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Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
1
Sistemas de equações lineares
Métodos Directos
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
2
Decomposição LU
A=LU
yUx
bLy
L – matriz triangular inferiorU – matriz triangular superior
bxUL bAx y
Resolução de 1 sistema quadrado
Resolução de 2 sistemas triangulares
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
3
Método de Gauss
Pivot – elemento da diagonal akk
Para anular os elementos abaixo da diagonal aik
Multiplicar (mantêm a.s.) a linha pivot pelo factor
Adicionar (mantêm c.d.) a linha obtida à linha i
kk
ika
a
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
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Estabilidade do método
Solução aproximada de Ax=b
Que é solução exacta de
Método estável (2º caso)
Método instável (1º caso)
x~
AA~
AA~
bxA~~~
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
5
Para o método ser estável
Escolha Total de pivot.O maior elemento em valor absoluto
da matriz reduzida .Desvantagens :
• Demora muito tempo a calcular o maior elemento da matriz reduzida em cada iteração.
• Troca de colunas troca de variáveis.• Não ganha muito em estabilidade quando
comparado com o 2ºcaso.
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
6
Para o método ser estável
Escolha parcial de pivot (2ºcaso).O maior elemento em valor absoluto
da 1ª coluna da matriz reduzida.
Vantagens :• É rápido determinar o maior elemento em
valor absoluto da primeira coluna da matriz reduzida.
• Não precisa de guardar a ordem das variáveis.
Desvantagens : • Nem sempre é estável.
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
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Escolha parcial escalonada
O elemento a*ik , da 1ª coluna da matriz
reduzida, cuja razão absoluta entre a*ik e
o maior elemento, em valor absoluto, da linha i de A é máxima.
ijnj
ii
ik
kis
sk add
a
d
a
1
**maxondemax
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
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Condição de um sistema
Num sistema mal condicionado uma pequena variação nos dados pode provocar uma grande alteração na solução final
Sistema mal condicionado Sistema bem condicionado
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
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Como se mede a condição?
Se b é exacto:
Demonstração:Se A é não singular
e
A
AAA
x
x
kAcond
1
.1bAxbAx bxA ~~ E
xAAx ~~1
xAAxx ~~ 1
xAAAA ~~1 xAAAx ~~~ 1
xAAxx ~~ 1
A
AAA
x
xx 1
~
~
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
10
Definição de norma
∥.∥:ℂnm→ℜ+0:
∥A∥=0 sse A=0
CAA
BABA
BABA
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
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Normas compatíveisxAA
x 1max
Vector Matriz
i
ie xxx 22 )(2 AAA H
i
ixx 1 i
ijj
aA max1
ii
xx max j
iji
aA max
ij
ije aA 2
p
i
pip xx
1
?
?
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos
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k – número de condição
Se b não é exacto
1)cond( 1 AAAk
b
b
A
A
A
Ak
k
x
x
1
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
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Métodos Iterativos
bAx dCxx
dCxx
xnn )()1(
)0(
xx n ?
A = M – N e M facilmente invertível
A x = b (M – N) x = b x=M –1 (N x + b) M x= N x + b
d=M –1 bC=M –1 N
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
14
Métodos Iterativos Exemplo Resolva o sistema
2563
23
952
213
312
321
xxx
xxx
xxx
2563
23
952
321
321
321
xxx
xxx
xxx
(solução exacta xT=(2,-3,-1))
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
15
Exemplo
2563
23
952
213
312
321
xxx
xxx
xxx
25
2
9
063
301
520
13
12
11
3
2
1
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
25
2
9
03
02
01
x
x
x
x0 x1 x2 x3
-9 120 363 -4260
-2 -86 -2 2914
-25 -40 851 1076
║xk-xk-1║ 129 891 4623
Processo divergente
(solução exacta xT=(2,-3,-1))
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
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Teorema do ponto fixo
Para sistemas (x) = M –1 (N x + b)
Cálculo do erro
)()()()()(
)()(
011
1
11xxxxxx
xxxx
kkkk
kk
= ║M-1N║
e 0 < < 1 ( - constante de Lipschitz)
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
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Teoremas
Se existir uma norma para a qual
então o processo é convergente. O processo é convergente sse o raio
espectral de C
Se (C )>1 o processo é divergente
║C║= ║M-1N ║ <1
(C )=maior valor próprio de C em módulo
( (C)) <1
Condição suficiente
Condição necessária e suficiente
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
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Como obter boas fórmulas de recorrência?
Os métodos mais comuns usam as submatrizes:
000
00
0
00
00
00
0
00
000
2
112
22
11
21
21
n
n
nnnn
a
aa
U
a
a
a
D
aa
aL
UDLA
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
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Método de Jacobi
M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência
|| M-1N || = || D-1(L+U) || < 1 Fórmula de recorrência
dxCx kk )1()(
C=-D-1(L+U)d=D-1b
Resolver cada equação i em ordem a xi
Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos
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Condições suficientes de convergência
Definição Uma matriz é estritamente diagonal dominante
por linhas (colunas) se
jiijjj
ijijii aaaa
Matriz estritamente dominante Jacobi convergente