtico medida que aumenta-se o nmero de pontos inseridos,

demonstrando a eficincia do mtodo. Em relao as teorias, para uma relao comprimento-

altura alta e carga aplicada de grande magnitude, existe praticamente coincidncia entre ambas

as teorias, sendo desprezvel a parcela da tenso cisalhante na viga. Mas para relao

comprimento-altura muito baixa para cargas com valores elevados, observa-se uma

discrepncia entre as curvas de deflexo entre as teorias de Euler-Bernoulli e Timoshenko, bem

como uma diferena entre o valor estipulado intuitivamente e o apresentado para uma carga

concentrada. Neste caso, a parcela cortante de suma importncia na verificao e

dimensionamento para determinadas aplicaes prticas.

Palavras-chave: Viga. Euler-Bernoulli. Timoshenko. Mtodo das Diferenas Finitas.

Implementao. Scilab.

ABSTRACT

COMPARATIVE ANALYSIS OF THEORIES OF EULER-BERNOULLI

AND TIMOSHENKO VIA MDF WITH COMPUTER

IMPLEMENTATION IN SCILAB

Author: Gustavo Guimares Cruz

Supervisor: Calebe Paiva Gomes de Souza

Teresina-PI, august 2014

The beam is a main structural elements used in Civil Engineering, and presents differential

equations governing each relevant feature. Among these features there is the deflection

governed by theories that underlie the maintenance of the beam section. Among theories, the

most used are the Euler-Bernoulli and Timoshenko, where the first does not consider the effects

of shear, while the second adds the Poisson effect. The resulting differential equation of the two

makes it possible to use numerical methods. Among these numerical methods, highlight the

Finite Difference Method, transforming the continuum equations for the discrete medium,

simplifying the application. The numerical method allows the computer implementation, this

nowadays. For economic reasons and ease of production of the algorithm, the Scilab is

interesting means of obtaining satisfactory calculations with graphical results. Thus, in

comparison between the graphs of the theories proposed observed, compared to the numerical

method used, a convergence between the discrete values and the analytical increases as the

number of entered points, demonstrating the efficiency of the method. Regarding theories,

applied to a high load of great magnitude and length-height ratio, is virtually coincidence

between both theories and an insignificant portion of the shear stress in the beam. But for length-

height relationship for very low loads with high values, there is a discrepancy between the

deflection curves between theories of Euler-Bernoulli and Timoshenko, as well as a difference

between the amount stipulated intuitively and submitted to a concentrated load, in which case,

the shear portion is of paramount importance in the design and verification for certain practical

applications.

Keywords: Beam. Euler-Bernoulli. Timoshenko. Finite Difference Method. Implementation.

Scilab.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1.1 Aplicao das estruturas nos dias atuais 21

Figura 1.2.1 Discretizao de casca cilndrica (tnel) atravs do Mtodo das Diferenas

Finitas 23

Figura 2.1.1 Principais elementos estruturais que compem as construes correntes 26

Figura 2.1.2 Estrutura metlica composta por barras horizontais (viga) e verticais (pilar) 26

Figura 2.1.3 Viga-Parede e sua distribuio de foras 27

Figura 2.1.4 Tnel, um elemento de casca, aplicado em construes rodovirias 27

Figura 2.1.5 Detalhe do bloco de coroamento em uma fundao 28

Figura 2.1.1.1 Solicitaes de diferentes naturezas atuantes em um corpo 29

Figura 2.1.1.2 Distribuio dos esforos internos em um corpo 30

Figura 2.1.1.3 Atuao do esforo normal em uma seo da estrutura 31

Figura 2.1.1.4 Atuao do esforo cortante em uma seo da estrutura 31

Figura 2.1.1.5 Atuao do momento fletor em uma seo da estrutura e as tenses

resultantes 31

Figura 2.1.1.6 Atuao do momento torsor em um corpo 32

Figura 2.1.1.7 Sistemas de foras internas para estruturas coplanares 32

Figura 2.1.2.1 Tipos de carregamentos externos possveis de atuao em uma estrutura 32

Figura 2.1.3.1 Carregamento externo atuante e os esforos resultantes da aplicao do

mesmo 33

Figura 2.1.3.2 Carregamento pontual externo e as resultantes internas devido a aplicao do

mesmo 34

Figura 2.1.4.1.1 Curva tenso - deformao genrica 35

Figura 2.1.5.1 Elemento estrutural genrico e seu centro geomtrico C 37

Figura 3.1.1 Primeiros indcios de utilizao da viga na humanidade 38

Figura 3.1.2 Vigas de uma ponte atual, chamadas tambm de longarina 39

Figura 3.2.1 Carregamentos externos e a atuao das tenses em uma viga 39

Figura 3.2.2 Representao matemtica do apoio simples 40

Figura 3.2.3 Representao matemtica do apoio do 2 gnero 40

Figura 3.2.4 Representao matemtica do apoio do tipo engaste 40

Figura 3.2.5 Representao de uma viga biapoiada 41

Figura 3.2.6 Representao de uma viga engastada 41

Figura 3.2.7 Viga isosttica e as reaes atuantes 41

Figura 3.2.8 Viga hiposttica, com equilbrio instvel 42

Figura 3.2.9 Condio hiperesttica de uma viga engastada e apoiada em sua borda 42

Figura 3.3.1 Esquematizao fsica da deflexo de uma viga 43

Figura 3.3.1.1 Curva caracterstica de uma viga 44

Figura 3.3.1.2 Representao matemtica da linha elstica de uma viga 45

Figura 3.3.2.1 Deformao infinitesimal de uma seo qualquer de uma viga 45

Figura 4.1.1 Modelo de viga de Euler-Bernoulli 49

Figura 4.2.1 Modelo de viga de Timoshenko 51

Figura 4.2.2 Anlise das sees de uma viga com relao altura-comprimento elevada, com

empenamento das mesmas pela aplicao da carga 52

Figura 4.2.3 Suposta distribuio linear da tenso cisalhante em uma seo da viga 53

Figura 4.2.4 Suposta distribuio parablica da tenso cisalhante em uma seo da viga 54

Figura 5.1.1 Esquema de uma funo (x) divididos em faixas igualmente espaadas,

representando as diferenas finitas 59

Quadro 5.1.1 Frmula molecular das diferenas finitas 60

Figura 5.2.1.1 Discretizao em pontos equidistantes em uma viga biapoiada 61

Figura 5.2.2.1 Discretizao em pontos equidistantes em uma viga engastada 62

Fluxograma 6.1.1 Esquema de organizao para a obteno do resultado de um problema de

Engenharia 66

Diagrama 6.3.1 Algoritmo na elaborao do programa de clculo de deflexes via MDF 68

Figura 6.4.1 Janela principal da GUI 69

Figura 6.4.2 Elementos constituintes da GUI 70

Figura 6.4.3 Processamento do grficos de sada pelo tipo de teoria 71

Figura 6.4.4 Relatrio gerado pelo programa 72

Figura 6.4.5 Sada de dados com janela grfica individualizada 73

Figura 8.1.1.1 Esquema de um viga biapoiada com carregamento concentrado, com os pontos

nodais caracterstico 75

Figura 8.1.6.1 Esquema de um viga engastada com carregamento concentrado, com os pontos

nodais caractersticos 94

Figura 8.2.1.1 - Esquema de um viga biapoiada carregada de forma uniforme e distribuda, com

os pontos nodais caractersticos 105

Figura 8.2.3.1 - Esquema de um viga engastada carregada de forma uniforme e distribuda, com

os pontos nodais caractersticos 114

Figura A.1 Cdigo-fonte elaborado a partir do Scilab 131

Figura A.2 Momentos de inrcia caracterstica de cada geometria 146

LISTA DE GRFICOS

Grfico 8.1.1.1.1 Comparativo entre as teorias para uma viga biapoiada com carregamento

concentrado, L = 1 m, h = 10b e npontos = 5 76







Grfico 8.1.1.5.1 - Valores de deflexo da TEB em funo dos nmeros de pontos para L = 1

m e h = 10b e x = L/2 80

Grfico 8.1.2.1.1 - Comparativo entre as teorias para uma viga biapoiada com carregamento

concentrado, L = 1,5 m, h = 10b e npontos = 5 81








distribudo, L = 2 m, h = 10b e npontos = 5 85







Grfico 8.1.4.1 Comparativo entre as curvas de Timoshenko para as diferentes relaes

comprimento-altura da viga 89


concentrado, e npontos = 5 90







Grfico 8.1.5.5.1 - Valores de deflexo da TEB em funo dos nmeros de pontos para L = 5

m e x = L/2 94

Grfico 8.1.6.1.1 - Comparativo entre as teorias para uma viga engastada com carregamento

concentrado e npontos = 5 95







Grfico 8.1.6.5.1 - Valores de deflexo da TEB em funo dos nmeros de pontos para uma

viga engastada e L = 5 m e x = L 99










viga engastada, L = 1 m e h = 10b e x = L 104


distribudo e npontos = 5 105







Grfico 8.2.1.5.1 - Valores de deflexo da TEB em funo dos nmeros de pontos para um

carregamento distribudo com L = 5 m 109


















viga engastada com carregamento distribudo e L = 5 m e x = L 118










viga engastada com carregamento distribudo, L = 1 m e h = 10b 123

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.3.3.1 Reaes de apoio e suas condies de contorno 48

Tabela 8.1.1.5.1 Valores de deflexo das teorias de vigas e erro relativo para uma viga com

carregamento concentrado, com L = 1 m e h = 10b 79

Tabela 8.1.2.5.1 - Valores de deflexo das teorias de vigas e erro relativo para uma viga com

carregamento concentrado, com L = 1,5 m e h = 10b 84


carregamento concentrado, com L = 2 m e h = 10b 88


carregamento concentrado, com L = 5 m 93

Tabela 8.1.6.5.1 - Valores de deflexo das teorias de vigas e erro relativo para uma viga

engastada com carregamento concentrado, com L = 5 m 98


engastada com carregamento concentrado, com L = 1 m e h = 10b 103


carregamento distribudo, com L = 5 m 108


carregamento distribudo, com L = 1 m e h = 10b 113


engastada com carregamento distribudo com L = 5 m 117


engastada com carregamento distribudo com L = 1 m e h = 10b 122

LISTA DE SIGLAS

ENPC cole Nationale des Ponts et Chausses

FSTD First Shear Theory Deformation

GUI Graphical User Interface

INRIA Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique

MDF Mtodo das Diferenas Finitas

MDFE Mtodo das Diferenas Finitas Energticas

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

MRP Mtodo dos Resduos Ponderados

MRR Mtodo de Rayleigh-Ritz

POO Programao Orientada a Objetos

TEB Teoria de Euler-Bernoulli

TT Teoria de Timoshenko

LISTA DE SMBOLOS

Somatrio discreto

xF Foras horizontais

yF Foras verticais

oM Momento em relao a um ponto O

N Esforo normal

V ou Q Esforo Cortante

M Momento fletor

T Momento torsor

q(x) Carga uniformemente distribuda

dx Diferencial em relao a x

d

dx Derivada em relao a x

dM Diferencial em relao ao momento fletor

P Carga concentrada

Tenso mdia

E Mdulo de elasticidade

a Deformao axial

Coeficiente de Poisson

' Deformao lateral

Tenso de cisalhamento mdia

G Mdulo de elasticidade transversal

Deformao de cisalhamento

x Coordenada do centroide em relao a x

A rea da seo transversal

y Coordenada do centroide em relao a y

Somatrio contnuo ou integral

xI Momento de inrcia em relao a y

yI Momento de inrcia em relao a x

Rx Reao de apoio horizontal

Ry Reao de apoio na vertical

ds Diferencial em relao a s

O Ponto de interseo

Curvatura

Raio de curvatura

Giro da seo

w Deflexo da viga

4

4

d w

dx Derivada de 4 ordem da deflexo em relao a x

3

3

d w

dx Derivada de 3 ordem da deflexo em relao a x

C; c Constantes de integrao

h Altura da seo transversal

L Comprimento da viga

Rotao adicional devido ao cortante

Ks Fator de correo de cisalhamento

b Base da seo transversal

qc Fluxo de cisalhamento

Operador de derivada parcial

Incremento

( )x Funo polinomial

i Ponto pivotal

( )f x Funo

iy Ordenada em relao ao ponto i

n Nmero de segmentos

A; F; W Matrizes

npontos Nmeros de pontos de discretizao

SUMRIO

1 INTRODUO .................................................................................................. 21

1.1 GENERALIDADES SOBRE VIGAS E SUAS TEORIAS ........... 21

1.2 MTODO DAS DIFERENAS FINITAS E A UTILIZAO

DA LINGUAGEM SCILAB ........................................................................ 22

1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................ 23

1.3.1 Gerais .................................................................................................................... 23

1.3.2 Especficos ............................................................................................................ 23

1.4 DELIMITAO DO TEMA ....................................................................... 24

1.5 JUSTIFICATIVA .............................................................................................. 24

2 ANLISE ESTRUTURAL .......................................................................... 25

2.1 ESTRUTURA: CONCEITOS E APLICAES ................................ 25

2.1.1 Tipos de solicitaes nas estruturas .............................................................. 28

2.1.2 Tipos de cargas externas atuantes ................................................................ 32

2.1.3 Relao entre momento fletor, esforo cortante e carga aplicada....... 33

2.1.4 Propriedades mecnicas dos materiais estruturais.................................. 35

2.1.4.1 A lei de Hooke ................................................................................................... 35

2.1.4.2 Coeficiente de Poisson e a lei de Hooke para o cisalhamento .................. 36

2.1.5 Caractersticas geomtricas das estruturas ............................................... 36

3 A VIGA COMO ELEMENTO ESTRUTURAL .............................. 38

3.1 HISTRIA E IMPORTNCIA .................................................................. 38

3.2 CARACTERSTICAS DAS VIGAS ........................................................ 39

3.3 DEFLEXO EM VIGAS .............................................................................. 42

3.3.1 Raio de curvatura .............................................................................................. 43

3.3.2 Relao Momento-Curvatura de uma viga ................................................ 45

3.3.3 Condies de contorno ..................................................................................... 47

4 TEORIAS DE VIGAS: CONCEITOS E ANLISES ................... 49

4.1 TEORIA DE EULER-BERNOULLI (TEB) ......................................... 49

4.2 TEORIA DE TIMOSHENKO (TT) .......................................................... 51

5 O MTODO DAS DIFERENAS FINITAS..................................... 57

5.1 FORMULAO DO MDF .......................................................................... 59

5.2 APLICAO DO MDF NO CLCULO DAS DEFLEXES DE

VIGAS ................................................................................................................... 61

5.2.1 MDF e as condies de contorno para vigas biapoiadas ........................ 61

5.2.2 MDF e as condies de contorno para viga engastada ........................... 62

5.3 MDF APLICADA A TEORIA DE EULER-BERNOULLI ........... 63

5.4 MDF APLICADA A TEORIA DE TIMOSHENKO ........................ 63

6 A PROGRAMAO EM SCILAB ........................................................ 65

6.1 BREVE HISTRICO DE PROGRAMAO E SEUS

CONCEITOS ...................................................................................................... 65

6.2 O SCILAB COMO FERRAMENTA CIENTFICA ......................... 67

6.3 IMPLEMENTAO DAS DIFERENAS FINITAS EM

SCILAB ................................................................................................................. 68

6.4 A INTERFACE GRFICA DO USURIO (GUI) EM

SCILAB ................................................................................................................. 69

7 METODOLOGIA ............................................................................................. 74

7.1 MATERIAIS E MTODOS ......................................................................... 74

8 ANLISES E COMPARATIVOS DAS TEORIAS DE

VIGAS ..................................................................................................................... 75

8.1 COMPARATIVO PARA UMA VIGA COM

CARREGAMENTO CONCENTRADO ................................................ 75

8.1.1 Comparativo para uma viga-parede biapoiada com L/h = 1,0 ............. 75

8.1.1.1 Discretizao com 5 pontos considerados .................................................... 76

8.1.1.1 Discretizao com 55 pontos considerados .................................................. 77

8.1.1.3 Discretizao com 125 pontos considerados ................................................ 77

8.1.1.4 Discretizao com 1005 pontos considerados ............................................. 78

8.1.1.5 Convergncia das teorias para L = 1 m e h = 10b ....................................... 79

8.1.2 Comparativo para uma viga-parede biapoiada com L/h = 1,5 ........... 80





8.1.2.5 Convergncia das teorias para L = 1,5 m e h = 10b .................................... 84

8.1.3 Comparativo para uma viga biapoiada com L = 2,0 m e h = 10b ........ 84





8.1.3.5 Convergncia das teorias para L = 2 m e h = 10b ....................................... 88

8.1.4 Comparativo entre as relaes comprimento-altura na viga-parede . 88

8.1.5 Comparativo para uma viga biapoiada com L = 5 m .............................. 89





8.1.5.5 Convergncia das teorias para L = 5 m ......................................................... 93

8.1.6 Comparativo para uma viga engastada com L = 5 m.............................. 94





8.1.6.5 Convergncia das teorias para uma viga engastada com L = 5 m ........... 98

8.1.7 Comparativo para uma viga engastada com L = 1 m e h = 10b ........... 99



8.1.7.3 Discretizao com 125 pontos considerados .............................................. 102

8.1.7.4 Discretizao com 1005 pontos considerados ........................................... 103

8.1.7.5 Convergncia das teorias para uma viga engastada com L = 1 m e h =

10b ...................................................................................................................... 103

8.2 COMPARATIVO PARA UMA VIGA COM

CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUDO ....... 104

8.2.1 Comparativo para uma viga biapoiada com L = 5 m ............................ 104





8.2.1.5 Convergncia das teorias para um carregamento distribudo com L = 5

m ......................................................................................................................... 108

8.2.2 Comparativo para uma viga biapoiada com L = 1 m e h = 10b ......... 109





8.2.2.5 Convergncia das teorias para um carregamento distribudo com L = 1 m

e h = 10b ............................................................................................................ 113

8.2.3 Comparativo para uma viga engastada com L = 5m............................. 114





8.2.3.5 Convergncia das teorias para uma viga engastada com carregamento

distribudo e L = 5 m ....................................................................................... 117

8.2.4 Comparativo para uma viga engastada com L = 1 m e h = 10b ......... 118





8.2.4.5 Convergncia das teorias para uma viga engastada com carregamento

distribudo, L = 1 m e h = 10b ....................................................................... 122

9 CONCLUSO ................................................................................................... 124

9.1 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................ 125

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS..................................................... 126

APNDICE A Cdigo-fonte do programa em Scilab ...................... 131

APNDICE B Momentos de inrcia das principais sees ........... 146

ANEXO A Equaes de deflexo analtica de Euler-Bernoulli .... 147

21

1 INTRODUO

1.1 GENERALIDADES SOBRE VIGAS E SUAS TEORIAS

A viga, como um dos principais elementos estruturais utilizados pela Engenharia, recebe

estudos cada vez mais interessantes, como mostrado na Figura 1.1.1, e tambm avanos

tecnolgicos. Nesses estudos observam-se comportamentos variados dependo da aplicao que

a viga ser inserida, tornando-se necessrio um maior aprofundamento desse comportamento,

e seu estudo muitas vezes complexo.

Figura 1.1.1 - Aplicao das estruturas nos dias atuais

Fonte: Disponvel em: . Acesso em: 02 jul. 2014

Na Engenharia Civil, esses problemas devem resolvidos muitas vezes em pouco tempo,

sendo um dos motivos em que os profissionais da rea buscam novas maneiras de interpreta-

los. Assim, necessrio trabalhar com ferramentas que auxiliam nas resoluo destes

problemas, como, por exemplo, em resolver a questo da dinmica em passarelas. Geralmente,

essas situaes geram expresses matemticas, ou equaes diferenciais necessrias para a

anlise e busca do resultado.

As equaes diferenciais esto presentes na vida do Engenheiro, e dentre as utilizaes

aparece a determinao do deslocamento vertical de uma viga, ou deflexo. Este estudo de

suma importncia, visto que representa um dos principais efeitos nos elementos estruturais

aplicados na Engenharia Civil.

Uma das aplicaes constantes de equaes diferenciais o estudo do comportamento

de corpos slidos sujeitos a diversos tipos de carregamentos e entre esses corpos,

podemos incluir as vigas que so elementos estruturais projetados para suportar

diversas cargas em sua extenso (COSTA, 2010).

22

Dessa forma, aparecem diversas formas de equaes que regem um determinado

problema, como mostrado na equao abaixo, que representa o estudo de placas (SZILARD,

2004):

4 4 4

4 2 2 42 ,z

w w wD p x y

x x y y

(1.1)

Neste caso, a utilizao de mtodos analticos1 resolvem muitos problemas. Porm, nem

sempre essa ferramenta simples de se utilizar e obter respostas, pois o nvel de complexidade

do problema aumenta em funo da necessidade de aproximao da realidade, dificultando o

conhecimento e o monitoramento dos parmetros de clculo (BORGES; PADOIN, 2006). Isso

leva a formao de um modelo matemtico, com simplificaes, resultando no

negligenciamento dos resultados reais, mas o bastante para resolver certos problemas prticos,

importante para a reas tecnolgicas, como a Engenharia Civil.

Como dito anteriormente, para a obteno do deslocamento horizontal da viga gera-se

modelos matemticos no meio contnuo. Para essas formulaes matemticas, na obteno do

deslocamento vertical da viga, utiliza-se teorias que apresentam certas diferenas dependendo

da complexidade. As teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko utilizam modelos analticos

para determinados problemas. A primeira teoria tem como principal caracterstica a manuteno

das sees planas aps a deformao, porm descartando os efeitos de tenso de cisalhamento.

J a teoria de Timoshenko considera esses efeitos por um ngulo adicional devido as tenses

cisalhantes. Desse modo, observar o comportamento de ambas as teorias para diferentes

situaes de suma importncia na aplicao das vigas.

1.2 MTODO DAS DIFERENAS FINITAS E A UTILIZAO

DA LINGUAGEM SCILAB

O uso de um modelo numrico resolve as diversas equaes diferenciais complexas

geradas pelas teorias das vigas, com resultados satisfatrios. Existem inmeros mtodos, entre

eles se destaca o Mtodo das Diferenas Finitas (MDF), pela simplicidade e praticidade.

1 ...e consiste em partir da prpria tese a demonstrar e estabelecer uma cadeia de proposies articuladas de maneira que cada uma seja consequncia da seguinte, resultando deste modo a primeira (tese proposta)

consequncia da ltima (proposio reconhecida como verdadeira) e portanto verdadeira como ela. CALADO, J. Jorge G. Compndio de Trigonometria: Ensino Liceal-3 ciclo. Lisboa: Empresa Literria

Fluminense, 1960. 240 p.

23

Figura 1.2.1 - Discretizao de casca cilndrica (tnel) atravs do Mtodo das Diferenas Finitas

Fonte: MACHADO, 2013

Seu uso muito difundido no meio acadmico, como em anlises de fundaes (BONI;

PROLOVI, 2008, p. 179), fluidos e estruturas (MACHADO, 2013). Esse mtodo gera

matrizes de dimenses equivalentes ao nvel de discretizao, possibilitando a implementao

computacional da mesma. Atualmente, a utilizao de computadores est consolidada e de fcil

acesso, e com o avano tecnolgico, computadores pessoais apresentam um elevado

processamento, inclusive multiprocessamento, aumentando a velocidade de execuo dos

clculos para elevadas dimenses de matrizes. Alm disso, a utilizao de linguagens de

computadores mostram que possvel resolver problemas relacionados a Engenharia Civil com

nenhum custo financeiro e com grande agilidade, onde se destaca o Scilab, que especificamente

voltado ao desenvolvimento cientfico e tcnico (UFMG, 2014).

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Gerais

Comparar as teorias propostas utilizando o Mtodo das Diferenas Finitas e implement-

los via Scilab.

1.3.2 Especficos

Analisar as vigas pelas teorias de Euler-Bernoulli e Timoshenko.

Descrever suas caractersticas, vantagens e desvantagens, bem como comparar os

resultados obtidos e interpret-los.

Resolver as equaes que regem cada teoria utilizando o Mtodo das Diferenas Finitas.

24

Aplicar as equaes algbricas geradas pelo mtodo numrico deste trabalho em Scilab

para automao e refinamento dos dados inseridos.

1.4 DELIMITAO DO TEMA

A anlise comparativa das teorias refora a importncia do estudo das vigas, uma vez que

se conhece correntes de pensamento com propostas diferentes, como so os casos das teorias

de Euler-Bernoulli e de Timoshenko no aspecto esttico, onde cada uma representa um certo

grau de importncia dependendo da aplicao das vigas, favorece a segurana e confiabilidade

de execuo, e representam o bsico das inmeras indagaes do comportamento real das vigas,

alm de representar efetividade nos resultados prticos.

Uma vez determinada a proposta, a utilizao de mtodos numricos facilita a

interpretao das equaes diferenciais, simplificando a elaborao dos resultados das teorias

propostas. Assim, o Mtodo das Diferenas Finitas aparece como um meio simples e gil de se

responder essa questes em relao a outras existentes na literatura.

Na interpretao dos dados obtidos, e pela utilizao de mtodos numricos, que trabalha

no meio discreto, o aperfeioamento e velocidade de clculo possibilitou a utilizao de

programas de computadores, que automatizam os clculos e os expem por meio de grficos e

relatrios. Dentre as inmeras linguagens de programao, a utilizada foi o Scilab. A questo

da maior facilidade de uso, simplicidade, velocidade de elaborao e no ter nenhum custo

financeiro tornou a utilizao desse software possvel e a realizao desse trabalho.

1.5 JUSTIFICATIVA

Aplicao do tema proposto e divulgao no meio acadmico.

A anlise das teorias de vigas de suma importncia para a Engenharia, sendo necessrio

criar meios de encontrar respostas mais simples e satisfatrias para situaes mais complexas,

como anlise de vibraes de vigas, por exemplo. Desse modo, estudar o Mtodo das

Diferenas Finitas criar novos meios de interpretao fsica do problema, com as mesmas

perspectivas de xito que uma anlise mais complicada.

Utilizao de ferramentas computacionais como busca de uma soluo, ao mesmo tempo,

precisa e refinada, alm de divulgar a importncia da programao na Engenharia Civil.

25

2 ANLISE ESTRUTURAL

Neste captulo sero abordados de forma geral o ramo na qual a viga est inserida, a

importncia dessa rea, e o avano tecnolgico da mesma, sendo este avano um meio de

estudos mais aprofundados, que exigem conhecimentos mais detalhados da natureza do

problema, embora complexos, mas que a Engenharia Civil, como uma cincia prtica, busca as

respostas de forma simples e eficiente.

2.1 ESTRUTURA: CONCEITOS E APLICAES

Observa-se inmeras construes, desde as mais simples, como casas, at complexos

sistemas de porte elevado, como pontes mveis e sistemas de tneis. Todas essas obras tem

origem de um ramo essencial para a Engenharia Civil: a Mecnica. Beer e Johnston (1994, p.

3) descrevem a Mecnica como a cincia que descreve e prediz as condies de repouso ou

movimento de corpos sob a ao de foras.. Como a Engenharia Civil visa a construo de

sistemas em repouso (edifcios, por exemplo), foi necessrio utilizar sistemas capazes de

absorver estas foras externas inerentes a construo. Desse modo surge conceito de estrutura.

Na viso da Engenharia, estrutura o conjunto de peas ligadas entre si e ao meio exterior,

formando uma estabilidade entre as peas que recebem carregamentos externos, absorvendo-os

internamente e transmitindo at seus apoios, de modo que o sistema de solicitaes externas

encontraro seu sistema esttico equilibrado (SSSEKIND, 1974).

Desse modo, pode-se descrever a Anlise Estrutural como parte da Mecnica que estuda

as estruturas, de modo que este estudo visa a determinao dos esforos e das deformaes a

que elas ficam submetidas quando solicitadas pelo meio externo (SSSEKIND, 1974).

26

Figura 2.1.1 Principais elementos estruturais que compem as construes correntes

Fonte: Elaborada pelo autor

Dessa forma, para que a afirmao acima seja vlida, necessrio que, o equilbrio do

sistema estrutural combata as foras externas que atuam na estrutura.

Assim, a Engenharia utiliza diversos tipos de estruturas, que variam dependendo da

funo e necessidade:

a) Elemento de barra: pea estrutural onde uma dimenso muito maior que as demais.

Pode-se citar os pilares e as vigas como exemplos, que so indispensveis na maioria

das atividades da Engenharia;

Figura 2.1.2 Estrutura metlica composta por barras horizontais (viga) e verticais (pilar)

Fonte: Disponvel em: < http://metalconcept.com.br/>. Acesso em: 22 jun. 2014

27

b) Elemento de placa: quando duas dimenses da pea predominam sobre a outra, e

recebem carregamentos perpendiculares ao seu plano. Como exemplo pode-se citar as

lajes;

c) Elementos de chapa: so os elementos bidimensionais que esto sujeitos a

carregamentos contidos em seu plano (NBR 6118, 2007). Geralmente, apresentam a

relao entre a altura e comprimento elevada, como por exemplo, vigas - paredes2;

Figura 2.1.3 Viga-Parede e sua distribuio de foras

Fonte: GIUGLIANI, 2014

d) Elementos de casca: elementos bidimensionais de superfcie no plana. Exemplo

prtico desse tipo de estrutura destaca-se os tneis;

Figura 2.1.4 Tnel, um elemento de casca, aplicado em construes rodovirias

Fonte: Disponvel em: < http://www.engenhariacivil.com/>. Acesso em: 21 mai. 2014

2 Viga - parede uma viga com uma grande relao altura-comprimento, de modo que a hiptese da seo plana

no mais vlida. IME Instituto Militar de Engenharia. Viga Parede: Notas de Aula 01. Disponvel em: . Acesso em: 01 mar. 2014

28

e) Elemento de bloco: quando todas as dimenses predominam. Exemplo: Blocos de

coroamento.

Figura 2.1.5 Detalhe do bloco de coroamento em uma fundao

Fonte: Disponvel em: . Acesso em: 14 jun. 2014

Obviamente, essas variaes dependem da forma de aplicao das mesmas e do tipo de

carregamento atuante.

2.1.1 Tipos de solicitaes nas estruturas

Como foi visto anteriormente, a aplicao das peas estruturais dependem do tipo de

agentes externos atuantes ou foras aplicadas. Fora a ao de um corpo sobre o outro, que

caracterizado pela sua intensidade, ponto de aplicao e sentido (BEER; JOHNSTON, 1994).

Existem dois tipos de natureza de foras:

a) Foras de superfcie: resultante do contato direto de um corpo com a superfcie de

outro. Por exemplo, pode-se citar o peso das pessoas sobre um apartamento;

b) Fora de corpo: ocorre quando um corpo exerce fora sobre o outro sem o contato

fsico direto, como o efeito da gravidade, sendo este o peso prprio da estrutura.

29

Figura 2.1.1.1 Solicitaes de diferentes naturezas atuantes em um corpo

Fonte: HIBBELER, 2008

Logicamente, toda ao corresponde a uma reao contrria, que nas estruturas, se

apresentam nos apoios ou pontos de contatos entre os corpos.

Assim, para que uma estrutura seja considerada esttica, esta deve apresentar equilbrio

de foras para que o corpo no sofra translao ou tenha movimento acelerado, e para evitar a

rotao, deve-se ter equilbrio dos momentos. Desse modo, para um sistema coplanar de foras

(HIBBELER, 2008), na maioria das utilizaes prticas, a situao expressa matematicamente

como:

0

0

0

x

y

o

F

F

M

(2.1)

onde '' ''xF representa as foras horizontais, '' ''yF as foras verticais e " "oM o momento em

relao a um ponto da estrutura.

Como consequncia, a estrutura sofre, internamente, cargas resultantes, isto , foras e

momentos internos, sendo de suma importncia na viso da esttica, uma vez que estas atuam

de forma a manter unida a estrutura frente s cargas externas atuantes na mesma. Essas cargas

se distribuem na estrutura de tal forma que no possvel conhecer com preciso seus valores

individuais, sendo necessrio utilizar as equaes de equilbrio para relacionar os agentes

externos s fora resultantes e ao momento no ponto central da seo, ou centroide do corpo.

30

Figura 2.1.1.2 Distribuio dos esforos internos em um corpo: a) Seccionamento da seo; b) Esforos

internos atuantes na seo; c) Resultante das foras internas totais

F1 F2

F3F4

Seccionamento

a)

F3F4

b)

F3F4

M

MRON

TF

R

QO

MOMENTO FLETOR

ESFORO CORTANTE

MOMENTO TORSOR

ESFORO

NORMAL

c)


Assim, as cargas resultantes internas so definidas abaixo (GERE, 2003):

a) Fora normal (N): atua perpendicularmente seo transversal da pea, tendendo a

puxar ou empurrar o elemento;

31

Figura 2.1.1.3 - Atuao do esforo normal em uma seo da estrutura

N NSEO


b) Fora de cisalhamento ou esforo cortante (V ou Q): tangencia o plano da rea (ou

seo transversal), e se manifesta quando as cargas externas tendem a provocar o

deslizamento das duas partes da estrutura, uma sobre a outra;

Figura 2.1.1.4 Atuao do esforo cortante em uma seo da estrutura

QQ

SEO


c) Momento fletor (M): o efeito do resultado da atuao de cargas externas que tendem

a fletir a viga em relao ao eixo localizado no plano da rea;

Figura 2.1.1.5 Atuao do momento fletor em uma seo da estrutura e as tenses resultantes

M MSEO

LN

SEO M


d) Momento torsor (T): esforo que tende a fazer girar a seo em torno do eixo

longitudinal, provocando tenses de cisalhamento.

32

Figura 2.1.1.6 Atuao do momento torsor em um corpo

T


Para sistemas de foras coplanares, deve conter apenas os componentes do esforo

normal, de cisalhamento e momento fletor.

Figura 2.1.1.7 Sistemas de foras internas para estruturas coplanares

F1F2

F3

Corpo

Q

N MCorpo

Seccionado


2.1.2 Tipos de cargas externas atuantes

As estruturas recebem foras de superfcie de diferentes naturezas. Assim, pode-se

enumerar as diferentes formas de cargas externas atuantes:

a) Carga concentrada: aquela que atua sobre uma rea (infinitesimal) da estrutura. Na

prtica, pode-se citar carregamentos de vigas sobre vigas, onde a rea de contato entre

a viga que recebe a estrutura e a viga que apoia na mesma pode ser desprezada.

b) Carregamento distribudo: aquele que est atuando ao longo do eixo da de um

elemento estrutural. Pode ainda ser dividido em carregamento uniformemente

distribudo, onde a carga constante ao longo do eixo, enquanto o carregamento com

variao linear aquele que modifica sua intensidade ao longo do eixo.

Figura 2.1.2.1 Tipos de carregamentos externos possveis de atuao em uma estrutura

Ppq

q - Carga Uniformemente Distribuda - Carga ConcentradaP-Carga Distribuda Com Variaop


33

2.1.3 Relao entre momento fletor, esforo cortante e carga aplicada

Pela Figura 2.1.3.1, pode-se utilizar as equaes de equilbrio para relacionar as foras

cortantes com a carga aplicada em uma seo genrica de uma estrutura (GERE, 2003).

Figura 2.1.3.1 Carregamento externo atuante e os esforos resultantes da aplicao do mesmo

q(x)

Q

Q+dQ

M M+dM

dx


0yF

0Q q dx Q dQ (2.2)

Rearranjando a equao (2.2), obtm-se:

dQ

q xdx

(2.3)

sendo dQ dx a taxa de variao do esforo cortante ao longo do eixo x do elemento e q x a

carga distribuda aplicada no elemento estrutural.

Em relao ao momento fletor, as equaes de equilbrio de momento em relao a um

ponto qualquer podem ser utilizadas, obtendo-se:

02

dxM q dx Q dQ dx M dM

Desprezando os produtos de diferenciais, pois so valores muito pequenos em relao ao

demais termos, tem-se a equao abaixo:

dMQ

dx (2.4)

onde dM dx representa a taxa de variao do momento fletor em relao ao eixo x da

estrutura.

34

Pode-se tambm, relacionar o momento fletor com a carga aplicada, sendo necessrio

aplicar a derivada na taxa de momento, como segue na expresso abaixo:

d dM dQ

dx dx dx

2

2( )

d Mq x

dx (2.5)

Figura 2.1.3.2 Carregamento pontual externo e as resultantes internas devido a aplicao do mesmo

Q

Q+Q1

M M+M1

P

dx


No caso da aplicao de uma carga concentrada (Figura 2.1.3.2), observa-se a seguinte

equao de equilbrio de foras:

1

1

0Q P Q Q

Q P

(2.6)

Segundo Gere (2003, p. 210), a relao mostrada acima indica uma mudana abrupta na

fora cortante em qualquer ponto de aplicao de uma carga concentrada. No caso do momento

fletor, utiliza-se o equilbrio de momentos em relao a um ponto qualquer da seo, que neste

caso foi adotado o lado esquerdo. Assim tem-se a seguinte expresso:

1 1

1 1

02

2

dxM P Q Q dx M M

dxM P Qdx Q dx

(2.7)

Logo, Gere (2010) mostra que o momento fletor no muda quando atravessa a carga

aplicada P, uma vez que o comprimento dx muito pequeno, sendo o momento M1 tambm.

35

2.1.4 Propriedades mecnicas dos materiais estruturais

2.1.4.1 A lei de Hooke

Como dito anteriormente, para manter uma estrutura unida, necessrio que esta

apresente uma resistncia caracterstica inerente ao material que a compe (HIBBELER, 2008).

Atravs de experimento, onde, a partir de diagramas que relacionam a tenso normal, que a

fora atuante sobre uma rea do corpo, e a deformao, que a variao de comprimento de

um corpo, pode-se determinar uma relao linear na regio elstica entre ambas (Figura

2.1.4.1.1). Robert Hooke, em 1676, conseguiu visualizar atravs de molas essa caracterstica

(HIBBELER, 2008). Assim ficou conhecido a lei de Hooke, que expressa matematicamente

por:

a aE (2.8)

sendo a a tenso mdia atuante, E o mdulo de elasticidade ou mdulo de Young,

caracterstico do material, e a a deformao axial ou normal.

Figura 2.1.4.1.1 Curva tenso-deformao genrica

E

lp

E

Regio Els tica

Regio Pls tica

Escoamento

a a =E


Vale ressaltar que a equao (2.8) representa a parcela inicial reta do diagrama tenso-

deformao, e o declive o mdulo de elasticidade.

36

2.1.4.2 Coeficiente de Poisson e a lei de Hooke para o cisalhamento

Gere (2003, p. 18) mostra que quando um corpo tracionado, ocorre, alm de um

alongamento, uma contrao lateral, isto , uma deformao lateral. Chamado coeficiente de

Poisson, que representa a razo entre a deformao lateral e a deformao axial, sendo uma

propriedade inerente ao material, formando-se a relao abaixo:

'

a

a

onde representa o coeficiente de Poisson, 'a a deformao lateral e a a deformao axial

ou normal.

Atravs de ensaios envolvendo cisalhamento puro, pode-se determinar um diagrama que

relaciona tenso de cisalhamento com a deformao, que descreve um comportamento elstico-

linear. Desse modo, chega-se a expresso da lei de Hooke para o cisalhamento:

aG (2.9)

sendo que a tenso de cisalhamento, G o mdulo de elasticidade transversal e a a

deformao de cisalhamento.

As constantes , E e G se relacionam pela seguinte equao:

2 1E

G

(2.10)

2.1.5 Caractersticas geomtricas das estruturas

Uma caracterstica importante de um elemento estrutural sua propriedade geomtrica,

que intrnseca ao comportamento elstico da estrutura. A partir de uma rea definida pela

seo da estrutura, chega-se a definio de centroide, que exatamente um ponto que define o

centro geomtrico dessa rea (HIBBELER, 2008). Pela Figura 2.1.5.1, pode-se determinar as

coordenadas que definem o centroide matematicamente por:

37

iA

A

iA

A

x dAx

dA

y dAy

dA

(2.11)

onde x e y so as coordenadas do centroide e i

Ax dA e iA y dA so os momentos estticos

da seo.

Figura 2.1.5.1 Elemento estrutural genrico e seu centro geomtrico C

xi

yi

dA

C

O x

y


A partir do centroide, considera-se um momento de primeira ordem sobre a rea, e, para

a resistncia dos materiais necessrio a utilizao de um momento de segunda ordem,

denominada momento de inrcia de uma rea (HIBBELER, 2008). A partir da Figura 2.1.5.1 e

integrando em funo do elemento infinitesimal dA, chegam-se as seguintes equaes:

2

2

x iA

y iA

I y dA

I x dA

(2.12)

onde xI e yI so, respectivamente, os momentos de inrcia em relao ao eixo y e em relao

ao eixo x.

38

3 A VIGA COMO ELEMENTO ESTRUTURAL

3.1 HISTRIA E IMPORTNCIA

A viga foi o elemento estrutural criado pelo homem de forma espordica (PUC-PR, 2014).

Para conseguir alimentos, o homem pr-histrico tinha que atravessar barreiras naturais como

um rio. Mas como o obstculo era muitas vezes largo e profundo, era necessrio percorrer

longas viagens para encontrar obstculos mais simples de ultrapassar. Depois de uma

tempestade, o homem viu uma rvore cada na parte longa de um rio, possibilitando sua

passagem pela rvore sem necessidade de caminhar milhares de quilmetros. Assim nasceu a

viga, representado pelo tronco de rvore (PUC-PR, 2014). Existem muitas evidncias ao redor

do mundo acerca da utilizao de sistemas que representavam a utilidade, como o Stonehenge,

na Inglaterra, no perodo Neoltico (LMC-USP, 2014).

Figura 3.1.1 Primeiros indcios de utilizao da viga na humanidade

Fonte: LMC USP, 2014

Ento, a importncia da viga na Engenharia deixa clara a necessidade de conhecer seus

princpios e aspectos, sendo assim abordada neste trabalho. As utilizaes so inmeras, desde

na composio de estruturas simples, como casas, at eixos de veculos e longarinas de pontes.

39

Figura 3.1.2 Vigas de uma ponte atual, chamadas tambm de longarina

Fonte: Disponvel em: < http://www.thiel.eng.br/>. Acesso em: 02 jun. 2014

3.2 CARACTERSTICAS DAS VIGAS

Conforme Hibbeler (2008, p.425), vigas so elementos estruturais projetados para

suportar carregamentos aplicados perpendicularmente ao seu eixo longitudinal. Como

elemento de barra, seu comportamento estudado, em sua maioria prtica, de forma

bidimensional ou coplanar. Portanto, internamente, as vigas geram momentos fletores e

esforos cortantes, que variam ao longo do seu comprimento e Hibbeler (2008, p.425) afirma

que a viga projetada com base na resistncia da mesma.

Figura 3.2.1 Carregamentos externos e a atuao das tenses em uma viga

Pp

x

y

xy


O movimento das vigas ocasionados por meio das cargas externas ou os chamados graus

de liberdade podem ser restringidos por meio dos apoios ou vinculaes, isto , dispositivos

capazes de gerar reaes nas direes desejadas (SSSEKIND, 1974), sendo esses apoios

40

classificados segundo a quantidade de graus de liberdade permitidos. Abaixo tem-se enumerado

os principais tipos, aplicveis para estruturas coplanares:

a) Apoio simples ou do 1 gnero: restringe apenas um movimento (horizontal ou

vertical), permitindo outros movimentos, como a rotao e translao vertical ou

horizontal;

Figura 3.2.2 Representao matemtica do apoio simples

R

ou

R


b) Apoio do 2 gnero, articulao ou rtula: neste caso, apenas a rotao est livre de

movimento, sendo as direes horizontal e vertical impedidas de transladar;

Figura 3.2.3 Representao matemtica do apoio do 2 gnero

RyRx


c) Apoio do 3 gnero ou engaste: para este tipo de apoio, todos os graus de liberdade so

bloqueados: translaes e rotao (trs bloqueios).

Figura 3.2.4 Representao matemtica do apoio do tipo engaste

Rx

Ry

M


Logo, as vigas so classificadas pela forma como esto apoiadas (GERE, 2003, p. 199),

que so classificadas da seguinte forma:

41

a) Viga simplesmente apoiada (ou biapoiada): em uma extremidade, as translaes

horizontal e vertical so impedidas, mas a rotao liberada, enquanto que na outra

extremidade a translao vertical impedida e a rotao liberada;

Figura 3.2.5 - Representao de uma viga biapoiada


b) Viga engastada ou em balano: neste caso, uma extremidade impossibilitada de

realizar qualquer movimento (rotao e translao), mas a outra extremidade livre

para se movimentar;

Figura 3.2.6 Representao de uma viga engastada


Tambm, a viga pode ser classificada pelo nmero de reaes de apoio em relao ao

nmero de equaes de equilbrio. Chama-se de viga isosttica aquelas que o nmero de reaes

de apoio igual ao nmero de equaes de equilbrio (SSSEKIND, 1974), tornando a soluo

possvel e determinada.

Figura 3.2.7 Viga isosttica e as reaes atuantes

RA

A B

RB


42

No caso em que o nmero de reaes de apoio menor que o nmero de equaes de

equilbrio, a viga denominada hiposttica, sendo a soluo impossvel. Porm, dependendo

das condies das cargas externas, estas podem ser capazes de impedir translaes na viga,

chamando-se este equilbrio instvel, sendo, pois, inutilizveis na construo prtica

(SSSEKIND, 1994).

Figura 3.2.8 Viga hiposttica, com equilbrio instvel

A B


No outro caso, os apoios so em nmero tal que apresentam reaes alm das equaes

de equilbrio, isto , o nmero de equaes menor que de incgnitas, gerando uma soluo

indeterminada. Assim, para resolver estas incgnitas, ser necessrio, alm das equaes da

Esttica, obter dados da Resistncia dos Materiais, sendo a viga assim chamada de hiperesttica.

Figura 3.2.9 Condio hiperesttica de uma viga engastada e apoiada em sua borda

RAx

M

R

MA

A B

RBx RByRAy

5 Icgnitas3 Equaes da Esttica


3.3 DEFLEXO EM VIGAS

Quando uma viga submetida a esforos externos, seu eixo desvia da sua posio inicial.

Segundo Balan e Popov (2000, p. 583), os valores desses desvios em muitos casos prticos

devem ser exatos, como em elementos de mquinas que devem ser rgidos o bastante para o

funcionamento correto do mesmo. Outro exemplo seria em edifcios, onde as vigas do piso no

podem desviar-se do eixo excessivamente, evitando efeitos incmodos nos ocupantes e

43

evitando a ruptura dos materiais frgeis que compe o apartamento, como paredes, por exemplo

(BALAN; POPOV, 2000).

Figura 3.3.1 - Esquematizao fsica da deflexo de uma viga

Fonte: BALAN; POPOV, 2000

Alm disso, Gere (2003, p. 449) refora a importncia da deflexo na anlise estrutural,

pois essencial para determinar as caractersticas das vigas hiperestticas. Gere (2003, p. 449)

refora: As deflexes so importantes nas anlises dinmicas3, como quando estamos

investigando vibraes...

Portanto, deflexo o deslocamento na direo vertical de qualquer ponto no eixo da

viga.

3.3.1 Raio de curvatura

Gere (2003, p. 228) explica que uma viga submetida a um carregamento P atuando na

extremidade livre da viga sofre uma deformao vertical. Pela Figura 3.3.1.1b, os pontos 1m e

2m foram escolhidos na curva de deflexo. Enquanto 1m foi escolhido para uma distncia

arbitrria x, o ponto 2m foi alocado a uma pequena distncia ds aps a seo 1m . Em todos os

pontos adotados, traa-se uma linha normal tangente curva de deflexo. Logo, essas linhas

normais interceptam um ponto 'O , que representa o centro de curvatura.

3 Estudo do movimento dos corpos sujeitos aplicao de cargas. BRASIL, Reyolando M. L. R. F; SILVA,

Marcelo Arajo da. Introduo Dinmica das Estruturas Para Engenharia Civil. So Paulo: Blucher, 2013.

p. 16.

44

Figura 3.3.1.1 - Curva caracterstica de uma viga: a) Atuao de carga; b) Consequncia da aplicao

P

a)

ds

m2

m1

d

A

B

dxx

y

x

O

b)


Uma vez encontrado a distncia 1 'm O , que chamado de raio de curvatura , a curvatura

definida como o inverso do raio de curvatura, chegando-se a expresso:

1 (3.1)

Desse modo, Gere (2003, p. 450) afirma que existe uma relao importante na geometria

da curva, especialmente na formao do tringulo 1 2'O m m na figura acima, obtendo-se:

d ds (3.2)

Combinando-se as equaes (3.1) e (3.2), encontra-se:

ds

d

1 (3.3)

Como na Engenharia Civil, a deflexo de uma viga muito pequena em relao ao seu

comprimento na prtica, a distncia ds ao longo da curva praticamente igual a sua projeo

horizontal dx ; nesse caso, adotando-se essa hiptese, temos a seguinte equao:

dx

d

1 (3.4)

45

Essa equao servir de embasamento para o seguinte tpico, pois trata-se de formulao

bsica para o desenvolvimento das teorias clssicas de vigas.

Hibbeler (2008, p.449) afirma que a linha elstica o diagrama de deflexo do eixo

longitudinal que passa pelo centroide de cada rea da seo transversal da viga.

Figura 3.3.1.2 Representao matemtica da linha elstica de uma viga

A BA B

P

Linha Elstica


3.3.2 Relao Momento-Curvatura de uma viga

Encontrado a curvatura , podemos formular a equao da linha elstica que rege a

deflexo de uma viga. Desse modo, Hibbeler (2008, p. 450) supe uma relao entre o momento

fletor e o raio de curvatura da viga.

Figura 3.3.2.1 Deformao infinitesimal de uma seo qualquer de uma viga

y

ds

dxy

O

d

ds

dx

M M

Antes da deformao

Depois da deformao


46

A partir do raio de curvatura, tambm se pode analisar um deslocamento ( 'ds ), localizado

a "y" de distncia do eixo neutro, onde se encontra uma deformao 'ds ds ds . Porm,

como foi dito anteriormente, ds dx d e 'ds y d , substituindo as equaes

obtm-se:

y d d

d

(3.5)

onde representa a deformao do arco do elemento de viga.

Substituindo a equao (3.5) chega-se a seguinte equao:

1

y

(3.6)

Admitindo que o material da viga seja homogneo e comporta de forma linearelstica,

a lei de Hooke pode ser aplicada, e com My I . Substituindo em (3.6), obtm-se:

1 M

EI (3.7)

onde representa o raio de curvatura num ponto da curva elstica e M o momento fletor interno

da viga no ponto em que se encontra.

Ainda, segundo Balan e Popov (2000, p. 585), a relao determinada pela geometria

analtica mostra que a curvatura de uma linha se define como:

2

2

3 32 22 2

1 "

1 '1

d w

wdx

dw w

dx

(3.8)

onde w e x so as coordenadas de um ponto sobre a curva e onde w a deflexo do C.G. da

seo transversal na fase deformada em relao ao estado indeformvel e dw dx a rotao da

seo na coordenada em x.

Observa-se que em Engenharia Civil, as estruturas so calculadas considerando deflexes

muito pequenas, devido a questes de tolerncia e esttica, tornando a expresso dw dx muito

pequena, sendo assim 2

0dw dx . Logo, a equao (3.8) se reduz a:

47

2

2

1 d w

dx

Balan e Popov (2000, p. 586) deixam claro que esta simplificao elimina a no

linearidade geomtrica, e a equao diferencial do problema pode ser reescrita da seguinte

forma, formando a equao diferencial da curva de deflexo:

2

2

( )d w M x

dx EI (3.9)

Atravs de integrao dupla, pode-se obter a deflexo w em funo de x, gerando as

constantes de integrao que podem ser encontradas atravs das condies de contorno.

Tambm, as relaes entre o momento fletor, esforo cortante e de carga aplicada podem ser

utilizadas para se obter a deflexo. Assim, tem-se:

2

2( )

d d wEI Q x

dx dx

2 2

2 2( )

d d wEI q x

dx dx

Considerando o material e a seo constante da viga, pode-se reorganizar as equaes

acima, obtendo-se:

4

4

( )d w q x

dx EI

(3.10)

3

3

( )d w Q x

dx EI (3.11)

3.3.3 Condies de contorno

Na resoluo de uma equao diferencial, gerado, alm da integral da funo, constantes

de integrao. Por exemplo, para obter a deflexo w em relao a carga aplicada, deve-se

integrar sucessivamente quatro vezes em relao a x, mostradas abaixo:

3

13

0

1x

d wq dx C

dx EI

48

2

1 22

0 0

1x x

d wdx q dx C x C

dx EI

2

12 3

0 0 0

1

2

x x xC xdw

dx dx q dx C x Cdx EI

3 2

1 23 4

0 0 0 0

1

3! 2!

x x x xC x C x

w dx dx dx q dx C x CEI

Balan e Popov (2000, p. 592) explicam que as constantes 1C , 2C , 3C e 4C significam

uma caracterstica fsica especial. Estas constantes so determinadas pelas condies de

contorno, que objetiva a soluo de uma equao possvel e determinada, anulando os valores

desnecessrios. Esses valores se obtm por meio das caractersticas de apoio da viga, mostradas

pela Tabela 3.3.3.1.

Tabela 3.3.3.1 Reaes de apoio e suas condies de contorno

R

w = 0

Ry

Rx w = 0

Rx

Ry

M

Rx

Ry

M

Rx

Ry

M

Rx

Ry

M

w = 0dw/dx = 0

Tipo de apoioCondio de

contorno

1 Gnero

2 Gnero

3 Gnero

Borda livre

Na borda livre

No apoio

d w/dx = 02 2


49

4 TEORIAS DE VIGAS: CONCEITOS E ANLISES

O estudo da viga de fundamental importncia na questo estrutural e com dinamismo de

novas ideias e tecnologias, o aperfeioamento da mesma evidente: Vigas so elementos

estruturais com grande aplicao na Engenharia, e para quais existem diversos modelos de

anlise. (SILVA, S.; SILVA, W., 2010, p. 1804).

Os autores citados anteriormente mostram a cinemtica das teorias de vigas, isto , seu

comportamento (deslocamentos e rotaes) frente s solicitaes.

Desse modo, sero estudadas as duas teorias de vigas, apresentando o clssico (Euler-

Bernoulli), e a mais realista de Timoshenko.

4.1 TEORIA DE EULER-BERNOULLI (TEB)

A teoria mais simples e utilizada a de Euler-Bernoulli, que relaciona a altura da seo

transversal h e o comprimento L de uma viga. Se esta relao for muito pequena, definida a

viga de Euler-Bernoulli.

A teoria mais simples e a mais comumente usada a de Euler-Bernoulli a qual adota

um campo de deslocamento que implica nas hipteses de que uma linha reta e normal

superfcie neutra antes da deformao da pea permanecer reta e normal aps a

deformao desta, implicando ainda no negligenciamento dos efeitos normais e

cisalhantes sobre a estrutura. (SILVA, S.; SILVA, W., 2010, p. 1804).

Uma vez negligenciado, supe-se que o eixo da viga permanece inextensvel, no

assumindo o efeito de Poisson e a tenso de cisalhamento transversal (RAULT; REDDY, 2010,

p. 3).

Figura 4.1.1 - Modelo de viga de Euler-Bernoulli: a) Sem aplicao de cargas externas; b) Aps a aplicao de

foras externas

w

x

xSem deformao

a)

50

dw

dx

dw

dxTeoria de Euler-Bernoul l i

LN

b)


Devido simplicidade de clculos, a viga de Euler-Bernoulli utilizada com mais

frequncia, j que gera equaes diferenciais simples com resultados aceitveis na prtica,

como por exemplo, em dimensionamento de vigas de concreto armado.

No entanto, como mostra a citao acima, a teoria de Euler-Bernoulli (TEB) no

considera os efeitos de cisalhamento na viga, embora no signifique que no ainda utilizada,

uma vez que seu princpio vale para vigas de pequenas alturas como mostra Kocatrk e imek

(2007, p. 167). Mas no significa afirmar que a teoria no deixa de ser aplicada, inclusive, como

mostra os mesmos autores, para valores onde a relao altura-comprimento pequena, os

resultados entre as diferentes teorias convergem.

Essa teoria assume as seguintes hipteses em suma:

a) Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seo transversal so

pequenos e iguais ao eixo da viga;

b) O deslocamento lateral nulo;

c) As sees planas normais para o eixo da viga que inicialmente se encontram planas,

permanecem planas depois da aplicao de um carregamento externo.

Seguindo as hipteses expostas na determinao da equao da linha elstica, a TEB

assume, para um carregamento externo, a seguinte caracterstica (SILVA, S.; SILVA, W., 2010,

p. 1804):

2

2

d wM EI

dx (4.1)

Tambm, pode-se expressar a deflexo em funo do carregamento distribudo e do

esforo cortante atuante:

51

3

3

dM d wQ EI

dx dx (4.2)

2 4

2 4

d M d wq EI

dx dx (4.3)

4.2 TEORIA DE TIMOSHENKO (TT)

Tambm conhecida no meio cientfico como First Shear Theory Deformation (FSTD)

por ser a primeira a considerar os efeitos de cisalhamento. Se embasa na TEB, porm com

diferenas bsicas, apresentadas por Nascimento (2005, p. 46) e enumeradas abaixo:

a) Os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma mesma seo transversal so

pequenos e iguais ao eixo da viga;

b) O deslocamento lateral nulo;

c) As sees planas normais para o eixo da viga antes da deformao se mantm planas,

porm no necessariamente normais ao eixo depois da deformao.

Figura 4.2.1 - Modelo de viga de Timoshenko

dw

dx

Teoria deTimoshenko

LN


Ainda, Silva (2010, p. 1804) mostra que essa teoria leva em considerao as foras

cisalhantes pela introduo de um fator de correo.

Essa teoria enfatiza modelo que possui melhor representao de comportamento de um

viga real, pois, segundo Balan e Popov (2000, p. 432), para uma viga de altura considervel,

curta e devido a perturbaes nos pontos de aplicao das cargas, as sees no permanecem

planas (Figura 4.2.2). Um exemplo tpico desse efeito em uma estrutura a viga parede.

52

Figura 4.2.2 - Anlise das sees de uma viga com relao altura-comprimento elevada, com empenamento das

mesmas pela aplicao da carga

Fonte: BALAN; POPOV, 2000

Da figura acima, Silva (2010, p. 1804) demonstra as equaes governantes do

carregamento externo e do momento fletor:

Qdx

dM

)(xqdx

dQ

dx

dEIM

(4.4)

dx

dwGAKQ s (4.5)

onde G o mdulo de elasticidade transversal, A a rea da seo, o ngulo adicional devido

ao efeito cisalhante e Ks o fator de correo ao cisalhamento que depende da forma geomtrica

da seo.

Observa-se que essa teoria apresenta componentes de deformao longitudinal e

angular xz , alm de que o fator de correo Ks, por questes de incertezas sobre a distribuio

das tenses de cisalhamento (FEM-Unicamp, 2014), obtido atravs da seguinte equao:

1ys

xz

QK

A G

(4.6)

onde Qy representa o esforo cortante e xz a distoro angular.

53

Para uma seo retangular, de base b e altura h, distribuio constante de tenso de

cisalhamento, e assumindo que a tenso varia linearmente com o eixo y, como mostra a Figura

4.2.3.

Figura 4.2.3 Suposta distribuio linear da tenso cisalhante em uma seo da viga

y

x

xyQy

A


Logicamente, chega-se a expresso:

1 2xy c y c (4.7)

sendo 1c e 2c coeficientes determinados pela condio de que as extremidades da seo so

nulas, a partir das seguintes equaes:

1 2 02 2

xy

h hy c c

1 2 02 2

xy

h hy c c

Pela equaes acima, obtm-se 1 2 0c c , e, pois, 0xy , resultando numa soluo

impossvel, uma vez que a tenso de cisalhamento no necessariamente nula na seo

transversal (FEM-Unicamp, 2014). Dessa forma, assume-se uma distribuio de tenses do tipo

quadrtica, determinada pela seguinte expresso:

2

1 2 3xy c y c y c (4.8)

O sinal negativo no coeficiente 1c em virtude da distribuio parablica ter concavidade

para baixo, conforme a Figura 4.2.4.

54

Figura 4.2.4 - Suposta distribuio parablica da tenso cisalhante em uma seo da viga

y

x

21 2 3xy c y c y c


Pelas condies anteriores, pode-se obter os coeficientes procurados:

2

1 2 3 02 2 2

xy

h h hy c c c

(4.9)

2

1 2 3 02 2 2

xy

h h hy c c c

(4.10)

Substituindo-se as equaes (4.9) e (4.10), tem-se a seguinte expresso:

2

1 32 2 02

hc c

2

3 12

hc c

(4.11)

A terceira condio, considerando um ponto de mximo ou mnimo no centro da seo,

que neste caso, em y = 0, implicando na derivada de xy :

1 22xyd

c y cdy

(4.12)

Pela condio, se y = 0, ento a derivada zero, que representada pela equao abaixo:

1 2 22 0 0 0c c c

Substituindo a equao (4.11) na equao (4.8) obtm-se:

2

2

12

xy

hc y

(4.13)

55

Como o valor da tenso de cisalhamento mxima desconhecida neste momento, atravs

do valor do esforo cortante Q ser conhecido, representa-se a expresso abaixo (FEM-Unicamp,

2014):

xyA

Q dA

Substituindo a equao (4.13) na expresso acima, tem-se:

2

2

12

A

hQ c y dA

2

2

12

A A

hQ c dA y dA

(4.14)

Nota-se que a primeira e segunda integrais representam, respectivamente, a rea da seo

retangular e o momento de inrcia em relao ao eixo de referncia da seo. Assim, o

coeficiente c1 dado por:

1 2

2z

Qc

hA I

(4.15)

Substituindo as equaes (4.13) e (4.15), tem-se a seguinte equao:

2

2

22

2

xy

z

Q hy

hA I

(4.16)

Especificando para seo retangular, tem-se A b h e 3 12zI b h , e substituindo na

equao (4.16), tem-se:

2

2

2 2xy

z

Q hy

I

(4.17)

Para uma tenso de cisalhamento mxima na seo, tem-se y = 0, sendo a expresso dada

por:

,

3

2xy mx

Q

A (4.18)

56

O clculo do momento esttico, para uma seo retangular dado por:

2

2

2 2sz

b hM y

(4.19)

sendo szM o momento esttico em relao ao eixo da seo transversal;

Substituindo a equao (4.19) na equao (4.17), obtm-se:

sxy

z

Q M

b I

(4.20)

A partir da expresso acima, chega-se a definio de fluxo de cisalhamento, que

matematicamente expresso por (FEM-Unicamp, 2014):

sc

z

Q Mq

I

(4.21)

Substituindo a equao (4.21) na equao (4.20), tem-se uma expresso que relaciona a

tenso de cisalhamento em funo do fluxo de cisalhamento qc, mostrado na equao abaixo:

cxy

q

b (4.22)

Pode-se relacionar a Lei de Hooke para o cisalhamento e a tenso de cisalhamento

mxima, obtendo-se a seguinte expresso:

3

2

xy

xy

Q

G A G

(4.23)

E, finalmente, obtm-se o valor de Ks substituindo as expresses anteriores na equao

(4.6), chegando-se ao valor abaixo:

2

3 3

2

s

Q

A GKQ

A G

57

5 O MTODO DAS DIFERENAS FINITAS

Nos problemas de Engenharia, especialmente a abordagem feita at o momento,

possvel formular um problema e transform-lo em equaes matemticas que regem o mesmo.

Geralmente, se obtm resultados analticos, isto , as equaes que governam so diferenciais

que, dependendo da complexidade, podem ser difceis ou at impossveis na prtica de serem

encontradas (SZILARD, 2004). Assim, Deus et al (2010, p. 2) mostra como se insere os

mtodos numricos para a resoluo do problema dado:

Durante a soluo de problemas de engenharia, comum se deparar com equaes

diferenciais (ordinrias e parciais) que regem o fenmeno fsico. A soluo analtica

dessas equaes nos casos de condies de contorno, carregamento e geometria

complexas bastante complicada ou at mesmo impossvel. Nesses casos comum

recorrer s solues aproximadas obtidas atravs de mtodos numricos.

Os Mtodos das Diferenas Finitas, como mtodo numrico, possibilita ao profissional

trabalhar com situaes complexas, alm de que um dos mtodos mais simples, como

descreve os mesmos autores (2010, p. 10):

So muitos os mtodos numricos utilizados hoje, mas no geral eles podem ser

divididos em dois grandes grupos:

i. mtodos que atuam diretamente sobre a equao diferencial do problema real (como

exemplos, pode-se citar o Mtodo das Diferenas Finitas (MDF) e o Mtodo dos

Resduos Ponderados (MRP));

ii. mtodos que atuam de forma indireta no problema real e possuem uma base

variacional (como exemplos tm-se o Mtodo de Rayleigh-Ritz (MRR) e o Mtodo

dos Elementos Finitos (MEF)).

O MDF talvez seja o mais simples dentre essas abordagens numricas.

O Mtodo das Diferenas Finitas (MDF) servir exatamente para entender a forma

analtica dos diferentes modelos de vigas, com os seus resultados. Como mtodo numrico, as

equaes analticas complexas se transformam em equaes algbricas de simples

entendimento, sendo facilmente calculadas por implementao computacional.

Segundo Szilard (2004, p. 315), um mtodo verstil, visto que pode resolver problemas

desde deflexes at de estabilidades de pilares. O uso do MDF ir fornecer um arcabouo maior

de anlise de diferentes problemas de Engenharia.

Ainda Szilard (2004, p.268) explica outras vantagens do mtodo, que so:

a) Transparncia, isto , manipulao de todo o processo de clculo, alm da facilidade de

interpretao;

58

b) Trabalha apenas com incgnitas das coordenadas de deflexo, a matriz de rigidez se

torna muito menor em relao aos outros mtodos, reduzindo o tempo de processamento

computacional;

c) verstil, visto que serve para resolver desde problemas de estabilidade at anlise de

placas;

d) Preciso aceitvel para fins tcnicos, como a Engenharia;

e) Facilidade de implementao computacional.

Szilard (2004) tambm destaca as desvantagens, que so:

a) Automatizao do MDF por meio de programas de computador no uma tarefa fcil;

b) Na maior parte dos casos, a matriz dos coeficientes resultantes no simtrico;

c) O MDF no recomendado para derivadas acima de quarta ordem.

O acesso ferramenta computacional est mais do que consolidada, permitindo o estudo

mais detalhado de mtodos numricos. nesse sentido que se apresenta o MDF.

Logo, o MDF possibilita gerar matriz de rigidez conveniente para a resoluo do

problema (BONI; PROLOVI, 2008, p.179), e desse modo, program-la em uma linguagem

computacional, tornando o estudo do comportamento das estruturas para diferentes condies

mais rpidas e prticas.

O MDF pode ser aplicado em diversas reas na Engenharia (Estruturas, Hidrulica e

Geotecnia), como exemplifica Deus et al (2010):

a) Equilbrio estrutural elementos de duas e trs dimenses;

b) Estabilidade elstica de colunas;

c) Fluxo em meio poroso;

d) Linha de corrente em um escoamento.

Machado (2013, p. 1), explica tambm como o MDF pode ser utilizado na prtica:

A soluo dos problemas de contato casca cilndrica-base elstica usualmente

alcanada via mtodos numrico-computacionais, uma vez que abordagens analticas

so restritas a carregamento e condies de contorno simples e bem definidas o que

no o caso dos PCUs. Assim, para muitos problemas de contato de interesse prtico

no possvel encontrar as solues analticas das equaes que regem o problema. Os mtodos experimentais, embora teis e precisos, se mostram onerosos tanto em

custo quanto em tempo de execuo.

Alm disso, o autor expe a utilizao atual do mtodo, explicando seu desenvolvimento:

59

Entretanto, aplicaes do MDF nas engenharias estrutural e geotcnica continuam

sendo alvos de pesquisas, com o recente e crescente interesse da comunidade

cientfica. Esse interesse pode ser constatado pela evoluo do MDF, e mais

precisamente no desenvolvimento de suas variantes. Dentre essas variaes destaca-

se o mtodo das diferenas finitas energticas (MDFE), que se apresenta como um

meio termo entre o MDF tradicional e o MEF. (MACHADO, 2013, p. 9).

5.1 FORMULAO DO MDF

Na formulao do mtodo numrico, considerando apenas uma dimenso, substituem-se

os operadores diferenciais d e por simples operadores de diferenas . Para obter as

expresses de diferenas finitas, aproxima-se a funo

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Analise EB TM MDF Scilab